›

Научный форум dxdy. Корни квадратного уравнения Примеры определения корней квадратного уравнения

1. Понятие уравнения с одной переменной

2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений

3. Решение уравнений с одной переменной

Уравнения с одной переменной

Возьмем два выражения с переменной: 4 х и 5 х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5 х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в вы­сказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5 х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, а при х = 1 - в лож­ное 4·1 = 5·1 + 2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) =g(х) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем урав­нения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти мно­жество его корней.

Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на мно­жестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.

Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х - 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,-1}.

Уравнение (3х + 1)-2 = 6 х + 2, заданное на множестве действи­тельных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х : если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.

Уравнение (3х + 1)·2 = 6 х + 1, заданное на множестве действи­тельных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6 х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имееткорней и что множество его корней пусто.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовыва­ют, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять пре­образовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продол­жают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями за­данного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Страница 1
Квадратные уравнения

В современной алгебре квадратным уравнением называется уравнение вида

где коэффициенты
любые действительные числа, причем

Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида

Пример a)

Таким образом, уравнение имеет два корня:

Пример b )

Решение


Уравнение имеет два корня:

Пример с)

Решение



Уравнение имеет два корня:

Пример d )

Решение



Уравнение не имеет действительных корней.

Пример е)

Решение



Данное уравнение также является неполным квадратным уравнением, оно всегда имеет один корень

При решении квадратных уравнений можно использовать различные способы разложения на множители. Так при решении уравнения b был применен способ вынесения общего множителя. Существует другой способ – способ группировки.

Решение.

Ответ:


Одно и то же уравнение можно решить множеством способов. Рассмотрим некоторые из них на примере квадратного уравнения

I способ. Рассмотрим квадратный трехчлен

Разложим его на множители способом группировки, предварительно представив слагаемое
в виде
Имеем

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

Это уравнение имеет два корня:

II способ . Рассмотрим квадратный трехчлен и разложим его на множители, используя метод выделения полного квадрата; предварительно представим слагаемое 3 в виде разности
. Имеем

Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим

Итак, корни трехчлена


III способ – графический.

Рассмотрим графический способ решения уравнений

Решите уравнение

Построим график функции

Координаты вершины:

Ось параболы – прямая

Возьмем на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки
Найдем значение функции в этих точках
Через точки
и вершину параболы
построим график функции.

Итак, корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс т.е.

Рассмотрим другой вариант графического решения уравнения

Запишем уравнение в виде

Построим в одной системе координат графики функций

Итак, корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков

Исходное уравнение можно решить еще несколькими способами, преобразовав уравнение
к виду
или к виду

Затем вводят функции, строят графики и находят абсциссы точек пересечения графиков построенных функций.

Смотри задание 3 (приложение1).

IV способ – с помощью формулы корней квадратного уравнения.

Для решения квадратного уравнения вида
можно использовать следующий алгоритм:




Так как
данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формуле


В случае если b – четное число, т.е.
тогда

Уравнение вида
является приведенным квадратным уравнением.

Если числа
таковы, что

то эти числа – корни уравнения.
С помощью этого утверждения, а точнее утверждения, обратного теореме Виета можно решать приведенные квадратные уравнения.

Итак, корни уравнения

Если в уравнении
сумма
то один корень уравнения всегда 1, а другой корень вычисляется по формуле .

В уравнении
сумма следовательно

Смотри задание 4 (приложение1).
Рациональные уравнения
Если
– рациональное выражение, то уравнение
называется рациональным уравнением.

Пример

Проверим найденные корни:
т.е.


являются корнями исходного уравнения.

Пример

Решим уравнение методом введения переменной. Пусть
Это позволит переписать уравнение в виде



Из уравнения
находим

Проверим найденные корни

Поскольку
нам предстоит решить еще два уравнения:

и

Корнями первого уравнения являются числа 1 и –4, корнями второго уравнения – числа

Ответ: 1, −4,

Метод введения новой переменной применяется также при решении биквадратных уравнений.

Уравнение вида
называется биквадратным уравнением.

Пример

Введем переменную

Получим




Ответ: 2, -2.

Смотри задания 5, 6, и 7 (приложение1).
Иррациональные уравнения
Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то такое уравнение называют иррациональным.

Обратимся к страницам из истории математики. Понятие иррациональные числа было известно пифагорейцам. Теорема Пифагора привела математиков к открытию несоизмеримых отрезков. Они получили совершенно парадоксальное утверждение: длину диагонали квадрата нельзя измерить никаким натуральным числом. Это утверждение подрывало основной тезис их учения: «все есть число».

Открытие несоизмеримости показало, что, владея только рациональными числами нельзя найти длину любого отрезка. Значит множество отрезков значительно шире множества рациональных чисел. Греки решили строить математику не по пути расширения понятия числа, которое привело бы их к рассмотрению иррациональных чисел, а с помощью геометрических величин. В отличии от пифагорейцев ученые Древнего Востока без каких-либо объяснений использовали приближенные значения чисел. Так они записывали 1,41 вместо
, и 3 вместо числа

Вернемся к современной математике и рассмотрим способы решения иррациональных уравнений.

Пример:

Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения − основной метод решения иррациональных уравнений.

Метод возведения в квадрат несложен, но иногда приводит к неприятностям.

Пример:

Но значение
будучи корнем рационального уравнения
не является корнем заданного иррационального уравнения. Проверка подтвердит данное утверждение.

Проверка:

Полученное выражение не имеет смысла. Под корнем четной степени не может быть отрицательного числа.

Вывод:
посторонний корень

Заданное иррациональное уравнение не имеет корней.

Пример:

Проверка:

Если
то

– неверно

Если
то

– неверно

Вывод: заданное иррациональное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.

Пример:

Проверка:

Если
то

– верное равенство.

Если
то

– верное равенство.

Значит, оба найденные значения – корни уравнения.

Ответ: 4; 5.

Пример:

Данное уравнение решим методом введения новой переменной.

Пусть

Вернемся к исходной переменной.

– верно,

– неверно.

Смотри задание 8 (приложение1).
Немного теории
Определение. Два уравнения
и
называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).

Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.

Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.

Например, замена уравнения
уравнением
есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения
и
равносильны.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Например, замена уравнения
уравнением
(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование уравнения.

Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
Например, замена уравнения
уравнением
есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение
имеет два корня: 2 и −2, а заданному уравнению значение
удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях говорят так:
посторонний корень.
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни.

Определение.

Областью определения уравнения
называется множество
где
и
– области определения функций f и g .

Пример

Сложив дроби, стоящие в левой части, получим уравнение

равносильное исходному. Это же уравнение в свою очередь, равносильно системе

Квадратное уравнение имеет корни
где
- посторонний корень.

Рассмотрим решение уравнения

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности

или
или
или

Уравнения с переменной под знаком модуля
1. Абсолютной величиной числа a (обозначается | a | ) называется расстояние от точки, изображающей данное число а на координатной прямой, до начала отсчета.

Из определения следует, что

Основные свойства модуля

Пример

Ясно, что здесь есть две возможности:
или
Откуда несложно получить

Ответ:
или

Отметим, что при решении уравнений вида

наиболее рациональный путь − переход к совокупности

Пример

Здесь указанный выше прием освобождает нас от необходимости находить интервалы знакопостоянства квадратного трехчлена с «неприятными» корнями.

Имеем:



Ответ:
или
или

Смотри задание 9 (приложение1).
Уравнения с параметрами
Немного теории.

С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Например функция прямая пропорциональность:

линейная функция:

линейное уравнение:

квадратное уравнение:

Определение. Уравнение – внешний вид и решение, которого зависит от значений одного или нескольких параметров называется уравнением с параметрами.

Решить уравнение с параметрами означает

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решения.

2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е для неизвестного и параметров должны быть указаны свои области допустимых значений.

Пример:

Ответ: Если
то нет решений;Пример:
Эти уравнения представляют собой комбинированные задания, в процессе решения которых отрабатываются стандартные алгоритмы решения уравнений, а также формируются и закрепляются навыки работы с областью допустимых значений и отбором корней. Эти уравнения предназначены в качестве индивидуальных заданий для сильных учеников.

Применение уравнений.

Уравнения Навье-Стокса – система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой жидкости. Уравнения Навье-Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из уравнения движения уравнения неразрывности.

Одним из применений системы уравнений является описание течений в мантии Земли.

Вариации уравнения используются для описания движения воздушных масс атмосферы в частности при формировании прогноза погоды. В анализе решений уравнения заключается суть одной из открытых проблем, за решение которых математический институт Клэя назначил премию в 1 млн. долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения задачи Коши для трехмерных уравнений Навье-Стокса.
Список использованной литературы


  1. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеоразоват. Учреждений. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 160 с.: ил.

  2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеоразоват. Учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 223 с.: ил.

  3. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов»/Под ред. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – М.: Илекса, 2001 – 320с.

  4. Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике: 5-11 классы. – М.:Издательство «Первое сентября», 2002. – 224с.: ил.


страница 1

Числа можно разбить на множества, в следующем порядке возрастания мощности -

1. Множество - множество простых чисел (не имеет простых делителей, кроме самого себя).
2. Множество - множество натуральных чисел.
3. Множество - множество целых чисел (это натуральные, ноль, и целые отрицательные).
4. Множество - множество рациональных чисел (это целые числа, либо числа, которые представимы в виде дроби, в числителе и знаменателе которой целые числа. Десятичная запись рациональных либо конечна, либо представима в виде дроби, в которой обязательно есть периодическое повторение).

5. Множество - подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем действительных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например, . Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а любое число которое возводится в степень - рациональное положительное.

6. Множество - подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем комплексных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например, , которое окажется действительным в итоге. Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а число которое возводится в степень - рациональное, и может быть отрицательным.

Отличие множества 6 от множества 5. Например, корни уравнения,
, равны .
Вместе с тем, известно, что кубические уравнения разрешимы в радикалах . Это значит, что эти же корни можно представить в виде записи с числами, мат.операциями, и степенями.

Вопрос. У меня предположение, что части этой записи - будут комплексными числами, т.е. там не обойтись без . Будут корни из отрицательных чисел обязательно. Верно ли предположение?

Если предположение верно, то всегда действительные корни кубических уравнений -- принадлежат множеству , но они могут не принадлежать множеству . А вот корни квадратного уравнения всегда принадлежат маломощному множеству .

Вопрос. Всегда ли синус от аргумента (в градусах) представленного в виде рационального числа - принадлежит множеству (или даже ), т.е. всегда ли его можно выразить в радикалах?

Но перейдем к еще более мощному множеству чисел. Действительные корни уравнения 5-й степени, вообще не всегда могут быть выражены в радикалах, т.е. они могут не входить даже в , но есть такое множество, куда они входят -

7. Множество - множество алгебраических чисел, (подмножество действительных чисел) . В это множество входят все возможные действительные корни всех возможных алгебраических уравнений, любых степеней, и с любыми рациональными коэффициентами.

Какие более мощные множества, чем , рассматриваются в математике (не считая самых широких множеств - действительных и комплексных)? Я более мощных не встречал, обычно, если число не входит в то его просто называют трансцендентным. А я бы ввел еще одно множество -

8. Множество - множество чисел, которые могут быть корнями любого математического уравнения (не обязательно алгебраического), с любыми известными функциями (типа синус, дзета-функция, интегральный логарифм и т.д.), которые могут быть разложены представлены в виде ряда или нескольких рядов. Назовем такие числа АНАЛИТИЧЕСКИМИ. Проще говоря - можно задать описание конечных размеров, такое что, по этому описанию можно найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.

До сих пор все рассматриваемые множества были подмножествами следующего, т.е. подмножество , и т.д. - подмножество . Следующее множество, - отдельное ( в него не входит), но самое мощное.

9. Множество - множество хаотических чисел. (хаотических - мое определение). Это множество всех действительных чисел, которые не входят в . Если число входит в , то никакими математическими описаниями конечных размеров (не важно - рядами, или функциями и т.п.), это число невозможно представить, т.е. если мы зададим описание конечных размеров, то мы не сможем по этому описанию найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.

10. Множество - множество ВСЕХ действительных чисел. Это объединение непересекающихся множеств и . Причем множество в множестве - имеет меру нуль. Т.е. в множестве действительных чисел - большинство чисел - хаотические, и меньшинство - аналитические.

11. Множество - множество всех комплексных чисел. Можно было разбить и его на аналогичные подмножества (алгебраические комплексные, аналитические, хаотические и др.) но уже думаю, необязательно.

Правильна моя классификация? Какие еще у математиков есть множества, являющиеся подмножествами трансцендентных, но не являющиеся алгебраическими числами?

В проекте рассмотрен способ приближенного нахождения корней алгебраического уравнения – метод Лобачевского–Греффе. В работе определена идея метода, его вычислительная схема, найдены условия применимости метода. Приведена реализация метода Лобачевского–Греффе

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 6

1.1 Постановка задачи 6

1.2 Алгебраических уравнений 7

1.2.1 Основные понятия об алгебраическом уравнении 7

1.2.2Корни алгебраического уравнения 7

1.2.3Число действительных корней полинома 9

1.3 Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений 11

1.3.1 Идея метода 11

1.3.2 Квадрирование корней 13

2.1 Задание 1 16

2.2 Задание 2 18

2.4 Анализ полученных результатов 20

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК 23


ВСТУПЛЕНИЕ

Вычислительная техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближенного и численного анализа.

Численные методы направлены на решение задач, которые возникают на практике. Решение задачи численными методами сводятся к арифметическим и логическим действиям над числами, что требует применение вычислительной техники, таких как табличные процессоры современных офисных программ для персональных компьютеров.

Целью дисциплины “Численные методы” является поиск наиболее эффективных методом решения конкретной задачи.

Решение уравнений – алгебраических– представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники и естествознания в широком смысле этого слова.

Настоящий курсовой проект посвящен одному из методов решения алгебраических уравнений – методу Лобачевского–Греффе.

Цель работы данной рассмотреть идею метода Лобачевского–Греффе для решения алгебраических, привести вычислительную схему нахождения действительных корней, используя MS Office Excel. В проекте рассмотрены основные теоретические вопросы, связанные нахождением корней алгебраических уравнений, метода Лобачевского–Греффе В практической части данной работы приведены решения алгебраических уравнений методом Лобачевского–Греффе.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Постановка задачи

Пусть даны множество X элементов x и множество Y с элементами y. Допустим, кроме того, что на множестве X определен оператор , который ставит в соответствие каждому элементу x из Х некоторый элемент y из Y. Возьмем какой-нибудь элемент
и поставим себе целью найти такие элементы
, для которых является изображением.

Такая задача равносильна решению уравнения

(1.1)

Для него могут быть поставлены следующие проблемы.


  1. Условия существования решения уравнения.

  2. Условие единственности решения уравнения.

  3. Алгоритм решения, следуя которому, можно было бы найти, в зависимости от поставленной цели и условий, точно или приближенно все решения уравнения (1.1), или какое-либо одно решение, заранее указанное, или любое из числа существующих.
Далее будем рассматривать уравнения, в которых x и y будут численными величинами, X, Y – множествами их значений, а оператором
будет некоторая функция. В этом случае уравнение (1.1) можно будет записать в виде

(1.2)

В теории численных методов стремятся построить вычислительный процесс, при помощи которого можно найти решение уравнения (1.2) с наперед заданной точностью. Особенно большое значение имеют сходящиеся процессы, позволяющие решить уравнение с любой, сколь угодно малой погрешностью.

Наша задача – нахождение, вообще говоря, приближенное, элемента . Для этой цели разрабатывается алгоритм, который выдает последовательность приближенных решений

, причем так, что имеет место соотношение

1.2 Алгебраических уравнений

1.2.1 Основные понятия об алгебраическом уравнении

Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени

где коэффициенты
– действительные числа, причем
.

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Алгебраическое уравнение n-й степени (1.3) имеет ровно n корней, действительных и комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

При этом говорят, что корень уравнения (1.3) имеет кратность s, если
,
.

Комплексные корни уравнения (1.3) обладают свойством парной сопряженности.

Теорема 1.2. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.3) – действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если
(
– действительные числа) есть корень уравнения (1.3), кратности s, то число
также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.

Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере один действительный корень.

1.2.2Корни алгебраического уравнения

Если
– корни уравнения (1.3), то для левой части справедливо разложение
. (1.6)
Произведя перемножение биномов в формуле (1.6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства (1.6), получим соотношения между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (1.3):

(1.7)
Если учитывать кратности корней, то разложение (1.6) принимает вид
,
где
–различные корни уравнения (1) и
– их кратности, причем
.

Производная
выражается следующим образом:


где Q(x) – полином такой, что



при k=1,2,…,m

Поэтому полином



является наибольшим общим делителем полинома
и его производной
, и может быть найден с помощью алгоритма Евклида . Составим частное

,
и получим полином

с действительными коэффициентами
, А 1 , A 2 ,…, A m , корни которого
различны.

Таким образом, решение алгебраического уравнения с кратными корнями сводится к решению алгебраического уравнения более низкого порядка с различными корнями.

1.2.3Число действительных корней полинома

Общее представление о числе действительных корней уравнения (1.3) на интервале (a,b) дает график функции
, где корнями
являются абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.

Отметим некоторые свойства полинома P(x):


  1. Если P(a)P(b)

  2. Если P(a)P(b)>0, то на интервале (a, b) существует четное число или не существует вообще корней полинома P(x).
Вопрос о числе действительных корней алгебраического уравнения на данном промежутке решается методом Штурма.

Определение. Пусть дана упорядоченная конечная система действительных чисел, отличных от нуля:


,,…,
(1.9)
Говорят, что для пары рядом стоящих элементов ,
системы (1.9) имеется изменение знака, если эти элементы обладают противоположными знаками, т.е.

,
и нет изменения знака, если знаки их одинаковы, т.е.

.
Определение. Общее число изменений знаков всех пар соседних элементов ,
системы (1.9) называется числом перемен знаков в системе (1.9).

Определение. Для данного полинома P(x) системой Штурма называется система полиномов


,
,
,
,…,
,

где
, – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома на , – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома на и т.д.

Замечание 1. Если полином не имеет кратных корней, то последний элемент системы Штурма есть отличное от нуля действительное число.

Замечание 2. Элементы системы Штурма можно вычислять с точностью до положительного числового множителя.

Обозначим через N(c) число перемен знаков в системе Штурма при x=c, при условии, что нулевые элементы этой системы вычеркнуты.

Теорема 1.5. (теорема Штурма). Если полином P(x) не имеет кратных коней и
,
, то число его действительных корней
на интервале
в точности равно числу потерянных перемен знаков в системе Штурма полинома
при переходе от
до
, т.е.


.
Следствие 1. Если
, то число
положительных и число
отрицательных корней полинома соответственно равны

,

.
Следствие 2. Для того чтобы все корни полинома P(x) степени n, не имеющего кратных корней, были действительны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.
Таким образом в уравнении (1.3) все корни будут действительными тогда и только тогда, когда:


С помощью системы Штурма можно отделять корни алгебраического уравнения, разбивая интервал (a,b), содержащий все действительные корни уравнения, на конечное число частичных интервалов
таких, что

.

1.3 Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений

1.3.1 Идея метода

Рассмотрим алгебраическое уравнение (1.3).

Предположим, что


, (1.15)
т.е. корни различные по модулю, причем модуль каждого предыдущего корня значительно больше модуля последующего. Другими словами, предположим, что отношение любых двух соседних корней, считая в порядке убывания их номеров, есть величина, малая по модулю:

, (1.16)

где
и – малая величина. Такие корни называются отделенными.

(1.17)
где , ,…, – малые по модулю величины по сравнению с единицей. Пренебрегая в системе (1.17) величинами
, будем иметь приближенные соотношения

(1.18)
Откуда находим корни

(1.19)
Точность корней в системе равенств (1.20) зависит от того, насколько малы по модулю величины в соотношениях (1.16)

Чтобы добиться отделения корней, исходя из уравнения (1.3), составляют преобразованное уравнение


, (1.20)
корнями которого , ,…, являются m-e степени корней , ,…, уравнения (1.3).

Если все корни уравнения (1.3) различны и их модули удовлетворяют условию (1.17), то при достаточно большом m корни , ,…, уравнения (1.20) будут отделенными, т.к.



при
.
Очевидно, что достаточно построить алгоритм нахождения уравнения, корни которого будут квадратами корней заданного уравнения. Тогда можно будет получить уравнение, корни которого будут равны корням исходного уравнения в степени
.

1.3.2 Квадрирование корней

Многочлен (1.3) запишем в следующем виде

И умножим его на многочлен вида

Тогда получим

Сделав замену
и умножив на
, будет иметь
. (1.21)
Корни многочлена (1.21) связаны с корнями многочлена (1.3) следующим соотношением

.
Следовательно, интересующее нас уравнение есть
,
коэффициенты которого вычисляются по формуле (1.22)


, (1.22)
где предполагается, что
при
.

Применяя последовательно k раз процесс квадрирования корней к многочлену (1.3) , получим многочлен


, (1.23)
в котором
,
, и т.д.

При достаточно больших k можно добиться чтобы для корней уравнения (1.23) выполнялась система



(1.24)
Определим число k, для которого система (1.24) выполняется с заданной точностью.

Допустим, что нужное k уже достигнуто и равенства (1.24) выполняются с принятой точностью. Проделаем еще одно преобразование и найдем многочлен


,
для которого также выполнена система (1.24) при
.

Так как в силу формулы (1.22)



, (1.25)
то, подставив (1.25) в систему (1.24), получим, что абсолютные величины коэффициентов
должны быть в принятой точности равны квадратам коэффициентов
. Выполнение этих равенств и будет свидетельствовать о том, что необходимое значение k уже было достигнуто на k-м шаге.

Таким образом квадрирование корней уравнения (1.3) следует прекратить, если в принятой точности в правой части формулы (1.24) сохраняется только квадраты коэффициентов, а удвоенная сумма произведений окажется ниже границы точности.

Тогда действительные корни уравнения получаются отделенными и их модули находятся по формуле

(1.26)
Знак корня можно определить грубой прикидкой, подставив значения и
в уравнение (1.3).

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Задание 1


. (2.1)
Сначала установим количество действительных и комплексных корней в уравнении (2.1). Для этого воспользуемся теоремой Штурма.

Система Штурма для уравнения (2.1) будет иметь следующий вид:




Откуда получаем
Таблица 2.1.

Многочлен

Точки на действительной оси










+

+




–

+




–

–




–

+




–

–

Число перемен знаков

1

3

Таким образом, получаем, что число действительных корней в уравнении (2.1) равно
,
т.е. уравнение (2.1) содержит 2 действительных и два комплексных корня.

Для нахождения корней уравнения воспользуемся методом Лобачевского–Греффе для пары комплексно–сопряженных корней.

Произведем квадрирование корней уравнения. Вычисления коэффициентов производились по следующей формуле

, (2.2)
где

, (2.3)
а
считается равным 0 при
.

Результаты вычислений с восьмью значащими цифрами приведены в таблице 2.2


Таблица 2.2.

i

0

1

2

3

4







0

-3.8000000E+01

3.5400000E+02

3.8760000E+03

0




1

4.3000000E+01

7.1500000E+02

4.8370000E+03

1.0404000E+04







0

-1.4300000E+03

-3.9517400E+05

-1.4877720E+07

0




1

4.1900000E+02

1.1605100E+05

8.5188490E+06

1.0824322E+08







0

-2.3210200E+05

-6.9223090E+09

-2.5123467E+13

0




1

-5.6541000E+04

6.5455256E+09

4.7447321E+13

1.1716594E+16







0

-1.3091051E+10

5.3888712E+18

-1.5338253E+26

0




1

-9.8941665E+09

4.8232776E+19

2.0978658E+27

1.3727857E+32







0

-9.6465552E+19

4.1513541E+37

-1.3242653E+52

0




1

1.4289776E+18

2.3679142E+39

4.3877982E+54

1.8845406E+64







0

-4.7358285E+39

-1.2540130E+73

-8.9248610+103

0




1

-4.7337865E+39

5.6070053E+78

1.9252683+109

3.5514932+128







0

-1.1214011E+79

1.8227619+149

-3.9826483+207

0




1

1.1194724E+79

3.1438509+157

3.7066582+218

1.2613104+257

Как видно из таблицы 2.2 на 7-м шаге корни , (считая в порядке убывания модулей) можно считать отделенными. Модули корней находим по формуле (1.27) и грубой прикидкой определяем их знак:

Так как преобразованный коэффициент при меняет знак, то данное уравнение имеет комплексные корни, которые определяются из уравнения (1.31) с использованием формул (1.29) и (1.30):

i.

2.2 Задание 2

Методом Лобачевского–Греффе решить уравнение:
. (2.4)
Для начала с помощью теоремы Штурма определим количество действительных и комплексных корней в уравнении (2.2).

Для данного уравнения система Штурма имеет вид



Откуда получаем


Таблица 2.3.

Многочлен

Точки на действительной оси







+

+



–

+



+

+



–

+



–

–

Число перемен знаков

3

1

Таким образом, получаем, что число действительных корней в уравнении (2.2) равно


,
т.е. уравнение (2.2) содержит 2 действительных и два комплексных корня.

Для приближенного нахождения корней уравнения воспользуемся методом Лобачевского–Греффе для пары комплексно–сопряженных корней.

Произведем квадрирование корней уравнения. Вычисления коэффициентов произведем по формулам (2.2) и (2.3) .

Результаты вычислений с восьмью значащими цифрами приведены в таблице 2.4


Таблица 2.4.
-1.8886934E+24 4.6649263E+47 i.
Относительная погрешность корней, вычисленная по формуле (1.28) равна
,

.

2.4 Анализ полученных результатов

Из полученных при решении уравнений (2.1) и (2.4) уравнений можно судить о следующих особенностях метода Лобачевского–Греффе.

С помощью рассматриваемого метода можно найти все корни многочлена с достаточно высокой точностью, при не большом количестве итераций.

Величина погрешности полученных корней в высокой степени зависит от отделенности корней в исходном многочлене, так, например, в уравнении (2.1) минимальная разность между различными по модулю корнями равна
и
в уравнении (2.4), что в результате дает погрешности разных порядков (4.52958089E–11 и 4.22229789E-06 соответственно) при одинаковом количестве итераций.

Таким образом, метод Лобачевского–Греффе дает хорошую точность при отделенных корнях, и значительно теряет при кратных или близких по модулю корнях.

ВЫВОД

Метод Лобачевского–Греффе, который был рассмотрен в данном проекте, имеет простую схему вычислений и позволяет с помощью Excel найти с большой точностью модулю всех корней алгебраического уравнения,

Метод Лобачевского–Греффе один из самых эффективных методов вычислений, который при небольшом количестве итераций дает результат с довольно хорошей точностью, поэтому сфера использования этого метода на практике очень широкая. Методом можно пользоваться при построении математических моделей химических и физических процессов, в методах оптимизации.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. В.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики.– М.: Наука, 1966.–664с.

2. В.Л. Загускин. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений.– М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.–216с.

3. В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырский. Вычислительные методы высшей математики.–Минск: Вышэйшая школа, 1972, т. 1.–584с.

4. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры.–М.: Наука,1971,–432с.

5. Ю.И. Рыжиков. Программирование на Фортране PowerStation для инженеров. Практическое руководство.–СПб.: КОРОНА принт, 1999.–160с.


i

0

1

2

3

4





0

-9.2000000E+00

-3.3300000E+01

1.3800000E+02

0