Nerovnosť je zápis, v ktorom sú čísla, premenné alebo výrazy spojené znamienkom<, >, alebo . To znamená, že nerovnosť možno nazvať porovnaním čísel, premenných alebo výrazov. Známky < , > , ⩽ a ⩾ volal znaky nerovnosti.
Typy nerovností a spôsob ich čítania:
Ako je zrejmé z príkladov, všetky nerovnosti pozostávajú z dvoch častí: ľavej a pravej, ktoré sú spojené jedným zo znakov nerovnosti. Podľa znaku spájajúceho časti nerovností sa delia na prísne a neprísne.
Prísne nerovnosti- nerovnosti, ktorých časti sú spojené znakom< или >. Neprísne nerovnosti- nerovnosti, ktorých časti sú spojené znakom alebo .
Zvážte základné pravidlá porovnávania v algebre:
- Akékoľvek kladné číslo väčšie ako nula.
- Akékoľvek záporné číslo je menšie ako nula.
- Z dvoch záporných čísel je väčšie číslo s menšou absolútnou hodnotou. Napríklad -1 > -7.
- a a b pozitívne:
a - b > 0,
To a viac b (a > b).
- Ak je rozdiel dvoch nerovnakých čísel a a b negatívne:
a - b < 0,
To a menšie b (a < b).
- Ak je číslo väčšie ako nula, potom je kladné:
a> 0 znamená a je kladné číslo.
- Ak je číslo menšie ako nula, potom je záporné:
a < 0, значит a- záporné číslo.
Ekvivalentné nerovnosti- nerovnosti, ktoré sú dôsledkom inej nerovnosti. Napríklad, ak a menšie b, potom b viac a:
a < b a b > a- ekvivalentné nerovnosti
Vlastnosti nerovností
- Ak sa k obom častiam nerovnosti pridá rovnaké číslo alebo sa od oboch častí odčíta rovnaké číslo, získa sa ekvivalentná nerovnosť, tj.
ak a > b, potom a + c > b + c a a - c > b - c
Z toho vyplýva, že je možné prenášať členy nerovnosti z jednej časti do druhej s opačným znamienkom. Napríklad pridanie na obe strany nerovnosti a - b > c - d na d, dostaneme:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým kladným číslom, získa sa ekvivalentná nerovnosť, tj.
- Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým záporným číslom, získa sa nerovnosť opačná k danej, to znamená, že pri vynásobení alebo delení oboch častí nerovnosti záporným číslom znamienko nerovnosti treba zmeniť na opak.
Túto vlastnosť možno použiť na zmenu znamienka všetkých členov nerovnosti vynásobením oboch strán -1 a obrátením znamienka nerovnosti:
-a + b > -c
(-a + b) · -jedna< (-c) · -jedna
a - b < c
Nerovnosť -a + b > -c je ekvivalentná nerovnosti a - b < c
Systém nerovností je zvykom nazývať záznamom niekoľkých nerovností pod znamienkom zloženej zátvorky (v tomto prípade môže byť počet a typ nerovností zahrnutých v systéme ľubovoľný).
Na vyriešenie systému je potrebné nájsť priesečník riešení všetkých nerovníc v ňom zahrnutých. Riešením nerovnosti v matematike je akákoľvek hodnota premennej, pre ktorú platí daná nerovnosť. Inými slovami, je potrebné nájsť súbor všetkých jeho riešení - bude sa to nazývať odpoveď. Skúsme sa napríklad naučiť riešiť systém nerovníc pomocou intervalovej metódy.
Vlastnosti nerovností
Na vyriešenie problému je dôležité poznať základné vlastnosti nerovností, ktoré možno formulovať takto:
- K obom častiam nerovnosti možno pridať jednu a tú istú funkciu definovanú v oblasti prípustných hodnôt (ODV) tejto nerovnosti;
- Ak f(x) > g(x) a h(x) je ľubovoľná funkcia definovaná v DDE nerovnosti, potom f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
- Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia kladnou funkciou definovanou v ODZ danej nerovnosti (alebo kladným číslom), dostaneme nerovnosť ekvivalentnú pôvodnej;
- Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia zápornou funkciou definovanou v ODZ danej nerovnosti (alebo záporným číslom) a znamienko nerovnosti sa obráti, potom je výsledná nerovnosť ekvivalentná danej nerovnosti;
- Nerovnosti rovnakého významu môžu byť pridané výraz po výraze a nerovnosti opačného významu môžu byť výrazom odčítané;
- Nerovnosti rovnakého významu s kladnými časťami môžu byť násobené výrazom po výraze a nerovnosti tvorené nezápornými funkciami možno výraz po výraze zvýšiť na kladnú mocninu.
Ak chcete vyriešiť systém nerovností, musíte vyriešiť každú nerovnosť samostatne a potom ich porovnať. Výsledkom je kladná alebo záporná odpoveď, čo znamená, či má systém riešenie alebo nie.
Metóda rozstupu
Pri riešení sústavy nerovníc sa matematici často uchyľujú k intervalovej metóde, ako k jednej z najúčinnejších. Umožňuje nám to znížiť riešenie nerovnosti f(x) > 0 (<, <, >) na riešenie rovnice f(x) = 0.
Podstata metódy je nasledovná:
- Nájdite rozsah prijateľných hodnôt nerovnosti;
- Znížte nerovnosť na tvar f(x) > 0(<, <, >), to znamená presunúť pravú stranu doľava a zjednodušiť;
- Vyriešte rovnicu f(x) = 0;
- Nakreslite diagram funkcie na číselnej osi. Všetky body vyznačené na ODZ a jej limitujúce rozdeľujú túto množinu na takzvané intervaly konštantného znamienka. Na každom takomto intervale je určené znamienko funkcie f(x);
- Napíšte odpoveď ako spojenie samostatných množín, na ktorých má f(x) zodpovedajúce znamienko. Body ODZ, ktoré sú hraničné, sú po dodatočnej kontrole zahrnuté (alebo nie) do odpovede.
Pole reálnych čísel má vlastnosť poriadku (položka 6, s. 35): pre ľubovoľné čísla a, b platí len jeden z troch vzťahov: alebo . V tomto prípade označenie a > b znamená, že rozdiel je kladný a rozdiel v zápise je záporný. Na rozdiel od oblasti reálnych čísel nie je oblasť komplexných čísel usporiadaná: pre komplexné čísla nie sú pojmy „väčšie ako“ a „menšie ako“ definované; preto sa táto kapitola zaoberá iba reálnymi číslami.
Vzťahy nazývame nerovnice, čísla a a b sú členmi (alebo časťami) nerovnice, znamienka > (väčšie ako) a Nerovnice a > b a c > d sa nazývajú nerovnice rovnakého (alebo rovnakého) významu; nerovnosti a > b a c Z definície nerovnosti hneď vyplýva, že
1) akékoľvek kladné číslo väčšie ako nula;
2) akékoľvek záporné číslo menšie ako nula;
3) každé kladné číslo je väčšie ako akékoľvek záporné číslo;
4) z dvoch záporných čísel, to, ktorého absolútna hodnota je menšia, je väčšie.
Všetky tieto tvrdenia pripúšťajú jednoduchú geometrickú interpretáciu. Nechajte kladný smer číselnej osi ísť vpravo od počiatočného bodu; potom, bez ohľadu na znamienka čísel, väčšie z nich je reprezentované bodom ležiacim napravo od bodu reprezentujúceho menšie číslo.
Nerovnosti majú nasledujúce hlavné vlastnosti.
1. Asymetria (nezvratnosť): ak , potom , a naopak.
V skutočnosti, ak je rozdiel kladný, potom je rozdiel záporný. Hovorí sa, že keď sa preusporiadajú pojmy nerovnosti, význam nerovnosti sa musí zmeniť na opačný.
2. Prechodnosť: ak , tak . V skutočnosti, pozitívnosť rozdielov implikuje pozitívnosť
Okrem znakov nerovnosti sa používajú aj znaky nerovnosti a. Definujú sa takto: záznam znamená, že buď alebo Preto môžete napríklad písať a tiež. Nerovnosti napísané znakmi sa zvyčajne nazývajú prísne nerovnosti a nerovnosti napísané znakmi sa nazývajú neprísne nerovnosti. Podľa toho sa samotné znaky nazývajú znakmi prísnej alebo neprísnej nerovnosti. Vlastnosti 1 a 2 diskutované vyššie platia aj pre neprísne nerovnosti.
Zvážte teraz operácie, ktoré možno vykonať na jednej alebo viacerých nerovnostiach.
3. Od pridania rovnakého čísla k členom nerovnice sa význam nerovnice nemení.
Dôkaz. Nech je daná nerovnosť a ľubovoľné číslo. Podľa definície je rozdiel pozitívny. K tomuto číslu pridáme dve opačné čísla, z ktorých sa nezmení, t.j.
Túto rovnosť možno prepísať takto:
Z toho vyplýva, že rozdiel je pozitívny, teda ten
a to sa malo dokázať.
To je základ pre možnosť zošikmenia ľubovoľného člena nerovnosti z jednej jej časti na druhú s opačným znamienkom. Napríklad z nerovnosti
z toho vyplýva
4. Pri vynásobení členov nerovnosti rovnakým kladným číslom sa význam nerovnosti nemení; keď sa členy nerovnosti vynásobia rovnakým záporným číslom, význam nerovnosti sa zmení na opačný.
Dôkaz. Nech teda Ak potom, pretože súčin kladných čísel je kladný. Rozšírením zátvoriek na ľavej strane poslednej nerovnosti získame , t.j. Prípad sa posudzuje podobným spôsobom.
Presne ten istý záver možno vyvodiť z delenia častí nerovnosti nejakým nenulovým číslom, keďže delenie číslom je ekvivalentné násobeniu číslom a čísla majú rovnaké znamienka.
5. Nech sú podmienky nerovnosti kladné. Potom, keď sú jej členovia pozdvihnutí na rovnakú pozitívnu silu, význam nerovnosti sa nezmení.
Dôkaz. Nech v tomto prípade podľa vlastnosti tranzitivity, a . Potom, v dôsledku monotónneho nárastu výkonovej funkcie at a pozitívne, máme
Najmä, ak kde je prirodzené číslo, dostaneme
t.j. pri extrakcii koreňa z oboch častí nerovnosti kladnými pojmami sa význam nerovnosti nemení.
Nech sú podmienky nerovnosti záporné. Potom je ľahké dokázať, že keď sa jej členovia povýšia na nepárnu prirodzenú mocnosť, význam nerovnosti sa nemení, a keď sa povýši na párnu prirodzenú mocnosť, zmení sa na opačný. Z nerovností so zápornými pojmami môžete tiež extrahovať koreň nepárneho stupňa.
Ďalej nech majú členy nerovnosti rôzne znamienka. Potom, keď sa zvýši na nepárnu mocninu, význam nerovnosti sa nemení, a keď sa zvýši na párnu mocninu, nemožno vo všeobecnom prípade povedať nič konkrétne o význame výslednej nerovnosti. V skutočnosti, keď sa číslo zvýši na nepárnu mocninu, znamienko čísla sa zachová, a preto sa význam nerovnosti nemení. Pri zvýšení nerovnosti na rovnomernú moc sa vytvorí nerovnosť s kladnými pojmami a jej význam bude závisieť od absolútnych hodnôt pojmov pôvodnej nerovnosti, nerovnosti rovnakého významu ako pôvodná, nerovnosti opačný význam a možno dosiahnuť aj rovnosť!
Je užitočné skontrolovať všetko, čo bolo povedané o zvyšovaní nerovností na mocninu, pomocou nasledujúceho príkladu.
Príklad 1. Zvýšte nasledujúce nerovnosti na vyznačenú mocninu, v prípade potreby zmeňte znamienko nerovnosti na opačné alebo na znamienko rovnosti.
a) 3 > 2 na 4; b) na mocninu 3;
c) na mocninu 3; d) na mocninu 2;
e) na mocninu 5; e) na mocninu 4;
g) 2 > -3 na mocninu 2; h) na mocninu 2,
6. Od nerovnosti môžete prejsť na nerovnosť medzi, ak sú členy nerovnosti kladné alebo záporné, potom medzi ich prevrátenými hodnotami existuje nerovnosť opačného významu:
Dôkaz. Ak a a b sú rovnakého znamienka, ich súčin je kladný. Rozdeliť podľa nerovnosti
t.j., ktoré bolo potrebné získať.
Ak majú členy nerovnosti opačné znamienka, potom nerovnosť medzi ich prevrátenými hodnotami má rovnaký význam, pretože znamienka prevrátených hodnôt sú rovnaké ako znamienka samotných veličín.
Príklad 2. Skontrolujte poslednú vlastnosť 6 na nasledujúcich nerovnostiach:
7. Logaritmus nerovníc je možné vykonať len v prípade, ak sú členy nerovníc kladné (záporné čísla a nula nemajú logaritmy).
Nechať byť. Potom kedy bude
a kedy bude
Správnosť týchto tvrdení je založená na monotónnosti logaritmickej funkcie, ktorá sa zvyšuje, ak je základ, a klesá, ak
Takže pri logaritmovaní nerovnosti pozostávajúcej z kladných členov so základom väčším ako jedna vznikne nerovnosť rovnakého významu, ako má daný, a pri logaritmovaní s kladným základom menším ako jedna nerovnosť vzniká opačný význam.
8. Ak , tak ak , ale , tak .
To bezprostredne vyplýva z vlastností monotónnosti exponenciálnej funkcie (§ 42), ktorá sa zvyšuje v prípade a klesá, ak
Pri pridávaní nerovností rovnakého významu termín po termíne sa vytvorí nerovnosť rovnakého významu ako údaj.
Dôkaz. Dokážme toto tvrdenie pre dve nerovnosti, hoci platí pre ľubovoľný počet sčítaných nerovností. Nechajte nerovnosti
Podľa definície budú čísla kladné; potom aj ich súčet vyjde kladne, t.j.
Dostaneme, že zoskupíme výrazy inak
a preto
a to sa malo dokázať.
Vo všeobecnom prípade nemožno povedať nič konkrétne o význame nerovnosti vyplývajúcej zo sčítania dvoch alebo viacerých nerovností rôzneho významu.
10. Ak sa od jednej nerovnosti odčíta ďalšia nerovnosť opačného významu, vznikne nerovnosť rovnakého významu ako prvá.
Dôkaz. Nech sú dané dve nerovnosti rôzneho významu. Druhú z nich možno vlastnosťou nezvratnosti prepísať takto: d > c. Pridajme teraz dve nerovnosti rovnakého významu a získame nerovnosť
rovnaký význam. Z posledného nájdeme
a to sa malo dokázať.
O význame nerovnosti získanej odčítaním inej nerovnosti rovnakého významu od jednej nerovnosti nemožno vo všeobecnom prípade povedať nič konkrétne.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.
Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.