การดำเนินการเลขคณิตในตัวอย่างระบบไบนารี เลขคณิตไบนารี

เมื่อเพิ่มเลขทศนิยม การจัดตำแหน่งคำสั่งซื้อจะดำเนินการในลำดับที่สูงกว่า:

อัลกอริทึมการเพิ่มจุดลอยตัว:

1. การจัดตำแหน่งคำสั่ง;
2. การเพิ่ม mantissas ในรหัสที่แก้ไขเพิ่มเติม
3. การทำให้เป็นมาตรฐานของผลลัพธ์

ตัวอย่าง #4
A=0.1011*2 10 , B=0.0001*2 11
1. การจัดตำแหน่งคำสั่งซื้อ
A=0.01011*2 11 , B=0.0001*2 11
2. การเพิ่ม mantissas ในรหัสที่แก้ไขเพิ่มเติม
MA เพิ่ม mod =00.01011
ม็อดเพิ่มเติม MB =00.001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0.01101*2 11
3. การทำให้เป็นมาตรฐานของผลลัพธ์
A+B=0.1101*2 10

ตัวอย่าง #3 เขียนเลขทศนิยมในรูปแบบเลขฐานสอง-ทศนิยม และเพิ่มตัวเลขสองตัวในรูปแบบเลขฐานสอง

ส่วน: สารสนเทศ

เป้า: สอนวิธีดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขฐานสองของนักเรียน .
งาน:
เกี่ยวกับการศึกษา:
- การทำซ้ำและรวบรวมความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับระบบตัวเลข
- เพื่อสร้างความสามารถในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างถูกต้องในระบบเลขฐานสองในเด็กนักเรียน
กำลังพัฒนา:
- พัฒนาความคิดเชิงตรรกะของนักเรียน
- เพื่อพัฒนาความสนใจทางปัญญาของนักเรียน

ระหว่างเรียน.

การเรียนรู้วัสดุใหม่
กฎเพิ่มเติม:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
ดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อบวกสองหน่วยในระบบเลขฐานสอง ระเบียนจะกลายเป็น 0 และหน่วยจะถูกโอนไปยังหลักถัดไป เมื่อบวกสามหน่วย จะได้รับ 1 ในบันทึก และหน่วยจะถูกโอนไปยังหลักถัดไป (1+1+1=11)

ตัวอย่างที่ 1
101+10=111

ตัวอย่าง 2
10011+11=1110

1001+11=1100
110+110=1100

กฎการคูณ:
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

ตัวอย่างที่ 1
101*11=1111

คำอธิบาย:
เราคูณแต่ละหลักของปัจจัยที่สองด้วยแต่ละหลักของปัจจัยแรก ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์จะถูกรวมเข้าด้วยกันตามกฎการบวกในระบบเลขฐานสอง (คณิตศาสตร์-ป.3).

ตัวอย่าง 2
1011*101=110111

การตัดสินใจ:

นักเรียนตัดสินใจด้วยตัวเองตามตัวอย่างต่อไปนี้:
1001*101=101101
1001*11=11011

กฎการลบ:
0-0=0
1-0=1
1-1=0
0-1=-1
ดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ความจริงที่ว่า "ลบ" ในกฎข้อสุดท้ายหมายถึง - "ใช้หมวดหมู่ (1)"

ตัวอย่างที่ 1
10110-111=1111

คำอธิบาย:
การลบจะทำในลักษณะเดียวกับในวิชาคณิตศาสตร์ หากตัวเลขใน minuend น้อยกว่าหลักของ subtrahend สำหรับการลบนี้ จำเป็นต้องใช้ตัวเลข (1) เนื่องจาก 10-1=1. หากมี 0 ทางด้านซ้ายของการลบ เราจะไม่สามารถจัดอันดับได้ ในกรณีนี้ เราครองอันดับในหน่วยลบที่หน่วยที่ใกล้ที่สุดทางด้านซ้ายของการลบนี้ ในกรณีนี้ เลขศูนย์ทั้งหมดซึ่งเราไม่สามารถนำหลักได้ จะต้องเปลี่ยนเป็นหนึ่งเพราะ 0-1=-1. ขอแนะนำให้เขียนการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในตัวเลขที่ด้านบนของการลบนี้ ดำเนินการลบเพิ่มเติมด้วยตัวเลขที่ได้จากด้านบน

ตัวอย่าง 2
100000-11=11101

นักเรียนตัดสินใจด้วยตัวเองตามตัวอย่างต่อไปนี้:
100010-100=
101011-10111=

กฎของกอง:
การแบ่งจะดำเนินการตามกฎของคณิตศาสตร์ อย่าลืมว่าเราดำเนินการในระบบเลขฐานสอง

ตัวอย่างที่ 1
101101:1001=101

คำอธิบาย:
โดยส่วนตัวแล้ว เรากล้าเขียน 1 ตัวแรกเพราะว่า ตัวเลขในระบบเลขฐานสองไม่สามารถเริ่มต้นด้วย 0 ได้ เราคูณ 1 นี้ด้วยตัวหาร ผลลัพธ์จะถูกเขียนอย่างถูกต้องภายใต้เงินปันผล โดยพิจารณาจากความลึกของบิต เราทำการลบตามกฎของการลบในระบบเลขฐานสอง เราทำลายหลักถัดไปของเงินปันผล และเปรียบเทียบจำนวนผลลัพธ์กับตัวหาร ในกรณีนี้ จำนวนผลลัพธ์จะน้อยกว่าตัวหาร ในผลหาร เราเขียน 0 (มิฉะนั้น 1) เราลบหลักถัดไปของเงินปันผล เราได้ตัวเลขเท่ากับตัวหาร ในผลหารที่เราเขียน 1 เป็นต้น

ตัวอย่าง 2
101010:111=110

ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
1001000:1000=1001
111100:1010=110

การบ้าน.
เรียกใช้การดำเนินการ:
1100+1101=
101+101=
1011*101=
111*101=
11011-110=
10001-1110=
1011010:1010=

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขตำแหน่ง

ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสอง เลขคณิตของระบบเลขฐานสองขึ้นอยู่กับการใช้ตารางการบวก การลบ และการคูณตัวเลข ตัวถูกดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะอยู่ที่แถวบนสุดและในคอลัมน์แรกของตาราง และผลลัพธ์จะอยู่ที่จุดตัดของคอลัมน์และแถว:

พิจารณาการดำเนินการแต่ละอย่างโดยละเอียด

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.ตารางบวกเลขฐานสองนั้นง่ายมาก ในกรณีเดียวเท่านั้น เมื่อทำการบวกเพิ่ม 1+1, จะถูกโอนไปยังตำแหน่งบน ,

การลบเมื่อดำเนินการลบ จำนวนที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่าด้วยค่าสัมบูรณ์เสมอและจะมีการใส่เครื่องหมายที่สอดคล้องกัน ในตารางการลบ 1 ที่มีแท่งหมายถึงเงินกู้ที่มีคำสั่งซื้อสูง

การคูณการดำเนินการคูณจะดำเนินการโดยใช้ตารางสูตรคูณตามรูปแบบปกติที่ใช้ในระบบเลขฐานสิบโดยมีการคูณตัวคูณแบบต่อเนื่องด้วยตัวเลขถัดไปของตัวคูณ

แผนก.การดำเนินการหารจะดำเนินการตามอัลกอริธึมที่คล้ายกับอัลกอริธึมการดำเนินการหารในระบบเลขฐานสิบ

การแปลงตัวเลขจากไบนารีเป็นทศนิยม

การแปลงตัวเลขจากไบนารีเป็นทศนิยมสามารถทำได้สำหรับส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขตามอัลกอริธึมเดียวโดยการคำนวณผลรวมของผลิตภัณฑ์ของเลขฐานสองด้วยน้ำหนักของความคุ้นเคย:

11100011 2 =1*2 7 +1*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =128+64+32+2+1=227 10

0,10100011 2 =1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 +0*2 -4 +0*2 -5 ++0*2 -6 +1*2 -7 +1*2 -8 =0.5+0.125+0.0078+0.0039=0.6367

การแปลงตัวเลขจากทศนิยมเป็นไบนารี

การแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นไบนารีจะดำเนินการแยกกันสำหรับส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

ก) เลขทศนิยมทั้งหมดหารด้วยฐาน 2 ทั้งหมด จากนั้นผลหารของการหารจำนวนเต็มทั้งหมดจะถูกหารด้วย 2 จนกว่าผลหารจะน้อยกว่าฐาน ผลลัพธ์ประกอบด้วยผลหารสุดท้ายและผลหารที่เหลือทั้งหมดของการหาร โดยเริ่มจากค่าสุดท้าย ตัวอย่างเช่น:

แปลงตัวเลข 227 เป็นรูปแบบไบนารี:

227:2=113 (เขียนเศษที่เหลือของดิวิชั่น 1 ลงในผลลัพธ์), 113:2=56 (เขียนส่วนที่เหลือของดิวิชั่น 1 ลงในผลลัพธ์), 56:2=28 (เขียนเศษที่เหลือของดิวิชั่น 0 ลงในผลลัพธ์) , 28:2=14 (เขียนเศษที่เหลือของดิวิชั่น 0 ลงในผลลัพธ์), 14:2=7 (เขียนเศษที่เหลือของดิวิชั่น 0 ลงในผลลัพธ์), 7:2=3 (เขียนส่วนที่เหลือของดิวิชั่น 1 ลงในผลลัพธ์ ), 3:2=1 (เขียนส่วนที่เหลือลงในผลลัพธ์จากการหาร 1) เราเขียนผลหารสุดท้ายในผลลัพธ์ - 1. ทั้งหมดที่เราได้รับ: 227 10 \u003d 11100011 2 ลองกลับมาตรวจสอบดู:

1*2 0 +1*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +0*2 4 +1*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =1+2+32+64+128=227

b) ทศนิยมถูกคูณด้วยฐาน 2 ตามลำดับ และทันทีหลังจากการคูณแต่ละครั้ง ส่วนของจำนวนเต็มที่เป็นผลลัพธ์จะถูกเขียนลงในผลลัพธ์ และไม่เกี่ยวข้องกับการคูณเพิ่มเติม (ทิ้งไป) จำนวนการดำเนินการคูณขึ้นอยู่กับความแม่นยำที่ต้องการ เช่น

มาแปลงตัวเลข 0.64 เป็นรูปแบบไบนารีกัน:

0.64*2=1.28 (ทิ้ง 1 และเขียน 1 เพื่อผลลัพธ์)

0.28*2=0.56 (เขียน 0 ลงในผลลัพธ์)

0.56*2=1.12 (ทิ้ง 1 และเขียน 1 เพื่อผลลัพธ์)

0.12*2=0.24 (เขียน 0 ลงในผลลัพธ์)

0.24*2=0.48 (เขียน 0 ลงในผลลัพธ์)

0.48*2=0.96 (เขียน 0 ลงในผลลัพธ์)

0.96*2=1.82 (เขียน 1 ลงในผลลัพธ์)

รวม: 0.64 10 =0.1010001 2

ลองกลับมาตรวจสอบดู:

1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 +0*2 -4 +0*2 -5 +0*2 -6 +1*2 -7 = 0.5*0+0.125+0+0+0+0.0078=0.6328

คอมพิวเตอร์แทนจำนวนลบ

โปรดทราบว่าเลขฐานสองถูกเก็บไว้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ในการลงทะเบียนที่ประกอบด้วย 8 เซลล์เช่น เลขฐานสองขั้นต่ำที่สามารถเก็บไว้ในหน่วยความจำต้องเป็นแปดบิต ในกรณีนี้ ศูนย์จะถูกเขียนในเซลล์ที่ไม่มีการเติมของรีจิสเตอร์ (ในบิตสูงสุด)

ต่างจากระบบทศนิยมตรงที่ ระบบเลขฐานสองไม่มีอักขระพิเศษที่ระบุเครื่องหมายของตัวเลข: บวก (+) หรือลบ (-) ดังนั้น สองรูปแบบต่อไปนี้จึงใช้แทนตัวเลขลบไบนารี

แบบฟอร์มค่าลงนาม– ตัวเลขที่สำคัญที่สุด (ซ้าย) ถูกทำเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายและมีข้อมูลเกี่ยวกับเครื่องหมายของตัวเลขเท่านั้น:

1 เป็นจำนวนลบ 0 เป็นจำนวนบวก

ตัวเลขที่เหลือจะถูกสงวนไว้สำหรับค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข

5 10 = 0000 0101 2 ; -5 10 =1000 0101 2 .

อุปกรณ์ของคอมพิวเตอร์ได้รับการออกแบบเพื่อให้แสดงตัวเลขติดลบในรหัสเพิ่มเติม เนื่องจากจะช่วยประหยัดเวลาได้มากเมื่อดำเนินการคำนวณกับตัวเลข

รูปแบบของรหัสเพิ่มเติมย้อนกลับ การแปลจะดำเนินการตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

1) ทิ้งเครื่องหมายบิต;

2) กลับหลักทั้งหมดของตัวเลข;

3) เพิ่มรหัสที่ได้รับ;

4) คืนค่าหน่วยในบิตสัญญาณ
ตัวอย่างเช่น:

การแปลงตัวเลข -5 10

เราเขียนในรูปแบบไบนารี: 1000 0101; ทิ้งเครื่องหมายบิต: 000 0101; กลับหลักทั้งหมด: 111 1010; เพิ่มหนึ่ง: 111 1010 + 1 = 111 1011; เราคืนค่าหน่วยในเครื่องหมายบิต: 1111 1011 รวม -5 10 ในรหัสเพิ่มเติมผกผันเขียนเป็น 1111 1011

กฎสำหรับการดำเนินการเลขคณิตในระบบเลขฐานสอง

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.การบวกจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในระบบทศนิยม ล้นเล็กน้อยส่งผลให้เป็น 1 ในบิตถัดไป:

0+0=0, 0+1=1, 1+1=10;

+ 111011

การลบเนื่องจากคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่มีตัวบวกฮาร์ดแวร์เพียงตัวเดียว ซึ่งใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด การลบจึงลดลงเป็นบวกด้วยจำนวนลบ:

กฎการลบในระบบเลขฐานสองอัลกอริธึมการลบโดยการเพิ่มรหัสเพิ่มเติม:

1) แปลงจำนวนลบจากแบบฟอร์มที่ลงนามเป็นรหัสเพิ่มเติม

2) ดำเนินการบวกเลขฐานสองกับตัวเลขทั้งหมด
รวมทั้งที่ลงนามโดยไม่สนใจหน่วยพกพาจากสูงสุด
ปล่อย;

3) เมื่อตัวเลขเครื่องหมายของผลรวมเท่ากับหนึ่งซึ่งหมายถึง
รับผลลัพธ์เชิงลบในรูปแบบของรหัสเพิ่มเติม
จำเป็นต้องแปลงผลลัพธ์เป็นรูปแบบที่ลงนาม (โดยใช้อัลกอริธึมการแปลงในรูปแบบย้อนกลับ)

ตัวอย่างเช่น ลองดำเนินการ 13-15=13+(-15)

1. เราแปล -15 เป็นโค้ดเพิ่มเติม:

1000 1111 –> 000 1111 -> 111 0000 -> 111 0000 +1=111 0001 -> 1111 0001

2. เพิ่ม 13 และ -15:

+11110001

3. เราแปลเป็นรูปแบบไบนารีปกติ:

1111 1110 -> 111 1110 ->000 0001 -> 000 0001+1=000 0010 -> 1000 0010 = -2 10

ดังนั้น เมื่อทำการบวกและการลบ หน่วยลอจิกเลขคณิตของโปรเซสเซอร์จะต้องทำการบวกระดับบิตด้วยการพกพา การผกผัน และตรวจสอบเครื่องหมายของเลขฐานสอง

ในกรณีที่จำเป็นต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขที่มากกว่า 127 ตัวเลขเหล่านี้จะไม่อยู่ในหนึ่งเดียวอีกต่อไป แต่จะอยู่ในสองไบต์ขึ้นไป

ตัวอย่างเช่น ลองดำเนินการ: 15-13=15+(-13)

1. เราแปล -13 เป็นรหัสเพิ่มเติม:

1000 1101 –> 000 1101 -> 111 0010 -> 111 0010 +1=111 0011 -> 1111 0011

2. เพิ่ม 15 และ -13:

+11110011

3. บิตเครื่องหมายคือ 0, ไม่จำเป็นต้องมีการแปลย้อนกลับ เช่น ผลลัพธ์คือ 0000 0010=2 10

การคูณหากดำเนินการกะร่วมกับการดำเนินการที่ระบุไว้ จากนั้นใช้ตัวบวก คุณยังสามารถทำการคูณได้ ซึ่งจะลดเป็นชุดของการเพิ่มซ้ำๆ หากตัวเลขในตำแหน่งศูนย์ของตัวคูณเท่ากับ 1 ตัวคูณจะถูกเขียนใหม่ภายใต้ตัวเลขที่ตรงกัน การคูณด้วยหน่วยที่ตามมาจะนำไปสู่การเลื่อนเทอมไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง หากตัวคูณเป็น 0 เทอมถัดไปจะถูกเลื่อนไปทางซ้ายสองตำแหน่ง

ตัวอย่างเช่น ลองคูณ 6 (0000 0110) ด้วย 5 (0000 0101):

*00000101

(คูณด้วย 1) +00000110

(คูณด้วย 0) 1

(คูณด้วย 1) + 0000011011

ตรวจสอบ: 0001 1110=0*2 0 +1*2 1 +1*2 2 +1*2 3 +1*2 4 =2+4+8=16=30

ตัวอย่างเช่น ลองคูณ 15 (0000 1111) ด้วย 13 (0000 1101):

*00001101

(คูณด้วย 1) +00001111

(คูณด้วย 0) 1

(คูณด้วย 1) +0000111111

(คูณด้วย 1) + 00001111111

ตรวจสอบ: 1100 0011=1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =1+2+64 +128=195

แผนก.เมื่อทำการหาร การดำเนินการลบจะดำเนินการหลายครั้ง ดังนั้น คุณต้องหารหัสตัวหารเพิ่มเติมก่อน การแบ่งทำได้โดยการลบและขยับซ้ำๆ ตัวอย่างเช่น ลองหารตัวเลข 195 (1100 0011) ด้วย 15 (0000 1111) รหัสเพิ่มเติมของตัวเลขคือ 0000 1111 -> 11110001 เนื่องจากตามกฎของการหาร เงินปันผลระหว่างกลางแต่ละรายการจะต้องมากกว่าตัวหาร เราจึงเลือกหมายเลข 11000 เป็นเงินปันผลแรก กล่าวคือ ตัวเลขห้าหลักแรกและเพิ่มศูนย์สามตัวทางด้านซ้าย เสริมการปันผลเป็น 8 หลัก จากนั้นเราเพิ่มด้วยรหัสเพิ่มเติมของเงินปันผลและป้อนหน่วยลงในผลลัพธ์ หากเงินปันผลครั้งต่อไปหลังจากการรื้อถอนหลักถัดไปมีค่าน้อยกว่าตัวหาร จะมีการป้อนศูนย์ในผลลัพธ์ และอีกหนึ่งหลักจากเงินปันผลเดิมจะถูกทำลายลงในเงินปันผล