Пусть x – произвольная точка, ледащая в некоторой окрестности фиксированной точки x 0 . разность x – x 0 принято называть приращение независимой переменной(или приращением аргумента) в точке x 0 и обозначается Δx. Таким образом,
Δx = x –x 0 ,
откуда следует, что
Приращение функции – разность между двумя значениями функции.
Пусть задана функция у = f(x) , определенная при значении аргумента͵ равном х 0 . Дадим аргументу приращение Dх , ᴛ.ᴇ. рассмотрим значение аргумента͵ равное x 0 + Dх . Предположим, что это значение аргумента также входит в область определения данной функции. Тогда разность Dy = f(x 0 + Dх) – f(x 0) принято называть приращением функции. Приращение функцииf (x ) в точке x - функция обычно обозначаемая Δ x f от новой переменной Δx определяемая как
Δ x f (Δx ) = f (x + Δx ) − f (x ).
Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х 0 , если
Пример 2. Найти приращение функции f(x) = x 2 , если х = 1, ∆х = 0,1
Решение: f(х) = х 2 , f(х+∆х) = (х+∆х) 2
Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /
Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21
Найти приращение аргумента и приращение функции в точки х 0
2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2,4
3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0,8
4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3,8
Определение : Производной функции в точке принято называть предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.
Наиболее употребительны следующие обозначения производной:
Таким образом,
Нахождение производной принято называть дифференцированием . Вводится определение дифференцируемой функции : Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, принято называть дифференцируемой на данном промежутке.
Пусть в некоторой окрестноститочкиопределена функцияПроизводной функции принято называть такое число , что функцию в окрестности U (x 0) можно представить в виде
f (x 0 + h ) = f (x 0) + Ah + o (h )
если существует.
Определение производной функции в точке .
Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b) , и - точки этого промежутка.
Определение . Производной функции f(x) в точке принято называть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .
Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке . В случае если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке . В случае если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует .
Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.
В случае если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b) , то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b) .
Операция нахождения производной принято называть дифференцированием.
Не всегда в жизни нас интересуют точные значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины, например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия, как «приращение функции» и «приращение аргумента».
Понятия "приращение функции" и "приращение аргумента"
Допустим, х - некоторая произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х0. Приращением аргумента в точке х0 называется разность х-х0. Обозначается приращение следующим образом: ∆х.
- ∆х=х-х0.
Иногда эту величину еще называют приращением независимой переменной в точке х0. Из формулы следует: х = х0+∆х. В таких случаях говорят, что начальное значение независимой переменной х0, получило приращение ∆х.
Если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться.
- f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).
Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению ∆х называется разность f(x0 + ∆х) - f(x0). Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем, по определению:
- ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).
Иногда, ∆f еще называют приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция была, к примеру, у=f(x).
Геометрический смысл приращения
Посмотрите на следующий рисунок.
Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.
Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента
Пример 1. Найти приращение аргумента ∆х и приращение функции ∆f в точке х0, если f(х) = х 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1
Воспользуемся формулами, приведенными выше:
a) ∆х=х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;
- ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;
b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;
- ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.
Пример 2. Вычислить приращение ∆f для функции f(x) = 1/x в точке х0, если приращение аргумента равняется ∆х.
Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.
- ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = -∆x/((x0*(x0+∆x)).
Пусть х – аргумент (независимая переменная); y=y(x) – функция.
Возьмем фиксированное значение аргументах=х 0 и вычислим значение функции y 0 =y(x 0 ) . Теперь произвольным образом зададим приращение (изменение) аргумента и обозначим его х ( х может быть любого знака).
Аргумент с приращением – это точка х 0 + х . Допустим, в ней также существует значение функции y=y(x 0 + х) (см. рисунок).
Таким образом, при произвольном изменении значения аргумента получено изменение функции, которое называется приращением значения функции:
и
не является произвольным, а зависит от
вида функции и величины
.
Приращения аргумента и функции могут быть конечными , т.е. выражаться постоянными числами, в этом случае их иногда называют конечными разностями.
В экономике конечные приращения рассматриваются весьма часто. Например, в таблице приведены данные о длине железнодорожной сети некоторого государства. Очевидно, приращение длины сети вычисляется путем вычитания предыдущего значения из последующего.
Будем рассматривать длину ж/д сети как функцию, аргументом которой будет время (годы).
Длина ж/д на 31.12, тыс.км. |
Приращение |
Среднегодовой прирост |
|
Само по себе приращение функции (в данном случае длины ж/д) сети) плохо характеризует изменение функции. В нашем примере из того, что 2,5>0,9 нельзя заключить, что сеть росла быстрее в 2000-2003 годах, чем в 2004 г., потому что приращение 2,5 относится к трехлетнему периоду, а 0,9 – всего к одному году. Поэтому вполне естественно, что приращение функции приводят к единице изменения аргумента. Приращение аргумента здесь – периоды: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .
Получим то, что в экономической литературе называют среднегодовым приростом .
Можно избежать операции приведения приращения к единице изменения аргумента, если взять значения функции для значений аргумента, отличающихся на единицу, что не всегда возможно.
В математическом анализе, в частности, в дифференциальном исчислении, рассматривают бесконечно малые (БМ) приращения аргумента и функции.
Дифференцирование функции одной переменной (производная и дифференциал) Производная функции
Приращения аргумента и функции в точке х 0 можно рассматривать как сравнимые бесконечно малые величины (см. тему 4, сравнение БМ), т.е. БМ одного порядка.
Тогда их отношение будет иметь конечный предел, который определяется как производная функции в т х 0 .
Предел отношения приращения функции к БМ приращению аргумента в точке х=х 0 называется производной функции в данной точке.
Символическое
обозначение производной штрихом (а,
вернее, римской цифрой I) введено Ньютоном.
Можно использовать еще нижний индекс,
который показывает, по какой переменной
вычисляется производная, например,
.
Широко используется также другое
обозначение, предложенное основоположником
исчисления производных, немецким
математиком Лейбницем:
.
С происхождением этого обозначения вы
подробнее познакомитесь в разделеДифференциал функции и дифференциал
аргумента.
Данное
число оценивает скорость
изменения функции, проходящей через
точку
.
Установим
геометрический
смысл
производной функции в точке. С этой
целью построим график функции y=y(x)
и отметим на нем точки, определяющие
изменение y(x)
в промежутке
Касательной к
графику функции в точке М
0
будем считать предельное положение
секущейМ
0
М
при условии
(точкаМ
скользит по графику функции
к точкеМ
0
).
Рассмотрим
.
Очевидно,
.
Если
точку М
устремить вдоль графика функции по
направлению к точке М
0
,
то значение
будет стремиться к некоторому пределу,
который обозначим
.
При этом.
Предельный
угол
совпадает с углом наклона касательной,
проведенной к графику функции в т. М
0
,
поэтому производная
численно равнаугловому
коэффициенту касательной
в указанной точке.
-
геометрический смысл производной функции в точке .
Таким образом, можно записать уравнения касательной и нормали (нормаль – это прямая, перпендикулярная касательной) к графику функции в некоторой точке х 0 :
Касательная - .
Нормаль
-
.
Представляют интерес случаи, когда эти прямые расположены горизонтально или вертикально (см. тему 3, частные случаи положения прямой на плоскости). Тогда,
если
;
если
.
Определение производной называется дифференцированием функции.
Если функция в точке х 0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.
Теорема . Если функция y=y(x) дифференцируема в т. х 0 , то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, непрерывность – необходимое (но не достаточное) условие дифференцируемости функции.
Определение 1
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) и частного приращений функции.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Замечание 1
Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.
Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$. Обозначение:
Аналогично дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$. Обозначение:
Если же аргументу $x$ дать приращение $\Delta x$, а аргументу $y$ - приращение $\Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:
Таким образом, имеем:
$\Delta _{x} z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;
$\Delta _{y} z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Пример 1
Решение:
$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;
$\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Пример 2
Вычислить частные и полное приращение функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} z=(x+\Delta x)\cdot y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$
$\Delta _{y} z=x\cdot (y+\Delta y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Следовательно,
\[\Delta _{x} z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _{y} z=1\cdot (2+0,1)=2,1\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Замечание 2
Полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$ не равно сумме ее частных приращений $\Delta _{x} z$ и $\Delta _{y} z$. Математическая запись: $\Delta z\ne \Delta _{x} z+\Delta _{y} z$.
Пример 3
Проверить утверждение замечания для функции
Решение:
$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$; $\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (получены в примере 1)
Найдем сумму частных приращений заданной функции $z=f(x,y)$
\[\Delta _{x} z+\Delta _{y} z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _{x} z+\Delta _{y} z\ne \Delta z.\]
Определение 2
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Определение 3
Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные приращения по каждой из переменных:
$\Delta _{z} w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $z$;
$\Delta _{t} w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $t$.
Пример 4
Записать частные и полное приращение функции
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$
$\Delta _{y} w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$;
$\Delta _{z} w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Пример 5
Вычислить частные и полное приращение функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$
$\Delta _{y} w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$;
$\Delta _{z} w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Следовательно,
\[\Delta _{x} w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _{y} w=1\cdot (2+0,1)\cdot 1=2,1\] \[\Delta _{y} w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]
С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).
Рисунок 1.