Как приводить дроби к общему знаменателю
Если у обыкновенных дробей одинаковые знаменатели, то говорят, что эти дроби приведены к общему знаменателю .
Пример 1
Например, дроби $\frac{3}{18}$ и $\frac{20}{18}$ имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $18$. Дроби $\frac{1}{29}$, $\frac{7}{29}$ и $\frac{100}{29}$ имеют также одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $29$.
Если у дробей знаменатели не одинаковые, то их можно свести к общему знаменателю. Для этого необходимо умножить их числители и знаменатели на определенные дополнительные множители.
Пример 2
Как привести две дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{2}{7}$ к общему знаменателю.
Решение.
Умножим дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{2}{7}$ на дополнительные множители $7$ и $11$ соответственно и приведем их к общему знаменателю $77$:
$\frac{6\cdot 7}{11\cdot 7}=\frac{42}{77}$
$\frac{2\cdot 11}{7\cdot 11}=\frac{22}{77}$
Таким образом, приведением дробей к общему знаменателю называют умножение числителя и знаменателя данных дробей на дополнительные множители, которые в результате позволяют получить дроби с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель
Определение 1
Любое положительное общее кратное всех знаменателей некоторого набора дробей называют общим знаменателем .
Другими словами, общий знаменатель заданных обыкновенных дробей – любое натуральное число, которое можно разделить на все знаменатели заданных дробей.
Из определения вытекает бесконечное множество общих знаменателей данного набора дробей.
Пример 3
Найти общие знаменатели дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{13}$.
Решение .
Данные дроби имеют знаменатели, равные $7$ и $13$ соответственно. Положительные общие кратные чисел $2$ и $5$ равны $91, 182, 273, 364$ и т.д.
Любое из этих чисел можно использовать в качестве общего знаменателя дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{13}$.
Пример 4
Определить, можно ли дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{7}$ и $\frac{11}{9}$ привести к общему знаменателю $252$.
Решение.
Чтобы определить, как привести дробь к общему знаменателю $252$, необходимо проверить является ли число $252$ общим кратным знаменателей $2, 7$ и $9$. Для этого разделим число $252$ на каждый из знаменателей:
$\frac{252}{2}=126,$ $\frac{252}{7}=36$, $\frac{252}{9}=28$.
Число $252$ делится нацело на все знаменатели, т.е. является общим кратным чисел $2, 7$ и $9$. Значит, данные дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{7}$ и $\frac{11}{9}$ можно свести к общему знаменателю $252$.
Ответ: можно.
Наименьший общий знаменатель
Определение 2
Среди всех общих знаменателей заданных дробей можно выделить наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем .
Т.к. НОК – наименьший положительный общий делитель данного набора чисел, то НОК знаменателей заданных дробей является наименьшим общим знаменателем данных дробей.
Следовательно, чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, нужно найти НОК знаменателей этих дробей.
Пример 5
Заданы дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{37}{18}$. Найти их наименьший общий знаменатель.
Решение .
Знаменатели данных дробей равны $15$ и $18$. Найдем наименьший общий знаменатель как НОК чисел $15$ и $18$. Используем для этого разложение чисел на простые множители:
$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$
$НОК(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.
Ответ: $90$.
Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю
Чаще всего при решении задач алгебры, геометрии, физики и т.п. принято обыкновенные дроби приводить к наименьшему общему знаменателю, а не к любому общему знаменателю.
Алгоритм :
- С помощью НОК знаменателей заданных дробей найти наименьший общий знаменатель.
- 2.Вычислить дополнительный множитель для заданных дробей. Для этого найденный наименьший общий знаменатель необходимо разделить на знаменатель каждой дроби. Полученное число и будет дополнительным множителем данной дроби.
- Умножить на найденный дополнительный множитель числитель и знаменатель каждой дроби.
Пример 6
Найти наименьший общий знаменатель дробей $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{22}$ и привести к нему обе дроби.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим наименьшее общее кратное чисел $16$ и $22$:
Разложим знаменатели на простые множители: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.
$НОК(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.
Вычислим дополнительные множители для каждой дроби:
$176\div 16=11$ – для дроби $\frac{4}{16}$;
$176\div 22=8$ – для дроби $\frac{3}{22}$.
Умножим числители и знаменатели дробей $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{22}$ на дополнительные множители $11$ и $8$ соответственно. Получим:
$\frac{4}{16}=\frac{4\cdot 11}{16\cdot 11}=\frac{44}{176}$
$\frac{3}{22}=\frac{3\cdot 8}{22\cdot 8}=\frac{24}{176}$
Обе дроби приведены к наименьшему общему знаменателю $176$.
Ответ: $\frac{4}{16}=\frac{44}{176}$, $\frac{3}{22}=\frac{24}{176}$.
Иногда для того, чтобы находить наименьший общий знаменатель, нужно провести ряд трудоемких вычислений, что может не оправдывать цель решения задачи. В таком случае можно воспользоваться наиболее простым способ – свести дроби к общему знаменателю, который представляет собой произведение знаменателей данных дробей.
Как привести алгебраические (рациональные) дроби к общему знаменателю?
1) Если в знаменателях дробей стоят многочлены, нужно попытаться одним из известных способов.
2) Наименьший общий знаменатель (НОЗ) состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени.
Наименьший общий знаменатель для чисел устно ищем как наименьшее число, которое делится на остальные числа.
3) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый.
4) Числитель и знаменатель первоначальной дроби умножаем на дополнительный множитель.
Рассмотрим примеры приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.
Чтобы найти общий знаменатель для чисел, выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на меньшее. 15 на 9 не делится. Умножаем 15 на 2 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 30 на 9 не делится. Умножаем 15 на 3 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 45 на 9 делится, значит, общий знаменатель для чисел равен 45.
Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 45 bc (буквы принято записывать в алфавитном порядке).
Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:
Сначала ищем общий знаменатель для чисел: 8 на 6 не делится, 8∙2=16 на 6 не делится, 8∙3=24 на 6 делится. Каждую из переменных нужно включить в общий знаменатель один раз. Из степеней берем степень с большим показателем.
Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 24a³bc.
Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Дополнительный множитель умножаем на числитель и знаменатель:
Многочлены, стоящие в знаменателях данных дробей, нужно . В знаменателе первой дроби — полный квадрат разности: x²-18x+81=(x-9)²; в знаменателе второй — разность квадратов: x²-81=(x-9)(x+9):
Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, то есть равен (x-9)²(x+9). Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель каждой дроби:
У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:
\(\frac{17}{5}, \frac{1}{5}\)
Пример разных знаменателей у дробей:
\(\frac{8}{3}, \frac{2}{13}\)
Как привести к общему знаменателю дроби?
У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.
Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.
\(\frac{8}{3} = \frac{8 \times \color{red} {13}}{3 \times \color{red} {13}} = \frac{104}{39}\)
Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.
\(\frac{2}{13} = \frac{2 \times \color{red} {3}}{13 \times \color{red} {3}} = \frac{6}{39}\)
Мы привели к общему знаменателю дроби:
\(\frac{8}{3} = \frac{104}{39}, \frac{2}{13} = \frac{6}{39}\)
Наименьший общий знаменатель.
Рассмотрим еще пример:
Приведем дроби \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{7}{12}\) к общему знаменателю.
Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.
Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.
\(\begin{align}&\frac{5}{8} = \frac{5 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = \frac{15}{24}\\\\&\frac{7}{12} = \frac{7 \times \color{red} {2}}{12 \times \color{red} {2}} = \frac{14}{24}\\\\ \end{align}\)
Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ
Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.
Например:
Приведите дроби \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{9}{16}\) к наименьшему общему знаменателю.
Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:
\(\begin{align}&\frac{1}{4} = \frac{1 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {4}} = \frac{4}{16}\\\\&\frac{9}{16} = \frac{9 \times \color{red} {1}}{16 \times \color{red} {1}} = \frac{9}{16}\\\\ \end{align}\)
Зачастую выясняется, что действия с дробями не вызывают сложностей у учеников. Основной проблемой становится нахождение общего знаменателя. Чтобы разобраться с этим вопросом, нужно запомнить правило приведения дробей к общему знаменателю и понимать, зачем вообще этот общий знаменатель нужен.
Что такое дробь?
В 5 классе ученикам объясняют, что дробь это разделенное на кусочки целое. Причем знаменатель обозначает количество частей, на которое разделили какой-то предмет, а числитель количество этих частей, которое взяли для расчета.
Но в математике существует другое определение: дробью зовут незавершенную операцию деления. Это значит, что как любую дробь можно превратить в деление, так и любое деление можно превратить в дробь. Например:
$${5\over{7}}=5:7$$
$$7:13={7\over{13}}$$
$$12:9={12\over{9}}$$
Можно бесконечно приводить примеры, но смысл от этого не изменится: черта дроби заменяет знак деления.
Зачем нужно находить общий знаменатель?
Для того, чтобы сложить или вычесть две дроби, нужно превратить две операции деления в одну. Это возможно только при условии одинакового делителя. В виде формул это выглядит так:
а:в-с:е=(а*е):(в*е)-(с*в):(в*е)=((а*е)-(с*в)):(в*е)
То есть для того, чтобы сложить или вычесть дроби, потребуется привести их к общему знаменателю. Иначе просто не получится правильно решить пример.
Для умножения и деления дробей, приводить дроби к общему знаменателю не требуется. Для этих операций существует другое теоретическое обоснование, которое предполагает другой порядок действий.
Как найти общий знаменатель дробей
Для того, чтобы найти общий знаменатель дробей, нужно найти наибольшее общее кратное знаменателей. Приведем пример, решим небольшое выражение:
$${3\over{5}}+{7\over{15}}$$
Найдем НОК знаменателей. Число 15 делится на число 5, значит
$${3\over{5}}+{7\over{15}}={{3*3}\over{15}}+{7\over{15}}={9\over{15}}+{7\over{15}}={16\over{15}}=1 {1\over{15}}$$- обратите внимание, что при увеличении числителя, так же увеличился и знаменатель. В конце решения примера с дробями при возможности следует выделять целую часть выражения.
Привести дроби к общему знаменателю можно только пользуясь основным свойством дроби. Формулировка этого свойства звучит так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Это значит, что при приведении дроби к общему знаменателю, требуется учитывать и увеличение числителя.
НОК можно найти аналитически, как мы это сделали в примере. Но чаще всего приходится прибегать к разложению на простые множители. Для того, чтобы найти НОК двух чисел следует:
- Разложить эти числа на простые множители
- Проверить, каких простых множителей не хватает в разложении.
- Берется число с наименьшим количеством множителей и к его разложению добавляют числа, которое есть в других разложениях, но отсутствуют в основном. При этом учитывается и количество чисел. Это значит, что если в основном разложении одно число 3, а в других разложениях два числа 3, то нужно домножить основное разложение на две тройки.
Что мы узнали?
Мы поговорили о приведении дробей к общему знаменателю. Рассказали, зачем это нужно, и какие операции с дробями можно выполнять без приведения к общему знаменателю. Привели пример и рассказали, как меняется числитель при приведении дробей к общему знаменателю.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.7 . Всего получено оценок: 115.
В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.
Что такое приведение дроби к общему знаменателю?
Обыкновенные дроби состоят из числителя - верхней части, и знаменателя - нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 11 14 , 17 14 , 9 14 имеют одинаковый знаменатель 14 . Другими словами, они приведены к общему знаменателю.
Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.
Очевидно, что дроби 4 5 и 3 4 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 4 5 на 4 , а числитель и знаменатель дроби 3 4 умножим на 5 . Вместо дробей 4 5 и 3 4 получим соответственно 16 20 и 15 20 .
Приведение дробей к общему знаменателю
Приведение дробей к общему знаменателю - это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Общий знаменатель
Общий знаменатель дробей - это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 1 6 и 3 5 . Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5 . Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.
Рассмотрим пример.
Пример 1. Общий знаменатель
Можно ди дроби 1 3 , 21 6 , 5 12 привести к общему знаменателю, который равен 150 ?
Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3 , 6 , 12 . Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3 , 6 , 12 . Проверим:
150 ÷ 3 = 50 , 150 ÷ 6 = 25 , 150 ÷ 12 = 12 , 5
Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель
Наименьший общий знаменатель дробей - это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.
Наименьший общий делитель данного набора чисел - это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.
Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:
Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель
Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 1 10 и 127 28 .
Ищем НОК чисел 10 и 28 . Разложим их на простые множители и получим:
10 = 2 · 5 28 = 2 · 2 · 7 Н О К (15 , 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.
Правило приведения дробей к общему знаменателю
- Найти наименьший общий знаменатель дробей.
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
- Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.
Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.
Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю
Есть дроби 3 14 и 5 18 . Приведем их к наименьшему общему знаменателю.
По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.
14 = 2 · 7 18 = 2 · 3 · 3 Н О К (14 , 18) = 2 · 3 · 3 · 7 = 126
Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для 3 14 дополнительный множитель находится как 126 ÷ 14 = 9 , а для дроби 5 18 дополнительный множитель будет равен 126 ÷ 18 = 7 .
Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:
3 · 9 14 · 9 = 27 126 , 5 · 7 18 · 7 = 35 126 .
Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю
По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.
Приведем еще один пример.
Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю
Привести дроби 3 2 , 5 6 , 3 8 и 17 18 к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:
Н О К (2 , 6) = 6 Н О К (6 , 8) = 24 Н О К (24 , 18) = 72 Н О К (2 , 6 , 8 , 18) = 72
Для 3 2 дополнительный множитель равен 72 ÷ 2 = 36 , для 5 6 дополнительный множитель равен 72 ÷ 6 = 12 , для 3 8 дополнительный множитель равен 72 ÷ 8 = 9 , наконец, для 17 18 дополнительный множитель равен 72 ÷ 18 = 4 .
Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:
3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter