ถ้าตรงจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่สาม น.นิกิติน เรขาคณิต

มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้งถ้าด้านหนึ่งของมุมหนึ่งเป็นส่วนต่อขยายของอีกด้านหนึ่ง

รูปแสดงมุม 1 และ 3 , เช่นเดียวกับมุม 2 และ 4 - แนวตั้ง. ฉีด 2 อยู่ประชิดทั้งสองมุม 1 และด้วยมุม 3. ตามคุณสมบัติของมุมประชิด 1 +2 =180 0 และ 3 +2 =1800. จากที่นี่เราได้รับ: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. ดังนั้น การวัดองศาของมุม 1 และ 3 มีค่าเท่ากัน ตามมาว่ามุมนั้นเท่ากัน ดังนั้นมุมแนวตั้งจึงเท่ากัน

2. สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

หากด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองด้านตามลำดับ และมุมระหว่างพวกมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

หากด้านหนึ่งและมุมประชิดสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับด้านหนึ่งและอีกสองมุมที่อยู่ติดกันของอีกรูปหนึ่งสามเหลี่ยมตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ

3. หากด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

1 สัญลักษณ์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม:

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 ซึ่ง AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, มุม A และ A 1 เท่ากัน ให้เราพิสูจน์ว่า ABC=A 1 B 1 C 1 .
เนื่องจาก (y) A \u003d (y) A 1 จากนั้นสามเหลี่ยม ABC สามารถซ้อนทับบนสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เพื่อให้จุดยอด A อยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด A1 และด้าน AB และ AC ซ้อนทับกัน ตามลำดับ บนรังสี A 1 B 1 และ A 1 C 1 . ตั้งแต่ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 จากนั้นด้าน AB จะถูกรวมเข้ากับด้าน A 1 B 1 และด้าน AC - กับด้าน A 1 C 1; โดยเฉพาะจุด B และ B 1 , C และ C 1 จะตรงกัน ดังนั้นด้าน BC และ B 1 C 1 จะอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จึงเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน CTD

3. ทฤษฎีบทบนเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและความสูง

ให้เราดูที่รูปซึ่ง ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐาน BC AD คือครึ่งแบ่งครึ่ง

จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABD และ ACD (ตามเกณฑ์ที่ 2 ของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม: AD เป็นเรื่องธรรมดา; มุม 1 และ 2 เท่ากันเพราะ AD-bisector; AB=AC เพราะสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) เป็นไปตามนั้น BD = DC และ 3 = 4 ความเท่าเทียมกัน BD = DC หมายความว่าจุด D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC ดังนั้น AD คือค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC เนื่องจากมุม 3 และ 4 อยู่ติดกันและเท่ากัน พวกมันจึงเป็นมุมฉาก ดังนั้นเซ็กเมนต์ AO จึงเป็นความสูงของสามเหลี่ยม ABC ด้วย สธ.

4. ถ้าเส้นขนานกัน -> มุม…. (ไม่จำเป็น)

5. ถ้ามุม ... ..-> เส้นขนานกัน (ถ้ามี)

ถ้าที่จุดตัดของเส้นตัดสองเส้นที่มีมุมเท่ากัน เส้นนั้นจะขนานกัน

ให้ที่จุดตัดของเส้น a และ b ของเซแคนต์ที่มีมุมตรงกัน เช่น 1=2

เนื่องจากมุม 2 และ 3 เป็นแนวตั้ง ดังนั้น 2=3 จากความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้จะเป็นไปตามที่ 1=3 แต่มุม 1 และ 3 เป็นแนวขวาง ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน สธ.

6. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 0.

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC โดยพลการ และพิสูจน์ว่า A+B+C=180 0

ให้เราวาดเส้นตรง a ผ่านจุดยอด B ขนานกับด้าน AC มุม 1 และ 4 เป็นมุมนอนตามขวางที่จุดตัดของเส้นคู่ขนาน a และ AC โดยซีแคนต์ AB และมุม 3 และ 5 เป็นมุมนอนตามขวางที่จุดตัดของเส้นคู่ขนานเดียวกันโดยซีแคนต์ BC ดังนั้น (1)4=1; 5=3.

แน่นอน ผลรวมของมุม 4, 2 และ 5 เท่ากับมุมตรงที่มีจุดยอด B นั่นคือ 4+2+5=1800 . ดังนั้นเมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (1) เราได้รับ: 1+2+3=180 0 หรือ A+B+C=180 0

7. สัญลักษณ์ความเสมอภาคของสามเหลี่ยมมุมฉาก

บทที่ 3
เส้นขนาน

§ 35. สัญญาณของความเท่าเทียมกันของเส้นตรงสองเส้น

ทฤษฎีบทที่เส้นตั้งฉากสองเส้นขนานกัน (§ 33) ให้สัญญาณว่าเส้นสองเส้นขนานกัน เป็นไปได้ที่จะได้รับสัญญาณทั่วไปมากขึ้นของการขนานกันของสองบรรทัด

1. สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกัน

ถ้าที่จุดตัดของเส้นสองเส้นกับเส้นที่สาม มุมภายในที่วางขวางเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน

ให้เส้น AB และ CD ตัดกับเส้น EF และ / 1 = / 2. ใช้จุด O - ตรงกลางของส่วน KL ของซีแคนต์ EF (รูปที่ 189)

ให้เราวาง OM ตั้งฉากจากจุด O ไปที่เส้น AB และดำเนินต่อไปจนกว่าจะตัดกับเส้น CD AB_|_MN ให้เราพิสูจน์ว่า CD_|_MN
ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมสองรูป: MOE และ NOK สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากัน อย่างแท้จริง: / 1 = / 2 โดยเงื่อนไขของทฤษฎีบท ตกลง = OL - โดยการก่อสร้าง
/ MOL = / NOK เป็นมุมแนวตั้ง ดังนั้น ด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ เพราะฉะนั้น, /\ MOL = /\ NOK และด้วยเหตุนี้
/ LMO = / รู้แต่ / LMO นั้นโดยตรง ดังนั้น และ / KNO ก็ตรงเช่นกัน ดังนั้น เส้น AB และ CD จึงตั้งฉากกับเส้น MN เดียวกัน ดังนั้นจึงขนานกัน (§ 33) ซึ่งต้องได้รับการพิสูจน์

บันทึก. จุดตัดของเส้น MO และ CD สามารถสร้างได้โดยการหมุน MOL สามเหลี่ยมรอบจุด O 180°

2. สัญญาณที่สองของการขนาน

ลองดูว่าเส้น AB และ CD ขนานกันหรือไม่ ถ้าที่จุดตัดของเส้นที่สาม EF มุมที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากัน

ให้มุมที่สอดคล้องกันบางมุมเท่ากัน ตัวอย่างเช่น / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1 เนื่องจากมุมเป็นแนวตั้ง วิธี, / 2 จะเท่ากัน / 1. แต่มุม 2 และ 1 เป็นมุมนอนขวางภายใน และเรารู้อยู่แล้วว่าหากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นคูณสาม มุมนอนขวางตามขวางภายในจะเท่ากัน เส้นเหล่านี้ขนานกัน ดังนั้น AB || ซีดี.

ถ้าที่จุดตัดของเส้นสองเส้นในเส้นที่สามมีมุมเท่ากัน เส้นทั้งสองนี้จะขนานกัน

การสร้างเส้นคู่ขนานด้วยความช่วยเหลือของไม้บรรทัดและรูปสามเหลี่ยมรูปวาดขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ นี้จะทำดังนี้

ให้เราแนบสามเหลี่ยมกับไม้บรรทัดตามที่แสดงในภาพวาด 191 เราจะย้ายสามเหลี่ยมเพื่อให้ด้านใดด้านหนึ่งเลื่อนไปตามไม้บรรทัด และวาดเส้นตรงหลายเส้นตามด้านอื่น ๆ ของสามเหลี่ยม เส้นเหล่านี้จะขนานกัน

3. สัญญาณที่สามของการขนาน

แจ้งให้เราทราบว่าที่จุดตัดของ AB และ CD สองเส้นตรงเส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในใดๆ เท่ากับ 2 d(หรือ 180°) ในกรณีนี้เส้น AB และ CD จะขนานกันหรือไม่ (รูปที่ 192)

ปล่อยให้เป็น / 1 และ / 2 มุมด้านเดียวภายในและรวมกันได้ 2 d.
แต่ / 3 + / 2 = 2dเป็นมุมที่อยู่ติดกัน เพราะฉะนั้น, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

จากที่นี่ / 1 = / 3 และมุมเหล่านี้อยู่ในแนวขวางภายใน ดังนั้น AB || ซีดี.

ถ้าตรงจุดตัดของเส้นสองเส้นคูณสาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 2 d แล้วทั้งสองเส้นขนานกัน

การออกกำลังกาย.

พิสูจน์ว่าเส้นขนานกัน:
ก) ถ้ามุมนอนขวางภายนอกเท่ากัน (รูปที่ 193)
b) ถ้าผลรวมของมุมข้างเดียวภายนอกเท่ากับ 2 d(ปีศาจ 194)

บทนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับการศึกษาเส้นคู่ขนาน นี่คือชื่อที่กำหนดให้กับเส้นตรงสองเส้นในระนาบที่ไม่ตัดกัน เราเห็นส่วนของเส้นขนานในสภาพแวดล้อม - นี่คือสองขอบของตารางสี่เหลี่ยม สองขอบของปกหนังสือ สองแท่งรถเข็น ฯลฯ เส้นขนานมีบทบาทสำคัญมากในเรขาคณิต ในบทนี้ คุณจะได้เรียนรู้ว่าสัจพจน์ของเรขาคณิตคืออะไร และสัจพจน์ของเส้นคู่ขนานประกอบด้วยอะไร ซึ่งเป็นหนึ่งในสัจพจน์ที่มีชื่อเสียงที่สุดของเรขาคณิต

ในตอนที่ 1 เราสังเกตว่าเส้นสองเส้นอาจมีจุดร่วมจุดเดียว นั่นคือ ตัดกัน หรือไม่มีจุดร่วมจุดเดียว นั่นคือ ไม่ตัดกัน

คำนิยาม

ความขนานของเส้น a และ b แสดงดังนี้: a || ข.

รูปที่ 98 แสดงเส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น c ในตอนที่ 12 เรากำหนดว่าเส้น a และ b ดังกล่าวไม่ตัดกัน นั่นคือ มันขนานกัน

ข้าว. 98

นอกจากเส้นขนานแล้ว มักพิจารณาส่วนที่ขนานกัน ทั้งสองส่วนเรียกว่า ขนานถ้าอยู่บนเส้นขนาน ในรูปที่ 99 และเซ็กเมนต์ AB และ CD ขนานกัน (AB || CD) และเซ็กเมนต์ MN และ CD ไม่ขนานกัน ในทำนองเดียวกันความขนานของส่วนและเส้นตรง (รูปที่ 99, b), รังสีและเส้นตรง, ส่วนและรังสี, รังสีสองเส้น (รูปที่ 99, c) ถูกกำหนด

ข้าว. 99สัญญาณความขนานของสองเส้น

โดยตรงกับเรียกว่า เซแคนท์สำหรับเส้น a และ b ถ้ามันตัดกันเป็นสองจุด (รูปที่ 100) ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้น c ประกอบเป็นมุมแปดมุม ซึ่งแสดงด้วยตัวเลขในรูปที่ 100 บางคู่ของมุมเหล่านี้มีชื่อพิเศษ:

มุมกากบาท: 3 และ 5, 4 และ 6;
มุมด้านเดียว: 4 และ 5, 3 และ 6;
มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7

ข้าว. 100

พิจารณาสามสัญญาณของการขนานกันของเส้นสองเส้นที่เกี่ยวข้องกับมุมคู่เหล่านี้

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

สมมติว่าที่จุดตัดของเส้น a และ b ด้วยเส้นตัด AB มุมนอนจะเท่ากัน: ∠1 = ∠2 (รูปที่ 101, a)

ให้เราพิสูจน์ว่า || ข. หากมุม 1 และ 2 ถูกต้อง (รูปที่ 101, b) เส้น a และ b จะตั้งฉากกับเส้น AB และดังนั้นจึงขนานกัน

ข้าว. 101

พิจารณากรณีที่มุม 1 และ 2 ไม่ถูกต้อง

จากตรงกลาง O ของส่วน AB ให้วาด OH ตั้งฉากกับเส้นตรง a (รูปที่ 101, c) บนเส้นตรง b จากจุด B เราแยกส่วน VH 1 ออกจากส่วน เท่ากับส่วน AH ดังแสดงในรูปที่ 101, c และวาดส่วน OH 1 สามเหลี่ยม ONA และ OH 1 V เท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกมัน (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2) ดังนั้น ∠3 = ∠4 และ ∠5 = ∠6 จากความเท่าเทียมกัน ∠3 = ∠4 เป็นไปตามจุด H 1 อยู่บนความต่อเนื่องของรังสี OH นั่นคือ จุด H, O และ H 1 อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และจากความเท่าเทียมกัน ∠5 = ∠6 มัน ตามด้วยมุม 6 เป็นเส้นตรง (เนื่องจากมุม 5 เป็นมุมฉาก) ดังนั้นเส้น a และ b จึงตั้งฉากกับเส้น HH 1, จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

ให้ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นตัดที่มีมุมที่สอดคล้องกันเช่น ∠1 = ∠2 (รูปที่ 102)

ข้าว. 102

เนื่องจากมุม 2 และ 3 เป็นแนวตั้ง ดังนั้น ∠2 = ∠3 ความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้บอกเป็นนัยว่า ∠1 = ∠3 แต่มุม 1 และ 3 เป็นแนวขวาง ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

ให้ ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นตัดที่มีผลรวมของมุมด้านเดียวเป็น 180° ตัวอย่างเช่น ∠1 + ∠4 = 180° (ดูรูปที่ 102)

เนื่องจากมุม 3 และ 4 อยู่ติดกัน ดังนั้น ∠3 + ∠4 = 180° จากความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ จะตามมาว่ามุมขวาง 1 และ 3 เท่ากัน ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีปฏิบัติในการวาดเส้นคู่ขนาน

เครื่องหมายของเส้นคู่ขนานรองรับวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้เครื่องมือต่างๆ ในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้สี่เหลี่ยมจตุรัสและไม้บรรทัด ในการสร้างเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M และขนานกับเส้นที่กำหนด a เราใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดกับเส้นตรง a และไม้บรรทัดตามที่แสดงในรูปที่ 103 จากนั้นเลื่อนสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปตามไม้บรรทัด เรา จะทำให้แน่ใจว่าจุด M อยู่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และลากเส้น b เส้น a และ b ขนานกัน เนื่องจากมุมที่สอดคล้องกัน ซึ่งแสดงในรูปที่ 103 ด้วยตัวอักษร α และ β เท่ากัน

ข้าว. 103รูปที่ 104 แสดงวิธีการสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้ T-square วิธีนี้ใช้ในการฝึกวาด

ข้าว. 104วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้สำหรับงานช่างไม้ซึ่งใช้มุมเอียงเพื่อทำเครื่องหมายเส้นคู่ขนาน (แผ่นไม้สองแผ่นยึดด้วยบานพับ, รูปที่ 105)

ข้าว. 105

งาน

186. ในรูปที่ 106 เส้น a และ b ตัดกันด้วยเส้น c พิสูจน์ว่า || ข ถ้า:

ก) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
ข) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° และมุม 7 ใหญ่กว่ามุม 3 สามเท่า

ข้าว. 106

187. ตามรูปที่ 107 พิสูจน์ว่า AB || พ.ศ.

ข้าว. 107

188. ส่วน AB และ CD ตัดกันตรงกลาง พิสูจน์ว่าเส้น AC และ BD ขนานกัน

189. โดยใช้ข้อมูลในรูปที่ 108 พิสูจน์ว่า BC || โฆษณา

ข้าว. 108

190. ในรูปที่ 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35° พิสูจน์ว่า DE || เช่น.

ข้าว. 109

191. ส่วน VK เป็นตัวแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC เส้นตรงลากผ่านจุด K ตัดกันด้าน BC ที่จุด M เพื่อให้ BM = MK พิสูจน์ว่าเส้น KM และ AB ขนานกัน

192. ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม A คือ 40° และมุม ALL ประชิดกับมุม ACB คือ 80° พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุม ALL ขนานกับเส้น AB

193. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ∠A = 40°, ∠B = 70° เส้น BD ถูกลากผ่านจุดยอด B เพื่อให้รังสี BC เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ABD พิสูจน์ว่าเส้น AC และ BD ขนานกัน

194. วาดรูปสามเหลี่ยม ผ่านจุดยอดแต่ละอันของสามเหลี่ยมนี้ โดยใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดและไม้บรรทัด วาดเส้นตรงขนานกับด้านตรงข้าม

195. วาดสามเหลี่ยม ABC และทำเครื่องหมายจุด D ที่ด้าน AC ผ่านจุด D โดยใช้สี่เหลี่ยมรูปวาดและไม้บรรทัด วาดเส้นตรงขนานกับอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม

สัญญาณความขนานของสองเส้น

ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้าอยู่ที่จุดตัดของสองบรรทัดของซีแคนต์:

มุมนอนในแนวทแยงเท่ากันหรือ

มุมที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากันหรือ

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180° แล้ว

เส้นขนานกัน(รูปที่ 1).

การพิสูจน์. เราจำกัดตัวเองไว้ที่หลักฐานของกรณีที่ 1

สมมติว่าที่จุดตัดของเส้น a และ b โดยเส้นตัด AB ข้ามมุมนอนเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ∠ 4 = ∠ 6 ให้เราพิสูจน์ว่า || ข.

สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน จากนั้นพวกมันตัดกันที่จุดหนึ่ง M และดังนั้นหนึ่งในมุม 4 หรือ 6 จะเป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยม ABM เพื่อความชัดเจน ∠ 4 เป็นมุมด้านนอกของสามเหลี่ยม ABM และ ∠ 6 เป็นมุมด้านใน จากทฤษฎีบทที่มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมที่ ∠ 4 มากกว่า ∠ 6 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ 6 ไม่สามารถตัดกัน ดังนั้นจึงขนานกัน

ข้อพิสูจน์ 1 เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นในระนาบตั้งฉากกับเส้นเดียวกันนั้นขนานกัน(รูปที่ 2).

ความคิดเห็น วิธีที่เราเพิ่งพิสูจน์กรณีที่ 1 ของทฤษฎีบท 1 เรียกว่าวิธีการพิสูจน์โดยขัดแย้งหรือลดความไร้สาระ วิธีนี้ได้ชื่อแรกเพราะในช่วงเริ่มต้นของการให้เหตุผล มีการตั้งสมมติฐานที่ตรงกันข้าม (ตรงกันข้าม) กับสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ มันถูกเรียกว่าการลดความไร้สาระเนื่องจากการโต้เถียงบนพื้นฐานของสมมติฐานที่เกิดขึ้นเราได้ข้อสรุปที่ไร้สาระ (ความไร้สาระ) การได้รับข้อสรุปดังกล่าวบังคับให้เราปฏิเสธสมมติฐานที่ทำขึ้นในตอนเริ่มต้นและยอมรับข้อสันนิษฐานที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ภารกิจที่ 1สร้างเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด M และขนานกับเส้นที่กำหนด a ไม่ผ่านจุด M

การตัดสินใจ. เราลากเส้น p ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเส้น a (รูปที่ 3)

จากนั้นเราลากเส้น b ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเส้น p เส้น b ขนานกับเส้น a ตามผลของทฤษฎีบท 1

ข้อสรุปที่สำคัญดังต่อไปนี้จากปัญหาที่พิจารณา:
โดยผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่ในเส้นที่กำหนด เราสามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้เสมอ.

คุณสมบัติหลักของเส้นคู่ขนานมีดังนี้

สัจพจน์ของเส้นขนาน ผ่านจุดที่กำหนดไม่ใช่บนเส้นที่กำหนด มีเพียงหนึ่งเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด

พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของเส้นคู่ขนานที่สืบเนื่องมาจากสัจพจน์นี้

1) หากเส้นตัดกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง แสดงว่าเส้นนั้นตัดกับอีกเส้นหนึ่ง (รูปที่ 4)

2) หากเส้นสองเส้นขนานกันกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน (รูปที่ 5)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบทที่ 2 หากเส้นคู่ขนานกันตัดกันด้วยซีแคนต์ ดังนั้น:

มุมนอนเท่ากัน

มุมที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากัน

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180°

ผลที่ 2 หากเส้นตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นก็จะตั้งฉากกับเส้นอีกเส้นหนึ่งด้วย(ดูรูปที่ 2).

ความคิดเห็น ทฤษฎีบทที่ 2 เรียกว่าผกผันของทฤษฎีบทที่ 1 บทสรุปของทฤษฎีบทที่ 1 คือเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 2 และเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 1 คือบทสรุปของทฤษฎีบทที่ 2 ไม่ใช่ทุกทฤษฎีบทที่มีการผกผัน กล่าวคือ หากทฤษฎีบทที่กำหนดเป็นจริง ทฤษฎีบทผกผันอาจเป็นเท็จ

ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแนวตั้ง ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: ถ้ามุมสองมุมเป็นแนวตั้งก็จะเท่ากัน ทฤษฎีบทผกผันจะเป็นดังนี้: ถ้ามุมสองมุมเท่ากันก็จะเป็นแนวตั้ง และแน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง มุมสองมุมเท่ากันไม่จำเป็นต้องเป็นแนวตั้งเลย

ตัวอย่างที่ 1เส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นที่สาม เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความแตกต่างระหว่างมุมด้านเดียวภายในสองมุมคือ 30° หามุมเหล่านั้น

การตัดสินใจ. ให้รูปที่ 6 เป็นไปตามเงื่อนไข

ABและ กับดีข้ามเส้นที่สาม MNจากนั้นมุมที่เกิดขึ้นในกรณีนี้จะได้รับชื่อต่อไปนี้เป็นคู่:

มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7;

มุมนอนขวางภายใน: 3 และ 5, 4 และ 6;

มุมขวางภายนอก: 1 และ 7, 2 และ 8;

มุมด้านเดียวภายใน: 3 และ 6, 4 และ 5;

มุมด้านเดียวภายนอก: 1 และ 8, 2 และ 7

ดังนั้น ∠ 2 = ∠ 4 และ ∠ 8 = ∠ 6 แต่จากการพิสูจน์แล้ว ∠ 4 = ∠ 6

ดังนั้น ∠ 2 = ∠ 8

3. มุมต่างๆ 2 และ 6 เหมือนกัน เนื่องจาก ∠ 2 = ∠ 4 และ ∠ 4 = ∠ 6 เราต้องแน่ใจว่ามุมอื่นๆ ที่ตรงกันนั้นเท่ากัน

4. ซำ มุมด้านเดียวภายใน 3 และ 6 จะเป็น 2d เพราะผลรวม มุมที่อยู่ติดกัน 3 และ 4 เท่ากับ 2d = 180 0 และ ∠ 4 สามารถแทนที่ด้วย ∠ 6 ที่เหมือนกันได้ ตรวจสอบให้แน่ใจด้วยว่า ผลรวมของมุม 4 และ 5 เท่ากับ 2d

5. ซำ มุมด้านเดียวภายนอกจะเป็น 2d เพราะมุมเหล่านี้เท่ากันตามลำดับ มุมด้านเดียวภายในชอบมุม แนวตั้ง.

จากเหตุผลที่พิสูจน์ข้างต้น เราได้รับ ทฤษฎีบทผกผัน

เมื่อที่จุดตัดของเส้นสองเส้นของเส้นที่สามโดยพลการ เราได้รับว่า:

1. มุมนอนไขว้ภายในเหมือนกัน

หรือ 2.มุมนอนกากบาทภายนอกเหมือนกัน

หรือ 3.มุมที่สอดคล้องกันจะเหมือนกัน

หรือ 4.ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 2d = 180 0 ;

หรือ 5.ผลรวมของด้านเดียวด้านนอกคือ 2d = 180 0 ,

แล้วสองบรรทัดแรกจะขนานกัน