เขียนสมการระนาบผ่านจุดตั้งฉากกับเส้นตรง สมการระนาบ: จะเขียนอย่างไร? ประเภทของสมการระนาบ

ถ้าตัวเลข A, B, C และ D ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ สมการทั่วไปของระนาบจะเรียกว่า เสร็จสิ้น. มิฉะนั้นจะเรียกว่าสมการทั่วไปของระนาบ ไม่สมบูรณ์.

ให้เราพิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์ทั่วไปของระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในพื้นที่สามมิติ

ให้ D = 0 แล้วเราจะได้สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบของแบบฟอร์ม ระนาบนี้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ผ่านจุดกำเนิด อันที่จริง เมื่อแทนที่พิกัดของจุดให้เป็นสมการที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ เรามาที่เอกลักษณ์ .

สำหรับ , หรือ , หรือ เรามีสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ หรือ , หรือตามลำดับ สมการเหล่านี้กำหนดระนาบขนานกับระนาบพิกัด Oxy , Oxz และ Oyz ตามลำดับ (ดูบทความเงื่อนไข Parallelism สำหรับระนาบ) และผ่านจุด และตามลำดับ ที่. ตั้งแต่ประเด็น เป็นของระนาบตามเงื่อนไข แล้วพิกัดของจุดนี้ต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ นั่นคือ ความเสมอภาคต้องเป็นจริง จากนี้ไปเราจะพบว่า ดังนั้นสมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ .

เรานำเสนอวิธีที่สองในการแก้ปัญหานี้

เนื่องจากระนาบที่เราต้องเขียนสมการทั่วไปนั้นขนานกับระนาบ Oyz เราจึงสามารถหาเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ Oyz เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากได้ เวกเตอร์ปกติของระนาบพิกัด Oyz คือเวกเตอร์พิกัด ตอนนี้เรารู้เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบและจุดระนาบแล้ว ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการทั่วไปของมันได้ (เราแก้ปัญหาที่คล้ายกันในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความนี้):
ดังนั้นพิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน ที่เราพบ ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการทั่วไปที่ต้องการของระนาบได้ มันมีรูปแบบ .

ตอบ:

บรรณานุกรม.

• Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น เล่มที่หนึ่ง: องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์
• Ilyin V.A. , Poznyak E.G. เรขาคณิตวิเคราะห์.

สามารถระบุได้หลายวิธี (หนึ่งจุดและเวกเตอร์ สองจุดและเวกเตอร์ สามจุด ฯลฯ) ด้วยเหตุนี้สมการของระนาบจึงสามารถมีรูปแบบต่างกันได้ นอกจากนี้ ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ระนาบสามารถขนานกัน ตั้งฉาก ตัดกัน ฯลฯ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในบทความนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีเขียนสมการทั่วไปของระนาบไม่เพียงเท่านั้น

รูปแบบปกติของสมการ

สมมติว่ามีช่องว่าง R 3 ที่มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม XYZ มาตั้งค่าเวกเตอร์ α ซึ่งจะถูกปล่อยจากจุดเริ่มต้น O กัน ผ่านจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ α เราวาดระนาบ P ซึ่งจะตั้งฉากกับมัน

แทนด้วย P จุดใดจุดหนึ่ง Q=(x, y, z) เราจะเซ็นรัศมีเวกเตอร์ของจุด Q ด้วยตัวอักษร p ความยาวของเวกเตอร์ α คือ p=IαI และ Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)

นี่คือเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปด้านข้าง เช่นเดียวกับเวกเตอร์ α α, β และ γ คือมุมที่ก่อตัวระหว่างเวกเตอร์ Ʋ และทิศทางบวกของแกนอวกาศ x, y, z ตามลำดับ การฉายภาพของจุด QϵП บนเวกเตอร์ Ʋ เป็นค่าคงที่เท่ากับ р: (р,Ʋ) = р(р≥0)

สมการนี้สมเหตุสมผลเมื่อ p=0 สิ่งเดียวคือระนาบ P ในกรณีนี้จะตัดกับจุด O (α=0) ซึ่งเป็นจุดกำเนิด และเวกเตอร์หน่วย Ʋ ที่ปล่อยจากจุด O จะตั้งฉากกับ P โดยไม่คำนึงถึงทิศทางของมัน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ Ʋ ถูกกำหนดจากสัญญาณที่แม่นยำ สมการก่อนหน้านี้คือสมการของระนาบ P ซึ่งแสดงในรูปเวกเตอร์ แต่ในพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

P ที่นี่มากกว่าหรือเท่ากับ 0 เราพบสมการของระนาบในอวกาศในรูปแบบปกติแล้ว

สมการทั่วไป

ถ้าเราคูณสมการในพิกัดด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราก็จะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา ซึ่งกำหนดระนาบเดียวกันนั้น มันจะมีลักษณะดังนี้:

ในที่นี้ A, B, C คือตัวเลขที่ต่างจากศูนย์พร้อมๆ กัน สมการนี้เรียกว่าสมการระนาบทั่วไป

สมการระนาบ กรณีพิเศษ

สมการในรูปแบบทั่วไปสามารถแก้ไขได้เมื่อมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ลองพิจารณาบางส่วนของพวกเขา

สมมติว่าสัมประสิทธิ์ A เป็น 0 ซึ่งหมายความว่าระนาบที่กำหนดขนานกับแกน Ox ที่กำหนด ในกรณีนี้ รูปแบบของสมการจะเปลี่ยน: Ву+Cz+D=0

ในทำนองเดียวกัน รูปแบบของสมการจะเปลี่ยนภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้

• ประการแรก ถ้า B = 0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Axe + Cz + D = 0 ซึ่งจะบ่งบอกถึงความขนานกับแกน Oy
• ประการที่สอง ถ้า С=0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Ах+Ву+D=0 ซึ่งจะบ่งบอกถึงความขนานกับแกนที่กำหนด ออนซ์
• ประการที่สาม ถ้า D=0 สมการจะมีลักษณะเหมือน Ax+By+Cz=0 ซึ่งหมายความว่าระนาบตัดกับ O (จุดกำเนิด)
• ประการที่สี่ ถ้า A=B=0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Cz+D=0 ซึ่งจะพิสูจน์ว่าขนานกับ Oxy
• ประการที่ห้า ถ้า B=C=0 สมการจะกลายเป็น Ax+D=0 ซึ่งหมายความว่าระนาบถึง Oyz จะขนานกัน
• ประการที่หก ถ้า A=C=0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ Ву+D=0 นั่นคือ จะรายงานการขนานกับ Oxz

ประเภทของสมการในเซกเมนต์

ในกรณีที่ตัวเลข A, B, C, D ไม่เป็นศูนย์ รูปแบบของสมการ (0) จะเป็นดังนี้:

x/a + y/b + z/c = 1,

โดยที่ a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C

เราได้ผลลัพธ์ เป็นที่น่าสังเกตว่าระนาบนี้จะตัดแกน Ox ที่จุดที่มีพิกัด (a,0,0), Oy - (0,b,0) และ Oz - (0,0,c) .

เมื่อพิจารณาสมการ x/a + y/b + z/c = 1 จะทำให้เห็นภาพตำแหน่งของระนาบสัมพันธ์กับระบบพิกัดที่กำหนดได้ง่าย

พิกัดเวกเตอร์ปกติ

เวกเตอร์ตั้งฉาก n ไปยังระนาบ P มีพิกัดที่เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปของระนาบที่กำหนด นั่นคือ n (A, B, C)

เพื่อกำหนดพิกัดของ n ปกติ ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้สมการทั่วไปของระนาบที่กำหนด

เมื่อใช้สมการในส่วนที่มีรูปแบบ x/a + y/b + z/c = 1 เช่นเดียวกับเมื่อใช้สมการทั่วไป เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติใดๆ ของระนาบที่กำหนดได้: (1 /a + 1/b + 1/ ด้วย).

ควรสังเกตว่าเวกเตอร์ปกติช่วยแก้ปัญหาต่างๆ งานที่พบบ่อยที่สุดคือการพิสูจน์ความตั้งฉากหรือความขนานของระนาบ ปัญหาในการหามุมระหว่างระนาบหรือมุมระหว่างระนาบกับเส้น

มุมมองของสมการระนาบตามพิกัดของจุดและเวกเตอร์ปกติ

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ n ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดเรียกว่าปกติ (ปกติ) สำหรับระนาบที่กำหนด

สมมติว่าในพื้นที่พิกัด (ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) Oxyz ได้รับ:

• จุด Mₒ พร้อมพิกัด (xₒ,yₒ,zₒ);
• เวกเตอร์ศูนย์ n=A*i+B*j+C*k

จำเป็นต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่จะผ่านจุด Mₒ ตั้งฉากกับค่าปกติ n

ในอวกาศเราเลือกจุดใดก็ได้และแสดงด้วย M (x y, z) ให้เวกเตอร์รัศมีของจุด M ใดๆ (x, y, z) เป็น r=x*i+y*j+z*k และเวกเตอร์รัศมีของจุด Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. จุด M จะเป็นของระนาบที่กำหนด ถ้าเวกเตอร์ MₒM ตั้งฉากกับเวกเตอร์ n เราเขียนเงื่อนไขมุมฉากโดยใช้ผลคูณสเกลาร์:

[MₒM, n] = 0.

เนื่องจาก MₒM \u003d r-rₒ สมการเวกเตอร์ของระนาบจะมีลักษณะดังนี้:

สมการนี้สามารถอยู่ในรูปแบบอื่นได้ การทำเช่นนี้จะใช้คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์และด้านซ้ายของสมการจะถูกแปลง = - . หากแสดงเป็น c จะได้สมการต่อไปนี้: - c \u003d 0 หรือ \u003d c ซึ่งแสดงความคงตัวของการฉายภาพบนเวกเตอร์ปกติของเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนดที่เป็นของระนาบ

ตอนนี้คุณสามารถหารูปแบบพิกัดของการเขียนสมการเวกเตอร์ของระนาบของเราได้ = 0 เนื่องจาก r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k และ n = A*i+B *j+C*k เรามี:

ปรากฎว่าเรามีสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับค่าปกติ n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

มุมมองของสมการระนาบตามพิกัดของสองจุดและเวกเตอร์โคลิเนียร์กับระนาบ

เรากำหนดจุดโดยพลการสองจุด M′ (x′,y′,z′) และ M″ (x″,y″,z″) เช่นเดียวกับเวกเตอร์ a (a′,a″,a‴)

ตอนนี้ เราสามารถเขียนสมการสำหรับระนาบที่กำหนด ซึ่งจะผ่านจุดที่มี M′ และ M″ รวมถึงจุด M ใดๆ ที่มีพิกัด (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด a

ในกรณีนี้ เวกเตอร์ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) และ M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) จะต้อง coplanar กับเวกเตอร์ a=(a′,a″,a‴) ซึ่งหมายความว่า (M′M, M″M, a)=0.

ดังนั้นสมการระนาบในอวกาศของเราจะเป็นดังนี้:

ประเภทของสมการระนาบตัดกันสามจุด

สมมติว่าเรามีสามจุด: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ซึ่งไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุดที่กำหนด ทฤษฎีเรขาคณิตอ้างว่าระนาบประเภทนี้มีอยู่จริง มีเพียงเครื่องเดียวเท่านั้นที่เลียนแบบไม่ได้ เนื่องจากระนาบนี้ตัดกับจุด (x′, y′, z′) รูปแบบของสมการจะเป็นดังนี้:

ที่นี่ A, B, C แตกต่างจากศูนย์ในเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ เครื่องบินที่กำหนดตัดกันอีกสองจุด: (x″,y″,z″) และ (x‴,y‴,z‴). ในการนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ตอนนี้เราสามารถสร้างระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยไม่ทราบค่า u, v, w:

ในกรณีของเรา x, y หรือ z คือจุดใดก็ได้ที่เป็นไปตามสมการ (1) จากสมการ (1) และระบบสมการ (2) และ (3) ระบบสมการที่ระบุในรูปด้านบนจะเป็นไปตามเวกเตอร์ N (A, B, C) ซึ่งไม่สำคัญ นั่นคือสาเหตุที่ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

สมการ (1) ที่เราได้รับคือสมการของระนาบ มันผ่านตรงผ่าน 3 จุดและง่ายต่อการตรวจสอบ ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องขยายดีเทอร์มีแนนต์ของเราเหนือองค์ประกอบในแถวแรก จากคุณสมบัติที่มีอยู่ของดีเทอร์มีแนนต์ที่ระนาบของเราตัดกันสามจุดที่กำหนดในตอนแรกพร้อมกัน (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . นั่นคือเราได้แก้ไขภารกิจที่ตั้งไว้ก่อนหน้าเราแล้ว

มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ

มุมไดฮีดรัลคือรูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ที่เกิดจากระนาบครึ่งสองระนาบที่เล็ดลอดออกมาจากเส้นตรงเส้นเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูก จำกัด โดยครึ่งระนาบเหล่านี้

สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบด้วยสมการต่อไปนี้:

เรารู้ว่าเวกเตอร์ N=(A,B,C) และ N¹=(A¹,B¹,C¹) ตั้งฉากตามระนาบที่กำหนด ในเรื่องนี้ มุม φ ระหว่างเวกเตอร์ N และ N¹ เท่ากับมุม (ไดฮีดรัล) ซึ่งอยู่ระหว่างระนาบเหล่านี้ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีรูปแบบ:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

อย่างแม่นยำเพราะ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

แค่คำนึงว่า 0≤φ≤π ก็เพียงพอแล้ว

อันที่จริง ระนาบสองระนาบที่ตัดกันเป็นมุมสองมุม (ไดฮีดรัล): φ 1 และ φ 2 . ผลรวมเท่ากับ π (φ 1 + φ 2 = π) สำหรับโคไซน์ของพวกมัน ค่าสัมบูรณ์จะเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกัน นั่นคือ cos φ 1 =-cos φ 2 หากในสมการ (0) เราแทนที่ A, B และ C ด้วยตัวเลข -A, -B และ -C ตามลำดับ สมการที่เราได้รับจะเป็นตัวกำหนดระนาบเดียวกัน มุมเดียว φ ในสมการ cos φ= NN 1 /| N||N 1 | จะถูกแทนที่ด้วย π-φ

สมการระนาบตั้งฉาก

ระนาบจะเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกมันคือ 90 องศา จากเนื้อหาที่สรุปไว้ข้างต้น เราสามารถหาสมการของระนาบตั้งฉากกับอีกระนาบหนึ่งได้ สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบ: Ax+By+Cz+D=0 และ A¹x+B¹y+C¹z+D=0 เราสามารถระบุได้ว่าพวกมันจะตั้งฉากถ้า cosφ=0 ซึ่งหมายความว่า NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0

สมการระนาบขนาน

Parallel คือระนาบสองระนาบที่ไม่มีจุดร่วม

เงื่อนไข (สมการจะเหมือนกับในย่อหน้าก่อนหน้า) คือเวกเตอร์ N และ N¹ ซึ่งตั้งฉากกับพวกมัน เป็นแบบ collinear ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามเงื่อนไขของสัดส่วนต่อไปนี้:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

หากเงื่อนไขสัดส่วนถูกขยาย - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

นี่แสดงว่าเครื่องบินเหล่านี้ตรงกัน ซึ่งหมายความว่าสมการ Ax+By+Cz+D=0 และ A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 อธิบายระนาบเดียว

ระยะทางถึงระนาบจากจุด

สมมุติว่าเรามีระนาบ P ซึ่งได้จากสมการ (0) จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุดนั้นด้วยพิกัด (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องทำให้สมการของระนาบ P อยู่ในรูปแบบปกติ:

(ρ,v)=p (p≥0).

ในกรณีนี้ ρ(x,y,z) คือเวกเตอร์รัศมีของจุด Q ซึ่งอยู่บน P, p คือความยาวของเส้นตั้งฉาก P ซึ่งปล่อยออกมาจากจุดศูนย์ v คือเวกเตอร์หน่วยซึ่งก็คือ ตั้งอยู่ในทิศทาง

ความแตกต่าง ρ-ρº ของเวกเตอร์รัศมีของบางจุด Q \u003d (x, y, z) ที่เป็นของ P เช่นเดียวกับเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนด Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) เป็นเช่นนี้ เวกเตอร์ค่าสัมบูรณ์ของการฉายภาพที่ v เท่ากับระยะทาง d ซึ่งต้องพบจาก Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ถึง P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, แต่

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

ปรากฎว่า

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

ดังนั้น เราจะพบค่าสัมบูรณ์ของนิพจน์ผลลัพธ์ นั่นคือ d ที่ต้องการ

การใช้ภาษาของพารามิเตอร์ทำให้เราเข้าใจได้ชัดเจน:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

หากจุดที่กำหนด Q 0 อยู่บนอีกด้านหนึ่งของระนาบ P เช่นเดียวกับจุดกำเนิด ดังนั้นระหว่างเวกเตอร์ ρ-ρ 0 และ v จึงเป็นดังนี้:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

ในกรณีที่จุด Q 0 ร่วมกับจุดกำเนิด อยู่บนด้านเดียวกันของ P มุมที่สร้างจะแหลมคม กล่าวคือ:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

เป็นผลให้ปรากฎว่าในกรณีแรก (ρ 0 ,v)> р ในวินาที (ρ 0 ,v)<р.

ระนาบแทนเจนต์และสมการ

ระนาบสัมผัสพื้นผิวที่จุดสัมผัส Mº คือระนาบที่มีเส้นสัมผัสสัมผัสที่เป็นไปได้ทั้งหมดกับเส้นโค้งที่ลากผ่านจุดนี้บนพื้นผิว

ด้วยรูปแบบของสมการพื้นผิวนี้ F (x, y, z) \u003d 0 สมการของระนาบสัมผัสที่จุดสัมผัส Mº (xº, yº, zº) จะมีลักษณะดังนี้:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0

หากคุณระบุพื้นผิวในรูปแบบที่ชัดเจน z=f (x, y) ระนาบสัมผัสจะถูกอธิบายโดยสมการ:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

จุดตัดของเครื่องบินสองลำ

ในระบบพิกัด (สี่เหลี่ยม) Oxyz ตั้งอยู่สองระนาบ П′ และ П″ ซึ่งตัดกันและไม่ตรงกัน เนื่องจากระนาบใดๆ ที่อยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป เราจะถือว่า P′ และ P″ ถูกกำหนดโดยสมการ A′x+B′y+C′z+D′=0 และ A″x +B″y+ С″z+D″=0. ในกรณีนี้ เรามี n′ (A′, B′, C′) ปกติของระนาบ P′ และปกติ n″ (A″, B″, C″) ของระนาบ P″ เนื่องจากระนาบของเราไม่ขนานกันและไม่ตรงกัน เวกเตอร์เหล่านี้จึงไม่ขนานกัน โดยใช้ภาษาของคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนเงื่อนไขนี้ได้ดังนี้: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR ให้เส้นที่อยู่ตรงจุดตัดของ P′ และ P″ เขียนแทนด้วยตัวอักษร a ในกรณีนี้ a = P′ ∩ P″

a คือเส้นตรงที่ประกอบด้วยเซตของจุด (ทั่วไป) ของระนาบ П′ และ П″ ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของเส้น a จะต้องเป็นไปตามสมการ A′x+B′y+C′z+D′=0 และ A″x+B″y+C″z+D″= พร้อมกัน 0. ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดจะเป็นคำตอบเฉพาะของระบบสมการต่อไปนี้:

เป็นผลให้ปรากฎว่าการแก้ปัญหา (ทั่วไป) ของระบบสมการนี้จะกำหนดพิกัดของแต่ละจุดของเส้นตรงซึ่งจะทำหน้าที่เป็นจุดตัดของ П′ และ П″ และกำหนดเส้นตรง เส้น a ในระบบพิกัด Oxyz (สี่เหลี่ยม) ในอวกาศ

เพื่อให้ระนาบเดียวลากผ่านจุดสามจุดใดๆ ในอวกาศ จำเป็นที่จุดเหล่านี้จะไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

พิจารณาจุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป

เพื่อให้จุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) อยู่ในระนาบเดียวกันกับจุด M 1 , M 2 , M 3 เวกเตอร์จะต้องเป็นระนาบเดียวกัน

(
) = 0

ทางนี้,

สมการของระนาบที่ผ่านสามจุด:

สมการระนาบเทียบกับจุดสองจุดและเวกเตอร์โคลิเนียร์กับระนาบ

ให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) และเวกเตอร์
.

ให้เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 และ M 2 และจุดใดก็ได้ M (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ .

เวกเตอร์
และเวกเตอร์
ต้องเป็น coplanar เช่น

(
) = 0

สมการระนาบ:

สมการระนาบเทียบกับจุดหนึ่งจุดและเวกเตอร์สองตัว

เครื่องบินคอลลิเนียร์

ให้เวกเตอร์สองตัว
และ
, เครื่องบินคอลลิเนียร์ จากนั้นสำหรับจุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เวกเตอร์
ต้องเป็นระนาบเดียวกัน

สมการระนาบ:

สมการระนาบด้วยจุดและเวกเตอร์ปกติ .

ทฤษฎีบท. ถ้าให้จุด M ในช่องว่าง 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) แล้วสมการระนาบที่ผ่านจุด M 0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งฉาก (อา, บี, ค) ดูเหมือน:

อา(x – x 0 ) + บี(y – y 0 ) + ค(z – z 0 ) = 0.

การพิสูจน์. สำหรับจุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เราสร้างเวกเตอร์ เพราะ เวกเตอร์ - เวกเตอร์ตั้งฉาก แล้วก็ตั้งฉากกับระนาบ แล้วก็ตั้งฉากกับเวกเตอร์
. แล้วผลคูณสเกลาร์

= 0

ดังนั้นเราจึงได้สมการของระนาบ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมการของระนาบในกลุ่ม

ถ้าในสมการทั่วไป Axe + Wu + Cz + D \u003d 0 ให้หารทั้งสองส่วนด้วย (-D)

,

แทนที่
, เราได้รับสมการของระนาบเป็นเซ็กเมนต์:

ตัวเลข a,b,c คือจุดตัดของระนาบตามลำดับโดยมีแกน x, y, z

สมการระนาบในรูปเวกเตอร์

ที่ไหน

- เวกเตอร์รัศมีของจุดปัจจุบัน M(x, y, z)

เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางตั้งฉากตกลงมาจากจุดกำเนิดบนระนาบ

,  และ  คือมุมที่เกิดจากเวกเตอร์นี้ด้วยแกน x, y, z

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากนี้

ในพิกัด สมการนี้มีรูปแบบดังนี้

xcos + ycos + zcos - p = 0

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน

ระยะทางจากจุดใดก็ได้ M 0 (x 0, y 0, z 0) ถึงระนาบ Axe + Vy + Cz + D \u003d 0 คือ:

ตัวอย่าง.หาสมการของระนาบโดยรู้ว่าจุด P (4; -3; 12) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดกำเนิดไปยังระนาบนี้

ดังนั้น A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13 ใช้สูตร:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ตัวอย่าง.หาสมการระนาบที่ผ่านจุดสองจุด P(2; 0; -1) และ

Q(1; -1; 3) ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y - z + 5 = 0

เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y - z + 5 = 0
ขนานกับระนาบที่ต้องการ

เราได้รับ:

ตัวอย่าง.หาสมการระนาบที่ผ่านจุด A(2, -1, 4) และ

В(3, 2, -1) ตั้งฉากกับระนาบ X + ที่ + 2z – 3 = 0.

สมการระนาบที่ต้องการมีรูปแบบดังนี้ A x+ บี y+ C z+ D = 0, เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้ (A, B, C). เวกเตอร์
(1, 3, -5) เป็นของเครื่องบิน เครื่องบินที่ให้เราตั้งฉากกับเครื่องบินที่ต้องการมีเวกเตอร์ปกติ (1, 1, 2). เพราะ จุด A และ B เป็นของระนาบทั้งสอง และระนาบตั้งฉากกัน ดังนั้น

ดังนั้นเวกเตอร์ปกติ (11, -7, -2). เพราะ จุด A เป็นของระนาบที่ต้องการ พิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบนี้ กล่าวคือ 12 + 71 - 24 + D= 0; D= -21

โดยรวมแล้ว เราได้สมการของระนาบ: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

ตัวอย่าง.หาสมการของระนาบโดยรู้ว่าจุด P(4, -3, 12) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดกำเนิดไปยังระนาบนี้

การหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติ
= (4, -3, 12) สมการที่ต้องการของระนาบมีรูปแบบดังนี้ 4 x – 3y + 12z+ D = 0 ในการหาสัมประสิทธิ์ D เราแทนที่พิกัดของจุด Р ลงในสมการ:

16 + 9 + 144 + D = 0

โดยรวมแล้วเราได้สมการที่ต้องการ: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

ตัวอย่าง.กำหนดพิกัดของจุดยอดพีระมิด A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

จงหาความยาวของขอบ A 1 A 2 .

หามุมระหว่างขอบ A 1 A 2 และ A 1 A 4

หามุมระหว่างขอบ A 1 A 4 กับหน้า A 1 A 2 A 3

ขั้นแรก ให้หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับใบหน้า A 1 A 2 A 3 เป็นผลคูณของเวกเตอร์
และ
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

หามุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์
.

-4 – 4 = -8.

มุมที่ต้องการ  ระหว่างเวกเตอร์กับระนาบจะเท่ากับ  = 90 0 - 

หาพื้นที่ใบหน้า A 1 A 2 A 3 .

หาปริมาตรของพีระมิด.

หาสมการระนาบ А 1 А 2 А 3 .

เราใช้สูตรสมการระนาบผ่านสามจุด

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

เมื่อใช้เวอร์ชั่น PC ของ “ หลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูง” คุณสามารถเรียกใช้โปรแกรมที่จะแก้ไขตัวอย่างข้างต้นสำหรับพิกัดใดๆ ของจุดยอดพีระมิด

ดับเบิลคลิกที่ไอคอนเพื่อเปิดโปรแกรม:

ในหน้าต่างโปรแกรมที่เปิดขึ้น ให้ป้อนพิกัดของจุดยอดพีระมิดแล้วกด Enter ดังนั้นคะแนนการตัดสินใจทั้งหมดสามารถรับได้ทีละจุด

หมายเหตุ: ในการรันโปรแกรม คุณต้องติดตั้ง Maple ( Waterloo Maple Inc.) บนคอมพิวเตอร์ของคุณ เวอร์ชันใดก็ได้ที่ขึ้นต้นด้วย MapleV รีลีส 4

บทความนี้ให้แนวคิดเกี่ยวกับวิธีการเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ให้เราวิเคราะห์อัลกอริธึมข้างต้นโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาทั่วไป

การหาสมการระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในอวกาศตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

ให้พื้นที่สามมิติและระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z อยู่ในนั้น จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) เส้นตรง a และระนาบ α ที่ผ่านจุด M 1 ตั้งฉากกับเส้นตรง a ก็จะได้รับเช่นกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบ α

ก่อนดำเนินการแก้ไขปัญหานี้ ให้ระลึกถึงทฤษฎีบทเรขาคณิตจากโปรแกรมสำหรับเกรด 10 - 11 ซึ่งอ่านว่า:

คำจำกัดความ 1

ระนาบเดียวผ่านจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ตอนนี้ให้พิจารณาวิธีหาสมการของระนาบเดี่ยวนี้ที่ผ่านจุดเริ่มต้นและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการทั่วไปของระนาบถ้าทราบพิกัดของจุดที่เป็นของระนาบนี้ เช่นเดียวกับพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ

ตามเงื่อนไขของปัญหาเราได้รับพิกัด x 1, y 1, z 1 ของจุด M 1 ที่ระนาบ α ผ่าน หากเรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α เราก็จะสามารถเขียนสมการที่ต้องการได้

เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α เนื่องจากมันไม่ใช่ศูนย์และอยู่บนเส้น a ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ α จะเป็นเวกเตอร์กำกับใดๆ ของเส้น a ดังนั้น ปัญหาในการหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α จึงกลายเป็นปัญหาในการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a .

การกำหนดพิกัดของเวกเตอร์การกำกับของเส้นตรง a สามารถทำได้หลายวิธี: ขึ้นอยู่กับตัวแปรของการตั้งค่าเส้นตรง a ในเงื่อนไขเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเส้น a ในเงื่อนไขของปัญหาถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของรูปแบบ

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

หรือสมการพาราเมตริกของแบบฟอร์ม:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

จากนั้นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงจะมีพิกัด a x, a y และ a z ในกรณีที่เส้นตรง a แทนด้วยจุดสองจุด M 2 (x 2, y 2, z 2) และ M 3 (x 3, y 3, z 3) พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางจะถูกกำหนดเป็น (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

คำจำกัดความ 2

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด:

กำหนดพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a: a → = (a x, a y, a z) ;

เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α เป็นพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a:

n → = (A , B , C) โดยที่ A = a x , B = a y , C = a z;

เราเขียนสมการระนาบผ่านจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และมีเวกเตอร์ตั้งฉาก n→=(A, B, C) ในรูปแบบ A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 นี่จะเป็นสมการที่ต้องการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในอวกาศและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

สมการทั่วไปที่เป็นผลลัพธ์ของระนาบ: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 ทำให้ได้สมการของระนาบในส่วนต่างๆ หรือสมการปกติของระนาบ

ลองแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริทึมที่ได้รับด้านบน

ตัวอย่าง 1

ให้จุด M 1 (3, - 4, 5) ซึ่งเครื่องบินผ่านและระนาบนี้ตั้งฉากกับเส้นพิกัด O z

วิธีการแก้

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นพิกัด O z จะเป็นเวกเตอร์พิกัด k ⇀ = (0 , 0 , 1) ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบจึงมีพิกัด (0 , 0 , 1) . ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 (3, - 4, 5) ซึ่งเวกเตอร์ปกติมีพิกัด (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

ตอบ: z - 5 = 0 .

พิจารณาวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้:

ตัวอย่างที่ 2

ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น O z จะได้รับจากสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบของรูปแบบ С z + D = 0 , C ≠ 0 . มากำหนดค่าของ C และ D: ค่าที่เครื่องบินผ่านจุดที่กำหนด แทนที่พิกัดของจุดนี้ในสมการ C z + D = 0 เราได้รับ: C · 5 + D = 0 . เหล่านั้น. ตัวเลข C และ D สัมพันธ์กันโดย - D C = 5 . รับ C \u003d 1 เราได้ D \u003d - 5

แทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสมการ C z + D = 0 และรับสมการที่จำเป็นสำหรับระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น O z และผ่านจุด M 1 (3, - 4, 5) .

จะมีลักษณะดังนี้: z - 5 = 0

ตอบ: z - 5 = 0 .

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดและตั้งฉากกับเส้นตรง x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

วิธีการแก้

ตามเงื่อนไขของปัญหา เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าเวกเตอร์นำทางของเส้นตรงที่กำหนดนั้นสามารถใช้เป็นเวกเตอร์ปกติ n → ของระนาบที่กำหนดได้ ดังนั้น: n → = (- 3 , - 7 , 2) . ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด O (0, 0, 0) และมีเวกเตอร์ปกติ n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

เราได้รับสมการที่จำเป็นสำหรับระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ตอบ:- 3x - 7y + 2z = 0

ตัวอย่างที่ 4

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ในพื้นที่สามมิติ มันมีจุดสองจุด A (2 , - 1 , - 2) และ B (3 , - 2 , 4) ระนาบ α ผ่านจุด A ตั้งฉากกับเส้น AB จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบ α เป็นส่วนๆ

วิธีการแก้

ระนาบ α ตั้งฉากกับเส้น AB จากนั้นเวกเตอร์ AB → จะเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α พิกัดของเวกเตอร์นี้พิจารณาจากความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุด B (3, - 2, 4) และ A (2, - 1, - 2):

AB → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ AB → = (1 , - 1 , 6)

สมการทั่วไปของระนาบจะถูกเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

ตอนนี้เราเขียนสมการที่ต้องการของระนาบในส่วนต่างๆ:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

ตอบ:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

ควรสังเกตด้วยว่ามีปัญหาที่ต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดสองระนาบ โดยทั่วไป การแก้ปัญหานี้คือการเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในแนวตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด เนื่องจาก ระนาบตัดกันสองระนาบกำหนดเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 5

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ในนั้นคือจุด M 1 (2, 0, - 5) . สมการของระนาบสองระนาบ 3 x + 2 y + 1 = 0 และ x + 2 z - 1 = 0 ซึ่งตัดกันตามเส้นตรง a จำเป็นต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด M 1 ตั้งฉากกับเส้น a

วิธีการแก้

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a มันตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ตั้งฉาก n 1 → (3 , 2 , 0) ของระนาบ n → (1 , 0 , 2) และเวกเตอร์ตั้งฉาก 3 x + 2 y + 1 = 0 ของระนาบ x + 2 z - 1 = 0 .

จากนั้นเวกเตอร์กำกับ α → เส้นตรง a เรานำผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ n 1 → และ n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

ดังนั้นเวกเตอร์ n → = (4, - 6, - 2) จะเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบตั้งฉากกับเส้น a เราเขียนสมการที่ต้องการของระนาบ:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

ตอบ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter