Ak sú všetky čísla A, B, C a D nenulové, potom sa volá všeobecná rovnica roviny kompletný. V opačnom prípade sa nazýva všeobecná rovnica roviny neúplné.

Uvažujme všetky možné všeobecné neúplné rovnice roviny v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz v trojrozmernom priestore.

Nech D = 0, potom máme všeobecnú neúplnú rovnicu roviny tvaru . Táto rovina v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz prechádza počiatkom. Pri dosadení súradníc bodu do výslednej neúplnej rovnice roviny totiž dospejeme k identite .

Pre , alebo , alebo máme všeobecné neúplné rovnice rovín , alebo , resp. Tieto rovnice definujú roviny, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými rovinami Oxy , Oxz a Oyz (pozri článok Podmienka rovnobežnosti pre roviny) a prechádzajú bodmi a zodpovedajúcim spôsobom. o. Od veci patrí do roviny podľa podmienky, potom súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu roviny, to znamená, že rovnosť musí byť pravdivá. Odtiaľto nájdeme. Požadovaná rovnica má teda tvar .

Uvádzame druhý spôsob riešenia tohto problému.

Keďže rovina, ktorej všeobecnú rovnicu potrebujeme zostaviť, je rovnobežná s rovinou Oyz, potom môžeme za jej normálový vektor vziať normálový vektor roviny Oyz. Normálový vektor súradnicovej roviny Oyz je súradnicový vektor . Teraz poznáme normálny vektor roviny a bod roviny, preto si môžeme zapísať jeho všeobecnú rovnicu (podobný problém sme riešili v predchádzajúcom odseku tohto článku):
, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu roviny. Preto tá rovnosť kde nájdeme. Teraz môžeme napísať požadovanú všeobecnú rovnicu roviny, má tvar .

odpoveď:

Bibliografia.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometria.

Aby mohla byť jedna rovina vedená cez ľubovoľné tri body v priestore, je potrebné, aby tieto body neležali na jednej priamke.

Uvažujme body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v spoločnej karteziánskej súradnicovej sústave.

Aby ľubovoľný bod M(x, y, z) ležal v rovnakej rovine s bodmi M 1 , M 2 , M 3 , musia byť vektory koplanárne.

(
) = 0

teda

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Rovnica roviny vzhľadom na dva body a vektor kolineárny s rovinou.

Nech body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) a vektor
.

Zostavme rovnicu roviny prechádzajúcej danými bodmi M 1 a M 2 a ľubovoľným bodom M (x, y, z) rovnobežným s vektorom .

vektory
a vektor
musia byť koplanárne, t.j.

(
) = 0

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny vzhľadom na jeden bod a dva vektory,

kolineárna rovina.

Nech sú dané dva vektory
a
, kolineárne roviny. Potom pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine, vektory
musia byť koplanárne.

Rovinná rovnica:

Rovinná rovnica podľa bodu a normálového vektora .

Veta. Ak je bod M daný v priestore 0 (X 0 , r 0 , z 0 ), potom rovnica roviny prechádzajúcej bodom M 0 kolmo na normálny vektor (A, B, C) vyzerá ako:

A(X – X 0 ) + B(r – r 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dôkaz. Pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine zostavíme vektor . Pretože vektor - normálový vektor, potom je kolmý na rovinu, a teda kolmý na vektor
. Potom skalárny súčin

= 0

Tak dostaneme rovnicu roviny

Veta bola dokázaná.

Rovnica roviny v segmentoch.

Ak je vo všeobecnej rovnici Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, vydeľte obe časti (-D)

,

nahradenie
, dostaneme rovnicu roviny v segmentoch:

Čísla a, b, c sú priesečníky roviny s osami x, y, z.

Rovinná rovnica vo vektorovom tvare.

kde

- vektor polomeru aktuálneho bodu M(x, y, z),

Jednotkový vektor, ktorý má smer kolmice klesnutý k rovine z počiatku.

,  a  sú uhly, ktoré zviera tento vektor s osami x, y, z.

p je dĺžka tejto kolmice.

V súradniciach má táto rovnica tvar:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Vzdialenosť od bodu k rovine.

Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M 0 (x 0, y 0, z 0) k rovine Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 je:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P (4; -3; 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Takže A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, použite vzorec:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej cez dva body P(2; 0; -1) a

Q(1; -1; 3) je kolmá na rovinu 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normálny vektor k rovine 3x + 2y - z + 5 = 0
rovnobežne s požadovanou rovinou.

Dostaneme:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi A(2, -1, 4) a

В(3, 2, -1) kolmo na rovinu X + pri + 2z – 3 = 0.

Požadovaná rovinná rovnica má tvar: A X+B r+C z+ D = 0, normálový vektor k tejto rovine (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patrí do roviny. Rovina, ktorá je nám daná, kolmá na požadovanú, má normálny vektor (1, 1, 2). Pretože body A a B patria obom rovinám a roviny sú teda navzájom kolmé

Takže normálny vektor (11, -7, -2). Pretože bod A patrí do želanej roviny, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu tejto roviny, t.j. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Celkovo dostaneme rovnicu roviny: 11 X - 7r – 2z – 21 = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P(4, -3, 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Nájdenie súradníc normálového vektora
= (4, -3, 12). Požadovaná rovnica roviny má tvar: 4 X – 3r + 12z+ D = 0. Aby sme našli koeficient D, dosadíme súradnice bodu Р do rovnice:

16 + 9 + 144 + D = 0

Celkovo dostaneme požadovanú rovnicu: 4 X – 3r + 12z – 169 = 0

Príklad. Vzhľadom na súradnice vrcholov pyramídy A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Nájdite dĺžku hrany A 1 A 2 .

Nájdite uhol medzi hranami A 1 A 2 a A 1 A 4.

Nájdite uhol medzi hranou A 1 A 4 a plochou A 1 A 2 A 3 .

Najprv nájdite normálový vektor k ploche A 1 A 2 A 3 ako krížový produkt vektorov
a
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nájdite uhol medzi normálovým vektorom a vektorom
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný uhol  medzi vektorom a rovinou bude rovný  = 90 0 - .

Nájdite oblasť tváre A 1 A 2 A 3 .

Nájdite objem pyramídy.

Nájdite rovnicu roviny А 1 А 2 А 3 .

Vzorec používame na rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

Pri použití PC verzie „ Kurz vyššej matematiky” môžete spustiť program, ktorý vyrieši vyššie uvedený príklad pre ľubovoľné súradnice vrcholov pyramídy.

Program spustíte dvojitým kliknutím na ikonu:

V okne programu, ktoré sa otvorí, zadajte súradnice vrcholov pyramídy a stlačte Enter. Všetky rozhodovacie body je teda možné získať jeden po druhom.

Poznámka: Na spustenie programu musíte mať na svojom počítači nainštalovaný Maple ( Waterloo Maple Inc.), akúkoľvek verziu začínajúcu MapleV Release 4.

Rovinná rovnica. Ako napísať rovnicu pre rovinu?
Vzájomné usporiadanie rovín. Úlohy

Priestorová geometria nie je oveľa komplikovanejšia ako „plochá“ geometria a naše lety do vesmíru začínajú týmto článkom. Aby človek porozumel téme, musí jej dobre rozumieť vektory Okrem toho je žiaduce poznať geometriu roviny - bude tam veľa podobností, veľa analógií, takže informácie budú oveľa lepšie strávené. V sérii mojich lekcií sa 2D svet otvára článkom Rovnica priamky na rovine. Teraz však Batman vystúpil z TV s plochou obrazovkou a štartuje z kozmodrómu Bajkonur.

Začnime s kresbami a symbolmi. Schematicky môže byť rovina nakreslená ako rovnobežník, ktorý vytvára dojem priestoru:

Rovina je nekonečná, no my máme možnosť znázorniť len jej kúsok. V praxi sa okrem rovnobežníka kreslí aj ovál či dokonca oblak. Z technických dôvodov je pre mňa pohodlnejšie znázorniť lietadlo takto a v tejto polohe. Skutočné roviny, ktoré budeme uvažovať v praktických príkladoch, môžu byť usporiadané akýmkoľvek spôsobom - mentálne vezmite kresbu do rúk a otočte ju v priestore, čím dáte rovine akýkoľvek sklon, akýkoľvek uhol.

Notový zápis: je zvykom označovať lietadlá malými gréckymi písmenami, zrejme aby nedošlo k ich zámene rovno v lietadle alebo s priamo v priestore. Som zvyknutý používať písmeno . Na výkrese je to písmeno "sigma" a vôbec nie diera. Aj keď, dierované lietadlo, je to určite veľmi zábavné.

V niektorých prípadoch je vhodné použiť rovnaké grécke písmená s dolnými indexmi na označenie lietadiel, napríklad .

Je zrejmé, že rovina je jednoznačne určená tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke. Preto sú pomerne obľúbené trojpísmenové označenia lietadiel – podľa bodov k nim patriacich napr. Písmená sú často uzavreté v zátvorkách: , aby nedošlo k zámene roviny s iným geometrickým útvarom.

Pre skúsených čitateľov dám menu skratiek:

• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a dvoch vektorov?
• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

a nebudeme chradnúť v dlhom čakaní:

Všeobecná rovnica roviny

Všeobecná rovnica roviny má tvar , kde koeficienty sú súčasne nenulové.

Množstvo teoretických výpočtov a praktických problémov platí ako pre bežnú ortonormálnu základňu, tak aj pre afinnú základňu priestoru (ak je ropa ropa, vráťte sa k lekcii Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ). Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že všetky udalosti sa vyskytujú na ortonormálnom základe a karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme.

A teraz si potrénujme trochu priestorovej predstavivosti. Nevadí, ak to máte zlé, teraz to trochu rozvinieme. Aj hranie na nervy si vyžaduje cvik.

V najvšeobecnejšom prípade, keď sa čísla nerovnajú nule, rovina pretína všetky tri súradnicové osi. Napríklad takto:

Ešte raz opakujem, že rovina pokračuje donekonečna všetkými smermi a my máme možnosť znázorniť len jej časť.

Zvážte najjednoduchšie rovnice rovín:

Ako rozumieť tejto rovnici? Premýšľajte o tom: „Z“ VŽDY, pre akékoľvek hodnoty „X“ a „Y“ sa rovná nule. Toto je rovnica "natívnej" súradnicovej roviny. Formálne možno rovnicu prepísať takto: , odkiaľ je jasne vidieť, že nám je jedno, aké hodnoty „x“ a „y“ naberajú, je dôležité, aby sa „z“ rovnalo nule.

Podobne:
je rovnica súradnicovej roviny ;
je rovnica súradnicovej roviny.

Skúsme si problém trochu skomplikovať, uvažujme rovinu (tu a ďalej v odseku predpokladáme, že číselné koeficienty sa nerovnajú nule). Prepíšme rovnicu v tvare: . Ako tomu rozumieť? "X" je VŽDY, pretože akákoľvek hodnota "y" a "z" sa rovná určitému číslu. Táto rovina je rovnobežná s rovinou súradníc. Napríklad rovina je rovnobežná s rovinou a prechádza bodom.

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc.

Pridať členov: . Rovnicu možno prepísať takto: , to znamená, že „Z“ môže byť čokoľvek. Čo to znamená? „X“ a „y“ sú spojené pomerom, ktorý nakreslí v rovine určitú priamku (spoznáte rovnica priamky v rovine?). Keďže Z môže byť čokoľvek, táto čiara sa „replikuje“ v akejkoľvek výške. Rovnica teda definuje rovinu rovnobežnú so súradnicovou osou

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou.

Ak sú voľné členy nula, potom budú roviny priamo prechádzať cez príslušné osi. Napríklad klasická „priama úmernosť“:. Nakreslite rovnú čiaru v rovine a mentálne ju vynásobte hore a dole (keďže „z“ je ľubovoľné). Záver: rovina daná rovnicou prechádza súradnicovou osou.

Uzatvárame prehľad: rovnica roviny prechádza cez pôvod. No tu je úplne zrejmé, že bod spĺňa danú rovnicu.

A nakoniec prípad, ktorý je znázornený na výkrese: - rovina je priateľská so všetkými súradnicovými osami, pričom vždy „odreže“ trojuholník, ktorý sa môže nachádzať v ktoromkoľvek z ôsmich oktantov.

Lineárne nerovnosti v priestore

Na pochopenie informácií je potrebné dobre študovať lineárne nerovnosti v rovine pretože veľa vecí bude podobných. Tento odsek bude obsahovať stručný prehľad s niekoľkými príkladmi, keďže tento materiál je v praxi pomerne zriedkavý.

Ak rovnica definuje rovinu, potom nerovnosti
opýtať sa polovičné medzery. Ak nerovnosť nie je striktná (posledné dve v zozname), tak riešenie nerovnosti okrem polpriestoru zahŕňa aj samotnú rovinu.

Príklad 5

Nájdite jednotkový normálový vektor roviny .

rozhodnutie: Jednotkový vektor je vektor, ktorého dĺžka je jedna. Označme tento vektor . Je celkom jasné, že vektory sú kolineárne:

Najprv odstránime normálový vektor z rovnice roviny: .

Ako nájsť jednotkový vektor? Ak chcete nájsť jednotkový vektor, potrebujete každý vektorová súradnica delená dĺžkou vektora.

Prepíšme normálny vektor do formulára a nájdime jeho dĺžku:

Podľa vyššie uvedeného:

Odpoveď:

Check: , ktorý bol povinný skontrolovať.

Čitatelia, ktorí si pozorne preštudovali posledný odsek lekcie, si to pravdepodobne všimli súradnice jednotkového vektora sú presne smerové kosínusy vektora:

Odbočme od rozobraného problému: keď dostanete ľubovoľný nenulový vektor a podľa podmienky je potrebné nájsť jej smerové kosínusy (pozri posledné úlohy lekcie Bodový súčin vektorov), potom v skutočnosti nájdete aj jednotkový vektor kolineárny s daným. V skutočnosti dve úlohy v jednej fľaši.

Potreba nájsť jednotkový normálový vektor vzniká v niektorých problémoch matematickej analýzy.

Prišli sme na lov normálneho vektora, teraz odpovieme na opačnú otázku:

Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

Táto tuhá konštrukcia normálneho vektora a bodu je dobre známa terčom šípok. Natiahnite ruku dopredu a v duchu vyberte ľubovoľný bod v priestore, napríklad malú mačku v príborníku. Je zrejmé, že cez tento bod môžete nakresliť jednu rovinu kolmú na vašu ruku.

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor je vyjadrená vzorcom:

Tento článok poskytuje predstavu o tom, ako napísať rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom v trojrozmernom priestore kolmom na danú čiaru. Analyzujme vyššie uvedený algoritmus na príklade riešenia typických problémov.

Nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom v priestore kolmo na danú priamku

Nech je v ňom daný trojrozmerný priestor a pravouhlý súradnicový systém O x y z. Daný je aj bod M 1 (x 1, y 1, z 1), priamka a a rovina α prechádzajúca bodom M 1 kolmá na priamku a. Je potrebné zapísať rovnicu roviny α.

Skôr ako pristúpime k riešeniu tohto problému, pripomeňme si geometrickú vetu z programu pre ročníky 10 - 11, ktorá znie:

Definícia 1

Jedna rovina prechádza daným bodom v trojrozmernom priestore a je kolmá na danú priamku.

Teraz zvážte, ako nájsť rovnicu tejto jedinej roviny prechádzajúcej počiatočným bodom a kolmej na danú priamku.

Všeobecnú rovnicu roviny je možné napísať, ak sú známe súradnice bodu patriace do tejto roviny, ako aj súradnice normálového vektora roviny.

Podmienkou úlohy sú nám dané súradnice x 1, y 1, z 1 bodu M 1, ktorým prechádza rovina α. Ak určíme súradnice normálového vektora roviny α, potom budeme môcť napísať požadovanú rovnicu.

Normálový vektor roviny α, keďže je nenulový a leží na priamke a, kolmej na rovinu α, bude ľubovoľný smerový vektor priamky a. Takže problém nájdenia súradníc normálového vektora roviny α sa transformuje na problém určenia súradníc smerového vektora priamky a .

Určenie súradníc smerového vektora priamky a sa môže uskutočniť rôznymi spôsobmi: závisí od variantu nastavenia priamky a v počiatočných podmienkach. Napríklad, ak je čiara a v podmienke úlohy daná kanonickými rovnicami tvaru

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

alebo parametrické rovnice v tvare:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

potom bude mať smerový vektor priamky súradnice a x, ay a az. V prípade, že priamku a predstavujú dva body M 2 (x 2, y 2, z 2) a M 3 (x 3, y 3, z 3), súradnice smerového vektora budú určené ako (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

Definícia 2

Algoritmus na nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na danú priamku:

Určte súradnice smerového vektora priamky a: a → = (a x, a y, a z) ;

Súradnice normálového vektora roviny α definujeme ako súradnice smerového vektora priamky a:

n → = (A, B, C), kde A = ax, B = ay, C = az;

Napíšeme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom M 1 (x 1, y 1, z 1) a majúcej normálový vektor n→=(A, B, C) v tvare A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Toto bude požadovaná rovnica roviny, ktorá prechádza daným bodom v priestore a je kolmá na danú priamku.

Výsledná všeobecná rovnica roviny: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 umožňuje získať rovnicu roviny v segmentoch alebo normálnu rovnicu roviny.

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov pomocou algoritmu získaného vyššie.

Príklad 1

Je daný bod M 1 (3, - 4, 5), ktorým rovina prechádza a táto rovina je kolmá na súradnicu O z.

rozhodnutie

smerový vektor súradnicovej priamky O z bude súradnicový vektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Preto má normálový vektor roviny súradnice (0 , 0 , 1) . Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom M 1 (3, - 4, 5), ktorej normálový vektor má súradnice (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

odpoveď: z-5 = 0.

Zvážte iný spôsob riešenia tohto problému:

Príklad 2

Rovina, ktorá je kolmá na priamku O z bude daná neúplnou všeobecnou rovnicou roviny tvaru С z + D = 0, C ≠ 0 . Definujme hodnoty C a D: tie, pre ktoré rovina prechádza daným bodom. Dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice C z + D = 0 , dostaneme: C · 5 + D = 0 . Tie. čísla, C a D sú vo vzťahu - DC C = 5 . Ak vezmeme C \u003d 1, dostaneme D \u003d - 5.

Dosaďte tieto hodnoty do rovnice Cz + D = 0 a získajte požadovanú rovnicu pre rovinu kolmú na priamku Oz a prechádzajúcu bodom M 1 (3, - 4, 5) .

Bude to vyzerať takto: z - 5 = 0.

odpoveď: z-5 = 0.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu počiatkom a kolmú na priamku x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

rozhodnutie

Na základe podmienok úlohy možno tvrdiť, že vodiaci vektor danej priamky možno brať ako normálový vektor n → danej roviny. Teda: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom O (0, 0, 0) a majúcej normálny vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Získali sme požadovanú rovnicu pre rovinu prechádzajúcu počiatkom kolmo na danú priamku.

odpoveď:- 3x - 7r + 2z = 0

Príklad 4

Daný pravouhlý súradnicový systém O x y z v trojrozmernom priestore obsahuje dva body A (2 , - 1 , - 2) a B (3 , - 2 , 4) . Bodom A kolmým na priamku AB prechádza rovina α. Rovnicu roviny α je potrebné zostaviť po úsečkách.

rozhodnutie

Rovina α je kolmá na priamku A B, potom vektor A B → bude normálovým vektorom roviny α. Súradnice tohto vektora sú určené ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami bodov B (3, - 2, 4) a A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Všeobecná rovnica roviny bude napísaná v nasledujúcom tvare:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Teraz zostavíme požadovanú rovnicu roviny v segmentoch:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

odpoveď:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Treba si tiež uvedomiť, že existujú úlohy, ktorých požiadavkou je napísať rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom a kolmú na dve dané roviny. Vo všeobecnosti je riešením tohto problému napísať rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom kolmým na danú priamku, keďže dve pretínajúce sa roviny vymedzujú priamku.

Príklad 5

Je daný pravouhlý súradnicový systém O x y z, v ktorom je bod M 1 (2, 0, - 5) . Sú uvedené aj rovnice dvoch rovín 3 x + 2 y + 1 = 0 a x + 2 z - 1 = 0, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky a . Pre rovinu prechádzajúcu bodom M 1 kolmou na priamku a je potrebné zostaviť rovnicu.

rozhodnutie

Určme súradnice smerového vektora priamky a . Je kolmý na normálový vektor n 1 → (3 , 2 , 0) roviny n → (1 , 0 , 2) aj na normálový vektor 3 x + 2 y + 1 = 0 z x + 2 z - 1 = 0 rovina.

Potom smerový vektor α → priamka a vezmeme vektorový súčin vektorov n 1 → a n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Vektor n → = (4, - 6, - 2) bude teda normálovým vektorom roviny kolmej na priamku a. Napíšeme požadovanú rovnicu roviny:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Existuje nekonečne veľa čiar, ktoré možno nakresliť cez ktorýkoľvek bod.

Cez akékoľvek dva nezhodné body vedie iba jedna priamka.

Dve nezhodné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti relatívnej polohy dvoch čiar:

• čiary sa pretínajú;

• priame čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok- algebraická krivka prvého rádu: v karteziánskom súradnicovom systéme priamka

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku

Ah + Wu + C = 0,

a konštantný A, B nerovná sa zároveň nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

priamka rovnica. V závislosti od hodnôt konštánt A, B a S Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čiara prechádza počiatkom

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť reprezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmá na priamku danú rovnicou

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

rozhodnutie. Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Ak chcete nájsť koeficient C

do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda

C = -1. Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M2 (x 2, y 2, z 2), potom priamka rovnica,

prechádza cez tieto body:

Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Na

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal faktor sklonu rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

rozhodnutie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky bodom a sklonom.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ah + Wu + C = 0 uveďte do formulára:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky na bode a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

rozhodnutie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C≠0, potom po delení -C dostaneme:

alebo , kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka

rovný s nápravou oh, a b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ah + Wu + C = 0 deliť číslom , ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ * C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k čiare,

a φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x – 5r – 65 = 0. Vyžaduje sa písanie rôznych typov rovníc

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi čiarami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

ak k 1 \u003d -1 / k 2 .

Veta.

Priamy Ah + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom je kolmá na danú priamku.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k čiare Ah + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice klesla z hrotu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo

daný riadok. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.