Formulat themelore të trigonometrisë. Të gjitha formulat e trigonometrisë Formulat e përgjithshme

Trigonometria, formulat trigonometrike

Janë dhënë marrëdhëniet midis funksioneve kryesore trigonometrike - sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. formulat trigonometrike. Dhe meqenëse ka mjaft lidhje midis funksioneve trigonometrike, kjo shpjegon edhe bollëkun e formulave trigonometrike. Disa formula lidhin funksionet trigonometrike të të njëjtit kënd, të tjera - funksionet e një këndi të shumëfishtë, të tjera - ju lejojnë të ulni shkallën, e katërta - të shprehni të gjitha funksionet përmes tangjentës së një gjysmë këndi, etj.

Në këtë artikull, ne rendisim të gjitha formulat bazë trigonometrike, të cilat janë të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën dërrmuese të problemeve të trigonometrisë. Për lehtësinë e memorizimit dhe përdorimit, ne do t'i grupojmë ato sipas qëllimit të tyre dhe do t'i vendosim në tabela.

Identitetet bazë trigonometrike caktoni marrëdhënien midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ato rrjedhin nga përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe konceptit rrethi njësi. Ato ju lejojnë të shprehni një funksion trigonometrik përmes ndonjë tjetër.

Për një përshkrim të hollësishëm të këtyre formulave të trigonometrisë, derivimin e tyre dhe shembuj të aplikimeve, shihni artikullin "Identitetet themelore trigonometrike".

Në krye të faqes

Formulat e hedhura

Formulat e hedhura vijojnë nga vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit, domethënë ato pasqyrojnë vetinë e periodicitetit funksionet trigonometrike, vetia e simetrisë, si dhe vetia e zhvendosjes sipas një këndi të caktuar. Këto formula trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare në punën me kënde që variojnë nga zero në 90 gradë.

Arsyeja për këto formula, një rregull kujtues për memorizimin e tyre dhe shembuj të zbatimit të tyre mund të gjenden në artikullin mbi formulat e reduktimit.

Në krye të faqes

Formulat e shtimit

Formulat e mbledhjes trigonometrike të tregojë se si shprehen funksionet trigonometrike të shumës ose ndryshimit të dy këndeve në funksion të funksioneve trigonometrike të këtyre këndeve. Këto formula shërbejnë si bazë për nxjerrjen e formulave trigonometrike të mëposhtme.

Për më shumë informacion, shihni formulat e shtimit.

Në krye të faqes

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi (quhen edhe formulat e këndit të shumëfishtë) tregojnë se si funksionojnë trigonometrikë të dyfishtë, trefishtë etj. këndet () shprehen me funksione trigonometrike të një këndi të vetëm. Derivimi i tyre bazohet në formulat e mbledhjes.

Informacion më të detajuar është mbledhur në formulat e artikullit për dyfishin, trefishin, etj. këndi.

Në krye të faqes

Formulat me gjysmë kënd

Formulat me gjysmë kënd të tregojë se si shprehen funksionet trigonometrike të një gjysmëkëndi me kosinusin e një këndi të plotë. Këto formula trigonometrike rrjedhin nga formulat e këndit të dyfishtë.

Derivimi i tyre dhe shembujt e zbatimit mund të gjenden në formulat e artikullit gjysmë këndi.

Në krye të faqes

Formulat e reduktimit

Formulat trigonometrike për zvogëlimin e shkallëve projektuar për të lehtësuar kalimin nga shkallë natyrore funksionet trigonometrike në sinus dhe kosinus në shkallën e parë, por kënde të shumta. Me fjalë të tjera, ato lejojnë që njeriu të reduktojë fuqitë e funksioneve trigonometrike në të parën.

Në krye të faqes

Formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrike

destinacioni kryesor formulat e shumës dhe diferencës për funksionet trigonometrike konsiston në kalimin në produktin e funksioneve, gjë që është shumë e dobishme kur thjeshtohen shprehjet trigonometrike. Këto formula përdoren gjithashtu gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, pasi ato lejojnë faktorizimin e shumës dhe diferencës së sinuseve dhe kosinuseve.

Për nxjerrjen e formulave, si dhe shembuj të zbatimit të tyre, shihni formulat e artikullit për shumën dhe ndryshimin e sinusit dhe kosinusit.

Në krye të faqes

Formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus

Kalimi nga prodhimi i funksioneve trigonometrike në shumën ose ndryshimin kryhet nëpërmjet formulave për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus.

Në krye të faqes

Zëvendësimi universal trigonometrik

Shqyrtimin e formulave bazë të trigonometrisë e plotësojmë me formula që shprehin funksionet trigonometrike në terma të tangjentës së një gjysmëkëndi. Ky zëvendësim quhet zëvendësimi universal trigonometrik. Komoditeti i tij qëndron në faktin se të gjitha funksionet trigonometrike shprehen në terma të tangjentës së një gjysmë këndi në mënyrë racionale pa rrënjë.

Për më shumë informacion, shihni artikullin e zëvendësimit universal trigonometrik.

Në krye të faqes

Algjebra: Proc. për 9 qeliza. mesatare shkolla / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminizmi, 1990.- 272 f.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algjebra dhe fillimi i analizës: Proc. për 10-11 qeliza. mesatare shkolla - botimi i 3-të. - M.: Iluminizmi, 1993. - 351 f.: ill. — ISBN 5-09-004617-4.
Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për 10-11 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorova.- Botimi i 14-të.- M.: Iluminizmi, 2004.- 384 f.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Formulat trigonometrike- këto janë formulat më të nevojshme në trigonometri, të nevojshme për të shprehur funksionet trigonometrike që kryhen për çdo vlerë të argumentit.

Formulat e shtimit.

sin (α + β) = mëkat α cos β + mëkat β cos α

sin (α - β) \u003d mëkat α cos β - mëkat β cos α

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)

ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Formulat me kënd të dyfishtë.

cos 2α = cos²α - mëkat²α

cos 2α = 2 cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2 sin²α

mëkat 2α = 2 mëkatα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2 ctgα )

Formulat e këndit të trefishtë.

sin3α = 3sinα - 4sin³α

cos 3α = 4 cos³α - 3 kotα

tg 3α = (3 tgα - tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formulat me gjysmë kënd.

Formulat e derdhjes.

Funksioni / këndi në rad.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Funksioni / këndi në °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Përshkrimi i detajuar i formulave të reduktimit.

Formulat bazë trigonometrike.

Identiteti bazë trigonometrik:

sin2α+cos2α=1

Ky identitet është rezultat i aplikimit të teoremës së Pitagorës në një trekëndësh në një rreth trigonometrik njësi.

Lidhja midis kosinusit dhe tangjentes:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 ose sek 2 α−tan 2 α=1.

Kjo formulë është pasojë e identitetit bazë trigonometrik dhe përftohet prej saj duke e ndarë pjesën e majtë dhe të djathtë me cos2α. Supozohet se α≠π/2+πn,n∈Z.

Marrëdhënia midis sinusit dhe kotangjentit:

1/sin 2 α−krevat 2 α=1 ose csc 2 α−krevat 2 α=1.

Kjo formulë rrjedh edhe nga identiteti bazë trigonometrik (i marrë prej tij duke ndarë pjesën e majtë dhe të djathtë me sin2α. Këtu supozohet se α≠πn,n∈Z.

Përkufizimi i tangjentes:

tanα=sinα/cosα,

ku α≠π/2+πn,n∈Z.

Përkufizimi i kotangjentës:

cotα=cosα/sinα,

ku α≠πn,n∈Z.

Pasoja nga përkufizimet e tangjentes dhe kotangjentes:

taνα⋅ cotα=1,

ku α≠πn/2,n∈Z.

Përkufizimi i sekantit:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Përkufizimi i kosekantit:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Pabarazitë trigonometrike.

Pabarazitë më të thjeshta trigonometrike:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Katrore të funksioneve trigonometrike.

Formulat e kubeve të funksioneve trigonometrike.

Matematikë trigonometri. Trigonometria. Formulat. Gjeometria. Teoria

Ne kemi shqyrtuar funksionet më themelore trigonometrike (mos u mashtroni, përveç sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit, ka edhe shumë funksione të tjera, por më shumë për to më vonë), por tani për tani do të shqyrtojmë disa nga vetitë themelore të funksioneve të studiuara tashmë.

Funksionet trigonometrike të një argumenti numerik

Cfaredo numër real t nuk merret, mund t'i caktohet një numër i përcaktuar në mënyrë unike sin(t).

Vërtetë, rregulli i korrespondencës është mjaft i ndërlikuar dhe konsiston në vijim.

Për të gjetur vlerën e mëkatit (t) me numrin t, ju duhet:

poziciononi rrethin numerik në planin koordinativ në mënyrë që qendra e rrethit të përkojë me origjinën, dhe pika fillestare A e rrethit të godasë pikën (1; 0);
gjeni një pikë në rreth që i përgjigjet numrit t;
gjeni ordinatën e kësaj pike.
kjo ordinate është sin(t) e dëshiruar.

Në fakt, ne po flasim për funksionin s = sin(t), ku t është çdo numër real. Ne dimë se si të llogarisim disa vlera të këtij funksioni (për shembull, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), etj.) , ne i dimë disa nga vetitë e tij.

Lidhja e funksioneve trigonometrike

Ndërsa ju, shpresoj, supozoni se të gjitha funksionet trigonometrike janë të ndërlidhura dhe madje pa e ditur vlerën e njërit, ai mund të gjendet përmes tjetrit.

Për shembull, formula më e rëndësishme e të gjithë trigonometrisë është identiteti bazë trigonometrik:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Siç mund ta shihni, duke ditur vlerën e sinusit, mund të gjeni vlerën e kosinusit dhe anasjelltas.

Formulat e trigonometrisë

Gjithashtu formula shumë të zakonshme që lidhin sinusin dhe kosinusin me tangjenten dhe kotangjenten:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Nga dy formulat e fundit, mund të nxirret një identitet më shumë trigometrik, duke lidhur këtë herë tangjenten dhe kotangjenten:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Tani le të shohim se si funksionojnë këto formula në praktikë.

SHEMBULL 1. Thjeshtoni shprehjen: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Fillimisht shkruajmë tangjenten duke mbajtur katrorin:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Tani ne prezantojmë gjithçka nën një emërues të përbashkët dhe marrim:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

Dhe së fundi, siç e shohim, numëruesi mund të reduktohet në një sipas identitetit bazë trigonometrik, si rezultat marrim: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Me kotangjenten kryejmë të gjitha veprimet e njëjta, vetëm emëruesi nuk do të ketë më kosinus, por sinus, dhe përgjigja do të dalë kështu:

\[ 1+ \krevat ^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Pas përfundimit të kësaj detyre, ne kemi nxjerrë dy formula të tjera shumë të rëndësishme që lidhin funksionet tona, të cilat gjithashtu duhet t'i dini si në pjesën e pasme të dorës:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Ju duhet të dini përmendësh të gjitha formulat e paraqitura brenda kornizës, përndryshe studimi i mëtejshëm i trigonometrisë pa to është thjesht i pamundur. Në të ardhmen do të ketë më shumë formula dhe do të ketë shumë të tilla dhe ju siguroj se do t'i mbani mend të gjitha për një kohë të gjatë, ose ndoshta nuk do t'i mbani mend, por të gjithë duhet t'i dinë këto gjashtë pjesë. !

Një tabelë e plotë e të gjitha formulave bazë dhe të rralla të reduktimit trigonometrik.

Këtu mund të gjeni formulat trigonometrike në një formë të përshtatshme. Dhe formulat e reduktimit trigonometrik mund të shihen në një faqe tjetër.

Identitetet bazë trigonometrike

janë shprehje matematikore për funksionet trigonometrike që ekzekutohen për secilën vlerë të argumentit.

sin² α + cos² α = 1
tgα ctgα = 1
tan α = mëkat α ÷ cos α
ctg α = cos α ÷ sin α
1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Formulat e shtimit

sin (α + β) = mëkat α cos β + mëkat β cos α
sin (α - β) \u003d mëkat α cos β - mëkat β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org

Formulat me kënd të dyfishtë

cos 2α = cos² α - sin² α
cos2α = 2cos²α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin2α = 2sinα cosα
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Formulat me kënd të trefishtë

sin3α = 3sinα - 4sin³α
cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formulat e reduktimit

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α - mëkat 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Kalimi nga produkti në shumë

sin α cos β = ½ (mëkat (α + β) + mëkat (α - β))
sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Ne kemi renditur mjaft formula trigonometrike, por nëse diçka mungon, shkruani.

Të gjitha për studim » Matematika në shkollë » Formulat trigonometrike - fletë mashtrimi

Për të shënuar një faqe, shtypni Ctrl+D.

Një grup me një mori informacionesh të dobishme (abonohuni nëse keni një provim ose një provim):

E gjithë baza e abstrakteve, punimeve termike, tezave dhe materialeve të tjera arsimore ofrohet pa pagesë. Duke përdorur materialet e faqes, ju konfirmoni se keni lexuar marrëveshjen e përdoruesit dhe jeni dakord me të gjitha klauzolat e saj plotësisht.

shqyrtohet në detaje shndërrimi i grupeve të zgjidhjeve të përgjithshme të ekuacioneve trigonometrike. Pjesa e tretë trajton ekuacionet trigonometrike jo standarde, zgjidhjet e të cilave bazohen në qasjen funksionale.

Të gjitha formulat e trigonometrisë (ekuacionet): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Pjesa e katërt trajton pabarazitë trigonometrike. Metodat për zgjidhjen e pabarazive elementare trigonometrike konsiderohen në detaje, si në rrethin e njësisë ashtu edhe në ...

… këndi 1800-α= përgjatë hipotenuzës dhe këndit akut: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Pra, në kursi shkollor gjeometria, koncepti i një funksioni trigonometrik futet me mjete gjeometrike për shkak të aksesueshmërisë së tyre më të madhe. Skema metodologjike tradicionale për studimin e funksioneve trigonometrike është si më poshtë: 1) së pari, përcaktohen funksionet trigonometrike për kënd akut drejtkëndëshe...

… Detyre shtepie 19(3.6), 20(2.4) Përditësimi i përcaktimit të qëllimit njohuri themelore Vetitë e funksioneve trigonometrike Formulat e reduktimit material i ri Vlerat e funksioneve trigonometrike Zgjidhja e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike Konsolidimi Zgjidhja e problemeve Qëllimi i mësimit: sot do të llogarisim vlerat e funksioneve trigonometrike dhe do të zgjidhim ...

... hipoteza e formuluar duhej të zgjidhte këto detyra: 1. Të identifikonte rolin e ekuacioneve trigonometrike dhe të pabarazive në mësimdhënien e matematikës; 2. Të zhvillojë një metodologji për formimin e aftësive për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, me qëllim zhvillimin e paraqitjeve trigonometrike; 3. Verifikoni në mënyrë eksperimentale efektivitetin e metodologjisë së zhvilluar. Për zgjidhje…

Formulat trigonometrike

Ne paraqesim në vëmendjen tuaj formula të ndryshme që lidhen me trigonometrinë.

(8) Kotangjent me kënd të dyfishtë

ctg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg (α)

(9) Sinus i një këndi të trefishtë sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Kosinusi i një këndi të trefishtë cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Kosinusi i shumës/diferencës cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Sinusi i shumës/diferencës sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Tangjentja shumë/diferencë (14) Kotangjente shuma/diferenca (15) Produkt i sinuseve sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Produkti i kosinusit cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Produkt i sinusit dhe kosinusit sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Shuma/diferenca e sinuseve sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Shuma e kosinuseve cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) dallimi kosinus cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Shuma/diferenca e tangjentave (22) Formula e reduktimit të sinusit sin 2 (α) = ½ (1 - cos (2α)) (23) Formula e reduktimit të kosinusit cos 2 (α) = ½ (1 + cos (2α)) (24) Shuma/diferenca e sinusit dhe kosinusit (25) Shuma/diferenca e sinusit dhe kosinusit me koeficientët (26) Raporti bazë i arksinës dhe arkozinës harksin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Marrëdhënia themelore midis arktangjentit dhe arkotangjentit arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Formula të përgjithshme

- versioni i printuar

Përkufizimet Sinusi i këndit α (emërtimi sin (α)) është raporti i këmbës përballë këndit α me hipotenuzën. Kosinusi i këndit α (emërtimi cos(α)) është raporti i këmbës ngjitur me këndin α me hipotenuzën. Tangjentja e këndit α (emërtimi tg(α)) është raporti i këmbës përballë këndit α me këmbën ngjitur. Një përkufizim ekuivalent është raporti i sinusit të një këndi α me kosinusin e të njëjtit kënd, sin(α)/cos(α). Kotangjentja e këndit α (emërtimi ctg(α)) është raporti i anës ngjitur me këndin α me anën e kundërt. Një përkufizim ekuivalent është raporti i kosinusit të këndit α me sinusin e të njëjtit kënd - cos(α)/sin(α). Funksione të tjera trigonometrike: sekant — sec(α) = 1/cos(α); kosekant cosec(α) = 1/sin(α). shënim Konkretisht nuk e shkruajmë shenjën * (shumohet), - ku dy funksione shkruhen me radhë, pa hapësirë, nënkuptohet. E dhënë Për të nxjerrë formulat për kosinusin, sinusin, tangjentën ose kotangjenten e këndeve të shumëfishta (4+), mjafton që ato të shkruhet sipas formulave përkatësisht. kosinusi, sinusi, tangjentja ose kotangjentja e shumës, ose reduktohen në rastet e mëparshme, duke reduktuar në formulat e këndeve të trefishta dhe të dyfishta. Shtim Tabela derivative

Janë dhënë raportet ndërmjet funksioneve kryesore trigonometrike - sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. formulat trigonometrike. Dhe meqenëse ka mjaft lidhje midis funksioneve trigonometrike, kjo shpjegon edhe bollëkun e formulave trigonometrike. Disa formula lidhin funksionet trigonometrike të të njëjtit kënd, të tjera - funksionet e një këndi të shumëfishtë, të tjera - ju lejojnë të ulni shkallën, e katërta - të shprehni të gjitha funksionet përmes tangjentës së një gjysmë këndi, etj.

Navigimi i faqes.

Identitetet bazë trigonometrike

Identitetet bazë trigonometrike caktoni marrëdhënien midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ato rrjedhin nga përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe konceptit të rrethit njësi. Ato ju lejojnë të shprehni një funksion trigonometrik përmes ndonjë tjetër.

Për një përshkrim të hollësishëm të këtyre formulave të trigonometrisë, shembujt e derivimit dhe aplikimit të tyre, shihni artikullin.

Formulat e hedhura

Formulat e hedhura vijojnë nga vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, domethënë ato pasqyrojnë vetinë e periodicitetit të funksioneve trigonometrike, vetinë e simetrisë dhe gjithashtu vetinë e zhvendosjes sipas një këndi të caktuar. Këto formula trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare në punën me kënde që variojnë nga zero në 90 gradë.

Arsyeja për këto formula, një rregull kujtues për memorizimin e tyre dhe shembuj të zbatimit të tyre mund të studiohen në artikull.

Formulat e shtimit

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi

Informacion më të detajuar është mbledhur në formulat e artikullit për dyfishin, trefishin, etj. kënd .

Formulat me gjysmë kënd

Përfundimi i tyre dhe shembujt e aplikimit mund të gjenden në artikull.

Formulat e reduktimit

Formulat trigonometrike për zvogëlimin e shkallëve janë krijuar për të lehtësuar kalimin nga fuqitë natyrore të funksioneve trigonometrike në sinus dhe kosinus në shkallën e parë, por në kënde të shumëfishta. Me fjalë të tjera, ato lejojnë që njeriu të reduktojë fuqitë e funksioneve trigonometrike në të parën.

Formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrike

Formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus

Kalimi nga prodhimi i funksioneve trigonometrike në shumën ose ndryshimin kryhet nëpërmjet formulave për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus.

Zëvendësimi universal trigonometrik

Bibliografi.

Algjebra: Proc. për 9 qeliza. mesatare shkolla / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminizmi, 1990.- 272 f.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algjebra dhe fillimi i analizës: Proc. për 10-11 qeliza. mesatare shkolla - botimi i 3-të. - M.: Iluminizmi, 1993. - 351 f.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për 10-11 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorova.- Botimi i 14-të.- M.: Iluminizmi, 2004.- 384 f.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

E drejta e autorit nga studentë të zgjuar

Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes, duke përfshirë materialet e brendshme dhe dizajnin e jashtëm, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.

Në këtë faqe do të gjeni të gjitha formulat bazë trigonometrike që do t'ju ndihmojnë të zgjidhni shumë ushtrime, duke thjeshtuar shumë vetë shprehjen.

Formulat trigonometrike janë barazi matematikore për funksionet trigonometrike që janë të vlefshme për të gjitha vlerat e vlefshme të argumenteve.

Formulat vendosin marrëdhëniet midis funksioneve kryesore trigonometrike - sinus, kosinus, tangjentë, kotangjent.

Sinusi i një këndi është koordinata y e një pike (ordinata) në rrethin njësi. Kosinusi i një këndi është koordinata x e një pike (abshisa).

Tangjentja dhe kotangjentja janë, përkatësisht, raporti i sinusit me kosinusin dhe anasjelltas.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \\alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \në Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \në Z`

Dhe dy që përdoren më rrallë - sekant, kosekant. Ato tregojnë raportet 1 me kosinusin dhe sinusin.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \në Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \në Z`

Nga përkufizimet e funksioneve trigonometrike, mund të shihni se çfarë shenjash kanë ato në çdo tremujor. Shenja e funksionit varet vetëm nga cili kuadrant është argumenti.

Kur ndryshoni shenjën e argumentit nga "+" në "-", vetëm funksioni kosinus nuk e ndryshon vlerën e tij. Quhet madje. Grafiku i tij është simetrik në lidhje me boshtin y.

Funksionet e mbetura (sinus, tangent, kotangjent) janë tek. Kur shenja e argumentit ndryshohet nga "+" në "-", vlera e tyre gjithashtu ndryshon në negative. Grafikët e tyre janë simetrik në lidhje me origjinën.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alfa)=-tg \ \alfa`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alfa`

Identitetet bazë trigonometrike

Identitetet bazë trigonometrike janë formula që vendosin një marrëdhënie midis funksioneve trigonometrike të një këndi (`sin \\alpha, \ cos \\alpha, \ tg \\alfa, \ ctg \\alfa") dhe të cilat ju lejojnë të gjeni vlera e secilit prej këtyre funksioneve përmes ndonjë tjetër të njohur.
`sin^2 \alfa+cos^2 \alfa=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \në Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \në Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`

Formulat për shumën dhe ndryshimin e këndeve të funksioneve trigonometrike

Formulat për mbledhjen dhe zbritjen e argumenteve shprehin funksionet trigonometrike të shumës ose ndryshimit të dy këndeve për sa i përket funksioneve trigonometrike të këtyre këndeve.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \\alfa+tg \\beta)(1-tg \ \alfa\ tg \ \beta)`
`tg(\alfa-\beta)=\frac(tg \\alfa-tg \\beta)(1+tg \\alfa \ tg \\beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \\alpha \ ctg \\beta-1)(ctg \\beta+ctg \\alfa)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \\alfa\ ctg \\beta+1)(ctg \\beta-ctg \\alfa)`

Formulat me kënd të dyfishtë

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alfa)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alfa )(1+ctg^2 \alfa)=` `\frac 2(tg \\alfa+ctg \\alfa)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alfa)(1+tg^2\alfa)=\frac(ctg^2\alfa-1)(ctg^2\alfa+1)=` `\frac(ctg \ \alfa-tg \\alfa) (ctg\\alfa+tg\\alfa)`
`tg \ 2\alfa=\frac(2 \ tg \ \alfa)(1-tg^2 \alfa)=` `\frac(2 \ ctg \\alfa)(ctg^2 \alfa-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alfa-tg \ \alfa)`
`ctg \ 2\alfa=\frac(ctg^2 \alfa-1)(2 \ ctg \\alfa)=` `\frac ( \ ctg \ \alfa-tg \ \alfa)2`

Formulat me kënd të trefishtë

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \\alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alfa-tg^3 \alfa)(1-3 \ tg^2 \alfa)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alfa-3 \ ctg \\alfa)(3 \ ctg^2 \alfa-1)`

Formulat me gjysmë kënd

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \\alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \\alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \\alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \\ alfa)=\frac (1-cos \ \alfa)(sin \ \alfa)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \\alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \\ alfa)=\frac (1+cos \ \alfa)(sin \\alfa)`

Formulat e argumenteve gjysmë, të dyfishta dhe të trefishta shprehin funksionet `sin, \cos, \tg, \ctg` të atyre argumenteve (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) në termat e të njëjtave funksione të argumentit `\alpha`.

Prodhimi i tyre mund të merret nga grupi i mëparshëm (mbledhja dhe zbritja e argumenteve). Për shembull, identitetet e dyfishta të këndit merren lehtësisht duke zëvendësuar `\beta` me `\alfa`.

Formulat e reduktimit

Formulat e katrorëve (kube, etj.) të funksioneve trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga 2,3, ... gradë në funksionet trigonometrike të shkallës së parë, por kënde të shumta (`\alfa, \ 3\alfa, \ ... ` ose `2\alfa, \ 4\alfa, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \\alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \\alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \\alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \\alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alfa)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alfa+cos \ 4\alpha)8`

Formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrike

Formulat janë shndërrime të shumës dhe ndryshimit të funksioneve trigonometrike të argumenteve të ndryshëm në një produkt.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alfa)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \\beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \\alpha \ sin \\beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Këtu mbledhja dhe zbritja e funksioneve të një argumenti shndërrohen në produkt.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alfa+ctg \ \alfa=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alfa-ctg \ \alfa=-2 \ctg \2\alfa`

Formulat e mëposhtme konvertojnë shumën dhe diferencën e një njësie dhe një funksioni trigonometrik në një produkt.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \\alpha \ sin \\beta)`

Formulat e konvertimit të funksioneve

Formulat për konvertimin e prodhimit të funksioneve trigonometrike me argumentet `\alfa` dhe `\beta` në shumën (diferencën) e këtyre argumenteve.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alfa + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alfa + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alfa - \beta)+cos(\alfa + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alfa - \beta)-cos(\alfa + \beta))(cos(\alfa - \beta)+cos(\alfa + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alfa + tg \\beta)(ctg \\alfa + ctg \\beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alfa - \beta)+cos(\alfa + \beta))(cos(\alfa - \beta)-cos(\alfa + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alfa + ctg \\beta)(tg \\alfa + tg \\beta)`
`tg \ \alfa \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alfa - \beta)+sin(\alfa + \beta))(sin(\alfa + \beta)-sin(\alfa - \ beta))`

Zëvendësimi universal trigonometrik

Këto formula shprehin funksionet trigonometrike në terma të tangjentes së një gjysmë këndi.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alfa)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alfa)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \në Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alfa)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alfa)(2)),` ` \alfa \ ne \pi +2\pi n, n \në Z`
`tg \ \alfa= \frac(2tg\frac(\alfa)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alfa)(2)),` ` \alfa \ne \pi +2\ pi n, n \në Z,` ` \alfa \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \në Z`
`ctg \ \alfa = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alfa)(2))(2tg\frac(\alfa)(2),` ` \alfa \ne \pi n, n \në Z,` `\alfa \ne \pi + 2\pi n, n \në Z`

Formulat e hedhura

Formulat e reduktimit mund të merren duke përdorur veti të tilla të funksioneve trigonometrike si periodiciteti, simetria, vetia e zhvendosjes sipas një këndi të caktuar. Ato lejojnë që funksionet arbitrare të këndit të konvertohen në funksione, këndi i të cilave është midis 0 dhe 90 gradë.

Për këndin (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ose (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Për këndin (`\pi \pm \alpha`) ose (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alfa)=-tg \ \alfa;` ` tg(\pi + \alfa)=tg \ \alfa`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Për këndin (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ose (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alfa)=-tg \ \alpha`
Për këndin (`2\pi \pm \alpha`) ose (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alfa)=-tg \ \alfa;` ` tg(2\pi + \alfa)=tg \ \alfa`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alfa`

Shprehja e disa funksioneve trigonometrike në terma të të tjerëve

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alfa))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alfa))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \\alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alfa)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \\alpha)=` `\frac (cos \\alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alfa))=\frac 1(tg \ \alfa)`

Trigonometria fjalë për fjalë përkthehet si "matja e trekëndëshave". Fillon të studiohet në shkollë, dhe vazhdon më hollësisht në universitete. Prandaj duhen formulat bazë për trigonometrinë, duke filluar nga klasa e 10-të, si dhe për dhënien e provimit. Ato tregojnë lidhjet ndërmjet funksioneve, dhe meqenëse ka shumë nga këto lidhje, ka mjaft formula vetë. Të kujtosh të gjithë nuk është e lehtë dhe nuk është e nevojshme - nëse është e nevojshme, të gjitha mund të konkludohen.

Formulat trigonometrike përdoren në llogaritjet integrale, si dhe në thjeshtimet, llogaritjet dhe transformimet trigonometrike.

Duke bërë transformimet trigonometrike ndiqni këto këshilla:

Mos u përpiqni të krijoni menjëherë një skemë për zgjidhjen e një shembulli nga fillimi në fund.
Mos u përpiqni ta konvertoni të gjithë shembullin menjëherë. Ecni përpara me hapa të vegjël.
Mos harroni se përveç formulave trigonometrike në trigonometri, ju ende mund të aplikoni të gjitha transformimet e drejta algjebrike (kllapa, reduktimi i thyesave, formulat e shkurtuara të shumëzimit, e kështu me radhë).
Besoni se gjithçka do të jetë mirë.

Formulat bazë trigonometrike

Shumica e formulave në trigonometri shpesh aplikohen nga e djathta në të majtë dhe nga e majta në të djathtë, kështu që ju duhet t'i mësoni këto formula aq mirë sa të mund të aplikoni lehtësisht disa formulë në të dy drejtimet. Për të filluar, ne shkruajmë përkufizimet e funksioneve trigonometrike. Le të ketë një trekëndësh kënddrejtë:

Atëherë, përkufizimi i sinusit është:

Përkufizimi i kosinusit:

Përkufizimi i tangjentes:

Përkufizimi i kotangjentës:

Identiteti bazë trigonometrik:

Pasojat më të thjeshta nga identiteti bazë trigonometrik:

Formulat me kënd të dyfishtë. Sinusi i një këndi të dyfishtë:

Kosinusi i një këndi të dyfishtë:

Tangjentja e këndit të dyfishtë:

Kotangjent me kënd të dyfishtë:

Formula trigonometrike shtesë

Formulat e mbledhjes trigonometrike. Sinusi i shumës:

Sinusi i ndryshimit:

Kosinusi i shumës:

Kosinusi i diferencës:

Tangjentja e shumës:

Tangjenti i ndryshimit:

Kotangjentja e shumës:

Kotangjentja e ndryshimit:

Formulat trigonometrike për shndërrimin e një shume në një produkt. Shuma e sinuseve:

Diferenca e sinusit:

Shuma e kosinuseve:

Dallimi i kosinusit:

shuma e tangjentave:

Dallimi tangjent:

Shuma e kotangjentëve:

Dallimi kotangjent:

Formulat trigonometrike për shndërrimin e një produkti në një shumë. Produkti i sinuseve:

Prodhimi i sinusit dhe kosinusit:

Produkti i kosinusit:

Formulat e reduktimit të shkallës.

Formulat me gjysmë kënd.

Formulat e reduktimit trigonometrik

Funksioni kosinus quhet bashkëfunksionim funksioni sinus dhe anasjelltas. Në mënyrë të ngjashme, funksionet tangjente dhe kotangjente janë bashkëfunksione. Formulat e reduktimit mund të formulohen si rregulli i mëposhtëm:

Nëse në formulën e reduktimit këndi zbritet (shtohet) nga 90 gradë ose 270 gradë, atëherë funksioni i reduktueshëm ndryshon në një bashkëfunksion;
Nëse në formulën e reduktimit zbritet (shtohet) këndi nga 180 gradë ose 360 gradë, atëherë ruhet emri i funksionit të reduktuar;
Në këtë rast, funksionit të reduktuar i paraprin shenja që funksioni i reduktuar (d.m.th., origjinal) ka në tremujorin përkatës, nëse e konsiderojmë të mprehtë këndin e zbritur (të shtuar).

Formulat e hedhura jepen në formën e një tabele:

Nga rrethi trigonometrikështë e lehtë të përcaktohen vlerat tabelare të funksioneve trigonometrike:

Ekuacionet trigonometrike

Për të zgjidhur një ekuacion të caktuar trigonometrik, ai duhet të reduktohet në një nga ekuacionet trigonometrike më të thjeshta, i cili do të diskutohet më poshtë. Për këtë:

Ju mund të aplikoni formulat trigonometrike të mësipërme. Në këtë rast, nuk keni nevojë të përpiqeni të konvertoni të gjithë shembullin menjëherë, por duhet të ecni përpara me hapa të vegjël.
Nuk duhet të harrojmë mundësinë e transformimit dhe përdorimit të disa shprehjeve metodat algjebrike, d.m.th. për shembull, vendosni diçka jashtë kllapave ose, anasjelltas, hapni kllapa, zvogëloni një thyesë, zbatoni formulën e shkurtuar të shumëzimit, sillni thyesat në një emërues të përbashkët etj.
Kur zgjidhni ekuacionet trigonometrike, mund të aplikoni metoda e grupimit. Duhet mbajtur mend se në mënyrë që produkti i disa faktorëve të jetë i barabartë me zero, mjafton që secili prej tyre të jetë i barabartë me zero, dhe pjesa tjetër ekzistonte.
Duke aplikuar metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm, si zakonisht, ekuacioni pas futjes së zëvendësimit duhet të bëhet më i thjeshtë dhe të mos përmbajë variablin origjinal. Ju gjithashtu duhet të mbani mend të bëni zëvendësimin e kundërt.
Mos harroni se ekuacionet homogjene shpesh ndodhin edhe në trigonometri.
Kur hapni module ose zgjidhni ekuacione irracionale me funksione trigonometrike, duhet të mbani mend dhe të merrni parasysh të gjitha hollësitë e zgjidhjes së ekuacioneve përkatëse me funksione të zakonshme.
Mos harroni për ODZ (në ekuacionet trigonometrike, kufizimet në ODZ në thelb përfundojnë në faktin se nuk mund të ndani me zero, por mos harroni për kufizimet e tjera, veçanërisht për pozitivitetin e shprehjeve në fuqi racionale dhe nën rrënjë të shkallëve çift ). Mos harroni gjithashtu se vlerat e sinusit dhe kosinusit mund të qëndrojnë vetëm midis minus një dhe plus një, përfshirëse.

Gjëja kryesore është, nëse nuk dini çfarë të bëni, bëni të paktën diçka, ndërsa gjëja kryesore është të përdorni saktë formulat trigonometrike. Nëse ajo që merrni po bëhet gjithnjë e më e mirë, atëherë vazhdoni me zgjidhjen, dhe nëse përkeqësohet, atëherë kthehuni në fillim dhe provoni të aplikoni formula të tjera, kështu veproni derisa të pengoheni në zgjidhjen e duhur.

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike. Për sinusin, ekzistojnë dy forma ekuivalente të shkrimit të zgjidhjes:

Për funksionet e tjera trigonometrike, shënimi është unik. Për kosinusin:

Për tangjenten:

Për kotangjent:

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike në disa raste të veçanta:

Mësoni të gjitha formulat dhe ligjet në fizikë, dhe formulat dhe metodat në matematikë. Në fakt, është gjithashtu shumë e thjeshtë ta bësh këtë, ka vetëm rreth 200 formula të nevojshme në fizikë, madje pak më pak në matematikë. Në secilën prej këtyre lëndëve ekzistojnë rreth një duzinë metodash standarde për zgjidhjen e problemeve. niveli bazë vështirësi që gjithashtu mund të mësohen, dhe kështu, plotësisht automatikisht dhe pa vështirësi, zgjidhin pjesën më të madhe të transformimit dixhital në kohën e duhur. Pas kësaj, do t'ju duhet të mendoni vetëm për detyrat më të vështira.

Merrni pjesë në të tre fazat e testimit provues në fizikë dhe matematikë. Çdo RT mund të vizitohet dy herë për të zgjidhur të dyja opsionet. Përsëri, në CT, përveç aftësisë për të zgjidhur shpejt dhe me efikasitet problemet, si dhe njohjen e formulave dhe metodave, është gjithashtu e nevojshme të jeni në gjendje të planifikoni siç duhet kohën, të shpërndani forcat dhe më e rëndësishmja të plotësoni saktë formularin e përgjigjes. , pa ngatërruar as numrat e përgjigjeve dhe detyrave, as emrin tuaj. Gjithashtu, gjatë RT-së, është e rëndësishme të mësoheni me stilin e parashtrimit të pyetjeve në detyra, i cili mund të duket shumë i pazakontë për një person të papërgatitur në DT.

Përmbushja e suksesshme, e zellshme dhe e përgjegjshme e këtyre tre pikave, si dhe studimi i përgjegjshëm i testeve përfundimtare të trajnimit, do t'ju lejojë të tregoni një rezultat të shkëlqyer në CT, maksimumin e asaj që jeni në gjendje.

Gjete një gabim?

Nëse mendoni se keni gjetur një gabim në materialet e trajnimit, atëherë ju lutemi shkruani në lidhje me të me e-mail (). Në letër, tregoni lëndën (fizikë ose matematikë), emrin ose numrin e temës ose testit, numrin e detyrës ose vendin në tekst (faqe) ku, sipas mendimit tuaj, ka një gabim. Gjithashtu përshkruani se cili është gabimi i supozuar. Letra juaj nuk do të kalojë pa u vënë re, gabimi ose do të korrigjohet, ose do t'ju shpjegohet pse nuk është gabim.