Кратные корни многочлена. Кратные корни многочлена Что такое корень многочлена

Если число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т.е. на (х-с) k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко.

Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится на (х-с) k, k>1 (k - натуральное число), но не делится на (х-с) k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, - кратным корнем многочлена f (x).

В дальнейшем при определении кратности корней нам будет полезно следующее предложение.

Если многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) mg (x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g (x) делится на х-с. В самом деле, если g (x) делится на х-с, т.е. g (x) = (x-c) s (x), то f (x) = (x-c) m+1s (x), а значит, f (x) делится на (х-с) m+1.

Обратно, если f (x) делится на (х-с) m+1, то f (x) = (x-c) m+1s (x). Тогда (x-c) mg (x) = (x-c) m+1s (x) и после сокращения на (х-с) m получим g (x) = (x-c) s (x). Отсюда следует, что g (x) делится на х-с.

А сейчас вернемся к понятию кратности корня. Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x5-5x4+3x3+22x2-44x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем:

Таблица 4

Получили, что g (x) делится на х-2 и g (x) = (x-2) (x3-x2-5x+6). Тогда f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x+6).

Итак, f (x) делится на (х-2) 2, теперь нужно выяснить, делится ли f (x) на (x-2) 3.

Для этого проверим, делится ли h (x) =x3-x2-5x+6 на х-2:

Таблица 6

Находим, что остаток при делении s (x) на х-2 равен 3, т.е. s (x) не делится на х-2. Значит, f (x) не делится на (х-2) 4.

Таким образом, f (x) делится на (х-2) 3, но не делится на (х-2) 4. Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f (x).

Обычно проверку корня на кратность выполняют в одной таблице. Для данного примера эта таблица имеет следующий вид:

Таблица 8

Другими словами, по схеме Горнера деление многочлена f (x) на х-2, во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g (x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g (x) на х-2 и т.д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f (x) на (x-2) 3. Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую задачу. При каких a и b многочлен f (x) =x4+2x3+ax2+ (a+b) x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2?

Так как кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем:

Таблица 9

Таким образом, число - 2 является корнем кратности 2 исходного многочлена тогда и только тогда, когда

Отсюда получаем: a=-7/2, b=-5/2.

Если функция f(х) является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию

где v - вектор, составленный из коэффициентов полинома.

Поскольку полином n-й степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из n+1 элемента. Результатом действия функции polyroots() является вектор, составленный из n корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root(). Пример поиска корней полинома четвертой степени показан на рис. 4. 6:

Рис. 4.6. Поиск корня полинома

Коэффициенты рассматриваемого в примере полинома записаны в виде вектора-столбца начиная со свободного члена и кончая коэффициентом при старшей степени x n .

Для функции polyroots() можно выбрать один из двух численных методов - метод полиномов Лаггера (он установлен по умолчанию) или метод парной матрицы. Чтобы сменить метод необходимо вызвать контекстное меню, щелкнув ПКМ на слове polyroots и в верхней части контекстного меню выбрать либо пункт LaGuerre (Лаггера), либо Companion Matrix (Парная матрица). Затем нужно щелкнуть вне действия функции polyroots – и если включен режим автоматических вычислений, будет произведен пересчет корней полинома в соответствии с вновь выбранным методом.

Для того чтобы оставить за Mathcad’ом выбор метода решения, нужно установить флажок AutoSelect (Автоматический выбор), выбрав одноименный пункт в том же самом контекстном меню.

Решение систем нелинейных уравнений

Рассмотрим решение системы n нелинейных уравнений с m неизвестными

f 1 (x 1 ,... ,х m) = 0,

f n (x 1 ,... ,х m) = 0,

Здесь f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) - некоторые скалярные функции от скалярных переменных x 1 ,... ,х m и, возможно, от еще каких-либо переменных. Уравнений может быть как больше, так и меньше числа переменных. Заметим, что вышеприведенную систему можно формально переписать в виде

где х - вектор, составленный из переменных x 1 ,... ,х m , a f (х) - соответствующая векторная функция.

Для решения систем имеется специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

Given - ключевое слово;

Система, записанная с помощью Булевых операторов в виде равенств и, возможно, неравенств;

Find(x 1 ,... ,х m) - встроенная функция для решения системы относительно переменных x 1 ,... ,х m .

Блок Given/Find использует для поиска решения итерационные методы, поэтому, как и для функции root(), требуется задать начальные значения для всех x 1 ,... ,х m . Сделать это необходимо до написания ключевого слова Given. Значение функции Find есть вектор, составленный из решения по каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора равно число аргументов Find.

Рассмотрим пример. Решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

с точностью 0.01. Корни отделить графически.

Представим уравнения системы в виде следующих функций от одной переменной:

Подберем дискретные значения переменных:

Найдем корни уравнения с помощью блока Given – Find():

На рис. 4.7 приведен другой пример решения системы двух уравнений:

Рис. 4.7. Решение системы уравнений

Вначале рис. 4.7 вводятся функции, которые определяют систему уравнений. Затем переменным х и у, относительно которых она будет решаться, присваиваются начальные значения. После этого следует ключевое слово Given и два Булевых оператора равенства, выражающих рассматриваемую систему уравнений. Завершает вычислительный блок функция Find, значение которой присваивается вектору v. После печатается содержимое вектора v, т. е. решение системы. Первый элемент вектора есть первый аргумент функции Find, второй элемент - ее второй аргумент. В конце осуществлена проверка правильности решения уравнений. Заметим, что уравнения можно определить непосредственно внутри вычислительного блока.

Графическая интерпретация рассмотренной системы представлена на рис. 4.8. Каждое из уравнений показано на плоскости xy графиком. Первое уравнение изображено кривой, второе сплошной прямой. Две точки пересечения кривых соответствуют одновременному выполнению обоих уравнений, т. е. искомым действительным корням системы. Как нетрудно убедиться, на рис. 4.7 найдено только одно из двух решений - находящееся в правой нижней части графика Чтобы отыскать и второе решение, следует повторить вычисления, изменив начальные значения так, чтобы они лежали ближе к другой точке пересечения графиков, например x=-1, y=-1.

Рис. 4.8. Графическое решение системы двух уравнений

Был рассмотрен пример системы из двух уравнений и таким же числом неизвестных, что встречается наиболее часто. Однако бывают случаи, когда число уравнений и неизвестных может не совпадать. Более того, в вычислительный блок можно добавить дополнительные условия в виде неравенств. Например, введение ограничения на поиск только отрицательных значений х в рассмотренном выше примере приведет к нахождению другого решения, как это показано на рис. 4.9:

Рис. 4.9. Решение системы уравнений и неравенств

Несмотря на те же начальные значения, что и на рис. 4.8, на рис. 4.9 получен другой корень. Это произошло именно благодаря введению дополнительного неравенства, которое определено в блоке Given (x < 0).

Если предпринять попытку решить несовместимую систему, Mathcad выдаст сообщение об ошибке, что ни одного решения не найдено, и нужно попробовать поменять начальные значения или значение погрешности.

В качестве оценки погрешности решения уравнений, введенных после ключевого слова Given, вычислительный блок использует константу CTOL. Например, если CTOL=0.001, то уравнение х=10 будет считаться выполненным и при х=10.001, и при х=9.999. Другая константа TOL определяет условие прекращения итераций численным алгоритмом. Значение CTOL может быть задано пользователем так же как и TOL, например, CTOL:=0.01. По умолчанию принято, что CTOL=TOL=0.001, но по желанию можно их переопределить.

Особенную осторожность следует соблюдать при решении систем с числом неизвестных большим, чем число уравнений. Например, можно удалить одно из двух уравнений из рассмотренного нами рис. 4.7, попытавшись решить единственное уравнение g(х,у)=0 с двумя неизвестными х и у. В такой постановке задача имеет бесконечное множество корней: для любого х и, соответственно, у=-х/2 условие, определяющее единственное уравнение, выполнено. Однако, даже если корней бесконечно много, численный метод будет производить расчеты только до тех пор, пока логические выражения в вычислительном блоке не будут выполнены (в пределах погрешности). После этого итерации будут остановлены и выдано решение. В результате будет найдена всего одна пара значений (х,у), обнаруженная первой.

Вычислительным блоком с функцией Find можно найти и корень уравнения с одним неизвестным. Действие Find в этом случае совершенно аналогично уже рассмотренным в данном разделе примерам. Задача поиска корня рассматривается как решение системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа, возвращаемого функцией Find(). Пример решения уравнения из предыдущего раздела приведен на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Поиск корня уравнения с одним неизвестным с помощью функции Find().

Mathcad предлагает три различных вида градиентных методов для решения системы нелинейных уравнений с помощью блока Given – Find(). Чтобы поменять численный метод, необходимо:

Щелкнуть правой кнопкой мыши на названии функции Find;

Выбрать пункт Nonlinear (Нелинейный) в появившемся контекстном меню;

Выбрать один из трех методов: Conjugate Gradient (Сопряженных градиентов, установлен по умолчанию), Quasi-Newton (Квази-Ньютоновский) или Levenberg-Marquardt (Левенберга).

Свойства

где - (в общем случае комплексные) корни многочлена , возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем .

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро , Никколо Тарталья и Джероламо Кардано . Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени .

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году . Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции - эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера , причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы , например, метод секущих , метод бисекции , метод Ньютона . Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма .

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Канализация
Словарь терминов вексиллологии

Смотреть что такое "Корень многочлена" в других словарях:

Корень алгебраического уравнения

Корень уравнения - Корень многочлена над полем k элемент, который после подстановки его вместо x обращает уравнение в тождество. Свойства Если c является корнем многочлена p(x … Википедия

Корень Бринга - Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения. В алгебре корень Бринга или ультрарадикал это аналитическая функция, такая что для… … Википедия

Корень (значения) - Корень: В Викисловаре есть статья «корень» Корень (в ботанике) вегетативный осевой подземный орган растения, обладающий сп … Википедия

Корень (в математике) - Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …

Корень - I Корень (radix) один из основных вегетативных органов листостебельных растений (за исключением мхов), служащий для прикрепления к субстрату, поглощения из него воды и питательных веществ, первичного превращения ряда поглощаемых веществ,… … Большая советская энциклопедия

КОРЕНЬ - 1) К. степени n из числа a число n я степень х п к рого равна а. 2) К. алгебраического уравнения над полем К элемент к рый после подстановки его вместо хобращает уравнение в тождество. К. этого уравнения наз. также и К. многочлена Если сявляется… … Математическая энциклопедия

Кратный корень - многочлена f (x) = a0xn + a1xn 1 +... + an, число с такое, что f (x) делится без остатка на вторую или более высокую степень двучлена (х с). При этом с называют корнем кратности, если f (x) делится на (х с) k, но не… … Большая советская энциклопедия

Сопряжённый корень - Если задан некоторый неприводимый многочлен над кольцом и выбран некоторый его корень в расширении, то сопряженным корнем для данного корня многочлена называется любой корень многочлена … Википедия

Квадратный корень из 2 - равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из числа 2 положительное … Википедия

Схема деления углом

Деление многочленов

Деление с остатком . Теорема . Если P(x) и S(x) 0 - два многочлена, то существует и притом единственная пара многочленов Q(x) и R(x), которая удовлетворяет соотношениям: 1) , 2) либо степень R(x) меньше или равна степени S(x), либо R(x) = 0.

Q(x) - называется частным, а R(x) - остатком.

Пример 1 . , . Найти частное и остаток от деления многочлена P(x) на S(x).

Ответ : частное , остаток .

Пример 2 . Найти частное и остаток при делении на .

Ответ : частное равно ; остаток равен нулю.

Теорема . Многочлен P(x) делится на многочлен S(x) в том случае, если остаток при делении P(x) на S(x) равен нулю .

Из теоремы следует, чтобы выяснить, делится ли многочлен P(x) на S(x), можно выполнить деление углом и найти остаток. Если остаток равен нулю, то многочлен P(x) делится на многочлен S(x).

Пример 3 . Установить делится ли многочлен

на многочлен ?

Разделим "уголком" многочлен P(x) на S(x). В результате мы получим, что частное равно , а остаток равен нулю. Значит многочлен P(x) делится на многочлен S(x).

Пусть c - некоторое действительное число (в общем случае, комплексное число). Значением многочлена P(x) при x = c называется число, которое получается, при подстановке вместо x в данный многочлен и выполнении действий.

Если , тогда значение этого многочлена при x = c обозначается через P(c): .

Пример 1 . Значение многочлена P(x) = при x = 2 равно:

при x = 0, P(0) = -5; при x = 1, P(1) = 3 - 2 + 4 - 5 = 0.

Таким образом, при x = 0 значение многочлена равно свободному члену:

при x = 1 значение многочлена равно сумме его коэффициентов:

Определение . Если при значение многочлена равно нулю, , тогда называется корнем многочлена P(x).

Пример 1 . Задан многочлен . При x = 2 значение этого многочлена равно нулю, , значит x = 2 является корнем многочлена S(x).

Тот факт, что при x = 1 значение многочлена равно сумме его коэффициентов используется в обратном порядке: если сумма коэффициентов многочлена равна нулю, тогда x = 1 - корень этого многочлена.

Определение . Если стоит задача найти все значения переменной x, при которых многочлен f(x) равен нулю, то говорят, что надо решить уравнение f(x) = 0.

Выделим особенно, что решить уравнение - значит найти все его корни.

Таким образом, алгебраическим уравнением называется уравнение f(x) = 0, где f(x) - некоторый многочлен. Если f(x) - многочлен n-й степени, то уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени .

При решении алгебраических уравнений полезна следующая теорема (называемая теоремой Безу).

Теорема 1 . Остаток от деления многочлена f(x) на x - a равен f(a) (т. е. равен значению этого многочлена при x = a).

Доказательство

Произведём деление с остатком многочлена f(x) на x - a:

где остаток r(x), если он не равен нулю, является многочленом, степень которого меньше степени делителя x - a, т. е. равна нулю. Поэтому r(x) = r является числом :

Чтобы найти число r, положим в этом равенстве x = a. Тогда, получим f(a) = r, что и доказывает теорему.

Следствие . Если a - корень многочлена f(x), то этот многочлен делится на .

Пример 1 . Дан многочлен . Нетрудно видеть, что 1 - корень этого многочлена, в самом деле: , значит, по следствию из теоремы многочлен должен делиться на x - 1.

Разделим "уголком" многочлен на x - 1:

Остаток равен нулю, значит, многочлен делится на x - 1.

Теорема 2 . Если все коэффициенты многочлена

являются целыми числами, то всякий целый корень этого многочлена является делителем свободного члена .

Доказательство

Пусть c - целый корень многочлена f(x), т. е.

Так как число, стоящее в скобках, является целым (так как все коэффициенты целые, по условию), то делится на c.

Доказанная теорема значительно облегчает отыскание целых корней многочленов с целыми коэффициентами.

1 . Надо найти и выписать все делители свободного члена (положительные и отрицательные).

2 . Проверить (можно подстановкой), какие из них являются корнями данного многочлена.

3 . Если ни один делитель свободного члена не обращает многочлен в нуль, то этот многочлен целых корней не имеет.

Пример 1 . Решить уравнение .

1. Найдем делители свободного члена 12: .

2. Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди этих делителей, проверим это. Многочлен в левой части уравнения обозначим f(x).

f(1) = 24, значит 1 не является корнем уравнения;

f(-1) = -24, значит -1 не является корнем уравнения;

f(2) = 0, значит 2 является корнем уравнения.

3. По теореме Безу, многочлен f(x) делится на x - 2. Производя деление "уголком", находим: .

Для нахождения остальных корней нужно решить уравнение

Снова повторяем предыдущий процесс.

1. Выписываем делители свободного члена 6: .

2. Проверяем их. Числа 1 и -1 уже проверялись. Испытаем другие делители, подставляя их один за другим в многочлен .

g(2) = -40, значит 2 не является корнем многочлена g(x);

g(-2) = 12, -2 не является корнем;

g(3) = -48, 3 не является корнем;

g(-3) = 0, значит -3 является корнем многочлена g(x).

По теореме Безу, он делится на x + 3. В результате деления получаем:

Чтобы найти другие корни, если они существуют, решим квадратное уравнение .

Таким образом, исходное уравнение четвёртой степени имеет четыре корня.

Ответ : , , , .

Замечание . Порой бывает нелегко проверять предполагаемые корни многочлена или вычислять его значение, особенно, если многочлен высокой степени и проверяемые числа большие.

Для облегчения этого процесса существует схема Горнера.

K - это элемент c ∈ K {\displaystyle c\in K} (либо элемент расширения поля K), такой, что выполняются два следующих равносильных условия: a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 {\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0}

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу . В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень c {\displaystyle c} имеет кратность m {\displaystyle m} , если рассматриваемый многочлен делится на (x − c) m {\displaystyle (x-c)^{m}} и не делится на (x − c) m + 1 . {\displaystyle (x-c)^{m+1}.} Например, многочлен x 2 − 2 x + 1 {\displaystyle x^{2}-2x+1} имеет единственный корень, равный 1 , {\displaystyle 1,} кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Свойства

P (x) = a n (x − c 1) (x − c 2) … (x − c n) , {\displaystyle p(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),} где - (в общем случае комплексные) корни многочлена , возможно с повторениями, при этом если среди корней c 1 , c 2 , … , c n {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}} многочлена p (x) {\displaystyle p(x)} встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем .

Нахождение корней

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов, было доказано норвежским математиком