อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ผลหารของการหารไซน์ของมุมอัลฟาด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกันนั้นเท่ากับแทนเจนต์ของมุมนี้ (สูตร 1) ดูเพิ่มเติมที่การพิสูจน์ความถูกต้องของการแปลงเอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ผลหารของการหารโคไซน์ของมุมอัลฟาด้วยไซน์ของมุมเดียวกัน เท่ากับโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกัน (สูตร 2)
ซีแคนต์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่งหารด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกัน (สูตร 3)
ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกันมีค่าเท่ากับหนึ่ง (สูตร 4) ดูการพิสูจน์ผลบวกกำลังสองของโคไซน์กับไซน์ด้วย
ผลรวมของหน่วยและแทนเจนต์ของมุมเท่ากับอัตราส่วนของหน่วยต่อกำลังสองของโคไซน์ของมุมนี้ (สูตร 5)
หน่วยบวกโคแทนเจนต์ของมุมเท่ากับผลหารหารหน่วยด้วยสี่เหลี่ยมไซน์ของมุมนี้ (สูตร 6)
ผลคูณของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันมีค่าเท่ากับหนึ่ง (สูตร 7)
การแปลงมุมลบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (คู่และคี่)
เพื่อกำจัดค่าลบของการวัดองศาของมุมเมื่อคำนวณไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ คุณสามารถใช้การแปลงตรีโกณมิติ (เอกลักษณ์) ต่อไปนี้ตามหลักการของฟังก์ชันตรีโกณมิติคู่หรือคี่
ตามที่เห็น, โคไซน์และซีแคนต์คือ แม้กระทั่งการทำงาน, ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่.
ไซน์ของมุมลบเท่ากับค่าลบของไซน์ของมุมบวกเดียวกันนั้น (ลบไซน์ของอัลฟา)
โคไซน์ "ลบอัลฟา" จะให้ค่าเดียวกับโคไซน์ของมุมอัลฟา
แทนเจนต์ ลบ อัลฟา เท่ากับ ลบ แทนเจนต์ อัลฟา
สูตรลดมุมคู่ (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมคู่)
หากคุณต้องการแบ่งมุมครึ่งหนึ่ง หรือในทางกลับกัน จากมุมสองเท่าเป็นมุมเดียว คุณสามารถใช้ข้อมูลเฉพาะเกี่ยวกับตรีโกณมิติต่อไปนี้:
การแปลงมุมคู่ (ไซน์มุมคู่ โคไซน์มุมคู่และแทนเจนต์มุมคู่) เป็นอันเดียวเกิดขึ้นตามกฎต่อไปนี้:
ไซน์ของมุมสองเท่าเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียว
โคไซน์ของมุมสองเท่าเท่ากับผลต่างระหว่างกำลังสองของโคไซน์ของมุมเดียวกับกำลังสองของไซน์ของมุมนี้
โคไซน์ของมุมสองเท่าเท่ากับสองเท่าของกำลังสองของโคไซน์ของมุมเดียวลบหนึ่ง
โคไซน์ของมุมสองเท่าเท่ากับ 1 ลบ ดับเบิ้ลไซน์สแควร์ของมุมเดียว
แทนเจนต์มุมคู่เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นสองเท่าของแทนเจนต์ของมุมเดียว และตัวส่วนมีค่าเท่ากับหนึ่งลบแทนเจนต์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของมุมเดียว
โคแทนเจนต์สองมุมเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นกำลังสองของโคแทนเจนต์ของมุมเดียวลบหนึ่ง และตัวส่วนเท่ากับสองเท่าของโคแทนเจนต์ของมุมเดียว
สูตรทดแทนตรีโกณมิติสากล
สูตรการแปลงด้านล่างมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการแบ่งอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin α, cos α, tg α) ด้วยสอง และนำนิพจน์มามีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุม จากค่าของ α เราได้ α/2 .สูตรเหล่านี้เรียกว่า สูตรของการแทนที่ตรีโกณมิติสากล. ค่าของมันอยู่ในความจริงที่ว่านิพจน์ตรีโกณมิติด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาลดลงเป็นการแสดงออกของแทนเจนต์ของครึ่งมุมโดยไม่คำนึงถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin cos tg ctg) เดิมในนิพจน์ หลังจากนั้น สมการที่มีแทนเจนต์ของครึ่งมุมจะแก้ได้ง่ายกว่ามาก
อัตลักษณ์การแปลงครึ่งมุมตรีโกณมิติ
ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับการแปลงค่าตรีโกณมิติจากค่าครึ่งหนึ่งของมุมเป็นค่าจำนวนเต็มค่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ α/2 ลดลงเป็นค่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ α
สูตรตรีโกณมิติสำหรับการบวกมุม
cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β
บาป (α + β) = บาป α cos β + บาป β cos α
บาป (α - β) = บาป α cos β - บาป β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β
แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมของมุมอัลฟ่าและเบต้าสามารถแปลงได้ตามกฎต่อไปนี้สำหรับการแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
แทนเจนต์ของผลรวมของมุมเท่ากับเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลรวมของแทนเจนต์ของมุมที่หนึ่งและแทนเจนต์ของมุมที่สอง และตัวส่วนคือหนึ่งลบผลคูณของแทนเจนต์ของมุมแรกและแทนเจนต์ของมุมที่สอง
แทนเจนต์ความแตกต่างของมุมเท่ากับเศษส่วน ตัวเศษซึ่งเท่ากับผลต่างระหว่างแทนเจนต์ของมุมลดลงกับแทนเจนต์ของมุมที่จะลบ และตัวส่วนเป็นหนึ่งบวกผลคูณของแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้
โคแทนเจนต์ของผลรวมของมุมเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับผลคูณของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้บวกหนึ่ง และตัวส่วนเท่ากับผลต่างระหว่างโคแทนเจนต์ของมุมที่สองกับโคแทนเจนต์ของมุมแรก
โคแทนเจนต์ของความแตกต่างของมุมเท่ากับเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ลบหนึ่ง และตัวส่วนเท่ากับผลรวมของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้
ข้อมูลเฉพาะทางตรีโกณมิติเหล่านี้สะดวกต่อการใช้งานเมื่อคุณต้องการคำนวณ เช่น แทนเจนต์ที่ 105 องศา (tg 105) ถ้ามันแสดงเป็น tg (45 + 60) คุณสามารถใช้การแปลงที่เหมือนกันที่กำหนดของแทนเจนต์ของผลรวมของมุม หลังจากนั้นคุณเพียงแค่แทนที่ค่าตารางของแทนเจนต์ของ 45 และแทนเจนต์ 60 องศา
สูตรสำหรับแปลงผลรวมหรือผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
นิพจน์ที่แทนผลรวมของรูปแบบ sin α + sin β สามารถแปลงได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:
สูตรมุมสามเท่า - แปลง sin3α cos3α tg3α เป็น sinα cosα tgα
บางครั้งจำเป็นต้องแปลงค่าสามเท่าของมุมเพื่อให้มุม α กลายเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติแทน 3αในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตร (เอกลักษณ์) สำหรับการแปลงมุมสามเท่าได้:
สูตรสำหรับการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
หากจำเป็นต้องแปลงผลคูณของไซน์ในมุมต่างๆ ของโคไซน์ที่มีมุมต่างกัน หรือแม้แต่ผลคูณของไซน์และโคไซน์ คุณสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติต่อไปนี้ได้:
ในกรณีนี้ ผลคูณของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ของมุมต่างๆ จะถูกแปลงเป็นผลรวมหรือผลต่าง
สูตรลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ
คุณต้องใช้ตารางแคสต์ดังนี้ ในบรรทัด เลือกฟังก์ชันที่เราสนใจ คอลัมน์เป็นมุม ตัวอย่างเช่น ไซน์ของมุม (α+90) ที่จุดตัดของแถวแรกและคอลัมน์แรก เราพบว่า sin (α+90) = cos α .
|BD| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน
แทนเจนต์ ( tgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้าม |BC| ถึงความยาวของขาข้างเคียง |AB| .
โคแทนเจนต์ ( ctgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .
แทนเจนต์
ที่ไหน น- ทั้งหมด.
ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.
กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tg x
โคแทนเจนต์
ที่ไหน น- ทั้งหมด.
ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
สัญกรณ์ต่อไปนี้ยังถูกนำมาใช้:
;
;
.
กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x
คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์
เป็นระยะ
ฟังก์ชัน y= tg xและ y= ctg xเป็นคาบที่มีคาบ π
ความเท่าเทียมกัน
ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นค่าคี่
โดเมนของความหมายและค่า จากน้อยไปมาก จากมากไปน้อย
ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ (ดูการพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงในตาราง ( น- จำนวนเต็ม)
| y= tg x | y= ctg x | |
| ขอบเขตและความต่อเนื่อง | ||
| ช่วงของค่า | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| จากน้อยไปมาก | - | |
| จากมากไปน้อย | - | |
| สุดขั้ว | - | - |
| ศูนย์, y= 0 | ||
| จุดตัดกับแกน y, x = 0 | y= 0 | - |
สูตร
นิพจน์ในแง่ของไซน์และโคไซน์
;
;
;
;
;
สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและส่วนต่าง
สูตรที่เหลือหาได้ง่ายเช่น
ผลิตภัณฑ์ของแทนเจนต์
สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์
ตารางนี้แสดงค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าบางค่าของการโต้แย้ง 
นิพจน์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน
นิพจน์ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
;
;
อนุพันธ์
; .
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน :
.
ที่มาของสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >
ปริพันธ์
ขยายเป็นซีรีส์
เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในยกกำลังของ x คุณต้องพิจารณาเงื่อนไขการขยายหลายชุดในอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ cos xและแบ่งพหุนามเหล่านี้ออกจากกัน , . ซึ่งส่งผลในสูตรต่อไปนี้
ที่ .
ที่ .
ที่ไหน บีน- เบอร์นูลลี พวกเขาจะถูกกำหนดอย่างใดอย่างหนึ่งจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรลาปลาซ: 
ฟังก์ชันผกผัน
ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์ตามลำดับ
อาร์คแทนเจนต์ arctg
, ที่ไหน น- ทั้งหมด.
อาร์คแทนเจนต์ arcctg
, ที่ไหน น- ทั้งหมด.
ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2555.
ค่าไซน์อยู่ในช่วง [-1; 1] กล่าวคือ -1 ≤ บาป α ≤ 1 ดังนั้น ถ้า |a| > 1 แล้วสมการ sin x = a ไม่มีราก ตัวอย่างเช่น สมการ sin x = 2 ไม่มีราก
มาดูงานกันบ้าง
แก้สมการบาป x = 1/2
การตัดสินใจ.
โปรดทราบว่าบาป x คือพิกัดของจุดของวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งได้มาจากการหมุนของจุด Р (1; 0) โดยมุม x รอบจุดกำเนิด
มีพิกัดเท่ากับ ½ ที่จุดสองจุดของวงกลม M 1 และ M 2
ตั้งแต่ 1/2 \u003d บาป π / 6 ดังนั้นจุด M 1 ได้มาจากจุด P (1; 0) โดยการหมุนมุม x 1 \u003d π / 6 เช่นเดียวกับผ่านมุม x \u003d π / 6 + 2πk โดยที่ k \u003d +/-1, +/-2, …
จุด M 2 ได้มาจากจุด P (1; 0) จากการเลี้ยวผ่านมุม x 2 = 5π/6 เช่นเดียวกับผ่านมุม x = 5π/6 + 2πk โดยที่ k = +/- 1, +/-2, ... , เช่น ที่มุม x = π – π/6 + 2πk โดยที่ k = +/-1, +/-2, ….
ดังนั้น รากทั้งหมดของสมการ sin x = 1/2 สามารถหาได้จากสูตร x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 +2πk โดยที่ k € Z
สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียว: x \u003d (-1) n π / 6 + πn โดยที่ n € Z (1)
อันที่จริง ถ้า n เป็นจำนวนคู่ นั่นคือ n = 2k จากสูตร (1) เราจะได้ x = π/6 + 2πk และถ้า n เป็นจำนวนคี่ นั่นคือ n = 2k + 1 จากสูตร (1) เราจะได้ x = π – π/6 + 2πk
ตอบ. x \u003d (-1) n π / 6 + πn โดยที่ n € Z
แก้สมการบาป x = -1/2
การตัดสินใจ.
พิกัด -1/2 มีจุดสองจุดของวงกลมหนึ่งหน่วย M 1 และ M 2 โดยที่ x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6 ดังนั้น รากทั้งหมดของสมการ sin x = -1/2 สามารถหาได้จากสูตร x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 +2πk, k ∈ Z.
เราสามารถรวมสูตรเหล่านี้เป็นหนึ่งเดียว: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2)
แน่นอน ถ้า n = 2k ตามสูตร (2) เราจะได้ x = -π/6 + 2πk และถ้า n = 2k – 1 จากนั้นตามสูตร (2) เราจะพบว่า x = -5π/6 + 2πk
ตอบ. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
ดังนั้น สมการแต่ละข้อ sin x = 1/2 และ sin x = -1/2 จึงมีรากเป็นอนันต์
ในส่วน -π/2 ≤ x ≤ π/2 แต่ละสมการมีรากเดียว:
x 1 \u003d π / 6 - รากของสมการบาป x \u003d 1/2 และ x 1 \u003d -π / 6 - รากของสมการบาป x \u003d -1/2
หมายเลข π/6 เรียกว่าอาร์กไซน์ของจำนวน 1/2 และเขียนไว้ว่า: arcsin 1/2 = π/6; ตัวเลข -π/6 เรียกว่าอาร์กไซน์ของตัวเลข -1/2 และเขียนว่า: arcsin (-1/2) = -π/6
โดยทั่วไป สมการ sin x \u003d a โดยที่ -1 ≤ a ≤ 1 ในส่วน -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 มีเพียงรูทเดียวเท่านั้น ถ้า ≥ 0 แสดงว่ารูทอยู่ในช่วงเวลา ถ้า< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
ดังนั้น ค่าอาร์กไซน์ของจำนวน a € [–1; 1] ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า € [–π/2; π/2] ซึ่งไซน์เป็น a.
arcsin a = α ถ้า sin α = a และ -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3)
ตัวอย่างเช่น arcsin √2/2 = π/4 เนื่องจาก sin π/4 = √2/2 และ – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, เนื่องจาก sin (-π/3) = -√3/2 และ – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
ในทำนองเดียวกันกับวิธีการแก้ปัญหาที่ 1 และ 2 นั้นสามารถแสดงให้เห็นได้ว่ารากของสมการ sin x = a โดยที่ |a| ≤ 1 แสดงโดยสูตร
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4)
นอกจากนี้เรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับ € [-1; 1] สูตร arcsin (-a) = -arcsin a ถูกต้อง
จากสูตร (4) จะเป็นไปตามรากของสมการ
sin x \u003d a สำหรับ a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 สามารถพบได้โดยใช้สูตรที่ง่ายกว่า:
บาป x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
บาป x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
บาป x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
ออกกำลังกาย.
หาค่าของ x ได้ที่
การตัดสินใจ.
ในการหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน ซึ่งเท่ากับค่าบางอย่าง หมายถึงการพิจารณาว่าอาร์กิวเมนต์ใด ค่าของไซน์จะเหมือนกับที่ระบุไว้ในเงื่อนไขทุกประการ
ในกรณีนี้เราต้องหาว่าค่าของไซน์จะเท่ากับ 1/2 ว่ามีค่าอะไร สามารถทำได้หลายวิธี
ตัวอย่างเช่น ใช้ เพื่อกำหนดว่าค่าใดของ x ฟังก์ชันไซน์จะเท่ากับ 1/2
อีกวิธีหนึ่งคือการใช้ ฉันขอเตือนคุณว่าค่าของไซน์อยู่บนแกน Oy
วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพูดถึงค่ามาตรฐานสำหรับฟังก์ชันนี้เป็น 1/2
ในทุกกรณีเราไม่ควรลืมคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของไซน์ - ช่วงเวลาของมัน
ลองหาค่า 1/2 สำหรับไซน์ในตารางและดูว่าอาร์กิวเมนต์ใดสอดคล้องกับค่านั้น อาร์กิวเมนต์ที่เราสนใจคือ Pi / 6 และ 5Pi / 6
เขียนรากทั้งหมดที่ตรงตามสมการที่กำหนด ในการทำเช่นนี้เราเขียนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่รู้จัก x ที่น่าสนใจสำหรับเราและหนึ่งในค่าของการโต้แย้งที่ได้รับจากตารางนั่นคือ Pi / 6 ลองเขียนลงไปโดยคำนึงถึงระยะเวลาไซน์ ค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์:
ลองใช้ค่าที่สองและทำตามขั้นตอนเดียวกับในกรณีก่อนหน้า:
คำตอบที่สมบูรณ์ของสมการเดิมจะเป็น: 
และ 
qสามารถนำค่าของจำนวนเต็มใดๆ