Цикломида (от греч.кхклпейдЮт -- круглый) -- плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.
Уравнения
Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.
· Циклоида описывается параметрическими уравнениями
Уравнение в декартовых координатах:
· Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
Свойства
- · Циклоида -- периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2рr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2рk, где k -- произвольное целое число.
- · Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
- · Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
- · Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
- · Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен.
- · «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
- · Период колебанийматериальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
- · Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно -- параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
- · Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).
5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах
Допустим, что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точке А.
Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:
х= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,
y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t
Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид:
При изменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.
Так же, помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение в декартовых координатах:
Где r – радиус окружности, образующей циклоиду.
6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой
Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически
и осью Ох.
Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:
Площадь криволинейного сектора.
Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].
ϕ 0 ∈ [α, β] соответствует r 0 = r(ϕ 0) и, значит, точка M 0 (ϕ 0 , r 0), где ϕ 0 ,
r 0 - полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную
уравнением r = r(ϕ).
Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных
координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
Справедлива следующая
Теорема. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь
криволинейного сектора вычисляется по формуле:
Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.
Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t) , y= a (1 – cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.
Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,
Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды
Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.
Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f ’ (x) непрерывны на , то AB является спрямляемой и
Следствие. Пусть AB задана параметрически
L AB = 
(1)
Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда
формулу (1) можно записать так
Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)= ;
dx= x’(t)dt и, следовательно:
А теперь вернемся к решении нашей задачи.
Решение. Имеем , а поэтому
Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды
L={(x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π}
В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)
Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:
Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды
Вдоль оси Ох.
В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:
Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле
Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.
Задача решена.
Заключение
Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, - тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.
Литература
1. Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980
2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. - №5
3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. - №8.
4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. - Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.
5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. - №6.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969
Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.
Материя и движение, и тот метод, который они составляют, дают возможность каждому реализовать свои потенциальные возможности в познании истины. Разработка методики развития диалектико-материалистической формы мышления и овладение аналогичным ему методом познания является вторым шагом на пути решения проблемы развития и реализации возможностей Человека. Фрагмент XX Возможности...
Обстановке могут заболеть неврастенией – неврозом, основу клинической картины которого составляет астеническое состояние. И в случае неврастении, и в случае декомпенсации неврастенической психопатии существо душевной (психологической) защиты сказывается уходом от трудностей в раздражительную слабость с вегетативными дисфункциями: либо от нападения человек бессознательно «отбивается»больше...
Различных видах деятельности; развитии пространственного воображения и пространственных представлений, образного, пространственного, логического, абстрактного мышления школьников; формировании умений применять геометро-графические знания и умения для решения различных прикладных задач; ознакомлении с содержанием и последовательностью этапов проектной деятельности в области технического и...
Дуги. Спиралями являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности. Названия некоторым спиралям даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например: · параболическая спираль (а - r)2 = bj, · гиперболическая спираль: r = а/j. · Жезл: r2 = a/j · si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид: , есть постоянной b 2 .
Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.
Если b = a, кривая есть лемниската
УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ
Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.
Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b 
ЦИССОИДА ДИОКЛА
Уравнение в прямоугольных координатах: y 2 = x 3 /(2a - x)
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба
, т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба
СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ