ตัวเลข Graham ที่เป็นไปไม่ได้ คณิตศาสตร์ฉันชอบตัวเลข Graham ที่ใหญ่ที่สุด

มีชายชราคนหนึ่งขี้อายเหมือนเด็กผู้ชาย
พระสังฆราชที่งุ่มง่าม ขี้กลัว...
ใครคือนักดาบเพื่อเกียรติยศของธรรมชาติ?
แน่นอนลามาร์คที่ร้อนแรง
โอซิป แมนเดลสแตม

นอกเหนือจากการอธิบายหมายเลข Graham และตัวเลขที่น่าสนใจอื่น ๆ อีกมากมายแล้ว ฉันยังเสนอให้พูดถึงตัวเลขอีกสองสามตัว ตอนนี้จีโนมมนุษย์กำลังถูกถอดรหัสอย่างเร่งรีบ ในความคิดของฉัน สิ่งนี้จะมีประโยชน์เพียงเล็กน้อย เนื่องจากจากข้อมูลการทดลองใดๆ ที่มีทฤษฎีบางอย่างเป็นอย่างน้อย (ยังไม่ชัดเจนว่าวัดอะไรได้จริง) แต่อย่างน้อยก็กลายเป็นที่รู้จักว่าจีโนมมนุษย์ประกอบด้วยฐาน 3.1 พันล้าน ( ไทมีนทุกชนิดที่มี guanine และ uracils อื่นๆ) สิ่งมีชีวิตแต่ละชนิดจากมุมมองของทฤษฎีวิวัฒนาการของดาร์วิน ถือเป็นการทดสอบความอยู่รอดของฐานที่กำหนดให้ และการปะทะกันหลักของศาสนากับทฤษฎีของดาร์วินเกิดขึ้นเมื่อ ทฤษฎีของดาร์วินหรือการตีความสมัยใหม่ ระบุว่าการแจงนับนี้เกิดขึ้นแบบสุ่ม นอกเหนือคำกล่าวนี้ ไม่มีข้อขัดแย้งระหว่างทฤษฎีวิวัฒนาการกับภาพที่บรรยายไว้ ตัวอย่างเช่น ในปฐมกาลยิว-คริสเตียน ไม่ว่านักสร้างโลกจะอ้างอะไรก็ตาม

ตัวอย่างเช่น หากเราคิดว่าสิ่งมีชีวิตแรกสุดใน DNA แรกมีวิวัฒนาการทั้งหมดที่ตั้งโปรแกรมไว้ตั้งแต่สิ่งแรกสุดไปจนถึงมนุษย์สมัยใหม่ ภาพนี้ซึ่งถือได้ว่าเป็นการตีความสมัยใหม่ของวิวัฒนาการของ Lamarck ก็ไม่ต่างจาก เจเนซิสและสิ่งมีชีวิตตัวแรกในการทดลองทางความคิดนี้ไม่ควรเรียกว่าอดัม บรอดสกี้ แต่เป็นแม่แบบของลามาร์ค แค่คำว่า "พระเจ้าสร้าง" จากปฐมกาลในบริบทนี้หมายความว่าพระเจ้าเขียนไว้ในโปรแกรมของแม่แบบลามาร์ค อย่างไรก็ตาม โปรแกรมนี้และวิธีการตั้งโปรแกรมเองก็ถูกคิดค้นโดยพระองค์เช่นกัน

สมมติว่าการรวมกันของคู่เบสของสิ่งมีชีวิตแรกเริ่มนี้มีลักษณะเฉพาะ จากนั้นเราสามารถประมาณจากอัตราการวิวัฒนาการของดาร์วินที่ต่ำกว่า เริ่มจากความจริงที่ว่าเพิ่งพบสิ่งมีชีวิตที่เล็กที่สุด (ตามทฤษฎีแล้วไวรัสมีขนาดเล็กกว่า แต่ไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นสิ่งมีชีวิตที่เต็มเปี่ยมได้เนื่องจากพวกเขาต้องการกลไกเซลล์ต่างดาวสำหรับการสืบพันธุ์ - ไมโตคอนเดรียทุกประเภท ฯลฯ . เป็นต้น) ลองนึกภาพว่าทั้งจักรวาล (10 มีกำลัง 26 เมตร) เต็มไปด้านบนสุดด้วยสิ่งมีชีวิตขนาด 0.009 ลูกบาศก์ไมครอน ซึ่งทำการทดสอบ DNA ผสมกันอย่างต่อเนื่อง และแต่ละคนก็มีงานทดสอบเฉพาะของตัวเองที่ไม่รวม การทดสอบดีเอ็นเอซ้ำโดยสิ่งมีชีวิตต่างๆ และหากมีสิ่งที่ประสบความสำเร็จปรากฏขึ้น สิ่งมีชีวิตทั้งหมดในจักรวาลจะเรียนรู้เกี่ยวกับสิ่งนี้ในทันทีและเปลี่ยนงานทดสอบของพวกมัน เพื่อที่ชุดค่าผสมทั้งหมดตามการทดสอบที่ไม่สำเร็จจะถูกปฏิเสธจากการทดสอบครั้งต่อไป ลองเรียกหมายเลขดาร์วินว่าจำนวนจีโนมทั้งหมดที่จำเป็นต้องทำการทดสอบด้วยวิธีนี้ และถ้าเราคูณจำนวนดาร์วินด้วยเวลาชีวิตขั้นต่ำของสิ่งมีชีวิตที่ทำการทดสอบ - เวลาพลังค์ซึ่งเป็นควอนตัมเวลาต่ำสุด - และหารด้วย จำนวนทั้งหมดของสิ่งมีชีวิตดังกล่าว จากนั้นเราสามารถกำหนดเวลาลักษณะเฉพาะของวิวัฒนาการดังกล่าว ซึ่งฉันเสนอให้เรียกเวลาของดาร์วิน และถ้าคุณแบ่งเวลาของดาร์วินด้วยอายุสูงสุดของจักรวาลของเรา คุณจะได้ตัวเลขที่ฉันเสนอให้เรียกหมายเลขของวิลเลียมแห่งอ็อกแฮม เพราะเขาเป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่าวิธีการทางวิทยาศาสตร์ไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของพระเจ้าได้ แต่คุณ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเขาไม่อยู่เช่นกัน อันที่จริง จำนวนของอ็อกแฮมแสดงให้เห็นว่าภายในกรอบของทฤษฎีของดาร์วิน จำนวนสูงสุดของการวิวัฒนาการของดาร์วินในจักรวาลของเรา นั่นคือ มันแยกการรวมดีเอ็นเอเหล่านั้นที่สามารถเป็นจีโนมของสิ่งมีชีวิตจากสิ่งมีชีวิตที่เห็นได้ชัดว่าถึงแก่ชีวิต นั่นคือตัวเลขนี้แสดงให้เห็นถึงความแตกต่างระหว่างชีวิตและความตายในจักรวาลของเรา

โดยปกติ ฉันเสนอให้เรียกอัตราส่วนของหมายเลข Ockham กับหมายเลข Graham กับหมายเลข Brodsky และฉันเสนอให้เรียกกระบวนการทั้งหมดนี้ว่า Brodsky Paradox

โพสต้นฉบับโดย lyubimica_mira ที่ Graham's Number on Fingers™

ต้นฉบับนำมาจาก sly2m ใน Graham Number on Fingers™

epigraph
หากมองลึกลงไปในห้วงลึก
คุณสามารถมีช่วงเวลาที่ดี
วิศวกรเครื่องกล Soul

ทันทีที่เด็ก (และสิ่งนี้เกิดขึ้นในช่วงอายุประมาณสามหรือสี่ขวบ) เข้าใจว่าตัวเลขทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม "หนึ่ง สอง และหลาย" เขาจะพยายามค้นหาทันที: เท่าไหร่มันมากเกินไป, อย่างไร มากแตกต่างจาก มากมาย, และเป็นไปได้ไหม มากมายจนไม่มีอีกแล้ว. แน่นอนคุณเล่นเกมที่น่าสนใจ (สำหรับวัยนั้น) กับพ่อแม่ของคุณซึ่งจะตั้งชื่อจำนวนมากที่สุดและถ้าบรรพบุรุษเป็น ไม่โง่กว่าชั้นป.5จากนั้นเขาก็ชนะเสมอ โดยตอบ "สองล้าน" สำหรับทุก "ล้าน" และ "สองพันล้าน" หรือ "หนึ่งพันล้านบวกหนึ่ง" สำหรับทุก "พันล้าน"

เมื่อถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ทุกคนรู้ว่ามีจำนวนนับไม่ถ้วนไม่สิ้นสุดและไม่มีจำนวนที่ใหญ่ที่สุด ถึงใครก็ได้ ล้านล้านล้านล้านคุณสามารถพูดว่า "บวกหนึ่ง" และชนะได้เสมอ และต่อมาอีกเล็กน้อย (น่าจะมา!) การเข้าใจว่าตัวเลขที่ยาวในตัวเองไม่ได้มีความหมายอะไรเลย ทั้งหมดนี้ ล้านล้านล้านเท่านั้นจึงจะสมเหตุสมผลเมื่อพวกเขาทำหน้าที่เป็นตัวแทนของวัตถุจำนวนหนึ่งหรืออธิบายปรากฏการณ์บางอย่าง ไม่ยากเลยในการประดิษฐ์ตัวเลขยาวที่ไม่มีอะไรนอกจากชุดของตัวเลขที่ออกเสียงยาวดังนั้นพวกเขา จำนวนอนันต์. ในขอบเขตเชิงเปรียบเทียบ วิทยาศาสตร์กำลังค้นหาผลรวมของตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงในขุมนรกอันไร้ขอบเขตนี้ บวกกับปรากฏการณ์ทางกายภาพบางอย่าง เช่น ความเร็วของแสง ตัวเลขของอโวกาโดร หรือค่าคงที่ของพลังค์

และคำถามก็เกิดขึ้นทันที อะไรคือจำนวนที่มากที่สุดในโลกที่มีความหมายบางอย่าง? ในบทความนี้ผมจะลองพูดถึง Digital Monster ที่ชื่อว่า หมายเลขเกรแฮมแม้ว่าจะพูดอย่างเคร่งครัด วิทยาศาสตร์ก็รู้ตัวเลขและอื่นๆ อีกมากมาย ตัวเลขของ Graham เป็นหมายเลขที่เปิดเผยมากที่สุด บางคนอาจพูดว่า "เคยได้ยินมา" ของคนทั่วไป เพราะมันค่อนข้างง่ายในการอธิบายแต่มีขนาดใหญ่พอที่จะหันหัวได้ โดยทั่วไป มีความจำเป็นต้องประกาศข้อจำกัดความรับผิดชอบเล็กน้อย ( รัสเซีย คำเตือน). อาจฟังดูตลก แต่ฉันไม่ได้ล้อเล่น ฉันกำลังพูดอย่างจริงจัง - การเลือกอย่างพิถีพิถันในเชิงลึกทางคณิตศาสตร์ รวมกับการขยายขอบเขตการรับรู้อย่างไม่มีข้อจำกัด สามารถ (และจะ) มีผลกระทบร้ายแรงต่อโลกทัศน์ ต่อตำแหน่งของบุคคลในสังคม และในที่สุด , บน สภาพจิตใจทั่วไปการเลือกหรือเรียกจอบว่าจอบ - เปิดทางสู่ชิซ ไม่จำเป็นต้องอ่านข้อความต่อไปนี้อย่างระมัดระวังเกินไป ไม่จำเป็นต้องจินตนาการถึงสิ่งที่อธิบายไว้อย่างชัดเจนและเต็มตาเกินไป และอย่าพูดในภายหลังว่าคุณไม่ได้รับการเตือน!
นิ้ว:
ก่อนจะไปต่อเลขอสูร ฝึกกันก่อน บนแมว. ฉันขอเตือนคุณว่าการอธิบายตัวเลขจำนวนมาก (ไม่ใช่สัตว์ประหลาด แต่เป็นเพียงตัวเลขจำนวนมาก) สะดวกในการใช้ทางวิทยาศาสตร์หรือที่เรียกว่า เลขชี้กำลังวิธีการบันทึก

เมื่อพวกเขาพูดเกี่ยวกับจำนวนดาวในจักรวาล (ในจักรวาลที่สังเกตได้) ไม่มีคนงี่เง่าคนไหนที่จะคำนวณว่ามีกี่ดวงในความหมายที่แท้จริงจนถึงดาวดวงสุดท้าย เชื่อกันว่ามีประมาณ 10 21 ชิ้น และนี่คือค่าประมาณที่ต่ำกว่า ซึ่งหมายความว่าจำนวนดาวทั้งหมดสามารถแสดงเป็นตัวเลขที่มีศูนย์ 21 ตัวหลังหนึ่ง นั่นคือ "1,000,000,000,000,000,000,000"

นี่คือลักษณะส่วนเล็กๆ ของพวกเขา (ประมาณ 100,000) ในกระจุกดาวทรงกลมโอเมกา เซ็นทอรี

โดยปกติ เมื่อพูดถึงมาตราส่วน จำนวนจริงไม่ได้มีบทบาทสำคัญในจำนวนนั้น ทุกอย่างมีเงื่อนไขและใกล้เคียงกันมาก อาจจะ ในความเป็นจริงจำนวนดาวในจักรวาลคือ "1,564,861,615,140,168,357,973" หรืออาจจะ "9,384,684,643,798,468,483,745" และแม้กระทั่ง "3 333 333 333 333 333 333 333" แม้ว่าจะไม่น่าเป็นไปได้ก็ตาม ในจักรวาลวิทยา ศาสตร์แห่งคุณสมบัติของจักรวาลโดยรวม เรื่องมโนสาเร่ดังกล่าวไม่ได้ถูกหลอก สิ่งสำคัญคือการจินตนาการ เกี่ยวกับตัวเลขนี้ประกอบด้วยตัวเลข 22 หลัก ซึ่งสะดวกกว่าที่จะพิจารณาว่าเป็นหน่วยที่มีศูนย์ 21 ตัว และเขียนเป็น 10 21 กฎนี้เป็นกฎทั่วไปและง่ายมาก ตัวเลขหรือตัวเลขใดแทนดีกรี (พิมพ์เป็นตัวพิมพ์เล็กบน 10 ที่นี่) จะมีเลขศูนย์กี่ตัวต่อจากนี้ในตัวเลขนี้ ถ้าคุณวาดมันด้วยวิธีง่ายๆ โดยใช้อักขระเรียงกันเป็นแถว ไม่ใช่ใน วิธีทางวิทยาศาสตร์ บางตัวเลขมี "ชื่อคน" เช่น 10 3 เราเรียกว่า "พัน", 10 6 - "ล้าน" และ 10 9 - "พันล้าน" และบางหมายเลขไม่มี สมมุติว่า 1059 ไม่มีชื่อสามัญ และ 10 21 ก็มี - มันคือ "ล้านล้าน"

ทุกสิ่งทุกอย่างที่สูงถึงหนึ่งล้านสามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณสำหรับทุกคนเพราะ ที่ไม่อยากเป็นเศรษฐี? จากนั้นปัญหาบางอย่างก็เริ่มต้นขึ้น แม้ว่าเกือบทุกคนจะรู้จักพันล้าน (10 9) คุณสามารถนับได้ถึงหนึ่งพันล้าน หากหลังจากเกิดอย่างแท้จริงในขณะที่เกิดเริ่มนับหนึ่งวินาที "หนึ่งสองสามสี่ ... " และอย่านอนไม่ดื่มไม่กิน แต่นับเท่านั้น- นับอย่างไม่เหน็ดเหนื่อยทั้งกลางวันและกลางคืน จากนั้นเมื่อถึงเวลา 32 ปี คุณสามารถนับได้มากถึงหนึ่งพันล้านครั้ง เพราะการหมุนรอบโลก 32 รอบดวงอาทิตย์ใช้เวลาประมาณหนึ่งพันล้านวินาที

7 พันล้านคือจำนวนคนบนโลกใบนี้ จากที่กล่าวมาข้างต้น เป็นไปไม่ได้อย่างยิ่งที่จะนับทั้งหมดตามลำดับในช่วงชีวิตมนุษย์ คุณจะต้องมีชีวิตอยู่มากกว่าสองร้อยปี

100 พันล้าน (10 11) - ผู้คนมากมายอาศัยอยู่บนโลกนี้ตลอดประวัติศาสตร์ แมคโดนัลด์ขายแฮมเบอร์เกอร์ได้ 100 พันล้านชิ้นภายในปี 2541 ในช่วง 50 ปีที่ผ่านมา มีดาว 1 แสนล้านดวง (หรือมากกว่านั้นอีกเล็กน้อย) ในกาแล็กซีทางช้างเผือกของเรา และดวงอาทิตย์ก็เป็นหนึ่งในนั้น มีกาแลคซีจำนวนเท่ากันในจักรวาลที่สังเกตได้ มีเซลล์ประสาท 100 พันล้านเซลล์ในสมองของมนุษย์ และแบคทีเรียที่ไม่ใช้ออกซิเจนจำนวนเท่ากันอาศัยอยู่ในตัวอ่านบรรทัดเหล่านี้ในลำไส้ใหญ่

ล้านล้าน (10 12) เป็นตัวเลขที่ไม่ค่อยได้ใช้ เป็นไปไม่ได้ที่จะนับถึงล้านล้าน จะต้องใช้เวลาถึง 32,000 ปี เมื่อล้านล้านวินาทีที่แล้ว ผู้คนอาศัยอยู่ในถ้ำและล่าแมมมอธด้วยหอก ใช่ เมื่อล้านล้านวินาทีที่แล้ว แมมมอธอาศัยอยู่บนโลก มีปลาประมาณหนึ่งล้านล้านตัวในมหาสมุทรของโลก กาแล็กซีแอนโดรเมดาที่อยู่ใกล้เคียงของเรามีดาวฤกษ์ประมาณหนึ่งล้านล้านดวง มนุษย์ประกอบด้วยเซลล์ 10 ล้านล้านเซลล์ GDP ของรัสเซียในปี 2556 มีจำนวน 66 ล้านล้านรูเบิล (ในปี 2556 รูเบิล) จากโลกสู่ดาวเสาร์ มีการพิมพ์หนังสือทั้งหมด 100 ล้านล้านเซนติเมตรและจำนวนตัวอักษรเท่ากันในทุกเล่มที่เคยตีพิมพ์
หนึ่งพันล้านล้าน (10 15 ล้านล้าน) คือจำนวนมดทั้งหมดบนโลก คนปกติไม่ออกเสียงคำนี้ออกมาดังๆ เลย ยอมรับเถอะ ครั้งสุดท้ายที่คุณได้ยิน "ล้านล้านของบางสิ่ง" ในการสนทนาคือเมื่อไหร่?
Quintillion (10 18 พันล้าน) - มีการกำหนดค่าที่เป็นไปได้มากมายเมื่อประกอบลูกบาศก์รูบิค 3x3x3 จำนวนลูกบาศก์เมตรของน้ำในมหาสมุทรของโลกก็เช่นกัน
Sextillion (10 21) - เราพบตัวเลขนี้แล้ว จำนวนดาวในเอกภพที่สังเกตได้ จำนวนเม็ดทรายในทะเลทรายทั้งหมดของโลก จำนวนทรานซิสเตอร์ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่มีอยู่ทั้งหมดของมนุษย์หาก Intel ไม่ได้โกหกเรา
10 sextillion (10 22) คือจำนวนโมเลกุลในน้ำหนึ่งกรัม
10 24 คือมวลของโลกเป็นกิโลกรัม
10 26 - เส้นผ่านศูนย์กลางของจักรวาลที่สังเกตได้เป็นเมตร แต่ไม่สะดวกที่จะนับเป็นเมตร ขอบเขตที่ยอมรับโดยทั่วไปของจักรวาลที่สังเกตได้คือ 93 พันล้านปีแสง

วิทยาศาสตร์ไม่ได้ดำเนินการในมิติที่ใหญ่กว่าจักรวาลที่สังเกตได้ เราทราบแน่นอนว่าเอกภพที่สังเกตได้นั้นไม่ใช่เอกภพทั้งหมด นี่เป็นส่วนที่เราสามารถมองเห็นและสังเกตได้ในทางทฤษฎี หรืออาจจะเคยเห็นในอดีต หรือเราสามารถเห็นได้ในอนาคตอันไกลโพ้น ยังคงอยู่ในกรอบของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ จากส่วนที่เหลือของจักรวาลแม้ด้วยความเร็วแสงสัญญาณจะไม่สามารถเข้าถึงเราได้ซึ่งทำให้สถานที่เหล่านี้จากมุมมองของเราราวกับว่าไม่มีอยู่จริง จักรวาลอันกว้างใหญ่นั้นใหญ่เพียงใด ในความเป็นจริงไม่มีใครรู้ว่า. อาจมากกว่าที่คาดการณ์ได้เป็นล้านเท่า หรืออาจจะเป็นพันล้าน หรืออาจจะไม่มีที่สิ้นสุด ฉันบอกว่านี่ไม่ใช่วิทยาศาสตร์อีกต่อไป แต่เป็นการคาดเดาเกี่ยวกับกากกาแฟ นักวิทยาศาสตร์คาดเดาได้บ้าง แต่นี่เป็นจินตนาการมากกว่าความเป็นจริง
เพื่อให้เห็นภาพมาตราส่วนจักรวาล จะเป็นประโยชน์ในการศึกษาภาพนี้โดยการขยายให้เต็มหน้าจอ

อย่างไรก็ตาม แม้แต่ใน Observable Universe คุณยังสามารถยัดสิ่งอื่นได้มากกว่าเมตร
1,051 อะตอมประกอบเป็นดาวเคราะห์โลก
10 80 จำนวนอนุภาคมูลฐานโดยประมาณในจักรวาลที่สังเกตได้
10 90 คือจำนวนโฟตอนโดยประมาณในเอกภพที่สังเกตได้ มีมากกว่าอนุภาคมูลฐาน อิเล็กตรอน และโปรตอนเกือบ 10 พันล้านเท่า
10 100 - กูกอล ตัวเลขนี้ไม่ได้มีความหมายอะไร แค่กลมและสวยงาม บริษัทที่ตั้งเป้าหมายในการจัดทำดัชนี Google ของลิงก์ (เรื่องตลก นี่เป็นมากกว่าจำนวนอนุภาคพื้นฐานในจักรวาล!) ในปี 1998 ได้ชื่อว่า Google
ต้องใช้โปรตอน 10,122 ตัวเพื่อเติมเต็ม Observable Universe ให้กับลูกตาอย่างแน่นหนาเช่นนั้นโปรตอนต่อโปรตอนกลับไปข้างหลัง
จักรวาลที่สังเกตได้ 10,185 เล่มถูกครอบครองโดยจักรวาลที่สังเกตได้ น้อยกว่าปริมาณพลังค์ (ลูกบาศก์ของพลังค์ยาว 10-35 เมตร) วิทยาศาสตร์ของเราไม่ทราบ แน่นอน เช่นเดียวกับจักรวาล มีบางสิ่งที่เล็กกว่านั้นอยู่ที่นั่น แต่นักวิทยาศาสตร์ยังไม่ได้คิดสูตรที่สมเหตุสมผลสำหรับเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ ดังกล่าว มีเพียงการเก็งกำไรเท่านั้น

ปรากฎว่า 10,185 หรือมากกว่านั้นเป็นจำนวนที่มากที่สุด โดยหลักการแล้ว อาจหมายถึงบางอย่างในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ ในศาสตร์ที่สามารถสัมผัสและวัดได้ เป็นสิ่งที่มีอยู่หรืออาจมีอยู่ได้ หากมันเกิดขึ้นจนเรารู้ทุกสิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับจักรวาล ตัวเลขประกอบด้วย 186 หลัก นี่คือ:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

แน่นอน วิทยาศาสตร์ไม่ได้สิ้นสุดที่นี่ แต่แล้วทฤษฎีอิสระ การคาดเดา หรือแม้แต่หมากรุกวิทยาศาสตร์จอมปลอมก็ยังดำเนินต่อไป ตัวอย่างเช่น คุณอาจเคยได้ยินเกี่ยวกับทฤษฎีอัตราเงินเฟ้อ ซึ่งบางทีจักรวาลของเราเป็นเพียงส่วนหนึ่งของ Multiverse ที่ใหญ่กว่า ซึ่งจักรวาลเหล่านี้เป็นเหมือนฟองสบู่ในมหาสมุทรแชมเปญ

หรือได้ยินเกี่ยวกับทฤษฎีสตริง ซึ่งอาจมีการกำหนดค่าการสั่นสะเทือนของสตริงได้ประมาณ 10,500 แบบ ซึ่งหมายถึงจำนวนจักรวาลที่เป็นไปได้เท่ากัน โดยแต่ละอันมีกฎของตัวเอง

ยิ่งเข้าไปในป่า ฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์ตามทฤษฎีที่น้อยกว่าโดยทั่วไปยังคงอยู่ในจำนวนที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ และเบื้องหลังคอลัมน์ของเลขศูนย์ ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ที่บริสุทธิ์และไม่มีเมฆมากก็เริ่มมองลอดผ่านเข้ามา คณิตศาสตร์ไม่ใช่ฟิสิกส์ ไม่มีข้อจำกัด และไม่มีอะไรน่าละอาย เดินเล่น ใช้ชีวิต เขียนเลขศูนย์ในสูตร แม้ว่าคุณจะทำสำเร็จก็ตาม
ข้าพเจ้าจะกล่าวถึงเฉพาะผู้มีชื่อเสียง googolplex. ตัวเลขที่มี googol หลัก สิบยกกำลัง googol (10 googol) หรือสิบยกกำลังสิบยกกำลังหนึ่งร้อย (10 10 100)
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

ฉันจะไม่เขียนเป็นตัวเลข Googleplex ไม่มีความหมายอะไรเลย บุคคลไม่สามารถจินตนาการถึง googolplex ของสิ่งใดมันเป็นไปไม่ได้ทางร่างกาย ในการเขียนตัวเลขดังกล่าว คุณจะต้องใช้จักรวาลที่สังเกตได้ทั้งหมด ถ้าคุณเขียนด้วย "ปากกานาโน" โดยตรงในสุญญากาศ อันที่จริง ในเซลล์พลังค์ของจักรวาล มาแปลสสารทั้งหมดเป็นหมึกและเติมจักรวาลด้วยตัวเลขทึบหนึ่งตัว จากนั้นเราจะได้ googolplex แต่นักคณิตศาสตร์ (คนแย่มาก!) กำลังอุ่นเครื่องกับ googolprex เท่านั้น นี่คือแถบต่ำสุดที่พวกขี้โกงตัวจริงเริ่มต้นสำหรับพวกเขา และถ้าคุณคิดว่า googolplex จนถึง googolplex คือสิ่งที่เรากำลังพูดถึง คุณไม่มีทางรู้หรอกว่าผิดอย่างไร

เบื้องหลัง googolplex มีตัวเลขที่น่าสนใจมากมายที่มีบทบาทอย่างใดอย่างหนึ่งในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ยาวและสั้น ไปที่หมายเลข Graham ที่ตั้งชื่อตาม (แน่นอนว่า) นักคณิตศาสตร์ Ronald Graham อันดับแรก ฉันจะบอกคุณว่ามันคืออะไรและทำไมคุณถึงต้องการมัน หลังจากนั้น เปรียบเปรยและ บนนิ้วมือ™ฉันจะอธิบายว่ามันคืออะไรจากนั้นฉันจะเขียนตัวเลขเอง แม่นยำยิ่งขึ้นฉันจะพยายามอธิบายสิ่งที่ฉันเขียน

ตัวเลขของเกรแฮมปรากฏในงานที่อุทิศให้กับการแก้ปัญหาหนึ่งในทฤษฎีแรมซีย์ และ "แรมซีย์" ในที่นี้ไม่ใช่คำนามที่ไม่สมบูรณ์ แต่เป็นนามสกุลของนักคณิตศาสตร์อีกคนหนึ่ง แฟรงก์ แรมซีย์ แน่นอนว่างานนี้ค่อนข้างจะห่างไกลจากมุมมองของพวกฟิลิสเตีย แม้ว่าจะไม่ได้สับสนมากนัก แม้จะเข้าใจได้ง่ายก็ตาม
ลองนึกภาพลูกบาศก์ จุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นที่มีสองสี สีแดงหรือสีน้ำเงิน เชื่อมต่อและระบายสีแบบสุ่ม บางคนเดาไว้แล้วว่าเราจะพูดถึงสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า combinatorics

เราจะสามารถประดิษฐ์และเลือกการกำหนดค่าของสีในลักษณะดังกล่าวได้หรือไม่ (และมีเพียงสองสีคือสีแดงและสีน้ำเงิน) เพื่อที่ว่าเมื่อระบายสีส่วนเหล่านี้จะไม่เป็นผลให้ทุกส่วนของสีเดียวกันเชื่อมต่อกัน จุดยอดสี่จุดอยู่ในระนาบเดียวกัน? ในกรณีนี้จะไม่เป็นตัวแทนของตัวเลขดังกล่าว:

คุณสามารถคิดด้วยตัวเองบิดลูกบาศก์ในจินตนาการของคุณต่อหน้าต่อตาการทำเช่นนี้ไม่ยาก มีสองสี ลูกบาศก์มีจุดยอด 8 จุด (มุม) ซึ่งหมายความว่ามี 28 ส่วนเชื่อมต่อกัน คุณสามารถเลือกการกำหนดค่าการระบายสีในลักษณะที่เราจะไม่ได้ตัวเลขด้านบนที่ใด ๆ จะมีเส้นหลายสี ในเครื่องบินที่เป็นไปได้ทั้งหมด
เกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีมิติมากขึ้น? ถ้าเราไม่ใช่ลูกบาศก์ แต่เป็นลูกบาศก์สี่มิติเช่น เทสเซอแรคท์ ? เราสามารถดึงเคล็ดลับเดียวกันกับ 3D ได้หรือไม่?

ฉันจะไม่เริ่มอธิบายว่าลูกบาศก์สี่มิติคืออะไร ทุกคนรู้? ลูกบาศก์สี่มิติมีจุดยอด 16 จุด และไม่จำเป็นต้องพองสมองแล้วลองนึกภาพลูกบาศก์สี่มิติ นี่คือคณิตศาสตร์ล้วนๆ ฉันดูจำนวนมิติ แทนที่ลงในสูตร หาจำนวนจุดยอด ขอบ ใบหน้า และอื่นๆ ดีหรือแอบดูใน Wikipedia ถ้าคุณจำสูตรไม่ได้ ดังนั้นลูกบาศก์สี่มิติจึงมีจุดยอด 16 จุดและ 120 ส่วนเชื่อมต่อกัน จำนวนการผสมสีในกรณีสี่มิตินั้นมากกว่าในกรณีสามมิติอย่างมาก แต่ถึงกระนั้นที่นี่ก็ยังไม่ยากนักที่จะคำนวณ หาร ลดขนาดและสิ่งที่คล้ายกัน โดยสรุป ให้ค้นหาว่าในพื้นที่สี่มิติ คุณยังสามารถประดิษฐ์สิ่งต่างๆ ได้มากมายด้วยการระบายสีส่วนต่างๆ ของไฮเปอร์คิวบ์ โดยที่เส้นสีเดียวกันทุกเส้นที่เชื่อมต่อจุดยอด 4 จุดจะไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน
ในห้ามิติ? และในห้ามิติซึ่งลูกบาศก์เรียกว่าเพนเทอร์แรคท์หรือเพนทาคิวบ์ก็เป็นไปได้เช่นกัน
และในหกมิติ
แล้วก็มีปัญหา เกรแฮมไม่สามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่าไฮเปอร์คิวบ์เจ็ดมิติสามารถดำเนินการดังกล่าวได้ ทั้งแปดมิติและเก้ามิติเป็นต้น แต่การให้ "และอื่น ๆ " กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ลงท้ายด้วยตัวเลขจำนวนมากซึ่งเรียกว่า "หมายเลขเกรแฮม"
นั่นคือมีบ้าง มิติขั้นต่ำไฮเปอร์คิวบ์ซึ่งมีการละเมิดเงื่อนไข และไม่สามารถหลีกเลี่ยงการรวมกันของเซกเมนต์การระบายสีได้อีกต่อไป ดังนั้นจุดสี่จุดที่มีสีเดียวกันจะอยู่ในระนาบเดียวกัน และมิติต่ำสุดนี้มากกว่าหกพอดี และน้อยกว่าเลขเกรแฮมพอดี นี่คือข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์

และตอนนี้คำจำกัดความของสิ่งที่ฉันอธิบายไว้ข้างต้นในสองสามย่อหน้าในภาษาคณิตศาสตร์ที่น่าเบื่อและน่าเบื่อ (แต่กว้างขวาง) ไม่จำเป็นต้องเข้าใจ แต่ฉันทำไม่ได้
พิจารณาไฮเปอร์คิวบ์ n- มิติและเชื่อมต่อจุดยอดทุกคู่เพื่อให้ได้กราฟที่สมบูรณ์พร้อมจุดยอด 2n ระบายสีแต่ละขอบของกราฟนี้เป็นสีแดงหรือสีน้ำเงิน อะไรคือค่าที่น้อยที่สุดของ n ซึ่งแต่ละสีดังกล่าวจำเป็นต้องมีกราฟย่อยแบบสีเดียวที่มีจุดยอดสี่จุด ซึ่งทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน

ในปีพ.ศ. 2514 เกรแฮมได้พิสูจน์ว่าปัญหานี้มีทางแก้ไข และวิธีแก้ปัญหานี้ (จำนวนมิติ) อยู่ระหว่างเลข 6 และจำนวนที่มากกว่า ซึ่งต่อมา (ไม่ใช่โดยผู้เขียนเอง) ตั้งชื่อตามเขา ในปี 2008 หลักฐานได้รับการปรับปรุง ขอบล่างถูกยกขึ้น ตอนนี้จำนวนมิติที่ต้องการอยู่ระหว่างหมายเลข 13 และหมายเลข Graham แล้ว นักคณิตศาสตร์ไม่นอน งานกำลังดำเนินต่อไป ขอบเขตกำลังแคบลง
หลายปีผ่านไปตั้งแต่ยุค 70 พบปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ตัวเลขและ Graham ปรากฏมากขึ้น แต่ตัวเลขสัตว์ประหลาดตัวแรกนี้สร้างความประทับใจให้กับผู้ร่วมสมัยที่เข้าใจว่ามันเกี่ยวกับมาตราส่วนใดในปี 1980 มันถูกรวมอยู่ใน Guinness Book of Records ว่า " จำนวนมากที่สุดที่เคยเกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด" ในขณะนั้น

มาลองดูกันว่าจะขนาดไหน จำนวนที่มากที่สุดที่สามารถมีความหมายทางกายภาพคือ 10 185 และหากจักรวาลที่สังเกตได้ทั้งหมดเต็มไปด้วยชุดตัวเลขเล็ก ๆ ที่ดูเหมือนไม่มีที่สิ้นสุด googolplex.

คุณนึกภาพชุมชนนี้ออกไหม ไปข้างหน้า ข้างหลัง ขึ้น ลง ไกลสุดลูกหูลูกตาและไกลที่สุดเท่าที่กล้องโทรทรรศน์ฮับเบิลจะทำได้ และถึงแม้จะยังไม่เพียงพอ ไปที่ดาราจักรที่ห่างไกลที่สุดและมองข้ามมัน - ตัวเลข ตัวเลข ตัวเลขมากมาย เล็กกว่าโปรตอน แน่นอนว่าจักรวาลดังกล่าวจะไม่สามารถดำรงอยู่ได้เป็นเวลานาน แต่จะยุบตัวเป็นหลุมดำทันที คุณจำได้ไหมว่าข้อมูลในทางทฤษฎีสามารถใส่เข้าไปในจักรวาลได้มากแค่ไหน? ผมก็บอก

ตัวเลขมหาศาลมาก ทำลายสมอง มันไม่เท่ากับ googolplex เลย และไม่มีชื่อ ผมจะเรียกมันว่า " dohulion" เพิ่งรู้ว่าทำไมไม่ จำนวนเซลล์พลังค์ในจักรวาลที่สังเกตได้และแต่ละเซลล์มีตัวเลข ตัวเลขประกอบด้วย 10,185 หลักสามารถแสดงเป็น 10 10 185
dochulion = 10 10 185
มาเปิดประตูแห่งการรับรู้ให้กว้างขึ้นหน่อย จำทฤษฎีอัตราเงินเฟ้อได้หรือไม่? จักรวาลของเราเป็นเพียงหนึ่งในฟองสบู่มากมายในลิขสิทธิ์ และถ้าคุณจินตนาการถึง dohulionฟองอากาศดังกล่าว? ลองนับจำนวนเท่าที่ทุกสิ่งที่มีอยู่และจินตนาการถึง Multiverse ที่มีจำนวนจักรวาลใกล้เคียงกันซึ่งแต่ละอันเต็มไปด้วยตัวเลขถึงลูกตา - เราได้ dochulion dochulion. คุณนึกภาพออกไหม วิธีที่คุณลอยอยู่ในการไม่มีอยู่ของสนามสเกลาร์และทุกสิ่งรอบตัวเป็นจักรวาล - จักรวาลและตัวเลข - ตัวเลข - ตัวเลขในนั้น ... ฉันหวังว่าฝันร้ายเช่นนี้ (แต่ทำไมถึงเป็นฝันร้าย) จะไม่ทรมาน (และ จะทรมานทำไม) ผู้อ่านที่ประทับใจมากเกินไปในตอนกลางคืน

เพื่อความสะดวก เราเรียกการดำเนินการดังกล่าวว่า " พลิก" คำอุทานที่ไร้สาระเช่นนี้ราวกับว่าพวกเขาเอาจักรวาลและกลับด้านในออกจากนั้นมันก็อยู่ภายในเป็นตัวเลขและตอนนี้ในทางกลับกันเรามีจักรวาลมากมายที่มีตัวเลขและแต่ละกล่องเต็ม- เต็มจำนวน คุณทำความสะอาดเหมือนทับทิมคุณงอเปลือกอย่างนั้นเมล็ดพืชเปิดออกมาจากด้านในและระเบิดก็อยู่ในเมล็ดอีกครั้ง dochulionเพราะมันกลิ้ง
ฉันได้รับที่? มันคุ้มค่าที่จะช้าลงหรือไม่? มาเลย โฮบะ และอีกอันหนึ่ง พลิก! และตอนนี้ เรามีจักรวาลมากเท่ากับจำนวนหลักในจักรวาล ซึ่งเท่ากับจำนวนหลักที่เต็มจักรวาลของเรา และทันทีโดยไม่หยุด ให้พลิกอีกครั้ง ทั้งที่สี่และห้า ที่สิบพัน ให้ทันความคิด ยังคงนึกภาพ?

อย่าเสียเวลากับเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ กางปีกแห่งจินตนาการเร่งให้เต็มที่แล้วพลิก พลิกพลิก. เราพลิกกลับภายในจักรวาลแต่ละแห่งเท่าที่เคยมีจักรวาลก่อนยุคฮูเลียนในการพลิกกลับครั้งก่อน ซึ่งพลิกกลับจากอันก่อนหน้านี้ ซึ่ง ... เอ่อ ... คุณกำลังติดตามอยู่หรือเปล่า ที่ไหนสักแห่งอย่างนั้น ให้ตอนนี้หมายเลขของเรากลายเป็นว่า " เอกสาร".
dohouliard = พลิกพลิก
เราไม่ได้หยุดและพลิก dohouliards ไปเรื่อย ๆ ตราบใดที่เรายังมีกำลัง จนเข้าตาจนอยากจะกรี๊ด ที่นี่ทุกคนล้วนกล้าหาญ พินอคคิโอ สำหรับตัวเขาเอง คำว่าหยุดคือ "บรินซ่า"
ดังนั้น. มันเกี่ยวกับอะไร? จำนวนการพลิกกลับและ dohouliards ของจักรวาลที่มีตัวเลขเต็มจำนวนมหาศาลและไม่มีที่สิ้นสุดนั้นไม่ตรงกับจำนวนของ Graham พวกเขาไม่ได้ขีดข่วนพื้นผิว หากหมายเลข Graham ถูกแสดงเป็นแท่งซึ่งตามธรรมเนียมแล้วแผ่ขยายไปทั่วจักรวาลที่สังเกตได้ แล้วเราจะอยู่ที่นี่กับคุณได้อย่างไร พลิกกลายเป็นรอยบากความหนา ... ก็ ... จะเป็นอย่างไรถ้าจะพูดอย่างอ่อนโยน ... ไม่สมควรกล่าวถึง. ในที่นี้ ฉันทำให้มันอ่อนลงอย่างดีที่สุดเท่าที่จะทำได้

ตอนนี้ขอพูดนอกเรื่องเล็กน้อยพักสมอง เราอ่านเรานับตาของเราเหนื่อย ลืมตัวเลข Graham ไปเถอะ เรายังคงต้องคลานและคลานไปก่อน ไม่เพ่งสายตา ผ่อนคลาย นั่งสมาธิกับตัวเลขย่อเล็กสุดที่เล็กกว่ามาก ซึ่งเราจะเรียกว่า g 1 และเขียนด้วยอักขระเพียง 6 ตัว:
g1 = 33
หมายเลข g 1 เท่ากับ "สาม, สี่ลูกศร, สาม" มันหมายความว่าอะไร? นี่คือลักษณะสัญกรณ์ เรียกว่า สัญกรณ์ลูกศรของนุธ
สำหรับรายละเอียดและรายละเอียด คุณสามารถอ่านบทความ Wikipedia ได้ แต่มีสูตรอยู่ ฉันจะบอกเล่าสั้นๆ สั้นๆ ด้วยคำง่ายๆ หนึ่งลูกศรหมายถึงการยกกำลังแบบธรรมดา
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

ลูกศรสองอันหมายถึงการยกกำลังที่เข้าใจได้
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7,625,597,484,987 (มากกว่า 7 ล้านล้าน)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = ตัวเลขประมาณ 3 ล้านล้านหลัก

ในระยะสั้น "ตัวเลข ลูกศร ลูกศร อีกจำนวนหนึ่ง" แสดงว่าความสูงขององศาคืออะไร (นักคณิตศาสตร์พูดว่า " หอคอย") สร้างขึ้นจากตัวเลขแรก ตัวอย่างเช่น 58 หมายถึงหอคอยแปดห้าและมีขนาดใหญ่มากจนไม่สามารถคำนวณได้ในซูเปอร์คอมพิวเตอร์เครื่องใด ๆ แม้แต่ในคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องในโลกในเวลาเดียวกัน
5 5 5 5 5 5 5 5
มาต่อกันที่ลูกศรสามดอก หากลูกศรคู่แสดงความสูงของหอคอยองศา ลูกศรสามอันก็ดูเหมือนจะบ่งบอกว่า "ความสูงของหอคอยสูงของหอคอย" หรือไม่? อะไรนั่น! ในกรณีของทริปเปิ้ล เรามีความสูงของหอคอย ความสูงของหอคอยของหอคอย (ไม่มีแนวคิดดังกล่าวในวิชาคณิตศาสตร์ ฉันตัดสินใจเรียกมันว่า " ประมาท") บางสิ่งเช่นนี้:

นั่นคือ 33 ร่างแฝดสามไม่มีหอคอยสูง 7 ล้านล้านชิ้น อะไรคือ 7 ล้านล้านสามเท่าซ้อนกันและเรียกว่า "ไร้หอคอย"? หากคุณอ่านข้อความนี้อย่างระมัดระวังและไม่ได้ผล็อยหลับไปในตอนเริ่มต้น คุณอาจจำได้ว่าห่างจากโลกถึงดาวเสาร์ 100 ล้านล้านเซนติเมตร สามที่แสดงบนหน้าจอในแบบอักษรที่สิบสอง หนึ่ง - 3 - สูงห้ามิลลิเมตร ดังนั้นแฝดแฝดที่ไม่มีหอคอยจะยืดออกจากหน้าจอของคุณ ... แน่นอนว่าไม่ใช่ดาวเสาร์ แม้แต่ดวงอาทิตย์ก็ยังไปไม่ถึง เพียงหนึ่งในสี่ของหน่วยดาราศาสตร์ ซึ่งใกล้เคียงกับโลกถึงดาวอังคารในสภาพอากาศที่ดี ฉันดึงความสนใจของคุณ (อย่าหลับ!) ว่าหอคอยไม่ใช่ตัวเลขจากโลกสู่ดาวอังคารมันคือ หอคอยองศาสูงมาก. เราจำได้ว่าห้าเท่าในหอคอยนี้ครอบคลุม googolplex การคำนวณเดซิเมตรแรกของสามเท่าจะเผาฟิวส์ทั้งหมดของคอมพิวเตอร์ของโลกและอีกล้านกิโลเมตรที่เหลือนั้นไร้ประโยชน์แล้วพวกเขาเพียงแค่เยาะเย้ยผู้อ่านอย่างเปิดเผยมันคือ ไร้ประโยชน์ที่จะนับพวกเขา

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่า 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 ไม่มีหอคอย (ไม่ใช่ 3 ถึงระดับของหอคอย แต่ "ลูกศรสามลูกไม่มีหอคอย" (!)) เธอ ไม่มีหอคอยความยาวหรือความสูงจะไม่พอดีกับจักรวาลที่สังเกตได้และจะไม่พอดีกับลิขสิทธิ์ที่เสนอ
คำสิ้นสุดที่ 35 = 33333 และคำอุทานสิ้นสุดที่ 36 = 333333 แต่คุณสามารถฝึกฝนได้หากคุณสนใจ

มาต่อกันที่ลูกศรทั้งสี่ อย่างที่คุณอาจเดาได้ ที่นี่ป้อมปืนตั้งอยู่บนป้อมปืน ขับโดยไม่มีป้อมปืน และถึงแม้จะมีป้อมปืนที่ไม่มีป้อมปืน ก็ไม่สำคัญ ฉันจะให้ภาพที่เปิดเผยรูปแบบการคำนวณลูกศรสี่ลูกอย่างเงียบ ๆ เมื่อแต่ละหมายเลขถัดไปของหอคอยองศากำหนดความสูงของหอคอยองศาซึ่งกำหนดความสูงของหอคอยองศากำหนดความสูงของ หอคอยองศา ... เป็นต้น จนหลงลืมตนเอง

การคำนวณนั้นไร้ประโยชน์และจะไม่ทำงาน จำนวนองศาที่นี่ไม่ได้ให้ความสำคัญกับการบัญชี ตัวเลขนี้ไม่สามารถจินตนาการได้ ไม่สามารถอธิบายได้ ไม่มีการเปรียบเทียบ บนนิ้วมือ™ใช้ไม่ได้ ตัวเลขก็ไม่มีอะไรเทียบได้ เราสามารถพูดได้ว่ายิ่งใหญ่ ยิ่งใหญ่ ยิ่งใหญ่ และมองไปไกลกว่าขอบฟ้าเหตุการณ์ นั่นคือเพื่อให้มีคำคุณศัพท์ด้วยวาจา แต่การสร้างภาพข้อมูลแม้จะฟรีและเป็นรูปเป็นร่างก็เป็นไปไม่ได้ หากมีลูกศรสามลูก อย่างน้อยก็ยังสามารถพูดอะไรบางอย่าง วาดหอคอยจากโลกไปยังดาวอังคาร อย่างใดเพื่อเปรียบเทียบกับบางสิ่งบางอย่าง ก็ไม่สามารถเปรียบเทียบได้
ตอนนี้ จาก g 1 ด้วยความแข็งแกร่งขึ้นใหม่ เรากลับมาที่การจู่โจมที่หมายเลข Graham คุณสังเกตไหมว่าการเลื่อนระดับเพิ่มขึ้นจากลูกศรหนึ่งไปอีกลูกศรหนึ่งได้อย่างไร?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = หอคอย จากโลกสู่ดาวอังคาร
33 = ตัวเลขที่ไม่สามารถจินตนาการหรืออธิบายได้

และจินตนาการว่าฝันร้ายแบบดิจิทัลกำลังเกิดอะไรขึ้นเมื่อมือปืนอายุห้าขวบ? เมื่อไหร่จะมีหก? คุณลองนึกภาพจำนวนเมื่อมือปืนจะเป็นหนึ่งร้อยหรือไม่? ถ้าเป็นไปได้ ให้ฉันบอกคุณถึงหมายเลข ก. 2 ซึ่งจำนวนของลูกศรเหล่านี้จะกลายเป็น ก. 1 . จำได้ไหมว่า g 1 คืออะไรใช่ไหม?

ทุก ๆ อย่างที่เขียนมาจนถึงตอนนี้ การคำนวณ องศาและหอคอยที่ไม่เข้ากับพหุภาคี ล้วนต้องการเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น เพื่อแสดง NUMBER OF ARROWS ในหมายเลข g 2 . ไม่ต้องนับอะไร แค่หัวเราะแล้วโบกมือ
ฉันจะไม่ซ่อนนอกจากนี้ยังมี g 3 ซึ่งมีลูกศร g 2 อย่างไรก็ตาม ยังชัดเจนว่า g 3 ไม่ใช่ g 2 "กำลัง" ของ g 2 แต่จำนวนหอคอยที่ไม่มีหอคอยที่กำหนดความสูงของหอคอยที่ไม่มีหอคอยซึ่งกำหนดความสูง ... เป็นต้น ทั้งห่วงโซ่จนความร้อนตายของจักรวาล? นี่คือที่ที่คุณเริ่มร้องไห้

ร้องไห้ทำไม? เพราะจริงแท้แน่นอน นอกจากนี้ยังมีหมายเลข ก. 4 ซึ่งประกอบด้วยลูกศร g 3 ระหว่างสามเท่า นอกจากนี้ยังมี g 5 มี g 6 และ g 7 และ g 17 และ g 43 ...
ในระยะสั้นมี 64 ของ g เหล่านี้ แต่ละอันก่อนหน้านั้นมีค่าเท่ากับจำนวนลูกศรในอันถัดไป g 64 สุดท้ายคือหมายเลขของ Graham ซึ่งทุกอย่างดูเหมือนจะเริ่มต้นอย่างไร้เดียงสา นี่คือจำนวนมิติของไฮเปอร์คิวบ์ซึ่งเพียงพอแล้วที่จะทำให้สีเซ็กเมนต์เป็นสีแดงและสีน้ำเงินได้อย่างถูกต้อง อาจจะน้อยกว่านี้ อย่างที่พูด ขีดจำกัดบน มันเขียนดังนี้:
และเขียนแบบนี้:

ทุกอย่างตอนนี้คุณสามารถผ่อนคลายได้อย่างตรงไปตรงมา ไม่จำเป็นต้องจินตนาการและคำนวณอะไรอีกต่อไป หากคุณได้อ่านมาถึงจุดนี้ ทุกอย่างควรเข้าที่แล้ว หรือไม่ลุกเลย หรือไม่ได้ด้วยตัวเอง

แต่คุณรู้ไหม มีทฤษฎีดังกล่าว ทั้งที่เป็นแนวคิดชั่วคราวและเชิงปรัชญาด้วย คุณอาจเคยได้ยิน - ทุกสิ่งที่บุคคลสามารถจินตนาการหรือจินตนาการได้จะต้องเป็นจริงในสักวันหนึ่ง เพราะการพัฒนาของอารยธรรมถูกกำหนดโดยสามารถแปลงความเพ้อฝันในอดีตให้กลายเป็นความจริงได้มากน้อยเพียงใด

ไม่มีใครรู้ว่าอนาคตของเราจะเป็นอย่างไร อารยธรรมมนุษย์มีวิธียุติหลายพันวิธี: สงครามนิวเคลียร์ ภัยพิบัติด้านสิ่งแวดล้อม โรคระบาดร้ายแรง ดาวเคราะห์น้อยชนิดใดที่สามารถบินได้ ไดโนเสาร์จะไม่ยอมให้คุณโกหก แต่ธรรมชาติมีกฎที่ไม่สั่นคลอนอยู่ข้อหนึ่ง ซึ่งเรารู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ อะไรจะเกิด อะไรขึ้น อะไรที่เราคิดไปเอง แต่เวลาไม่ไปไหน เดี๋ยวมันก็ผ่านไป ไม่ว่าเราจะต้องการหรือไม่ มีหรือไม่มีเรา หนึ่งพันหมื่นปีก็จะผ่านไป

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าล้านปีผ่านไป? แต่เขาจะไปในที่ที่เขาจะไป ตัวเลขของเกรแฮมและโดยทั่วไปทุกอย่างที่บุคคลสามารถคิด จินตนาการ ดึงออกจากการไม่มีอยู่จริง และสร้างขึ้นหากไม่จับต้องได้ แต่อย่างน้อยสิ่งที่มีความหมายบางอย่าง จะถูกรวบรวมไม่ช้าก็เร็ว เพียงเพราะว่าวันนี้เราได้มีจุดแข็งที่จะพัฒนาความสามารถในการตระหนักถึงสิ่งนี้

วันนี้ พรุ่งนี้ เมื่อมีโอกาส โยนหัวกลับคืนสู่ท้องฟ้ายามราตรี จำช่วงเวลาที่รู้สึกไร้ค่าของตัวเองได้หรือไม่? คุณรู้สึกว่าคนตัวเล็กแค่ไหน? เศษฝุ่นซึ่งเป็นอะตอมเมื่อเทียบกับจักรวาลอันกว้างใหญ่ซึ่งเต็มไปด้วยดวงดาวซึ่งไม่มีตัวเลขใด ๆ เช่นกันและก้นบึ้งตามลำดับก็ไม่เล็กเช่นกัน

ครั้งต่อไป ให้ลองรู้สึกว่าจักรวาลเป็นเม็ดทรายมากแค่ไหน เมื่อเทียบกับสิ่งที่เกิดขึ้นในหัวคุณ ขุมนรกเปิดขึ้น แนวคิดที่นับไม่ถ้วนได้ถือกำเนิดขึ้น โลกถูกสร้างขึ้นอย่างไร จักรวาลพลิกกลับเข้าไปข้างในได้อย่างไรด้วยการเคลื่อนไหวแห่งความคิดเพียงครั้งเดียว สสารอันชาญฉลาดที่มีชีวิตแตกต่างจากความตายและไร้เหตุผลมากน้อยเพียงใด

ฉันเชื่อว่าหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คนจะเอื้อมมือไปขอเบอร์ของเกรแฮม สัมผัสมันด้วยมือของเขา หรืออะไรก็ตามที่เขาจะมีในตอนนั้นแทนที่จะใช้มือ นี่ไม่ใช่ความคิดที่ได้รับการพิสูจน์แล้วและได้รับการพิสูจน์ทางวิทยาศาสตร์แล้ว นี่เป็นเพียงความหวัง บางสิ่งที่สร้างแรงบันดาลใจให้ฉัน ไม่ใช่ศรัทธาด้วยอักษรตัวใหญ่ ไม่ใช่ความปีติยินดีทางศาสนา ไม่สอนและไม่ใช่การปฏิบัติทางจิตวิญญาณ นี่คือสิ่งที่ฉันคาดหวังจากมนุษยชาติ ในสิ่งที่ฉันพยายามสุดความสามารถเพื่อช่วย แม้ว่าด้วยความระมัดระวัง ฉันยังคงจำแนกตัวเองว่าเป็นผู้ไม่เชื่อเรื่องพระเจ้า

หากมองลงไปในห้วงลึกเป็นเวลานาน

คุณสามารถมีช่วงเวลาที่ดี
วิศวกรเครื่องกล Soul

ทันทีที่เด็ก (และสิ่งนี้เกิดขึ้นที่ไหนสักแห่งเมื่ออายุประมาณสามหรือสี่ขวบ) เข้าใจว่าตัวเลขทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นสามกลุ่มใหญ่ "หนึ่ง สอง และหลาย" เขาจะพยายามค้นหาทันที เท่าไหร่มันมากเกินไป, อย่างไร มากแตกต่างจาก มากมาย, และเป็นไปได้ไหม มากมายจนไม่มีอีกแล้ว. แน่นอนคุณเล่นเกมที่น่าสนใจ (สำหรับวัยนั้น) กับพ่อแม่ของคุณซึ่งจะตั้งชื่อจำนวนมากที่สุดและถ้าบรรพบุรุษเป็น ไม่โง่กว่าชั้นป.5จากนั้นเขาก็ชนะเสมอ โดยตอบ "สองล้าน" สำหรับทุก "ล้าน" และ "สองพันล้าน" หรือ "หนึ่งพันล้านบวกหนึ่ง" สำหรับทุก "พันล้าน"

เมื่อถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ทุกคนรู้ว่ามีจำนวนนับไม่ถ้วนไม่สิ้นสุดและไม่มีจำนวนที่ใหญ่ที่สุด ถึงใครก็ได้ ล้านล้านล้านล้านคุณสามารถพูดว่า "บวกหนึ่ง" และชนะได้เสมอ และต่อมาเล็กน้อย (ควรมา!) ความเข้าใจว่าตัวเลขยาว ๆ ในตัวเองไม่ได้มีความหมายอะไรเลย ทั้งหมดนี้ ล้านล้านล้านเท่านั้นจึงจะสมเหตุสมผลเมื่อพวกเขาทำหน้าที่เป็นตัวแทนของวัตถุจำนวนหนึ่งหรืออธิบายปรากฏการณ์บางอย่าง ไม่ยากเลยในการประดิษฐ์ตัวเลขยาวที่ไม่มีอะไรนอกจากชุดของตัวเลขที่ออกเสียงยาวดังนั้นพวกเขา ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวน. ในเชิงเปรียบเทียบ วิทยาศาสตร์มีส่วนเกี่ยวข้องในการดึงผลรวมของตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงออกจากขุมนรกอันไร้ขอบเขตนี้ บวกกับปรากฏการณ์ทางกายภาพบางอย่าง เช่น ความเร็วของแสง จำนวนของอโวกาโดร หรือค่าคงที่ของพลังค์

และคำถามก็เกิดขึ้นทันที อะไรคือจำนวนที่มากที่สุดในโลกที่มีความหมายบางอย่าง? ในบทความนี้ผมจะลองพูดถึง Digital Monster ที่ชื่อว่า หมายเลขเกรแฮมแม้ว่าจะพูดอย่างเคร่งครัด วิทยาศาสตร์ก็รู้ตัวเลขและอื่นๆ อีกมากมาย ตัวเลขของ Graham เป็นหมายเลขที่เปิดเผยมากที่สุด บางคนอาจพูดว่า "เคยได้ยินมา" ของคนทั่วไป เพราะมันค่อนข้างง่ายในการอธิบายแต่มีขนาดใหญ่พอที่จะหันหัวได้ โดยทั่วไป มีความจำเป็นต้องประกาศข้อจำกัดความรับผิดชอบเล็กน้อย ( รัสเซียคำเตือน). อาจฟังดูตลก แต่ฉันไม่ได้ล้อเล่น ฉันกำลังพูดอย่างจริงจัง - พิถีพิถันในเชิงลึกทางคณิตศาสตร์เมื่อรวมกับการขยายขอบเขตของการรับรู้อย่างไม่ จำกัด สามารถ (และจะ) มีผลกระทบร้ายแรงต่อโลกทัศน์ต่อตำแหน่งของบุคคลในสังคมและอวกาศและ , ในที่สุด, บน สภาพจิตใจทั่วไปการเลือกหรือเรียกจอบว่าจอบ - เปิดทางสู่ชิซ คุณไม่ควรอ่านข้อความต่อไปนี้อย่างระมัดระวังเกินไป คุณไม่ควรจินตนาการถึงสิ่งที่อธิบายไว้อย่างชัดเจนและชัดเจนเกินไป และอย่าพูดในภายหลังว่าคุณไม่ได้รับการเตือน!

ก่อนจะไปต่อเลขอสูร ฝึกกันก่อน บนแมว. ฉันขอเตือนคุณว่าการอธิบายตัวเลขจำนวนมาก (ไม่ใช่สัตว์ประหลาด แต่เป็นเพียงตัวเลขจำนวนมาก) สะดวกในการใช้ทางวิทยาศาสตร์หรือที่เรียกว่า เลขชี้กำลังวิธีการบันทึก

เมื่อพูดถึงจำนวนดาวในจักรวาล (ในจักรวาลที่สังเกตได้) คนงี่เง่าไม่ต้องนับว่ามีกี่ดวงในความหมายที่แท้จริงจนถึงดาวดวงสุดท้าย เชื่อกันว่ามีประมาณ 10 21 ชิ้น และนี่คือค่าประมาณที่ต่ำกว่า ซึ่งหมายความว่าจำนวนดาวทั้งหมดสามารถแสดงเป็นตัวเลขที่มีศูนย์ 21 ตัวหลังหนึ่ง นั่นคือ "1,000,000,000,000,000,000,000"

นี่คือลักษณะส่วนเล็กๆ ของพวกเขา (ประมาณ 100,000) ในกระจุกดาวทรงกลมโอเมกา เซ็นทอรี

โดยธรรมชาติแล้ว เมื่อพูดถึงมาตราส่วนดังกล่าว ตัวเลขจริงในตัวเลขนั้นไม่สำคัญมากนัก เพราะทุกอย่างมีเงื่อนไขและใกล้เคียงกันมาก อาจจะ ในความเป็นจริงจำนวนดาวในจักรวาลคือ "1,564,861,615,140,168,357,973" หรืออาจจะ "9,384,684,643,798,468,483,745" และแม้กระทั่ง "3 333 333 333 333 333 333 333" แม้ว่าจะไม่น่าเป็นไปได้ก็ตาม ในจักรวาลวิทยา ศาสตร์แห่งคุณสมบัติของจักรวาลโดยรวม เรื่องมโนสาเร่ดังกล่าวไม่ได้ถูกหลอก สิ่งสำคัญคือการจินตนาการ เกี่ยวกับตัวเลขนี้ประกอบด้วยตัวเลข 22 หลัก ซึ่งสะดวกกว่าที่จะพิจารณาว่าเป็นหน่วยที่มีศูนย์ 21 ตัว และเขียนเป็น 10 21 กฎนี้เป็นกฎทั่วไปและง่ายมาก ตัวเลขหรือตัวเลขใดแทนองศา (พิมพ์เล็กบนเลข 10 ที่นี่) เลขศูนย์หลังหน่วยจะเป็นจำนวนเท่าใดถ้าคุณวาดมันด้วยวิธีง่ายๆ โดยมีอักขระเรียงกันเป็นแถว และไม่ใช่ในทางวิทยาศาสตร์ บางตัวเลขมี "ชื่อคน" เช่น 10 3 เราเรียกว่า "พัน", 10 6 - "ล้าน" และ 10 9 - "พันล้าน" และบางหมายเลขไม่มี สมมุติว่า 1059 ไม่มีชื่อสามัญ และ 10 21 ก็มี - มันคือ "ล้านล้าน"

ทุกสิ่งทุกอย่างที่สูงถึงหนึ่งล้านสามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณสำหรับทุกคนเพราะ ที่ไม่อยากเป็นเศรษฐี? จากนั้นปัญหาบางอย่างก็เริ่มต้นขึ้น แม้ว่าเกือบทุกคนจะรู้จักพันล้าน (10 9) คุณสามารถนับได้ถึงหนึ่งพันล้าน ถ้าเพียงเกิด แท้จริงในขณะเดียวกันเมื่อฉันออกจาก ... ก็ ... ที่ซึ่งผู้คนออกจากที่นั่น ... เริ่มนับวินาที "หนึ่ง สอง สาม สี่ ... " และไม่ นอน ไม่ดื่ม ไม่กิน แต่นับนับไม่ถ้วนอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อยทั้งกลางวันและกลางคืน จากนั้นเมื่อถึง 32 ปี คุณสามารถนับได้เป็นพันล้าน เพราะหนึ่งพันล้านวินาทีนั้นเท่ากับ 32 รอบของโลกรอบดวงอาทิตย์

100 พันล้าน (10 11) - มีผู้คนอาศัยอยู่บนโลกกี่คนตลอดประวัติศาสตร์ แมคโดนัลด์ขายแฮมเบอร์เกอร์ได้ 100 พันล้านชิ้นภายในปี 2541 ในช่วง 50 ปีที่ผ่านมา มีดาว 1 แสนล้านดวง (หรือมากกว่านั้นอีกเล็กน้อย) ในกาแล็กซีทางช้างเผือกของเรา และดวงอาทิตย์ก็เป็นหนึ่งในนั้น มีกาแลคซีจำนวนเท่ากันในจักรวาลที่สังเกตได้ 100 พันล้านนิวตรอนอยู่ในสมองของมนุษย์ และแบคทีเรียที่ไม่ใช้ออกซิเจนจำนวนเท่ากันอาศัยอยู่ในตัวอ่านบรรทัดเหล่านี้ในลำไส้ใหญ่

สี่ล้านล้าน (1015 หนึ่งล้านล้าน) คือจำนวนมดทั้งหมดบนโลก คนปกติไม่ออกเสียงคำนี้ออกมาดังๆ เลย ยอมรับเถอะ ครั้งสุดท้ายที่คุณได้ยิน "ล้านล้านของบางสิ่ง" ในการสนทนาคือเมื่อไหร่?

Quintillion (10 18 พันล้าน) - มีการกำหนดค่าที่เป็นไปได้มากมายเมื่อประกอบลูกบาศก์รูบิค 3x3x3 จำนวนลูกบาศก์เมตรของน้ำในมหาสมุทรของโลกก็เช่นกัน

Sextillion (10 21) - เราพบตัวเลขนี้แล้ว จำนวนดาวในเอกภพที่สังเกตได้ จำนวนเม็ดทรายในทะเลทรายทั้งหมดของโลก จำนวนทรานซิสเตอร์ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่มีอยู่ทั้งหมดของมนุษย์หาก Intel ไม่ได้โกหกเรา

10 sextillion (1022) คือจำนวนโมเลกุลในน้ำหนึ่งกรัม

10 24 คือมวลของโลกเป็นกิโลกรัม

10 26 คือเส้นผ่านศูนย์กลางของจักรวาลที่สังเกตได้เป็นเมตร แต่ไม่สะดวกที่จะนับเป็นเมตร ขอบเขตที่ยอมรับโดยทั่วไปของจักรวาลที่สังเกตได้คือ 93 พันล้านปีแสง

อย่างไรก็ตาม แม้แต่ใน Observable Universe คุณยังสามารถยัดเยียดบางสิ่งที่ต่างไปจากเมตรได้

1,051 อะตอมประกอบเป็นดาวเคราะห์โลก

10 80 จำนวนอนุภาคมูลฐานโดยประมาณในจักรวาลที่สังเกตได้

10 90 คือจำนวนโฟตอนโดยประมาณในเอกภพที่สังเกตได้ มีมากกว่าอนุภาคมูลฐาน อิเล็กตรอน และโปรตอนเกือบ 10 พันล้านเท่า

10 100 เป็นกูเกิล ตัวเลขนี้ไม่ได้มีความหมายอะไร แค่กลมและสวยงาม บริษัทที่ตั้งเป้าหมายในการจัดทำดัชนี Google ของลิงก์ (เรื่องตลก นี่เป็นมากกว่าจำนวนอนุภาคพื้นฐานในจักรวาล!) ในปี 1998 ได้ชื่อว่า Google

ต้องใช้โปรตอน 10,122 ตัวเพื่อเติมเต็ม Observable Universe ให้กับลูกตาอย่างแน่นหนาเช่นนั้นโปรตอนต่อโปรตอนกลับไปข้างหลัง

จักรวาลที่สังเกตได้ 10,185 เล่มถูกครอบครองโดยจักรวาลที่สังเกตได้ น้อยกว่าปริมาณพลังค์ (ลูกบาศก์ของพลังค์ยาว 10-35 เมตร) วิทยาศาสตร์ของเราไม่ทราบ แน่นอน เช่นเดียวกับจักรวาล มีบางสิ่งที่เล็กกว่านั้นอยู่ที่นั่น แต่นักวิทยาศาสตร์ยังไม่ได้คิดสูตรที่สมเหตุสมผลสำหรับเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ ดังกล่าว มีเพียงการเก็งกำไรเท่านั้น

ปรากฎว่า 10,185 หรือมากกว่านั้นเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่ตามหลักการแล้วสามารถหมายถึงอะไรก็ได้ในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ ในศาสตร์ที่สามารถสัมผัสและวัดได้ เป็นสิ่งที่มีอยู่หรืออาจมีอยู่ได้ หากมันเกิดขึ้นจนเรารู้ทุกสิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับจักรวาล ตัวเลขประกอบด้วย 186 หลัก นี่คือ:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

หรือได้ยินเกี่ยวกับทฤษฎีสตริง ซึ่งอาจมีการกำหนดค่าการสั่นสะเทือนของสตริงได้ประมาณ 10,500 แบบ ซึ่งหมายถึงจำนวนจักรวาลที่เป็นไปได้เท่ากัน โดยแต่ละอันมีกฎของตัวเอง

ยิ่งเข้าไปในป่า ฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์ในเชิงทฤษฎีที่น้อยกว่าโดยทั่วไปยังคงอยู่ในตัวเลขที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ และเบื้องหลังคอลัมน์ของศูนย์ ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ที่บริสุทธิ์และบริสุทธิ์มากขึ้นก็เริ่มมองลอดผ่านเข้ามา คณิตศาสตร์ไม่ใช่ฟิสิกส์ ไม่มีข้อจำกัด และไม่มีอะไรน่าละอาย เดินเล่น ใช้ชีวิต เขียนเลขศูนย์ในสูตร แม้ว่าคุณจะทำสำเร็จก็ตาม

ข้าพเจ้าจะกล่าวถึงเฉพาะบุคคลทั่วไปเท่านั้นที่ทราบ googolplex. ตัวเลขที่มี googol หลัก สิบยกกำลัง googol (10 googol) หรือสิบยกกำลังสิบยกกำลังหนึ่งร้อย (10 10 100)

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

เบื้องหลัง googolplex มีตัวเลขที่น่าสนใจมากมายที่มีบทบาทอย่างใดอย่างหนึ่งในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ยาวและสั้น ไปที่หมายเลข Graham ที่ตั้งชื่อตาม (แน่นอนว่า) นักคณิตศาสตร์ Ronald Graham ก่อนอื่นฉันจะบอกคุณว่ามันคืออะไรและมีไว้เพื่ออะไร จากนั้นเปรียบเปรยและ บนนิ้วมือ™(ตาดำ!) ฉันจะอธิบายว่ามันมีขนาดเท่าไหร่แล้วฉันจะเขียนตัวเลขเอง แม่นยำยิ่งขึ้นฉันจะพยายามอธิบายสิ่งที่ฉันเขียน

ลองนึกภาพลูกบาศก์ จุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นที่มีสองสี สีแดงหรือสีน้ำเงิน เชื่อมต่อและระบายสีแบบสุ่ม บางคนเดาไว้แล้วว่าเราจะพูดถึงสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า combinatorics

เราสามารถประดิษฐ์และเลือกการกำหนดค่าของสีในลักษณะดังกล่าวได้หรือไม่ (และมีเพียงสองสี - สีแดงและสีน้ำเงิน) เพื่อที่ว่าเมื่อระบายสีส่วนเหล่านี้ มันไม่ได้ผลว่าทุกส่วนของสีเดียวกันที่เชื่อมต่อสี่จุดอยู่ ในระนาบเดียวกัน? ในกรณีนี้จะไม่เป็นตัวแทนของตัวเลขดังกล่าว:

คุณสามารถคิดด้วยตัวเองบิดลูกบาศก์ในจินตนาการของคุณต่อหน้าต่อตาการทำเช่นนี้ไม่ยาก มีสองสี ลูกบาศก์มี 8 จุด (มุม) ซึ่งหมายความว่ามี 28 ส่วนเชื่อมต่อกัน คุณสามารถเลือกการกำหนดค่าการระบายสีในลักษณะที่เราจะไม่ได้รูปด้านบนที่ใดก็ได้จะมีหลายสี เส้นในระนาบที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีมิติมากขึ้น? ถ้าเราไม่ใช่ลูกบาศก์ แต่เป็นลูกบาศก์สี่มิติเช่น เทสเซอแรคท์ ? เราสามารถดึงเคล็ดลับเดียวกันกับ 3D ได้หรือไม่?

ฉันจะไม่เริ่มอธิบายว่าลูกบาศก์สี่มิติคืออะไร ฉันหวังว่าทุกคนจะรู้ ลูกบาศก์สี่มิติมีจุดยอด 16 จุด และไม่จำเป็นต้องพองสมองแล้วลองนึกภาพลูกบาศก์สี่มิติ นี่คือคณิตศาสตร์ล้วนๆ ฉันดูจำนวนมิติ แทนที่ลงในสูตร หาจำนวนจุดยอด ขอบ ใบหน้า และอื่นๆ ดีหรือแอบดูใน Wikipedia ถ้าคุณจำสูตรไม่ได้ ดังนั้นลูกบาศก์สี่มิติจึงมีจุดยอด 16 จุดและ 120 ส่วนเชื่อมต่อกัน จำนวนการผสมสีในกรณีสี่มิตินั้นมากกว่าในกรณีสามมิติอย่างมาก แต่ถึงกระนั้นที่นี่ก็ยังคำนวณ หาร ลดขนาด และอื่นๆ ได้ไม่ยากนัก โดยสรุป ให้พบว่าในพื้นที่สี่มิติเราสามารถระบายสีเซกเมนต์ของไฮเปอร์คิวบ์ได้อย่างชาญฉลาด โดยที่ทุกเส้นที่มีสีเดียวกันซึ่งเชื่อมต่อ 4 จุดจะไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

ในห้ามิติ? และในห้ามิติซึ่งลูกบาศก์เรียกว่าเพนเทอร์แรคท์หรือเพนทาคิวบ์ก็เป็นไปได้เช่นกัน
และในหกมิติ

แล้วก็มีปัญหา เกรแฮมไม่สามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่าไฮเปอร์คิวบ์เจ็ดมิติสามารถดำเนินการดังกล่าวได้ และแปดมิติเป็นต้น. แต่การให้ "และอื่น ๆ " กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ลงท้ายด้วยตัวเลขจำนวนมากซึ่งเรียกว่า "หมายเลขเกรแฮม"

นั่นคือมีบ้าง มิติขั้นต่ำไฮเปอร์คิวบ์ซึ่งมีการละเมิดเงื่อนไข และไม่สามารถหลีกเลี่ยงการรวมกันของเซกเมนต์การระบายสีได้อีกต่อไป ดังนั้นจุดสี่จุดที่มีสีเดียวกันจะอยู่ในระนาบเดียวกัน และขนาดต่ำสุดนี้มากกว่าหกพอดีและน้อยกว่าเลขเกรแฮมพอดี นี่คือข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของโรนัลด์ เกรแฮม

และตอนนี้คำจำกัดความของสิ่งที่ฉันวาดในสองสามย่อหน้าในภาษาคณิตศาสตร์ที่แห้งและน่าเบื่อ (แต่กว้างขวาง) ไม่จำเป็นต้องเข้าใจ แต่ฉันทำไม่ได้

พิจารณาไฮเปอร์คิวบ์ n- มิติและเชื่อมต่อจุดยอดทุกคู่เพื่อให้ได้กราฟที่สมบูรณ์พร้อมจุดยอด 2n ระบายสีแต่ละขอบของกราฟนี้เป็นสีแดงหรือสีน้ำเงิน อะไรคือค่าที่น้อยที่สุดของ n ซึ่งแต่ละสีดังกล่าวจำเป็นต้องมีกราฟย่อยแบบสีเดียวที่มีจุดยอดสี่จุด ซึ่งทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน

หลายปีผ่านไปตั้งแต่ยุค 70 พบปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ตัวเลขและ Graham ปรากฏมากขึ้น แต่ตัวเลขสัตว์ประหลาดตัวแรกนี้สร้างความประทับใจให้กับผู้ร่วมสมัยที่เข้าใจว่ามันขนาดไหนในปี 1980 มันถูกรวมอยู่ใน Guinness Book of Records ว่า "มากที่สุด จำนวนมากที่สุดที่เคยเกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด" ในขณะนั้น

มาลองดูกันว่าจะขนาดไหน จำไว้ว่าจำนวนที่มากที่สุดที่สามารถมีความหมายทางกายภาพคือ 10 185 และหากจักรวาลที่สังเกตได้ทั้งหมดนั้นเต็มไปด้วยชุดตัวเลขเล็ก ๆ ที่ดูเหมือนไม่มีที่สิ้นสุด เราจะได้บางสิ่งที่สมน้ำสมเนื้อ googolplex.

คุณนึกภาพชุมชนนี้ออกไหม ไปข้างหน้า ถอยหลัง ขึ้น ลง ไกลสุดลูกหูลูกตาและเท่าที่กล้องดูดาวฮับเบิลมองเห็นและถึงแม้จะยังไม่เพียงพอไปยังดาราจักรที่ห่างไกลที่สุดและมองข้ามพวกมัน - ตัวเลข, ตัวเลข, ตัวเลข เล็กกว่าโปรตอนมาก จักรวาลดังกล่าวไม่สามารถดำรงอยู่ได้ มันจะยุบตัวเป็นหลุมดำทันที คุณจำได้ไหมว่าข้อมูลในทางทฤษฎีสามารถใส่เข้าไปในจักรวาลได้มากแค่ไหน? ผมก็บอก

ตัวเลขมหาศาลมาก ทำลายสมอง มันไม่เท่า Googleprex หรอก ฉันจะเรียกมันว่า " dohulion" ซู่ นักบัญชีพูดนี่! เพิ่งรู้ว่าทำไมไม่ จำนวนเซลล์พลังค์ในจักรวาลที่สังเกตได้และแต่ละเซลล์มีตัวเลข จำนวนนี้มี 10 185 หลักสามารถแสดงเป็น 10 10 185

dochulion = 10 10 185

เรายังคงปีนขึ้นไป จำทฤษฎีอัตราเงินเฟ้อได้หรือไม่? จักรวาลของเราเป็นเพียงหนึ่งในฟองสบู่มากมายในลิขสิทธิ์ และถ้าคุณจินตนาการถึง dohulionฟองอากาศดังกล่าว? ลองนับจำนวนเท่าที่ทุกสิ่งที่มีอยู่และจินตนาการถึง Multiverse ที่มีจำนวนจักรวาลใกล้เคียงกันซึ่งแต่ละอันเต็มไปด้วยตัวเลขถึงลูกตา - เราได้ dochulion dochulion. คุณนึกภาพออกไหม วิธีที่คุณลอยอยู่ในการไม่มีอยู่ของสนามสเกลาร์และทุกสิ่งรอบตัวเป็นจักรวาล - จักรวาลและตัวเลข - ตัวเลข - ตัวเลขในนั้น ... ฉันหวังว่าฝันร้ายเช่นนี้ (แต่ทำไมถึงเป็นฝันร้าย) จะไม่ทรมาน (และ จะทรมานทำไม) ผู้อ่านที่ประทับใจมากเกินไปในตอนกลางคืน

ฉันได้รับที่? มันคุ้มค่าที่จะหยุด? Hop และอีกหนึ่งรายการ พลิก! และตอนนี้ เรามีจักรวาลมากเท่ากับจำนวนหลักในจักรวาล ซึ่งเท่ากับจำนวนหลักที่เต็มจักรวาลของเรา และพลิกอีกครั้ง ทั้งที่สี่และห้า ให้ทันความคิด ยังคงนึกภาพ?

อย่าเสียเวลากับเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ เราเร่งเต็มที่แล้วพลิก พลิกพลิก. เราพลิกกลับภายในจักรวาลแต่ละแห่งเท่าที่เคยมีจักรวาลก่อนยุคฮูเลียนในการพลิกกลับครั้งก่อน ซึ่งพลิกกลับจากอันก่อนหน้านี้ ซึ่ง ... เอ่อ ... คุณกำลังติดตามอยู่หรือเปล่า ที่ไหนสักแห่งอย่างนั้น ให้ตัวเลขตอนนี้กลายเป็นว่า " เอกสาร".

dohouliard = พลิกพลิก

เราไม่ได้หยุดและพลิก dohouliards ไปเรื่อย ๆ ตราบใดที่เรายังมีกำลัง จนเข้าตาจนอยากจะกรี๊ด ที่นี่ทุกคนล้วนกล้าหาญ พินอคคิโอ สำหรับตัวเขาเอง คำว่าหยุดคือ "บรินซ่า"

ดังนั้น. จำนวนพลิกกลับและจำนวนเต็มของเอกภพที่มีจำนวนเต็มจำนวนนับไม่ถ้วนเหล่านี้เทียบไม่ได้กับจำนวนของเกรแฮม พวกเขาไม่ได้ขีดข่วนพื้นผิว หากหมายเลข Graham ถูกแสดงเป็นแท่งซึ่งตามธรรมเนียมแล้วแผ่ขยายไปทั่วจักรวาลที่สังเกตได้ แล้วเราจะอยู่ที่นี่กับคุณได้อย่างไร พลิกกลายเป็นรอยบากความหนา ... ก็ ... จะเป็นอย่างไรถ้าจะพูดอย่างอ่อนโยน ... ไม่สมควรกล่าวถึง. ในที่นี้ ฉันทำให้มันอ่อนลงอย่างดีที่สุดเท่าที่จะทำได้

หมายเลข g 1 เท่ากับ "สาม, สี่ลูกศร, สาม" มันคืออะไร หมายความว่ายังไง? นี่คือลักษณะสัญกรณ์ เรียกว่า สัญกรณ์ลูกศรของนุธ

หนึ่งลูกศรหมายถึงการยกกำลังแบบธรรมดา

22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

ลูกศรสองลูกหมายความว่าเข้าใจได้ เป็นการยกกำลัง แต่ลูกเล่นที่ไม่ชัดเจนกำลังรอเราอยู่ที่นั่น

22 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7,625,597,484,987 (มากกว่า 7 ล้านล้าน)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = ตัวเลขประมาณ 7 ล้านล้านหลัก

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 กำลัง 7 ล้านล้านหลัก - googolplex ห่วย

ในระยะสั้น "ตัวเลข ลูกศร ลูกศร อีกจำนวนหนึ่ง" แสดงให้เห็นว่าองศา (นักคณิตศาสตร์บอกว่าหอคอย) สูงเพียงใดที่สร้างขึ้นจากตัวเลขแรก 59 หมายถึงหอคอยเก้าห้าและมีขนาดใหญ่มากจนไม่สามารถคำนวณบนคอมพิวเตอร์สมัยใหม่เครื่องใดก็ได้ แม้แต่ในคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องในโลกในเวลาเดียวกัน

มาต่อกันที่ลูกศรสามดอก หากลูกศรคู่แสดงความสูงของหอคอยองศา ลูกศรสามอันก็ดูเหมือนจะบ่งบอกว่า "ความสูงของหอคอยสูงของหอคอย" หรือไม่? อะไรนั่น! สิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อลูกศรลงท้ายด้วย 2 พูด 32 หากมันจบลงด้วย 3 เรามีความสูงของหอคอย ความสูงของหอคอย (ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีสิ่งนี้ฉันตัดสินใจเรียกมันว่า " ประมาท") บางสิ่งเช่นนี้:

นั่นคือ 33 ร่างแฝดสามไม่มีหอคอยสูง 7 ล้านล้านชิ้น อะไรคือ 7 ล้านล้านสามเท่าซ้อนกันซึ่งฉันเรียกว่า "ไม่มีหอคอย"? หากคุณอ่านข้อความนี้อย่างระมัดระวังและไม่ได้ผล็อยหลับไปในตอนเริ่มต้น คุณอาจจำได้ว่าห่างจากโลกถึงดาวเสาร์ 100 ล้านล้านเซนติเมตร สามตัวที่แสดงบนหน้าจอเป็นฟอนต์ที่สิบสอง อันนี้ - 3 - สูงห้ามิลลิเมตร ดังนั้นแฝดแฝดที่ไม่มีหอคอยจะยืดออกจากหน้าจอของคุณ ... แน่นอนว่าไม่ใช่ดาวเสาร์ แม้แต่ดวงอาทิตย์ก็ยังไปไม่ถึง เพียงหนึ่งในสี่ของหน่วยดาราศาสตร์ ซึ่งใกล้เคียงกับโลกถึงดาวอังคารในสภาพอากาศที่ดี ฉันดึงความสนใจของคุณ (อย่าหลับ!) ว่าหอคอยไม่ใช่ตัวเลขจากโลกสู่ดาวอังคารมันคือ หอคอยองศาสูงมาก. และเราจำได้ว่าห้าสามตัวแรกในหอคอยนี้ครอบคลุมจำนวนของ googolplex การคำนวณเดซิเมตรแรกจะเผาฟิวส์ทั้งหมดของคอมพิวเตอร์ของโลกและส่วนที่เหลืออีกหลายล้านกิโลเมตรเป็นเพียงการเยาะเย้ยผู้อ่าน

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่า 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 ไม่มีหอคอย (ไม่ใช่ 3 ถึงระดับของหอคอย แต่ "ลูกศรสามลูกไม่มีหอคอย" (!)) เธอ ไม่มีหอคอยจะไม่พอดีกับความยาวหรือความสูงในจักรวาลที่สังเกตได้และแม้แต่ในลิขสิทธิ์ที่ถูกกล่าวหา

คำสิ้นสุดที่ 35 = 33333 และคำอุทานสิ้นสุดที่ 36 แต่คุณสามารถฝึกฝนได้หากคุณสนใจ

การคำนวณนั้นไร้ประโยชน์และจะไม่ทำงาน จำนวนองศาที่นี่ไม่ได้ให้ความสำคัญกับการบัญชี

โดยที่จำนวนสามเท่าในแต่ละหอคอยถูกระบุโดยหอคอยก่อนหน้า

นั่นคือจำนวน g 1 นั่นคือสิ่งที่ 33 เป็น

พักผ่อน? ตอนนี้ จาก g 1 ด้วยความแข็งแกร่งขึ้นใหม่ เรากลับมาที่การจู่โจมที่หมายเลข Graham มีลูกศรสี่ลูกใน g 1 ระหว่างสามเท่า และเรารู้แล้วว่ามีอะไรซ่อนอยู่เบื้องหลังความไร้เดียงสาโดยเจตนานี้ คุณนึกภาพลูกศรห้าลูกได้ไหม? หก? เซเว่น? ล้าน? หากคุณสามารถจินตนาการได้ ให้ฉันนำตัวเลขมาให้คุณสนใจ ก. 2 ซึ่งจำนวนของลูกศรเหล่านี้มีค่าเท่ากับ ก. 1 . จำได้ไหมว่า g 1 คืออะไรใช่ไหม?

ทุก ๆ อย่างที่เขียนมาจนถึงตอนนี้ การคำนวณ องศาและหอคอยที่ไม่เข้ากับพหุภาคี ล้วนต้องการเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น เพื่อระบุ NUMBER OF ARROWS ในจำนวน g 2 . ไม่ต้องนับอะไร แค่หัวเราะแล้วโบกมือ

ฉันจะไม่ซ่อนนอกจากนี้ยังมี ก. 3 ซึ่ง ก. 2 ลูกศร อย่างไรก็ตาม ยังคงเป็นที่ชัดเจนว่า g 3 ไม่ใช่ g 2 "กำลัง" ของ g 2 แต่จำนวนหอคอยที่ไม่มีหอคอยที่กำหนดความสูงของหอคอยที่ไม่มีหอคอยซึ่งกำหนดความสูง ... เป็นต้น ห่วงโซ่ทั้งหมดจนความร้อนตายของจักรวาล นี่คือที่ที่คุณเริ่มร้องไห้

ท้ายที่สุดมันเป็นเรื่องจริงอย่างแน่นอน มีหมายเลข g 4 ที่มี g 3 ลูกศรระหว่างสาม นอกจากนี้ยังมี g 5 , g 6 , g 7 , g 17 , g 43 .

ในระยะสั้นมี 64 ของ g เหล่านี้ g 64 สุดท้ายคือเลขของ Graham ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นอย่างบริสุทธิ์ใจ นี่คือจำนวนมิติของไฮเปอร์คิวบ์ซึ่งเพียงพอแล้วที่จะทำให้สีเซ็กเมนต์เป็นสีแดงและสีน้ำเงินได้อย่างถูกต้อง อาจจะน้อยกว่านี้ อย่างที่พูด ขีดจำกัดบน มันเขียนดังนี้:

และพวกเขาเขียนแบบนี้:

ใช่ นักอ่านที่มีประสบการณ์กับฟิวส์ขาด ไม่จำเป็นต้องประณาม คุณพูดถูกจริงๆ ตัวเลขของ Graham นั้นถูกประดิษฐ์ขึ้นและประดิษฐ์ขึ้นเอง ไฮเปอร์คิวบ์ไร้มิติและระนาบนามธรรมทั้งหมดเหล่านี้ มารแยกพวกเขาออกจากกัน ใครต้องการพวกมัน กิโลกรัมอยู่ที่ไหนอิเล็กตรอนอยู่ที่ไหนสิ่งที่สามารถวัดได้คืออะไร? อะไรชนิดของการพูดเปล่าเกี่ยวกับอะไร? ฉันเห็นด้วย. โพสวันนี้บอกได้เลยว่า บนนิ้วมือ™ไกลจากวิทยาศาสตร์จริง เกือบจะสมบูรณ์แบบในจินตนาการทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งบางประเภทในขณะที่นักวิทยาศาสตร์ไม่มีเงินเพียงพอสำหรับอุปกรณ์ ปัญหาพลังงานโลกยังไม่ได้รับการแก้ไข และบางคนยังมีห้องน้ำอยู่ในสนาม และใครและในสนาม

ไม่มีใครรู้ว่าอนาคตของเราจะเป็นอย่างไร อารยธรรมมนุษย์มีวิธียุติหลายพันวิธี: สงครามนิวเคลียร์ ภัยพิบัติด้านสิ่งแวดล้อม โรคระบาดร้ายแรง ดาวเคราะห์น้อยชนิดใดที่สามารถบินได้ ไดโนเสาร์จะไม่ยอมให้คุณโกหก การพัฒนาของมนุษยชาติสามารถหยุดได้ด้วยตัวเอง ทันใดนั้นก็มีกฎที่เมื่อไปถึงระดับหนึ่ง การพัฒนาก็หยุดลงแค่นั้นเอง หรือตัวแทนของสหภาพอวกาศจะมาถึงและหยุดการพัฒนานี้ด้วยกำลัง

แต่ก็ยังมีโอกาสที่การพัฒนาของมนุษยชาติจะดำเนินต่อไปโดยไม่หยุดยั้ง แม้ว่าจะไม่เวียนหัวเหมือน 100 ปีที่ผ่านมา สิ่งสำคัญคือการเคลื่อนไหวไปข้างหน้า สิ่งสำคัญคือมันก้าวหน้า

200 ปีที่แล้วพรมบินได้ (เครื่องบินธรรมดา) กระจกวิเศษ (วิดีโอ Skype) หรืออาณาจักรที่ห่างไกล (พื้นผิวของดาวอังคาร) ดูเหมือนเทพนิยายไปป์เมื่อ 2,000 ปีที่แล้วมันควรจะเป็นเฉพาะกับพระเจ้าเท่านั้น 20,000 ปีที่แล้ว พวกเขาไม่สามารถจินตนาการถึงสิ่งนี้ได้เลย ไม่มีจินตนาการเพียงพอ คุณนึกภาพออกไหมว่ามนุษย์จะมีอะไรบ้างในอีก 200 ปีข้างหน้า? ในปี 2000 ใน 20,000 ปี? ธรรมชาติมีกฎเดียวที่เรารู้จักตั้งแต่สมัยโบราณ ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น ไม่ว่าอะไรจะเกิดขึ้น เวลาไม่ไปไหน มันก็จะผ่านไป ไม่ว่าเราจะต้องการหรือไม่ก็ตาม หนึ่งพันหมื่นปีก็จะผ่านไป

มนุษยชาติจะอยู่รอดได้หรือไม่ หรือจะเป็นมนุษยชาติที่มีคำนำหน้าว่า "มนุษย์-" และบางทีเมื่อถึงเวลานั้น ระยะของปัญญาประดิษฐ์จะสิ้นสุดลง ก่อให้เกิดพลังธาตุบางประเภทที่มีการรับรู้ประเภทพิเศษ

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าล้านปีผ่านไป? แต่เขาจะไปในที่ที่เขาจะไป ฉันเชื่อว่าเลขเกรแฮมและโดยทั่วไปทุกอย่างที่คนๆ นั้นทำได้แค่คิด จินตนาการ ดึงเอาสิ่งที่ไม่มีอยู่และทำให้เป็นสิ่งที่อาจจับต้องไม่ได้ แต่มีความหมายบางอย่าง สักวันหนึ่งจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน . เพียงเพราะว่าวันนี้เราได้มีจุดแข็งที่จะพัฒนาความสามารถในการตระหนักถึงสิ่งนี้

วันนี้ พรุ่งนี้ เมื่อมีโอกาส โยนหัวกลับคืนสู่ท้องฟ้ายามราตรี จำช่วงเวลาที่รู้สึกไร้ค่าของตัวเองได้หรือไม่? คุณรู้สึกว่าคนตัวเล็กเป็นอย่างไร ฝุ่นผง อะตอมเมื่อเทียบกับจักรวาลอันกว้างใหญ่ซึ่งเต็มไปด้วยดวงดาว ซึ่งมีจำนวนไม่มากนัก และก้นบึ้งตามลำดับก็ไม่เล็กเช่นกัน

ครั้งต่อไป ให้ลองรู้สึกว่าจักรวาลเป็นเม็ดทรายมากแค่ไหน เมื่อเทียบกับสิ่งที่เกิดขึ้นในหัวคุณ ห้วงเหวลึกเพียงใด แนวคิดอันหาประมาณมิได้ถือกำเนิดมา จักรวาลพลิกกลับภายในด้วยการเคลื่อนไหวของความคิดเพียงครั้งเดียว สสารที่ฉลาดและมีชีวิตที่ต่างไปจากที่ตายไปและไร้เหตุผลอย่างไรและมากน้อยเพียงใด

ฉันเชื่อว่าหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คนจะเอื้อมมือไปขอเบอร์ของเกรแฮม สัมผัสมันด้วยมือของเขา หรืออะไรก็ตามที่เขาจะมีในตอนนั้นแทนที่จะใช้มือ นี่ไม่ใช่ความคิดที่ได้รับการพิสูจน์แล้วและได้รับการพิสูจน์ทางวิทยาศาสตร์แล้ว นี่เป็นเพียงความหวัง บางสิ่งที่สร้างแรงบันดาลใจให้ฉัน ไม่ใช่ศรัทธาด้วยอักษรตัวใหญ่ ไม่ใช่ความปีติยินดีทางศาสนา ไม่สอนและไม่ใช่การปฏิบัติทางจิตวิญญาณ นี่คือสิ่งที่ผมคาดหวังจากมนุษยชาติและสิ่งที่ตัวผมเองพยายามจะช่วยอย่างสุดความสามารถ แม้ว่าด้วยความระมัดระวัง ฉันยังคงจำแนกตัวเองว่าเป็นผู้ไม่เชื่อเรื่องพระเจ้า

มีตัวเลขจำนวนมากที่เหลือเชื่อและใหญ่มากจนทำให้ทั้งจักรวาลต้องจดเอาไว้ แต่นี่คือสิ่งที่น่าโมโหจริงๆ... ตัวเลขจำนวนมากที่ไม่สามารถเข้าใจได้เหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการทำความเข้าใจโลก

เมื่อฉันพูดว่า "จำนวนที่มากที่สุดในจักรวาล" ฉันหมายถึงจำนวนที่มากที่สุดจริงๆ มีความหมาย number จำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้ที่เป็นประโยชน์ในทางใดทางหนึ่ง มีผู้เข้าแข่งขันหลายคนสำหรับชื่อนี้ แต่ฉันขอเตือนคุณทันที: มีความเสี่ยงที่การพยายามทำความเข้าใจทั้งหมดนี้จะทำให้คุณทึ่ง นอกจากนี้ คณิตศาสตร์มากเกินไป คุณยังสนุกอีกด้วย

Googol และ googolplex

เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์

เราอาจเริ่มด้วยตัวเลขสองตัว ซึ่งน่าจะเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่คุณเคยได้ยินมา และนี่คือตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดสองจำนวนที่ยอมรับคำจำกัดความในภาษาอังกฤษโดยทั่วไป (มีการใช้ศัพท์เฉพาะที่แม่นยำมากสำหรับตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่าที่คุณต้องการ แต่ปัจจุบันไม่พบตัวเลขทั้งสองนี้ในพจนานุกรม) Google เนื่องจากมันมีชื่อเสียงไปทั่วโลก (แม้ว่าจะมีข้อผิดพลาด แต่โปรดทราบว่าจริงๆ แล้วมันคือ googol) ใน รูปแบบของ Google ซึ่งถือกำเนิดขึ้นในปี พ.ศ. 2463 เพื่อให้เด็ก ๆ สนใจในเรื่องจำนวนมาก

ด้วยเหตุนี้ เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์ (ในภาพ) จึงพาหลานชายสองคนของเขา มิลตันและเอ็ดวิน ซิรอตต์ ไปทัวร์ที่นิวเจอร์ซีย์พาลิเซดส์ เขาเชิญพวกเขาให้คิดไอเดียต่างๆ แล้วมิลตันวัย 9 ขวบก็แนะนำ "googol" เขาได้รับคำนี้จากที่ใดไม่เป็นที่รู้จัก แต่ Kasner ตัดสินใจว่า หรือตัวเลขที่มีศูนย์หนึ่งร้อยตัวตามหลังจะเรียกว่า googol

แต่มิลตันที่อายุน้อยไม่ได้หยุดอยู่แค่นั้น เขาได้ตัวเลขที่มากกว่านั้นคือ กูกอลเพล็กซ์ มันคือตัวเลข อ้างอิงจากมิลตัน ที่มี 1 ก่อน แล้วตามด้วยเลขศูนย์มากที่สุดเท่าที่คุณจะเขียนได้ก่อนที่คุณจะเหนื่อย ในขณะที่แนวคิดนี้น่าสนใจ Kasner รู้สึกว่าจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่เป็นทางการกว่านี้ ตามที่เขาอธิบายไว้ในหนังสือ Mathematics and the Imagination ในปี 1940 คำจำกัดความของ Milton เปิดโอกาสให้เกิดอันตรายที่ตัวตลกที่เป็นครั้งคราวอาจกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เก่งกว่าสำหรับ Albert Einstein เพียงเพราะเขามีความแข็งแกร่งมากขึ้น

ดังนั้น Kasner จึงตัดสินใจว่า googolplex จะเป็น หรือ 1 ตามด้วย googol ที่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น และในสัญกรณ์ที่คล้ายกับที่เราจะจัดการกับตัวเลขอื่น เราจะบอกว่า googolplex คือ . เพื่อแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้น่าทึ่งเพียงใด คาร์ล เซแกนเคยตั้งข้อสังเกตว่าเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพที่จะเขียนเลขศูนย์ทั้งหมดของกูกอลเพล็กซ์ เพราะมีที่ว่างไม่เพียงพอในจักรวาล หากปริมาตรทั้งหมดของเอกภพที่สังเกตได้เต็มไปด้วยอนุภาคฝุ่นละเอียดขนาดประมาณ 1.5 ไมครอน จำนวนวิธีต่างๆ ในการจัดเรียงอนุภาคเหล่านี้จะมีค่าเท่ากับ googolplex เดียวโดยประมาณ

ในทางภาษาศาสตร์ googol และ googolplex น่าจะเป็นตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่ใหญ่ที่สุดสองจำนวน (อย่างน้อยในภาษาอังกฤษ) แต่ดังที่เราจะต้องสร้างในตอนนี้ มีหลายวิธีมากมายที่จะกำหนด "ความสำคัญ"

โลกแห่งความจริง

ถ้าเราพูดถึงจำนวนที่มีนัยสำคัญที่ใหญ่ที่สุด มีข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลว่านี่หมายความว่าคุณจำเป็นต้องหาจำนวนที่มากที่สุดด้วยค่าที่มีอยู่จริงในโลก เราสามารถเริ่มต้นด้วยประชากรมนุษย์ในปัจจุบัน ซึ่งปัจจุบันมีประมาณ 6920 ล้านคน จีดีพีโลกในปี 2553 อยู่ที่ประมาณ 61,960 พันล้านดอลลาร์ แต่ตัวเลขทั้งสองมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับเซลล์ประมาณ 100 ล้านล้านเซลล์ที่ประกอบกันเป็นร่างกายมนุษย์ แน่นอน ไม่มีตัวเลขใดสามารถเปรียบเทียบกับจำนวนอนุภาคทั้งหมดในจักรวาล ซึ่งปกติจะถือว่าเป็นเรื่องเกี่ยวกับ และจำนวนนี้มากจนภาษาของเราไม่มีคำสำหรับมัน

เราสามารถเล่นกับระบบการวัดได้เล็กน้อย ทำให้ตัวเลขใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นมวลของดวงอาทิตย์ในหน่วยตันจะน้อยกว่าหน่วยปอนด์ วิธีที่ยอดเยี่ยมในการทำเช่นนี้คือการใช้หน่วยพลังค์ ซึ่งเป็นมาตรการที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งกฎของฟิสิกส์ยังคงมีอยู่ ตัวอย่างเช่น อายุของจักรวาลในเวลาพลังค์คือประมาณ . หากเราย้อนกลับไปที่หน่วยเวลาพลังค์แรกหลังบิ๊กแบง เราจะเห็นว่าความหนาแน่นของจักรวาลเป็นตอนนั้น เรากำลังเพิ่มมากขึ้นเรื่อยๆ แต่เรายังไม่ถึง googol เลยด้วยซ้ำ

จำนวนที่มากที่สุดกับแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริงหรือในกรณีนี้คือแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริงอาจเป็นหนึ่งในค่าประมาณล่าสุดของจำนวนจักรวาลในลิขสิทธิ์ ตัวเลขนี้มีขนาดใหญ่มากจนสมองของมนุษย์ไม่สามารถรับรู้จักรวาลต่างๆ เหล่านี้ได้อย่างแท้จริง เนื่องจากสมองมีความสามารถในการกำหนดค่าคร่าวๆ เท่านั้น อันที่จริง จำนวนนี้น่าจะเป็นจำนวนที่มากที่สุดที่มีความหมายในทางปฏิบัติ ถ้าคุณไม่คำนึงถึงแนวคิดของลิขสิทธิ์ในภาพรวม อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวเลขที่มากกว่านั้นแฝงตัวอยู่ที่นั่น แต่เพื่อที่จะหามันเจอ เราต้องเข้าไปในขอบเขตของคณิตศาสตร์ล้วนๆ และไม่มีที่ใดที่จะเริ่มต้นได้ดีไปกว่าจำนวนเฉพาะ

Mersenne ไพรม์ส

ส่วนหนึ่งของความยากคือการให้คำจำกัดความที่ดีว่าตัวเลขที่ "มีความหมาย" คืออะไร วิธีหนึ่งคือการคิดในแง่ของจำนวนเฉพาะและคอมโพสิต จำนวนเฉพาะ ตามที่คุณอาจจำได้จากคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คือจำนวนธรรมชาติใดๆ (ไม่เท่ากับหนึ่ง) ที่หารด้วยตัวมันเองเท่านั้น ดังนั้น และเป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นจำนวนประกอบ ซึ่งหมายความว่าในที่สุดจำนวนประกอบใดๆ สามารถแทนด้วยตัวหารเฉพาะของมันได้ ในแง่หนึ่ง ตัวเลขมีความสำคัญมากกว่า พูดได้ว่า เพราะไม่มีทางที่จะแสดงมันออกมาในรูปผลคูณของจำนวนที่น้อยกว่าได้

แน่นอน เราสามารถไปได้ไกลกว่านี้หน่อย ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้ว เป็นเพียง ซึ่งหมายความว่าในโลกสมมุติที่ความรู้เรื่องตัวเลขของเราจำกัดอยู่ที่ นักคณิตศาสตร์ยังสามารถแสดงออกได้ แต่จำนวนต่อไปเป็นจำนวนเฉพาะแล้ว ซึ่งหมายความว่าวิธีเดียวที่จะแสดงมันคือการรู้โดยตรงเกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักมีบทบาทสำคัญ แต่ googol ซึ่งท้ายที่สุดเป็นเพียงชุดของตัวเลข และ คูณเข้าด้วยกัน จริงๆ แล้วไม่เป็นเช่นนั้น และเนื่องจากจำนวนเฉพาะส่วนใหญ่เป็นแบบสุ่ม จึงไม่มีทางรู้ที่จะทำนายได้ว่าจำนวนเฉพาะที่มากอย่างเหลือเชื่อจริงๆ แล้วจะเป็นจำนวนเฉพาะ จนถึงวันนี้ การค้นหาจำนวนเฉพาะใหม่เป็นงานที่ยาก

นักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณมีแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่สุดก็ตั้งแต่ 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 2,000 ปีต่อมา ผู้คนก็ยังรู้เพียงว่าจำนวนเฉพาะใดมีมากถึงประมาณ 750 นักคิดของยุคลิดมองเห็นความเป็นไปได้ของการทำให้เข้าใจง่าย แต่จนกระทั่งนักคณิตศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาทำได้ ไม่ได้ใช้จริงในทางปฏิบัติ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข Mersenne และตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Marina Mersenne ในศตวรรษที่ 17 แนวคิดนี้ค่อนข้างง่าย: หมายเลข Mersenne คือตัวเลขใดๆ ของแบบฟอร์ม ตัวอย่างเช่น และจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับ .

เฉพาะไพรม์เมอร์แซนน์นั้นเร็วกว่าและกำหนดได้ง่ายกว่าไพรม์ชนิดอื่นๆ มาก และคอมพิวเตอร์ก็ทำงานหนักในการค้นหามาตลอดหกทศวรรษที่ผ่านมา จนถึงปี 1952 จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักคือตัวเลข—ตัวเลขที่มีตัวเลข ในปีเดียวกันนั้น มันถูกคำนวณบนคอมพิวเตอร์ว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ และตัวเลขนี้ประกอบด้วยตัวเลข ซึ่งทำให้มันมีค่ามากกว่ากูกอลมาก

คอมพิวเตอร์ได้รับการตามล่าตั้งแต่นั้นมา และจำนวน Mersenne ที่ปัจจุบันเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่มนุษย์รู้จัก ค้นพบในปี 2551 เป็นตัวเลขที่มีตัวเลขเกือบล้านหลัก นี่คือจำนวนที่รู้จักมากที่สุดซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นตัวเลขที่เล็กกว่าได้ และหากคุณต้องการช่วยค้นหาหมายเลข Mersenne ที่มากกว่าเดิม คุณ (และคอมพิวเตอร์ของคุณ) สามารถเข้าร่วมการค้นหาที่ http://www.mersenne ได้ตลอดเวลา .org/.

ตัวเลขเบ้

สแตนลีย์ สกูเซ่

ลองกลับไปที่จำนวนเฉพาะ อย่างที่ฉันพูดไปก่อนหน้านี้ พวกมันประพฤติผิดโดยพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางที่จะทำนายว่าจำนวนเฉพาะตัวต่อไปจะเป็นเท่าใด นักคณิตศาสตร์ถูกบังคับให้หันไปใช้การวัดที่ค่อนข้างมหัศจรรย์บางอย่างเพื่อหาวิธีการบางอย่างในการทำนายจำนวนเฉพาะในอนาคต แม้แต่ในทางที่คลุมเครือ ความพยายามที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดน่าจะเป็นหน้าที่ของจำนวนเฉพาะ ซึ่งคิดค้นขึ้นในปลายศตวรรษที่ 18 โดยนักคณิตศาสตร์ในตำนาน คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

ผมจะช่วยคุณในวิชาคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้ ยังไงก็ตาม เรายังมีอีกมากที่รออยู่ แต่สาระสำคัญของฟังก์ชันคือ: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ เป็นไปได้ที่จะประมาณจำนวนเฉพาะที่มีน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ถ้า ฟังก์ชันคาดการณ์ว่าควรมีจำนวนเฉพาะ ถ้า - จำนวนเฉพาะน้อยกว่า และถ้า แสดงว่ามีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า

การจัดเรียงของจำนวนเฉพาะนั้นไม่ปกติ และเป็นเพียงการประมาณจำนวนเฉพาะของจำนวนเฉพาะเท่านั้น อันที่จริง เรารู้ว่ามีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า จำนวนเฉพาะน้อยกว่า และจำนวนเฉพาะน้อยกว่า แน่นอนว่าเป็นค่าประมาณที่ดี แต่มักจะเป็นเพียงค่าประมาณ... และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าประมาณจากด้านบนเสมอ

ในกรณีที่ทราบทั้งหมดจนถึง ฟังก์ชันที่ค้นหาจำนวนเฉพาะเกินจำนวนจริงเล็กน้อยน้อยกว่าจำนวนเฉพาะ นักคณิตศาสตร์เคยคิดว่าสิ่งนี้จะเป็นเช่นนั้นเสมอ ad infinitum และสิ่งนี้ใช้ได้กับจำนวนมหาศาลที่ไม่สามารถจินตนาการได้อย่างแน่นอน แต่ในปี 1914 จอห์น เอเดนเซอร์ ลิตเติลวูดได้พิสูจน์ว่าสำหรับบางจำนวนที่ไม่ทราบจำนวนมากและมากเกินจินตนาการ ฟังก์ชันนี้จะเริ่มสร้างจำนวนเฉพาะน้อยลง จากนั้นจะสลับไปมาระหว่างการประเมินค่าสูงไปและการประเมินค่าต่ำไปเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน

การตามล่าเป็นจุดเริ่มต้นของการแข่งขัน และนั่นคือจุดที่สแตนลีย์ สคูสปรากฏตัว (ดูรูป) ในปี 1933 เขาพิสูจน์ว่าขีดจำกัดบน เมื่อฟังก์ชันที่ใกล้เคียงกับจำนวนเฉพาะในครั้งแรกให้ค่าที่น้อยกว่า คือตัวเลข เป็นการยากที่จะเข้าใจอย่างแท้จริง แม้ในความหมายที่เป็นนามธรรมที่สุด ตัวเลขนี้จริงๆ แล้วคืออะไร และจากมุมมองนี้ มันเป็นจำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่จริงจัง ตั้งแต่นั้นมา นักคณิตศาสตร์สามารถลดขอบเขตบนให้เหลือจำนวนที่ค่อนข้างน้อย แต่ตัวเลขเดิมยังคงรู้จักกันในชื่อตัวเลขสคีเวส

ดังนั้นจำนวนที่ทำให้แม้แต่คนแคระ googolplex อันยิ่งใหญ่มีจำนวนเท่าใด? ในพจนานุกรมเพนกวินของตัวเลขที่อยากรู้อยากเห็นและน่าสนใจ David Wells อธิบายวิธีหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ Hardy สามารถเข้าใจขนาดของตัวเลข Skewes:

"Hardy คิดว่ามันเป็น 'จำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้เพื่อจุดประสงค์ใด ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์' และแนะนำว่าถ้าเล่นหมากรุกกับอนุภาคทั้งหมดของจักรวาลเป็นชิ้น ๆ การเคลื่อนไหวครั้งเดียวจะประกอบด้วยการแลกเปลี่ยนสองอนุภาคและเกมจะหยุดเมื่อ ตำแหน่งเดิมซ้ำเป็นครั้งที่สาม จากนั้นจำนวนเกมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวน Skuse''

สิ่งสุดท้ายก่อนที่จะไปต่อ: เราได้พูดถึงตัวเลขที่เล็กกว่าของตัวเลข Skewes สองตัว มีหมายเลข Skewes อีกหมายเลขหนึ่งซึ่งนักคณิตศาสตร์พบในปี 1955 ตัวเลขแรกมาจากเหตุผลที่เรียกว่าสมมติฐานรีมันน์เป็นความจริง ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ยากเป็นพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ มีประโยชน์มากเมื่อพูดถึงจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม หากสมมติฐานของรีมันน์เป็นเท็จ Skewes พบว่าจุดเริ่มต้นการกระโดดเพิ่มขึ้นเป็น

ปัญหาของขนาด

ก่อนที่เราจะไปถึงตัวเลขที่ทำให้เลขของ Skuse นั้นดูเล็ก เราต้องพูดกันสักหน่อยเกี่ยวกับมาตราส่วน เพราะไม่เช่นนั้นเราจะไม่มีทางประมาณได้ว่าเราจะไปที่ใด มาลองหาตัวเลขกันก่อน -- มันเป็นจำนวนเล็กน้อย น้อยมากจนคนสามารถเข้าใจความหมายโดยสัญชาตญาณได้จริงๆ มีตัวเลขไม่กี่ตัวที่เข้ากับคำอธิบายนี้ เนื่องจากตัวเลขที่มากกว่าหกจะหยุดแยกตัวเลขและกลายเป็น "หลายตัว" "หลายตัว" เป็นต้น

ทีนี้ลองมาดู นั่นคือ . แม้ว่าเราจะไม่เข้าใจอย่างสังหรณ์ใจจริงๆ ตามที่เราทำกับตัวเลข หาว่าอะไร ลองนึกภาพว่ามันคืออะไร มันง่ายมาก จนถึงตอนนี้ทุกอย่างเป็นไปด้วยดี แต่ถ้าเราไปที่ ? นี่เท่ากับ หรือ เรายังห่างไกลจากความสามารถในการจินตนาการถึงคุณค่านี้ เช่นเดียวกับค่าที่ใหญ่มากอื่น ๆ เรากำลังสูญเสียความสามารถในการทำความเข้าใจส่วนต่างๆ ของส่วนต่างๆ ประมาณหนึ่งล้านส่วน (เป็นที่ยอมรับว่าต้องใช้เวลายาวนานมากจริงๆ ในการนับหนึ่งล้าน แต่ประเด็นคือเรายังคงสามารถรับรู้ตัวเลขนั้นได้)

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าเราจะนึกภาพไม่ออก อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจในแง่ทั่วไปว่า 7600 พันล้านคืออะไร บางทีอาจเทียบได้กับ GDP ของสหรัฐฯ เราได้เปลี่ยนจากสัญชาตญาณไปเป็นตัวแทนเป็นเพียงแค่ความเข้าใจ แต่อย่างน้อยเราก็ยังมีช่องว่างในการทำความเข้าใจว่าตัวเลขคืออะไร สิ่งนี้กำลังจะเปลี่ยนไปเมื่อเราขยับขึ้นบันไดอีกหนึ่งขั้น

ในการทำเช่นนี้ เราต้องเปลี่ยนไปใช้สัญกรณ์ที่โดนัลด์ คนุธแนะนำ หรือที่เรียกว่าสัญกรณ์ลูกศร สัญกรณ์เหล่านี้สามารถเขียนเป็น . เมื่อเราไปที่หมายเลขที่เราได้รับจะเป็น นี่เท่ากับจำนวนแฝดทั้งหมด ตอนนี้เราแซงหน้าตัวเลขอื่นๆ ที่กล่าวมาแล้วอย่างมากมายและอย่างแท้จริง ท้ายที่สุด แม้แต่ที่ใหญ่ที่สุดของพวกเขาก็มีสมาชิกเพียงสามหรือสี่คนในซีรีย์ดัชนี ตัวอย่างเช่น แม้แต่เลขซุปเปอร์ของ Skuse จะเป็น "เท่านั้น" - แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งฐานและเลขชี้กำลังมีขนาดใหญ่กว่ามาก แต่ก็ยังไม่มีอะไรเทียบได้กับขนาดของหอตัวเลขที่มีสมาชิกหลายพันล้านคน

เห็นได้ชัดว่าไม่มีทางที่จะเข้าใจจำนวนมหาศาลดังกล่าวได้... แต่ถึงกระนั้น กระบวนการที่พวกมันสร้างขึ้นก็ยังคงสามารถเข้าใจได้ เราไม่สามารถเข้าใจจำนวนจริงที่ได้รับจากหอคอยแห่งอำนาจซึ่งมีจำนวนหลายพันล้านเท่า แต่โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถจินตนาการถึงหอคอยที่มีสมาชิกจำนวนมากและซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ดีจริงๆ จะสามารถเก็บหอคอยดังกล่าวไว้ในหน่วยความจำได้ ไม่สามารถคำนวณมูลค่าที่แท้จริงได้

มันเป็นนามธรรมมากขึ้นเรื่อย ๆ แต่มันจะแย่ลงเท่านั้น คุณอาจคิดว่าหอคอยแห่งอำนาจที่มีความยาวเลขชี้กำลัง (ยิ่งกว่านั้น ในเวอร์ชันก่อนหน้าของโพสต์นี้ ฉันทำผิดพลาดอย่างแน่นอน) แต่มันเป็นเพียง . อีกนัยหนึ่ง ลองนึกภาพว่าคุณสามารถคำนวณมูลค่าที่แน่นอนของหอพลังงานที่มีสามส่วน ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ และจากนั้นคุณนำค่านี้มาสร้างหอคอยใหม่โดยมีจำนวน ... ซึ่งให้

ทำซ้ำขั้นตอนนี้กับแต่ละหมายเลขที่ต่อเนื่องกัน ( บันทึกเริ่มจากทางขวา) จนกว่าคุณจะทำสิ่งนี้ 1 ครั้ง แล้วในที่สุดคุณก็จะได้ . นี่เป็นตัวเลขที่มีขนาดใหญ่อย่างไม่น่าเชื่อ แต่อย่างน้อยขั้นตอนในการทำให้เข้าใจได้ชัดเจนว่าทุกอย่างทำช้ามาก เราไม่สามารถเข้าใจตัวเลขหรือจินตนาการถึงขั้นตอนในการได้มาซึ่งตัวเลขอีกต่อไป แต่อย่างน้อย เราก็สามารถเข้าใจอัลกอริทึมพื้นฐานได้ในเวลานานพอสมควรเท่านั้น

ตอนนี้เรามาเตรียมใจที่จะระเบิดมันจริงๆ

เบอร์ของเกรแฮม (ของเกรแฮม)

โรนัลด์ เกรแฮม

นี่คือวิธีที่คุณจะได้เลขของ Graham ซึ่งจัดอยู่ใน Guinness Book of World Records ว่าเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่ามันใหญ่แค่ไหน และเป็นการยากที่จะอธิบายว่ามันคืออะไรกันแน่ โดยพื้นฐานแล้ว ตัวเลขของ Graham จะถูกนำมาใช้เมื่อต้องรับมือกับไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตตามทฤษฎีที่มีมากกว่าสามมิติ นักคณิตศาสตร์ โรนัลด์ เกรแฮม (ดูรูป) ต้องการค้นหาว่าจำนวนมิติที่น้อยที่สุดเป็นเท่าใดที่จะคงคุณสมบัติบางอย่างของไฮเปอร์คิวบ์ให้คงที่ (ขออภัยสำหรับคำอธิบายที่คลุมเครือ แต่ฉันแน่ใจว่าเราทุกคนต้องมีองศาคณิตศาสตร์อย่างน้อยสององศาเพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น)

ไม่ว่าในกรณีใด ตัวเลข Graham เป็นค่าประมาณสูงสุดของจำนวนมิติขั้นต่ำนี้ ขอบบนนี้ใหญ่แค่ไหน? กลับไปที่ตัวเลขที่มากจนเราเข้าใจอัลกอริธึมเพื่อให้ได้มาซึ่งค่อนข้างคลุมเครือ ตอนนี้ แทนที่จะกระโดดขึ้นไปอีกระดับหนึ่ง เราจะนับจำนวนที่มีลูกศรระหว่างสามตัวแรกและตัวสุดท้าย ตอนนี้เราอยู่ไกลเกินกว่าจะเข้าใจแม้แต่น้อยว่าตัวเลขนี้คืออะไรหรือแม้แต่สิ่งที่ต้องทำเพื่อคำนวณ

ทำซ้ำขั้นตอนนี้ครั้ง ( บันทึกในแต่ละขั้นตอนถัดไป เราจะเขียนจำนวนลูกศรเท่ากับจำนวนที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า)

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ นี่คือเลขของเกรแฮม ซึ่งเกี่ยวกับลำดับความสำคัญเหนือจุดที่มนุษย์เข้าใจ มันเป็นตัวเลขที่มากกว่าตัวเลขใดๆ ที่คุณจะจินตนาการได้ มันเป็นมากกว่าอนันต์ที่คุณเคยจินตนาการถึงได้ มันท้าทายแม้กระทั่งคำอธิบายที่เป็นนามธรรมที่สุด

แต่นี่คือสิ่งที่แปลก เนื่องจากจำนวน Graham นั้นโดยพื้นฐานแล้วก็แค่คูณสามเท่าเข้าด้วยกัน เราจึงทราบคุณสมบัติบางอย่างของ Graham โดยไม่ต้องคำนวณจริงๆ เราไม่สามารถแทนเลขของ Graham ในรูปแบบใด ๆ ที่เราคุ้นเคย แม้ว่าเราจะใช้ทั้งจักรวาลเพื่อจดเอาไว้ แต่ฉันสามารถให้เลขสิบสองหลักสุดท้ายของเลข Graham แก่คุณได้ในตอนนี้: และนั่นไม่ใช่ทั้งหมด: เรารู้อย่างน้อยตัวเลขสุดท้ายของหมายเลข Graham

แน่นอน จำไว้เสมอว่าตัวเลขนี้เป็นเพียงขอบเขตบนของปัญหาเดิมของเกรแฮม เป็นไปได้ว่าจำนวนการวัดจริงที่จำเป็นในการบรรลุคุณสมบัติที่ต้องการนั้นน้อยกว่ามาก อันที่จริง นับตั้งแต่ทศวรรษ 1980 เป็นต้นมา ผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ในสาขานี้เชื่อกันว่าจริงๆ แล้วมีเพียงหกมิติเท่านั้น ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยมากจนเราสามารถเข้าใจได้ในระดับสัญชาตญาณ ขอบเขตล่างได้เพิ่มขึ้นเป็น แต่ยังคงมีโอกาสที่ดีมากที่วิธีแก้ปัญหาของ Graham ไม่ได้อยู่ใกล้จำนวนที่มากเท่ากับของ Graham

ไม่มีที่สิ้นสุด

มีตัวเลขที่มากกว่าตัวเลขของ Graham หรือไม่? แน่นอนว่ามีหมายเลขเกรแฮมสำหรับผู้เริ่มต้น สำหรับจำนวนที่มีนัยสำคัญ... มีบางพื้นที่ที่ยากลำบากของคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะพื้นที่ที่เรียกว่า combinatorics) และวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งมีตัวเลขที่มากกว่าตัวเลขของ Graham แต่เราเกือบจะถึงขีดจำกัดของสิ่งที่ฉันหวังว่าจะสามารถอธิบายได้อย่างสมเหตุสมผล สำหรับผู้ที่ประมาทพอจะก้าวต่อไปได้ การอ่านเพิ่มเติมถือเป็นความเสี่ยงของคุณเอง

ตอนนี้เป็นคำพูดที่น่าอัศจรรย์ที่มาจาก Douglas Ray ( บันทึกพูดตามตรงมันฟังดูตลกดี:

“ฉันเห็นกลุ่มของตัวเลขที่คลุมเครือซ่อนอยู่ในความมืด ข้างหลังจุดเล็กๆ แห่งแสงที่เทียนไขให้ พวกเขากระซิบกัน พูดถึงใครรู้บ้าง. บางทีพวกเขาอาจไม่ชอบเรามากในการจับน้องชายตัวน้อยของพวกเขาด้วยความคิดของเรา หรือบางทีพวกเขาอาจนำวิถีชีวิตที่เป็นตัวเลขที่ชัดเจน เกินกว่าที่เราเข้าใจ

เพื่อที่จะจินตนาการถึงมาตราส่วนของตัวเลข มาวิเคราะห์บันทึกของมันโดยละเอียดยิ่งขึ้น จำเป็นต้องมีคำนำบางส่วน แต่โดยทั่วไปแล้ว จะไม่มีอะไรซับซ้อนเกินไป เราจะพยายามอธิบายทุกอย่างให้ชัดเจนที่สุด

1 . ดังนั้นในวิชาคณิตศาสตร์จึงมีแนวคิดของ "hyperoperator" เพื่อกำหนดระดับของการดำเนินการเลขคณิต ดังนั้นการเพิ่มเป็นไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ระดับแรก ตัวดำเนินการไฮเปอร์ของระดับที่สอง - การคูณ การคูณคือการบวกซ้ำ นั่นคือ ตัวคูณคือตัวเลขที่บอกเราว่าเราต้องบวกค่าคูณกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9 ไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ถัดไปคือการยกกำลัง x น = X^นซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นการคูณซ้ำ ตัวอย่าง: 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 27. การเขียน 3 3 ในสัญกรณ์ Knuth จะมีลักษณะดังนี้ 33 เพื่อความชัดเจน ควรกล่าวว่าตัวเลขแรกในนิพจน์ 33 คือค่าที่เราดำเนินการ , จำนวนลูกศรระหว่างตัวเลข - นี่คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้หนึ่งลูกศรหมายถึงการยกกำลัง หลักที่สองหมายถึงกำลังที่จะยกหลักแรกขึ้น (กี่ครั้งที่จะคูณด้วยตัวเอง)ดังนั้น ถ้านิพจน์คือ 74 ก็หมายความว่าเจ็ดถึงดีกรีที่สี่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง 7 ต้องคูณด้วย 7 สี่ครั้ง

2 . ไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ระดับที่สี่คือ tetration Tetration เป็นการยกกำลังซ้ำ ในรายการของ Knuth มีลูกศรสองดอกอยู่ระหว่างตัวเลข ตัวอย่าง: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7,625,597,484,987 กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันแสดงให้เราเห็นความสูงของหอพลังงานจากหลักแรก ตัวอย่างเช่น รายการ 58 หมายถึงหอคอยแปดห้ากองซ้อนกันเหมือนลูกบาศก์

ผู้ที่สมองบวมเต็มที่ด้วยไขมันหรือมัวแต่คิดหาวิธีหาชาน ปั๊มเอลฟ์ หรือกำจัดสิว ควรจำไว้ว่าสำนวนที่คำนวณเป็น tetration บนลงล่างหรือ จากขวาไปซ้าย. พูดง่ายๆ 3 3 3 เท่ากับการร่วมเพศไม่ใช่ 27 3 แต่เหมือนกัน 3 27 . คุณเห็นไหม เพื่อนตัวน้อยที่โง่เขลาของฉัน tetration นั้นเป็นสัญกรณ์ที่ค่อนข้างทรงพลังอยู่แล้ว ซึ่งทำให้คุณสามารถเขียนตัวเลขที่ใหญ่กว่า 100500 ได้ 100500 เท่า ด้วยนิพจน์สั้นๆ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด เพราะมันไม่ใช่ไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ที่ทรงพลังพอที่จะ คำนวณเลขของเกรแฮม

3 . ไปกันเถอะ: ไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ระดับที่ห้าคือการถูกคุมขัง (tetration ซ้ำ) สามลูกศรระหว่างตัวเลข นี่คือจุดเริ่มต้นของความสัมพันธ์ ซึ่งคนที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์มืออาชีพถ่มน้ำลายใส่เรื่องไร้สาระพวกนี้และไม่พยายามเข้าใจมันอีกต่อไป แต่คุณไม่เหมือนพวกเขาใช่ไหม ถ้าคุณคิดว่าการกักขังของหมายเลข 3 ถูกแบ่งออกเป็น 3 ยกกำลัง 7 625 597 484 987 แสดงว่าคุณคิดผิด คุณไม่รู้หรอกว่าคุณผิดแค่ไหน สำหรับ 3 ยกกำลัง 7 625 597 484 987 มีเพียง 34 และเพนชั่นคือ 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…( จำนวนยกกำลัง - 7,625,597,484,987 ครั้ง)…3. นั่นคือได้หอคอยพลังงานสามชั้นที่มีความสูงมากกว่าเจ็ดและครึ่งล้านล้านชั้น! กล่าวอีกนัยหนึ่ง หลักที่สองต่อหน้าลูกศรสามตัวหมายความว่าหอคอย tetration ของหลักแรกจะสูงแค่ไหน. เพื่อความชัดเจน: 34 สามารถเขียนเป็น 3 3 3 3 หรือ 3 (3 (3 3)) และที่นี่สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหอคอย tetrations นี้ไม่ใช่หอคอยแห่งองศา การยกระดับเร็วขึ้นมาก 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3. เข้าใจไหม 34 เท่ากับ 3 ในการเทเตชันของจำนวนที่เป็นผลจากการคำนวณหอพลังงานจากเลข 3 ที่มีความสูง 7,625,597,484,987 ชั้น ดังนั้น ถ้า 34 ถูกเขียนเป็น power tower of triples จำนวนชั้นใน Tower นี้จะเท่ากับจำนวนที่จะได้รับเมื่อคำนวณ power Tower ที่มีความสูง 7,625,597,484,987 ชั้น แนะนำตัว? แน่นอนว่าฉันไม่ได้นำเสนอปริมาณดังกล่าวไม่สามารถเข้าใจได้ด้วยการถดถอย

หากคุณยังคงเริ่มไม่เข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้นที่นี่อย่างช้าๆ ให้อ่านวรรค 2 อีกครั้ง

4 . และไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์สุดท้ายที่เราต้องการคือ hexation อย่างที่คุณอาจเดาได้ ลูกศรสี่ลูกระหว่างสามลูก จึงเป็นการลงโทษซ้ำแล้วซ้ำเล่า ตัวเลขที่สองต่อหน้าลูกศรสี่อันหมายความว่าหอคอย "กักขัง" จะสูงแค่ไหน. 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33 โดยที่จำนวน tetrations เป็นผลมาจากการคำนวณการคุมขัง 33. หากคุณไม่เข้าใจอะไรอีกให้อ่านย่อหน้าที่ 3 และ 2 อีกครั้ง หากเราย้ายไปที่ จุดสิ้นสุดของห่วงโซ่ tetrations ที่คิดไม่ถึงและเริ่มคำนวณ จากนั้นสามเท่าที่สองจากจุดสิ้นสุดจะอยู่ใน tetration เท่ากับ 7 625 597 484 987 และผลลัพธ์ของ tetration ของสามที่สามจากจุดสิ้นสุดจะเป็นตัวเลข ได้มาจากการถูกกักขังสามคนในวรรคก่อน และต่อหน้าเราคือ googolplexes และ googolplexes ของ tetrations ซ้ำ ๆ ของหมายเลข 3 มันไม่มีประโยชน์แล้วที่จะพยายามทำความเข้าใจบางสิ่ง แต่อย่างใดครอบคลุมผลลัพธ์ ... และที่นี่คุณอาจถามว่า:“ นี่เป็นหมายเลขของ Graham จริงหรือ? ว้าว ใหญ่จัง!” แต่ไม่ใช่ มันไม่ใช่เบอร์ของเกรแฮม มันเป็นเพียงคำใบ้ทางคณิตศาสตร์ และมันเล็กน้อยมาก น้อยมากเมื่อเทียบกับตัวเลขของ Graham

มันคือรูปหกเหลี่ยม นี่เป็นเพียงการเพิ่มลูกศรหนึ่งลูกในการคุมขัง แต่ผลที่ได้คือจำนวนลำดับความสำคัญที่สูงกว่าที่คาดไม่ถึง และตอนนี้ อันที่จริง การคำนวณเลขเกรแฮม ตัวเลขสามในตัวอย่างถูกใช้เพื่อเหตุผล เพราะตัวเลขของเกรแฮมเป็นเลขสามตัวคูณโดยพื้นฐานแล้ว ลองเรียกผลลัพธ์ของ hexation (33) G1 ของเรา นี่จะเป็นขั้นตอนการคำนวณแรก เฉพาะครั้งแรกเท่านั้น และขั้นตอนต่อไปจะเร่งความเร็วของความคืบหน้าเพื่อให้การเพิ่มลูกศรหนึ่ง สิบ ล้านระหว่างตัวเลขเป็นเครื่องหมายเวลา ขั้นตอนที่สอง การคำนวณ G2 ตอนนี้เราใช้ผลลัพธ์ของ hexatization ของสามเท่า และเขียนนิพจน์โดยที่จำนวนของลูกศร superdegree จะเท่ากับผลลัพธ์นี้ G2 = 3…(จำนวนลูกศรมหาอำนาจ - G1)…3. ฉันสงสัยว่า hyperoperator ระดับ SUCH เรียกว่าอะไร?.. การบันทึกไม่เพียงแต่ผลลัพธ์ แต่แม้แต่ Hyperoperator นี้ก็ไม่สามารถทำได้อีกต่อไปหากไม่มีการลดขนาด และจำนวนที่เกิดจากการคำนวณของมัน (หากแน่นอน มันสามารถคำนวณได้) จะเติมด้วยตัวเลขของจักรวาล โลกคู่ขนาน และสเปซย่อย และดาวอื่นๆ และอย่าลืมว่าใน G1 จำนวนลูกศรเท่ากับ 4! และนี่เป็นตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณและบันทึกได้ตามปกติอยู่แล้ว! และใน G2 ตัวเลขนี้เป็นเพียงจำนวน superdegrees เท่านั้น แค่นั้นแหละ. ความก้าวหน้าเป็นไปอย่างรวดเร็วอย่างไม่น่าเชื่อ และนี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้น ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณจำนวน G3 โดยที่จำนวนลูกศรมหาอำนาจจะเท่ากับ G2! และในทำนองเดียวกัน มีอีก 62 ขั้นตอนการคำนวณหลังจากนั้น ซึ่งผลลัพธ์ของแต่ละขั้นตอนจะเป็นเพียงจำนวนลูกศรมหาอำนาจของขั้นตอนต่อไป และหมายเลขของเกรแฮมคือ G64!

Vaistenu บางครั้งมาทันก็แย่กว่ายาตัวไหนๆ

ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถเขียนด้วยสัญกรณ์ทศนิยมได้ ใช่ เราจำเป็นต้องมีนาโนดินสอและทั้งจักรวาล แต่ในทางทฤษฎี อย่างน้อยเราก็สามารถจินตนาการได้ว่าเราจะเขียนมันอย่างไร แต่การนับไม่ได้จบเพียงแค่นั้น และเบื้องหลัง googolplexes, googolplexes จนถึงระดับของ googolplexes และ factorials ของความดีทั้งหมดนี้มีสัตว์ประหลาดอาศัยอยู่ที่เป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการหรือเข้าใจ ในเวลาเดียวกัน สัตว์ประหลาดเหล่านี้เป็นคำตอบสำหรับงานที่ค่อนข้างเจาะจงและมีความหมายในทางปฏิบัติ

เบื้องต้น
เมื่อถึงจุดหนึ่ง เราจะหมดโอกาสในการเขียนตัวเลข อันดับแรก เราจะใช้สัญกรณ์ทศนิยม จากนั้นบวกและคูณ จากนั้นเราจะเขียนตัวเลขเป็นยกกำลัง แล้วจึงเขียนเป็นเสากำลัง แต่สำหรับตัวเลขที่จะกล่าวถึงต่อไป เราจะไม่มีจักรวาลเพียงพออีกต่อไป (และพหุภพด้วย) ให้จดหอพลังงานราวกับว่าขนาดของแต่ละหลักเป็นของพลังค์!

เอาล่ะเพื่อน ๆ มาเริ่มกันเลย:
นี่คือการเพิ่ม: a + b = a + 1 + 1 + ... และอื่น ๆ b ครั้ง;
นี่คือการคูณ: a × b = a + a + a + ... เป็นต้น b ครั้ง;
นี่คือระดับ: a b = a × a × a × ... และอื่น ๆ b ครั้ง;

จนถึงตอนนี้ ฟังก์ชันเติบโตค่อนข้างอืดๆ และจากนั้นเราก็ใช้ได้เฉพาะเสาพลังงาน: b a = a a a a ... , และหลังจากนั้น วิธีเขียนตัวเลขที่คนส่วนใหญ่มีความคิดจะสิ้นสุด ดังนั้นในการเขียนตัวเลขที่น่าทึ่งอย่างแท้จริงจึงใช้สัญลักษณ์อื่น - ลูกศรเขียนโดย Donald Knuth

สัญกรณ์ลูกศร Knuth
a b \u003d a b \u003d a × a × a × ... และดังนั้น b ครั้ง - นี่เป็นที่เข้าใจได้

A b = a (a b) เช่น a (a (... b คูณ... a)) เป็นหอคอยพลังงาน จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่เราต้องการตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจคำสั่ง:
3 2 = 3 3 = 27;
3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987;
3 4 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 7 625 597 484 987 (เครื่องคิดเลขมาตรฐานให้ข้อผิดพลาดแล้ว);
3 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987

ฟังนะ ฟังก์ชันเติบโตเร็วมาก เมื่อข้อโต้แย้งข้อใดข้อหนึ่งเปลี่ยน "ทีละข้อ" เราได้ก้าวข้าม googolplex แล้ว แต่นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นเท่านั้น

a b = a (a (... b คูณ... a)) นั่นคือ
3 3 \u003d 3 (3 3) \u003d 3 7 625 597 484 987 \u003d 3 3 ... 7 625 597 484 987 ครั้ง ... 3 . เพื่อทำความเข้าใจขนาดของโศกนาฏกรรม: หอคอยอันเงียบสงบของแฝดสามสูงเท่าดาวอังคาร ฉันเน้นด้วยสีแดง: ไม่ใช่ตัวเลขที่ยาวเท่าดาวอังคาร แต่เป็นความสูงของหอคอยที่มีองศาถึงดาวอังคาร เป็นไปไม่ได้ที่จะเข้าใจและจินตนาการว่ามันแบ่งเป็นชิ้น ๆ มากแค่ไหน คุณทำได้เพียงผ่อนคลายและสนุกสนาน แต่ฉันเตือนคุณด้วยความซาดิสม์เล็กน้อยว่า 3 5 ถูก googolplex ทำสำเร็จ และ 3 9 ไม่สามารถคำนวณได้เลย ด้วยพลังทั้งหมดของคอมพิวเตอร์ในโลกนี้

หอสูง 3 3

3 4 - อึนี้เป็นการล้อเลียนสามัญสำนึกที่หน้าด้านอยู่แล้ว หากก่อนหน้านี้ ยังมีความเป็นไปได้ที่จะลองจินตนาการว่าหอคอยพลังงานสามเท่าของดาวอังคารจะมีลักษณะเป็นอย่างไรและแสร้งทำเป็นว่าสามารถรับรู้ตัวเลขดังกล่าวได้ก็เท่านั้น จักรวาลหลายแห่งไม่เพียงพอต่อการจัดระเบียบหอคอย 7,625,597,484,987 หอคอยไปยังดาวอังคารอีกต่อไป แต่อย่างไรก็ตาม ในขณะที่เรายังคงดำเนินการกับบางหมวดหมู่เป็นอย่างน้อย แล้วจบเพราะ...

จาก g 1 ถึงเลขของ Graham
ข. หรือ a(a(...b ครั้ง...a)) ไม่มีเหตุผลที่จะตระหนัก เป็นตัวแทน และอธิบาย 3 3 ใดๆ (และนี่คือตัวเลข g1) ไม่มีอะไรจะเปรียบเทียบได้ ความคล้ายคลึงกันกลายเป็นสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้อง และใครๆ ก็สามารถประดิษฐ์คำคุณศัพท์ได้เท่านั้น

แล้วอย่างที่คุณเดา มันจะเป็น a b หรือ 5 b ไปเรื่อยๆ ในเวลาเดียวกัน สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าลูกศรใหม่แต่ละอันจะเพิ่มการเติบโตอย่างรวดเร็ว ไม่ใช่ของตัวมันเอง แต่เป็นคำอธิบายของความสูงของหอพลังงาน ซึ่งใช้ในการเขียนหมายเลขนี้ งั้นเรานั่งลงและดำเนินการต่อ

ดังนั้นจำนวน g 1 คือ 3 3 และ g 2 ไม่ใช่ 3 3 แต่ 3 g 1 3. ปัง! นั่นคือเกมนี้ทั้งหมดต้องการเพื่อแสดงจำนวนลูกศรในหมายเลข g 2 เท่านั้น แต่แล้วมันจะเป็น g 3 = 3 g 2 3 และเพื่อที่จะพักจากสัตว์ประหลาดเหล่านี้ เราจำเป็นต้องพูดนอกเรื่องเล็กน้อยและบอกคุณว่าทำไมถึงต้องการ "zhe" เหล่านี้ทั้งหมด มันจำเป็น แต่ฉันไม่เข้าใจปัญหาที่เรียกว่าเกรแฮม หรือมากกว่านั้น ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมมันถึงจำเป็น แต่ฉันจะพยายามอธิบายมัน

มีลูกบาศก์ซึ่งจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของสีแดงหรือสีน้ำเงิน ต้องเลือกสีของเซ็กเมนต์เพื่อที่ ไม่ได้ผล,ว่าจุดยอด 4 จุดที่วางอยู่บนระนาบเดียวกันนั้นเชื่อมต่อกันด้วยส่วนที่มีสีเดียวกัน (ดูรูปด้านล่าง ด้านล่างคือผลลัพธ์จากการรวมสีของเซ็กเมนต์เข้าด้วยกัน) ไม่ควร).

ลูกบาศก์แสดง "ปัญหาของเกรแฮม"

สำหรับลูกบาศก์ 3 มิติธรรมดา ปัญหาได้รับการแก้ไข ถ้าไม่อยู่ในใจ ให้สร้างทางเรขาคณิตบนกระดาษ สำหรับลูกบาศก์ 4 มิติ คุณต้องใช้ combinatorics อยู่แล้ว สำหรับ 5 มิติ และ 6 มิติด้วย และอื่น ๆ จนถึงลูกบาศก์ 13 มิติ: นี่คือขีด จำกัด ล่างของมิติลูกบาศก์ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นไปได้ที่จะเลือกสีที่คล้ายคลึงกันของส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดแม้ว่า Graham เองก็หลงทางไปแล้ว บนมิติ 7 มิติ แต่สิ่งที่เกี่ยวกับขอบเขตบน? เกรแฮมในการพิสูจน์ของเขาว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้ระหว่าง 6 และจำนวนมาก นั่นคือในช่วงของการวัดลูกบาศก์จะมีช่วงหนึ่งที่ไม่สามารถระบายสีส่วนต่างๆ ได้เพื่อให้เงื่อนไขของปัญหาเป็นจริง "ตัวเลขจำนวนมาก" นั้นเรียกว่าหมายเลขเกรแฮม และค่าของมันคือ G = g 64 = 3 g 63 3

บันทึกรายละเอียดของหมายเลขเกรแฮม

ผ้าม่าน! แม้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเป็นไปได้มากขึ้น? ไม่ ไม่ใช่ในแง่ของ G + 1 หรือ G G G แต่เพื่อให้ตัวเลขนี้ใช้ทำอะไรได้บ้าง? และมีตัวเลขดังกล่าว ยิ่งกว่านั้นพวกเขาทำ G ในลักษณะเดียวกับที่ครั้งหนึ่งบางคนฉี่ g 1 ทำ googolplex ที่จุดเริ่มต้นของการคำนวณ

หมายเลขระยอง
โดยทั่วไป เป็นที่น่าสังเกตว่าแม้แต่เลขของ Graham ก็ยังถูกดูดออกจากนิ้วที่ 21 ใครและทำไมในใจที่ถูกต้องอาจต้องการฉันไม่มีความคิด และฉันไม่สามารถจินตนาการได้เลยว่าเป็นไปได้ในทางทฤษฎีหรือไม่ที่สักวันหนึ่งคนในใจที่ถูกต้องของพวกเขาจะต้องการมัน แต่ก็ยังเป็นสัญลักษณ์ นี่เป็นจำนวนที่มากที่สุดตัวแรกที่ปรากฎในการพิสูจน์อะไรบางอย่าง และมีเพียงการแข่งขันทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่จะเขียนฟังก์ชันที่เติบโตเร็วที่สุด คุณให้ G! และฉันให้คุณ G G และคนอื่นจะให้กำเนิด G 1 = G G G และจะดำเนินการต่อไป แน่นอน แต่บางอย่างเช่นนั้นเกิดขึ้น และหากหมายเลข Graham ดั้งเดิมมีความหมายเชิงปฏิบัติ เรือแคนูที่ตามมาทั้งหมดก็กลายเป็นการแข่งขันเพื่อการเติบโตของฟังก์ชัน ปรับระดับความยิ่งใหญ่ของตัวเลข ซึ่งแม้แต่ในตอนเริ่มต้น ของการคำนวณนั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการหรือเข้าใจ

อันที่จริง ปัญหาทั้งหมดยังคงอยู่ในวิธีการบันทึกเท่านั้น จากเสาพลังงานมีการเปลี่ยนแปลงไปสู่สัญกรณ์ของ Knuth ซึ่งทำให้อย่างน้อยสามารถอธิบายหมายเลขของ Graham ได้ จากนั้นก็มีโซ่คอนเวย์ สัญกรณ์ขนาดใหญ่และเมทริกซ์ และนั่นคือทั้งหมดที่ทำให้คุณสามารถอธิบายจำนวนที่มากได้ตามอำเภอใจ เมื่อปัญหาของจำนวนของลูกศรแบบมีเงื่อนไขเกิดขึ้นสำหรับสัญกรณ์ก่อนหน้า ฉันจะไม่อธิบายที่นี่ อย่างน้อยก็ในตอนนี้ ถึงกระนั้น ฉันขอเตือนคุณว่าบทความชุดหนึ่งเกี่ยวกับคนจำนวนมากนั้นเป็นข้อมูลและให้ความบันเทิงโดยธรรมชาติ และฉันไม่ต้องการทำให้มันกลายเป็นอะไร

เมทริกซ์หลายมิติบางชนิด

ส่งผลให้เกมนี้ทั้งหมดมาถึงหมายเลขของ Rayo นี่เป็นปรัชญาที่บริสุทธิ์อยู่แล้ว ซึ่งได้มาจากการแข่งขันทางคณิตศาสตร์สำหรับการเขียนจำนวนที่มากที่สุดบนพื้นที่จำกัดบนกระดาน โดยไม่ต้องใช้อินฟินิตี้และเทคนิคใดๆ เช่น "จำนวนที่มากที่สุดบวกหนึ่ง" ผลก็คือ ปรากฎว่าจำนวน Rayo เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่มากกว่าจำนวนจำกัดใดๆ ที่กำหนดไว้ในภาษาของทฤษฎีเซต โดยใช้สัญลักษณ์ googol หรือน้อยกว่า หากคุณเข้าใจลำดับของตัวเลขนี้ หรืออย่างน้อยคือขอบเขตล่างของตัวเลข Rayo แสดงว่าคุณเป็นนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ และไม่ชัดเจนว่าทำไมคุณถึงอ่านมาไกลขนาดนี้ หรืออย่างฉัน คุณกำลังโกหกว่าอย่างน้อยก็มีบางอย่างที่เข้าใจ

และตอนนี้อารมณ์ดีกับคุณและสิ่งที่ดีที่สุด ในซีรีส์ถัดไป เราจะไปไกลกว่าอินฟินิตี้ และที่นั่นจะยังคงเมตตาและสนุกมากขึ้น แม้ว่าจะค่อนข้างเข้าใจง่ายกว่าตัวเลข Rayo เดิมก็ตาม หรือไม่.