§1.1. Reálne čísla
K prvému zoznámeniu sa s reálnymi číslami dochádza v školskom kurze matematiky. Akékoľvek reálne číslo je reprezentované konečným alebo nekonečným desatinným zlomkom.
Reálne (reálne) čísla sa delia na dve triedy: triedu racionálnych a triedu iracionálnych čísel. Racionálne volajú sa čísla, ktoré vyzerajú ako , kde m a n sú celé čísla coprime, ale 
. (Súbor racionálnych čísel je označený písmenom Q). Zvyšné reálne čísla sú volané iracionálny. Racionálne čísla sú reprezentované konečným alebo nekonečným periodickým zlomkom (rovnako ako obyčajné zlomky), potom tie a len tie reálne čísla, ktoré môžu byť reprezentované nekonečnými neperiodickými zlomkami, budú iracionálne.
Napríklad číslo 
- racionálny a 
, 
, 
atď. sú iracionálne čísla.
Reálne čísla môžeme rozdeliť aj na algebraické - korene polynómu s racionálnymi koeficientmi (patria sem najmä všetky racionálne čísla - korene rovnice 
) - a transcendentálne - všetko ostatné (napríklad čísla 
iné).
Množiny všetkých prirodzených, celých, reálnych čísel sú označené takto: NZ, R
(začiatočné písmená slov Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. Obrázok reálnych čísel na číselnej osi. Intervaly
Geometricky (pre prehľadnosť) sú reálne čísla reprezentované bodmi na nekonečnej (v oboch smeroch) priamke, tzv. číselné
os. Na tento účel sa na uvažovanej čiare vyberie bod (referenčný bod je bod 0), kladný smer je označený šípkou (zvyčajne doprava) a vyberie sa jednotka mierky, ktorá sa odloží. neurčito na oboch stranách bodu 0. Takto sa zobrazujú celé čísla. Ak chcete zobraziť číslo s jedným desatinným miestom, každý segment musí byť rozdelený na desať častí atď. Každé reálne číslo je teda reprezentované bodkou na číselnej osi. Naopak, každý bod 
zodpovedá reálnemu číslu rovnému dĺžke segmentu 
a brané so znamienkom "+" alebo "-" v závislosti od toho, či bod leží vpravo alebo vľavo od začiatku. Takto sa vytvorí korešpondencia jedna ku jednej medzi množinou všetkých reálnych čísel a množinou všetkých bodov číselnej osi. Pojmy „reálne číslo“ a „bod číselnej osi“ sa používajú ako synonymá.
Symbol 
budeme označovať reálne číslo aj bod, ktorý mu zodpovedá. Kladné čísla sú umiestnené vpravo od bodu 0, záporné - vľavo. Ak 
, potom na skutočnej osi bod 
leží naľavo od bodu 
. Nechajte bod 
zodpovedá číslu, potom sa číslo nazýva súradnica bodu, píšu 
; častejšie je samotný bod označený rovnakým písmenom ako číslo. Bod 0 je počiatkom súradníc. Os je tiež označená písmenom 
(obr.1.1).
Ryža. 1.1. Číselná os.
Množina všetkých ležiacich čísel medzi dané čísla a nazýva sa interval alebo medzera; konce mu môžu a nemusia patriť. Poďme si to ujasniť. Nechať byť 
. Množina čísel, ktoré spĺňajú podmienku 
, sa nazýva interval (v užšom zmysle) alebo otvorený interval, označovaný symbolom 
(obr.1.2).
Ryža. 1.2. Interval
Zbierka čísel takých, že 
sa nazýva uzavretý interval (segment, segment) a označuje sa 
; na číselnej osi je označený takto:
Ryža. 1.3. uzavretý interval
Od otvorenej medzery sa líši iba v dvoch bodoch (koncoch) a . Tento rozdiel je ale zásadný, podstatný, ako uvidíme neskôr napríklad pri štúdiu vlastností funkcií.
Vynechaním slov „množina všetkých čísel (bodov) X tak, že „ atď., poznamenávame ďalej:
a 
, označené 
a 
napoly otvorené alebo napoly zatvorené intervaly (niekedy: polovičné intervaly);
alebo 
znamená: 
alebo 
a označené 
alebo 
;
alebo 
znamená 
alebo 
a označené 
alebo 
;
, označené 
množina všetkých reálnych čísel. Odznaky 
symboly „nekonečna“; nazývajú sa nesprávne alebo ideálne čísla. 
§1.3. Absolútna hodnota (alebo modul) reálneho čísla
Definícia. Absolútna hodnota (alebo modul)číslo sa nazýva samotné číslo, ak 
alebo 
ak 
. Absolútna hodnota je označená symbolom 
. takze 
Napríklad, 
, 
, 
.
Geometricky znamená bodová vzdialenosť a k začiatku súradníc. Ak máme dva body a , potom vzdialenosť medzi nimi môže byť reprezentovaná ako 
(alebo 
). Napríklad, 
tá vzdialenosť 
.
Vlastnosti absolútnych hodnôt.
1. Z definície vyplýva, že 
, 
, t.j 
.
2. Absolútna hodnota súčtu a rozdielu nepresahuje súčet absolútnych hodnôt: 
.
1) Ak 
, potom 
. 2) Ak 
, potom . ▲
3. 
.
, potom podľa vlastnosti 2: 
, t.j. 
. Podobne, ak si predstavíme 
, potom sa dostaneme k nerovnosti 
▲
4. 
– vyplýva z definície: zvážiť prípady 
a 
.
5. 
, za predpokladu, že 
To isté vyplýva z definície.
6. Nerovnosť 
,
, znamená 
. Táto nerovnosť je uspokojená bodmi, ktoré ležia medzi nimi 
a 
.
7. Nerovnosť 
je ekvivalentná nerovnosti 
, t.j. . Je to interval so stredom v bode dĺžky 
. To sa nazýva 
okolie bodu (čísla) . Ak 
, potom sa susedstvo nazýva prepichnuté: toto alebo 
. (obr.1.4).
8. 
z čoho vyplýva, že nerovnosť 
(
) sa rovná nerovnosti 
alebo 
; a nerovnosť 
určuje množinu bodov, pre ktoré 
, t.j. sú body mimo segmentu 
, presne tak: 
a 
.
§1.4. Niektoré pojmy, označenia
Tu sú niektoré široko používané pojmy, zápisy z teórie množín, matematickej logiky a iných odvetví modernej matematiky.
1 . koncepcia súpravy je jedným zo základných v matematike, počiatočný, univerzálny - a preto ho nemožno definovať. Dá sa len opísať (nahradiť synonymami): je to zbierka, súbor nejakých predmetov, vecí, spojených nejakými znakmi. Tieto objekty sú tzv prvkov súpravy. Príklady: veľa zrniek piesku na brehu, hviezdy vo vesmíre, žiaci v triede, korene rovnice, body úsečky. Volajú sa množiny, ktorých prvkami sú čísla číselné sady. Pre niektoré štandardné množiny sa zavádza špeciálna notácia, napr. N,Z,R- pozri § 1.1.
Nechať byť A- nastaviť a X je jeho prvkom, potom píšeme: 
; číta " X patrí A» ( 
inklúzny znak pre prvky). Ak je objekt X nie sú zahrnuté v A, potom píšu 
; znie: " X Nepatrí A". Napríklad, 
N; 8,51
N; ale 8.51 
R.
Ak X je všeobecné označenie prvkov súboru A, potom píšu 
. Ak je možné vypísať označenie všetkých prvkov, potom napíšte 
, 
Množina, ktorá neobsahuje jediný prvok, sa nazýva prázdna množina a označuje sa symbolom ; napríklad množina (skutočných) koreňov rovnice 
je tam prázdno.
Súprava je tzv konečné ak pozostáva z konečného počtu prvkov. Ak sa však bez ohľadu na to, aké prirodzené číslo N vezme, v množine A existuje teda viac prvkov ako N A volal nekonečné súbor: je v ňom nekonečne veľa prvkov.
Ak každý prvok zostavy ^A patrí do sady B, potom 
nazývaná časť alebo podmnožina množiny B a písať 
; číta " A obsiahnuté v B» ( 
pre množiny existuje inklúzny znak). Napríklad, NZR. Ak 
, potom hovoríme, že množiny A a B rovnať a písať 
. V opačnom prípade napíšte 
. Napríklad, ak 
, a 
množina koreňov rovnice 
, potom .
Súbor prvkov oboch súborov A a B volal združenia nastavuje a označuje sa 
(niekedy 
). Súbor prvkov patriacich do a A a B, sa volá križovatka nastavuje a označuje sa 
. Súbor všetkých prvkov súpravy ^A, ktoré nie sú zahrnuté B, sa volá rozdiel nastavuje a označuje sa 
. Schematicky možno tieto operácie znázorniť takto:
Ak sa medzi prvkami množín dá vytvoriť korešpondencia jedna ku jednej, potom hovoria, že tieto množiny sú ekvivalentné a píšu 
. Akákoľvek sada A, ekvivalentné množine prirodzených čísel N= volaný spočítateľné alebo spočítateľné. Inými slovami, množina sa nazýva spočítateľná, ak sa jej prvky dajú očíslovať a umiestniť do nekonečna podsekvencia 
, ktorého všetci členovia sú odlišní: 
pri 
, a môže byť napísaný ako . Ďalšie nekonečné množiny sú tzv nespočítateľné. Počítateľné, okrem samotnej sady N, budú napríklad súpravy 
, Z. Ukazuje sa, že množiny všetkých racionálnych a algebraických čísel sú spočítateľné a ekvivalentné množiny všetkých iracionálnych, transcendentálnych, reálnych čísel a bodov akéhokoľvek intervalu sú nespočítateľné. Hovorí sa, že tieto majú silu kontinua (mocnosť je zovšeobecnením pojmu počet (počet) prvkov pre nekonečnú množinu).
2
. Nech sú dve tvrdenia, dve skutočnosti: a 
. Symbol 
znamená: „ak je pravda, potom pravda“ alebo „nasleduje“, „znamená, že koreň rovnice má vlastnosť z angličtiny Existovať- existovať.
Nahrávanie: 
, alebo 
, znamená: existuje (aspoň jeden) objekt, ktorý má danú vlastnosť 
. Nahrávka 
, alebo 
, znamená: všetci majú vlastnosť . Konkrétne môžeme napísať: 
a .
Pojmy „množina“, „prvok“, „členstvo prvku v množine“ sú primárnymi pojmami matematiky. Kopa- akákoľvek zbierka (agregát) akýchkoľvek položiek .
A je podmnožinou B ak je každý prvok množiny A prvkom množiny B, t.j. AÌV Û (хОА u хОВ).
Dve sady sú rovnaké ak pozostávajú z rovnakých prvkov. Hovoríme o množinovo-teoretickej rovnosti (nezamieňať s rovnosťou medzi číslami): A=B Û AÌB Ù BÌA.
Spojenie dvoch množín pozostáva z prvkov patriacich aspoň do jednej z množín, t.j. xOAÈV Û xOAÚ xOV.
križovatka pozostáva zo všetkých prvkov súčasne patriacich do množiny A aj množiny B: хОАЗВ Û хОА u хОВ.
Rozdiel pozostáva zo všetkých prvkov A, ktoré nepatria do B, t.j. xO A\B Û xOA ÙxPB.
karteziánsky súčin C=A´B množín A a B je množina všetkých možných párov ( x, y), kde je prvý prvok X každý pár patrí do A a jeho druhého prvku pri patrí V.
Podmnožina F kartézskeho súčinu A´B sa nazýva mapovanie z množiny A do množiny B , ak je splnená podmienka: (" XОА)($! pár ( x.y)ОF). Zároveň píšu: A.V.
Pojmy „mapovanie“ a „funkcia“ sú synonymá. Ak ("хОА)($! уОВ): ( x, y)нF, potom prvok priÎ AT volal spôsobom X pri zobrazení F a napíšte to takto: pri=F( X). Prvok X zároveň je prototyp (jeden z možných) prvok y.
Zvážte množina racionálnych čísel Q - množina všetkých celých čísel a množina všetkých zlomkov (kladných aj záporných). Každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako kvocient, napríklad 1 = 4/3 = 8/6 = 12/9 =…. Existuje veľa takýchto zobrazení, ale iba jedna z nich je neredukovateľná. .
AT každé racionálne číslo môže byť jednoznačne reprezentované ako zlomok p/q, kde pОZ, qОN, čísla p, q sú súdruhé.
Vlastnosti množiny Q:
1. Uzavretie s ohľadom na aritmetické operácie. Výsledkom sčítania, odčítania, násobenia, umocnenia na prirodzenú mocninu, delenia (okrem delenia 0) racionálnych čísel je racionálne číslo: ; ; 
.
2. Objednávka: (" x, yОQ, x¹y)®( X
A: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)a -b.
3. Hustota. Medzi akýmikoľvek dvoma racionálnymi číslami x, y existuje tretie racionálne číslo (napr. c= ):
("x, yОQ, X<r)($cОQ) : ( X
Na množine Q môžete vykonávať 4 aritmetické operácie, riešiť sústavy lineárnych rovníc, ale kvadratické rovnice tvaru x 2 \u003d a, a N nie sú vždy riešiteľné v množine Q.
Veta. Nie je tam žiadne číslo хОQ, ktorého štvorec je 2.
g Nech je taký zlomok X=p/q, kde čísla p a q sú koprimé a X 2 = 2. Potom (p/q)2 = 2. teda
Pravá strana (1) je deliteľná 2, takže p 2 je párne číslo. Teda p=2n (n-celé číslo). Potom q musí byť nepárne číslo.
Ak sa vrátime k (1), máme 4n 2 = 2q 2 . Preto q 2 \u003d 2n 2. Podobne sa presvedčíme, že q je deliteľné 2, t.j. q je párne číslo. Protirečením sa veta dokazuje.n
geometrické znázornenie racionálnych čísel. Položením jedného segmentu od začiatku súradníc 1, 2, 3 ... krát doprava dostaneme body súradnicovej čiary, ktoré zodpovedajú prirodzeným číslam. Odložením podobne ako vľavo dostaneme body zodpovedajúce záporným celým číslam. Vezmime 1/q(q= 2,3,4 … ) súčasťou jedného segmentu a odložíme ho na obe strany počiatku R raz. Získame body priamky zodpovedajúce číslam formulára ±p/q (pОZ, qОN). Ak p, q prechádzajú cez všetky dvojice prvočísel, potom na riadku máme všetky body zodpovedajúce zlomkovým číslam. teda podľa prijatej metódy každé racionálne číslo zodpovedá jednému bodu súradnicovej priamky.
Existuje jediné racionálne číslo pre každý bod? Je riadok celý vyplnený racionálnymi číslami?
Ukazuje sa, že na súradnicovej línii sú body, ktoré nezodpovedajú žiadnym racionálnym číslam. Zostrojíme rovnoramenný pravouhlý trojuholník na jednom segmente. Bod N nezodpovedá racionálnemu číslu, keďže ak ON=x- racionálne x 2 = 2, čo nemôže byť.
Na priamke je nekonečne veľa bodov podobných bodu N. Vezmite racionálne časti segmentu x=ON, tie. X. Ak ich odložíme doprava, žiadne racionálne číslo nebude zodpovedať každému z koncov žiadneho z týchto segmentov. Za predpokladu, že dĺžka segmentu je vyjadrená racionálnym číslom x=, chápeme to x=- racionálny. To je v rozpore s tým, čo bolo dokázané vyššie.
Racionálne čísla nestačia na to, aby každý bod súradnicovej priamky bol spojený s nejakým racionálnym číslom.
Poďme stavať množina reálnych čísel R cez nekonečné desatinné miesta.
Podľa algoritmu „rohového“ delenia môže byť akékoľvek racionálne číslo reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok. Keď menovateľ p/q nemá iných hlavných deliteľov ako 2 a 5, t.j. q=2 m ×5 k , potom výsledkom bude konečný desatinný zlomok p/q=a 0 ,a 1 a 2 …a n . Ostatné zlomky môžu mať iba nekonečné desatinné expanzie.
Keď poznáte nekonečný periodický desatinný zlomok, môžete nájsť racionálne číslo, ktorého reprezentáciou je. Ale každý konečný desatinný zlomok môže byť reprezentovaný ako nekonečný desatinný zlomok jedným z nasledujúcich spôsobov:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
Napríklad na nekonečnú desatinnú čiarku X=0, (9) máme 10 X=9,(9). Ak odpočítame pôvodné číslo od 10x, dostaneme 9 X=9 alebo 1=1,(0)=0,(9).
Korešpondencia jedna k jednej vznikne medzi množinou všetkých racionálnych čísel a množinou všetkých nekonečných periodických desatinných zlomkov, ak nekonečný desatinný zlomok identifikujeme s číslom 9 v perióde so zodpovedajúcim nekonečným desatinným zlomkom s číslicou 0 v obdobie podľa pravidla (2).
Dohodnime sa, že použijeme také nekonečné periodické zlomky, ktoré nemajú v perióde číslo 9. Ak v procese uvažovania vznikne nekonečný periodický desatinný zlomok s číslom 9 v perióde, tak ho nahradíme nekonečným desatinným zlomkom s nulou v perióde, t.j. namiesto 1 999... zoberieme 2 000...
Definícia iracionálneho čísla. Okrem nekonečných desatinných periodických zlomkov existujú aj neperiodické desatinné zlomky. Napríklad 0,1010010001… alebo 27,1234567891011… (prirodzené čísla nasledujú za desatinnou čiarkou).
Uvažujme nekonečný desatinný zlomok tvaru ±a 0 , a 1 a 2 …a n … (3)
Tento zlomok je definovaný špecifikovaním znamienka „+“ alebo „–“, nezáporného celého čísla a 0 a postupnosti desatinných miest a 1 ,a 2 ,...,a n ,... (množina desatinných miest pozostáva z desiatich čísel : 0, 1, 2,…, deväť).
Nazveme ľubovoľný zlomok tvaru (3) skutočné (skutočné) číslo. Ak je pred zlomkom (3) znamienko „+“, zvyčajne sa vynecháva a píše sa 0, a 1 a 2 ... a n ... (4)
Vyvolá sa číslo formulára (4). nezáporné reálne číslo, a v prípade, že aspoň jedno z čísel a 0 , a 1 , a 2 , …, a n je odlišné od nuly, – kladné reálne číslo. Ak sa vo výraze (3) použije znak „-“, ide o záporné číslo.
Zjednotenie množín racionálnych a iracionálnych čísel tvorí množinu reálnych čísel (QÈJ=R). Ak je nekonečný desatinný zlomok (3) periodický, potom je to racionálne číslo, keď zlomok je neperiodický, je iracionálny.
Dve nezáporné reálne čísla a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. volal rovný(oni píšu a=b), ak a n = b n pri n=0,1,2… Číslo a je menšie ako číslo b(oni píšu a<b), ak buď 0 alebo a 0 = b 0 a je tam číslo m,čo a k = b k (k = 0,1,2,...m-1), a a m , t.j. a Û (0 Ú ($mОN: a k = b k (k = ), a m ). Termín " a>b».
Na porovnanie ľubovoľných reálnych čísel zavedieme koncept " modul a» . Modul reálneho čísla a \u003d ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... volá sa také nezáporné reálne číslo, ktoré je reprezentované rovnakým nekonečným desatinným zlomkom, ale brané so znamienkom „+“, t.j. ½ a½= a 0, a 1 a 2 …a n … a½ a½³0. Ak a - nie negatívne, b je teda záporné číslo a>b. Ak sú obe čísla záporné ( a<0, b<0 ), potom predpokladáme, že: 1) a=b, ak ½ a½ = ½ b½; 2) a , ak ½ a½ > ½ b½.
Vlastnosti množiny R:
ja Vlastnosti objednávky:
1. Pre každú dvojicu reálnych čísel a a b existuje len jeden vzťah: a=b, a
2. Ak a
3. Ak a , potom je číslo c také, že a< с .
II. Vlastnosti operácií sčítania a odčítania:
4. a+b=b+a(komutativity).
5. (a+b)+c=a+(b+c) (asociatívnosť).
6. a+0=a.
7. a+(-a)= 0.
8. von a Þ a+c
III. Vlastnosti operácií násobenia a delenia:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c).
11. a×1=a.
12. a×(1/a)=1 (a¹0).
13. (a + b) × c \u003d ac + bc(distributivity).
14. ak a a c>0, potom a×s
IV. Archimedovský majetok("cОR)($nОN) : (n>c).
Bez ohľadu na číslo сОR existuje nОN takých, že n>c.
v. Vlastnosť spojitosti reálnych čísel. Nech sú dve neprázdne množiny AÌR a BÌR také, že akýkoľvek prvok aОА už nebude ( a£ b) akéhokoľvek prvku bнB. Potom Dedekindov princíp kontinuity tvrdí existenciu čísla c takého, že pre všetkých aнА a bнB stav a£c£ b:
(" AÌR, BÌR): (" aОA, bОB ® a£b)($cОR): (" aÎA, bÎB® a£c£b).
Množinu R stotožníme s množinou bodov reálnej priamky a reálne čísla nazveme bodmi.
Geometricky reálne čísla, podobne ako racionálne čísla, sú reprezentované bodmi na priamke.
Nechať byť l - ľubovoľná priamka a O - niektoré jej body (obr. 58). Každé kladné reálne číslo α dajte do korešpondencie bod A, ležiaci napravo od O vo vzdialenosti od α jednotky dĺžky.
Ak napr. α = 2,1356..., teda
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
atď. Je zrejmé, že bod A v tomto prípade musí byť na priamke l napravo od bodov zodpovedajúcich číslam
2; 2,1; 2,13; ... ,
ale naľavo od bodov zodpovedajúcich číslam
3; 2,2; 2,14; ... .
Dá sa ukázať, že tieto podmienky definujú na linke l jediný bod A, ktorý považujeme za geometrický obraz reálneho čísla α = 2,1356... .
Rovnako tak každé záporné reálne číslo β dajte do súladu bod B ležiaci vľavo od O vo vzdialenosti | β | jednotky dĺžky. Nakoniec bod O priradíme číslu „nula“.
Číslo 1 sa teda zobrazí na priamke l bod A, umiestnený napravo od O vo vzdialenosti jednej jednotky dĺžky (obr. 59), číslo - √2 - bod B, ležiaci naľavo od O vo vzdialenosti √2 jednotiek dĺžky atď.
Ukážme si ako na priamke l pomocou kružidla a pravítka možno nájsť body zodpovedajúce reálnym číslam √2, √3, √4, √5 atď. Aby sme to dosiahli, najprv si ukážeme, ako zostrojiť úsečky, ktorých dĺžky sú vyjadrené týmito číslami. Nech AB je úsečka braná ako jednotka dĺžky (obr. 60).
V bode A obnovíme kolmicu na tento segment a odložíme naň segment AC, ktorý sa rovná segmentu AB. Potom aplikovaním Pytagorovej vety na pravouhlý trojuholník ABC dostaneme; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2
Preto má segment BC dĺžku √2. Teraz obnovme kolmicu na úsečku BC v bode C a zvolíme na nej bod D tak, aby sa úsečka CD rovnala jednotkovej dĺžke AB. Potom z pravého trojuholníka BCD nájdeme:
ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3
Preto má segment BD dĺžku √3. Pokračujúc ďalej v popisovanom procese by sme mohli dostať segmenty BE, BF, ..., ktorých dĺžky sú vyjadrené číslami √4, √5 atď.
Teraz na linke l je ľahké nájsť tie body, ktoré slúžia ako geometrické znázornenie čísel √2, √3, √4, √5 atď.
Ak dáme napríklad úsečku BC napravo od bodu O (obr. 61), dostaneme bod C, ktorý slúži ako geometrické znázornenie čísla √2. Rovnakým spôsobom, ak dáme segment BD napravo od bodu O, dostaneme bod D“, čo je geometrický obraz čísla √3 atď.
Netreba si však myslieť, že pomocou kompasu a pravítka na číselnej osi l možno nájsť bod zodpovedajúci akémukoľvek danému reálnemu číslu. Dokázalo sa napríklad, že ak máte k dispozícii iba kružidlo a pravítko, nie je možné zostrojiť úsečku, ktorej dĺžka je vyjadrená číslom π = 3,14 ... . Takže na číselnej osi l pomocou takýchto konštrukcií nie je možné označiť bod zodpovedajúci tomuto číslu, napriek tomu taký bod existuje.
Takže pre každé reálne číslo α je možné priradiť nejaký presne definovaný bod úsečky l . Tento bod bude oddelený od počiatočného bodu O vo vzdialenosti | α | jednotky dĺžky a byť napravo od O, ak α > 0 a naľavo od O, ak α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . Skutočne, nech je číslo α zodpovedá bodu A a číslo β - bod B. Potom, ak α > β , potom A bude napravo od B (obr. 62, a); ak α < β , potom A bude ležať naľavo od B (obr. 62, b).
Keď už hovoríme v § 37 o geometrickom zobrazení racionálnych čísel, položili sme si otázku: možno akýkoľvek bod priamky považovať za geometrický obraz nejakého racionálnyčísla? Na túto otázku sme vtedy nevedeli dať odpoveď; teraz na to môžeme celkom jednoznačne odpovedať. Na priamke sú body, ktoré slúžia ako geometrické znázornenie iracionálnych čísel (napríklad √2). Preto nie každý bod na priamke predstavuje racionálne číslo. V tomto prípade však vyvstáva ďalšia otázka: možno akýkoľvek bod skutočnej čiary považovať za geometrický obraz nejakého platnéčísla? Tento problém už bol kladne vyriešený.
Vskutku, nech A je ľubovoľný bod na priamke l , ležiaci vpravo od O (obr. 63).
Dĺžka segmentu OA je vyjadrená kladným reálnym číslom α (pozri § 41). Preto bod A je geometrickým obrazom čísla α . Podobne sa zistilo, že každý bod B, ležiaci naľavo od O, možno považovať za geometrický obraz záporného reálneho čísla - β , kde β - dĺžka úseku VO. Nakoniec bod O slúži ako geometrické znázornenie čísla nula. Je jasné, že ide o dva odlišné body čiary l nemôže byť geometrickým obrazom toho istého reálneho čísla.
Z vyššie uvedených dôvodov sa nazýva priamka, na ktorej je nejaký bod O označený ako „počiatočný“ bod (pre danú jednotku dĺžky). číselný rad.
Záver. Množina všetkých reálnych čísel a množina všetkých bodov reálnej čiary sú v korešpondencii jedna ku jednej.
To znamená, že každému reálnemu číslu zodpovedá jeden, presne definovaný bod číselnej osy, a naopak, každému bodu číselnej osi pri takejto zhode zodpovedá jedno, presne definované reálne číslo.
Expresívne geometrické znázornenie systému racionálnych čísel možno získať nasledovne.
Na nejakej priamke, „numerickej osi“, označíme segment od O po 1 (obr. 8). Tým sa nastavuje dĺžka segmentu jednotky, ktorá sa vo všeobecnosti môže zvoliť ľubovoľne. Kladné a záporné celé čísla sú potom znázornené ako množina rovnako vzdialených bodov na číselnej osi, kladné čísla sú označené vpravo a záporné čísla vľavo od bodu 0. Na zobrazenie čísel s menovateľom n delíme každý zo získaných segmentov jednotkovej dĺžky na n rovnakých častí; deliace body budú predstavovať zlomky s menovateľom n. Ak to urobíme pre hodnoty n zodpovedajúce všetkým prirodzeným číslam, potom každé racionálne číslo bude znázornené nejakým bodom na číselnej osi. Súhlasíme s tým, že tieto body budeme nazývať „racionálne“; vo všeobecnosti sa pojmy „racionálne číslo“ a „racionálny bod“ budú používať ako synonymá.
V kapitole I § 1 bol vzťah nerovnosti A definovaný pre ľubovoľnú dvojicu racionálnych bodov, je prirodzené pokúsiť sa vzťah aritmetickej nerovnosti zovšeobecniť tak, aby sa zachoval tento geometrický poriadok pre uvažované body. Je to možné, ak prijmeme nasledujúcu definíciu: povieme, že racionálne číslo A menšie ako racionálne číslo B (A je väčšie ako číslo A (B>A), ak je rozdiel B-A kladný. Z toho vyplýva (pre A medzi A a B sú tie, ktoré sú > A aj segment (alebo segment) a označuje sa [A, B] (a množina iba medziľahlých bodov - interval(alebo medzera), označené (A, B)).
Volá sa vzdialenosť ľubovoľného bodu A od počiatku 0, ktorý sa považuje za kladné číslo absolútna hodnota A a je označené symbolom
Pojem „absolútna hodnota“ je definovaný takto: ak A≥0, potom |A| = A; Ak
|A + B|≤|A| + |B|,
čo platí bez ohľadu na znaky A a B.
Fakt zásadný význam vyjadruje nasledujúca veta: racionálne body sú na číselnej osi všade husté. Význam tohto tvrdenia je, že vo vnútri každého intervalu, bez ohľadu na to, aký malý môže byť, existujú racionálne body. Na overenie platnosti uvedeného tvrdenia stačí zobrať číslo n také veľké, že interval bude menší ako daný interval (A, B); potom aspoň jeden z bodov pohľadu bude v danom intervale. Takže na číselnej osi nie je taký interval (ani ten najmenší predstaviteľný), v ktorom by neboli žiadne racionálne body. Z toho vyplýva ďalší dôsledok: každý interval obsahuje nekonečnú množinu racionálnych bodov. Ak by totiž nejaký interval obsahoval iba konečný počet racionálnych bodov, potom by v intervale tvorenom dvoma susednými bodmi už racionálne body neexistovali, a to je v rozpore s tým, čo bolo práve dokázané.
VSTUPENKA 1
Racionálnečísla sú čísla zapísané ako p/q, kde q je prirodzené. číslo a p je celé číslo.
Dve čísla a=p1/q1 a b=p2/q2 sa nazývajú rovnaké, ak p1q2=p2q1 a p2q1 a a>b ak p1q2
VSTUPENKA 2
Komplexné čísla. Komplexné čísla
Algebraická rovnica je rovnica v tvare: P n ( X) = 0, kde P n ( X) - polynóm n- oh stupeň. Pár reálnych čísel X a pri sa bude nazývať objednané, ak je uvedené, ktorý z nich sa považuje za prvý a ktorý - druhý. Zápis objednaného páru: ( X, r). Komplexné číslo je ľubovoľná usporiadaná dvojica reálnych čísel. z = (X, r)-komplexné číslo.
X- skutočná časť z, r- imaginárna časť z. Ak X= 0 a r= 0 teda z= 0. Uvažujme z 1 = (x 1, y 1) a z 2 = (x 2, y 2).
Definícia 1. z 1 \u003d z 2, ak x 1 \u003d x 2 a y 1 \u003d y 2.
Pojmy > a< для комплексных чисел не вводятся.
Geometrická reprezentácia a trigonometrický tvar komplexných čísel.
M( X, r) « z = X + iy.
½ OM½ = r = ½ z½ = .(obrázok)
r sa nazýva modul komplexného čísla z.
j sa nazýva argument komplexného čísla z. Definuje sa do ± 2p n.
X= rcosj, r= rsinj.
z= X+ iy= r(cosj + i sinj) je trigonometrická forma komplexných čísel.
Vyhlásenie 3.
= (cos + i hriech),
= (cos + i hriech), teda
= (cos( +) + i hriech ( + )),
= (cos(-)+ i sin( -)) pri ¹0.
Vyhlásenie 4.
Ak z=r (cosj + i sinj), potom „prirodzené n:
= (cos nj + i hriech nj),
VSTUPENKA 3
Nechať byť X-množina čísel obsahujúca aspoň jedno číslo (neprázdna množina).
XÎ X- X obsiahnuté v X. ; XÏ X- X Nepatrí X.
Definícia: Kopa X sa nazýva ohraničený zhora (zdola), ak existuje číslo M(m) tak, že pre akékoľvek X Î X nerovnosť X £ M (X ³ m), zatiaľ čo číslo M sa nazýva horná (dolná) hranica množiny X. Kopa X sa nazýva ohraničený zhora, ak $ M, " X Î X: X £ M. Definícia zhora bez obmedzenia. Kopa X sa nazýva neobmedzený zhora, ak " M $ X Î X: X> M Definícia kopa X sa nazýva ohraničený, ak je ohraničený nad a pod, teda $ M, m taký, že " X Î X: m £ X £ M. Ekvivalentná definícia obmedzenej množiny: Sada X sa nazýva ohraničený, ak $ A > 0, " X Î X: ½ X½£ A. Definícia: Najmenšia z horných hraníc množiny ohraničenej vyššie X sa nazýva jeho najmenšia horná hranica a označuje sa Sup X
(najvyššia). =Sup X. Podobne je možné určiť presné
spodný okraj. ekvivalent definícia presný horný okraj:
Číslo sa nazýva najmenšia horná hranica množiny X, ak: 1) " X Î X: X£ (táto podmienka ukazuje, že ide o jednu z horných hraníc). 2) " < $ x Î X: X> (táto podmienka ukazuje, že -
najmenšia z horných hraníc).
súp X= :
1. " XÎ X: X £ .
2. " < $ XÎ X: X> .
inf X(infimum) je najmenej infimum. Položme si otázku: má každá ohraničená množina presné tváre?
Príklad: X= {X: X>0) nemá najmenšie číslo.
Veta o existencii presnej hornej (dolnej) steny. Akákoľvek neprázdna horná (dolná) množina ohraničenia xОR má bodovú hornú (dolnú) hranicu.
Veta o separovateľnosti číselných množných čísel:▀▀▄
VSTUPENKA 4
Ak je každé číslo n (n = 1,2,3 ..) priradené určitému číslu Xn, potom hovoria, že je definované a dané podsekvencia x1, x2 …, napíšte (Xn), (Xn). Príklad: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,… zhora (zdola), ak je počet bodov x=x1,x2,...xn ležiacich na reálnej osi obmedzený zhora (zdola), t.j. $C:Xn£C" Posledný limit:číslo a sa nazýva limita posledného ak pre ľubovoľné ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N nerovnosť |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
pri n > N.
Jedinečnosť limitu ohraničená a konvergentná postupnosť
Vlastnosť 1: Konvergentná postupnosť má iba jednu limitu.
Dôkaz: protirečením nech a a b limity konvergentnej postupnosti (x n ), kde a sa nerovná b. uvažujme nekonečne malé postupnosti (α n )=(x n -a) a (β n )=(x n -b). Pretože všetky prvky b.m. sekvencie (α n -β n ) majú rovnakú hodnotu b-a, potom podľa vlastnosti b.m. sekvencie b-a=0 t.j. b=a a dostali sme sa do rozporu.
Vlastnosť 2: Konvergentná postupnosť je ohraničená.
Dôkaz: Nech a je limita konvergentnej postupnosti (x n ), potom α n =x n -a je prvkom b.m. sekvencie. Vezmite ľubovoľné ε>0 a použite ho na nájdenie N ε: / x n -a/< ε при n>Nε . Označme b najväčšie z čísel ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε . Je zrejmé, že / x n /
Poznámka: Ohraničená postupnosť môže, ale nemusí byť konvergentná.
VSTUPENKA 6
Postupnosť a n sa nazýva infinitezimálna, čo znamená, že limita tejto postupnosti po je 0.
a n je nekonečne malé Û lim(n ® + ¥)a n =0 t.j. pre ľubovoľné ε>0 existuje N také, že |a n |<ε
Veta. Súčet nekonečna je nekonečne malý.
a n b n ®nekonečne malý Þ a n +b n je nekonečne malý.
Dôkaz.
a n - nekonečne malé Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 z |a n |<ε
b n - nekonečne malé Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 z |b n |<ε
Stanovme N=max(N 1 ,N 2 ), potom pre ľubovoľné n>N z platia obe nerovnosti súčasne:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Množina "ε 1 >0, množina ε=ε 1 /2. Potom pre ľubovoľné ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
je a n +b n - nekonečne malý.
Veta Súčin nekonečna je nekonečno.
a n ,b n je nekonečne malý Þ a n b n je nekonečne malý.
dôkaz:
Množina "ε 1 >0, množina ε=Öε 1 , keďže a n a b n sú pre toto ε>0 nekonečne malé, potom existuje N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Zoberme si N=max (N 1 ;N 2 ), potom "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n je nekonečne malé, čo sa malo dokázať.
Veta Súčinom ohraničenej postupnosti a nekonečnej postupnosti je nekonečne malá postupnosť
a n je ohraničená postupnosť
a n je infinitezimálna postupnosť Þ a n a n je nekonečná postupnosť.
Dôkaz: Keďže а n je ohraničené Û $С>0: "nн N z |a n |£C
Nastavíme "ε 1 >0; nastavíme ε=ε 1 /C; keďže a n je nekonečne malé, potom ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n je nekonečne malé Sekvencia je tzv BBP(sekvencia) ak Zápis . Je zrejmé, že BBP nie je obmedzený. Opačné tvrdenie vo všeobecnosti nie je pravdivé (príklad). Ak pre veľké nčlenov, potom píšu toto znamená, že akonáhle . Význam notácie je definovaný podobne Nekonečne veľké sekvencie a n = 2 n ;
b n \u003d (-1) n 2 n ; c n \u003d -2 n Definícia(nekonečne veľké sekvencie) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥ ak "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε kde ε je ľubovoľne malé. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥ ak "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε VSTUPENKA 7 Veta „O konvergenčnej monotónnosti. posledný" Akákoľvek monotónna postupnosť je konvergentná, t.j. má limity. Doc-in Nechajte posledný (xn) monotónny vzostup. a obmedzené zhora. X - celá množina čísel, ktorá má el-t tohto posledného podľa konvencií. Viet má mnoho obmedzení, preto podľa vyhl. Veta, má konečný presný vrchol. tvár supX xn®supX (supX označujeme x*). Pretože x* presný vrchol. hrana, potom xn£x* " n. " e >0 vyp-sya $ xm (nech je m n s vekom): xm>x*-e s " n>m => z uvedených 2 nerovností získame druhá nerovnosť x*-e£xn£x*+e pre n>m je ekvivalentná 1xn-x*1 VSTUPENKA 8 Exponent alebo číslo e R-ráfik č. posledný so spoločným výrazom xn=(1+1/n)^n (na mocninu n)(1) . Ukazuje sa, že postupnosť (1) rastie monotónne, je ohraničená zhora a je trochu konvergentná, limit tohto stĺpika sa nazýva exponenciálny a je označený symbolom e "2,7128 ... Číslo e VSTUPENKA 9 Princíp vnorených segmentov Nech je na číselnej osi daná postupnosť segmentov ,,…,,… Navyše tieto segmenty spĺňajú sl. podm.: 1) každý nástupca je vnorený do predchádzajúceho, t.j. Ì, "n=1,2,...; 2) Dĺžky segmentov ®0 s rastúcim n, t.j. lim(n®¥)(bn-an)=0. Postupnosť so zadanými svätými sa nazýva vnorená. Veta Akákoľvek sekvencia vnorených segmentov obsahuje jedinú m-ku patriacu do všetkých segmentov sekvencie súčasne, so spoločným bodom všetkých segmentov, do ktorých sú kontrahované. Doc-in(an)-sekvencia ľavých koncov segmentov yavl. monotónne neklesajúci a zhora ohraničený číslom b1. (bn)-sekvencia pravých koncov je monotónne nerastúca, preto sú tieto sekvencie yavl. konvergujúce, t.j. čísla podstatných mien с1=lim(n®¥)an a с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - ich spoločná hodnota. V skutočnosti má limit lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) kvôli podmienke 2) o= lim(n®¥) (bn-an)=c2-c1=> c1=c2=c Je jasné, že m.c je spoločné pre všetky segmenty, keďže „n an£c£bn. Teraz dokážeme, že je to jeden. Predpokladajme, že $ je ďalšie c', na ktoré sú kontrahované všetky segmenty. Ak vezmeme akékoľvek nepretínajúce sa segmenty c a c', potom na jednej strane celý „chvost“ posledného (an), (bn) musí byť v blízkosti c'' (pretože an a bn sa zbiehajú do c a c' súčasne). Rozpor doc-et t-mu. VSTUPENKA 10 Bolzanova-Weierstrassova veta
Z akéhokoľvek limitu. nakoniec si môžete vybrať stretnutie. nasl. 1. Keďže posledný je ohraničený, potom $ m a M také, že " m £ xn £ M, " n. D1= - segment, v ktorom ležia všetky m-ki posledného. Rozdelíme na polovicu. Minimálne v jednom z polčasov bude nekonečné množstvo tak-až do posledného. D2 je polovica, kde leží nekonečný počet m-to-posledných. Rozdelili sme ho na polovicu. Aspoň v jednej z polovíc neg. D2 nah-Xia nekonečné množstvo tak-do posledného. Táto polovica je D3. Delíme segment D3 ... a tak ďalej. získame postupnosť vnorených segmentov, ktorých dĺžky majú tendenciu k 0. Podľa m-me o vnorených segmentoch $ jednotiek. t-ka C, kat. vo vlastníctve všetky segmenty D1, niektoré t-ku Dn1. V segmente D2 zvolím m-ku xn2, takže n2>n1. V segmente D3 ... atď. Výsledkom je, že zjeme posledné xnkÎDk. VSTUPENKA 11 VSTUPENKA 12 zásadný Na záver zvážte otázku kritéria konvergencie číselnej postupnosti. Nech t.j.: Dostali sme nasledujúce vyhlásenie: Ak postupnosť konverguje, potom podmienka Cauchy: Volá sa číselná postupnosť, ktorá spĺňa Cauchyho podmienku zásadný. Dá sa dokázať, že to platí aj naopak. Máme teda kritérium (nevyhnutnú a postačujúcu podmienku) pre konvergenciu postupnosti. Cauchyho kritérium. Aby postupnosť mala limit, je nevyhnutné a postačujúce, aby bola základná. Druhý význam Cauchyho kritéria.Členovia poradia a kde n a m sa akékoľvek nekonečne približujú k . VSTUPENKA 13 Jednostranné limity. Definícia 13.11.číslo ALE sa nazýva limita funkcie y = f(x) pri X usilovať sa o x 0 vľavo (vpravo), ak také, že | f(x)-A|<ε при x 0 - x< δ
(x - x 0< δ
). Označenia: Veta 13.1 (druhá definícia limity). Funkcia y=f(x) má pri X, ašpirujúci na X 0 , limit sa rovná ALE, vtedy a len vtedy, ak obe jeho jednostranné limity v tomto bode existujú a sú rovnaké ALE. Dôkaz. 1) Ak , potom a pre x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Ak , potom existuje δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. Ak si vyberieme z čísel δ 1 a δ 2 menšie a vezmeme to za δ, dostaneme, že pre | x-x0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentujte. Keďže je preukázaná rovnocennosť požiadaviek obsiahnutých v definícii limitu 13.7 a podmienky existencie a rovnosti jednostranných limitov, možno túto podmienku považovať za druhú definíciu limitu. Definícia 4 (podľa Heineho) číslo ALE sa nazýva limit funkcie, ak sa k nejakej BBP hodnôt argumentu približuje postupnosť zodpovedajúcich funkčných hodnôt ALE. Definícia 4 (podľa Cauchyho). číslo ALE volal ak . Je dokázané, že tieto definície sú ekvivalentné. VSTUPENKA 14 a 15 Vlastnosti limitov funkcie v bode 1) Ak limita existuje v t-ke, potom je jedinečná 2) Ak je v cykle x0 limita funkcie f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> potom v tomto t-ke $ hranica súčtu, rozdielu, súčinu a kvocientu. Oddelenie týchto 2 funkcií. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Veta 3. Ak ( resp. A ) potom $ je okolie, v ktorom je nerovnosť >B(resp Nastavenie vety 3 B = 0, dostaneme: ak ( resp), potom $ , vo všetkých bodoch, ktoré budú >0 (resp<0),
tie. funkcia si zachováva znamienko svojej limity. Veta 4(pri prechode na limit v nerovnosti). Ak je v niektorom okolí bodu (možno okrem tohto bodu samotného) podmienka splnená a tieto funkcie majú v bode limity, potom . V jazyku a Predstavme si funkciu. Je zrejmé, že v susedstve t. Potom podľa vety o zachovaní funkcie máme hodnotu jej limity, ale Veta 5.(na hranici medziľahlej funkcie). (1) Ak VSTUPENKA 16 Definícia 14.1. Funkcia y=α(x) sa nazýva infinitezimálny pre x→x 0, ak Vlastnosti infinitezimál. 1. Súčet dvoch infinitezimálov je nekonečne malý. Dôkaz. Ak α(x) a β(x) sú nekonečne malé x→x 0, potom sú δ 1 a δ 2 také, že | α(x)|<ε/2 и |β(X)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Komentujte. Z toho vyplýva, že súčet akéhokoľvek konečného počtu infinitezimálov je nekonečne malý. 2. Ak α( X) je nekonečne malý x→x 0, a f(x) je funkcia ohraničená v nejakom okolí x 0, potom α(x)f(x) je nekonečne malý x→x 0. Dôkaz. Vyberte číslo M také, že | f(x)| Dôsledok 1. Súčin nekonečna konečným číslom je nekonečne malý. Dôsledok 2. Súčin dvoch alebo viacerých infinitezimál je infinitezimál. Dôsledok 3. Lineárna kombinácia infinitezimálov je nekonečne malá. 3. (Tretia definícia limitu). Ak , tak nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou na to je, že funkcia f(x) môže byť reprezentovaný ako f(x)=A+α(x), kde α(x) je nekonečne malý x→x 0. Dôkaz. 1)
Nechajte Potom | f(x)-A|<ε при x→x 0, t.j a(x)=f(x)-A je nekonečne malý x→x 0 . Preto f(x)=A+a(x). 2) Nechajte f(x)=A+α(x). Potom Komentujte. Takto sa získa ešte jedna definícia limity, ktorá je ekvivalentná dvom predchádzajúcim. Nekonečne veľké funkcie. Definícia 15.1. Funkcia f(x) sa nazýva nekonečne veľká pre x x 0 ak Pre nekonečne veľké možno zaviesť rovnaký klasifikačný systém ako pre nekonečne malé, a to: 1. Nekonečne veľké f(x) a g(x) sa považujú za rovnakého rádu, ak 2. Ak , potom f(x) sa považuje za nekonečne veľký vyšší rád ako g(x). 3. Nekonečne veľké f(x) sa nazýva k-tý rád relatívne k nekonečne veľkému g(x), ak . Komentujte. Všimnite si, že a x je nekonečne veľký (pre a>1 a x ) vyšší rád ako x k pre ľubovoľné k a log a x je nekonečne nižší rád ako akákoľvek mocnina x k . Veta 15.1. Ak je α(x) nekonečne malé pre x→x 0 , potom 1/α(x) je nekonečne veľké pre x→x 0 . Dôkaz. Dokážme, že pre |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. To znamená, že 1/α(x) je nekonečne veľké ako x→x 0 . VSTUPENKA 17 Veta 14.7 (prvá pozoruhodná limita). . Dôkaz. Uvažujme kružnicu s jednotkovým polomerom so stredom v počiatku a predpokladajme, že uhol AOB je x (radián). Porovnajme plochy trojuholníka AOB, sektora AOB a trojuholníka AOC, kde priamka OS je dotyčnicou kružnice prechádzajúcej bodom (1; 0). Je zrejmé, že. Pomocou zodpovedajúcich geometrických vzorcov pre oblasti obrázkov z toho získame to 
spolu s prirodzeným číslom možno do poslednej nerovnosti dosadiť iné prirodzené číslo 
,potom
a v nejakom okolí t. (snáď okrem samotného t.) je splnená podmienka (2), potom má funkcia limitu v t a táto limita sa rovná ALE. podľa podmienky (1) $ for (tu je najmenšie okolie bodu ). Ale potom, na základe podmienky (2), bude hodnota tiež umiestnená v - blízkosti bodu ALE, tie. .
, t.j α(х)+β(х) je nekonečne malý.
znamená | f(x)-A|<ε при |x-x0| < δ(ε). Cледовательно, .
alebo sinx