อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x0 คือขีดจำกัด (ถ้ามี) ของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันที่จุด x0 ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx หากอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเพิ่มขึ้น ศูนย์และแสดงด้วย f '(x0) การกระทำของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีความหมายทางกายภาพดังต่อไปนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์. อนุพันธ์ที่จุด x0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ณ จุดนี้
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์หากจุดเคลื่อนที่ไปตามแกน x และพิกัดของมันเปลี่ยนแปลงตามกฎ x(t) ความเร็วของจุดนั้นในทันที:
แนวคิดของความแตกต่างคุณสมบัติของมัน กฎความแตกต่าง ตัวอย่าง.
คำนิยาม.ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง x คือส่วนหลักที่เป็นเส้นตรงของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน y = f(x) เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์และการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ x ( ข้อโต้แย้ง).
มันเขียนแบบนี้:
หรือ 
หรือ 
คุณสมบัติดิฟเฟอเรนเชียล
ดิฟเฟอเรนเชียลมีคุณสมบัติคล้ายกับอนุพันธ์: 
ถึง กฎพื้นฐานของความแตกต่างรวม:
1) นำตัวประกอบคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์
2) อนุพันธ์ของผลรวม อนุพันธ์ของส่วนต่าง
3) อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน
4) อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน (อนุพันธ์ของเศษส่วน) 
ตัวอย่าง.
มาพิสูจน์สูตรกัน: โดยนิยามอนุพันธ์ เรามี: 
ปัจจัยโดยพลการสามารถนำออกจากเครื่องหมายของทางเดินไปยังขีด จำกัด (ซึ่งเป็นที่รู้จักจากคุณสมบัติของขีด จำกัด ) ดังนั้น
ตัวอย่างเช่น:หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
การตัดสินใจ:เราใช้กฎของการเอาตัวคูณออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ :
บ่อยครั้งจำเป็นต้องลดความซับซ้อนของรูปแบบของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนทิเอเบิลก่อน เพื่อใช้ตารางอนุพันธ์และกฎในการหาอนุพันธ์ ตัวอย่างต่อไปนี้ยืนยันอย่างชัดเจน
สูตรสร้างความแตกต่าง การประยุกต์ใช้ผลต่างในการคำนวณโดยประมาณ ตัวอย่าง.
การใช้ดิฟเฟอเรนเชียลในการคำนวณโดยประมาณทำให้สามารถใช้ค่าดิฟเฟอเรนเชียลในการคำนวณค่าฟังก์ชันโดยประมาณได้
ตัวอย่าง.
ใช้ส่วนต่าง คำนวณ ประมาณ
ในการคำนวณค่านี้ เราใช้สูตรจากทฤษฎี
ให้เราแนะนำฟังก์ชันและแสดงค่าที่กำหนดในรูปแบบ
แล้วคำนวณ 
แทนที่ทุกอย่างลงในสูตร เราจะได้
ตอบ: 
16. กฎของ L'Hopital สำหรับการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม 0/0 หรือ ∞/∞ ตัวอย่าง.
ขีด จำกัด ของอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากหรือสองปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุดเท่ากับขีด จำกัด ของอัตราส่วนของอนุพันธ์ 
1) 
17. การเพิ่มและลดฟังก์ชัน สุดขีดของฟังก์ชัน อัลกอริทึมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดโต่ง ตัวอย่าง.
การทำงาน เพิ่มขึ้นบนช่วงเวลาหากจุดสองจุดใดๆ ของช่วงเวลาที่สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นจริง กล่าวคือ ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน และกราฟจะไป "จากล่างขึ้นบน" ฟังก์ชันการสาธิตเติบโตตามช่วงเวลา
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน ลดลงบนช่วงเวลาหากจุดสองจุดใดๆ ของช่วงเวลาที่กำหนดให้ อสมการเป็นจริง กล่าวคือ ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน และกราฟจะไป "จากบนลงล่าง" ของเราลดลงตามช่วงเวลาลดลงตามช่วงเวลา 
.
สุดขั้วจุดนี้เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทั้งหมดจากพื้นที่ใกล้เคียง ค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นสูงสุดและแสดงว่า
จุดนี้เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทั้งหมดจากพื้นที่ใกล้เคียง ค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นขั้นต่ำและแสดงว่า
บริเวณใกล้เคียงของจุดเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นช่วง 
โดยที่จำนวนบวกน้อยเพียงพอ
จุดต่ำสุดและสูงสุดเรียกว่าจุดสุดโต่งและเรียกค่าฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับจุดสุดโต่ง ฟังก์ชั่นสุดขั้ว.
เพื่อสำรวจฟังก์ชั่น เพื่อความน่าเบื่อใช้ไดอะแกรมต่อไปนี้:
- ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน;
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและโดเมนของอนุพันธ์
- ค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์เช่น ค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์
- บนคานตัวเลข ทำเครื่องหมายส่วนร่วมของโดเมนของฟังก์ชันและโดเมนของอนุพันธ์ และบนนั้น - ศูนย์ของอนุพันธ์
- กำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงที่ได้รับ
- โดยสัญญาณของอนุพันธ์ ให้กำหนดว่าช่วงใดที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและลดลงเมื่อใด
- บันทึกช่องว่างที่เหมาะสมโดยคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค
อัลกอริทึมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x) สำหรับ monotonicity และ extrema:
1) ค้นหาอนุพันธ์ f ′(x)
2) ค้นหาจุดหยุดนิ่ง (f ′(x) = 0) และจุดวิกฤต (f ′(x) ไม่มีอยู่จริง) ของฟังก์ชัน y = f(x)
3) ทำเครื่องหมายจุดที่อยู่กับที่และจุดวิกฤตบนเส้นจริงและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาผลลัพธ์
4) หาข้อสรุปเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันและจุดสุดขั้ว
18. ความนูนของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยน. อัลกอริธึมสำหรับตรวจสอบฟังก์ชันความนูน (Concavity) Examples.
นูนลงบนช่วง X ถ้ากราฟของมันตั้งอยู่ไม่ต่ำกว่าแทนเจนต์ที่จุดใดๆ ของช่วง X
ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลเรียกว่า นูนขึ้นบนช่วง X ถ้ากราฟของมันตั้งอยู่ไม่สูงกว่าแทนเจนต์ที่จุดใดๆ ของช่วง X
สูตรจุดเรียกว่า จุดเปลี่ยนกราฟฟังก์ชัน y \u003d f (x) หาก ณ จุดที่กำหนด มีแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน (สามารถขนานกับแกน Oy ได้) และบริเวณใกล้เคียงของสูตรจุดนั้นจะมีกราฟของ ฟังก์ชันมีทิศทางนูนต่างกันทางด้านซ้ายและด้านขวาของจุด M
การหาระยะนูน:
ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองจำกัดในช่วงเวลา X และถ้าเป็นอสมการ 
() จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะมีส่วนนูนชี้ลง (ขึ้น) บน X
ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้คุณค้นหาช่วงเวลาของความเว้าและความนูนของฟังก์ชัน คุณจะต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันและตามลำดับบนโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม
ตัวอย่าง: ค้นหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันค้นหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน 
มีนูนชี้ขึ้นและนูนชี้ลง มีนูนชี้ขึ้นและนูนชี้ลง
การตัดสินใจ:โดเมนของฟังก์ชันนี้คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน
โดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสองเกิดขึ้นพร้อมกับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม ดังนั้น เพื่อที่จะหาช่วงเวลาของการเว้าและความนูน ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้และตามลำดับ 
ดังนั้น ฟังก์ชันจะนูนลงบนสูตรช่วงเวลาและนูนขึ้นบนสูตรช่วงเวลา
19) เส้นกำกับของฟังก์ชัน ตัวอย่าง.
เรียกตรงว่า เส้นกำกับแนวตั้งกราฟของฟังก์ชันหากค่าจำกัดอย่างน้อยหนึ่งค่าหรือเท่ากับ หรือ .
ความคิดเห็นเส้นไม่สามารถเป็นเส้นกำกับแนวตั้งได้หากฟังก์ชันต่อเนื่องที่ ดังนั้นควรหาเส้นกำกับแนวตั้งที่จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน
เรียกตรงว่า เส้นกำกับแนวนอนกราฟของฟังก์ชันหากค่าจำกัดอย่างน้อยหนึ่งค่าหรือเท่ากับ .
ความคิดเห็นกราฟฟังก์ชันสามารถมีเส้นกำกับแนวนอนด้านขวาหรือด้านซ้ายได้เท่านั้น
เรียกตรงว่า เส้นกำกับเฉียงกราฟของฟังก์ชัน if
ตัวอย่าง:
ออกกำลังกาย.ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน 
การตัดสินใจ.ขอบเขตการทำงาน:
a) เส้นกำกับแนวตั้ง: เส้นตรงคือเส้นกำกับแนวตั้งตั้งแต่
b) เส้นกำกับแนวนอน: เราพบขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่อนันต์:
นั่นคือไม่มีเส้นกำกับแนวนอน
c) เส้นกำกับเฉียง:
ดังนั้น เส้นกำกับเฉียงคือ:
ตอบ.เส้นกำกับแนวตั้งเป็นเส้นตรง
เส้นกำกับเฉียงเป็นเส้นตรง
20) รูปแบบทั่วไปของการศึกษาฟังก์ชันและการวางแผน ตัวอย่าง.
ก.
ค้นหา ODZ และเบรกพอยต์ของฟังก์ชัน
ข. หาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด
2. ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1 คือ หาจุดปลายสุดของฟังก์ชันและช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง
3. ตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง นั่นคือ หาจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชันและช่วงของความนูนและความเว้าของฟังก์ชัน
4. ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน: a) แนวตั้ง b) เฉียง
5. บนพื้นฐานของการศึกษา ให้สร้างกราฟของฟังก์ชัน
โปรดทราบว่าก่อนการพล็อต จะเป็นประโยชน์ในการพิจารณาว่าฟังก์ชันที่กำหนดเป็นคู่หรือคี่
จำได้ว่ามีการเรียกใช้ฟังก์ชันแม้ว่าค่าของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป: ฉ(-x) = เอฟ(x)และฟังก์ชันจะเรียกว่าคี่ if ฉ(-x) = -f(x).
ในกรณีนี้ เพียงพอที่จะศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟสำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นของ ODZ ด้วยค่าลบของอาร์กิวเมนต์ กราฟจะเสร็จสมบูรณ์บนพื้นฐานที่ว่าสำหรับฟังก์ชันคู่นั้นจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน ออยและสำหรับเรื่องแปลกที่เกี่ยวกับที่มา
ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ
ขอบเขตฟังก์ชัน D(y)= (–∞; +∞).ไม่มีจุดแตกหัก
ทางแยกแกน วัว: x = 0,y= 0.
ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ ดังนั้นจึงสามารถตรวจสอบได้เฉพาะในช่วงเวลาเท่ากับอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลานี้ต่อเวลา กล่าวคือ
Vav = ∆x /∆t . ขอให้เราผ่านไปยังขีด จำกัด ในความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็น ∆เสื้อ → 0.
ลิม V cf (t) = n (t 0 ) - ความเร็วชั่วขณะหนึ่งเสื้อ 0 , ∆t → 0.
และ lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์)
ดังนั้น n(t) = x "(t)
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มีดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = ฉ( x) ณ จุดนั้นx 0 คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ฉ(x) ณ จุดนั้นx 0
อนุพันธ์ถูกใช้ในฟิสิกส์เพื่อค้นหาความเร็วจากฟังก์ชันที่ทราบของพิกัดจากเวลา ความเร่งจากฟังก์ชันที่ทราบของความเร็วจากเวลา
คุณ (t) \u003d x "(t) - ความเร็ว
a(f) = n "(t ) - การเร่งความเร็วหรือ
a (t) \u003d x "(t)
หากรู้กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ชี้ไปตามวงกลม ก็เป็นไปได้ที่จะหาความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนได้:
φ = φ (t ) - เปลี่ยนมุมจากเวลา
ω = ฟาย "(t ) - ความเร็วเชิงมุม,
ε = ฟาย "(t ) - ความเร่งเชิงมุมหรือε \u003d φ "(t)
หากทราบกฎการกระจายสำหรับมวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ก็จะสามารถหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้:
m \u003d m (x) - มวล
x н , l - ความยาวก้าน
p = m "(x) - ความหนาแน่นเชิงเส้น
ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ ปัญหาจากทฤษฎีความยืดหยุ่นและการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะได้รับการแก้ไข ใช่ ตามกฎของฮุก
F = - kx , x - พิกัดตัวแปร k - ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง วางω 2 = k / m , เราได้สมการอนุพันธ์ของลูกตุ้มสปริง x "(เสื้อ ) + ω 2 x(เสื้อ ) = 0,
โดยที่ ω = √k /√m ความถี่การสั่น (ลิตร/c ), k - ความฝืดสปริง (ชม./ม.).
สมการของรูปแบบ y" +ω 2 ญ = 0 เรียกว่าสมการของการแกว่งของฮาร์มอนิก (เครื่องกล, ไฟฟ้า, แม่เหล็กไฟฟ้า) คำตอบของสมการดังกล่าวคือฟังก์ชัน
y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) หรือ y \u003d Acos (ωt + φ 0 ) โดยที่
A คือแอมพลิจูดของการแกว่งω - ความถี่วัฏจักร
φ 0 - ระยะเริ่มต้น
เรื่อง. อนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิตและทางกลของอนุพันธ์
หากขีดจำกัดนี้มีอยู่ ฟังก์ชันจะเรียกว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้ (สูตร 2)
- ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ พิจารณากราฟฟังก์ชัน ดังจะเห็นได้จากรูปที่ 1 ว่าสำหรับจุดสองจุด A และ B ของกราฟของฟังก์ชัน สามารถเขียนสูตร 3) ได้ ในนั้น - มุมเอียงของซีแคนต์ AB
ดังนั้น อัตราส่วนความแตกต่างจะเท่ากับความชันของซีแคนต์ หากเรากำหนดจุด A และย้ายจุด B ไปยังจุดนั้น มันจะลดลงอย่างไม่มีกำหนดและเข้าใกล้ 0 และเส้นตัด AB เข้าใกล้แทนเจนต์ AC ดังนั้น ลิมิตของความสัมพันธ์ส่วนต่างจึงเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่จุด A ดังนั้น ข้อสรุปดังต่อไปนี้
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งคือความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันนั้นที่จุดนั้น นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
- สมการแทนเจนต์ . เรามาหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นกัน ในกรณีทั่วไป สมการของเส้นตรงที่มีความชันจะมีรูปแบบดังนี้ . ในการหา b เราใช้ความจริงที่ว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A: นี่หมายความว่า: . แทนนิพจน์นี้สำหรับ b เราได้สมการแทนเจนต์ (สูตร 4)
พิจารณากราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y = f(x)
เราทำเครื่องหมายจุด A ด้วยพิกัด (x, f (x)) บนมันและไม่ไกลจากจุด B พร้อมพิกัด (x + h, f (x + h) ลากเส้น (AB) ผ่านจุดเหล่านี้ พิจารณา การแสดงออก 
. ผลต่าง f(x+h)-f(x) เท่ากับระยะทาง BL และระยะทาง AL เท่ากับ h อัตราส่วน BL/AL คือแทนเจนต์ ε ของมุม - มุมเอียงของเส้นตรง (AB) ทีนี้ลองนึกภาพว่า h เล็กมาก จากนั้นเส้นตรง (AB) จะเกือบจะตรงกับเส้นสัมผัสที่จุด x ถึงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)
ดังนั้น ให้คำจำกัดความ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x เรียกว่า ลิมิตของความสัมพันธ์ เนื่องจาก h มีแนวโน้มเป็นศูนย์ เขียน: 
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คือแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์
อนุพันธ์ยังมีความหมายทางกายภาพ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ความเร็วถูกกำหนดให้เป็นระยะทางหารด้วยเวลา อย่างไรก็ตามในชีวิตจริง ความเร็ว เช่น รถยนต์ไม่คงที่ตลอดการเดินทาง ให้เส้นทางเป็นฟังก์ชันของเวลา - S(t) มาแก้ไขโมเมนต์ของเวลา t กัน ในช่วงเวลาสั้น ๆ จาก t ถึง t + h รถจะครอบคลุมเส้นทาง S(t+h)-S(t) ในช่วงเวลาสั้นๆ ความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลงมากนัก ดังนั้น คุณสามารถใช้คำจำกัดความของความเร็วที่รู้จักในโรงเรียนประถมได้ 
. และในขณะที่ h มีแนวโน้มเป็นศูนย์, นี่จะเป็นอนุพันธ์