อนุญาต X– อาร์กิวเมนต์ (ตัวแปรอิสระ); y=y(x)- การทำงาน.
รับค่าคงที่ของอาร์กิวเมนต์ x=x 0 และคำนวณค่าของฟังก์ชัน y 0 =y(x 0 ) . ตอนนี้เราตั้งค่าโดยพลการ เพิ่มขึ้น (เปลี่ยน) ของอาร์กิวเมนต์และแสดงว่า X ( Xเป็นเครื่องหมายอะไรก็ได้)
อาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นคือจุด X 0 + X. สมมติว่ามีค่าฟังก์ชันด้วย y=y(x 0 + X)(ดูรูป).
ดังนั้นด้วยการเปลี่ยนแปลงค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจจึงได้รับการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันซึ่งเรียกว่า เพิ่มขึ้น ค่าฟังก์ชัน:
และไม่พลั้งเผลอแต่ขึ้นกับชนิดของฟังก์ชันและปริมาณ 
.
อาร์กิวเมนต์และการเพิ่มฟังก์ชันสามารถเป็น สุดท้าย, เช่น. แสดงเป็นตัวเลขคงที่ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าความแตกต่างจำกัด
ในทางเศรษฐศาสตร์ การเพิ่มขึ้นอย่างจำกัดนั้นถือว่าค่อนข้างบ่อย ตัวอย่างเช่น ตารางแสดงข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของเครือข่ายรถไฟของบางรัฐ เห็นได้ชัดว่าการเพิ่มความยาวเครือข่ายคำนวณโดยการลบค่าก่อนหน้าออกจากค่าถัดไป
เราจะพิจารณาความยาวของโครงข่ายรถไฟเป็นหน้าที่ อาร์กิวเมนต์คือเวลา (ปี)
|
ความยาวทางรถไฟ ณ วันที่ 31 ธันวาคม พันกิโลเมตร |
เพิ่มขึ้น |
การเติบโตเฉลี่ยต่อปี |
|
ในตัวของมันเอง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน (ในกรณีนี้ ความยาวของเครือข่ายรถไฟ) ไม่ได้อธิบายลักษณะการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา จากข้อเท็จจริงที่ว่า 2,5>0,9 ไม่สามารถสรุปได้ว่าเครือข่ายเติบโตเร็วขึ้นใน 2000-2003 ปีกว่าใน 2004 ก. เพราะการเพิ่มขึ้น 2,5 หมายถึงระยะเวลาสามปีและ 0,9 - ในเวลาเพียงหนึ่งปี ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่การเพิ่มฟังก์ชันจะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงหน่วยในอาร์กิวเมนต์ อาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นนี่คือช่วงเวลา: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .
เราได้สิ่งที่เรียกว่าวรรณกรรมเศรษฐกิจ การเติบโตเฉลี่ยต่อปี.
เป็นไปได้ที่จะหลีกเลี่ยงการดำเนินการของการเพิ่มขึ้นไปยังหน่วยการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์หากเราใช้ค่าฟังก์ชันสำหรับค่าของการโต้แย้งที่แตกต่างกันซึ่งไม่สามารถทำได้เสมอไป
ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จะพิจารณาการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันเพียงเล็กน้อย (IM)
ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว (อนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียล) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันเพิ่มขึ้นที่จุด X 0 ถือได้ว่าเป็นปริมาณที่น้อยมากที่เปรียบเทียบได้ (ดูหัวข้อ 4 การเปรียบเทียบ BM) เช่น BM ของคำสั่งเดียวกัน
จากนั้นอัตราส่วนของพวกมันจะมีขีดจำกัดจำกัด ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน t X 0 .
ขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ BM ที่จุด x=x 0 เรียกว่า อนุพันธ์ ทำหน้าที่ ณ จุดนี้
การกำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ด้วยจังหวะ (หรือมากกว่าเลขโรมัน I) ได้รับการแนะนำโดยนิวตัน คุณยังสามารถใช้ตัวห้อยที่แสดงตัวแปรที่คำนวณอนุพันธ์ได้ เช่น 
. สัญกรณ์อื่นที่เสนอโดยผู้ก่อตั้งแคลคูลัสของอนุพันธ์คือ Leibniz นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันก็ใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน: 
. คุณจะได้เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่มาของการกำหนดนี้ในส่วน ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลและอาร์กิวเมนต์ดิฟเฟอเรนเชียล
ตัวเลขนี้ประเมิน ความเร็วการเปลี่ยนฟังก์ชันผ่านจุด 
.
มาติดตั้งกันเถอะ ความรู้สึกทางเรขาคณิตอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ เราจึงสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=y(x)และทำเครื่องหมายจุดที่กำหนดการเปลี่ยนแปลง y(x)ในระหว่างนี้ 
แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด เอ็ม 0
เราจะพิจารณาตำแหน่งจำกัดของซีแคนต์ เอ็ม 0
เอ็มบนเงื่อนไข 
(จุด เอ็มเลื่อนไปตามกราฟของฟังก์ชันไปยังจุด เอ็ม 0
).
พิจารณา 
. อย่างชัดเจน, 
.
ถ้าประเด็น เอ็มวิ่งตามกราฟของฟังก์ชันไปยังจุด เอ็ม 0
แล้วค่า 
จะมีแนวโน้มถึงขีดจำกัด ซึ่งเราแสดงว่า 
. โดยที่
มุมจำกัด
เกิดขึ้นพร้อมกับมุมเอียงของแทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน รวมทั้ง เอ็ม 0
ดังนั้นอนุพันธ์ 
มีค่าเท่ากับ ความชันสัมผัส
ณ จุดที่กำหนด
-
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง.
ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการของแทนเจนต์และค่าปกติ ( ปกติ เป็นเส้นตั้งฉากกับแทนเจนต์) กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง X 0 :
แทนเจนต์ - .
ปกติ - 
.
สิ่งที่น่าสนใจคือกรณีที่เส้นเหล่านี้อยู่ในแนวนอนหรือแนวตั้ง (ดูหัวข้อ 3 กรณีพิเศษของตำแหน่งของเส้นบนระนาบ) แล้ว,
ถ้า 
;
ถ้า 
.
นิยามของอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง ฟังก์ชั่น.
ถ้าฟังก์ชันที่จุด X 0 มีอนุพันธ์จำกัด เรียกว่า แตกต่างได้ณ จุดนี้. ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในทุกจุดของช่วงบางช่วงเรียกว่า differentiable ในช่วงเวลานี้
ทฤษฎีบท . ถ้าฟังก์ชัน y=y(x)ดิฟเฟอเรนเชียลได้ใน t. X 0 แล้วมันต่อเนื่องตรงจุดนี้
ทางนี้, ความต่อเนื่องเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น (แต่ไม่เพียงพอ) เพื่อให้ฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้
ไม่เสมอไปในชีวิตที่เราสนใจในค่าที่แน่นอนของปริมาณใด ๆ บางครั้งการทราบการเปลี่ยนแปลงของค่านี้เป็นเรื่องที่น่าสนใจ เช่น ความเร็วเฉลี่ยของบัส อัตราส่วนของปริมาณการเคลื่อนที่ต่อช่วงเวลา เป็นต้น หากต้องการเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งกับค่าของฟังก์ชันเดียวกันที่จุดอื่น จะสะดวกที่จะใช้แนวคิด เช่น "การเพิ่มฟังก์ชัน" และ "การเพิ่มอาร์กิวเมนต์"
แนวคิดของ "การเพิ่มฟังก์ชัน" และ "การเพิ่มอาร์กิวเมนต์"
สมมุติว่า x คือจุดใดจุดหนึ่งในบริเวณใกล้เคียงของจุด x0 การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่จุด x0 คือผลต่าง x-x0 การเพิ่มขึ้นแสดงดังนี้: ∆x
- ∆x=x-x0.
บางครั้งค่านี้เรียกอีกอย่างว่าการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระที่จุด x0 ตามมาจากสูตร: x = x0 + ∆x ในกรณีเช่นนี้ ว่ากันว่าค่าเริ่มต้นของตัวแปรอิสระ x0 ได้รับการเพิ่มขึ้น ∆x
ถ้าเราเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ ค่าของฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย
- f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).
การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f ที่จุด x0,การเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกัน ∆x คือความแตกต่าง f(x0 + ∆x) - f(x0) การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะแสดงเป็น ∆f ดังนั้นเราจึงได้รับตามคำจำกัดความ:
- ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).
บางครั้ง ∆f เรียกอีกอย่างว่าการเพิ่มของตัวแปรตาม และ ∆y ใช้เพื่อแสดงว่าฟังก์ชันนั้นคือ y=f(x)
ความรู้สึกทางเรขาคณิตของการเพิ่มขึ้น
ดูภาพถัดไป
อย่างที่คุณเห็น การเพิ่มขึ้นแสดงการเปลี่ยนแปลงในพิกัดและ abscissa ของจุด และอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะเป็นตัวกำหนดมุมเอียงของซีแคนต์ที่ส่งผ่านตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของจุด
พิจารณาตัวอย่างการเพิ่มฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์
ตัวอย่าง 1ค้นหาการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆x และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ∆f ที่จุด x0 ถ้า f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1
ลองใช้สูตรข้างต้น:
ก) ∆х=х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;
- ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;
ข) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;
- ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41
ตัวอย่าง 2คำนวณการเพิ่มขึ้น ∆f สำหรับฟังก์ชัน f(x) = 1/x ที่จุด x0 หากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ ∆x
อีกครั้งเราใช้สูตรที่ได้รับข้างต้น
- ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).
ให้ฟังก์ชันได้รับ ลองใช้ค่าอาร์กิวเมนต์สองค่า: initial 
และดัดแปลงซึ่งมักจะเขียนแทน 
, ที่ไหน 
- จำนวนที่อาร์กิวเมนต์เปลี่ยนเมื่อย้ายจากค่าแรกเป็นค่าที่สองเรียกว่า อาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น
ค่าของอาร์กิวเมนต์และสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันบางอย่าง: ค่าเริ่มต้น 
และดัดแปลง 
, ค่า 
โดยที่ค่าของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนโดย เรียกว่า ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น
2. แนวคิดของลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ตัวเลข 
เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน 
ในขณะที่มุ่งมั่นเพื่อ 
ถ้าสำหรับตัวเลขใดๆ 
มีจำนวนดังกล่าว 
, เพื่อทุกคน 
สนองความไม่เท่าเทียมกัน 
, ความไม่เท่าเทียมกัน 
.
คำจำกัดความที่สอง: ตัวเลขเรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชันเนื่องจากมีแนวโน้มว่าสำหรับจำนวนใด ๆ มีย่านใกล้เคียงของจุดที่สำหรับย่านนี้ ระบุ 
.
3. ฟังก์ชันขนาดใหญ่และเล็กอย่างไม่สิ้นสุด ณ จุดหนึ่ง ฟังก์ชันน้อยสุดที่จุดคือฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดเมื่อเข้าใกล้จุดที่กำหนดเป็นศูนย์ ฟังก์ชันขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด ณ จุดหนึ่งคือฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดเมื่อมีแนวโน้มไปยังจุดที่กำหนดคืออนันต์
4. ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับข้อ จำกัด และผลที่ตามมา (ไม่มีหลักฐาน)
ผลสืบเนื่อง: ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของขีด จำกัด : 
ถ้าลำดับและ 
มาบรรจบกันและขีดจำกัดของลำดับไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น
ผลสืบเนื่อง: ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของขีด จำกัด
11. หากมีข้อ จำกัด ของฟังก์ชั่นสำหรับ 
และ 
และขีดจำกัดของฟังก์ชันไม่เป็นศูนย์
แล้วยังมีขีดจำกัดของอัตราส่วน เท่ากับอัตราส่วนของขีดจำกัดของฟังก์ชันและ :
.
12. ถ้า 
, แล้ว 
และการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน
13. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีด จำกัด ของลำดับขั้นกลาง ถ้าลำดับ 
มาบรรจบกันและ 
และ 
แล้ว 
5. ฟังก์ชันจำกัดที่ระยะอนันต์
จำนวน a เรียกว่า ลิมิตของฟังก์ชันที่อนันต์ (สำหรับ x พุ่งไปที่อนันต์) ถ้าลำดับใด ๆ ที่พุ่งไปที่อนันต์ 
สอดคล้องกับลำดับของค่าที่พุ่งไปที่ตัวเลข เอ.
6. ขีด จำกัด ของลำดับตัวเลข
ตัวเลข เอเรียกว่า ลิมิตของลำดับตัวเลข หากเป็นจำนวนบวกใดๆ 
มีจำนวนธรรมชาติ N ดังนั้นสำหรับทุกคน น>
นู๋ความไม่เท่าเทียมกัน 
.
ตามสัญลักษณ์นี้ถูกกำหนดดังนี้: 
ยุติธรรม .
ความจริงที่ว่าจำนวน เอเป็นขีดจำกัดของลำดับ แสดงดังนี้:
.
7.หมายเลข "อี" ลอการิทึมธรรมชาติ
ตัวเลข "อี"
แสดงถึงขีด จำกัด ของลำดับตัวเลข น-
th สมาชิกซึ่ง 
, เช่น.
.
ลอการิทึมธรรมชาติ - ลอการิทึมฐาน อี
ลอการิทึมธรรมชาติแสดงไว้ 
โดยไม่ต้องให้เหตุผล 
ตัวเลข 
ให้คุณเปลี่ยนจากลอการิทึมทศนิยมเป็นลอการิทึมธรรมชาติและในทางกลับกัน
เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนจากลอการิทึมธรรมชาติเป็นลอการิทึมทศนิยม
8. ข้อ จำกัด ที่ยอดเยี่ยม 
,
.
ขีด จำกัด แรกที่น่าทึ่ง:
ดังนั้นที่ 
โดยทฤษฎีบทจำกัดลำดับขั้นกลาง
ขีด จำกัด ที่สองที่โดดเด่น:
.
เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของขีดจำกัด 
ใช้บทแทรก: สำหรับจำนวนจริงใดๆ 
และ 
ความไม่เท่าเทียมกัน 
(2) (เมื่อ 
หรือ 
ความไม่เท่าเทียมกันกลายเป็นความเท่าเทียมกัน)
ลำดับ (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:
.
ตอนนี้ให้พิจารณาลำดับเสริมด้วยคำทั่วไป 
ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามันลดลงและถูก จำกัด จากด้านล่าง: 
ถ้า 
จากนั้นลำดับก็ลดลง ถ้า 
จากนั้นลำดับจะถูกล้อมรอบจากด้านล่าง มาแสดงกันเถอะ:
เนื่องจากความเท่าเทียมกัน (2)
เช่น. 
หรือ 
. นั่นคือลำดับลดลงและตั้งแต่นั้นมาลำดับก็ถูกล้อมรอบจากด้านล่าง หากลำดับลดลงและถูกจำกัดจากด้านล่าง ลำดับนั้นก็มีขีดจำกัด แล้ว
มีขีดจำกัดและลำดับ (1) เนื่องจาก 
และ 
.
L. Euler เรียกขีดจำกัดนี้ว่า 
.
9. ข้อ จำกัด ทางเดียว, ฟังก์ชั่นการแตกหัก
หมายเลข A คือขีด จำกัด ด้านซ้ายหากสิ่งต่อไปนี้ถือเป็นลำดับใด ๆ : .
ตัวเลข A คือขีดจำกัดที่ถูกต้อง หากสิ่งต่อไปนี้มีไว้สำหรับลำดับใดๆ: .
ถ้าถึงจุดนั้น เอที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหรือขอบเขต เงื่อนไขของความต่อเนื่องของฟังก์ชันถูกละเมิด จากนั้นจุด เอเรียกว่า break point หรือ break ของฟังก์ชัน ถ้าตามจุดมุ่งหมาย
12. ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับที่อัตราส่วนระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้ายังคงไม่เปลี่ยนแปลง อัตราส่วนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้า ผลรวมของครั้งแรก นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแสดงโดยสูตร 
สูตรนี้สะดวกที่จะใช้สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง ซึ่งเป็นความก้าวหน้าที่ค่าสัมบูรณ์ของตัวส่วนน้อยกว่าศูนย์ 
- สมาชิกคนแรก; 
- ตัวหารของความก้าวหน้า; 
- จำนวนสมาชิกของลำดับที่ถ่าย ผลรวมของความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคือจำนวนที่ผลรวมของสมาชิกกลุ่มแรกของการก้าวหน้าที่ลดลงเข้าใกล้อย่างไม่มีกำหนดโดยมีจำนวนเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด 
แล้ว. ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคือ 
.
คำจำกัดความ 1
ถ้าสำหรับแต่ละคู่ $(x,y)$ ของค่าของตัวแปรอิสระสองตัวจากบางโดเมน ค่าที่แน่นอนของ $z$ ถูกกำหนด $z$ ว่าเป็นฟังก์ชันของสองตัวแปร $(x,y )$. สัญกรณ์: $z=f(x,y)$
เกี่ยวกับฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ลองพิจารณาแนวคิดของฟังก์ชันทั่วไป (ทั้งหมด) และการเพิ่มทีละบางส่วนของฟังก์ชัน
ให้ฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ของตัวแปรอิสระสองตัว $(x,y)$ ถูกกำหนด
หมายเหตุ 1
เนื่องจากตัวแปร $(x,y)$ มีความเป็นอิสระ ตัวแปรหนึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้ในขณะที่ตัวแปรอื่นคงที่
ให้ตัวแปร $x$ เพิ่มขึ้น $\Delta x$ ในขณะที่คงค่าของตัวแปร $y$ ไม่เปลี่ยนแปลง
จากนั้นฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ จะได้รับการเพิ่มขึ้น ซึ่งจะเรียกว่าการเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับตัวแปร $x$ การกำหนด:
ในทำนองเดียวกัน เราให้ตัวแปร $y$ เพิ่มขึ้น $\Delta y$ โดยที่ค่าของตัวแปร $x$ ไม่เปลี่ยนแปลง
จากนั้นฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ จะได้รับการเพิ่มขึ้น ซึ่งจะเรียกว่าการเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับตัวแปร $y$ การกำหนด:
ถ้าอาร์กิวเมนต์ $x$ เพิ่มขึ้นโดย $\Delta x$ และอาร์กิวเมนต์ $y$ เพิ่มขึ้นโดย $\Delta y$ ดังนั้น ค่าที่เพิ่มขึ้นทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด $z=f(x,y)$ จะได้รับ . การกำหนด:
ดังนั้นเราจึงมี:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับ $x$;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับ $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - การเพิ่มขึ้นทั้งหมดของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$
ตัวอย่าง 1
วิธีการแก้:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับ $x$;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับ $y$
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - การเพิ่มขึ้นทั้งหมดของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$
ตัวอย่าง 2
คำนวณการเพิ่มขึ้นบางส่วนและทั้งหมดของฟังก์ชัน $z=xy$ ที่จุด $(1;2)$ สำหรับ $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$
วิธีการแก้:
ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นส่วนตัว เราพบว่า:
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับ $x$
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับ $y$;
ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นทั้งหมด เราพบ:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันทั้งหมด $z=f(x,y)$
เพราะเหตุนี้,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]
หมายเหตุ2
การเพิ่มทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด $z=f(x,y)$ ไม่เท่ากับผลรวมของการเพิ่มขึ้นบางส่วน $\Delta _(x) z$ และ $\Delta _(y) z$ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$
ตัวอย่างที่ 3
ตรวจสอบหมายเหตุคำสั่งสำหรับฟังก์ชั่น
วิธีการแก้:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (ได้รับในตัวอย่างที่ 1)
ค้นหาผลรวมของการเพิ่มบางส่วนของฟังก์ชันที่กำหนด $z=f(x,y)$
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\เดลต้า _(x) z+\เดลต้า _(y) z\ne \เดลต้า z.\]
คำจำกัดความ 2
หากสำหรับแต่ละค่าสามตัว $(x,y,z)$ ของตัวแปรอิสระสามตัวจากบางโดเมน ค่าที่แน่นอน $w$ ถูกกำหนดไว้ $w$ จะถูกกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว $(x, y,z)$ ในพื้นที่นี้
สัญกรณ์: $w=f(x,y,z)$
คำจำกัดความ 3
หากสำหรับแต่ละคอลเลกชัน $(x,y,z,...,t)$ ของค่าของตัวแปรอิสระจากบางโดเมน ค่าที่แน่นอน $w$ ถูกกำหนดไว้ $w$ จะถูกกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันของ ตัวแปร $(x,y, z,...,t)$ ในโดเมนที่กำหนด
สัญกรณ์: $w=f(x,y,z,...,t)$.
สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป ในทำนองเดียวกันกับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว การเพิ่มขึ้นบางส่วนจะถูกกำหนดสำหรับแต่ละตัวแปร:
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z,... ,t )$ ใน $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของ $w=f (x,y,z,...,t)$ ส่วน $t$
ตัวอย่างที่ 4
เขียนการเพิ่มขึ้นบางส่วนและทั้งหมดของฟังก์ชัน
วิธีการแก้:
ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นส่วนตัว เราพบว่า:
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ เทียบกับ $x$
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ เทียบกับ $y$;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ เทียบกับ $z$;
ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นทั้งหมด เราพบ:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - การเพิ่มทั้งหมดของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$
ตัวอย่างที่ 5
คำนวณการเพิ่มขึ้นบางส่วนและทั้งหมดของฟังก์ชัน $w=xyz$ ที่จุด $(1;2;1)$ สำหรับ $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1;\, \, \Delta z=0.1$.
วิธีการแก้:
ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นส่วนตัว เราพบว่า:
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ เทียบกับ $x$
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ เทียบกับ $y$;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ เทียบกับ $z$;
ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นทั้งหมด เราพบ:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - การเพิ่มทั้งหมดของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$
เพราะเหตุนี้,
\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1)=1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]
จากมุมมองทางเรขาคณิต การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ (ตามคำจำกัดความ $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) เท่ากับการเพิ่มขึ้นของการใช้ฟังก์ชันกราฟ $z=f(x,y)$ เมื่อผ่านจากจุด $M(x,y)$ ไปยังจุด $M_(1) (x+\Delta x ,y+\Delta y)$ (รูปที่ 1)
รูปที่ 1
ในสาขาฟิสิกส์การแพทย์และชีวภาพ
บรรยาย #1
ฟังก์ชันอนุพันธ์และอนุพันธ์
อนุพันธ์เอกชน
1. แนวคิดของอนุพันธ์ ความหมายทางกลและเรขาคณิต
เอ ) อาร์กิวเมนต์และการเพิ่มฟังก์ชัน
ให้ฟังก์ชัน y=f(х) ถูกกำหนด โดยที่ х คือค่าของอาร์กิวเมนต์จากโดเมนของฟังก์ชัน หากเราเลือกค่าอาร์กิวเมนต์สองค่า x o และ x จากช่วงระยะเวลาหนึ่งของโดเมนของฟังก์ชัน ความแตกต่างระหว่างสองค่าของอาร์กิวเมนต์จะเรียกว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์: x - x o =∆x .
ค่าของอาร์กิวเมนต์ x สามารถกำหนดได้ผ่าน x 0 และการเพิ่มขึ้น: x = x o + ∆x
ความแตกต่างระหว่างสองค่าของฟังก์ชันเรียกว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o)
การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้ (รูปที่ 1) การเพิ่มอาร์กิวเมนต์และการเพิ่มฟังก์ชันอาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ จากรูปที่ 1 ในเชิงเรขาคณิต การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆х จะแสดงโดยการเพิ่มของ abscissa และการเพิ่มของฟังก์ชัน ∆у จะแสดงโดยการเพิ่มของลำดับ การคำนวณการเพิ่มฟังก์ชันควรทำตามลำดับต่อไปนี้:
เราให้อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ∆x และรับค่า - x + Δx;
2) ค้นหาค่าของฟังก์ชันสำหรับค่าของอาร์กิวเมนต์ (х+∆х) – f(х+∆х);
3) ค้นหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ∆f=f(х + ∆х) - f(х)
ตัวอย่าง:กำหนดการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน y=x 2 ถ้าอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก x o =1 เป็น x=3 สำหรับจุด x o ค่าของฟังก์ชัน f (x o) \u003d x² o; สำหรับจุด (x o + ∆x) ค่าของฟังก์ชัน f (x o + ∆x) \u003d (x o + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2 ดังนั้น ∆f = f ( x o + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x เกี่ยวกับ ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8
ข)ปัญหาที่นำไปสู่แนวคิดของอนุพันธ์ ความหมายของอนุพันธ์ ความหมายทางกายภาพ
แนวคิดของการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันเป็นสิ่งจำเป็นในการแนะนำแนวคิดของอนุพันธ์ ซึ่งในอดีตเกิดขึ้นจากความจำเป็นในการกำหนดความเร็วของกระบวนการบางอย่าง
พิจารณาว่าคุณจะกำหนดความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงได้อย่างไร ให้ร่างกายเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย: ∆S= ·∆t. สำหรับการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ:= ∆S/∆t
สำหรับการเคลื่อนที่แบบแปรผัน ค่า ∆S/∆t เป็นตัวกำหนดค่า cf , เช่น cf. =∆S/∆t แต่ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถสะท้อนลักษณะการเคลื่อนไหวของร่างกายและให้แนวคิดเกี่ยวกับความเร็วที่แท้จริง ณ เวลา เสื้อได้ ด้วยระยะเวลาที่ลดลง กล่าวคือ ที่ ∆t→0 ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มถึงขีดจำกัด - ความเร็วชั่วขณะ:
สถาบัน = 
cf. = 
∆S/∆t.
อัตราทันทีของปฏิกิริยาเคมีถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน:
สถาบัน = 
cf. = 
∆х/∆t,
โดยที่ x คือปริมาณของสารที่เกิดขึ้นระหว่างปฏิกิริยาเคมีในช่วงเวลา t งานที่คล้ายกันเพื่อกำหนดความเร็วของกระบวนการต่าง ๆ นำไปสู่การแนะนำทางคณิตศาสตร์ของแนวคิดของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ถูกกำหนดในช่วงเวลา ]a,b[และการเพิ่มขึ้น ∆f=f(x+∆x)–f(x) 
เป็นฟังก์ชันของ ∆x และแสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของฟังก์ชัน
ขีดจำกัดอัตราส่วน 
เมื่อ ∆x→0 โดยมีเงื่อนไขว่าขีดจำกัดนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน :
y" x = 
.
อนุพันธ์จะแสดง: 
- (y ขีดบน x); f "
(x) - (ef ไพรม์บน x) ;
y" - (y จังหวะ); dy / dx –
(de y บน de x);
- (y มีจุด).
ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถพูดได้ว่าความเร็วชั่วขณะของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเป็นอนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลา:
สถาบัน \u003d S "t \u003d f " (ท).
ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับอาร์กิวเมนต์ x คืออัตราการเปลี่ยนแปลงในทันทีของฟังก์ชัน f(x):
y" x \u003d f " (х)= inst.
นี่คือความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน ดังนั้นนิพจน์ "ดิฟเฟอเรนติเอตฟังก์ชัน" จึงเทียบเท่ากับนิพจน์ "หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน"
ใน)ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
พี 
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) มีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่ายที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง M ในขณะเดียวกัน แทนเจนต์ นั่นคือ เส้นตรงแสดงการวิเคราะห์เป็น y = kx = tg x โดยที่
–
มุมเอียงของแทนเจนต์ (เส้นตรง) กับแกน X ลองแทนเส้นโค้งต่อเนื่องเป็นฟังก์ชัน y \u003d f (x) นำจุด M บนเส้นโค้งและจุด M 1 ใกล้กับมันแล้ววาด a ตัดผ่านพวกเขา ความชันเป็นวินาที = tg β = 
. ถ้าเรานำจุด M 1 มาใกล้ M มากขึ้น การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆х
จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และซีแคนต์ที่ β=α จะเข้าแทนที่แทนเจนต์ จากรูปที่ 2 เป็นดังนี้: tgα = 
tgβ = 
\u003d y "x แต่tgαเท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน:
k = tgα = 
\u003d y" x \u003d f "
(X). ดังนั้น ความชันของแทนเจนต์ต่อกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดจึงเท่ากับค่าของอนุพันธ์ที่จุดสัมผัส นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
ช)กฎทั่วไปในการหาอนุพันธ์
ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ กระบวนการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ดังนี้
ฉ(x+∆x) = ฉ(x)+∆f;
ค้นหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);
สร้างอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:
;
ตัวอย่าง: f(x)=x 2 ; ฉ " (x)=?.
อย่างไรก็ตาม ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างง่ายๆ นี้ การใช้ลำดับนี้เมื่อหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการที่ลำบากและซับซ้อน ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันต่างๆ จึงมีการแนะนำสูตรการสร้างความแตกต่างทั่วไป ซึ่งนำเสนอในรูปแบบของตาราง "สูตรพื้นฐานสำหรับฟังก์ชันการสร้างความแตกต่าง"