ค้นหามุมระหว่างเส้นในอวกาศออนไลน์ การหามุมระหว่างเส้น

มุม φ สมการทั่วไป A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 คำนวณโดยสูตร:

มุม φ ระหว่างเส้นตรงสองเส้น สมการบัญญัติ(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 และ (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2 คำนวณโดยสูตร:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

แต่ละระนาบในอวกาศสามารถแสดงเป็นสมการเชิงเส้นที่เรียกว่า สมการทั่วไปเครื่องบิน

กรณีพิเศษ.

o หากอยู่ในสมการ (8) แสดงว่าระนาบผ่านจุดกำเนิด

o ด้วย (,) ระนาบขนานกับแกน (แกน, แกน) ตามลำดับ

o เมื่อ (,) เครื่องบินขนานกับระนาบ (ระนาบ, ระนาบ).

วิธีแก้ไข: ใช้ (7)

ตอบ สมการทั่วไปของระนาบ

ตัวอย่าง.

ระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปของระนาบ . เขียนพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากทั้งหมดในระนาบนี้

เรารู้ว่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x, y และ z ในสมการทั่วไปของระนาบคือพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนั้น ดังนั้น เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบที่กำหนด มีพิกัด. เซตของเวกเตอร์ตั้งฉากทั้งหมดสามารถกำหนดได้ดังนี้

เขียนสมการของระนาบหากในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในอวกาศที่ผ่านจุด , แ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้

เรานำเสนอวิธีแก้ไขปัญหานี้สองวิธี

จากสภาพที่เรามี เราแทนที่ข้อมูลเหล่านี้ในสมการทั่วไปของระนาบที่ผ่านจุด:

เขียนสมการทั่วไปของระนาบขนานกับระนาบพิกัด Oyz แล้วผ่านจุด .

ระนาบขนานกับระนาบพิกัด Oyz สามารถหาได้จากสมการที่ไม่สมบูรณ์ทั่วไปของระนาบของแบบฟอร์ม ตั้งแต่ประเด็น เป็นของระนาบตามเงื่อนไข แล้วพิกัดของจุดนี้ต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ นั่นคือ ความเสมอภาคต้องเป็นจริง จากที่นี่เราพบว่า ดังนั้นสมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

วิธีการแก้. ผลคูณเวกเตอร์ ตามคำจำกัดความ 10.26 เป็นมุมฉากกับเวกเตอร์ p และ q ดังนั้นจึงเป็นมุมฉากกับระนาบที่ต้องการและเวกเตอร์สามารถใช้เป็นเวกเตอร์ปกติได้ ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ n:

นั่นคือ . โดยใช้สูตร (11.1) เราได้รับ

เมื่อเปิดวงเล็บในสมการนี้ เราก็มาถึงคำตอบสุดท้าย

ตอบ: .

ลองเขียนเวกเตอร์ปกติในแบบฟอร์มใหม่และหาความยาวของมัน:

ตามข้างต้น:

ตอบ:

ระนาบขนานมีเวกเตอร์ตั้งฉากเหมือนกัน 1) จากสมการ เราพบเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ:

2) เราเขียนสมการของระนาบตามจุดและเวกเตอร์ปกติ:

ตอบ:

สมการเวกเตอร์ของระนาบในอวกาศ

สมการพาราเมตริกของระนาบในอวกาศ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ในปริภูมิสามมิติ มากำหนดปัญหาต่อไปนี้กัน:

เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด เอ็ม(x 0, y 0, z 0) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด น = ( อา, บี, ค} .

วิธีการแก้. อนุญาต พี(x, y, z) เป็นจุดใดก็ได้ในอวกาศ Dot พีเป็นของระนาบก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ ส.ส = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ น = {อา, บี, ค) (รูปที่ 1).

เมื่อเขียนเงื่อนไขมุมฉากสำหรับเวกเตอร์เหล่านี้แล้ว (n, ส.ส) = 0 ในรูปแบบพิกัด เราได้รับ:

อา(x − x 0) + บี(y − y 0) + ค(z − z 0) = 0

สมการระนาบด้วยสามจุด

ในรูปแบบเวกเตอร์

ในพิกัด

การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบินในอวกาศ

เป็นสมการทั่วไปของระนาบสองระนาบ แล้ว:

1) if จากนั้นเครื่องบินก็ตรงกัน

2) ถ้า จากนั้นระนาบจะขนานกัน

3) ถ้า หรือ แล้วระนาบตัดกับระบบสมการ

(6)

คือสมการของเส้นตัดของระนาบที่กำหนด

วิธีการแก้: เราเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงโดยใช้สูตร: ตอบ:

เราใช้สมการผลลัพธ์และ "ตรึง" ในใจเช่นชิ้นด้านซ้าย: ตอนนี้เราเทียบชิ้นนี้ ไปที่หมายเลขใด ๆ(โปรดจำไว้ว่ามีศูนย์อยู่แล้ว) เช่น หนึ่ง: . เนื่องจาก จากนั้น "ชิ้นส่วน" อีกสองชิ้นจะต้องเท่ากับหนึ่งด้วย โดยพื้นฐานแล้ว คุณต้องแก้ระบบ:

เขียนสมการพาราเมตริกสำหรับบรรทัดต่อไปนี้:

วิธีการแก้: เส้นถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐาน และในระยะแรก เราควรหาจุดที่เป็นของเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนั้น

ก) จากสมการ ลบจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: . คุณสามารถเลือกจุดอื่นได้ (วิธีการทำเช่นนี้จะอธิบายไว้ข้างต้น) แต่จะดีกว่าถ้าเลือกจุดที่ชัดเจนที่สุด อย่างไรก็ตาม เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ให้แทนที่พิกัดลงในสมการเสมอ

ให้เราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงนี้:

ความสะดวกของสมการพาราเมทริกคือช่วยให้หาจุดอื่นๆ ของเส้นได้ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น ลองหาจุดที่มีพิกัด พูด สอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ :

ดังนั้น: b) พิจารณาสมการบัญญัติ . การเลือกจุดที่นี่เป็นเรื่องง่าย แต่ร้ายกาจ: (ระวังอย่าสับสนพิกัด!!!) จะดึงเวกเตอร์ไกด์ออกมาได้อย่างไร? คุณสามารถโต้แย้งว่าเส้นตรงนี้ขนานกับอะไร หรือคุณสามารถใช้กลอุบายง่ายๆ ได้: สัดส่วนคือ "y" และ "z" ดังนั้นเราจึงเขียนเวกเตอร์ทิศทาง และใส่ศูนย์ในช่องว่างที่เหลือ:

เราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรง:

c) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ นั่นคือ "Z" สามารถเป็นอะไรก็ได้ และถ้ามีก็เช่น ดังนั้น ประเด็นจึงเป็นของบรรทัดนี้ ในการหาเวกเตอร์ทิศทาง เราใช้เทคนิคที่เป็นทางการต่อไปนี้ ในสมการเริ่มต้นมี "x" และ "y" และในเวกเตอร์ทิศทางที่เราเขียน ศูนย์: . ที่เหลือเราใส่ หน่วย: . แทนที่จะเป็นหนึ่งตัวเลขใด ๆ ยกเว้นศูนย์จะทำ

เราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรง:

ให้สองบรรทัด l และ m บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

เวกเตอร์ของค่าปกติของเส้นเหล่านี้: = (A 1 , B 1) - ถึงเส้น l,

= (A 2 , B 2) ถึงเส้น ม.

ให้ j เป็นมุมระหว่างเส้น l กับ m

เนื่องจากมุมที่มีด้านตั้งฉากซึ่งกันและกันมีค่าเท่ากันหรือรวมกันเป็น p ดังนั้น เช่น cos j =

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้แล้ว

ทฤษฎีบท.ให้ j เป็นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในระนาบ และให้เส้นตรงเหล่านี้อยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการทั่วไป A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 จากนั้น cos j = .

การออกกำลังกาย.

1) หาสูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างเส้นถ้า:

(1) ทั้งสองบรรทัดกำหนดเป็นพารามิเตอร์ (2) เส้นทั้งสองถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติ (3) เส้นตรงหนึ่งเส้นถูกกำหนดเป็นพาราเมตริก ส่วนอีกเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป (4) เส้นทั้งสองถูกกำหนดโดยสมการความชัน

2) ให้ j เป็นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในระนาบ และให้เส้นตรงเหล่านี้ถูกกำหนดให้กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการ y = k 1 x + b 1 และ y =k 2 x + b 2

จากนั้น tan j = .

3) สำรวจตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นที่กำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและกรอกข้อมูลในตาราง:

ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นบนระนาบ

ให้เส้น l บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป Ax + By + C = 0 หาระยะทางจากจุด M(x 0 , y 0) ถึงเส้น l

ระยะทางจากจุด M ถึงเส้น l คือความยาวของเส้นตั้งฉาก HM (H н l, HM ^ l)

เวกเตอร์และเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้น l เป็นเส้นตรง ดังนั้น | | = | | | | และ | | = .

ให้พิกัดของจุด H เป็น (x,y)

เนื่องจากจุด H อยู่ในเส้น l ดังนั้น Ax + By + C = 0 (*)

พิกัดของเวกเตอร์และ: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B)

| | = = =

(C = -Axe - By ดู (*))

ทฤษฎีบท.ให้เส้น l ถูกกำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการทั่วไป Ax + By + C = 0 จากนั้นระยะทางจากจุด M(x 0 , y 0) ถึงเส้นนี้คำนวณโดยสูตร: r (M; ล) = .

การออกกำลังกาย.

1) หาสูตรสำหรับคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ถ้า: (1) เส้นถูกกำหนดให้เป็นแบบพาราเมตริก (2) เส้นถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติ (3) เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการความชัน

2) เขียนสมการแทนเจนต์ของวงกลมบนเส้น 3x - y = 0 ที่มีจุดศูนย์กลางที่ Q(-2,4)

3) เขียนสมการของเส้นแบ่งมุมที่เกิดจากจุดตัดของเส้น 2x + y - 1 = 0 และ x + y + 1 = 0 ครึ่งหนึ่ง

§ 27. คำจำกัดความเชิงวิเคราะห์ของระนาบในอวกาศ

คำนิยาม. เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบเราจะเรียกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวแทนใดๆ ก็ตามที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด

ความคิดเห็นเป็นที่ชัดเจนว่าหากตัวแทนของเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวตั้งฉากกับระนาบ ตัวแทนอื่นๆ ทั้งหมดของเวกเตอร์จะตั้งฉากกับระนาบนี้

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รับในอวกาศ

ให้ระนาบ a = (A, B, C) – เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้ จุด M (x 0 , y 0 , z 0) เป็นของระนาบ a

สำหรับจุดใดๆ N(x, y, z) ของระนาบ a, เวกเตอร์และตั้งฉาก นั่นคือ ผลคูณของสเกลาร์เท่ากับศูนย์: = 0 ลองเขียนค่าความเท่าเทียมกันสุดท้ายในพิกัดกัน: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0

ให้ -Axe 0 - โดย 0 - Cz 0 = D แล้ว Axe + By + Cz + D = 0

ใช้จุด K (x, y) โดยที่ Ax + By + Cz + D \u003d 0 เนื่องจาก D \u003d -Ax 0 - โดย 0 - Cz 0 แล้ว A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0เนื่องจากพิกัดของส่วนกำกับ = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0) ความเท่าเทียมกันสุดท้ายหมายความว่า ^ และดังนั้น K н a

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท.ระนาบใดๆ ในอวกาศในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถกำหนดได้โดยสมการของรูปแบบ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) โดยที่ (A, B, C) คือ พิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้

สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท.สมการใด ๆ ของรูปแบบ Axe + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะกำหนดระนาบหนึ่ง ขณะที่ (A, B, C) เป็นพิกัดปกติ เวกเตอร์ของระนาบนี้

การพิสูจน์.

ใช้จุด M (x 0 , y 0 , z 0) โดยที่ Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 และ vector = (A, B, C) ( ≠ q)

เครื่องบิน (และเพียงอันเดียว) ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเวกเตอร์ ตามทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ ระนาบนี้ถูกกำหนดโดยสมการ Ax + By + Cz + D = 0

คำนิยาม.สมการของรูปแบบ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) เรียกว่า สมการทั่วไปของระนาบ.

ตัวอย่าง.

ลองเขียนสมการระนาบที่ผ่านจุด M (0.2.4), N (1,-1.0) และ K (-1.0.5)

1. หาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ (MNK) เนื่องจากผลคูณเวกเตอร์ ´ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์ และ เวกเตอร์จึงขนานกับ ´

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5)

ดังนั้น ตามเวกเตอร์ปกติ ให้ใช้เวกเตอร์ = (-11, 3, -5)

2. ให้เราใช้ผลลัพธ์ของทฤษฎีบทแรก:

สมการของระนาบนี้ A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 โดยที่ (A, B, C) คือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉาก (x 0 , y 0 , z 0) – พิกัดของจุดที่อยู่ในระนาบ (เช่น จุด M)

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

คำตอบ: -11x + 3y - 5z + 14 = 0

การออกกำลังกาย.

1) เขียนสมการของระนาบ if

(1) เครื่องบินผ่านจุด M (-2,3,0) ขนานกับระนาบ 3x + y + z = 0;

(2) ระนาบประกอบด้วยแกน (Ox) และตั้งฉากกับระนาบ x + 2y – 5z + 7 = 0

2) เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

§ 28. ข้อกำหนดเชิงวิเคราะห์ของครึ่งช่องว่าง*

ความคิดเห็น*. ให้เครื่องบินบางส่วนได้รับการแก้ไข ภายใต้ ครึ่งช่องว่างเราจะเข้าใจชุดของจุดที่อยู่บนด้านหนึ่งของระนาบที่กำหนด นั่นคือ สองจุดอยู่ในครึ่งช่องว่างเดียวกัน ถ้าส่วนที่เชื่อมต่อพวกมันไม่ตัดกับระนาบที่กำหนด เครื่องบินลำนี้มีชื่อว่า ขอบเขตของพื้นที่ครึ่งหนึ่งนี้. การรวมกันของระนาบที่กำหนดและช่องว่างครึ่งหนึ่งจะถูกเรียกว่า ปิดครึ่งช่องว่าง.

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รับการแก้ไขในอวกาศ

ทฤษฎีบท.ให้ระนาบ a มาจากสมการทั่วไป Ax + By + Cz + D = 0 จากนั้นหนึ่งในสองช่องว่างครึ่งที่ระนาบ a แบ่งช่องว่างจะได้จากอสมการ Ax + By + Cz + D > 0 และช่องว่างครึ่งหลังถูกกำหนดโดยอสมการ Ax + By + Cz + D< 0.

การพิสูจน์.

ให้เราพลอตเวกเตอร์ปกติ = (A, B, С) ไปยังระนาบ a จากจุด M (x 0 , y 0 , z 0) นอนอยู่บนระนาบนี้: = , M н a, MN ^ a. เครื่องบินแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองช่องว่างครึ่ง: b 1 และ b 2 . เป็นที่ชัดเจนว่าจุด N เป็นของหนึ่งในช่องว่างครึ่งหนึ่งเหล่านี้ โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไปเราคิดว่า N н b 1 .

ให้เราพิสูจน์ว่าครึ่งสเปซ b 1 ถูกกำหนดโดยอสมการ Ax + By + Cz + D > 0

1) ใช้จุด K(x,y,z) ในครึ่งช่องว่าง b 1 มุม Ð NMK คือมุมระหว่างเวกเตอร์และเป็นมุมแหลม ดังนั้น ผลคูณของสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นค่าบวก: > 0 ลองเขียนอสมการนี้เป็นพิกัด: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, เช่น Ax + By + Cy - Axe 0 - By 0 - C z 0 > 0

ตั้งแต่ M н b 1 แล้ว Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0 ดังนั้น -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D ดังนั้น อสมการสุดท้ายสามารถเขียนได้ดังนี้: Ax + By + Cz + D > 0

2) หาจุด L(x,y) โดยกำหนดให้ Ax + By + Cz + D > 0

ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันใหม่ โดยแทนที่ D ด้วย (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (ตั้งแต่ M н b 1 แล้ว Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0

เวกเตอร์ที่มีพิกัด (x - x 0,y - y 0, z - z 0) เป็นเวกเตอร์ ดังนั้นนิพจน์ A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และ เนื่องจากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และเป็นบวก มุมระหว่างพวกมันนั้นแหลมและจุด L н b 1 .

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าครึ่งสเปซ b 2 มาจากอสมการ Ax + By + Cz + D< 0.

หมายเหตุ.

1) เป็นที่ชัดเจนว่าหลักฐานข้างต้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด M ในระนาบ a

2) เป็นที่ชัดเจนว่าช่องว่างครึ่งหนึ่งสามารถกำหนดได้โดยความไม่เท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน

สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท.ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นใดๆ ของรูปแบบ Ax + By + Cz + D > 0 (หรือ Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

การพิสูจน์.

สมการ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ในช่องว่างกำหนดระนาบ a (ดู § ...) ตามที่ได้รับการพิสูจน์ในทฤษฎีบทที่แล้ว หนึ่งในสองช่องว่างครึ่งหนึ่งที่ระนาบแบ่งพื้นที่นั้นถูกกำหนดโดย Axe Axe ที่ไม่เท่ากัน + By + Cz + D > 0

หมายเหตุ.

1) เป็นที่ชัดเจนว่าช่องว่างครึ่งหนึ่งปิดสามารถกำหนดได้โดยความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นแบบไม่เข้มงวด และความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่ไม่เข้มงวดใดๆ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะกำหนดช่องว่างครึ่งหนึ่งแบบปิด

2) รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ สามารถกำหนดให้เป็นจุดตัดของช่องว่างครึ่งหนึ่งปิด (ขอบเขตซึ่งเป็นระนาบที่มีใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม) กล่าวคือ ในเชิงวิเคราะห์ เป็นระบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่ไม่เข้มงวด

การออกกำลังกาย.

1) พิสูจน์ทฤษฎีบททั้งสองที่นำเสนอสำหรับระบบพิกัดความผูกพันตามอำเภอใจ

2) จริงหรือไม่ ที่ระบบของอสมการเชิงเส้นที่ไม่เข้มงวดใดๆ กำหนดรูปหลายเหลี่ยมนูน

การออกกำลังกาย.

1) สำรวจตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบสองระนาบที่กำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและกรอกข้อมูลในตาราง

ฉันจะพูดสั้นๆ มุมระหว่างเส้นสองเส้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้น หากคุณจัดการหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง a \u003d (x 1; y 1; z 1) และ b \u003d (x 2; y 2; z 2) คุณจะพบมุมได้ แม่นยำยิ่งขึ้น โคไซน์ของมุมตามสูตร:

มาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. จุด E และ F ถูกทำเครื่องหมายในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เนื่องจากไม่ได้ระบุขอบของลูกบาศก์ เราจึงตั้งค่า AB = 1 เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A และแกน x, y, z มุ่งตรงไปตาม AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ . ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นของเรากัน

หาพิกัดของเวกเตอร์ AE ในการทำเช่นนี้ เราต้องการคะแนน A = (0; 0; 0) และ E = (0.5; 0; 1) เนื่องจากจุด E อยู่ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 พิกัดของมันจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของปลาย โปรดทราบว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AE เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด ดังนั้น AE = (0.5; 0; 1)

ทีนี้มาจัดการกับเวกเตอร์ BF กัน ในทำนองเดียวกัน เราวิเคราะห์จุด B = (1; 0; 0) และ F = (1; 0.5; 1) เนื่องจาก F - ตรงกลางของส่วน B 1 C 1 . เรามี:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)

เวกเตอร์ทิศทางก็พร้อม โคไซน์ของมุมระหว่างเส้นคือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นเราจึงได้:

งาน. ในปริซึมสามส่วนแบบปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด D และ E จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AD กับ BE

เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x ชี้ไปตาม AB, z - ตาม AA 1 เรากำหนดแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับระนาบ ABC ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นที่ต้องการ

อันดับแรก ให้หาพิกัดของเวกเตอร์ AD กัน พิจารณาจุด: A = (0; 0; 0) และ D = (0.5; 0; 1) เนื่องจาก D - ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 . เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ AD เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด เราจึงได้ AD = (0.5; 0; 1)

ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ BE กัน จุด B = (1; 0; 0) นั้นง่ายต่อการคำนวณ ด้วยจุด E - ตรงกลางของส่วน C 1 B 1 - ยากขึ้นเล็กน้อย เรามี:

มันยังคงค้นหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด K และ L จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AK และ BL

เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับปริซึม: เราวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่ศูนย์กลางของฐานล่าง กำหนดแกน x ไปตาม FC แกน y ผ่านจุดกึ่งกลางของกลุ่ม AB และ DE และแกน z ในแนวตั้งขึ้นไป ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 อีกครั้ง ให้เราเขียนพิกัดของจุดที่น่าสนใจให้เรา:

จุด K และ L คือจุดกึ่งกลางของกลุ่ม A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ดังนั้นจะหาพิกัดได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อทราบจุดแล้ว เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AK และ BL:

ทีนี้ลองหาโคไซน์ของมุมกัน:

งาน. ใน SABCD ปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด E และ F จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของด้าน SB และ SC ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x และ y มุ่งตรงไปตาม AB และ AD ตามลำดับ และแกน z จะพุ่งขึ้นไปในแนวตั้ง ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1

จุด E และ F คือจุดกึ่งกลางของกลุ่ม SB และ SC ตามลำดับ ดังนั้นจะพบพิกัดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของปลาย เราเขียนพิกัดของจุดที่น่าสนใจให้เรา:
A = (0; 0; 0); ข = (1; 0; 0)

เมื่อทราบจุดแล้ว เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AE และ BF:

พิกัดของเวกเตอร์ AE ตรงกับพิกัดของจุด E เนื่องจากจุด A เป็นจุดกำเนิด มันยังคงค้นหาโคไซน์ของมุม:

คำนิยาม

รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของระนาบที่ล้อมรอบระหว่างรังสีสองดวงที่เปล่งออกมาจากจุดหนึ่งเรียกว่า มุมแบน.

คำนิยาม

มุมระหว่างสองตัดกัน โดยตรงเรียกว่าค่ามุมระนาบที่เล็กที่สุดที่จุดตัดของเส้นเหล่านี้ หากเส้นสองเส้นขนานกัน มุมระหว่างทั้งสองจะถือว่าเป็นศูนย์

มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น (หากวัดเป็นเรเดียน) สามารถดึงค่าจากศูนย์ถึง $\dfrac(\pi)(2)$

คำนิยาม

มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นเรียกว่า ค่าเท่ากับมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันขนานกับเส้นเอียง มุมระหว่างบรรทัด $a$ และ $b$ แสดงโดย $\angle (a, b)$

ความถูกต้องของคำจำกัดความที่แนะนำตามมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทมุมระนาบที่มีด้านขนานกัน

ค่าของมุมระนาบนูนสองมุมที่มีด้านขนานกันและกำกับเท่ากันจะเท่ากัน

การพิสูจน์

ถ้ามุมตรง ทั้งคู่จะเท่ากับ $\pi$ หากไม่ได้รับการพัฒนา เราจะพลอตส่วนที่เท่ากัน $ON=O_1ON_1$ และ $OM=O_1M_1$ ในด้านที่สอดคล้องกันของมุม $\angle AOB$ และ $\angle A_1O_1B_1$

รูปสี่เหลี่ยม $O_1N_1NO$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเนื่องจากด้านตรงข้ามของ $ON$ และ $O_1N_1$ เท่ากันและขนานกัน ในทำนองเดียวกัน รูปสี่เหลี่ยม $O_1M_1MO$ ​​​​เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น $NN_1 = OO_1 = MM_1$ และ $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$ ดังนั้น $NN_1=MM_1$ และ $NN_1 \parallel MM_1$ โดยทรานสิชั่น รูปสี่เหลี่ยม $N_1M_1MN$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเนื่องจากด้านตรงข้ามขนานกันและขนานกัน ดังนั้น เซ็กเมนต์ $NM$ และ $N_1M_1$ จึงมีค่าเท่ากัน สามเหลี่ยม $ONM$ และ $O_1N_1M_1$ เท่ากันตามเกณฑ์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมที่สาม ดังนั้นมุมที่สอดคล้องกัน $\angle NOM$ และ $\angle N_1O_1M_1$ ก็เท่ากันเช่นกัน

จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนทุกคนที่เตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อทำซ้ำหัวข้อ "การหามุมระหว่างบรรทัด" ตามสถิติแสดงให้เห็นว่า เมื่อผ่านการทดสอบการรับรอง งานในส่วนนี้ของ stereometry ทำให้เกิดปัญหาสำหรับนักเรียนจำนวนมาก ในเวลาเดียวกัน งานที่ต้องการหามุมระหว่างเส้นตรงจะพบได้ใน USE ที่ระดับพื้นฐานและระดับโปรไฟล์ ซึ่งหมายความว่าทุกคนควรจะสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้

ช่วงเวลาพื้นฐาน

มีการจัดเรียงเส้นร่วมกันในช่องว่าง 4 ประเภท พวกเขาสามารถตรง, ตัดกัน, ขนานหรือตัดกัน. มุมระหว่างพวกเขาสามารถเป็นแบบเฉียบพลันหรือตรง

ในการหามุมระหว่างเส้นในการสอบ Unified State หรือตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาเด็กนักเรียนในมอสโกและเมืองอื่น ๆ สามารถใช้วิธีการหลายวิธีในการแก้ปัญหาในส่วนนี้ของ stereometry คุณสามารถทำงานให้สำเร็จด้วยโครงสร้างแบบคลาสสิก ในการทำเช่นนี้ การเรียนรู้สัจพจน์พื้นฐานและทฤษฎีบทของสเตอริโอเมทรีนั้นคุ้มค่า นักเรียนต้องสามารถสร้างเหตุผลอย่างมีเหตุมีผลและสร้างภาพวาดเพื่อที่จะนำงานไปสู่ปัญหาการวางแผน

คุณยังสามารถใช้วิธีพิกัดเวกเตอร์ โดยใช้สูตร กฎ และอัลกอริธึมอย่างง่าย สิ่งสำคัญในกรณีนี้คือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้อง โครงการการศึกษา Shkolkovo จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสเตอริโอเมทรีและส่วนอื่น ๆ ของหลักสูตรของโรงเรียน