5. โมโนเมียลเรียกว่าผลคูณของปัจจัยตัวเลขและตัวอักษร ค่าสัมประสิทธิ์เรียกว่าปัจจัยเชิงตัวเลขของโมโนเมียล
6. ในการเขียนโมโนเมียลในรูปแบบมาตรฐาน คุณต้อง: 1) คูณปัจจัยตัวเลขและใส่ผลิตภัณฑ์ไว้ในอันดับแรก 2) คูณกำลังด้วยเลขฐานเดียวกันแล้วใส่ผลคูณที่ได้หลังตัวประกอบตัวเลข
7. พหุนามเรียกว่าผลรวมเชิงพีชคณิตของโมโนเมียลหลายตัว
8. การคูณโมโนเมียลด้วยพหุนามจำเป็นต้องคูณโมโนเมียลด้วยพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามแล้วบวกผลคูณที่ได้
9. ในการคูณพหุนามด้วยพหุนามจำเป็นต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของพหุนามอื่นแล้วบวกผลคูณที่ได้
10. เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดและจุดเดียว
11. สองบรรทัดมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวหรือไม่มีจุดร่วม
12. รูปทรงเรขาคณิตสองรูปเรียกว่าเท่ากันถ้าสามารถซ้อนทับได้
13. จุดของส่วนที่หารครึ่ง นั่นคือ ออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน เรียกว่าจุดกึ่งกลางของส่วน
14. รังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุมแล้วหารออกเป็นสองมุมเท่าๆ กันเรียกว่าเส้นแบ่งครึ่งมุม
15. มุมที่พัฒนาแล้วคือ 180°
16. มุมเรียกว่ามุมฉากถ้าเป็น 90°
17. มุมเรียกว่ามุมแหลมหากน้อยกว่า 90° นั่นคือน้อยกว่ามุมฉาก
18. มุมจะเรียกว่ามุมป้าน หากมีค่ามากกว่า 90° แต่น้อยกว่า 180° นั่นคือ มากกว่ามุมฉาก แต่น้อยกว่ามุมตรง
19. มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกสองมุมเป็นส่วนต่อขยายของอีกด้านหนึ่งเรียกว่าด้านประชิด
20. ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°
21. มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้งถ้าด้านหนึ่งของมุมหนึ่งเป็นส่วนต่อขยายของอีกด้านหนึ่ง
22. มุมแนวตั้งเท่ากัน
23. เส้นตัดกันสองเส้นเรียกว่าตั้งฉาก (หรือร่วมกัน
ตั้งฉาก) ถ้าเกิดเป็นมุมฉากสี่มุม
24. เส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สามไม่ตัดกัน
25. แยกตัวประกอบพหุนามหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามหลายตัว
26. วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม:
ก) การถ่ายคร่อมปัจจัยร่วม
ข) การใช้สูตรคูณแบบย่อ
ค) การจัดกลุ่ม
27. ในการแยกตัวประกอบพหุนามโดยเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ คุณต้อง:
ก) หาปัจจัยร่วมนี้
b) นำออกจากวงเล็บ
c) หารแต่ละเทอมของพหุนามด้วยปัจจัยนี้แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้
สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม
1) ถ้าด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันเท่ากับสองด้านตามลำดับ และมุมระหว่างพวกมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ
2) ถ้าด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกับมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ
3) ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ
การศึกษาขั้นต่ำ
1. การแยกตัวประกอบตามสูตรคูณแบบย่อ:
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
2. สูตรคูณย่อ:
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
3. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามเรียกว่า ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยม.
4. เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังเส้นที่มีด้านตรงข้ามเรียกว่า ความสูงสามเหลี่ยม.
5. ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน
6. ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและความสูง
7. วงกลมรูปทรงเรขาคณิตเรียกว่าประกอบด้วยจุดทั้งหมดของระนาบที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนด
8. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์กลางกับจุดบนวงกลมเรียกว่า รัศมีวงกลม .
9. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่า คอร์ด.
คอร์ดที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางวงกลม เรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลาง
10. สัดส่วนโดยตรง y = kx , ที่ไหน X เป็นตัวแปรอิสระ ถึง เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ( ถึง คือสัมประสิทธิ์สัดส่วน)
11. กราฟสัดส่วนโดยตรงเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด
12. ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันที่กำหนดได้โดยสูตร y = kx + b , ที่ไหน X เป็นตัวแปรอิสระ ถึง และ ข - ตัวเลขบางส่วน
13. กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น- เป็นเส้นตรง
14 X – อาร์กิวเมนต์ฟังก์ชัน (ตัวแปรอิสระ)
ที่ – ค่าฟังก์ชัน (ตัวแปรตาม)
15. ที่ b=0ฟังก์ชันใช้รูปแบบ y=kx, กราฟของมันผ่านจุดกำเนิด
ที่ k=0ฟังก์ชันใช้รูปแบบ y=b, กราฟเป็นเส้นแนวนอนผ่านจุด ( 0;b).
ความสอดคล้องระหว่างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ k และ b
1. เส้นตรงสองเส้นในระนาบเรียกว่า ขนาน,ถ้าไม่ตัดกัน
ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันของรูปแบบ y = kx + b ที่กำหนดในชุดของจำนวนจริงทั้งหมด โดยที่ k คือความชัน (จำนวนจริง) b คือค่าตัดขวาง (จำนวนจริง) x คือตัวแปรอิสระ
ในกรณีพิเศษ ถ้า k = 0 เราจะได้ฟังก์ชันคงที่ y = b กราฟที่เป็นเส้นตรงขนานกับแกน Ox ผ่านจุดที่มีพิกัด (0; b)
ถ้า b = 0 เราก็จะได้ฟังก์ชัน y = kx ซึ่งเป็นสัดส่วนโดยตรง
ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ b คือความยาวของส่วนที่เส้นตรงตัดตามแกน Oy นับจากจุดเริ่มต้น
ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ k - มุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox ถือเป็นทวนเข็มนาฬิกา
คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น:
1) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้นคือแกนจริงทั้งหมด
2) ถ้า k ≠ 0 ดังนั้นพิสัยของฟังก์ชันเชิงเส้นตรงคือแกนจริงทั้งหมด ถ้า k = 0 ช่วงของฟังก์ชันเชิงเส้นจะประกอบด้วยตัวเลข b
3) ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ k และ b
ก) b ≠ 0, k = 0 ดังนั้น y = b เป็นคู่;
b) b = 0, k ≠ 0 ดังนั้น y = kx เป็นเลขคี่
c) b ≠ 0, k ≠ 0 ดังนั้น y = kx + b เป็นฟังก์ชันทั่วไป
d) b = 0, k = 0, ดังนั้น y = 0 จึงเป็นทั้งฟังก์ชันคู่และคี่
4) ฟังก์ชันเชิงเส้นไม่มีคุณสมบัติของคาบ
Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k ดังนั้น (-b / k; 0) เป็นจุดตัดกับแกน abscissa
Oy: y = 0k + b = b ดังนั้น (0; b) เป็นจุดตัดกับแกน y
หมายเหตุ ถ้า b = 0 และ k = 0 ฟังก์ชัน y = 0 จะหายไปสำหรับค่าใดๆ ของ x ถ้า b ≠ 0 และ k = 0 แสดงว่าฟังก์ชัน y = b จะไม่หายไปสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x
6) ช่วงเวลาของค่าคงที่ของเครื่องหมายขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ k
ก) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k
y = kx + b - บวกสำหรับ x จาก (-b/k; +∞)
y = kx + b - เป็นลบสำหรับ x จาก (-∞; -b/k)
ข) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - บวกสำหรับ x จาก (-∞; -b/k),
y = kx + b - เป็นลบสำหรับ x จาก (-b/k; +∞)
ค) k = 0, b > 0; y = kx + b เป็นค่าบวกตลอดทั้งโดเมน
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) ช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ k
k > 0 ดังนั้น y = kx + b เพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมน
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นเส้นตรง ในการวาดเส้นตรงก็เพียงพอแล้วที่จะรู้สองจุด ตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ k และ b ด้านล่างเป็นตารางที่แสดงรูปที่ 1 นี้อย่างชัดเจน (รูปที่ 1)
ตัวอย่าง ลองพิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้นต่อไปนี้: y = 5x - 3
3) ฟังก์ชั่นทั่วไป;
4) ไม่เป็นระยะ;
5) จุดตัดกับแกนพิกัด:
Ox: 5x - 3 \u003d 0, x \u003d 3/5 ดังนั้น (3/5; 0) เป็นจุดตัดกับแกน abscissa
Oy: y = -3 ดังนั้น (0; -3) - จุดตัดกับแกน y;
6) y = 5x - 3 เป็นค่าบวกสำหรับ x จาก (3/5; +∞)
y = 5x - 3 - ลบสำหรับ x จาก (-∞; 3/5);
7) y = 5x - 3 เพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ
เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
งานเกี่ยวกับคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสองตามที่แสดงให้เห็นในทางปฏิบัติทำให้เกิดปัญหาร้ายแรง สิ่งนี้ค่อนข้างแปลกเพราะฟังก์ชันกำลังสองถูกส่งผ่านในเกรด 8 จากนั้นทั้งไตรมาสแรกของเกรด 9 จะถูก "ทรมาน" ด้วยคุณสมบัติของพาราโบลาและกราฟของมันถูกสร้างขึ้นสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ
นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการบังคับให้นักเรียนสร้างพาราโบลาพวกเขาแทบไม่อุทิศเวลาให้กับ "การอ่าน" กราฟนั่นคือพวกเขาไม่ได้ฝึกทำความเข้าใจข้อมูลที่ได้รับจากภาพ เห็นได้ชัดว่า สมมติว่าเมื่อสร้างกราฟสองโหล นักเรียนที่ฉลาดจะค้นพบและกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ในสูตรกับลักษณะของกราฟ ในทางปฏิบัติ วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผล สำหรับลักษณะทั่วไปเช่นนี้ จำเป็นต้องมีประสบการณ์อย่างจริงจังในการวิจัยทางคณิตศาสตร์ขนาดเล็ก ซึ่งแน่นอนว่านักเรียนชั้นปีที่ 9 ส่วนใหญ่ไม่มี ในขณะเดียวกันใน GIA พวกเขาเสนอให้กำหนดสัญญาณของสัมประสิทธิ์อย่างแม่นยำตามกำหนดการ
เราจะไม่เรียกร้องสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จากเด็กนักเรียนและเพียงแค่เสนอหนึ่งในอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าว
ดังนั้น ฟังก์ชันของรูป y=ax2+bx+cเรียกว่ากำลังสอง กราฟของมันคือพาราโบลา ตามชื่อส่วนประกอบหลักคือ ขวาน2. นั่นคือ เอไม่ควรเท่ากับศูนย์ สัมประสิทธิ์ที่เหลือ ( ขและ กับ) สามารถมีค่าเท่ากับศูนย์
เรามาดูกันว่าสัญญาณของสัมประสิทธิ์ของมันส่งผลต่อรูปลักษณ์ของพาราโบลาอย่างไร
การพึ่งพาสัมประสิทธิ์ที่ง่ายที่สุด เอ. เด็กนักเรียนส่วนใหญ่ตอบอย่างมั่นใจ: "ถ้า เอ> 0 กิ่งก้านของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบน และถ้า เอ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой เอ > 0.
y = 0.5x2 - 3x + 1
ในกรณีนี้ เอ = 0,5
และตอนนี้สำหรับ เอ < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
ในกรณีนี้ เอ = - 0,5
อิทธิพลของสัมประสิทธิ์ กับยังง่ายต่อการปฏิบัติตาม ลองนึกภาพว่าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง X= 0 แทนที่ศูนย์ในสูตร:
y = เอ 0 2 + ข 0 + ค = ค. ปรากฎว่า y = ค. นั่นคือ กับคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y ตามกฎแล้ว จุดนี้หาได้ง่ายบนแผนภูมิ และพิจารณาว่าอยู่เหนือศูนย์หรือต่ำกว่า นั่นคือ กับ> 0 หรือ กับ < 0.
กับ > 0:
y=x2+4x+3
กับ < 0
y = x 2 + 4x - 3
ดังนั้น ถ้า กับ= 0 ดังนั้นพาราโบลาจะต้องผ่านจุดกำเนิด:
y=x2+4x
ยากขึ้นกับพารามิเตอร์ ข. จุดที่เราจะพบว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ .เท่านั้น ขแต่ยังมาจาก เอ. นี่คือจุดสูงสุดของพาราโบลา abscissa ของมัน (พิกัดแกน X) หาได้จากสูตร x ใน \u003d - b / (2a). ทางนี้, b = - 2ax ใน. นั่นคือเราดำเนินการดังนี้: บนกราฟเราพบจุดสูงสุดของพาราโบลากำหนดเครื่องหมายของ abscissa นั่นคือเรามองไปทางขวาของศูนย์ ( x ใน> 0) หรือทางซ้าย ( x ใน < 0) она лежит.
อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ทั้งหมด เราต้องใส่ใจกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ด้วย เอ. นั่นคือเพื่อดูว่ากิ่งก้านของพาราโบลาถูกนำไปที่ใด และหลังจากนั้นตามสูตร b = - 2ax ในกำหนดเครื่องหมาย ข.
ลองพิจารณาตัวอย่าง:
สาขาชี้ขึ้น เอ> 0 พาราโบลาตัดกับแกน ที่ต่ำกว่าศูนย์ หมายถึง กับ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x ใน> 0. โซ b = - 2ax ใน = -++ = -. ข < 0. Окончательно имеем: เอ > 0, ข < 0, กับ < 0.
ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกว่า ฟังก์ชันของรูป y = kx + bกำหนดอยู่บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ที่นี่ k– สัมประสิทธิ์เชิงมุม (จำนวนจริง) ข – สมาชิกฟรี (จำนวนจริง) xเป็นตัวแปรอิสระ
ในกรณีพิเศษ if k = 0, เราได้รับฟังก์ชันคงที่ y=bซึ่งกราฟเป็นเส้นตรงขนานกับแกน Ox ผ่านจุดที่มีพิกัด (0;ข).
ถ้า ข = 0จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชัน y=kx, ซึ่งเป็น ในสัดส่วนโดยตรง
ข – ความยาวส่วนซึ่งตัดเส้นตามแนวแกน Oy นับจากจุดเริ่มต้น
ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ k – มุมเอียงตรงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox ถือเป็นทวนเข็มนาฬิกา
คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น:
1) โดเมนของฟังก์ชันเชิงเส้นคือแกนจริงทั้งหมด
2) ถ้า k ≠ 0ดังนั้นพิสัยของฟังก์ชันเชิงเส้นตรงคือแกนจริงทั้งหมด ถ้า k = 0จากนั้นช่วงของฟังก์ชันเชิงเส้นจะประกอบด้วยตัวเลข ข;
3) ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ kและ ข.
ก) ข ≠ 0, k = 0,เพราะเหตุนี้, y = b เป็นคู่;
ข) b = 0, k ≠ 0,เพราะเหตุนี้ y = kx เป็นเลขคี่;
ค) ข ≠ 0, k ≠ 0,เพราะเหตุนี้ y = kx + b เป็นฟังก์ชันทั่วไป
ง) ข = 0, k = 0,เพราะเหตุนี้ y = 0 เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และคี่
4) ฟังก์ชันเชิงเส้นไม่มีคุณสมบัติของคาบ
5) จุดตัดกับแกนพิกัด:
วัว: y = kx + b = 0, x = -b/k, เพราะเหตุนี้ (-b/k; 0)- จุดตัดกับแกน abscissa
ออย: y=0k+b=b, เพราะเหตุนี้ (0;ข)คือจุดตัดกับแกน y
หมายเหตุ ถ้า ข = 0และ k = 0จากนั้นฟังก์ชัน y=0หายไปสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร X. ถ้า ข ≠ 0และ k = 0จากนั้นฟังก์ชัน y=bไม่หายไปสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร X.
6) ช่วงความคงตัวของเครื่องหมายขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ k
ก) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k
y = kx + b- บวกที่ xจาก (-b/k; +∞),
y = kx + b- ลบที่ xจาก (-∞; -b/k).
ข) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b- บวกที่ xจาก (-∞; -b/k),
y = kx + b- ลบที่ xจาก (-b/k; +∞).
ค) k = 0, ข > 0; y = kx + bบวกตลอดขอบเขตของคำจำกัดความ
k = 0, b< 0; y = kx + b เป็นค่าลบตลอดขอบเขตของคำจำกัดความ
7) ช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ k.
k > 0, เพราะเหตุนี้ y = kx + bเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ
k< 0 , เพราะเหตุนี้ y = kx + bลดลงทั่วทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ
8) กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นเส้นตรง ในการวาดเส้นตรงก็เพียงพอแล้วที่จะรู้สองจุด ตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ kและ ข. ด้านล่างนี้เป็นตารางที่แสดงสิ่งนี้อย่างชัดเจน