สูตรทั่วไปสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

หัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์" ได้รับการศึกษาในหลักสูตรทั่วไปของพีชคณิตในโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หัวข้อนี้มีความสำคัญสำหรับการศึกษาเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอนุกรมจำนวน ในบทความนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่าง ตลอดจนงานทั่วไปที่เด็กนักเรียนอาจเผชิญ

แนวคิดของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิต

ความก้าวหน้าทางตัวเลขคือลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาสามารถหาได้จากองค์ประกอบก่อนหน้า หากใช้กฎทางคณิตศาสตร์บางข้อ ความก้าวหน้าอย่างง่ายมีสองประเภท: เรขาคณิตและเลขคณิตซึ่งเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิต มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกันดีกว่า

ลองนึกภาพจำนวนตรรกยะ แทนด้วยสัญลักษณ์ a 1 โดยที่ดัชนีจะระบุเลขลำดับของมันในชุดที่พิจารณา ลองบวกจำนวนอื่นใน 1, ลองแสดงว่า d จากนั้นองค์ประกอบที่สองของชุดข้อมูลสามารถสะท้อนได้ดังนี้: a 2 = a 1 + d ทีนี้บวก d อีกครั้ง เราได้: a 3 = a 2 + d ต่อการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นี้ คุณจะได้ตัวเลขทั้งชุด ซึ่งจะเรียกว่าการก้าวหน้าเลขคณิต

ดังที่เข้าใจได้จากด้านบน ในการหาองค์ประกอบที่ n ของลำดับนี้ คุณต้องใช้สูตร: a n = a 1 + (n-1) * d อันที่จริง การแทนที่ n=1 ลงในนิพจน์ เราจะได้ 1 = a 1 ถ้า n = 2 สูตรจะมีความหมายว่า a 2 = a 1 + 1*d เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น หากผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 5 และ a 1 \u003d 1 หมายความว่าชุดตัวเลขของประเภทที่เป็นปัญหาจะมีลักษณะดังนี้: 1, 6, 11, 16, 21, ... อย่างคุณ เห็นว่าสมาชิกแต่ละคนมีมากกว่าก่อนหน้านี้ 5 คน

สูตรความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

จากคำจำกัดความข้างต้นของชุดตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณา คุณจำเป็นต้องรู้ตัวเลขสองตัว: a 1 และ d เพื่อกำหนด หลังเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้านี้ โดยจะกำหนดพฤติกรรมของซีรีส์ทั้งหมดโดยเฉพาะ อันที่จริง ถ้า d เป็นค่าบวก ชุดตัวเลขจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ในทางกลับกัน ในกรณีของค่าลบ d ตัวเลขในชุดจะเพิ่มขึ้นเฉพาะโมดูโล ในขณะที่ค่าสัมบูรณ์จะลดลงเมื่อจำนวน n เพิ่มขึ้น

ความแตกต่างระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร? พิจารณาสองสูตรหลักที่ใช้ในการคำนวณค่านี้:

d = a n+1 -a n สูตรนี้เป็นไปตามคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่พิจารณาโดยตรง
d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1) นิพจน์นี้ได้มาจากการแสดง d จากสูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ โปรดทราบว่านิพจน์นี้จะไม่แน่นอน (0/0) ถ้า n=1 เนื่องจากจำเป็นต้องรู้อย่างน้อย 2 องค์ประกอบของซีรีส์เพื่อกำหนดความแตกต่าง

สูตรพื้นฐานทั้งสองนี้ใช้เพื่อแก้ปัญหาใดๆ ในการค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า อย่างไรก็ตาม มีอีกสูตรหนึ่งที่คุณต้องรู้ด้วย

ผลรวมขององค์ประกอบแรก

สูตรซึ่งสามารถใช้เพื่อกำหนดผลรวมของสมาชิกจำนวนเท่าใดก็ได้ของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิตตามหลักฐานทางประวัติศาสตร์ ได้มาจาก "เจ้าชาย" แห่งคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ XVIII เป็นครั้งแรก คาร์ล เกาส์ นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันที่อายุยังน้อยในชั้นประถมศึกษาของโรงเรียนในหมู่บ้านสังเกตว่าในการเพิ่มจำนวนธรรมชาติในชุดตั้งแต่ 1 ถึง 100 คุณต้องรวมองค์ประกอบแรกและองค์ประกอบสุดท้าย (ค่าผลลัพธ์จะเท่ากัน) ผลรวมขององค์ประกอบสุดท้ายและองค์ประกอบที่สอง องค์ประกอบสุดท้ายและองค์ประกอบที่สาม เป็นต้น) จากนั้นจำนวนนี้ควรคูณด้วยจำนวนของผลรวมเหล่านี้ นั่นคือ 50

สูตรที่สะท้อนผลลัพธ์ที่ระบุไว้ในตัวอย่างหนึ่งๆ สามารถสรุปให้เป็นกรณีทั่วไปได้ จะมีลักษณะดังนี้: S n = n/2*(a n + a 1) โปรดทราบว่าในการค้นหาค่าที่ระบุ ไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับความแตกต่าง d หากทราบสมาชิกสองคนของความก้าวหน้า (a n และ a 1)

ตัวอย่าง # 1 กำหนดความแตกต่างโดยรู้สองเทอมของอนุกรม a1 และ an

เราจะแสดงวิธีการใช้สูตรที่ระบุไว้ข้างต้นในบทความ ให้ยกตัวอย่างง่ายๆ: ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่เป็นที่รู้จัก มีความจำเป็นต้องกำหนดว่าจะเท่ากับเท่าใดหาก 13 \u003d -5.6 และ 1 \u003d -12.1

เนื่องจากเราทราบค่าของสององค์ประกอบของลำดับตัวเลข และหนึ่งในนั้นคือตัวเลขแรก เราจึงสามารถใช้สูตรหมายเลข 2 เพื่อกำหนดความแตกต่าง d ได้ เรามี: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167 ในนิพจน์ เราใช้ค่า n=13 เนื่องจากสมาชิกที่มีเลขลำดับนี้เป็นที่รู้จัก

ผลต่างที่เกิดขึ้นบ่งชี้ว่าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้น แม้ว่าองค์ประกอบที่ให้ไว้ในเงื่อนไขของปัญหาจะมีค่าเป็นลบก็ตาม จะเห็นได้ว่า 13 >a 1 แม้ว่า |a 13 |<|a 1 |.

ตัวอย่าง # 2 เงื่อนไขความก้าวหน้าเชิงบวกในตัวอย่าง #1

ลองใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับในตัวอย่างก่อนหน้าเพื่อแก้ปัญหาใหม่ มีสูตรดังนี้ องค์ประกอบของความก้าวหน้าในตัวอย่างที่ 1 เริ่มรับค่าบวกจากเลขลำดับใด

ดังที่แสดงไว้ ความก้าวหน้าที่ a 1 = -12.1 และ d = 0.54167 กำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นจากจำนวนหนึ่ง ตัวเลขจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น ในการหาจำนวน n นี้ จำเป็นต้องแก้สมการง่าย ๆ ซึ่งเขียนทางคณิตศาสตร์ดังนี้: a n>0 หรือโดยใช้สูตรที่เหมาะสม เราจะเขียนความไม่เท่าเทียมกันใหม่: a 1 + (n-1)*d>0 จำเป็นต้องค้นหา n ที่ไม่รู้จัก มาแสดงออกกันเถอะ: n>-1*a 1 /d + 1 ตอนนี้ยังคงแทนที่ค่าที่ทราบของความแตกต่างและสมาชิกตัวแรกของลำดับ เราได้รับ: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 หรือ n>23.338 เนื่องจาก n รับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็ม มันจึงตามมาจากอสมการที่ได้รับว่าพจน์ใดๆ ของอนุกรมที่มีตัวเลขมากกว่า 23 จะเป็นค่าบวก

ลองตรวจสอบคำตอบของเราโดยใช้สูตรด้านบนเพื่อคำนวณองค์ประกอบที่ 23 และ 24 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ เรามี: 23 \u003d -12.1 + 22 * 0.54167 \u003d -0.18326 (จำนวนลบ); 24 \u003d -12.1 + 23 * 0.54167 \u003d 0.3584 (ค่าบวก) ดังนั้น ผลลัพธ์ที่ได้จึงถูกต้อง: เริ่มตั้งแต่ n=24 สมาชิกทั้งหมดของชุดตัวเลขจะมากกว่าศูนย์

ตัวอย่าง #3 กี่บันทึกจะพอดี?

นี่คือปัญหาที่น่าสนใจประการหนึ่ง: ในระหว่างการตัดไม้ ได้มีการตัดสินใจวางท่อนซุงที่ตัดแล้วไว้ทับกันดังแสดงในรูปด้านล่าง วิธีนี้สามารถซ้อนบันทึกได้กี่รายการ โดยรู้ว่าจะมีทั้งหมด 10 แถว

ด้วยวิธีบันทึกการพับแบบนี้ จะสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: แต่ละแถวที่ตามมาจะมีบันทึกน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้าหนึ่งรายการ นั่นคือ มีความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิต ซึ่งความแตกต่างคือ d=1 สมมติว่าจำนวนบันทึกในแต่ละแถวเป็นสมาชิกของความก้าวหน้านี้ และพิจารณาด้วยว่า 1 = 1 (มีเพียงบันทึกเดียวเท่านั้นที่จะพอดีกับด้านบนสุด) เราจะพบหมายเลข 10 เรามี: a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10 นั่นคือในแถวที่ 10 ซึ่งอยู่บนพื้นจะมี 10 บันทึก

จำนวนทั้งหมดของการก่อสร้าง "พีระมิด" นี้สามารถหาได้โดยใช้สูตรเกาส์ เราได้รับ: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 บันทึก

เมื่อเรียนพีชคณิตในโรงเรียนมัธยมศึกษา (เกรด 9) หนึ่งในหัวข้อที่สำคัญคือการศึกษาลำดับตัวเลข ซึ่งรวมถึงความก้าวหน้า - เรขาคณิตและเลขคณิต ในบทความนี้ เราจะพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหา

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งนี้ จำเป็นต้องให้คำจำกัดความของความก้าวหน้าที่กำลังพิจารณา รวมทั้งกำหนดสูตรพื้นฐานที่จะนำไปใช้ในการแก้ปัญหาต่อไป

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตคือชุดของจำนวนตรรกยะที่มีลำดับ ซึ่งสมาชิกแต่ละคนจะแตกต่างจากจำนวนก่อนหน้าด้วยจำนวนคงที่ ค่านี้เรียกว่าความแตกต่าง นั่นคือ เมื่อทราบสมาชิกของชุดตัวเลขที่เรียงลำดับและส่วนต่าง คุณจะสามารถกู้คืนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดได้

ลองมาดูตัวอย่างกัน ลำดับของตัวเลขถัดไปจะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: 4, 8, 12, 16, ... เนื่องจากความแตกต่างในกรณีนี้คือ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) แต่ชุดของตัวเลข 3, 5, 8, 12, 17 ไม่สามารถนำมาประกอบกับประเภทของความก้าวหน้าที่พิจารณาได้อีกต่อไปเนื่องจากความแตกต่างสำหรับมันไม่ใช่ค่าคงที่ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

สูตรสำคัญ

ตอนนี้เราให้สูตรพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้ n แทนสมาชิกที่ n ของลำดับ โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม ความแตกต่างแสดงด้วยอักษรละติน d นิพจน์ต่อไปนี้เป็นจริง:

ในการกำหนดค่าของเทอมที่ n สูตรนี้เหมาะสม: a n \u003d (n-1) * d + a 1
การหาผลรวมของ n เทอมแรก: S n = (a n + a 1)*n/2

เพื่อทำความเข้าใจตัวอย่างใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีแก้ปัญหาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ก็เพียงพอที่จะจำสูตรทั้งสองนี้เนื่องจากปัญหาใด ๆ ของประเภทที่เป็นปัญหานั้นสร้างขึ้นจากการใช้งาน นอกจากนี้ อย่าลืมว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยสูตร: d = a n - a n-1 .

ตัวอย่าง #1: ค้นหาสมาชิกที่ไม่รู้จัก

เรายกตัวอย่างง่ายๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และสูตรที่ต้องใช้ในการแก้

ให้ลำดับ 10, 8, 6, 4, ... จำเป็นต้องหาห้าคำในนั้น

เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหาที่ทราบ 4 เงื่อนไขแรกแล้ว ที่ห้าสามารถกำหนดได้สองวิธี:

มาคำนวณส่วนต่างกันก่อน เรามี: d = 8 - 10 = -2 ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเอาอีกสองคำที่อยู่ติดกันได้ ตัวอย่างเช่น d = 4 - 6 = -2 เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่า d \u003d a n - a n-1 จากนั้น d \u003d a 5 - a 4 จากตำแหน่งที่เราได้รับ: a 5 \u003d a 4 + d เราแทนค่าที่ทราบ: a 5 = 4 + (-2) = 2
วิธีที่สองยังต้องมีความรู้เกี่ยวกับความแตกต่างของความก้าวหน้าที่เป็นปัญหา ดังนั้นคุณต้องพิจารณาก่อน ดังที่แสดงไว้ด้านบน (d = -2) เมื่อรู้ว่าเทอมแรก a 1 = 10 เราใช้สูตรสำหรับจำนวน n ของลำดับ เรามี: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n แทนที่ n = 5 ในนิพจน์สุดท้าย เราได้: a 5 = 12-2 * 5 = 2

อย่างที่คุณเห็น โซลูชันทั้งสองนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ความแตกต่าง d ของความก้าวหน้าเป็นลบ ลำดับดังกล่าวเรียกว่าการลดลงเนื่องจากแต่ละเทอมที่ต่อเนื่องกันนั้นน้อยกว่าลำดับก่อนหน้า

ตัวอย่าง #2: ความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ให้ตัวอย่างวิธีการ

เป็นที่ทราบกันว่าในบางเทอมที่ 1 เท่ากับ 6 และเทอมที่ 7 เท่ากับ 18 จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างและคืนค่าลำดับนี้เป็นเทอมที่ 7

ลองใช้สูตรเพื่อหาคำที่ไม่รู้จัก: a n = (n - 1) * d + a 1 . เราแทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไขลงในนั้นนั่นคือตัวเลข a 1 และ 7 เรามี: 18 \u003d 6 + 6 * d จากนิพจน์นี้ คุณสามารถคำนวณความแตกต่างได้อย่างง่ายดาย: d = (18 - 6) / 6 = 2 ดังนั้น ส่วนแรกของปัญหาจึงได้รับคำตอบ

ในการคืนค่าลำดับไปยังสมาชิกที่ 7 คุณควรใช้คำจำกัดความของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิต นั่นคือ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d เป็นต้น ด้วยเหตุนี้ เราจึงคืนค่าลำดับทั้งหมด: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , 6 = 14 + 2 = 16 และ 7 = 18

ตัวอย่าง #3: ความก้าวหน้า

ให้เราทำให้สภาพของปัญหาซับซ้อนยิ่งขึ้นไปอีก ตอนนี้คุณต้องตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถยกตัวอย่างต่อไปนี้: ให้ตัวเลขสองตัว ตัวอย่างเช่น 4 และ 5 จำเป็นต้องสร้างความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อให้คำศัพท์อีกสามคำพอดีระหว่างสิ่งเหล่านี้

ก่อนที่จะเริ่มแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องเข้าใจก่อนว่าตัวเลขที่ระบุจะอยู่ที่ตำแหน่งใดในอนาคต เนื่องจากจะมีคำศัพท์เพิ่มเติมอีกสามคำระหว่างกัน 1 \u003d -4 และ 5 \u003d 5 เมื่อสร้างสิ่งนี้แล้วเราจึงดำเนินการกับงานที่คล้ายกับก่อนหน้านี้ อีกครั้ง สำหรับเทอมที่ n เราใช้สูตร เราได้: a 5 \u003d a 1 + 4 * d จาก: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ในที่นี้ ความแตกต่างไม่ใช่ค่าจำนวนเต็ม แต่เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นสูตรสำหรับความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิตจึงยังคงเหมือนเดิม

ตอนนี้ มาเพิ่มความแตกต่างที่พบให้กับ 1 และกู้คืนสมาชิกที่ขาดหายไปของความคืบหน้า เราได้รับ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, ซึ่งตรงกับสภาพของปัญหา

ตัวอย่าง #4: สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า

เรายังคงยกตัวอย่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมวิธีแก้ปัญหา ในปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมด ทราบจำนวนแรกของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิต ตอนนี้ให้พิจารณาปัญหาประเภทอื่น: ให้ตัวเลขสองตัวโดยที่ 15 = 50 และ 43 = 37 จำเป็นต้องค้นหาจากหมายเลขใดที่ลำดับนี้เริ่มต้น

สูตรที่ใช้จนถึงตอนนี้ถือว่าความรู้ของ 1 และ d ไม่ทราบตัวเลขเหล่านี้ในสภาพของปัญหา อย่างไรก็ตาม ลองเขียนนิพจน์สำหรับแต่ละเทอมที่เรามีข้อมูล: a 15 = a 1 + 14 * d และ a 43 = a 1 + 42 * d เราได้สมการสองสมการที่มี 2 ปริมาณที่ไม่ทราบค่า (a 1 และ d) ซึ่งหมายความว่าปัญหาจะลดลงเป็นการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบที่ระบุจะแก้ได้ง่ายที่สุดหากคุณแสดง 1 ในแต่ละสมการ แล้วเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์ สมการแรก: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; สมการที่สอง: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d เท่ากับนิพจน์เหล่านี้เราได้รับ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d ดังนั้นความแตกต่าง d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (ให้ทศนิยม 3 ตำแหน่งเท่านั้น)

เมื่อทราบ d คุณสามารถใช้นิพจน์ 2 นิพจน์ข้างต้นสำหรับ 1 ได้ ตัวอย่างเช่น อันดับแรก: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ คุณสามารถตรวจสอบได้ เช่น กำหนดสมาชิกลำดับที่ 43 ของความคืบหน้า ซึ่งระบุไว้ในเงื่อนไข เราได้รับ: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ข้อผิดพลาดเล็กน้อยเกิดจากการใช้การปัดเศษเป็นพันในการคำนวณ

ตัวอย่าง #5: รวม

ทีนี้มาดูตัวอย่างพร้อมคำตอบสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

ให้ความก้าวหน้าเชิงตัวเลขของแบบฟอร์มต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4, ...,. วิธีการคำนวณผลรวมของ 100 ตัวเลขเหล่านี้?

ต้องขอบคุณการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ กล่าวคือ บวกตัวเลขทั้งหมดตามลำดับ ซึ่งคอมพิวเตอร์จะทำทันทีที่มีผู้กดปุ่ม Enter อย่างไรก็ตาม ปัญหาสามารถแก้ไขได้ทางจิตหากคุณให้ความสนใจว่าชุดตัวเลขที่นำเสนอนั้นเป็นความก้าวหน้าทางพีชคณิต และความแตกต่างคือ 1 การใช้สูตรสำหรับผลรวม เราได้: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050

เป็นเรื่องน่าแปลกที่จะสังเกตว่าปัญหานี้เรียกว่า "เกาส์เซียน" เนื่องจากในช่วงต้นศตวรรษที่ 18 ชาวเยอรมันผู้โด่งดังซึ่งอายุเพียง 10 ขวบสามารถแก้ปัญหานี้ได้ภายในไม่กี่วินาที เด็กชายไม่ทราบสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางพีชคณิต แต่เขาสังเกตว่าถ้าคุณบวกเลขคู่ที่อยู่ตรงขอบของลำดับ คุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ นั่นคือ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... และเนื่องจากผลรวมเหล่านี้จะเท่ากับ 50 (100 / 2) ดังนั้นเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง ก็เพียงพอที่จะคูณ 50 ด้วย 101

ตัวอย่าง #6: ผลรวมของเทอมจาก n ถึง m

ตัวอย่างทั่วไปอีกตัวอย่างหนึ่งของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีดังนี้: กำหนดชุดของตัวเลข: 3, 7, 11, 15, ... คุณต้องค้นหาว่าผลรวมของเทอมจาก 8 ถึง 14 จะเป็นเท่าใด

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสองวิธี ข้อแรกเกี่ยวข้องกับการค้นหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จักตั้งแต่ 8 ถึง 14 แล้วจึงสรุปตามลำดับ เนื่องจากมีคำศัพท์ไม่กี่คำ วิธีนี้จึงไม่ลำบากพอ อย่างไรก็ตาม เสนอให้แก้ปัญหานี้ด้วยวิธีที่สอง ซึ่งเป็นวิธีสากลมากกว่า

แนวคิดคือการได้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางพีชคณิตระหว่างเทอม m และ n โดยที่ n > m เป็นจำนวนเต็ม สำหรับทั้งสองกรณี เราเขียนสองนิพจน์สำหรับผลรวม:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2

ตั้งแต่ n > m เป็นที่แน่ชัดว่าผลรวม 2 ผลรวมอันแรกด้วย ข้อสรุปสุดท้ายหมายความว่าถ้าเรานำผลต่างระหว่างผลรวมเหล่านี้และเพิ่มเทอม a มเข้าไป (ในกรณีของผลต่าง จะถูกลบออกจากผลรวม S n) เราก็จะได้คำตอบที่จำเป็นสำหรับปัญหา เรามี: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) จำเป็นต้องแทนที่สูตรสำหรับ n และ m ในนิพจน์นี้ จากนั้นเราจะได้: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2

สูตรที่ได้จะค่อนข้างยุ่งยาก อย่างไรก็ตาม ผลรวม S mn ขึ้นอยู่กับ n, m, a 1 และ d เท่านั้น ในกรณีของเรา a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8 การแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ เราได้รับ: S mn = 301

ดังจะเห็นได้จากวิธีแก้ปัญหาข้างต้น ปัญหาทั้งหมดอยู่บนพื้นฐานของความรู้เกี่ยวกับนิพจน์สำหรับเทอมที่ n และสูตรสำหรับผลรวมของเซตของเทอมแรก ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ไขปัญหาใดๆ เหล่านี้ ขอแนะนำให้คุณอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียด ทำความเข้าใจสิ่งที่คุณต้องการค้นหาให้ชัดเจน จากนั้นจึงดำเนินการแก้ไขต่อไป

เคล็ดลับอีกประการหนึ่งคือการพยายามทำให้เรียบง่าย นั่นคือ หากคุณสามารถตอบคำถามโดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คุณจำเป็นต้องทำอย่างนั้น เนื่องจากในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่จะผิดพลาดจะน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของการคืบหน้าเลขคณิตด้วยคำตอบหมายเลข 6 เราสามารถหยุดที่สูตร S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m และ แบ่งงานทั่วไปออกเป็นงานย่อยแยกกัน (ในกรณีนี้ ให้หาเงื่อนไข a n และ a m)

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้ ขอแนะนำให้ตรวจสอบตามตัวอย่างที่ให้ไว้ ค้นหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร เมื่อเข้าใจแล้ว ก็ไม่ยาก

ใช่ ใช่ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ของเล่นสำหรับคุณ :)

เพื่อนๆ หากคุณกำลังอ่านข้อความนี้ หลักฐานภายในบอกว่าคุณยังไม่รู้ว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร แต่คุณอยากรู้จริงๆ (ไม่ใช่ แบบนี้: SOOOOO!) ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานคุณด้วยการแนะนำที่ยาวนานและจะลงมือทำธุรกิจทันที

ในการเริ่มต้น สองสามตัวอย่าง พิจารณาชุดตัวเลขหลายชุด:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ชุดทั้งหมดเหล่านี้มีอะไรที่เหมือนกัน? ได้อย่างรวดเร็วก่อนไม่มีอะไร แต่จริงๆแล้วมีบางอย่าง กล่าวคือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกเป็นเพียงตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน โดยแต่ละชุดจะมากกว่าชุดที่แล้ว ในกรณีที่สอง ความแตกต่างระหว่างจำนวนที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากับห้าอยู่แล้ว แต่ความแตกต่างนี้ยังคงคงที่ ในกรณีที่สามมีรากโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ในขณะที่ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$ เช่น ในกรณีนี้แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะเพิ่มขึ้นเพียง $\sqrt(2)$ (และอย่ากลัวว่าตัวเลขนี้จะไม่มีเหตุผล)

ดังนั้น: ลำดับดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:

คำนิยาม. ลำดับของตัวเลขที่ซึ่งแต่ละอันถัดไปแตกต่างจากจำนวนก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันทุกประการเรียกว่าการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนที่ตัวเลขต่างกันนั้นเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า และส่วนใหญ่มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร $d$

สัญกรณ์: $\left(((a)_(n)) \right)$ คือความก้าวหน้าของตัวเอง $d$ คือความแตกต่าง

และเพียงข้อสังเกตที่สำคัญสองสามข้อ ประการแรกถือว่าก้าวหน้าเท่านั้น เป็นระเบียบลำดับของตัวเลข: อนุญาตให้อ่านตามลำดับที่เขียนอย่างเคร่งครัด - และไม่มีอะไรอื่น คุณไม่สามารถจัดเรียงใหม่หรือสลับหมายเลขได้

ประการที่สอง ลำดับนั้นสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ได้ ตัวอย่างเช่น เซต (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขตจำกัด แต่ถ้าคุณเขียนบางอย่างเช่น (1; 2; 3; 4; ...) - นี่เป็นความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว จุดไข่ปลาหลังสี่ อย่างที่มันเป็น บอกเป็นนัยว่าตัวเลขค่อนข้างมากไปไกลกว่านั้น มากมายนับไม่ถ้วน เช่น :)

ฉันยังต้องการทราบด้วยว่าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นและลดลง เราได้เห็นการเพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ...) ต่อไปนี้คือตัวอย่างของความก้าวหน้าที่ลดลง:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

โอเค โอเค ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ที่เหลือฉันคิดว่าคุณเข้าใจ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

เพิ่มขึ้นหากแต่ละองค์ประกอบถัดไปมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

ลดลงหากตรงกันข้ามแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

นอกจากนี้ยังมีลำดับที่เรียกว่า "นิ่ง" - ประกอบด้วยหมายเลขซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ...)

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะแยกแยะความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากการลดลงได้อย่างไร? โชคดีที่ทุกอย่างที่นี่ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของหมายเลข $d$ เท่านั้นนั่นคือ ความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ถ้า $d \gt 0$ ความก้าวหน้าก็เพิ่มขึ้น
ถ้า $d \lt 0$ แสดงว่าความคืบหน้าลดลงอย่างเห็นได้ชัด
สุดท้าย มีกรณี $d=0$ — ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงเป็นลำดับคงที่ของตัวเลขที่เหมือนกัน: (1; 1; 1; 1; ...) เป็นต้น

มาลองคำนวณผลต่าง $d$ สำหรับความก้าวหน้าที่ลดลงทั้งสามด้านบนกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำสององค์ประกอบที่อยู่ติดกัน (เช่น ตัวแรกและตัวที่สอง) และลบออกจากตัวเลขทางด้านขวา ตัวเลขทางด้านซ้าย มันจะมีลักษณะดังนี้:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

อย่างที่คุณเห็น ในทั้งสามกรณี ความแตกต่างกลายเป็นลบจริงๆ และตอนนี้เราหาคำจำกัดความได้ไม่มากก็น้อยก็ถึงเวลาที่จะคิดหาวิธีอธิบายความก้าวหน้าและคุณสมบัติที่พวกเขามีอยู่

สมาชิกของความก้าวหน้าและสูตรกำเริบ

เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถแลกเปลี่ยนกันได้ จึงสามารถกำหนดหมายเลขได้:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ขวา$\]

องค์ประกอบส่วนบุคคลของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกของความก้าวหน้า พวกเขาจะระบุด้วยวิธีนี้ด้วยความช่วยเหลือของตัวเลข: สมาชิกคนแรกสมาชิกคนที่สองและอื่น ๆ

นอกจากนี้ ดังที่เราทราบแล้ว สมาชิกที่อยู่ใกล้เคียงของความก้าวหน้านั้นสัมพันธ์กันโดยสูตร:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

กล่าวโดยย่อ ในการหาระยะที่ $n$th ของความก้าวหน้า คุณต้องรู้คำศัพท์ที่ $n-1$th และความแตกต่าง $d$ สูตรดังกล่าวเรียกว่าการเกิดซ้ำเพราะด้วยความช่วยเหลือของสูตรนี้คุณสามารถค้นหาตัวเลขใด ๆ ก็ได้โดยรู้เฉพาะตัวเลขก่อนหน้าเท่านั้น (และอันที่จริงแล้วทั้งหมดก่อนหน้านี้) ซึ่งไม่สะดวกมาก ดังนั้นจึงมีสูตรที่ยุ่งยากกว่าที่จะลดการคำนวณใดๆ ให้เหลือเทอมแรกและส่วนต่าง:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

คุณอาจเคยเจอสูตรนี้มาก่อน พวกเขาชอบที่จะให้มันในหนังสืออ้างอิงทุกประเภทและ reshebniks และในตำราเรียนคณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลเล่มใดเล่มหนึ่งก็เป็นหนึ่งในเล่มแรก

อย่างไรก็ตาม ฉันแนะนำให้คุณฝึกฝนเล็กน้อย

งานหมายเลข 1 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$

วิธีการแก้. ดังนั้น เรารู้เทอมแรก $((a)_(1))=8$ และความแตกต่างของความก้าวหน้า $d=-5$ ลองใช้สูตรที่เพิ่งให้มาและแทนที่ $n=1$, $n=2$ และ $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: (8; 3; -2)

นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบว่าความก้าวหน้าของเราลดลง

แน่นอน $n=1$ ไม่สามารถแทนที่ได้ - เรารู้เทอมแรกอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่หน่วย เราทำให้แน่ใจว่าแม้สำหรับเทอมแรกสูตรของเราใช้ได้ผล ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างลงมาที่เลขคณิตซ้ำซาก

งานหมายเลข 2 เขียนสามเทอมแรกของการก้าวหน้าเลขคณิตถ้าเทอมที่เจ็ดของมันคือ −40 และเทอมที่สิบเจ็ดของมันคือ −50

วิธีการแก้. เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาตามเงื่อนไขปกติ:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ขวา.\]

ฉันใส่เครื่องหมายของระบบเพราะต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อม ๆ กัน และตอนนี้เราสังเกตว่าถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (เรามีสิทธิ์ทำเช่นนี้ เพราะเรามีระบบ) เราจะได้สิ่งนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เช่นนั้น เราพบความแตกต่างของความก้าวหน้า! มันยังคงใช้แทนจำนวนที่ค้นพบในสมการใดๆ ของระบบ ตัวอย่างเช่นในครั้งแรก:

\[\begin(เมทริกซ์) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ลูกศรลง \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \สิ้นสุด(เมทริกซ์)\]

ทีนี้ เมื่อรู้เทอมแรกและความแตกต่าง ก็ยังต้องหาเทอมที่สองและสาม:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

พร้อม! แก้ไขปัญหา.

คำตอบ: (-34; -35; -36)

ให้ความสนใจกับคุณสมบัติที่น่าสงสัยของความก้าวหน้าที่เราค้นพบ: ถ้าเรานำเงื่อนไข $n$th และ $m$th มาลบออกจากกัน เราจะได้ผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวน $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

คุณสมบัติที่เรียบง่าย แต่มีประโยชน์มากที่คุณควรรู้ - ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถเร่งการแก้ปัญหาความก้าวหน้ามากมายได้อย่างมาก นี่คือตัวอย่างที่สำคัญของสิ่งนี้:

งานหมายเลข 3 เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 8.4 และเทอมที่สิบของมันคือ 14.4 หาระยะที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

วิธีการแก้. เนื่องจาก $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ และเราจำเป็นต้องค้นหา $((a)_(15))$ เราจึงสังเกตเห็นสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่ตามเงื่อนไข $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ดังนั้น $5d=6$ ดังนั้น เรามี:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ก)_(15))=6+14.4=20.4 \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: 20.4

นั่นคือทั้งหมด! เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการใดๆ และคำนวณเทอมแรกกับผลต่าง - ทุกอย่างตัดสินได้ภายในสองสามบรรทัด

ทีนี้ลองพิจารณาปัญหาอีกประเภทหนึ่ง - การค้นหาสมาชิกที่เป็นลบและบวกของความก้าวหน้า ไม่เป็นความลับว่าหากความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นในขณะที่เทอมแรกเป็นลบ คำศัพท์เชิงบวกไม่ช้าก็เร็วจะปรากฏในนั้น และในทางกลับกัน: เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงจะไม่ช้าก็เร็วจะกลายเป็นลบ

ในขณะเดียวกัน ยังห่างไกลจากคำว่า "ที่หน้าผาก" เสมอที่จะค้นหาช่วงเวลานี้ โดยเรียงลำดับองค์ประกอบต่างๆ ตามลำดับ บ่อยครั้งที่ปัญหาต่างๆ ได้รับการออกแบบในลักษณะที่ไม่รู้สูตร การคำนวณจะใช้เวลาหลายแผ่น - เราจะผล็อยหลับไปจนกว่าเราจะพบคำตอบ ดังนั้นเราจะพยายามแก้ไขปัญหาเหล่านี้ให้เร็วขึ้น

งานหมายเลข 4 จำนวนพจน์เชิงลบในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -38.5; -35.8; …?

วิธีการแก้. ดังนั้น $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ซึ่งเราจะพบความแตกต่างทันที:

โปรดทราบว่าความแตกต่างนั้นเป็นไปในทางบวก ดังนั้นความก้าวหน้าจึงเพิ่มขึ้น เทอมแรกเป็นค่าลบ ดังนั้น ณ จุดหนึ่ง เราจะสะดุดกับตัวเลขที่เป็นบวก คำถามเดียวคือเมื่อสิ่งนี้จะเกิดขึ้น

เรามาลองค้นหากัน: นานแค่ไหน (เช่น $n$ เป็นจำนวนธรรมชาติเท่าใด) เงื่อนไขเชิงลบจะคงอยู่:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ขวา. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

บรรทัดสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ดังนั้นเราจึงรู้ว่า $n \lt 15\frac(7)(27)$ ในทางกลับกัน เฉพาะค่าจำนวนเต็มของตัวเลขเท่านั้นที่จะเหมาะกับเรา (ยิ่งไปกว่านั้น: $n\in \mathbb(N)$) ดังนั้นจำนวนที่มากที่สุดที่อนุญาตคือ $n=15$ อย่างแม่นยำ และไม่ว่าในกรณีใด 16

งานหมายเลข 5 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ หาจำนวนเทอมบวกแรกของความก้าวหน้านี้

นี่อาจเป็นปัญหาเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้ แต่เราไม่รู้ $((a)_(1))$ แต่คำศัพท์ใกล้เคียงเป็นที่รู้จัก: $((a)_(5))$ และ $((a)_(6))$ ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

นอกจากนี้ ให้ลองแสดงพจน์ที่ 5 ในรูปของค่าแรกและส่วนต่างโดยใช้สูตรมาตรฐาน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้เราดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับปัญหาก่อนหน้านี้ เราค้นหาว่าหมายเลขบวกของลำดับของเราจะปรากฏที่จุดใด:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ลูกศรขวา ((n)_(\min ))=56. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบจำนวนเต็มขั้นต่ำของอสมการนี้คือจำนวน 56

โปรดทราบว่าในงานสุดท้าย ทุกอย่างถูกลดทอนให้เหลือความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นตัวเลือก $n=55$ จะไม่เหมาะกับเรา

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาง่าย ๆ แล้ว มาต่อกันที่ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นกัน แต่ก่อนอื่น เรามาเรียนรู้คุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กันก่อน ซึ่งจะช่วยเราประหยัดเวลาได้มากและเซลล์ที่ไม่เท่ากันในอนาคต :)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากับ

พิจารณาเงื่อนไขต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น $\left(((a)_(n)) \right)$ ลองทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน:

สมาชิกก้าวหน้าเลขคณิตบนเส้นจำนวน

ฉันสังเกตเห็นสมาชิกโดยพลการ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ และไม่ใช่ $((a)_(1)) ใด ๆ \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ เป็นต้น เพราะกฎซึ่งฉันจะบอกคุณตอนนี้ ทำงานเหมือนกันสำหรับ "กลุ่ม" ใดๆ

และกฎนั้นง่ายมาก ให้จำสูตรแบบเรียกซ้ำและจดไว้สำหรับสมาชิกที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้แตกต่างกัน:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วไงต่อ? แต่ความจริงที่ว่า $((a)_(n-1))$ และ $((a)_(n+1))$ อยู่ในระยะเดียวกันจาก $((a)_(n)) $ . และระยะนี้เท่ากับ $d$ สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับเงื่อนไข $((a)_(n-2))$ และ $((a)_(n+2))$ - พวกเขาจะถูกลบออกจาก $((a)_(n) ด้วย )$ โดยระยะทางเท่ากันเท่ากับ $2d$ ไปต่อได้ไม่มีกำหนด แต่ภาพสื่อความหมายได้ดี

สมาชิกของความก้าวหน้าอยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน

สิ่งนี้มีความหมายต่อเราอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถค้นหา $((a)_(n))$ หากทราบหมายเลขใกล้เคียง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

เราได้สรุปข้อความที่ยอดเยี่ยม: สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเลขคณิตมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกใกล้เคียง! ยิ่งไปกว่านั้น เราสามารถเบี่ยงเบนจาก $((a)_(n))$ ของเราไปทางซ้ายและทางขวา ไม่ใช่ทีละขั้น แต่โดย $k$ ขั้นตอน — และสูตรก็ยังจะถูกต้อง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

เหล่านั้น. เราสามารถหา $((a)_(150))$ ได้ง่ายๆ ถ้าเรารู้ $((a)_(100))$ และ $((a)_(200))$ เพราะ $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงนี้ไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรแก่เราเลย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ งานหลายอย่าง "ลับคม" เป็นพิเศษสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ลองดูสิ:

งานหมายเลข 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $x$ เพื่อให้ตัวเลข $-6((x)^(2))$, $x+1$ และ $14+4((x)^(2))$ เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ในลำดับที่ระบุ)

วิธีการแก้. เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของการก้าวหน้า เงื่อนไขค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นที่พอใจ: องค์ประกอบกลาง $x+1$ สามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบที่อยู่ใกล้เคียงได้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองแบบคลาสสิก รากของมัน: $x=2$ และ $x=-3$ คือคำตอบ

คำตอบ: -3; 2.

งานหมายเลข 7 ค้นหาค่าของ $$ เพื่อให้ตัวเลข $-1;4-3;(()^(2))+1$ สร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับ)

วิธีการแก้. อีกครั้ง เราแสดงระยะกลางในรูปของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคำศัพท์ข้างเคียง:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

สมการกำลังสองอีก และอีกสองราก: $x=6$ และ $x=1$

คำตอบ: 1; 6.

หากในระหว่างการแก้ปัญหา คุณได้รับตัวเลขที่โหดเหี้ยมหรือคุณไม่แน่ใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบทั้งหมด ก็มีเคล็ดลับที่ยอดเยี่ยมที่ช่วยให้คุณสามารถตรวจสอบ: เราแก้ปัญหาถูกต้องหรือไม่

สมมติว่าในโจทย์ที่ 6 เราได้คำตอบ -3 และ 2 เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้อง ลองเสียบเข้าในสภาพเดิมแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ให้ฉันเตือนคุณว่าเรามีตัวเลขสามตัว ($-6(()^(2))$, $+1$ และ $14+4(()^(2))$) ซึ่งควรสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทดแทน $x=-3$:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x=-3\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(จัดตำแหน่ง)\]

เราได้ตัวเลข -54; -2; 50 ที่แตกต่างจาก 52 อย่างไม่ต้องสงสัยคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับ $x=2$:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x=2\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(จัดตำแหน่ง)\]

คืบหน้าอีกแล้ว แต่มีความแตกต่าง 27 ดังนั้น ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง ผู้ที่ต้องการสามารถตรวจสอบงานที่สองได้ด้วยตัวเอง แต่ฉันจะพูดทันที: ทุกอย่างถูกต้องอยู่ที่นั่นด้วย

โดยทั่วไป ในขณะที่แก้ปัญหาสุดท้าย เราสะดุดกับข้อเท็จจริงที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งที่ต้องจำไว้ด้วย:

หากตัวเลขสามตัวเป็นตัวเลขที่ตัวที่สองเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแรกและตัวสุดท้าย ตัวเลขเหล่านี้จะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในอนาคต การทำความเข้าใจข้อความนี้จะช่วยให้เราสามารถ "สร้าง" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามสภาพของปัญหาได้อย่างแท้จริง แต่ก่อนที่เราจะมีส่วนร่วมใน "การก่อสร้าง" เช่นนี้ เราควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่งซึ่งตามมาโดยตรงจากสิ่งที่ได้พิจารณาไปแล้ว

การจัดกลุ่มและผลรวมขององค์ประกอบ

ลองกลับไปที่เส้นจำนวนอีกครั้ง เราสังเกตว่ามีสมาชิกหลายคนของความคืบหน้า ซึ่งบางที คุ้มกับสมาชิกท่านอื่นๆ มากมาย:

6 องค์ประกอบที่ทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน

ลองแสดง "ส่วนท้ายซ้าย" ในรูปของ $((a)_(n))$ และ $d$ และ "หางขวา" ในรูปของ $((a)_(k))$ และ $ ดอลลาร์ มันง่ายมาก:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้โปรดทราบว่าผลรวมต่อไปนี้มีค่าเท่ากัน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= เอส; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= เอส \end(จัดตำแหน่ง)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ หากเราพิจารณาว่าเป็นการเริ่มต้นสององค์ประกอบของความก้าวหน้า ซึ่งโดยรวมแล้วเท่ากับจำนวน $S$ แล้วเราก็เริ่มก้าวจากองค์ประกอบเหล่านี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม (เข้าหากันหรือกลับกันเพื่อย้ายออกไป) แล้ว ผลรวมของธาตุที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากัน$S$. สิ่งนี้สามารถแสดงได้ดีที่สุดในรูปแบบกราฟิก:

เยื้องเดียวกันให้ผลรวมเท่ากัน

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาในระดับความซับซ้อนที่สูงกว่าระดับพื้นฐานที่เราได้พิจารณาข้างต้น ตัวอย่างเช่น:

งานหมายเลข 8 กำหนดความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยที่เทอมแรกคือ 66 และผลิตภัณฑ์ของเทอมที่สองและสิบสองนั้นน้อยที่สุด

วิธีการแก้. ให้เขียนทุกสิ่งที่เรารู้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า $d$ ที่จริงแล้ว โซลูชันทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงความแตกต่าง เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right) \end(จัดตำแหน่ง)\]

สำหรับผู้ที่อยู่ในถัง: ฉันได้นำปัจจัยร่วม 11 ออกจากวงเล็บเหลี่ยมที่สอง ดังนั้น ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการจึงเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สัมพันธ์กับตัวแปร $d$ ดังนั้น ลองพิจารณาฟังก์ชัน $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งขึ้นเพราะ ถ้าเราเปิดวงเล็บ เราจะได้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น สัมประสิทธิ์ที่มีเทอมสูงสุดคือ 11 - นี่เป็นจำนวนบวก ดังนั้นเราจึงต้องจัดการกับพาราโบลาที่มีกิ่งขึ้น:

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง - พาราโบลา
โปรดทราบ: พาราโบลานี้ใช้ค่าต่ำสุดที่จุดยอดด้วย abscissa $((d)_(0))$ แน่นอน เราสามารถคำนวณ abscissa นี้ได้ตามรูปแบบมาตรฐาน (มีสูตร $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) แต่จะสมเหตุสมผลกว่ามาก โปรดทราบว่าจุดยอดที่ต้องการอยู่บนแกนสมมาตรของพาราโบลา ดังนั้นจุด $((d)_(0))$ จึงห่างจากรากของสมการเท่ากัน $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบร้อนที่จะเปิดวงเล็บ: ในรูปแบบดั้งเดิมนั้นรากนั้นหาง่ายมาก ดังนั้น abscissa จึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข −66 และ −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

อะไรให้ตัวเลขที่ค้นพบแก่เรา? ด้วยสิ่งนี้ ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการใช้ค่าที่น้อยที่สุด (แต่เราไม่ได้คำนวณ $((y)_(\min ))$ - สิ่งนี้ไม่จำเป็นสำหรับเรา) ในเวลาเดียวกัน ตัวเลขนี้คือความแตกต่างของความก้าวหน้าเริ่มต้น กล่าวคือ เราพบคำตอบ :)

คำตอบ: -36

งานหมายเลข 9 แทรกตัวเลขสามตัวระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac(1)(6)$ เพื่อให้รวมกับตัวเลขที่กำหนด พวกมันจะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

วิธีการแก้. อันที่จริง เราจำเป็นต้องสร้างลำดับของตัวเลขห้าตัว โดยที่หมายเลขแรกและหมายเลขสุดท้ายทราบอยู่แล้ว ระบุตัวเลขที่หายไปโดยตัวแปร $x$, $y$ และ $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

โปรดทราบว่าตัวเลข $y$ คือ "ตรงกลาง" ของลำดับของเรา - ระยะห่างเท่ากันจากตัวเลข $x$ และ $z$ และจากตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac (1)( 6)$. และถ้าในขณะนี้เราไม่สามารถรับ $y$ จากตัวเลข $x$ และ $z$ ได้ สถานการณ์ก็จะแตกต่างไปจากการสิ้นสุดของความก้าวหน้า จำค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตอนนี้ เมื่อรู้ $y$ แล้ว เราจะหาตัวเลขที่เหลือ โปรดทราบว่า $x$ อยู่ระหว่าง $-\frac(1)(2)$ และ $y=-\frac(1)(3)$ เพิ่งพบ นั่นเป็นเหตุผลที่

การโต้เถียงในทำนองเดียวกัน เราพบจำนวนที่เหลือ:

พร้อม! เราพบทั้งสามตัวเลข เราเขียนคำตอบตามลำดับที่ควรแทรกระหว่างตัวเลขดั้งเดิม

คำตอบ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

งานหมายเลข 10 ระหว่างตัวเลข 2 และ 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายๆ ตัวประกอบกับตัวเลขที่กำหนด ทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้าทราบว่าผลรวมของตัวเลขที่หนึ่ง สอง และท้ายสุดของตัวเลขที่แทรกคือ 56

วิธีการแก้. งานที่ยากยิ่งขึ้นไปอีกซึ่งได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับงานก่อนหน้า - ผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปัญหาคือเราไม่รู้แน่ชัดว่าต้องใส่ตัวเลขกี่ตัว ดังนั้นเพื่อความชัดเจน เราคิดว่าหลังจากใส่แล้วจะมีตัวเลข $n$ อย่างแน่นอน และตัวแรกคือ 2 และตัวสุดท้ายคือ 42 ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสามารถแสดงเป็น:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ก)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวเลข $((a)_(2))$ และ $((a)_(n-1))$ ได้มาจากตัวเลข 2 และ 42 ที่ยืนอยู่ตรงขอบทีละก้าวเข้าหากัน , กล่าวคือ . ไปที่ศูนย์กลางของลำดับ และนี่หมายความว่า

\[((อัน)_(2))+((อัน)_(n-1))=2+42=44\]

แต่แล้วนิพจน์ข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เมื่อทราบ $((a)_(3))$ และ $((a)_(1))$ เราจะสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ลูกศรขวา d=5. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เหลือเพียงการค้นหาสมาชิกที่เหลือ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 เราจะมาที่ด้านซ้ายสุดของลำดับ - หมายเลข 42 โดยรวมแล้วต้องแทรกตัวเลขเพียง 7 ตัว: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

งานข้อความที่มีความก้าวหน้า

โดยสรุป ฉันต้องการพิจารณาปัญหาที่ค่อนข้างง่ายสองสามข้อ พูดง่ายๆ ก็คือ สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและยังไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนข้างต้น งานเหล่านี้อาจดูเหมือนเป็นการแสดงท่าทาง อย่างไรก็ตาม มันเป็นงานดังกล่าวที่เจอใน OGE และ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นฉันแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับพวกเขา

งานหมายเลข 11 ทีมงานได้ผลิตชิ้นส่วน 62 ชิ้นในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนต่อมาผลิตชิ้นส่วนมากกว่า 14 ชิ้นก่อนหน้านี้ กองพลน้อยผลิตได้กี่ส่วนในเดือนพฤศจิกายน

วิธีการแก้. เห็นได้ชัดว่าจำนวนชิ้นส่วนที่วาดตามเดือนจะมีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น และ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ของปี ดังนั้นเราจึงต้องหา $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ดังนั้น 202 ชิ้นส่วนจะถูกผลิตในเดือนพฤศจิกายน

งานหมายเลข 12 การประชุมเชิงปฏิบัติการเกี่ยวกับการทำปกหนังสือผูกมัดหนังสือ 216 เล่มในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนถัดไปจะมีหนังสือผูกมัดมากกว่าครั้งที่แล้ว 4 เล่ม เวิร์กชอปผูกหนังสือกี่เล่มในเดือนธันวาคม

วิธีการแก้. เหมือนกันทั้งหมด:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ธันวาคมเป็นเดือนที่ 12 สุดท้ายของปี ดังนั้นเราจึงมองหา $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเข้าเล่มในเดือนธันวาคม

ถ้าคุณได้อ่านมาถึงตอนนี้ ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณ: คุณสำเร็จ "หลักสูตรนักสู้รุ่นเยาว์" ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถไปยังบทเรียนต่อไปได้อย่างปลอดภัย ซึ่งเราจะศึกษาสูตรผลรวมของความก้าวหน้า ตลอดจนผลที่สำคัญและมีประโยชน์มากจากมัน

หลายคนเคยได้ยินเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่ไม่ใช่ทุกคนที่รู้ดีว่ามันคืออะไร ในบทความนี้ เราจะให้คำจำกัดความที่เหมาะสม และพิจารณาคำถามว่าจะค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร และให้ตัวอย่างจำนวนหนึ่ง

ความหมายทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น หากเรากำลังพูดถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต (แนวคิดเหล่านี้กำหนดสิ่งเดียวกัน) นั่นหมายความว่ามีชุดตัวเลขบางชุดที่เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: ทุกๆ ตัวเลขที่อยู่ติดกันสองหมายเลขในชุดจะต่างกันด้วยค่าเดียวกัน ทางคณิตศาสตร์เขียนได้ดังนี้

ในที่นี้ n หมายถึงจำนวนขององค์ประกอบ a n ในลำดับ และหมายเลข d คือความแตกต่างของความก้าวหน้า (ชื่อตามมาจากสูตรที่นำเสนอ)

การรู้ความแตกต่าง d หมายถึงอะไร? ว่าตัวเลขที่อยู่ติดกันห่างกันแค่ไหน อย่างไรก็ตาม ความรู้เกี่ยวกับ d เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการกำหนด (ฟื้นฟู) ความก้าวหน้าทั้งหมด คุณจำเป็นต้องรู้ตัวเลขอีกหนึ่งตัว ซึ่งสามารถเป็นองค์ประกอบใดๆ ของอนุกรมที่กำลังพิจารณาอยู่ เช่น 4, a10 แต่ตามกฎแล้ว ตัวเลขแรกจะถูกใช้ นั่นคือ 1

สูตรสำหรับกำหนดองค์ประกอบของความก้าวหน้า

โดยทั่วไปแล้ว ข้อมูลข้างต้นก็เพียงพอแล้วสำหรับการแก้ไขปัญหาเฉพาะ อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะให้การก้าวหน้าทางเลขคณิต และจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่าง เรานำเสนอสูตรที่มีประโยชน์สองสามสูตร ซึ่งจะช่วยอำนวยความสะดวกในกระบวนการแก้ปัญหาที่ตามมา

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าองค์ประกอบใด ๆ ของลำดับที่มีหมายเลข n สามารถพบได้ดังนี้:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

อันที่จริง ทุกคนสามารถตรวจสอบสูตรนี้ได้ด้วยการแจงนับอย่างง่าย: หากคุณแทนที่ n = 1 คุณจะได้องค์ประกอบแรก หากคุณแทนที่ n = 2 นิพจน์จะให้ผลรวมของตัวเลขตัวแรกและส่วนต่าง เป็นต้น .

เงื่อนไขของปัญหามากมายถูกรวบรวมในลักษณะที่สำหรับคู่ของตัวเลขที่รู้จักซึ่งตัวเลขที่ได้รับในลำดับนั้นจำเป็นต้องคืนค่าชุดตัวเลขทั้งหมด (ค้นหาความแตกต่างและองค์ประกอบแรก) ตอนนี้เราจะแก้ปัญหานี้ด้วยวิธีทั่วไป

สมมติว่าเราได้รับสององค์ประกอบที่มีตัวเลข n และ m โดยใช้สูตรที่ได้รับข้างต้น เราสามารถจัดระบบสมการสองสมการ:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

ในการค้นหาปริมาณที่ไม่ทราบค่า เราใช้วิธีการง่ายๆ ที่รู้จักกันดีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว: เราลบส่วนซ้ายและขวาเป็นคู่ ในขณะที่ความเท่าเทียมกันยังคงใช้ได้ เรามี:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

ดังนั้นเราจึงได้กำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักออกไปหนึ่งรายการ (a 1) ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์สุดท้ายเพื่อกำหนด d:

d = (a n - a m) / (n - m) โดยที่ n > m

เราได้รับสูตรที่ง่ายมาก: เพื่อคำนวณผลต่าง d ตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องใช้อัตราส่วนของความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบเองและหมายเลขซีเรียลเท่านั้น ควรให้ความสนใจกับจุดสำคัญจุดหนึ่ง: ความแตกต่างระหว่างสมาชิก "รุ่นพี่" และ "รุ่นน้อง" คือ n> m ("รุ่นพี่" - หมายถึงยืนอยู่ไกลจากจุดเริ่มต้นของลำดับ ค่าสัมบูรณ์สามารถเป็น องค์ประกอบ "อายุน้อยกว่า" มากหรือน้อย)

นิพจน์สำหรับความแตกต่าง d ของความคืบหน้าควรแทนที่ในสมการใดๆ ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้ค่าของเทอมแรก

ในยุคของการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ เด็กนักเรียนจำนวนมากพยายามหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับงานของตนบนอินเทอร์เน็ต ดังนั้นคำถามประเภทนี้จึงมักเกิดขึ้น: ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทางออนไลน์ เมื่อมีการร้องขอ เสิร์ชเอ็นจิ้นจะแสดงหน้าเว็บจำนวนหนึ่ง โดยไปที่คุณจะต้องป้อนข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไข (อาจเป็นสองสมาชิกของความคืบหน้าหรือผลรวมของบางส่วน) และรับคำตอบทันที อย่างไรก็ตาม แนวทางการแก้ปัญหาดังกล่าวไม่เกิดผลในแง่ของการพัฒนานักเรียนและการทำความเข้าใจสาระสำคัญของงานที่ได้รับมอบหมาย

วิธีแก้ปัญหาโดยไม่ต้องใช้สูตร

มาแก้ปัญหาแรกกัน ในขณะที่เราจะไม่ใช้สูตรใด ๆ ข้างต้น ให้องค์ประกอบของชุดข้อมูล: a6 = 3, a9 = 18. ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

องค์ประกอบที่รู้จักอยู่ใกล้กันเป็นแถว ต้องบวกส่วนต่าง d ที่น้อยที่สุดกี่ครั้งเพื่อให้ได้อันที่ใหญ่ที่สุด? สามครั้ง (ครั้งแรกที่เพิ่ม d เราได้องค์ประกอบที่ 7 ครั้งที่สอง - ที่แปดในที่สุดครั้งที่สาม - ที่เก้า) ต้องบวกเลขอะไรถึงสามครั้งจึงจะได้ 18 นี่คือหมายเลขห้า จริงๆ:

ดังนั้นความแตกต่างที่ไม่ทราบค่าคือ d = 5

แน่นอน การแก้ปัญหาสามารถทำได้โดยใช้สูตรที่เหมาะสม แต่ไม่ได้ทำโดยเจตนา คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับการแก้ปัญหาควรเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนและชัดเจนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

งานที่คล้ายกับงานก่อนหน้า

ทีนี้มาแก้ปัญหาที่คล้ายกันกัน แต่เปลี่ยนข้อมูลอินพุต ดังนั้น คุณควรหาว่า a3 = 2, a9 = 19

แน่นอนคุณสามารถใช้วิธีการแก้ "บนหน้าผาก" ได้อีกครั้ง แต่เนื่องจากองค์ประกอบของซีรีส์ได้รับซึ่งค่อนข้างห่างกัน วิธีการดังกล่าวจึงไม่สะดวกนัก แต่การใช้สูตรผลลัพธ์จะนำเราไปสู่คำตอบอย่างรวดเร็ว:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

ที่นี่เราได้ปัดเศษตัวเลขสุดท้าย การปัดเศษนี้ทำให้เกิดข้อผิดพลาดมากน้อยเพียงใดโดยการตรวจสอบผลลัพธ์:

9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

ผลลัพธ์นี้แตกต่างเพียง 0.1% จากค่าที่ระบุในเงื่อนไข ดังนั้นการปัดเศษเป็นร้อยจึงถือเป็นตัวเลือกที่ดี

ภารกิจการนำสูตรสำหรับสมาชิก

ลองพิจารณาตัวอย่างคลาสสิกของปัญหาการกำหนด d ที่ไม่รู้จัก: ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า a1 = 12, a5 = 40

เมื่อให้ตัวเลขสองตัวของลำดับพีชคณิตที่ไม่รู้จัก และหนึ่งในนั้นคือองค์ประกอบ a 1 คุณไม่จำเป็นต้องคิดนาน แต่คุณควรใช้สูตรสำหรับสมาชิก n ทันที ในกรณีนี้ เรามี:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

เราได้ตัวเลขที่แน่นอนเมื่อทำการหาร ดังนั้นจึงไม่สมเหตุสมผลที่จะตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่คำนวณได้ดังที่ทำในย่อหน้าก่อนหน้า

มาแก้ปัญหาที่คล้ายกันกัน: เราควรหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า a1 = 16, a8 = 37

เราใช้วิธีการที่คล้ายกันกับวิธีก่อนหน้าและรับ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

อะไรอีกบ้างที่คุณควรรู้เกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

นอกจากปัญหาในการค้นหาความแตกต่างที่ไม่ทราบสาเหตุหรือองค์ประกอบแต่ละอย่างแล้ว มักจำเป็นต้องแก้ปัญหาของผลรวมของพจน์แรกของลำดับ การพิจารณาปัญหาเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหัวข้อของบทความ อย่างไรก็ตาม เพื่อความสมบูรณ์ของข้อมูล เรานำเสนอสูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของจำนวน n ของชุดข้อมูล:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

แนวคิดของลำดับตัวเลขบอกเป็นนัยว่าจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวสอดคล้องกับค่าจริงบางค่า ชุดของตัวเลขดังกล่าวสามารถเป็นได้ทั้งโดยพลการและมีคุณสมบัติบางอย่าง - ความก้าวหน้า ในกรณีหลัง แต่ละองค์ประกอบที่ตามมา (สมาชิก) ของลำดับสามารถคำนวณได้โดยใช้องค์ประกอบก่อนหน้า

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือลำดับของค่าตัวเลขซึ่งสมาชิกที่อยู่ใกล้เคียงแตกต่างกันด้วยจำนวนเดียวกัน (องค์ประกอบทั้งหมดของชุดที่เริ่มจาก 2 มีคุณสมบัติคล้ายกัน) ตัวเลขนี้ - ความแตกต่างระหว่างสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา - เป็นค่าคงที่และเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า

ความแตกต่างของความก้าวหน้า: คำจำกัดความ

พิจารณาลำดับที่ประกอบด้วยค่า j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, ตามคำจำกัดความของมันคือลำดับ ซึ่ง a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = ง. ค่าของ d คือความแตกต่างที่ต้องการของความก้าวหน้านี้

d = a(j) - a(j-1)

จัดสรร:

ความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้น ซึ่งในกรณีนี้ d > 0 ตัวอย่าง: 4, 8, 12, 16, 20, …
ความก้าวหน้าลดลงแล้วd< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

ความแตกต่างของความก้าวหน้าและองค์ประกอบตามอำเภอใจ

หากทราบสมาชิกโดยพลการของความก้าวหน้า (i-th, k-th) ดังนั้นความแตกต่างสำหรับลำดับนี้สามารถกำหนดได้ตามความสัมพันธ์:

a(i) = a(k) + (i - k)*d ดังนั้น d = (a(i) - a(k))/(i-k)

ความแตกต่างของความก้าวหน้าและระยะแรก

นิพจน์นี้จะช่วยกำหนดค่าที่ไม่รู้จักเฉพาะในกรณีที่ทราบหมายเลขขององค์ประกอบลำดับ

ความแตกต่างของความก้าวหน้าและผลรวมของมัน

ผลรวมของความก้าวหน้าคือผลรวมของเงื่อนไข ในการคำนวณมูลค่ารวมขององค์ประกอบ j แรก ให้ใช้สูตรที่เกี่ยวข้อง:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j แต่เนื่องจาก a(j) = a(1) + d(j – 1) แล้ว S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.