ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (x ยกกำลัง a) พิจารณาอนุพันธ์ของรากจาก x สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสั่งสูง ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: ฟังก์ชันกำลังและราก สูตร และกราฟ
พล็อตฟังก์ชั่นพลังงาน

สูตรพื้นฐาน

อนุพันธ์ของ x ยกกำลัง a คูณ x ยกกำลัง a ลบ 1:
(1) .

อนุพันธ์ของรากที่ n ของ x กำลัง m คือ:
(2) .

ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

กรณี x > 0

พิจารณาฟังก์ชันกำลังของตัวแปร x พร้อมเลขชี้กำลัง a :
(3) .
a คือจำนวนจริงตามอำเภอใจ พิจารณากรณีนี้ก่อน

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์โดยใช้:
;
.
ที่นี่ .

สูตร (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของรากของดีกรี n ของ x ถึงดีกรี m

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันที่เป็นรูทของรูปแบบต่อไปนี้:
(4) .

ในการหาอนุพันธ์ เราแปลงรูทเป็นฟังก์ชันกำลัง:
.
เทียบกับสูตร (3) เราจะเห็นว่า
.
แล้ว
.

ตามสูตร (1) เราพบอนุพันธ์:
(1) ;
;
(2) .

ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องจำสูตร (2) จะสะดวกกว่ามากในการแปลงรากเป็นฟังก์ชันกำลังก่อน แล้วจึงค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (1) (ดูตัวอย่างที่ท้ายหน้า)

กรณี x = 0

ถ้า ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าของตัวแปร x = . ด้วย 0 . ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) สำหรับ x = 0 . ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.

แทนที่ x = 0 :
.
ในกรณีนี้ โดยอนุพันธ์ เราหมายถึงขีดจำกัดทางขวามือซึ่ง

ดังนั้นเราจึงพบว่า:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าที่ , .
ที่ , .
ที่ , .
ผลลัพธ์นี้ยังได้มาจากสูตร (1):
(1) .
ดังนั้น สูตร (1) จึงใช้ได้กับ x = 0 .

กรณี x< 0

พิจารณาฟังก์ชัน (3) อีกครั้ง:
(3) .
สำหรับค่าคงที่ a บางค่า ค่าคงที่ a จะถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย กล่าวคือ ให้ เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้:
,
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม

ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะถูกกำหนดให้กับค่าลบของตัวแปร x ด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 3 และ ม = 1 เรามีรากที่สามของ x :
.
มันยังถูกกำหนดสำหรับค่าลบของ x .

ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (3) สำหรับ และ สำหรับค่าตรรกยะของค่าคงที่ a ซึ่งกำหนดไว้ ในการดำเนินการนี้ เราแสดง x ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
แล้ว ,
.
เราพบอนุพันธ์โดยนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์แล้วนำกฎการดิฟเฟอเรนติเอชันของฟังก์ชันเชิงซ้อนมาใช้:

.
ที่นี่ . แต่
.
ตั้งแต่นั้นมา
.
แล้ว
.
นั่นคือสูตร (1) ใช้ได้กับ:
(1) .

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันกำลัง
(3) .
เราพบอนุพันธ์อันดับ 1 แล้ว:
.

การนำค่าคงที่ a ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์ของคำสั่งที่สามและสี่:
;

.

จากนี้ไปเป็นที่ชัดเจนว่า อนุพันธ์ของคำสั่งที่ n โดยพลการมีรูปแบบดังนี้
.

สังเกตว่า ถ้า a เป็นจำนวนธรรมชาติ, , แล้วอนุพันธ์อันดับที่ n เป็นค่าคงที่:
.
จากนั้นอนุพันธ์ที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:
,
ที่ .

ตัวอย่างอนุพันธ์

ตัวอย่าง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

มาแปลงรากเป็นพลังกันเถอะ:
;
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
.

เราพบอนุพันธ์ของดีกรี:
;
.
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์:
.

มันง่ายมากที่จะจำ

เราจะไม่ไปไกลเราจะพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร? ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือ ลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่าลอการิทึมแบบ "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญกรณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

เท่ากับอะไร? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมากเช่นกัน:

ตัวอย่าง:

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: เลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำแบบใครในแง่ของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมกับฐานอื่นๆ จะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลัง หลังจากที่เราผ่านกฎของดิฟเฟอเรนติเอชัน

กฎการสร้างความแตกต่าง

กฎอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...

ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์

เท่านั้นและทุกอย่าง คำอื่นสำหรับกระบวนการนี้คืออะไร? ไม่ใช่ proizvodnovanie... ดิฟเฟอเรนเชียลของคณิตศาสตร์เรียกว่าการเพิ่มขึ้นอย่างมากของฟังก์ชันที่ คำนี้มาจากความแตกต่างของภาษาละติน - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้กฎเหล่านี้มา เราจะใช้สองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น และ เราต้องการสูตรสำหรับการเพิ่ม:

มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ

ค่าคงที่ถูกเอาออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) แล้ว

เห็นได้ชัดว่ากฎนี้ใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กัน ให้หรือง่ายกว่า

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. ณ จุดนั้น;
2. ณ จุดนั้น;
3. ณ จุดนั้น;
4. ที่จุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์จะเหมือนกันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างคล้ายกันที่นี่: เราแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาการเพิ่มขึ้น:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ
2. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ ความรู้ของคุณก็เพียงพอที่จะเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังใดๆ และไม่ใช่แค่เลขชี้กำลัง (คุณลืมหรือยังว่ามันคืออะไร?)

แล้วเลขไหนล่ะ.

เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองนำฟังก์ชันของเราไปที่ฐานใหม่:

ในการทำเช่นนี้ เราใช้กฎง่ายๆ: แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ดู, และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรกลับกลายเป็นว่าคล้ายกันมากกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง: เหมือนเดิม เหลือเพียงปัจจัยที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข นั่นคือ ไม่สามารถเขียนในรูปแบบที่ง่ายกว่าได้ ดังนั้นในคำตอบจึงเหลืออยู่ในแบบฟอร์มนี้

โปรดทราบว่านี่คือผลหารของสองฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างที่เหมาะสม:

ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของสองฟังก์ชัน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

มันคล้ายกัน: คุณรู้อยู่แล้วว่าอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:

ดังนั้น ในการหาอนุญาโตตุลาการจากลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน เช่น :

เราจำเป็นต้องนำลอการิทึมนี้ไปที่ฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้แทนที่จะเขียนว่า:

ตัวส่วนกลายเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์นั้นง่ายมาก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมแทบไม่เคยพบในข้อสอบ แต่การรู้ฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่ไม่จำเป็น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์คแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าลอการิทึมจะดูเหมือนยากสำหรับคุณ โปรดอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วทุกอย่างจะได้ผล) แต่ในแง่ของคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับสิ่งของบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตในกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ปรากฎว่าเป็นวัตถุที่ประกอบเข้าด้วยกัน: แท่งช็อกโกแลตห่อและมัดด้วยริบบิ้น ในการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำขั้นตอนตรงกันข้ามในลำดับที่กลับกัน

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: อันดับแรก เราจะหาโคไซน์ของตัวเลข จากนั้นเราจะยกกำลังสองผลลัพธ์ที่ได้ ดังนั้นพวกเขาจึงให้ตัวเลข (ช็อกโกแลต) แก่เรา ฉันพบว่าโคไซน์ (wrapper) ของมัน และจากนั้นคุณยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (มัดด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เพื่อค้นหาค่านั้น เมื่อเราดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง เพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชัน และจากนั้นดำเนินการครั้งที่สองกับสิ่งที่เกิดขึ้นซึ่งเป็นผลมาจากอันแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันเชิงซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างของเรา .

เราอาจทำแบบเดียวกันในลำดับที่กลับกัน: ก่อนอื่นให้ยกกำลังสอง แล้วหาโคไซน์ของจำนวนผลลัพธ์: เดาได้ง่ายว่าผลลัพธ์ที่ได้จะแตกต่างกันเกือบทุกครั้ง คุณลักษณะที่สำคัญของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนไป ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป

ตัวอย่างที่สอง: (เหมือนกัน) .

การกระทำสุดท้ายที่เราทำจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชัน "ภายนอก"และการดำเนินการก่อน - ตามลำดับ ฟังก์ชัน "ภายใน"(เหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาในภาษาที่เรียบง่ายเท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและส่วนใดเป็นฟังก์ชันภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เช่น ในฟังก์ชัน

1. เราจะดำเนินการอะไรเป็นอันดับแรก ขั้นแรก เราคำนวณไซน์ แล้วจึงเพิ่มเป็นลูกบาศก์ จึงเป็นฟังก์ชันภายใน ไม่ใช่ฟังก์ชันภายนอก
   และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: .
2. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
3. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
4. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
5. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ตอนนี้เราจะแยกช็อคโกแลตของเรา - มองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ: อันดับแรก เรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นเราคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สำหรับตัวอย่างเดิม จะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างอื่น:

ในที่สุด มากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:

อัลกอริทึมในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนจะง่ายใช่มั้ย?

ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามลดตอนนี้ ไม่มีอะไรถูกนำออกจากใต้โคไซน์ จำได้ไหม)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

เป็นที่แน่ชัดในทันทีว่ามีฟังก์ชันเชิงซ้อนสามระดับอยู่ที่นี่: ท้ายที่สุด นี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอยู่แล้วในตัวเอง และเรายังคงแยกรากออกจากมัน นั่นคือ เราดำเนินการที่สาม (ใส่ช็อกโกแลตลงในกระดาษห่อ) และด้วยริบบิ้นในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่จะต้องกลัว อย่างไรก็ตาม เราจะ "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดียวกันตามปกติ: จากตอนท้าย

นั่นคือ อันดับแรก เราแยกความแตกต่างของรูท ตามด้วยโคไซน์ และจากนั้นนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด

ในกรณีเช่นนี้ สะดวกในการนับการกระทำ นั่นคือ ลองนึกภาพสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการคำนวณค่าของนิพจน์นี้ในลำดับใด ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งมีการดำเนินการในภายหลัง ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่ง "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำ - เหมือนเมื่อก่อน:

ที่นี่การทำรังโดยทั่วไปมี 4 ระดับ มากำหนดแนวทางปฏิบัติกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง .

2. รูท .

3. ไซนัส .

4. สแควร์ .

5. นำทุกอย่างมารวมกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์โดยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎการสร้างความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

ผลิตภัณฑ์อนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

อัลกอริทึมในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" ค้นหาอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" ค้นหาอนุพันธ์ของมัน
3. เราคูณผลลัพธ์ของจุดแรกและจุดที่สอง

อนุพันธ์ที่ซับซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรายังคงปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของเราอย่างต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม พิจารณาอนุพันธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น และทำความคุ้นเคยกับกลเม็ดและลูกเล่นใหม่ๆ ในการหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์ลอการิทึม

ผู้อ่านที่มีระดับการเตรียมตัวต่ำควรอ้างอิงบทความ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างโซลูชันซึ่งจะทำให้คุณสามารถเพิ่มทักษะของคุณได้ตั้งแต่เริ่มต้น ต่อไปต้องศึกษาเพจให้ดี อนุพันธ์ของฟังก์ชันประสมเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันให้ บทเรียนนี้มีเหตุผลเป็นบทเรียนที่สามติดต่อกัน และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกแยะหน้าที่ที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่เป็นที่พึงปรารถนาที่จะยึดติดกับตำแหน่ง "ที่อื่น? ใช่ก็พอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากการทดสอบจริงและมักพบในทางปฏิบัติ

เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันประสมเราได้พิจารณาตัวอย่างจำนวนหนึ่งพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในระหว่างการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และส่วนอื่นๆ ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คุณจะต้องแยกความแตกต่างบ่อยครั้งมาก และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ในการลงตัวอย่างอย่างละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกฝนในช่องปากของการหาอนุพันธ์ "ผู้สมัคร" ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดเช่น:

ตามกฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เมื่อศึกษาหัวข้ออื่น ๆ ของ matan ในอนาคตมักไม่ต้องการบันทึกรายละเอียดดังกล่าวโดยถือว่านักเรียนสามารถค้นหาอนุพันธ์ที่คล้ายกันบนหม้อแปลงไฟฟ้า ลองนึกภาพว่าตอนตี 3 โทรศัพท์ดังขึ้น และเสียงที่ไพเราะก็ถามว่า: "อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ 2 x คืออะไร" ตามด้วยการตอบสนองที่เกือบจะทันทีและสุภาพ: .

ตัวอย่างแรกจะมีไว้สำหรับโซลูชันอิสระทันที

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยวาจาในขั้นตอนเดียวเช่น: . ในการทำงานให้สำเร็จคุณจะต้องใช้ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น(ถ้าเธอยังไม่จำ) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันแนะนำให้อ่านบทเรียนอีกครั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประสม.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

คำตอบท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ที่ซับซ้อน

หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้นแล้ว ตัวอย่างที่มีฟังก์ชั่นเสริม 3-4-5 จะน่ากลัวน้อยลง บางทีตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าพวกเขาเข้าใจ (มีคนทนทุกข์) เกือบทุกอย่างในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก

ตัวอย่าง 2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เมื่อต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน อย่างแรก จำเป็น ขวาเข้าใจการลงทุน ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันเตือนคุณถึงเคล็ดลับที่มีประโยชน์: เราใช้ค่าทดลอง "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "นิพจน์ที่แย่มาก"

1) อันดับแรก เราต้องคำนวณนิพจน์ ดังนั้นผลรวมจึงเป็นการซ้อนที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นลูกบาศก์โคไซน์:

5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:

6) และสุดท้าย ฟังก์ชันนอกสุดคือรากที่สอง:

สูตรสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ถูกนำไปใช้ในลำดับที่กลับกัน จากฟังก์ชันนอกสุดไปยังภายในสุด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด...

(1) เราหาอนุพันธ์ของรากที่สอง

(2) เราหาอนุพันธ์ของความแตกต่างโดยใช้กฎ

(3) อนุพันธ์ของสามเท่าเท่ากับศูนย์ เทอมที่สอง เราหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)

(4) เราหาอนุพันธ์ของโคไซน์

(5) เราหาอนุพันธ์ของลอการิทึม

(6) สุดท้าย เราหาอนุพันธ์ของการทำรังที่ลึกที่สุด

อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ยกตัวอย่างเช่น คอลเล็กชั่นของ Kuznetsov และคุณจะประทับใจกับเสน่ห์และความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตว่าพวกเขาชอบที่จะให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่เข้าใจ

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สำหรับโซลูชันแบบสแตนด์อโลน

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำแนะนำ: ขั้นแรก เราใช้กฎความเป็นเส้นตรงและกฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์

คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ได้เวลาเปลี่ยนไปสู่สิ่งที่กะทัดรัดและสวยงามกว่านี้แล้ว
ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับสถานการณ์ที่ผลคูณไม่ใช่สอง แต่มีฟังก์ชันสามอย่างให้ไว้ในตัวอย่าง จะหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัยสามตัวได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อันดับแรก เราดู แต่เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันสามฟังก์ชันให้เป็นผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บเหลี่ยมได้ แต่ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดต่างกัน: ดีกรี เลขชี้กำลัง และลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้มีความจำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง

เคล็ดลับคือสำหรับ "y" เราหมายถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และสำหรับ "ve" - ​​​​ลอการิทึม: ทำไมถึงสามารถทำได้? ใช่ไหม - นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎไม่ทำงาน?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้ยังคงใช้กฎเป็นครั้งที่สอง ในวงเล็บ:

คุณยังสามารถบิดเบือนและนำบางสิ่งออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้ เป็นการดีกว่าที่จะทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ - จะตรวจสอบได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:

โซลูชันทั้งสองนั้นเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างที่แก้ไขด้วยวิธีแรก

พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คุณสามารถไปได้หลายวิธี:

หรือเช่นนี้:

แต่วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนให้กระชับกว่านี้ได้ ถ้าอย่างแรกเลย เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหาร , หาตัวเศษทั้งหมด:

โดยหลักการแล้ว ตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว และหากปล่อยไว้ในรูปแบบนี้ ก็จะไม่มีข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบฉบับร่างเสมอ แต่เป็นไปได้ไหมที่จะลดความซับซ้อนของคำตอบ เรานำนิพจน์ของตัวเศษมาเป็นตัวส่วนร่วมและ กำจัดเศษส่วนสามชั้น:

ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่เมื่อมีการเปลี่ยนโรงเรียนซ้ำซากจำเจ ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานและขอให้ "นึกถึง" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 7

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เรายังคงเชี่ยวชาญเทคนิคในการหาอนุพันธ์ และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" สำหรับการสร้างความแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 8

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

แต่ขั้นตอนแรกสุดจะทำให้คุณสิ้นหวังในทันที - คุณต้องหาอนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์ของระดับเศษส่วนแล้วจากเศษส่วนด้วย

ดังนั้น ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "แฟนซี" ก่อนหน้านี้ทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่รู้จักกันดี:

! หากคุณมีสมุดบันทึกสำหรับฝึกหัดพกติดตัว ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่น ถ้าคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้วาดลงบนกระดาษ เพราะตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะกล่าวถึงสูตรเหล่านี้

โซลูชันสามารถกำหนดได้ดังนี้:

มาแปลงฟังก์ชันกันเถอะ:

เราพบอนุพันธ์:

การแปลงฟังก์ชันเบื้องต้นทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันเพื่อสร้างความแตกต่าง ขอแนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ

และตอนนี้มีตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 9

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 10

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การเปลี่ยนแปลงและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์ลอการิทึม

หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นเพลงที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมในบางกรณีที่จะจัดระเบียบลอการิทึมเทียม? สามารถ! และถึงแม้จะจำเป็น

ตัวอย่าง 11

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่คล้ายกันที่เราเพิ่งพิจารณา จะทำอย่างไร? สามารถใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารได้อย่างต่อเนื่อง จากนั้นจึงใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นจำนวนมาก ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย

แต่ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมเช่นอนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดระเบียบเทียมโดย "แขวน" ไว้ทั้งสองข้าง:

บันทึก : เพราะ ฟังก์ชันสามารถรับค่าลบได้ โดยทั่วไปแล้ว คุณต้องใช้โมดูล: ที่หายไปจากความแตกแยก อย่างไรก็ตาม การออกแบบในปัจจุบันก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน โดยค่าเริ่มต้น ซับซ้อนค่านิยม แต่ถ้าด้วยความเข้มงวดทั้งหมดแล้วในทั้งสองกรณีจำเป็นต้องทำการจองที่.

ตอนนี้คุณต้อง "แยกย่อย" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้อย่างละเอียด:

เริ่มจากความแตกต่างกันก่อน
เราสรุปทั้งสองส่วนด้วยจังหวะ:

อนุพันธ์ของด้านขวานั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็นเพราะถ้าคุณกำลังอ่านข้อความนี้ คุณควรจะสามารถจัดการกับมันได้อย่างมั่นใจ

แล้วด้านซ้ายล่ะ?

ทางซ้ายมือมี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน. ฉันคาดว่าคำถาม: "ทำไม มีตัวอักษร "y" อยู่ใต้ลอการิทึมหนึ่งตัวหรือไม่

ความจริงก็คือว่านี้ "หนึ่งตัวอักษร y" - เป็นฟังก์ชันในตัวเอง(หากไม่ชัดเจนนัก ให้อ้างอิงกับบทความ Derivative of a function ที่ระบุโดยปริยาย) ดังนั้น ลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันทบต้น :

ทางด้านซ้าย ราวกับว่าโดยเวทมนตร์ เรามีอนุพันธ์ นอกจากนี้ ตามกฎของสัดส่วน เราโยน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนขวา:

และตอนนี้เราจำได้ว่า "เกม" - ฟังก์ชั่นประเภทใดที่เราพูดถึงเมื่อสร้างความแตกต่าง? ลองดูเงื่อนไข:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่าง 12

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่างประเภทนี้เมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ลอการิทึม มันเป็นไปได้ที่จะแก้ตัวอย่างที่ 4-7 อีกสิ่งหนึ่งคือฟังก์ชันที่นั่นง่ายกว่าและบางทีการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมก็ไม่สมเหตุสมผลมาก

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือฟังก์ชันที่มี และระดับและฐานขึ้นอยู่กับ "x". ตัวอย่างคลาสสิกที่จะมอบให้คุณในตำราเรียนหรือการบรรยาย:

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้อย่างไร?

จำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งพิจารณา - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมทั้งสองด้าน:

ตามกฎแล้ว ระดับจะถูกลบออกจากลอการิทึมทางด้านขวา:

ส่งผลให้ทางขวามือเราได้ผลคูณสองหน้าที่ซึ่งจะแตกต่างไปตามสูตรมาตรฐาน .

เราพบอนุพันธ์ สำหรับสิ่งนี้ เราใส่ทั้งสองส่วนภายใต้จังหวะ:

ขั้นตอนถัดไปนั้นง่าย:

ในที่สุด:

หากการเปลี่ยนแปลงบางอย่างไม่ชัดเจน โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อีกครั้งอย่างละเอียด

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างการบรรยายที่พิจารณาเสมอ

ตัวอย่างที่ 13

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

ทางด้านขวา เรามีค่าคงที่และผลคูณของสองปัจจัย - "x" และ "ลอการิทึมของลอการิทึมของ x" (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) เมื่อสร้างความแตกต่างของค่าคงที่ ดังที่เราจำได้ จะดีกว่าถ้าเอามันออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ทันทีเพื่อไม่ให้มาขวางทาง และแน่นอนใช้กฎที่คุ้นเคย :

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือฟังก์ชันที่มีรูปแบบของฟังก์ชันกำลัง
y = คุณวี ,
ซึ่งฐาน u และเลขชี้กำลัง v เป็นฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปร x :
คุณ = คุณ (x); วี=วี (x).
ฟังก์ชันนี้เรียกอีกอย่างว่า เลขชี้กำลังหรือ .

โปรดทราบว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถแสดงในรูปแบบเลขชี้กำลังได้:
.
ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

การคำนวณโดยใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
(2) ,
โดยที่ และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปร
ในการทำเช่นนี้ เราใช้ลอการิทึมของสมการ (2) โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:
.
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x :
(3) .
นำมาใช้ กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันทบต้นและผลงาน:
;
.

ทดแทนใน (3):
.
จากที่นี่
.

เราจึงพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
(1) .
ถ้าเลขชี้กำลังคงที่ แล้ว จากนั้นอนุพันธ์จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังผสม:
.
ถ้าฐานของดีกรีเป็นค่าคงที่ แล้ว . จากนั้นอนุพันธ์จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบผสม:
.
เมื่อ และ เป็นฟังก์ชันของ x ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของกำลังผสมและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

การคำนวณอนุพันธ์โดยการลดลงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
(2) ,
แสดงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ซับซ้อน:
(4) .

มาแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์กันเถอะ:
.
เราใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

.
และเราได้สูตร (1) อีกครั้ง

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้:
.

เราคำนวณโดยใช้อนุพันธ์ลอการิทึม เราใช้ลอการิทึมของฟังก์ชันดั้งเดิม:
(P1.1) .

จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
;
.
ตามสูตรอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ เรามี:
.
เราแยกความแตกต่าง (A1.1):
.
ตราบเท่าที่
,
แล้ว
.

นี่คือตารางสรุปเพื่อความสะดวกและชัดเจนเมื่อศึกษาหัวข้อ

คงที่y=C ฟังก์ชันกำลัง y = x p (x p)" = p x p - 1	ฟังก์ชันเลขชี้กำลังy = x (a x)" = a x ln a โดยเฉพาะเมื่อก = อีเรามี y = อี x (e x)" = อี x
ฟังก์ชันลอการิทึม (บันทึก a x) " = 1 x ln a โดยเฉพาะเมื่อก = อีเรามี y = บันทึก x (ln x)" = 1 x	ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (บาป x) "= cos x (cos x)" = - บาป x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 บาป 2 x
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (a r c บาป x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

ให้เราวิเคราะห์ว่าได้สูตรของตารางที่ระบุมาได้อย่างไร หรืออีกนัยหนึ่ง เราจะพิสูจน์ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันแต่ละประเภท

อนุพันธ์ของค่าคงที่

หลักฐาน 1

เพื่อให้ได้สูตรนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเป็นพื้นฐาน เราใช้ x 0 = x โดยที่ xรับค่าของจำนวนจริงใด ๆ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง xเป็นตัวเลขใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน f (x) = C ลองเขียนลิมิตของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันให้กับอาร์กิวเมนต์เป็น ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

โปรดทราบว่านิพจน์ 0 ∆ x อยู่ภายใต้เครื่องหมายจำกัด ไม่ใช่ความไม่แน่นอนของ "ศูนย์หารด้วยศูนย์" เนื่องจากตัวเศษไม่มีค่าที่น้อยที่สุด แต่เป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคงที่จะเป็นศูนย์เสมอ

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ f (x) = C เท่ากับศูนย์ตลอดโดเมนของคำจำกัดความ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดฟังก์ชันคงที่:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

การตัดสินใจ

ให้เราอธิบายเงื่อนไขที่กำหนด ในฟังก์ชันแรก เราจะเห็นอนุพันธ์ของจำนวนธรรมชาติ 3 . ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณต้องหาอนุพันธ์ของ เอ, ที่ไหน เอ- จำนวนจริงใดๆ ตัวอย่างที่สามให้อนุพันธ์ของจำนวนอตรรกยะ 4 แก่เรา 13 7 22 , ที่สี่ - อนุพันธ์ของศูนย์ (ศูนย์เป็นจำนวนเต็ม) สุดท้าย กรณีที่ห้า เรามีอนุพันธ์ของเศษตรรกยะ - 8 7 .

ตอบ:อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นศูนย์สำหรับจำนวนจริงใดๆ x(ตลอดขอบเขตของคำจำกัดความ)

f 1 " (x) = (3)" = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0 , f 5 " (x) = - 8 7" = 0

อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

เราหันไปหาฟังก์ชันกำลังและสูตรอนุพันธ์ซึ่งมีรูปแบบ: (x p) " = p x p - 1 โดยที่เลขชี้กำลัง พีเป็นจำนวนจริงใดๆ

หลักฐาน2

นี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ: พี = 1 , 2 , 3 , …

อีกครั้งที่เราอาศัยคำจำกัดความของอนุพันธ์ ลองเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชันกำลังกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ในตัวเศษ เราใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

ดังนั้น:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

เราจึงพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ

หลักฐาน 3

เพื่อเป็นหลักฐานในคดีเมื่อ พี-จำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม (ในที่นี้ เราควรเข้าใจความแตกต่างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม) เพื่อให้มีความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ขอแนะนำให้ศึกษาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมและจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยนัยและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเพิ่มเติม

ขอพิจารณาสองกรณี: เมื่อ xบวกและเมื่อ xเป็นลบ

ดังนั้น x > 0 จากนั้น: x p > 0 เรานำลอการิทึมของความเท่าเทียมกัน y \u003d x p ไปที่ฐาน e และใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:

y = x p ln y = ln x p ln y = พี ln x

ในขั้นตอนนี้ ได้รับฟังก์ชันที่กำหนดไว้โดยปริยาย มานิยามอนุพันธ์ของมันกัน:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

ตอนนี้เราพิจารณากรณีที่เมื่อ x-จำนวนลบ

ถ้าตัวบ่งชี้ พีเป็นเลขคู่ แล้วฟังก์ชันกำลังก็ถูกกำหนดสำหรับ x . ด้วย< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

จากนั้น xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

ถ้า พีเป็นเลขคี่ ดังนั้นฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดสำหรับ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

การเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายเป็นไปได้เพราะถ้า พีเป็นเลขคี่ ดังนั้น หน้า - 1เป็นจำนวนคู่หรือศูนย์ (สำหรับ p = 1) ดังนั้นสำหรับค่าลบ xความเท่าเทียมกัน (- x) p - 1 = x p - 1 เป็นจริง

ดังนั้น เราได้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสำหรับ p จริงใดๆ

ตัวอย่าง 2

ฟังก์ชั่นที่กำหนด:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12

กำหนดอนุพันธ์ของพวกมัน

การตัดสินใจ

เราแปลงส่วนหนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบตาราง y = x p ตามคุณสมบัติของดีกรี แล้วใช้สูตร:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12 = x - บันทึก 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - 1 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - บันทึก 7 7 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 84

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

พิสูจน์ 4

เราได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

เราได้รับความไม่แน่นอน เพื่อขยาย เราเขียนตัวแปรใหม่ z = a ∆ x - 1 (z → 0 เป็น ∆ x → 0) ในกรณีนี้ a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a สำหรับการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุด จะใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึม

มาทำการแทนที่ในขีด จำกัด เดิม:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

จำขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยมที่สอง แล้วเราจะได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

ตัวอย่างที่ 3

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้รับ:

ฉ 1 (x) = 2 3 x , ฉ 2 (x) = 5 3 x , ฉ 3 (x) = 1 (จ) x

เราต้องหาอนุพันธ์ของพวกมัน

การตัดสินใจ

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของลอการิทึม:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

หลักฐาน 5

เรานำเสนอการพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับ any xในขอบเขตของคำจำกัดความและค่าที่ถูกต้องของฐาน a ของลอการิทึม จากนิยามของอนุพันธ์ เราได้รับ:

(ล็อก a x) " = lim ∆ x → 0 บันทึก a (x + ∆ x) - บันทึก a x ∆ x = lim ∆ x → 0 บันทึก a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x บันทึก a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 บันทึก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 บันทึก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x บันทึก a 1 + ∆ x x x x ∆ x = = 1 x บันทึก a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x บันทึก a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

สามารถเห็นได้จากห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันที่ระบุซึ่งการแปลงถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของคุณสมบัติลอการิทึม ลิมิตความเท่าเทียมกัน ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e เป็นจริงตามขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สอง

ตัวอย่างที่ 4

ฟังก์ชันลอการิทึมจะได้รับ:

f 1 (x) = บันทึกบันทึก 3 x , f 2 (x) = บันทึก x

มีความจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของพวกมัน

การตัดสินใจ

ลองใช้สูตรที่ได้รับ:

f 1 "(x) = (บันทึก ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

ดังนั้นอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติจึงหารด้วย x.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หลักฐาน 6

เราใช้สูตรตรีโกณมิติบางสูตรและขีดจำกัดแรกที่ยอดเยี่ยมในการหาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จากนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์ เราได้:

(บาป x) " = lim ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x

สูตรสำหรับความแตกต่างของไซน์จะช่วยให้เราสามารถดำเนินการดังต่อไปนี้:

(บาป x) " = lim ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 บาป x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2

สุดท้าย เราใช้ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมแรก:

บาป "x = cos x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน บาป xจะ cos x.

เราจะพิสูจน์สูตรของอนุพันธ์โคไซน์ด้วยวิธีเดียวกัน:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 บาป x + ∆ x - x 2 บาป x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 บาป x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - บาป x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = - บาป x

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน cos x จะเป็น – บาป x.

เราได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามกฎของความแตกต่าง:

t g "x = บาป x cos x" = บาป "x cos x - บาป x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - บาป x (- บาป x) cos 2 x = บาป 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x บาป x" = cos "x บาป x - cos x บาป "x บาป 2 x = = - บาป x บาป x - cos x cos x บาป 2 x = - บาป 2 x + cos 2 x บาป 2 x = - 1 บาป 2 x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ส่วนอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันให้ข้อมูลที่ครอบคลุมเกี่ยวกับการพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คโคแทนเจนต์ ดังนั้นเราจะไม่ทำซ้ำเนื้อหาที่นี่

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

พิสูจน์7

เราสามารถหาสูตรสำหรับอนุพันธ์ของไฮเพอร์โบลิกไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้โดยใช้กฎดิฟเฟอเรนติเอชันและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c c h 2 h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter