Одномерная дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, разделенных также одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками (рис. 9.6).
Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.
Обозначим: b – ширина щели решетки; а – расстояние между щелями; – постоянная дифракционной решетки .
Линза собирает все лучи, падающие на нее под одним углом и не вносит никакой дополнительной разности хода.
 |  |
| Рис. 9.6 | Рис. 9.7 |
Пусть луч 1 падает на линзу под углом φ (угол дифракции ). Световая волна, идущая под этим углом от щели, создает в точке максимум интенсивности. Второй луч, идущий от соседней щели под этим же углом φ, придет в ту же точку . Оба эти луча придут в фазе и будут усиливать друг друга, если оптическая разность хода будет равна m λ:
Условие максимума для дифракционной решетки будет иметь вид:
| , | (9.4.4) |
где m = ± 1, ± 2, ± 3, … .
Максимумы, соответствующие этому условию, называются главными максимумами . Значение величины m , соответствующее тому или иному максимуму называется порядком дифракционного максимума.
В точке F 0 всегда будет наблюдаться нулевой или центральный дифракционный максимум .
Так как свет, падающий на экран, проходит только через щели в дифракционной решетке, то условие минимума для щели и будет условием главного дифракционного минимума для решетки :
| . | (9.4.5) |
Конечно, при большом числе щелей, в точки экрана, соответствующие главным дифракционным минимумам, от некоторых щелей свет будет попадать и там будут образовываться побочные дифракционные максимумы и минимумы (рис. 9.7). Но их интенсивность, по сравнению с главными максимумами, мала (≈ 1/22).
При условии 
,
волны, посылаемые каждой щелью, будут гаситься в результате интерференции и появятся дополнительные минимумы .
Количество щелей определяет световой поток через решетку. Чем их больше, тем большая энергия переносится волной через нее. Кроме того, чем больше число щелей, тем больше дополнительных минимумов помещается между соседними максимумами. Следовательно, максимумы будут более узкими и более интенсивными (рис. 9.8).
Из (9.4.3) видно, что угол дифракции пропорционален длине волны λ. Значит, дифракционная решетка разлагает белый свет на составляющие, причем отклоняет свет с большей длиной волны (красный) на больший угол (в отличие от призмы, где все происходит наоборот).
Дифракционный спектр - Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции (это явление приведено на нижнем рис.). Основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а его яркость уменьшается (это, естественно, относится и к другим максимумам). Наоборот, чем щель шире (), тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При в центре получается резкое изображение источника света, т.е. имеет мет прямолинейное распространение света. Эта картина будет иметь место только для монохроматического света. При освещении щели белым светом, центральный максимум будет иметь место белой полоски, он общий для всех длин волн (при разность хода равна нулю для всех).
Из соотношения d sinj = ml видно, что положения главных максимумов, кроме центрального (m = 0), в дифракционной картине от щелевой решетки зависят от длины волны используемого света l . Поэтому если решетка освещается белым или другим немонохроматическим светом, то для разных значений l все дифракционные максимумы, кроме центрального, окажутся пространственно разделенными. В результате в дифракционной картине решетки, освещаемой белым светом, центральный максимум будет иметь вид белой полосы, а все остальные – радужных полос, называемых дифракционными спектрами первого (m = ± 1), второго (m = ± 2) и т.д. порядков. В спектрах каждого порядка наиболее отклоненными будут красные лучи (с большим значением l , так как sinj ~ 1 / l ), а наименее – фиолетовые (с меньшим значением l ). Спектры получаются тем более четкими (в смысле разделения цветов), чем больше щелей N содержит решетка. Это следует из того, что линейная полуширина максимума обратно пропорциональна числу щелей N ). Максимальное число наблюдаемых дифракционных спектров определяется соотношением (3.83). Таким образом, дифракционная решетка производит разложение сложного излучения на отдельные монохроматические составляющие, т.е. проводит гармонический анализ падающего на него излучения.
Свойство дифракционной решетки разлагать сложное излучение на гармонические составляющие используется в спектральных аппаратах – приборах, служащих для исследования спектрального состава излучения, т.е. для получения спектра излучения и определения длин волн и интенсивностей всех его монохроматических компонент. Принципиальная схема спектрального аппарата приведена на рис. 6. Свет от исследуемого источника попадает на входную щель S прибора, находящуюся в фокальной плоскости коллиматорного объектива L 1 . Образующаяся при прохождении через коллиматор плоская волна падает на диспергирующий элемент D , в качестве которого используется дифракционная решетка. После пространственного разделения лучей диспергирующим элементом выходной (камерный) объектив L 2 создает монохроматическое изображение входной щели в излучении разных длин волн в фокальной плоскости F . Эти изображения (спектральные линии) в своей совокупности и составляют спектр исследуемого излучения.
Как спектральный прибор дифракционная решетка характеризуется угловой и линейной дисперсией, свободной областью дисперсии и разрешающей способностью. Как спектральный прибор дифракционная решетка характеризуется угловой и линейной дисперсией, свободной областью дисперсии и разрешающей способностью.
Угловая дисперсия D j характеризует изменение угла отклонения j луча при изменении его длины волны l и определяется как
D j = dj / dl ,
где dj - угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на dl . Дифференцируя соотношение d sinj = ml , получим d cosj ×j¢ l = m , откуда
D j = j¢ l = m / d cosj .
В пределах небольших углов cosj @ 1, поэтому можно положить
D j @ m / d .
Линейная дисперсия определяется выражением
D l = dl / dl ,
где dl – линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны dl .
Из рис. 3.24 видно, что dl = f 2 dj , где f 2 – фокусное расстояние объектива L 2 . С учетом этого получаем соотношение, связывающее угловую и линейную дисперсии:
D l = f 2 D j .
Спектры соседних порядков могут перекрываться. Тогда спектральный аппарат становится непригодным для исследования соответствующего участка спектра. Максимальная ширина Dl спектрального интервала исследуемого излучения, при которой спектры соседних порядков еще не перекрываются, называется свободной областью дисперсии или дисперсионной областью спектрального аппарата. Пусть длины волн падающего на решетку излучения лежат в интервале от l до l + Dl . Максимальное значение Dl , при котором перекрытия спектров еще не происходит, можно определить из условия наложения правого конца спектра m -го порядка для длины волны l + Dl на левый конец спектра
(m + 1)-го порядка для длины волны l , т.е. из условия
d sinj = m (l + Dl ) = (m + 1)l ,
Dl = l / m .
Разрешающая способность R спектрального прибора характеризует способность прибора давать раздельно две близкие спектральные линии и определяется отношением
R = l / d l ,
где d l – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются как раздельные спектральные линии. Величину d l называют разрешаемым спектральным расстоянием. Вследствие дифракции на действующем отверстии объектива L 2 каждая спектральная линия изображается спектральным аппаратом не в виде линии, а в виде дифракционной картины, распределение интенсивности в которой имеет вид sinc 2 -функции. Так как спектральные линии с различ-
ными длинами волн не когерентны, то результирующая дифракционная картина, создаваемая такими линиями, будет представлять собой простое наложение дифракционных картин от каждой щели в отдельности; результирующая интенсивность будет равна сумме интенсивностей обеих линий. Согласно критерию Рэлея, спектральные линии с близкими длинами волн l и l + d l считаются разрешенными, если они находятся на таком расстоянии d l , что главный дифракционный максимум одной линии совпадает по своему положению с первым дифракционным минимумом другой линии. В этом случае на кривой суммарного распределения интенсивности (рис. 3.25) образуется провал (глубиной, равной 0,2I 0 , где I 0 – максимальная интенсивность, одинаковая для обеих спектральных линий), что и позволяет глазу воспринимать такую картину как двойную спектральную линию. В противном случае две близко расположенные спектральные линии воспринимаются как одна уширенная линия.
Положение m -го главного дифракционного максимума, соответствующего длине волны l , определяется координатой
x¢ m = f tgj @ f sinj = ml f / d .
Аналогично находим и положение m -го максимума, соответствующего длине волны l + d l :
x¢¢ m = m (l + d l ) f / d .
При выполнении критерия Рэлея расстояние между этими максимумами составит
Dx = x¢¢ m - x¢ m = md l f / d
равно их полуширине d x =l f / d (здесь, как и выше, полуширину мы определяем по первому нулю интенсивности). Отсюда находим
d l = l / (mN ),
и, следовательно, разрешающая способность дифракционной решетки как спектрального прибора
Таким образом, разрешающая способность дифракционной решетки пропорциональна числу щелей N и порядку спектра m . Положив
m = m max @ d / l ,
получим максимальную разрешающую способность:
R max = (l /d l ) max = m max N @ L / l ,
где L = Nd – ширина рабочей части решетки. Как видим, максимальная разрешающая способность щелевой решетки определяется только шириной рабочей части решетки и средней длиной волны исследуемого излучения. Зная R max , найдем минимально разрешимый интервал длин волн:
(d l ) min @ l 2 / L.
Распространение луча в оптически однородной среде — прямолинейное, однако в природе существует ряд явлений, где можно наблюдать отклонение от этого условия.
Дифракция – явление огибания световыми волнами встреченных препятствий. В школьной физике изучаются две дифракционные системы (системы, при прохождении луча в которых наблюдается дифракция):
- дифракция на щели (прямоугольном отверстии)
- дифракция на решётке (набор равноотстоящих друг от друга щелей)
— дифракция на прямоугольном отверстии (рис. 1).
Рис. 1. Дифракция на щели
Пусть дана плоскость со щелью, шириной , на которую под прямым углом падает пучок света А. Большинство света проходит на экран, однако часть лучей дифрагирует на краях щели (т.е. отклоняется от своего первоначального направления). Далее эти лучи друг с другом с образованием дифракционной картины на экране (чередование ярких и тёмных областей). Рассмотрение законов интерференции достаточно сложно, поэтому ограничимся основными выводами.
Полученная дифракционная картина на экране состоит из чередующихся областей с дифракционными максимумами (максимально светлыми областями) и дифракционными минимумами (максимально тёмными областями). Эта картина симметрична относительно центрального светового пучка. Положение максимумов и минимумов описывается углом относительно вертикали, под которым они видны, и зависит от размера щели и длины волны падающего излучения. Положение этих областей можно найти используя ряд соотношений:
- для дифракционных максимумов
Нулевым максимумом дифракции называется центральная точка на экране под щелью (рис. 1).
- для дифракционных минимумов
Вывод : по условиям задачи необходимо выяснить: максимум или минимум дифракции необходимо найти и использовать соответствующее соотношение (1) или (2).
Дифракция на дифракционной решётке.
Дифракционной решёткой называется система, состоящая из чередующихся щелей, равноотстоящих друг от друга (рис. 2).
Рис. 2. Дифракционная решётка (лучи)
Так же, как и для щели, на экране после дифракционной решётки будет наблюдаться дифракционная картина: чередование светлых и тёмных областей. Вся картина есть результат интерференции световых лучей друг с другом, однако на картину от одной щели будет воздействовать лучи от других щелей. Тогда дифракционная картина должна зависеть от количества щелей, их размеров и близкорасположенности.
Введём новое понятие — постоянная дифракционной решётки :
Тогда положения максимумов и минимумов дифракции:
- для главных дифракционных максимумов (рис. 3)
© 2015 сайт
Дифракция – это оптическое явление, ограничивающее резкость фотографии при уменьшении относительного отверстия объектива. В отличие от прочих оптических аберраций , дифракция принципиально неустранима, универсальна и в равной степени свойственна всем без исключения фотографическим объективам вне зависимости от их качества и стоимости.
Дифракцию можно увидеть только при 100% увеличении. Обратите внимание, как с ростом диафрагменного числа изображение становится всё менее резким.
| f/4 | |
 |
f/5,6 |
 |
f/8 |
 |
f/11 |
 |
f/16 |
 |
f/22 |
Природа дифракции
При прохождении света через отверстие диафрагмы основная часть световых волн продолжает двигаться прямолинейно. Однако те волны, путь которых пролегает близ самого края диафрагмы, отклоняются от своего первоначального направления, стремясь обогнуть препятствие, возникшее у них на пути. Чем меньше размер отверстия диафрагмы, тем больший процент лучей касается его края, и тем сильнее рассеивается свет. Вследствие дифракции световых волн изображение точечного источника света приобретает вид не точки (как это было бы в идеальной оптической системе), а размытого пятна, которое называется диском Эйри .
Не смотря на некоторое сходство диска Эйри с кружком рассеяния , возникающим при дефокусировке объектива, диск Эйри обладает тремя весьма характерными особенностями.
Во-первых, кружок нерезкости освещён более-менее равномерно, яркость же диска Эйри стремительно убывает по мере удаления от его центра.
Во-вторых, в отличие от кружка рассеяния, представляющего собой одинокое круглое пятно, диск Эйри окружён серией концентрических колец. Эти кольца возникают вследствие интерференции отклонившихся от первоначального пути световых волн друг с другом, а также с волнами, сохранившими прямолинейное направление. Вместе с диском Эйри кольца образуют характерный дифракционный узор, известный как узор Эйри. 85% освещённости приходится на сам диск Эйри, и 15% – на окружающие его кольца.
В-третьих, при диафрагмировании объектива диаметр кружка рассеяния уменьшается, в то время как диаметр диска Эйри, напротив, увеличивается. Соответственно, по мере уменьшения относительного отверстия (т.е. с ростом числа диафрагмы) глубина резко изображаемого пространства возрастает, но общая резкость фотографии падает.
Дифракция и разрешение фотоаппарата
Согласно критерию Рэлея, для того чтобы два соседствующих диска Эйри были визуально различимы, их радиус не должен превышать расстояния между центрами дисков. В противном случае диски воспринимаются как одна точка. Поскольку при неизменной длине световой волны радиус диска Эйри зависит исключительно от величины диафрагмы, то для любого расстояния между дисками существует некое максимальное значение диафрагмы, по достижении которого диски увеличиваются настолько, что сливаются воедино.
Какое это имеет отношение к цифровой фотографии? Самое непосредственное. Две теоретические точки могут быть различимы на снимке лишь при условии, что расстояние между ними не меньше расстояния между центрами двух соседних пикселей матрицы. Если две точки являются дисками Эйри (а в действительности иначе быть и не может), то при определённом значении диафрагмы они всё равно перестанут быть различимыми из-за эффекта дифракции. Таким образом, потенциальное разрешение системы ограничено с одной стороны плотностью пикселей матрицы, а с другой – величиной относительного отверстия диафрагмы.
Значение диафрагмы, при котором радиус диска Эйри равен размеру пикселя матрицы конкретной цифровой фотокамеры, называется дифракционно-ограниченным значением диафрагмы или просто дифракционно-ограниченной диафрагмой (калька с английского diffraction limited aperture – DLA). При диафрагменных числах больше дифракционно-ограниченного значения деградация изображения вследствие дифракции становится визуально различимой.
Значение дифракционно-ограниченной диафрагмы для любого цифрового фотоаппарата можно вычислить при помощи следующей формулы:
, где
K – дифракционно-ограниченная диафрагма;
n – размер пикселя матрицы в микрометрах (микронах);
λ – длина волны света в нанометрах.
Размер пикселя n (см. « ») соответствует предельному радиусу диска Эйри или, если хотите, дифракционному пределу оптической системы. За длину волны λ советую принимать 540 нм, поскольку как человеческий глаз, так и цифровая фотоматрица наиболее чувствительны именно к зелёному цвету. Для синего цвета дифракция будет выражена в меньшей степени, а для красного – в большей.
Для экономии вашего времени автор не поленился рассчитать значения дифракционно-ограниченной диафрагмы для матриц с различными параметрами и составить соответствующую таблицу. Используя эти или меньшие диафрагменные числа, вы можете быть уверены в том, что ваши снимки свободны от негативных последствий дифракции и что их нерезкость обусловлена либо изъянами фотооборудования, либо, что более вероятно, вашей собственной небрежностью.
Значения дифракционно-ограниченной диафрагмы в зависимости от разрешения камеры и её кроп-фактора.
Разрешение, Мп |
Кроп-фактор |
||||
| 1 * | 1,5 | 1,6 | 2 | 2,7 | |
| 10 | f/9,4 | f/8,8 | f/5,2 | ||
| 12 | f/12,9 | f/8,6 | f/8 | f/6,4 | |
| 14 | f/7,9 | f/4,4 | |||
| 16 | f/11,2 | f/7,4 | f/5,6 | ||
| 18 | f/10,5 | f/6,6 | f/3,9 | ||
| 20 | f/10 | f/6,7 | f/6,2 | f/3,7 | |
| 22 | f/9,5 | ||||
| 24 | f/9,1 | f/6,1 | f/5,7 | ||
| 28 | f/5,6 | ||||
| 36 | f/7,4 | ||||
| 42 | f/6,9 | ||||
| 50 | f/6,3 | ||||
* Кроп-фактор, равный единице, соответствует
полному кадру (36 × 24 мм).
Точность значений диафрагмы, приведённых в таблице, избыточна. Поскольку обычно диафрагму можно установить лишь с точностью до 1/3 ступени, выбирайте то реальное значение диафрагмы, которое ближе всего к теоретическому.
Слова «падение резкости» или «деградация изображения» звучат устрашающе, но на самом деле дифракция далеко не так страшна, как её малюют. Никто не запрещает вам пользоваться бо́льшими значениями диафрагмы, если в этом есть объективная необходимость. Весьма незначительное снижение резкости можно заметить невооружённым глазом лишь установив диафрагму на одну полную ступень больше дифракционно-ограниченного значения. Иногда резкость может даже возрасти (особенно это характерно для недорогих объективов), поскольку диафрагмирование уменьшает оптические аберрации, вызывающие замыливание изображения при съёмке с открытой диафрагмой. Если прикрыть диафрагму ещё на одну ступень, дифракция станет несколько более очевидной, но в целом качество изображения останется вполне приемлемым. И только отступив от дифракционно-ограниченной диафрагмы на три ступени, мы получим заметную потерю детализации. Но даже с этим можно смириться, если кадр требует особо большой глубины резкости. А вот от дальнейшего уменьшения относительного отверстия лучше всё-таки воздержаться.
Дифракция и объективы
Объектив, разрешающая способность которого ограничена преимущественно дифракцией, называется дифракционно-ограниченным. Это означает, что у данного объектива при данной диафрагме оптические аберрации устранены столь хорошо, что их вклад в деградацию изображения не превышает эффекта дифракции. Собственно, все наши теоретические рассуждения о дифракционном ограничении разрешения цифровых фотоаппаратов подразумевают использование именно таких идеальных объективов. На деле же очень немногие объективы являются дифракционно-ограниченными при полностью открытой диафрагме, и то лишь по центру кадра. Обычно для достижения оптимальной резкости приходится закрывать диафрагму на пару ступеней, после чего объектив таки имеет шанс стать дифракционно-ограниченным, но его разрешающая способность будет, конечно же, ниже чем у объектива, достигшего предела резкости при большем размере относительного отверстия.
Дифракция и фокусное расстояние
Существует достаточно распространённое заблуждение, будто бы дифракция зависит также от фокусного расстояния объектива. Ведь диафрагменное число – это отношение фокусного расстояния к диаметру отверстия диафрагмы, а значит при одном и том же значении диафрагмы физический размер отверстия у длиннофокусного объектива будет больше, чем у короткофокусного, а увеличение отверстия ведёт к уменьшению диска Эйри. Так-то оно так, но нельзя забывать и о том, что с увеличением фокусного расстояния объектива увеличивается и расстояние, которое должны пройти лучи света, коснувшиеся края диафрагмы и отклонившиеся от прямого пути, в результате чего рассеяние света с ростом фокусного расстояния усугубляется. Как следствие, положительный эффект от увеличения физического размера отверстия нейтрализуется отрицательным эффектом от увеличения фокусного расстояния. Так что, размер диска Эйри в действительности зависит только от величины относительного отверстия.
Удивительно то, что, вопреки теории, при использовании телеобъективов большие значения диафрагмы зачастую и вправду крадут резкость не столь откровенно, как при использовании широкоугольных объективов. Скорее всего, это можно объяснить тем, что съёмка с длиннофокусной оптикой очень часто сопряжена с острым недостатком глубины резкости, в связи с чем даже при сильном диафрагмировании объектива вред, причиняемый дифракцией, компенсируется увеличением ГРИП, что создаёт иллюзию повышения резкости. В то же время на малых фокусных расстояниях глубина резкости обычно не является проблемой даже при умеренных значениях диафрагмы, и потому чрезмерное диафрагмирование только ухудшает картинку.
Спасибо за внимание!
Василий А.
Post scriptum
Если статья оказалась для вас полезной и познавательной, вы можете любезно поддержать проект , внеся вклад в его развитие. Если же статья вам не понравилась, но у вас есть мысли о том, как сделать её лучше, ваша критика будет принята с не меньшей благодарностью.
Не забывайте о том, что данная статья является объектом авторского права. Перепечатка и цитирование допустимы при наличии действующей ссылки на первоисточник, причём используемый текст не должен ни коим образом искажаться или модифицироваться.
1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.
2. Дифракция света на щели в параллельных лучах.
3. Дифракционная решетка.
4. Дифракционный спектр.
5. Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора.
6. Рентгеноструктурный анализ.
7. Дифракция света на круглом отверстии. Разрешающая способность диафрагмы.
8. Основные понятия и формулы.
9. Задачи.
В узком, но наиболее употребительном смысле, дифракция света - это огибание лучами света границы непрозрачных тел, проникновение света в область геометрической тени. В явлениях, связанных с дифракцией, имеет место существенное отклонение поведения света от законов геометрической оптики. (Дифракция проявляется не только для света.)
Дифракция - волновое явление, которое наиболее отчетливо проявляется в том случае, когда размеры препятствия соизмеримы (одного порядка) с длиной волны света. С малостью длин видимого света связано достаточно позднее обнаружение дифракции света (16-17 вв.).
21.1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля
Дифракцией света называется комплекс явлений, которые обусловлены его волновой природой и наблюдаются при распространении света в среде с резкими неоднородностями.
Качественное объяснение дифракции дает принцип Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + Δt если известно его положение в момент времени t.
1. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка волнового фронта является центром когерентных вторичных волн. Огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени.
Поясним применение принципа Гюйгенса на следующем примере. Пусть на преграду с отверстием падает плоская волна, фронт которой параллелен преграде (рис. 21.1).
Рис. 21.1. Пояснение принципа Гюйгенса
Каждая точка волнового фронта, выделяемого отверстием, служит центром вторичных сферических волн. На рисунке видно, что огибающая этих волн проникает в область геометрической тени, границы которой помечены штриховой линией.
Принцип Гюйгенса ничего не говорит об интенсивности вторичных волн. Этот недостаток был устранен Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн и их амплитудах. Дополненный таким образом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса-Френеля.
2. Согласно принципу Гюйгенса-Фре- неля величина световых колебаний в некоторой точке О есть результат интерференции в этой точке когерентных вторичных волн, испускаемых всеми элементами волновой поверхности. Амплитуда каждой вторичной волны пропорциональна площади элемента dS, обратно пропорциональна расстоянию r до точки О и убывает при возрастании угла α между нормалью n к элементу dS и направлением на точку О (рис. 21.2).
Рис. 21.2.
Испускание вторичных волн элементами волновой поверхности
21.2. Дифракция на щели в параллельных лучах
Вычисления, связанные с применением принципа Гюйгенса- Френеля, в общем случае представляют собой сложную математическую задачу. Однако в ряде случаев, обладающих высокой степенью симметрии, нахождение амплитуды результирующих колебаний может быть выполнено алгебраическим или геометрическим суммированием. Продемонстрируем это путем расчета дифракции света на щели.
Пусть на узкую щель (АВ) в непрозрачной преграде падает плоская монохроматическая световая волна, направление распространения которой перпендикулярно поверхности щели (рис. 21.3, а). За щелью (параллельно ее плоскости) поместим собирающую линзу, в фокальной плоскости которой расположим экран Э. Все вторичные волны, испускаемые с поверхности щели в направлении, параллельном оптической оси линзы (α = 0), приходят в фокус линзы в одинаковой фазе. Поэтому в центре экрана (O) имеет место максимум интерференции для волн любой длины. Его называют максимумом нулевого порядка.
Для того чтобы выяснить характер интерференции вторичных волн, испущенных в других направлениях, разобьем поверхность щели на n одинаковых зон (их называют зонами Френеля) и рассмотрим то направление, для которого выполняется условие:
где b - ширина щели, а λ - длина световой волны.
Лучи вторичных световых волн, идущие в этом направлении, пересекутся в точке О".
Рис. 21.3.
Дифракция на одной щели: а - ход лучей; б - распределение интенсивности света (f - фокусное расстояние линзы)
Произведение bsina равно разности хода (δ) между лучами, идущими от краев щели. Тогда разность хода лучей, идущих от соседних зон Френеля, равна λ/2 (см. формулу 21.1). Такие лучи при интерференции взаимно уничтожаются, так как они имеют одинаковые амплитуды и противоположные фазы. Рассмотрим два случая.
1) n = 2k - четное число. В этом случае происходит попарное гашение лучей от всех зон Френеля и в точке О" наблюдается минимум интерференционной картины.
Минимум интенсивности при дифракции на щели наблюдается для направлений лучей вторичных волн, удовлетворяющих условию
Целое число k называется порядком минимума.
2) n = 2k - 1 - нечетное число. В этом случае излучение одной зоны Френеля останется непогашенным и в точке О" будет наблюдаться максимум интерференционной картины.
Максимум интенсивности при дифракции на щели наблюдается для направлений лучей вторичных волн, удовлетворяющих условию:
Целое число k называется порядком максимума. Напомним, что для направления α = 0 имеет место максимум нулевого порядка.
Из формулы (21.3) следует, что при увеличении длины световой волны угол, под которым наблюдается максимум порядка k > 0, возрастает. Это означает, что для одного и того же k ближе всего к центру экрана располагается фиолетовая полоса, а дальше всего - красная.
На рисунке 21.3, б показано распределение интенсивности света на экране в зависимости от расстояния до его центра. Основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. При увеличении порядка максимума его интенсивность быстро уменьшается. Расчеты показывают, что I 0:I 1:I 2 = 1:0,047:0,017.
Если щель освещена белым светом, то на экране центральный максимум будет белым (он общий для всех длин волн). Побочные максимумы будут состоять из цветных полос.
Явление, подобное дифракции на щели, можно наблюдать на лезвии бритвы.
21.3. Дифракционная решетка
При дифракции на щели интенсивности максимумов порядка k > 0 столь незначительны, что не могут быть использованы для решения практических задач. Поэтому в качестве спектрального прибора используется дифракционная решетка, которая представляет собой систему параллельных равноотстоящих щелей. Дифракционную решетку можно получить нанесением непрозрачных штрихов (царапин) на плоскопараллельную стеклянную пластину (рис. 21.4). Пространство между штрихами (щели) пропускает свет.
Штрихи наносятся на поверхность решетки алмазным резцом. Их плотность достигает 2000 штрихов на миллиметр. При этом ширина решетки может быть до 300 мм. Общее число щелей решетки обозначается N.
Расстояние d между центрами или краями соседних щелей называют постоянной (периодом) дифракционной решетки.
Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.
Ход лучей в дифракционной решетке представлен на рис. 21.5.
Пусть на решетку падает плоская монохроматическая световая волна, направление распространения которой перпендикулярно плоскости решетки. Тогда поверхности щелей принадлежат одной волновой поверхности и являются источниками когерентных вторичных волн. Рассмотрим вторичные волны, направление распространения которых удовлетворяет условию
После прохождения линзы лучи этих волн пересекутся в точке О".
Произведение dsina равно разности хода (δ) между лучами, идущими от краев соседних щелей. При выполнении условия (21.4) вторичные волны приходят в точку О" в одинаковой фазе и на экране возникает максимум интерференционной картины. Максимумы, удовлетворяющие условию (21.4), называются главными максимумами порядка k. Само условие (21.4) называют основной формулой дифракционной решетки.
Главные максимумы при дифракции на решетке наблюдаются для направлений лучей вторичных волн, удовлетворяющих условию: dsin α = ± κ λ; k = 0,1,2,...
Рис. 21.4.
Сечение дифракционной решетки (а) и ее условное обозначение (б)
Рис. 21.5.
Дифракция света на дифракционной решетке
По ряду причин, которые здесь не рассматриваются, между главными максимумами располагаются (N - 2) добавочных максимумов. При большом числе щелей их интенсивность ничтожно мала и все пространство между главными максимумами выглядит темным.
Условие (21.4), определяющее положения всех главных максимумов, не учитывает дифракцию на отдельной щели. Может получиться так, что для некоторого направления будут одновременно выполняться условие максимума для решетки (21.4) и условие минимума для щели (21.2). В этом случае соответствующий главный максимум не возникает (формально он есть, но его интенсивность равна нулю).
Чем больше число щелей в дифракционной решетке (N), тем большее количество световой энергии проходит через решетку, тем более интенсивными и более острыми будут максимумы. На рисунке 21.6 представлены графики распределения интенсивностей, полученные от решеток с разным числом щелей (N). Периоды (d) и ширина щелей (b) у всех решеток одинаковы.
Рис. 21.6.
Распределение интенсивностей при разных значениях N
21.4. Дифракционный спектр
Из основной формулы дифракционной решетки (21.4) видно, что угол дифракции α, под которым образуются главные максимумы, зависит от длины волны падающего света. Поэтому максимумы интенсивности, соответствующие различным длинам волн, получаются в различных местах экрана. Это и позволяет использовать решетку как спектральный прибор.
Дифракционный спектр - спектр, полученный с помощью дифракционной решетки.
При падении на дифракционную решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр. Положение максимума порядка k для света с длиной волны λ определяется формулой:
Чем больше длина волны (λ), тем дальше от центра отстоит k-й максимум. Поэтому фиолетовая область каждого главного максимума будет обращена к центру дифракционной картины, а красная - наружу. Заметим, что при разложении белого света призмой сильнее отклоняются фиолетовые лучи.
Записывая основную формулу решетки (21.4), мы указали, что k - целое число. Насколько велико оно может быть? Ответ на этот вопрос дает неравенство |sinα| < 1. Из формулы (21.5) найдем
где L - ширина решетки, а N - число штрихов.
Например, для решетки с плотностью 500 штрихов на мм d = 1/500 мм = 2х10 -6 м. Для зеленого света с λ = 520 нм = 520х10 -9 м получим k < 2х10 -6 /(520 х10 -9) < 3,8. Таким образом, для такой решетки (весьма средней) порядок наблюдаемого максимума не превышает 3.
21.5. Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора
Основная формула дифракционной решетки (21.4) позволяет определить длину волны света, измеряя угол α, соответствующий положению k-го максимума. Таким образом, дифракционная решетка позволяет получать и анализировать спектры сложного света.
Спектральные характеристики решетки
Угловая дисперсия - величина, равная отношению изменения угла, под которым наблюдается дифракционный максимум, к изменению длины волны:
где k - порядок максимума, α -
угол, под которым он наблюдается.
Угловая дисперсия тем выше, чем больше порядок k спектра и чем меньше период решетки (d).
Разрешающая способность (разрешающая сила) дифракционной решетки - величина, характеризующая ее способность давать
где k - порядок максимума, а N - число штрихов решетки.
Из формулы видно, что близкие линии, которые сливаются в спектре первого порядка, могут восприниматься отдельно в спектрах второго или третьего порядков.
21.6. Рентгеноструктурный анализ
Основная формула дифракционной решетки может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи - нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны.
В качестве дифракционной решетки можно взять структурную решетку кристалла. Если на простую кристаллическую решетку направить поток рентгеновских лучей под некоторым углом θ (рис. 21.7), то они будут дифрагировать, так как расстояние между рассеивающими центрами (атомами) в кристалле соответствует
длине волны рентгеновского излучения. Если на некотором расстоянии от кристалла поместить фотопластинку, то она зарегистрирует интерференцию отраженных лучей.
где d - межплоскостное расстояние в кристалле, θ - угол между плоскостью
Рис. 21.7.
Дифракция рентгеновских лучей на простой кристаллической решетке; точками указано расположение атомов
кристалла и падающим рентгеновским лучом (угол скольжения), λ - длина волны рентгеновского излучения. Соотношение (21.11) называется условием Брэгга-Вульфа.
Если известна длина волны рентгеновского излучения и измерен угол θ, отвечающий условию (21.11), то можно определить межплоскостное (межатомное) расстояние d. На этом основан рентгеноструктурный анализ.
Рентгеноструктурный анализ - метод определения структуры вещества путем исследования закономерностей дифракции рентгеновского излучения на изучаемых образцах.
Рентгеновские дифракционные картины очень сложны, так как кристалл представляет собой трехмерный объект и рентгеновские лучи могут дифрагировать на различных плоскостях под разными углами. Если вещество представляет собой монокристалл, то дифракционная картина представляет собой чередование темных (засвеченных) и светлых (незасвеченных) пятен (рис. 21.8, а).
В том случае когда вещество представляет собой смесь большого числа очень маленьких кристалликов (как в металле или порошке), возникает серия колец (рис. 21.8, б). Каждое кольцо соответствует дифракционному максимуму определенного порядка k, при этом рентгенограмма образуется в виде окружностей (рис. 21.8, б).
Рис. 21.8.
Рентгенограмма для монокристалла (а), рентгенограмма для поликристалла (б)
Рентгеноструктурный анализ используют и для исследования структур биологических систем. Например, этим методом была установлена структура ДНК.
21.7. Дифракция света на круглом отверстии. Разрешающая способность диафрагмы
В заключение рассмотрим вопрос о дифракции света на круглом отверстии, который представляет большой практический интерес. Такими отверстиями являются, например, зрачок глаза и объектив микроскопа. Пусть на линзу падает свет от точечного источника. Линза является отверстием, которое пропускает только часть световой волны. Вследствие дифракции на экране, расположенном за линзой, возникнет дифракционная картина, показанная на рис. 21.9, а.
Как и для щели, интенсивности побочных максимумов малы. Центральный максимум в виде светлого кружка (дифракционное пятно) и является изображением светящейся точки.
Диаметр дифракционного пятна определяется формулой:
где f - фокусное расстояние линзы, а d - ее диаметр.
Если на отверстие (диафрагму) падает свет от двух точечных источников, то в зависимости от углового расстояния между ними (β) их дифракционные пятна могут восприниматься раздельно (рис. 21.9, б) или сливаться (рис. 21.9, в).
Приведем без вывода формулу, которая обеспечивает раздельное изображение близких точечных источников на экране (разрешающая способность диафрагмы):
где λ - длина волны падающего света, d - диаметр отверстия (диафрагмы), β - угловое расстояние между источниками.
Рис. 21.9.
Дифракция на круглом отверстии от двух точечных источников
21.8. Основные понятия и формулы
Окончание таблицы
21.9. Задачи
1. Длина волны света, падающего на щель перпендикулярно ее плоскости, укладывается в ширине щели 6 раз. Под каким углом будет виден 3 дифракционный минимум?
2. Определить период решетки шириной L = 2,5 см, имеющей N = 12500 штрихов. Ответ записать в микрометрах.
Решение
d = L/N = 25 000 мкм/12 500 = 2 мкм. Ответ: d = 2 мкм.
3. Чему равна постоянная дифракционной решетки, если в спектре 2-го порядка красная линия (700 нм) видна под углом 30°?
4. Дифракционная решетка содержит N = 600 штрихов на L = 1 мм. Найти наибольший порядок спектра для света с длиной волны λ = 600 нм.
5. Оранжевый свет с длиной волны 600 нм и зеленый свет с длиной волны 540 нм проходят через дифракционную решетку, имеющую 4000 штрихов на сантиметр. Чему равно угловое расстояние между оранжевым и зеленым максимумами: а) первого порядка; б) третьего порядка?
Δα = α ор - α з = 13,88° - 12,47° = 1,41°.
6.
Найти наибольший порядок спектра для желтой линии натрия λ = 589 нм, если постоянная решетки равна d = 2 мкм.
Решение
Приведем d и λ к одинаковым единицам: d = 2 мкм = 2000 нм. По формуле (21.6) найдем k < d/λ = 2000/ 589 = 3,4. Ответ: k = 3.
7. Дифракционную решетку с числом щелей N = 10 000 используют для исследования спектра света в области 600 нм. Найти минимальную разность длин волн, которую можно обнаружить такой решеткой при наблюдении максимумов второго порядка.