การบรรยายเรื่องกลศาสตร์เชิงทฤษฎีของสถิตยศาสตร์. รายวิชากลศาสตร์ทฤษฎี

1 สไลด์

หลักสูตรการบรรยายเกี่ยวกับกลศาสตร์ทฤษฎีพลศาสตร์ (ฉันส่วนหนึ่ง) Bondarenko A.N. มอสโก - 2550 หลักสูตรฝึกอบรมอิเล็กทรอนิกส์เขียนขึ้นบนพื้นฐานของการบรรยายโดยผู้เขียนสำหรับนักเรียนที่เรียนพิเศษของ SZhD, PGS และ SDM ที่ NIIZhT และ MIIT (1974-2006) เอกสารการศึกษาสอดคล้องกับแผนปฏิทินในจำนวนสามภาคเรียน สำหรับการใช้งานเอฟเฟกต์แอนิเมชั่นอย่างเต็มรูปแบบในระหว่างการนำเสนอ คุณต้องใช้ตัวแสดง Power Point ไม่ต่ำกว่าตัวแสดงที่มีอยู่ใน Microsoft Office ของระบบปฏิบัติการ Windows XP Professional สามารถส่งความคิดเห็นและข้อเสนอแนะทางอีเมล: [ป้องกันอีเมล]. วิศวกรรมการรถไฟมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก (MIIT) ภาควิชากลศาสตร์ทฤษฎีศูนย์วิทยาศาสตร์และเทคนิคแห่งเทคโนโลยีการขนส่ง

2 สไลด์

เนื้อหา การบรรยาย 1. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพลวัต กฎและสัจพจน์ของพลวัตของจุดวัสดุ สมการพื้นฐานของไดนามิก สมการเชิงอนุพันธ์และธรรมชาติของการเคลื่อนที่ สองภารกิจหลักของไดนามิก ตัวอย่างการแก้ปัญหาตรงของไดนามิก บทบรรยายที่ 2 การแก้ปัญหาผกผันของไดนามิก คำแนะนำทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาผกผันของไดนามิก ตัวอย่างการแก้ปัญหาผกผันของไดนามิก การเคลื่อนไหวของวัตถุที่พุ่งไปที่ขอบฟ้าโดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ การบรรยายที่ 3 การแกว่งเป็นเส้นตรงของจุดวัสดุ เงื่อนไขการเกิดความผันผวน การจำแนกประเภทของการสั่นสะเทือน การสั่นสะเทือนฟรีโดยไม่คำนึงถึงแรงต้านทาน การสั่นสะเทือนที่ทำให้ชื้น ลดการสั่นไหว การบรรยาย 4. การบังคับการสั่นของจุดวัสดุ เสียงก้อง. อิทธิพลของความต้านทานต่อการเคลื่อนไหวระหว่างการสั่นสะเทือนแบบบังคับ การบรรยาย 5. การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดวัสดุ แรงเฉื่อย. กรณีเฉพาะของการเคลื่อนไหวสำหรับการเคลื่อนย้ายแบบพกพาประเภทต่างๆ อิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อความสมดุลและการเคลื่อนที่ของวัตถุ การบรรยายครั้งที่ 6 พลวัตของระบบเครื่องกล ระบบเครื่องกล แรงภายนอกและภายใน. จุดศูนย์กลางมวลของระบบ ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล กฎหมายอนุรักษ์. ตัวอย่างการแก้ปัญหาการใช้ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล การบรรยาย 7. แรงกระตุ้น ปริมาณการเคลื่อนไหว ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม กฎหมายอนุรักษ์. ทฤษฎีบทออยเลอร์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาการใช้ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม โมเมนต์ของโมเมนตัม ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม บรรยายที่ 8 กฎหมายการอนุรักษ์ องค์ประกอบของทฤษฎีโมเมนต์ความเฉื่อย โมเมนต์ Kinetic ของร่างกายที่แข็งกระด้าง สมการเชิงอนุพันธ์ของการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง ตัวอย่างการแก้ปัญหาการใช้ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ ทฤษฎีเบื้องต้นของไจโรสโคป วรรณกรรมที่แนะนำ 1. Yablonsky A.A. หลักสูตรกลศาสตร์ทฤษฎี ตอนที่ 2 ม.: ม. 2520. 368 น. 2. เมชเชอร์สกี้ ไอ.วี. การรวบรวมปัญหาในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ม.: วิทยาศาสตร์. 2529 416 น. 3. การรวบรวมงานที่มอบหมายสำหรับเอกสารภาคการศึกษา / ศ. เอเอ ยาบลอนสกี้ ม.: ม. 2528. 366 น. 4. Bondarenko A.N. “กลศาสตร์เชิงทฤษฎีในตัวอย่างและงาน พลวัต” (คู่มืออิเล็กทรอนิกส์ www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 1 พลศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ศึกษาการเคลื่อนที่เชิงกลจากมุมมองที่กว้างที่สุด การเคลื่อนไหวนี้พิจารณาจากแรงที่กระทำต่อวัตถุ ส่วนนี้ประกอบด้วยสามส่วน: พลศาสตร์ของจุดวัสดุ พลศาสตร์ของระบบเครื่องกล กลศาสตร์วิเคราะห์ ■ พลศาสตร์ของจุด - ศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ โดยคำนึงถึงแรงที่ทำให้เกิดการเคลื่อนที่นี้ วัตถุหลักคือจุดวัสดุ - วัตถุที่มีมวลซึ่งขนาดสามารถละเลยได้ สมมติฐานพื้นฐาน: - มีพื้นที่แน่นอน (มีคุณสมบัติทางเรขาคณิตล้วนๆ ที่ไม่ขึ้นอยู่กับสสารและการเคลื่อนที่ของวัตถุ - มีเวลาที่แน่นอน (ไม่ขึ้นอยู่กับสสารและการเคลื่อนที่ของวัตถุ) จากนี้ไป: - มี กรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไม่ได้โดยเด็ดขาด - เวลาไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของกรอบอ้างอิง - มวลของจุดเคลื่อนที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของกรอบอ้างอิง สมมติฐานเหล่านี้ใช้ในกลศาสตร์คลาสสิกที่สร้างโดยกาลิเลโอและนิวตัน ยังคงมีขอบเขตค่อนข้างกว้างเนื่องจากระบบกลไกที่พิจารณาในวิทยาศาสตร์ประยุกต์ไม่มีมวลและความเร็วในการเคลื่อนที่ขนาดใหญ่เช่นนี้ซึ่งจำเป็นต้องคำนึงถึงอิทธิพลที่มีต่อเรขาคณิตของอวกาศ เวลา การเคลื่อนไหว เช่น ทำในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ (ทฤษฎีสัมพัทธภาพ) ■ กฎพื้นฐานของไดนามิก - ค้นพบครั้งแรกโดยกาลิเลโอและกำหนดโดยนิวตันเป็นพื้นฐานของวิธีการทั้งหมดในการอธิบายและวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของระบบกลไกและปฏิสัมพันธ์แบบไดนามิก การกระทำภายใต้อิทธิพลของกองกำลังต่างๆ ■ กฎความเฉื่อย (กฎของกาลิเลโอ-นิวตัน) - จุดวัตถุที่แยกออกจากร่างกายยังคงสถานะพักหรือการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอจนกว่าแรงที่ใช้จะบังคับให้เปลี่ยนสถานะนี้ นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกันของสภาวะพักและการเคลื่อนไหวโดยความเฉื่อย (กฎสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ) กรอบอ้างอิงซึ่งสัมพันธ์กับการปฏิบัติตามกฎความเฉื่อยเรียกว่าเฉื่อย คุณสมบัติของวัตถุชี้ไปที่พยายามรักษาความเร็วของการเคลื่อนที่ (สถานะจลนศาสตร์) ไม่เปลี่ยนแปลงเรียกว่าความเฉื่อย ■ กฎสัดส่วนของแรงและความเร่ง (สมการพื้นฐานของไดนามิก - กฎของนิวตัน II) - ความเร่งที่ส่งไปยังจุดวัตถุด้วยแรงจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงและเป็นสัดส่วนผกผันกับมวลของจุดนี้: หรือ m คือ มวลของจุด (หน่วยวัดความเฉื่อย) วัดเป็นกิโลกรัม ตัวเลขเท่ากับน้ำหนักหารด้วยความเร่งโน้มถ่วง F คือแรงกระทำ วัดเป็น N (1 N ให้ความเร่ง 1 m / s2 ถึงจุดที่มี a มวล 1 กก. 1 N \u003d 1/9 81 กก.-s). ■ พลวัตของระบบกลไก - ศึกษาการเคลื่อนที่ของชุดของจุดวัสดุและวัตถุแข็ง ซึ่งรวมกันเป็นหนึ่งโดยกฎการโต้ตอบทั่วไป โดยคำนึงถึงแรงที่ก่อให้เกิดการเคลื่อนไหวนี้ ■ กลศาสตร์วิเคราะห์ - ศึกษาการเคลื่อนที่ของระบบกลไกที่ไม่เป็นอิสระโดยใช้วิธีการวิเคราะห์ทั่วไป หนึ่ง

4 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 1 (ต่อ - 1.2) สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ: - สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดในรูปแบบเวกเตอร์ - สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่จุดในรูปแบบพิกัด ผลลัพธ์นี้สามารถหาได้จากการฉายภาพอย่างเป็นทางการของสมการอนุพันธ์เวกเตอร์ (1) หลังจากจัดกลุ่มแล้ว ความสัมพันธ์เวกเตอร์จะถูกแบ่งออกเป็นสามสมการสเกลาร์: ในรูปแบบพิกัด: เราใช้ความสัมพันธ์ของเวกเตอร์รัศมีกับพิกัดและเวกเตอร์แรงกับเส้นโครง: สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่บนแกนพิกัดตามธรรมชาติ (เคลื่อนที่) หรือ: - สมการธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของจุด ■ สมการพื้นฐานของไดนามิก: - สอดคล้องกับวิธีเวกเตอร์ในการระบุการเคลื่อนที่ของจุด ■ กฎความเป็นอิสระของการกระทำของแรง - ความเร่งของจุดวัตถุภายใต้การกระทำของแรงหลาย ๆ อันเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของความเร่งของจุดหนึ่งจากการกระทำของแรงแต่ละอันแยกกัน: หรือ กฎนี้ใช้ได้ สำหรับสถานะจลนศาสตร์ของร่างกาย พลังของการโต้ตอบถูกนำไปใช้กับจุดต่าง ๆ (ร่างกาย) นั้นไม่สมดุล ■ กฎแห่งความเท่าเทียมกันของการกระทำและปฏิกิริยา (กฎของนิวตัน III) - ทุกการกระทำสอดคล้องกับปฏิกิริยาที่เท่าเทียมกันและตรงกันข้าม: 2

5 สไลด์

ปัญหาหลักของไดนามิกสองประการ: 1. ปัญหาโดยตรง: ให้การเคลื่อนที่ (สมการของการเคลื่อนที่, วิถีโคจร). จำเป็นต้องกำหนดแรงภายใต้การกระทำของการเคลื่อนไหวที่กำหนด 2. ปัญหาผกผัน: กองกำลังภายใต้การกระทำที่เกิดขึ้นจะได้รับ จำเป็นต้องหาพารามิเตอร์การเคลื่อนที่ (สมการการเคลื่อนที่ วิถีการเคลื่อนที่) ปัญหาทั้งสองได้รับการแก้ไขโดยใช้สมการพื้นฐานของไดนามิกและการฉายภาพบนแกนพิกัด หากพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดที่ไม่ว่าง หลักการของการปลดปล่อยจากพันธะเช่นเดียวกับในสถิตย์ จากผลของปฏิกิริยา พันธะจะรวมอยู่ในองค์ประกอบของแรงที่กระทำต่อจุดวัสดุ การแก้ปัญหาแรกเกี่ยวข้องกับการดำเนินการสร้างความแตกต่าง การแก้ปัญหาผกผันต้องการการรวมสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกัน และนี่ยากกว่าการแยกความแตกต่างมาก ปัญหาผกผันยากกว่าปัญหาโดยตรง การแก้ปัญหาโดยตรงของไดนามิก - ลองดูตัวอย่าง: ตัวอย่างที่ 1 ห้องโดยสารที่มีน้ำหนัก G ของลิฟต์ถูกยกขึ้นด้วยสายเคเบิลที่มีการเร่งความเร็ว a . กำหนดความตึงของสายเคเบิล 1. เลือกวัตถุ (รถลิฟต์เคลื่อนที่ไปข้างหน้าและถือเป็นจุดวัสดุ) 2. เรายกเลิกการเชื่อมต่อ (สายเคเบิล) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา R 3. รวบรวมสมการพื้นฐานของไดนามิก: กำหนดปฏิกิริยาของสายเคเบิล: กำหนดความตึงของสายเคเบิล: ด้วยการเคลื่อนที่ของห้องโดยสาร ay = 0 และ ความตึงของสายเคเบิลเท่ากับน้ำหนัก: T = G เมื่อสายเคเบิลขาด T = 0 และความเร่งของห้องโดยสารเท่ากับความเร่งของการตกอย่างอิสระ: ay = -g 3 4. เราฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกบนแกน y: y ตัวอย่างที่ 2 จุดมวล m เคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวแนวนอน (ระนาบ Oxy) ตามสมการ: x = a coskt, y = b coskt กำหนดแรงที่กระทำต่อจุด 1. เลือกวัตถุ (จุดวัสดุ) 2. เราละทิ้งการเชื่อมต่อ (ระนาบ) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา N. 3. เพิ่มแรงที่ไม่รู้จัก F ให้กับระบบของแรง 4. เขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: 5. ฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกบน x , แกน y: กำหนดเส้นโครงของแรง: โมดูลัสแรง: โคไซน์ทิศทาง : ดังนั้น ขนาดของแรงจึงเป็นสัดส่วนกับระยะห่างของจุดถึงจุดศูนย์กลางของพิกัด และมุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางตามแนวเส้นที่เชื่อมจุดไปยังจุดศูนย์กลาง . วิถีการเคลื่อนที่ของจุดคือวงรีที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด: O r Lecture 1 (ต่อ - 1.3)

6 สไลด์

การบรรยายที่ 1 (ตอนต่อ 1.4) ตัวอย่างที่ 3: ภาระของน้ำหนัก G ถูกแขวนไว้บนสายเคเบิลที่มีความยาว l และเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางวงกลมในระนาบแนวนอนด้วยความเร็วที่แน่นอน มุมเบี่ยงเบนของสายเคเบิลจากแนวตั้งเท่ากับ กำหนดความตึงของสายเคเบิลและความเร็วของโหลด 1. เลือกวัตถุ (cargo) 2. ยกเลิกการเชื่อมต่อ (เชือก) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา R. 3. เขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: จากสมการที่สาม กำหนดปฏิกิริยาของสายเคเบิล: กำหนดความตึงของสายเคเบิล: แทนค่าของปฏิกิริยา ของสายเคเบิล ความเร่งปกติในสมการที่สองและกำหนดความเร็วของโหลด: 4. ฉายไดนามิกของเพลาสมการหลัก n,b: ตัวอย่างที่ 4: รถยนต์ที่มีน้ำหนัก G เคลื่อนที่บนสะพานนูน (รัศมีความโค้งคือ R ) ด้วยความเร็ว V. กำหนดความดันของรถบนสะพาน 1. เราเลือกวัตถุ (รถเราละเลยมิติและถือว่าเป็นจุด) 2. เราละทิ้งการเชื่อมต่อ (พื้นผิวขรุขระ) และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา N และแรงเสียดทาน Ffr 3. เราเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกส์: 4. เราฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกส์บนแกน n: จากที่นี่ เราจะกำหนดปฏิกิริยาปกติ: เรากำหนดความดันของรถบนสะพาน: จากที่นี่ เราสามารถกำหนดความเร็วได้ สอดคล้องกับแรงดันศูนย์บนสะพาน (Q = 0): 4

7 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 2 หลังจากการแทนที่ค่าที่พบของค่าคงที่ เราได้รับ: ดังนั้นภายใต้การกระทำของระบบแรงเดียวกัน จุดวัสดุสามารถดำเนินการระดับของการเคลื่อนไหวทั้งหมดที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น พิกัดเริ่มต้นคำนึงถึงตำแหน่งเริ่มต้นของจุด ความเร็วเริ่มต้นที่ได้จากการคาดคะเนคำนึงถึงอิทธิพลที่มีต่อการเคลื่อนที่ไปตามส่วนที่พิจารณาของวิถีโคจรของแรงที่กระทำต่อจุดก่อนมาถึงส่วนนี้ กล่าวคือ สถานะจลนศาสตร์เริ่มต้น การแก้ปัญหาผกผันของไดนามิก - ในกรณีทั่วไปของการเคลื่อนที่ของจุด แรงที่กระทำต่อจุดนั้นเป็นตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับเวลา พิกัด และความเร็ว การเคลื่อนที่ของจุดอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองสามสมการ: หลังจากรวมแต่ละสมการเข้าด้วยกันแล้ว จะมีค่าคงที่หกตัว C1, C2,…., C6: ค่าของค่าคงที่ C1, C2,… ., C6 หาได้จากหกเงื่อนไขเริ่มต้นที่ t = 0: ตัวอย่างที่ 1 ของการแก้ปัญหาผกผัน: จุดวัสดุอิสระที่มีมวล m เคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของแรง F ซึ่งมีค่าคงที่ในขนาดและขนาด . ในช่วงเริ่มต้น ความเร็วของจุดคือ v0 และใกล้เคียงกับทิศทางของแรง กำหนดสมการการเคลื่อนที่ของจุด 1. เขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: 3. ลดลำดับของอนุพันธ์: 2. เลือกระบบอ้างอิงคาร์ทีเซียน กำหนดทิศทางแกน x ตามทิศทางของแรง และฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกบนแกนนี้: หรือ x y z 4 . แยกตัวแปร: 5. คำนวณอินทิกรัลของทั้งสองส่วนของสมการ : 6. ลองแทนการฉายภาพความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา: 8. คำนวณอินทิกรัลของทั้งสองส่วนของสมการ: 7. แยก ตัวแปร: 9. ในการกำหนดค่าคงที่ C1 และ C2 เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น t = 0, vx = v0 , x = x0: เป็นผลให้เราได้รับสมการการเคลื่อนที่ของตัวแปรสม่ำเสมอ (ตาม แกน x): 5

8 สไลด์

คำแนะนำทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาโดยตรงและผกผัน ขั้นตอนการแก้ปัญหา: 1. การรวบรวมสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่: 1.1. เลือกระบบพิกัด - สี่เหลี่ยม (คงที่) โดยมีวิถีการเคลื่อนที่ที่ไม่รู้จัก ธรรมชาติ (เคลื่อนที่) กับวิถีที่รู้จัก เช่น วงกลมหรือเส้นตรง ในกรณีหลังนี้ สามารถใช้พิกัดเส้นตรงได้หนึ่งพิกัด จุดอ้างอิงควรรวมกับตำแหน่งเริ่มต้นของจุด (ที่ t = 0) หรือกับตำแหน่งสมดุลของจุด หากมี ตัวอย่างเช่น เมื่อจุดผันผวน 6 1.2. วาดจุดที่ตำแหน่งที่สอดคล้องกับช่วงเวลาที่กำหนด (สำหรับ t > 0) เพื่อให้พิกัดเป็นค่าบวก (s > 0, x > 0) เรายังถือว่าการฉายภาพความเร็วในตำแหน่งนี้เป็นบวกด้วย ในกรณีของการแกว่ง การฉายความเร็วจะเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น เมื่อกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ในที่นี้ควรสันนิษฐานว่า ณ ช่วงเวลาที่พิจารณา จุดจะเคลื่อนออกจากตำแหน่งสมดุล การดำเนินการตามคำแนะนำนี้มีความสำคัญในอนาคตเมื่อทำงานกับกองกำลังต้านทานที่ขึ้นอยู่กับความเร็ว 1.3. ปลดปล่อยจุดวัสดุจากพันธะ แทนที่การกระทำด้วยปฏิกิริยา เพิ่มแรงแอคทีฟ 1.4. เขียนกฎพื้นฐานของไดนามิกในรูปแบบเวกเตอร์ โปรเจ็กต์บนแกนที่เลือก แสดงแรงที่กำหนดหรือแรงปฏิกิริยาในแง่ของเวลาตัวแปร พิกัดหรือความเร็ว หากขึ้นอยู่กับแรงดังกล่าว 2. คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์: 2.1. ลดอนุพันธ์ถ้าสมการไม่ลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ (มาตรฐาน) ตัวอย่างเช่น: หรือ 2.2 แยกตัวแปร เช่น หรือ 2.4 คำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดที่ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ เช่น 2.3 หากมีตัวแปรสามตัวในสมการ ให้ทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เช่น แล้วแยกตัวแปรออก ความคิดเห็น แทนที่จะประเมินอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน เราสามารถประเมินอินทิกรัลที่แน่นอนด้วยขีดจำกัดบนของตัวแปร ขีด จำกัด ล่างแสดงถึงค่าเริ่มต้นของตัวแปร (เงื่อนไขเริ่มต้น) จากนั้นไม่จำเป็นต้องค้นหาค่าคงที่แยกต่างหากซึ่งรวมอยู่ในการแก้ปัญหาโดยอัตโนมัติเช่นการใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเช่น t = 0 , vx = vx0, กำหนดค่าคงที่ของการรวม: 2.5 แสดงความเร็วในรูปอนุพันธ์ของเวลาของพิกัด เช่น ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2.2 -2.4 หมายเหตุ หากสมการถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติที่มีคำตอบมาตรฐาน ก็จะใช้โซลูชันสำเร็จรูปนี้ ยังคงพบค่าคงที่ของการรวมจากเงื่อนไขเริ่มต้น ดูตัวอย่างเช่น การแกว่ง (บทที่ 4, หน้า. แปด). บรรยาย 2 (ต่อ 2.2)

9 สไลด์

บรรยายที่ 2 (ต่อ 2.3) ตัวอย่างที่ 2 ของการแก้ปัญหาผกผัน: แรงขึ้นอยู่กับเวลา ภาระของน้ำหนัก P เริ่มเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวแนวนอนเรียบภายใต้การกระทำของแรง F ซึ่งมีขนาดเป็นสัดส่วนกับเวลา (F = kt) กำหนดระยะทางที่เดินทางโดยโหลดในเวลา t 3. เราเขียนสมการหลักของไดนามิก: 5. เราลดลำดับของอนุพันธ์: 4. เราฉายสมการหลักของไดนามิกบนแกน x: หรือ 7 6. เราแยกตัวแปร: 7. เราคำนวณอินทิกรัล จากสมการทั้งสองส่วน: 9. เราแทนเส้นโครงของความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา: 10. คำนวณอินทิกรัลของสมการทั้งสองส่วน: 9. แยกตัวแปร: 8. กำหนดค่า ของค่าคงที่ C1 จากเงื่อนไขเริ่มต้น t = 0, vx = v0=0: เป็นผลให้เราได้รับสมการการเคลื่อนที่ (ตามแกน x) ซึ่งให้ค่าของระยะทางที่เดินทางสำหรับเวลา t: 1. เรา เลือกระบบอ้างอิง (พิกัดคาร์ทีเซียน) เพื่อให้ร่างกายมีพิกัดบวก: 2. เรานำวัตถุของการเคลื่อนไหวเป็นจุดวัสดุ (ร่างกายเคลื่อนที่ไปข้างหน้า) ปล่อยจากการเชื่อมต่อ (ระนาบอ้างอิง) และแทนที่ด้วย ปฏิกิริยา (ปฏิกิริยาปกติของพื้นผิวเรียบ) : 11. กำหนดค่าคงที่ C2 จากเงื่อนไขเริ่มต้น t = 0, x = x0=0: ตัวอย่างที่ 3 ของการแก้ปัญหาผกผัน: แรงขึ้นอยู่กับพิกัด จุดมวลสาร m พุ่งขึ้นจากพื้นผิวโลกด้วยความเร็ว v0 แรงโน้มถ่วงของโลกเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะทางจากจุดถึงจุดศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง (ศูนย์กลางของโลก) กำหนดความเร็วขึ้นอยู่กับระยะทาง y ถึงศูนย์กลางของโลก 1. เราเลือกระบบอ้างอิง (พิกัดคาร์ทีเซียน) เพื่อให้ร่างกายมีพิกัดบวก: 2. เราเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิก: 3. เราฉายสมการพื้นฐานของไดนามิกบนแกน y: หรือ สัมประสิทธิ์สัดส่วนสามารถ หาได้โดยใช้น้ำหนักของจุดบนพื้นผิวโลก: R ดังนั้นสมการอนุพันธ์จะมีลักษณะดังนี้: หรือ 4. ลดลำดับของอนุพันธ์: 5. เปลี่ยนตัวแปร: 6. แยกตัวแปร: 7. คำนวณ อินทิกรัลของสมการทั้งสองข้าง: 8. แทนที่ขีดจำกัด: เป็นผลให้เราได้รับนิพจน์สำหรับความเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด y: ความสูงสูงสุดบินสามารถพบได้โดยเทียบความเร็วเป็นศูนย์: ระดับความสูงสูงสุดของเที่ยวบิน เมื่อตัวส่วนกลายเป็นศูนย์: จากที่นี่ เมื่อตั้งค่ารัศมีของโลกและความเร่งของการตกอย่างอิสระ จะได้ความเร็วจักรวาล II:

10 สไลด์

บรรยายที่ 2 (ต่อ 2.4) ตัวอย่างที่ 2 ของการแก้ปัญหาผกผัน: แรงขึ้นอยู่กับความเร็ว เรือมวล m มีความเร็ว v0 ความต้านทานของน้ำต่อการเคลื่อนที่ของเรือนั้นแปรผันตามความเร็ว กำหนดเวลาที่ความเร็วของเรือจะลดลงครึ่งหนึ่งหลังจากดับเครื่องยนต์ เช่นเดียวกับระยะทางที่เรือแล่นไปถึงจุดจอดจนสุด 8 1. เราเลือกระบบอ้างอิง (พิกัดคาร์ทีเซียน) เพื่อให้ร่างกายมีพิกัดบวก: 2. เรานำวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นจุดวัสดุ (เรือเคลื่อนที่ไปข้างหน้า) ปลดปล่อยจากพันธะ (น้ำ) และแทนที่ ด้วยปฏิกิริยา (แรงลอยตัว - แรงอาร์คิมิดีส) และแรงต้านการเคลื่อนที่ด้วย 3. เพิ่มพลังแอคทีฟ (แรงดึงดูด) 4. เราเขียนสมการหลักของไดนามิก: 5. เราฉายสมการหลักของไดนามิกบนแกน x: หรือ 6. เราลดลำดับของอนุพันธ์: 7. เราแยกตัวแปร: 8. เราคำนวณอินทิกรัลจาก สมการทั้งสองส่วน: 9. เราแทนที่ขีดจำกัด: ได้รับนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับความเร็วและเวลา t ซึ่งคุณสามารถกำหนดเวลาของการเคลื่อนไหว: เวลาของการเคลื่อนไหว ในระหว่างที่ความเร็วจะลดลงครึ่งหนึ่ง: มัน เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าเมื่อความเร็วเข้าใกล้ศูนย์ เวลาของการเคลื่อนไหวมีแนวโน้มที่จะอนันต์ กล่าวคือ ความเร็วสุดท้ายไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ทำไมไม่ "เคลื่อนไหวตลอดไป"? อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ระยะทางที่เดินทางไปยังจุดแวะจะเป็นค่าจำกัด เพื่อกำหนดระยะทางที่เดินทาง เราหันไปที่นิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดลำดับของอนุพันธ์ และทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร: หลังจากการรวมและการแทนที่ขีดจำกัด เราได้รับ: ระยะทางที่เดินทางไปยังจุดแวะ: ■ การเคลื่อนที่ของจุดที่ถูกโยนไปที่ มุมสู่ขอบฟ้าในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอโดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ ขจัดเวลาจากสมการการเคลื่อนที่ เราได้รับสมการวิถี: เวลาบินถูกกำหนดโดยการเทียบพิกัด y เป็นศูนย์: ช่วงการบินถูกกำหนดโดยการแทนที่ เวลาบิน:

11 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 3 การสั่นของจุดวัสดุเป็นเส้นตรง - การสั่นของจุดวัสดุเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไข: มีแรงคืนค่าที่มีแนวโน้มที่จะคืนจุดไปยังตำแหน่งสมดุลสำหรับการเบี่ยงเบนใดๆ จากตำแหน่งนี้ 9 มีแรงคืนสภาพ ตำแหน่งสมดุลคงที่ ไม่มีแรงคืนตัว ตำแหน่งสมดุลไม่เสถียร ไม่มีแรงคืนตัว ตำแหน่งสมดุลไม่แยแส มันถูกนำไปยังตำแหน่งสมดุลเสมอ ค่าเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการยืดตัวเชิงเส้น (สั้นลง) ของสปริง ซึ่งเท่ากับค่าเบี่ยงเบนของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล: c คือค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริง เท่ากับตัวเลข แรงที่สปริงเปลี่ยนความยาวทีละหนึ่งโดยวัดเป็น N / m ในระบบ SI x y O ประเภทของการสั่นสะเทือนของจุดวัสดุ: 1. การสั่นแบบอิสระ (โดยไม่คำนึงถึงความต้านทานของตัวกลาง) 2. การแกว่งอิสระโดยคำนึงถึงความต้านทานของตัวกลาง (การสั่นแบบหน่วง) 3. แรงสั่นสะเทือน 4. การบังคับแกว่งโดยคำนึงถึงความต้านทานของตัวกลาง ■ การสั่นแบบอิสระ - เกิดขึ้นภายใต้การกระทำของแรงฟื้นฟูเท่านั้น มาเขียนกฎพื้นฐานของไดนามิกกันดีกว่า: เรามาเลือกระบบพิกัดที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ตำแหน่งสมดุล (จุด O) และฉายสมการบนแกน x กัน: ให้นำสมการที่ได้มาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน (บัญญัติ): สมการนี้เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง รูปแบบของการแก้ปัญหาซึ่งกำหนดโดยรากของคุณลักษณะของสมการที่ได้จากการแทนที่สากล: รากของสมการคุณลักษณะเป็นจำนวนจินตภาพและเท่ากัน: คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ มีรูปแบบ: ความเร็วของจุด: เงื่อนไขเริ่มต้น: กำหนดค่าคงที่: ดังนั้น สมการของการสั่นอิสระจึงมีรูปแบบ: สมการสามารถแสดงด้วยนิพจน์แบบเทอมเดียว: โดยที่ a คือแอมพลิจูด - เฟสเริ่มต้น ค่าคงที่ใหม่ a และ - เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ C1 และ C2 โดยความสัมพันธ์: ลองนิยาม a และ: สาเหตุของการแกว่งอิสระคือการกระจัดเริ่มต้น x0 และ/หรือความเร็วเริ่มต้น v0

12 สไลด์

10 การบรรยายที่ 3 (ตอนต่อ 3.2) การสั่นแบบหน่วงของจุดวัสดุ - การเคลื่อนที่แบบสั่นของจุดวัสดุเกิดขึ้นเมื่อมีแรงฟื้นคืนและแรงต้านทานการเคลื่อนที่ การพึ่งพาแรงต้านการเคลื่อนที่จากการกระจัดหรือความเร็วนั้นพิจารณาจากลักษณะทางกายภาพของตัวกลางหรือการเชื่อมต่อที่ขัดขวางการเคลื่อนที่ การพึ่งพาที่ง่ายที่สุดคือการพึ่งพาความเร็วเชิงเส้น (ความต้านทานความหนืด): - ค่าสัมประสิทธิ์ความหนืด x y O จากค่าของราก: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - กรณีที่มีความต้านทานความหนืดสูง: - รากจริงต่างกัน หรือ - ฟังก์ชันเหล่านี้เป็น aperiodic: 3. n = k: - รากเป็นของจริง, ทวีคูณ ฟังก์ชันเหล่านี้ยังเป็น aperiodic:

13 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 3 (ต่อ 3.3) การจำแนกประเภทของสารละลายของการแกว่งอิสระ การเชื่อมต่อสปริง ความแข็งเทียบเท่า y y 11 ความแตกต่าง อักขระสมการ สมการราก สมการ การแก้สมการอนุพันธ์ กราฟ nk n=k

14 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 4 แรงสั่นสะเทือนแบบบังคับของจุดวัสดุ - แรงที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะจะกระทำควบคู่ไปกับแรงกลับคืนมา ซึ่งเรียกว่าแรงก่อกวน แรงที่ก่อกวนสามารถมีลักษณะที่แตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น ในกรณีพิเศษ ผลกระทบเฉื่อยของมวลไม่สมดุล m1 ของโรเตอร์ที่หมุนอยู่ทำให้เกิดการคาดคะเนแรงที่เปลี่ยนแปลงอย่างกลมกลืน: สมการหลักของไดนามิก: การฉายภาพของสมการไดนามิกบนแกน: ลองนำสมการมาสู่มาตรฐาน รูปแบบ: 12 คำตอบของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์นี้ประกอบด้วยสองส่วน x = x1 + x2: x1 เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน และ x2 เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ เราเลือกคำตอบเฉพาะในรูปของ ด้านขวา: ผลที่ได้จะต้องได้รับความพึงพอใจสำหรับ t ใด ๆ จากนั้น: หรือ ดังนั้น ด้วยการกระทำพร้อมกันของแรงฟื้นฟูและแรงรบกวน จุดวัสดุจะทำการเคลื่อนที่แบบสั่นที่ซับซ้อน ซึ่งเป็นผลมาจากการบวก (ซ้อน) ของการสั่นสะเทือนอิสระ (x1) และแรงสั่นสะเทือนแบบบังคับ (x2) ถ้าพี< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (บังคับการสั่นของความถี่สูง) จากนั้นเฟสของการสั่นอยู่ตรงข้ามกับเฟสของแรงรบกวน:

15 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 4 (ความต่อเนื่อง 4.2) 13 สัมประสิทธิ์ไดนามิก - อัตราส่วนของแอมพลิจูดของการแกว่งบังคับต่อความเบี่ยงเบนคงที่ของจุดภายใต้การกระทำของแรงคงที่ H = const: แอมพลิจูดของการแกว่งบังคับ: ค่าเบี่ยงเบนคงที่สามารถพบได้จาก สมการดุลยภาพ: ที่นี่: ดังนั้น: ดังนั้น ที่ p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (ความถี่สูงของการสั่นแบบบังคับ) สัมประสิทธิ์ไดนามิก: เสียงสะท้อน - เกิดขึ้นเมื่อความถี่ของการสั่นแบบบังคับเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติ (p = k) สิ่งนี้มักเกิดขึ้นเมื่อเริ่มต้นและหยุดการหมุนของโรเตอร์ที่สมดุลไม่ดีซึ่งติดตั้งอยู่บนระบบกันสะเทือนแบบยืดหยุ่น สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นที่มีความถี่เท่ากัน: ไม่สามารถหาคำตอบเฉพาะในรูปของด้านขวาได้เพราะ จะได้สารละลายที่ขึ้นกับเชิงเส้น (ดูวิธีแก้ปัญหาทั่วไป) วิธีแก้ปัญหาทั่วไป: แทนที่ในสมการเชิงอนุพันธ์: ใช้โซลูชันเฉพาะในรูปแบบและคำนวณอนุพันธ์: ดังนั้น ได้คำตอบ: หรือ การสั่นแบบบังคับที่เรโซแนนซ์จะมีแอมพลิจูดที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดตามสัดส่วนของเวลา อิทธิพลของความต้านทานต่อการเคลื่อนไหวระหว่างการสั่นสะเทือนแบบบังคับ สมการเชิงอนุพันธ์เมื่อมีความต้านทานหนืดมีรูปแบบ: เลือกวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจากตาราง (บทที่ 3 หน้า 11) ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของ n และ k (ดู) เราใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบและคำนวณอนุพันธ์: แทนที่ในสมการเชิงอนุพันธ์: เท่ากับสัมประสิทธิ์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหมือนกัน เราได้รับระบบสมการ: การเพิ่มสมการทั้งสองยกกำลังและบวกพวกมัน เราจะได้แอมพลิจูดของ การสั่นแบบบังคับ: โดยการหารสมการที่สองด้วยสมการแรก เราจะได้การเลื่อนเฟสของการแกว่งแบบบังคับ: ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่สำหรับการแกว่งแบบบังคับ โดยคำนึงถึงความต้านทานการเคลื่อนที่ เช่น สำหรับ n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 สไลด์

บทที่ 5 การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดวัสดุ - สมมติว่าระบบพิกัดเคลื่อนที่ (ไม่เฉื่อย) Oxyz เคลื่อนที่ตามกฎบางอย่างที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่ (เฉื่อย) O1x1y1z1 การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ M (x, y, z) ที่สัมพันธ์กับระบบเคลื่อนที่ Oxyz นั้นสัมพันธ์กัน สัมพันธ์กับระบบที่ไม่เคลื่อนที่ O1x1y1z1 นั้นสัมบูรณ์ การเคลื่อนที่ของระบบมือถือ Oxyz เทียบกับระบบคงที่ O1x1y1z1 เป็นการเคลื่อนที่แบบพกพา 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O สมการพื้นฐานของไดนามิก: ความเร่งสัมบูรณ์ของจุด: แทนที่ความเร่งสัมบูรณ์ของจุดลงในสมการพื้นฐานของไดนามิก: ลองเปลี่ยนเงื่อนไขด้วยการเร่งความเร็วการแปลและการเร่งโคลิโอลิสไปทางด้านขวา: เงื่อนไขที่ถ่ายโอนมีมิติของแรงและถือเป็นแรงเฉื่อยที่สอดคล้องกัน เท่ากับ: จากนั้นการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดถือได้ว่าเป็นแบบสัมบูรณ์ หากเราเพิ่มแรงแปลและแรงเฉื่อยของแรงเฉื่อยลงในแรงกระทำ: ในการคาดการณ์บน แกนของระบบพิกัดเคลื่อนที่ เรามี: การหมุนสม่ำเสมอ แล้ว εe = 0: 2 การเคลื่อนที่โค้งแปลน: ถ้าการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ดังนั้น = : หากการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ ระบบเคลื่อนที่จะเป็นเฉื่อยและ การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ถือได้ว่าเป็นแบบสัมบูรณ์: ไม่มีปรากฏการณ์ทางกลใดที่สามารถตรวจพบชุดเส้นตรงได้ การเคลื่อนที่ (หลักการสัมพัทธภาพของกลศาสตร์คลาสสิก) อิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อความสมดุลของร่างกาย - สมมติว่าร่างกายอยู่ในสภาวะสมดุลบนพื้นผิวโลกที่ละติจูด φ (เส้นขนาน) ตามอำเภอใจ โลกหมุนรอบแกนจากตะวันตกไปตะวันออกด้วยความเร็วเชิงมุม: รัศมีของโลกประมาณ 6370 กม. S R คือปฏิกิริยาทั้งหมดของพื้นผิวที่ไม่เรียบ G - แรงดึงดูดของโลกสู่ศูนย์กลาง Ф - แรงเหวี่ยงของความเฉื่อย สภาวะสมดุลสัมพัทธ์: ผลลัพธ์ของแรงดึงดูดและความเฉื่อยคือแรงโน้มถ่วง (น้ำหนัก): ขนาดของแรงโน้มถ่วง (น้ำหนัก) บนพื้นผิวโลกคือ P = มก. แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยเป็นส่วนเล็ก ๆ ของแรงโน้มถ่วง: ความเบี่ยงเบนของแรงโน้มถ่วงจากทิศทางของแรงดึงดูดก็มีน้อยเช่นกัน: ดังนั้นอิทธิพลของการหมุนของโลกต่อความสมดุลของร่างกายจึงมีขนาดเล็กมาก และไม่ได้นำมาพิจารณาในการคำนวณเชิงปฏิบัติ ค่าสูงสุดของแรงเฉื่อย (ที่ φ = 0 - ที่เส้นศูนย์สูตร) ​​มีค่าเท่ากับ 0.00343 ของแรงโน้มถ่วงเท่านั้น

17 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 5 (ความต่อเนื่อง 5.2) 15 อิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อการเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามโน้มถ่วงของโลก - สมมติว่าวัตถุตกลงสู่พื้นโลกจากความสูง H เหนือพื้นผิวโลกที่ละติจูด φ . มาเลือกกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ที่เชื่อมต่อกับโลกอย่างแน่นหนา นำแกน x, y ไปตามแนวขนานและเส้นเมอริเดียนแทนกัน: สมการการเคลื่อนที่สัมพัทธ์: ในที่นี้ พิจารณาความเล็กของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์เมื่อเทียบกับแรงโน้มถ่วง . ดังนั้นแรงโน้มถ่วงจึงระบุด้วยแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้ เราถือว่าแรงโน้มถ่วงตั้งฉากกับพื้นผิวโลกเนื่องจากการโก่งตัวเพียงเล็กน้อย ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ความเร่งโคริโอลิสจะเท่ากับและกำกับขนานกับแกน y ไปทางทิศตะวันตก แรงเฉื่อยโคริโอลิสมีทิศทางไปในทิศทางตรงกันข้าม เราฉายสมการการเคลื่อนที่สัมพัทธ์บนแกน: คำตอบของสมการแรกให้: เงื่อนไขเริ่มต้น: คำตอบของสมการที่สามให้: เงื่อนไขตั้งต้น: สมการที่สามอยู่ในรูปแบบ: เงื่อนไขเริ่มต้น: คำตอบจะได้: ผลลัพธ์ที่ได้ แสดงว่าร่างกายเบี่ยงไปทางทิศตะวันออกเมื่อตกลงมา ให้เราคำนวณค่าเบี่ยงเบนนี้ เช่น เมื่อตกลงมาจากความสูง 100 ม. เราพบเวลาตกจากคำตอบของสมการที่สอง ดังนั้น อิทธิพลของการหมุนของโลกที่มีต่อการเคลื่อนที่ของวัตถุจึงน้อยมาก สำหรับความสูงและความเร็วที่ใช้งานได้จริง และไม่ได้นำมาพิจารณาในการคำนวณทางเทคนิค คำตอบของสมการที่สองยังบอกเป็นนัยถึงการมีอยู่ของความเร็วตามแนวแกน y ซึ่งควรทำให้เกิดและทำให้เกิดความเร่งที่สอดคล้องกันและแรงเฉื่อยโคลิโอลิสด้วย อิทธิพลของความเร็วนี้และแรงเฉื่อยที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่จะน้อยกว่าแรงเฉื่อยโคริโอลิสที่พิจารณาซึ่งสัมพันธ์กับความเร็วแนวตั้ง

18 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 6 พลวัตของระบบเครื่องกล ระบบจุดวัสดุหรือระบบกลไก - ชุดของจุดวัสดุหรือจุดวัสดุเหล่านั้นรวมกันโดยกฎการโต้ตอบทั่วไป (ตำแหน่งหรือการเคลื่อนไหวของแต่ละจุดหรือร่างกายขึ้นอยู่กับตำแหน่งและการเคลื่อนไหวของส่วนอื่น ๆ ทั้งหมด) ระบบของ คะแนนอิสระ - การเคลื่อนที่ที่ไม่จำกัดโดยการเชื่อมต่อใด ๆ (เช่น ระบบดาวเคราะห์ ซึ่งดาวเคราะห์ถือเป็นจุดวัสดุ) ระบบของจุดที่ไม่ว่างหรือระบบกลไกที่ไม่มีอิสระ - การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุหรือวัตถุถูกจำกัดโดยข้อจำกัดที่กำหนดไว้ในระบบ (เช่น กลไก เครื่องจักร ฯลฯ) 16 แรงที่กระทำต่อระบบ นอกเหนือจากการจำแนกกองกำลังที่มีอยู่ก่อนหน้านี้ (แรงปฏิกิริยาและแรงปฏิกิริยา) จะมีการแนะนำการจำแนกประเภทของกองกำลังใหม่: 1. แรงภายนอก (e) - กระทำต่อจุดและวัตถุของระบบจากจุดหรือวัตถุที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของสิ่งนี้ ระบบ. 2. แรงภายใน (i) - แรงของปฏิสัมพันธ์ระหว่างจุดวัสดุหรือวัตถุที่รวมอยู่ในระบบที่กำหนด แรงเดียวกันสามารถเป็นได้ทั้งแรงภายนอกและแรงภายใน ทุกอย่างขึ้นอยู่กับระบบทางกลที่พิจารณา ตัวอย่างเช่น: ในระบบของดวงอาทิตย์ โลก และดวงจันทร์ แรงโน้มถ่วงทั้งหมดระหว่างพวกมันอยู่ภายใน เมื่อพิจารณาระบบโลกและดวงจันทร์ แรงโน้มถ่วงจากด้านข้างของดวงอาทิตย์จะอยู่ภายนอก: C Z L ตามกฎแห่งการกระทำและปฏิกิริยา แรงภายในแต่ละแรง Fk จะสัมพันธ์กับแรงภายในอีกตัวหนึ่ง Fk' ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์และตรงข้ามใน ทิศทาง. คุณสมบัติเด่นสองประการของแรงภายในดังต่อไปนี้: เวกเตอร์หลักของแรงภายในทั้งหมดของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์: โมเมนต์หลักของแรงภายในทั้งหมดของระบบที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดๆ เท่ากับศูนย์: หรือในการฉายภาพบนพิกัด แกน: หมายเหตุ แม้ว่าสมการเหล่านี้จะคล้ายกับสมการดุลยภาพ แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น เนื่องจากแรงภายในถูกนำไปใช้กับจุดหรือส่วนต่างๆ ของระบบ และอาจทำให้จุดเหล่านี้ (ร่างกาย) เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน จากสมการเหล่านี้พบว่าแรงภายในไม่ส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของระบบโดยพิจารณาโดยรวม จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุ เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของระบบโดยรวม มีการแนะนำจุดเรขาคณิตที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งเวกเตอร์รัศมีซึ่งถูกกำหนดโดยนิพจน์ โดยที่ M คือมวลของระบบทั้งหมด: หรือในการฉายภาพบนพิกัด แกน: สูตรสำหรับจุดศูนย์กลางมวลคล้ายกับสูตรสำหรับจุดศูนย์ถ่วง อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางมวลนั้นกว้างกว่า เนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงหรือแรงโน้มถ่วง

19 สไลด์

บรรยายที่ 6 (ต่อ 6.2) 17 ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ - พิจารณาระบบของจุดวัสดุ n จุด เราแบ่งแรงที่ใช้กับแต่ละจุดออกเป็นแรงภายนอกและภายใน และแทนที่ด้วยผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน Fke และ Fki ลองเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกในแต่ละจุดกัน หรือ ลองรวมสมการเหล่านี้กับทุกจุด ทางด้านซ้ายของสมการ เราจะแนะนำมวลภายใต้เครื่องหมายของอนุพันธ์ และแทนที่ผลรวมของอนุพันธ์ด้วยอนุพันธ์ ของผลรวม: จากคำจำกัดความของจุดศูนย์กลางมวล: แทนที่ลงในสมการผลลัพธ์: เราได้หรือ: ผลคูณของมวลของระบบและความเร่งของมวลศูนย์กลางเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอก ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: จุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่เป็นจุดวัสดุที่มีมวลเท่ากับมวลของทั้งระบบ ซึ่งแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบจะถูกนำไปใช้ ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ (กฎการอนุรักษ์): 1. หากในช่วงเวลาเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ Re = 0 ดังนั้นความเร็วของ จุดศูนย์กลางมวลคงที่ vC = const (จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ - กฎการอนุรักษ์การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล) 2. หากในช่วงเวลา การฉายภาพของเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบบนแกน x เท่ากับศูนย์ Rxe = 0 ดังนั้นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลตามแนวแกน x จะคงที่ vCx = const (จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่สม่ำเสมอตามแนวแกน) ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแกน y และ z ตัวอย่าง: คนสองคนที่มีมวล m1 และ m2 อยู่ในเรือที่มีมวล m3 ในช่วงเวลาเริ่มต้น เรือกับผู้คนก็หยุดนิ่ง กำหนดการเคลื่อนที่ของเรือถ้าบุคคลที่มีมวล m2 ย้ายไปที่หัวเรือในระยะทาง a. 3. หากในช่วงเวลาเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ Re = 0 และในช่วงเริ่มต้นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับศูนย์ vC = 0 แล้วเวกเตอร์รัศมี ของจุดศูนย์กลางมวลคงที่ rC = const (จุดศูนย์กลางมวลอยู่นิ่งคือกฎการอนุรักษ์ตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวล) 4. หากในช่วงเวลา การฉายภาพของเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบบนแกน x เท่ากับศูนย์ Rxe = 0 และในช่วงเริ่มต้น ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลตามแนวแกนนี้จะเป็นศูนย์ , vCx = 0 จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลตามแนวแกน x จะคงที่ xC = const (จุดศูนย์กลางมวลไม่เคลื่อนที่ไปตามแกนนี้) ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแกน y และ z 1. วัตถุที่เคลื่อนที่ (เรืออยู่กับคน): 2. ละทิ้งการเชื่อมต่อ (น้ำ): 3. แทนที่การเชื่อมต่อด้วยปฏิกิริยา: 4. เพิ่มแรงเชิงรุก: 5. เขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวล: โครงการบนแกน x : O กำหนดระยะที่คุณต้องการย้ายไปยังบุคคลที่มีมวล m1 เพื่อให้เรืออยู่กับที่: เรือจะเคลื่อนที่เป็นระยะทาง l ไปในทิศทางตรงกันข้าม

20 สไลด์

บรรยายที่ 7 แรงกระตุ้นคือการวัดปฏิกิริยาทางกลที่แสดงถึงลักษณะการถ่ายโอนของการเคลื่อนที่ทางกลจากแรงที่กระทำต่อจุดในช่วงเวลาที่กำหนด: 18 ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: ในกรณีของแรงคงที่: ใน การฉายภาพบนแกนพิกัด: ไปยังจุดแรงในช่วงเวลาเดียวกัน: คูณด้วย dt: รวมเข้าด้วยกันในช่วงเวลาที่กำหนด: ปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดคือการวัดการเคลื่อนที่เชิงกลไก ซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์ที่เท่ากับผลคูณของ มวลของจุดและเวกเตอร์ของความเร็วของมัน: ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบ – พิจารณาระบบ n จุดวัสดุ เราแบ่งแรงที่ใช้กับแต่ละจุดออกเป็นแรงภายนอกและภายใน และแทนที่ด้วยผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน Fke และ Fki ลองเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกในแต่ละจุด หรือ โมเมนตัมของระบบจุดวัสดุคือผลรวมทางเรขาคณิตของปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ โดยนิยามจุดศูนย์กลางมวล เวกเตอร์ของโมเมนตัมของระบบคือ เท่ากับผลคูณของมวลของระบบทั้งหมดและเวกเตอร์ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ จากนั้น: ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: อนุพันธ์เวลาของเวกเตอร์โมเมนตัมของระบบเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบ เรามารวมสมการเหล่านี้กับทุกจุดกัน: ทางด้านซ้ายของสมการ เราแนะนำมวลภายใต้เครื่องหมายของอนุพันธ์ และแทนที่ผลรวมของอนุพันธ์ด้วยอนุพันธ์ของผลรวม: จากนิยามของโมเมนตัมของระบบ: ในการฉายภาพบนแกนพิกัด:

21 สไลด์

ทฤษฎีบทออยเลอร์ - การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบต่อการเคลื่อนที่ของตัวกลางต่อเนื่อง (น้ำ) 1. เราเลือกปริมาณน้ำที่อยู่ในช่องโค้งของกังหันเป็นเป้าหมายของการเคลื่อนที่: 2. เราทิ้งพันธะและแทนที่การกระทำด้วยปฏิกิริยา (Rpov - ผลลัพธ์ของแรงพื้นผิว) 3. เพิ่มแรงที่ใช้งาน (Rb - ผลลัพธ์ของแรงของร่างกาย): 4. เขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมของระบบ: โมเมนตัมของน้ำ ณ เวลา t0 และ t1 จะแสดงเป็นผลรวม: การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของน้ำในช่วงเวลา : เปลี่ยนใน โมเมนตัมของน้ำในช่วงเวลาที่จำกัด dt: โดยที่ F1 F2 รับผลคูณของความหนาแน่น พื้นที่หน้าตัด และความเร็วต่อมวลวินาที เราได้รับ: การแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียลของโมเมนตัมของระบบเป็นทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลง เราได้รับ : ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบ (กฎการอนุรักษ์): 1. หากในช่วงเวลาเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ Re = 0 ดังนั้นการเคลื่อนที่ของเวกเตอร์ปริมาณ เป็นค่าคงที่ Q = const เป็นกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบ) 2. หากในช่วงเวลา การฉายภาพของเวกเตอร์หลักของแรงภายนอกของระบบบนแกน x เท่ากับศูนย์ Rxe = 0 ดังนั้นการฉายภาพโมเมนตัมของระบบบนแกน x จะคงที่ Qx = คอนสตรัค ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแกน y และ z บรรยายที่ 7 (ต่อ 7.2) ตัวอย่าง: ระเบิดมือมวล M บินด้วยความเร็ว v ระเบิดออกเป็นสองส่วน ความเร็วของเศษชิ้นส่วนมวล m1 เพิ่มขึ้นในทิศทางของการเคลื่อนที่เป็นค่า v1 กำหนดความเร็วของส่วนที่สอง 1. วัตถุของการเคลื่อนไหว (ระเบิดมือ): 2. วัตถุเป็นระบบอิสระไม่มีการเชื่อมต่อและปฏิกิริยา 3. เพิ่มพลังปฏิบัติการ: 4. เขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม: โครงการบนแกน: β แบ่งตัวแปรและรวมเข้าด้วยกัน: อินทิกรัลด้านขวาเกือบเป็นศูนย์เพราะ เวลาระเบิด t

22 สไลด์

การบรรยายที่ 7 (ตอนต่อ 7.3) 20 โมเมนตัมเชิงมุมของจุดหรือโมเมนต์การเคลื่อนที่เชิงจลนที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดจุดหนึ่งเป็นการวัดการเคลื่อนที่เชิงกล ซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์เท่ากับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีของจุดวัสดุและ เวกเตอร์ของโมเมนตัม: โมเมนตัมของโมเมนตัมของระบบของจุดวัสดุที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดจุดหนึ่งเป็นผลรวมของโมเมนต์ของโมเมนตัมของจุดวัสดุทั้งหมดที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางเดียวกันทางเรขาคณิต: ในการฉายภาพบนแกน: ในการฉายภาพบนแกน : ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบ - ลองพิจารณาระบบของ n จุดวัสดุ เราแบ่งแรงที่ใช้กับแต่ละจุดออกเป็นแรงภายนอกและภายใน และแทนที่ด้วยผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน Fke และ Fki มาเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกในแต่ละจุดกัน หรือ ลองรวมสมการเหล่านี้กับทุกจุดกัน ลองแทนที่ผลรวมของอนุพันธ์ด้วยอนุพันธ์ของผลรวม: นิพจน์ในวงเล็บคือโมเมนต์โมเมนตัมของระบบ จากที่นี่: เราคูณเวกเตอร์แต่ละความเท่ากันด้วยรัศมี-เวกเตอร์ทางด้านซ้าย: ลองดูว่าเป็นไปได้ไหมที่จะหาเครื่องหมายอนุพันธ์เกินขีดจำกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์: ดังนั้นเราจึงได้: ศูนย์กลาง ในการฉายภาพบนแกนพิกัด: อนุพันธ์ของโมเมนต์โมเมนตัมของระบบที่สัมพันธ์กับบางแกนของเวลา เท่ากับโมเมนต์หลักของแรงภายนอกของระบบที่สัมพันธ์กับแกนเดียวกัน

23 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 8 21 ■ ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ (กฎการอนุรักษ์): 1. หากในช่วงเวลาเวกเตอร์ของโมเมนต์หลักของแรงภายนอกของระบบสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดจุดหนึ่งจะเท่ากัน ถึงศูนย์ MOe = 0 จากนั้นเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางเดียวกันจะคงที่ KO = const คือกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบ) 2. หากในช่วงเวลาหลักของแรงภายนอกของระบบที่สัมพันธ์กับแกน x เท่ากับศูนย์ Mxe = 0 ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่สัมพันธ์กับแกน x จะคงที่ Kx = const ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแกน y และ z 2. โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกน: โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุรอบแกนเท่ากับผลคูณของมวลของจุดและกำลังสองของระยะห่างของจุดถึงแกน โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์มวลของแต่ละจุดและกำลังสองของระยะห่างของจุดนี้จากแกน ■ องค์ประกอบของทฤษฎีโมเมนต์ความเฉื่อย - ด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง การวัดความเฉื่อย (ความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่) คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนของการหมุน พิจารณาแนวคิดพื้นฐานของคำจำกัดความและวิธีการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย 1. โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่ชี้ไปที่แกน: ในการเปลี่ยนจากมวลขนาดเล็กที่ไม่ต่อเนื่องไปเป็นมวลจุดเล็กๆ อย่างอนันต์ ขีดจำกัดของผลรวมดังกล่าวจะถูกกำหนดโดยปริพันธ์: โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง . นอกจากโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนของวัตถุแข็งเกร็งแล้ว ยังมีโมเมนต์ความเฉื่อยประเภทอื่นๆ ได้แก่ โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่แข็งกระด้าง โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็ง 3. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งเกี่ยวกับแกนคู่ขนาน - สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นแกนคู่ขนาน: โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนอ้างอิง โมเมนต์ความเฉื่อยคงที่ของแกนอ้างอิง โมเมนต์มวลกายเป็นศูนย์:

24 สไลด์

บรรยายที่ 8 (ต่อ 8.2) 22 โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนสม่ำเสมอของส่วนคงที่รอบแกน: x z L เลือกปริมาตรเบื้องต้น dV = Adx ที่ระยะทาง x: x dx มวลเบื้องต้น: เพื่อคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนกลาง (ผ่านจุดศูนย์ถ่วง) ก็เพียงพอที่จะเปลี่ยนตำแหน่งของแกนและตั้งค่าขีดจำกัดการรวม (-L/2, L/2) ที่นี่เราแสดงสูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นแกนคู่ขนาน: zС 5 โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกทึบที่เป็นเนื้อเดียวกันรอบแกนสมมาตร: H dr r ให้เราแยกปริมาตรเบื้องต้น dV = 2πrdrH (ทรงกระบอกเล็กรัศมี r) : มวลเบื้องต้น: ในที่นี้เราใช้สูตรปริมาตรทรงกระบอก V=πR2H ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวง (หนา) ก็เพียงพอที่จะกำหนดขีดจำกัดการรวมจาก R1 ถึง R2 (R2> R1): 6. โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกบางรอบแกนสมมาตร (t

25 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 8 (ความต่อเนื่อง 8.3) 23 ■ สมการเชิงอนุพันธ์ของการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกน: ลองเขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่: โมเมนตัมของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนอยู่คือ: โมเมนต์ ของแรงภายนอกรอบแกนหมุนเท่ากับแรงบิด (ปฏิกิริยาและแรงไม่สร้างโมเมนต์แรงโน้มถ่วง): เราแทนที่โมเมนต์จลนศาสตร์และแรงบิดลงในทฤษฎีบท ตัวอย่าง: คนสองคนที่มีน้ำหนักเท่ากัน G1 = G2 แขวนอยู่บนเชือก โยนข้ามบล็อกทึบที่มีน้ำหนัก G3 = G1/4 เมื่อถึงจุดหนึ่ง หนึ่งในนั้นเริ่มปีนเชือกด้วยความเร็วสัมพัทธ์ u กำหนดความเร็วในการยกของแต่ละคน 1. เราเลือกวัตถุของการเคลื่อนไหว (บล็อกกับผู้คน): 2. เรายกเลิกการเชื่อมต่อ (อุปกรณ์สนับสนุนของบล็อก): 3. เราแทนที่การเชื่อมต่อด้วยปฏิกิริยา (แบริ่ง): 4. เพิ่มแรงที่ใช้งาน (แรงโน้มถ่วง): 5. เขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในโมเมนต์จลน์ของระบบที่สัมพันธ์กับแกนหมุนของบล็อก: R เนื่องจากโมเมนต์ของแรงภายนอกมีค่าเท่ากับศูนย์ โมเมนต์จลน์ต้องคงที่: ณ โมเมนต์เริ่มต้นของเวลา t = 0 มีความสมดุลและ Kz0 = 0 หลังจากเริ่มการเคลื่อนที่ของคนคนหนึ่งที่สัมพันธ์กับเชือก ทั้งระบบก็เริ่มเคลื่อนไหว แต่โมเมนต์จลน์ของระบบจะต้องเท่ากับศูนย์: Kz = 0 โมเมนตัมเชิงมุมของระบบคือผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของทั้งสองคนและบล็อก โดยที่ v2 คือความเร็วของบุคคลที่สอง เท่ากับความเร็วของปลายสายต่อแกนหมุนคงที่ หรือ: ในกรณีของการแกว่งเล็กน้อย sinφ φ: คาบการสั่น: โมเมนต์ความเฉื่อยของแกน:

26 สไลด์

การบรรยายครั้งที่ 8 (ความต่อเนื่อง 8.4 - วัสดุเพิ่มเติม) 24 ■ ทฤษฎีเบื้องต้นของไจโรสโคป: ไจโรสโคปเป็นวัตถุที่แข็งทื่อซึ่งหมุนรอบแกนสมมาตรของวัสดุ หนึ่งในจุดคงที่ ไจโรสโคปอิสระได้รับการแก้ไขในลักษณะที่จุดศูนย์กลางมวลยังคงนิ่งและแกนของการหมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวลและสามารถอยู่ในตำแหน่งใดก็ได้ในอวกาศเช่น แกนของการหมุนจะเปลี่ยนตำแหน่งเหมือนแกนของการหมุนของร่างกายเองระหว่างการเคลื่อนที่แบบทรงกลม สมมติฐานหลักของทฤษฎีโดยประมาณ (เบื้องต้น) ของไจโรสโคปคือเวกเตอร์โมเมนตัม (โมเมนต์จลนศาสตร์) ของโรเตอร์ถูกพิจารณาให้มุ่งไปตามแกนของการหมุนของมันเอง ดังนั้น แม้ว่าในกรณีทั่วไปโรเตอร์จะมีส่วนร่วมในการหมุนสามครั้ง แต่จะพิจารณาเฉพาะความเร็วเชิงมุมของการหมุนของมันเอง ω = dφ/dt เหตุผลก็คือว่าในเทคโนโลยีสมัยใหม่ โรเตอร์ไจโรสโคปหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมของลำดับ 5,000-8,000 rad / s (ประมาณ 50000-80000 รอบต่อนาที) ในขณะที่ความเร็วเชิงมุมอีกสองความเร็วที่เกี่ยวข้องกับ precession และ nutation ของแกนของตัวเอง ของการหมุนน้อยกว่าความเร็วนี้หลายหมื่นเท่า คุณสมบัติหลักของไจโรสโคปแบบอิสระคือแกนโรเตอร์รักษาทิศทางคงที่ในอวกาศเทียบกับระบบอ้างอิงเฉื่อย (ดาว) (แสดงโดยลูกตุ้มฟูโกต์ ซึ่งทำให้ระนาบการแกว่งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับดวงดาว, 1852) สิ่งนี้เกิดขึ้นจากกฎการอนุรักษ์โมเมนต์จลนศาสตร์ที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวลของโรเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าแรงเสียดทานในตลับลูกปืนของแกนกันสะเทือนของโรเตอร์ เฟรมด้านนอกและด้านในถูกละเลย: แรงกระทำบนแกนอิสระ ไจโรสโคป ในกรณีของแรงที่ใช้กับแกนโรเตอร์ โมเมนต์ของแรงภายนอกที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวลจะไม่เท่ากับศูนย์: แรง ω ω С และต่อเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงนี้ กล่าวคือ จะหมุนไม่เกี่ยวกับแกน x (กันกระเทือนภายใน) แต่เกี่ยวกับแกน y (กันกระเทือนภายนอก) เมื่อสิ้นสุดแรง แกนโรเตอร์จะยังคงอยู่ในตำแหน่งเดิม ซึ่งสอดคล้องกับแรงครั้งสุดท้าย เนื่องจาก จากจุดนี้ไป โมเมนต์ของแรงภายนอกจะเท่ากับศูนย์อีกครั้ง ในกรณีของแรงกระทำระยะสั้น (การกระแทก) แกนของไจโรสโคปจะไม่เปลี่ยนตำแหน่งในทางปฏิบัติ ดังนั้นการหมุนอย่างรวดเร็วของโรเตอร์ทำให้ไจโรสโคปสามารถตอบโต้อิทธิพลแบบสุ่มที่พยายามเปลี่ยนตำแหน่งของแกนหมุนของโรเตอร์และด้วยแรงที่คงที่ทำให้ตำแหน่งของระนาบตั้งฉากกับ แรงกระทำที่แกนของโรเตอร์อยู่ คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ในการทำงานของระบบนำทางเฉื่อย

สถาบันอิสระของรัฐ

ภูมิภาคคาลินินกราด

องค์กรการศึกษามืออาชีพ

วิทยาลัยการบริการและการท่องเที่ยว

หลักสูตรการบรรยายพร้อมตัวอย่างการปฏิบัติจริง

"พื้นฐานของกลศาสตร์เชิงทฤษฎี"

ตามระเบียบวินัยช่างเทคนิค

สำหรับนักเรียน3 คอร์ส

พิเศษ20.02.04 ความปลอดภัยจากอัคคีภัย

คาลินินกราด

อนุมัติ

รองผู้อำนวยการ SD GAU KO VEO KSTN.N. Myasnikov

ที่ได้รับการอนุมัติ

ระเบียบวิธีสภา GAU KO VET KST

ที่พิจารณา

ในที่ประชุม คสช

ทีมบรรณาธิการ:

Kolganova A.A. นักระเบียบวิธี

Falaleeva A.B. ครูสอนภาษาและวรรณคดีรัสเซีย

Tsvetaeva L.V. ประธาน PCCสาขาวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติทั่วไป

รวบรวมโดย:

เนซวาโนวา I.V. อาจารย์ GAU KO VET KST

เนื้อหา

1. ข้อมูลทางทฤษฎี

1. ข้อมูลทางทฤษฎี

1. ตัวอย่างการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

พลวัต: แนวคิดพื้นฐานและสัจพจน์

1. ข้อมูลทางทฤษฎี

1. ตัวอย่างการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

บรรณานุกรม

สถิตยศาสตร์: แนวคิดพื้นฐานและสัจพจน์

1. ข้อมูลทางทฤษฎี

วิชาว่าด้วยวัตถุ - ส่วนหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีซึ่งพิจารณาคุณสมบัติของแรงที่ใช้กับจุดของร่างกายที่แข็งกระด้างและสภาวะสมดุล เป้าหมายหลัก:

1. การแปลงระบบแรงเป็นระบบแรงเทียบเท่า

2. การกำหนดเงื่อนไขสำหรับความสมดุลของระบบแรงที่กระทำต่อร่างกายที่แข็งกระด้าง

จุดวัสดุ เรียกว่าโมเดลที่ง่ายที่สุดของตัววัสดุ

รูปร่างใด ๆ ขนาดที่เล็กพอและสามารถนำมาเป็นจุดเรขาคณิตที่มีมวลที่แน่นอนได้ ระบบกลไกคือชุดของจุดวัสดุใดๆ ร่างกายที่แข็งกระด้างอย่างยิ่งคือระบบกลไก ซึ่งระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การโต้ตอบใดๆ

ความแข็งแกร่ง เป็นการวัดปฏิกิริยาทางกลของวัตถุระหว่างกัน แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ เนื่องจากถูกกำหนดโดยองค์ประกอบสามประการ:

ค่าตัวเลข

ทิศทาง;

จุดสมัคร (A)

หน่วยของแรงคือนิวตัน (N)

รูปที่ 1.1

ระบบแรงคือชุดของแรงที่กระทำต่อร่างกาย

ระบบแรงที่สมดุล (เท่ากับศูนย์) เป็นระบบที่ใช้กับร่างกายไม่เปลี่ยนสถานะ

ระบบของแรงที่กระทำต่อร่างกายสามารถถูกแทนที่ด้วยผลลัพธ์ตัวเดียวที่ทำหน้าที่เป็นระบบของแรง

สัจพจน์ของสถิตยศาสตร์

สัจพจน์ 1: หากใช้ระบบแรงที่สมดุลกับร่างกาย มันก็จะเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงหรืออยู่นิ่ง (กฎของความเฉื่อย)

สัจพจน์ 2: วัตถุที่แข็งกระด้างอย่างยิ่งจะอยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้การกระทำของแรงสองแรง ถ้าแรงเหล่านี้มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน กระทำเป็นเส้นตรงเส้นเดียวและมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม รูปที่ 1.2

สัจพจน์ 3: สถานะทางกลของร่างกายจะไม่ถูกรบกวนหากมีการเพิ่มหรือลบระบบแรงที่สมดุลออกจากระบบของแรงที่กระทำต่อมัน

สัจพจน์ที่ 4: ผลลัพธ์ของแรงทั้งสองที่ใช้กับวัตถุมีค่าเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิต กล่าวคือ มันแสดงเป็นค่าสัมบูรณ์และทิศทางโดยเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากแรงเหล่านี้ที่ด้านข้าง

รูปที่ 1.3.

สัจพจน์ 5: แรงที่วัตถุทั้งสองกระทำต่อกันจะมีค่าสัมบูรณ์เท่ากันเสมอและเคลื่อนไปตามเส้นตรงเส้นเดียวในทิศทางตรงกันข้าม

รูปที่ 1.4.

ประเภทของพันธะและปฏิกิริยาของพวกมัน

การเชื่อมต่อ เรียกว่าข้อ จำกัด ใด ๆ ที่ขัดขวางการเคลื่อนไหวของร่างกายในอวกาศ ร่างกายที่แสวงหาภายใต้การกระทำของกองกำลังที่ใช้เพื่อเคลื่อนที่ซึ่งถูกป้องกันโดยการเชื่อมต่อจะกระทำกับมันด้วยแรงบางอย่างที่เรียกว่า แรงกดบนการเชื่อมต่อ . ตามกฎความเสมอภาคของการกระทำและปฏิกิริยา การเชื่อมต่อจะกระทำกับร่างกายด้วยโมดูลัสเดียวกัน แต่มีกำลังในทิศทางตรงกันข้าม
แรงที่สัมพันธ์นี้กระทำต่อร่างกาย ป้องกันการเคลื่อนไหวอย่างใดอย่างหนึ่ง เรียกว่า แรงปฏิกิริยา (ปฏิกิริยา) ของพันธะ .
หลักการพื้นฐานของกลศาสตร์ประการหนึ่งคือ หลักการปลดปล่อย : ร่างกายที่ไม่เป็นอิสระใด ๆ ถือได้ว่าเป็นอิสระถ้าเราละทิ้งพันธะและแทนที่การกระทำด้วยปฏิกิริยาของพันธะ

ปฏิกิริยาของพันธะมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับที่พันธะไม่อนุญาตให้ร่างกายเคลื่อนไหว พันธะประเภทหลักและปฏิกิริยาของพันธะแสดงไว้ในตารางที่ 1.1

ตาราง 1.1

ประเภทของพันธะและปฏิกิริยาของพวกมัน

ชื่อการสื่อสาร

เครื่องหมาย

1

พื้นผิวเรียบ (รองรับ) - พื้นผิว (รองรับ) การเสียดสีที่ร่างกายที่กำหนดสามารถละเลยได้
ด้วยการสนับสนุนฟรีปฏิกิริยาตั้งฉากกับเส้นสัมผัสผ่านจุดแต่ ร่างกายสัมผัส1 พร้อมพื้นผิวรองรับ2 .

2

เกลียว (ยืดหยุ่นขยายไม่ได้) การเชื่อมต่อที่ทำขึ้นในรูปของเกลียวที่ไม่สามารถขยายได้นั้นไม่อนุญาตให้ร่างกายเคลื่อนออกจากจุดระงับ ดังนั้นปฏิกิริยาของเกลียวจึงพุ่งไปตามเกลียวจนถึงจุดระงับ

3

แท่งไม่มีน้ำหนัก – ไม้เรียว ซึ่งสามารถละเลยน้ำหนักได้เมื่อเปรียบเทียบกับภาระที่รับรู้
ปฏิกิริยาของแท่งทรงตรงแบบบานพับที่ไม่มีน้ำหนักจะพุ่งไปตามแนวแกนของแท่ง

4

บานพับที่เคลื่อนย้ายได้, รองรับข้อต่อที่สามารถเคลื่อนย้ายได้ ปฏิกิริยาจะพุ่งไปตามเส้นปกติไปยังพื้นผิวรองรับ

7

ปิดแข็ง. ในระนาบของการฝังตัวแบบแข็งจะมีสององค์ประกอบของปฏิกิริยา, และโมเมนต์ของกองกำลังคู่หนึ่งซึ่งทำให้ลำแสงไม่หมุน1 เทียบกับจุดแต่ .
สิ่งที่แนบมาอย่างเข้มงวดในอวกาศทำให้อิสระทั้งหกองศาจากร่างกาย 1 - การกระจัดสามตำแหน่งตามแกนพิกัดและการหมุนสามครั้งเกี่ยวกับแกนเหล่านี้
จะมีสามองค์ประกอบในการฝังแข็งเชิงพื้นที่, , และสามช่วงเวลาของกองกำลัง.

ระบบแรงบรรจบกัน

ระบบการบรรจบกันของกองกำลัง เรียกว่าระบบแรงซึ่งแนวการกระทำตัดกัน ณ จุดหนึ่ง แรงสองอันมาบรรจบกัน ณ จุดหนึ่ง ตามสัจพจน์ที่สามของสถิตย์ สามารถถูกแทนที่ด้วยแรงเดียว -ผลลัพธ์ .
เวกเตอร์หลักของระบบแรง - ค่าเท่ากับผลรวมเรขาคณิตของแรงของระบบ

ผลลัพธ์ของระบบระนาบของแรงบรรจบกัน สามารถกำหนดได้กราฟิก และ วิเคราะห์.

เพิ่มระบบแรง . การเพิ่มระบบแนวราบของแรงบรรจบกันนั้นทำได้โดยการเพิ่มแรงอย่างต่อเนื่องด้วยการสร้างผลลัพธ์ระดับกลาง (รูปที่ 1.5) หรือโดยการสร้างแรงรูปหลายเหลี่ยม (รูปที่ 1.6)

รูปที่ 1.5รูปที่1.6

การฉายภาพแรงบนแกน - ปริมาณเชิงพีชคณิตเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของแรงและโคไซน์ของมุมระหว่างแรงกับทิศทางบวกของแกน
การฉายภาพFx(fig.1.7) แรงต่อเพลา Xบวกถ้า α เป็นเฉียบพลัน, ลบถ้า α เป็นป้าน ถ้าแข็งแกร่งตั้งฉากกับแกน จากนั้นการฉายภาพบนแกนจะเป็นศูนย์

รูปที่1.7

การฉายภาพแรงบนเครื่องบิน โอฮู– เวกเตอร์ , สรุประหว่างการคาดการณ์ของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของแรงไปยังเครื่องบินลำนี้ เหล่านั้น. การฉายภาพของแรงสู่ระนาบเป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งไม่เพียงแต่แสดงลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางในระนาบด้วยโอฮู (รูปที่ 1.8).

รูปที่ 1.8

จากนั้นโมดูลฉายภาพขึ้นเครื่องบิน โอฮู จะเท่ากับ:

Fxy = F cosα,

โดยที่ α คือมุมระหว่างทิศทางของแรงและการฉายภาพ
วิธีวิเคราะห์ระบุแรง . สำหรับวิธีวิเคราะห์การตั้งค่าแรงจำเป็นต้องเลือกระบบแกนพิกัดOhz, ซึ่งสัมพันธ์กับทิศทางของแรงในอวกาศจะถูกกำหนด.
เวกเตอร์ที่แสดงถึงความแข็งแกร่งสามารถสร้างได้หากทราบโมดูลัสของแรงนี้และมุม α, β, γ ที่แรงก่อตัวด้วยแกนพิกัด Dotแต่การใช้กำลัง กำหนดแยกตามพิกัดX, ที่, z. คุณสามารถกำหนดแรงได้จากการคาดคะเนของมันfx, fy, fzบนแกนพิกัด โมดูลัสของแรงในกรณีนี้ถูกกำหนดโดยสูตร:

และโคไซน์ทิศทาง:

, .

วิธีวิเคราะห์การเพิ่มแรง : การฉายภาพของเวกเตอร์ผลรวมบนแกนใดแกนหนึ่ง เท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของการฉายภาพพจน์ของเวกเตอร์บนแกนเดียวกัน กล่าวคือ ถ้า:

แล้ว , , .
ความรู้ Rx, Ry, Rzเราสามารถกำหนดโมดูล

และโคไซน์ทิศทาง:

, , .

รูปที่1.9

สำหรับความสมดุลของระบบแรงบรรจบกัน มันจำเป็นและเพียงพอที่ผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้จะเท่ากับศูนย์
1) สภาวะสมดุลทางเรขาคณิตสำหรับระบบการบรรจบกันของแรง : เพื่อความสมดุลของระบบแรงบรรจบกัน จำเป็นและเพียงพอที่แรงรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างจากแรงเหล่านี้

ถูกปิด (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ของเทอมสุดท้าย

แรงต้องตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ของเทอมแรกของแรง) จากนั้นเวกเตอร์หลักของระบบแรงจะเท่ากับศูนย์ ()
2) สภาวะสมดุลในการวิเคราะห์ . โมดูลของเวกเตอร์หลักของระบบแรงถูกกำหนดโดยสูตร. =0. เพราะว่า ดังนั้นนิพจน์รากสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อแต่ละเทอมหายไปพร้อมกันนั่นคือ

Rx= 0, Ry= 0, Rซ = 0

ดังนั้น เพื่อความสมดุลของระบบเชิงพื้นที่ของแรงบรรจบกัน จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของการคาดคะเนของแรงเหล่านี้ในแต่ละพิกัดทั้งสามของแกนจะเท่ากับศูนย์:

สำหรับความสมดุลของระบบแนวราบของแรงบรรจบกัน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของเส้นโครงของแรงบนแกนพิกัดทั้งสองแกนแต่ละแกนจะเท่ากับศูนย์:

การเพิ่มแรงคู่ขนานสองแรงในทิศทางเดียวกัน

รูปที่1.9

แรงคู่ขนานสองแรงที่มุ่งไปในทิศทางเดียวกันจะลดลงเป็นแรงผลลัพธ์หนึ่งแรงขนานกับพวกมันและมุ่งไปในทิศทางเดียวกัน ขนาดของผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมของขนาดของแรงเหล่านี้ และจุดที่ใช้ C จะแบ่งระยะห่างระหว่างเส้นการกระทำของแรงภายในออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนผกผันกับขนาดของแรงเหล่านี้ นั่นคือ

บี เอ ซี

R=F 1 +F 2

การเพิ่มแรงคู่ขนานที่ไม่เท่ากันสองแรงในทิศทางตรงกันข้าม

แรงต้านขนานที่ไม่เท่ากันสองอันจะลดลงเหลือแรงผลลัพธ์หนึ่งอันขนานกับพวกมันและมุ่งสู่แรงที่มากกว่า ขนาดของผลลัพธ์เท่ากับผลต่างระหว่างขนาดของแรงเหล่านี้ และจุดที่ใช้ C แบ่งระยะห่างระหว่างเส้นการกระทำของแรงภายนอกออกเป็นส่วน ๆ ตามสัดส่วนผกผันกับขนาดของแรงเหล่านี้ เป็น

แรงคู่และโมเมนต์แรงรอบจุด

โมเมนต์แห่งพลัง สัมพันธ์กับจุด O ที่ถูกเรียก ถ่ายด้วยเครื่องหมายที่เหมาะสม ผลคูณของขนาดของแรงตามระยะทาง h จากจุด O ถึงแนวการกระทำของแรง . สินค้านี้มีเครื่องหมายบวกถ้าแรง มีแนวโน้มที่จะหมุนร่างกายทวนเข็มนาฬิกาและด้วยเครื่องหมาย - ถ้าแรง มีแนวโน้มที่จะหมุนร่างกายตามเข็มนาฬิกานั่นคือ . ความยาวของเส้นตั้งฉาก h เรียกว่าไหล่ของความแข็งแกร่ง จุด O ผลของการกระทำของแรงคือ ความเร่งเชิงมุมของร่างกายนั้นยิ่งใหญ่กว่าขนาดของโมเมนต์ของแรงก็จะยิ่งมากขึ้น

รูปที่ 1.11

กองกำลังคู่ ระบบเรียกว่าระบบที่ประกอบด้วยแรงคู่ขนานสองแรงที่มีขนาดเท่ากันซึ่งมีทิศทางตรงกันข้าม ระยะทาง h ระหว่างแนวการกระทำของแรงเรียกว่าคู่ไหล่ . โมเมนต์ของแรงคู่ m(F,F") คือผลคูณของค่าของแรงที่ประกอบเป็นคู่และแขนของคู่ คำนวณด้วยเครื่องหมายที่เหมาะสม

มันถูกเขียนดังนี้: m(F, F")= ± F × h โดยที่ผลิตภัณฑ์มีเครื่องหมายบวกถ้าแรงคู่มีแนวโน้มที่จะหมุนร่างกายทวนเข็มนาฬิกาและมีเครื่องหมายลบหากแรงคู่มีแนวโน้ม เพื่อหมุนร่างกายตามเข็มนาฬิกา

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของโมเมนต์ของแรงของคู่

ผลรวมของโมเมนต์กำลังของทั้งคู่ (F,F") เทียบกับจุด 0 ใดๆ ที่เกิดขึ้นในระนาบการกระทำของทั้งคู่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดนี้และจะเท่ากับโมเมนต์ของทั้งคู่

ทฤษฎีบทคู่ที่เท่ากัน ผลที่ตามมา.

ทฤษฎีบท. สองคู่ที่มีโมเมนต์เท่ากันมีค่าเท่ากัน กล่าวคือ (F,F") ~ (P,P")

ข้อพิสูจน์ 1 . แรงคู่หนึ่งสามารถถ่ายโอนไปยังที่ใดก็ได้ในระนาบของการกระทำของมัน เช่นเดียวกับการหมุนไปยังมุมใดๆ และเปลี่ยนแขนและขนาดของแรงของทั้งคู่ ในขณะเดียวกันก็รักษาโมเมนต์ของทั้งคู่

ผลที่ 2 แรงคู่ไม่มีผลลัพธ์และไม่สามารถสมดุลได้ด้วยแรงเดียวที่อยู่ในระนาบของทั้งคู่

รูปที่ 1.12

การบวกและสภาวะสมดุลสำหรับระบบคู่บนระนาบ

1. ทฤษฎีบทการบวกคู่นอนในระนาบเดียวกัน ระบบของคู่ที่อยู่ในระนาบเดียวกันโดยพลการ สามารถแทนที่ด้วยคู่หนึ่งคู่ ซึ่งโมเมนต์นั้นเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของคู่เหล่านี้

2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสมดุลของระบบคู่บนระนาบ

เพื่อให้ร่างกายที่แข็งกระด้างอย่างสมบูรณ์ได้พักภายใต้การกระทำของระบบคู่ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันโดยพลการจึงจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของโมเมนต์ของทุกคู่มีค่าเท่ากับศูนย์นั่นคือ

จุดศูนย์ถ่วง

แรงโน้มถ่วง - ผลลัพธ์ของแรงดึงดูดสู่โลก กระจายไปทั่วปริมาตรของร่างกาย

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย - นี่คือจุดที่เกี่ยวข้องกับร่างกายนี้อย่างสม่ำเสมอโดยที่แนวการกระทำของแรงโน้มถ่วงของร่างกายที่กำหนดผ่านตำแหน่งใด ๆ ของร่างกายในอวกาศ

วิธีการหาจุดศูนย์ถ่วง

1. วิธีสมมาตร:

1.1. หากวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันมีระนาบสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ในระนาบนี้

1.2. หากวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันมีแกนสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่บนแกนนี้ จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันของการปฏิวัติอยู่บนแกนของการปฏิวัติ

1.3 หากวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสมมาตรสองแกน จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่จุดตัดกัน

2. วิธีการแบ่งพาร์ติชัน: ร่างกายถูกแบ่งออกเป็นชิ้นส่วนที่เล็กที่สุดซึ่งเป็นที่รู้จักจากแรงโน้มถ่วงและตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง

3. วิธีการของมวลลบ: เมื่อกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่มีโพรงว่าง ควรใช้วิธีการแบ่งพาร์ติชัน แต่ควรพิจารณามวลของช่องว่างอิสระเป็นลบ

พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างแบน:

ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่ายสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี (รูปที่ 1.13)

บันทึก: จุดศูนย์ถ่วงของสมมาตรของร่างอยู่บนแกนสมมาตร

จุดศูนย์ถ่วงของคันเบ็ดอยู่ตรงกลางของความสูง

1.2. ตัวอย่างการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1: ตุ้มน้ำหนักถูกแขวนไว้บนแท่งเหล็กและอยู่ในสภาวะสมดุล กำหนดแรงในแถบ (รูปที่ 1.2.1)

วิธีการแก้:

แรงที่เกิดขึ้นในแท่งยึดจะมีขนาดเท่ากับแรงที่แท่งรองรับน้ำหนัก (สัจพจน์ที่ 5)

เรากำหนดทิศทางที่เป็นไปได้ของปฏิกิริยาของพันธะ "แท่งแข็ง"

ความพยายามมุ่งตรงไปตามแท่งไม้

รูปที่ 1.2.1.

ให้เราปล่อยจุด A ออกจากพันธะ แทนที่การกระทำของพันธะด้วยปฏิกิริยาของพวกมัน (รูปที่ 1.2.2)

เริ่มการก่อสร้างด้วยแรงที่รู้จักโดยการวาดเวกเตอร์Fในระดับหนึ่ง

จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์Fลากเส้นขนานกับปฏิกิริยาR 1 และR 2 .

รูปที่ 1.2.2

ตัดกันเส้นสร้างรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 1.2.3.) เมื่อทราบขนาดของโครงสร้างและการวัดความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมแล้ว ก็สามารถกำหนดขนาดของปฏิกิริยาในแท่งได้

สำหรับการคำนวณที่แม่นยำยิ่งขึ้น คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทไซน์: อัตราส่วนของด้านข้างของสามเหลี่ยมต่อไซน์ของมุมตรงข้ามคือค่าคงที่

สำหรับกรณีนี้:

รูปที่ 1.2.3

ความคิดเห็น: หากทิศทางของเวกเตอร์ (ปฏิกิริยาคัปปลิ้ง) ในรูปแบบที่กำหนดและในรูปสามเหลี่ยมของแรงไม่ตรงกัน ปฏิกิริยาของแผนภาพควรมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม

ตัวอย่างที่ 2: กำหนดขนาดและทิศทางของระบบแนวราบที่เป็นผลลัพธ์ของแรงบรรจบกันด้วยวิธีการวิเคราะห์

วิธีการแก้:

รูปที่ 1.2.4

1. เรากำหนดการคาดการณ์ของแรงทั้งหมดของระบบต่อ Ox (รูปที่ 1.2.4)

การเพิ่มการคาดคะเนเชิงพีชคณิต เราจะได้การฉายภาพของผลลัพธ์บนแกน Ox

เครื่องหมายแสดงว่าผลลัพธ์ถูกชี้ไปทางซ้าย

2. เรากำหนดเส้นโครงของแรงทั้งหมดบนแกน Oy:

เมื่อบวกการคาดคะเนเชิงพีชคณิตแล้ว เราก็ได้เส้นโครงของผลลัพธ์บนแกน Oy

เครื่องหมายแสดงว่าผลลัพธ์ถูกชี้ลง

3. กำหนดโมดูลัสของผลลัพธ์ด้วยขนาดของเส้นโครง:

4. กำหนดค่ามุมของผลลัพธ์ด้วยแกน Ox:

และค่าของมุมที่มีแกน y:

ตัวอย่างที่ 3: คำนวณผลรวมของโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุด O (รูปที่ 1.2.6)

OA= AB= ที่D=DE=CB=2ม

รูปที่ 1.2.6

วิธีการแก้:

1. โมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุดหนึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณของโมดูลและแขนของแรง

2. โมเมนต์ของแรงมีค่าเท่ากับศูนย์ หากแนวการกระทำของแรงผ่านจุดใดจุดหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 4: กำหนดตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขที่แสดงในรูปที่ 1.2.7

วิธีการแก้:

เราแบ่งตัวเลขออกเป็นสาม:

1-สี่เหลี่ยมผืนผ้า

แต่ 1 =10*20=200ซม. 2

2 สามเหลี่ยม

แต่ 2 =1/2*10*15=75ซม. 2

3 รอบ

แต่ 3 =3,14*3 2 =28.3ซม. 2

รูปที่ 1 CG: x 1 =10ซม. y 1 =5ซม.

รูปที่ 2 CG: x 2 =20+1/3*15=25ซม 2 =1/3*10=3.3ซม.

รูปที่ 3 CG: x 3 =10ซม. y 3 =5ซม.

มีการกำหนดในทำนองเดียวกันสำหรับ กับ =4.5ซม.

จลนศาสตร์: แนวคิดพื้นฐาน

พารามิเตอร์จลนศาสตร์พื้นฐาน

วิถี - เส้นที่จุดวัสดุแสดงเมื่อเคลื่อนที่ในอวกาศ วิถีสามารถเป็นเส้นตรงและโค้ง เส้นแบนและเชิงพื้นที่

สมการวิถีการเคลื่อนที่ของระนาบ: y =ฉ ( x)

ระยะทางที่เดินทาง วัดเส้นทางตามเส้นทางในทิศทางของการเดินทาง การกำหนด -ส, หน่วยวัด - เมตร.

สมการการเคลื่อนที่ของจุด เป็นสมการที่กำหนดตำแหน่งของจุดเคลื่อนที่เป็นฟังก์ชันของเวลา

รูปที่ 2.1

ตำแหน่งของจุดในแต่ละช่วงเวลาสามารถกำหนดได้โดยระยะทางที่เคลื่อนที่ไปตามวิถีจากจุดคงที่บางจุดซึ่งถือเป็นจุดเริ่มต้น (รูปที่ 2.1) การเคลื่อนไหวแบบนี้เรียกว่าเป็นธรรมชาติ . ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่สามารถแสดงเป็น S = f (t)

รูปที่2.2

ตำแหน่งของจุดยังสามารถกำหนดได้หากพิกัดของจุดนั้นเรียกว่าฟังก์ชันของเวลา (รูปที่ 2.2) จากนั้น ในกรณีของการเคลื่อนที่บนระนาบ จะต้องให้สมการสองสมการ:

ในกรณีของการเคลื่อนที่เชิงพื้นที่จะมีการเพิ่มพิกัดที่สามด้วยz= ฉ 3 ( t)

การเคลื่อนไหวแบบนี้เรียกว่าประสานงาน .

ความเร็วในการเดินทาง เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะความเร็วและทิศทางการเคลื่อนที่ตามแนววิถีในขณะนั้น

ความเร็วเป็นเวกเตอร์ที่พุ่งตรงไปยังวิถีโคจรไปยังทิศทางการเคลื่อนที่ ณ ขณะใดก็ได้ (รูปที่ 2.3)

รูปที่ 2.3

หากจุดหนึ่งครอบคลุมระยะทางเท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน การเคลื่อนที่จะเรียกว่ายูนิฟอร์ม .

ความเร็วเฉลี่ยระหว่างทาง Δสกำหนด:

ที่ไหน∆S- ระยะทางที่เดินทางในเวลา Δt; Δ t- ช่วงเวลา

ถ้าจุดเดินทางในเส้นทางที่ไม่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน การเคลื่อนที่จะเรียกว่าไม่สม่ำเสมอ . ในกรณีนี้ ความเร็วเป็นตัวแปรและขึ้นอยู่กับเวลาวี= ฉ( t)

ความเร็วปัจจุบันถูกกำหนดเป็น

จุดเร่ง - ปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในขนาดและทิศทาง

ความเร็วของจุดเมื่อเคลื่อนที่จากจุด M1 ไปยังจุด Mg จะเปลี่ยนขนาดและทิศทาง ค่าเฉลี่ยความเร่งในช่วงเวลานี้

การเร่งความเร็วในปัจจุบัน:

โดยปกติ เพื่อความสะดวก จะมีการพิจารณาองค์ประกอบความเร่งในแนวตั้งฉากสองส่วนด้วยกัน: ปกติและแนวสัมผัส (รูปที่ 2.4)

อัตราเร่งปกติ a น , ลักษณะการเปลี่ยนแปลงของความเร็วโดย

ทิศทางและถูกกำหนดเป็น

ความเร่งปกติจะตั้งฉากกับความเร็วเข้าหาศูนย์กลางของส่วนโค้งเสมอ

รูป 2.4

ความเร่งในแนวสัมผัส a t , กำหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในขนาดและมักมุ่งตรงไปยังวิถีโคจร ในระหว่างการเร่งความเร็ว ทิศทางของมันจะเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของความเร็ว และในระหว่างการลดความเร็ว ทิศทางของมันจะถูกมุ่งตรงไปตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว

ค่าความเร่งเต็มถูกกำหนดเป็น:

การวิเคราะห์ประเภทและพารามิเตอร์จลนศาสตร์ของการเคลื่อนไหว

การเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอ - นี่คือการเคลื่อนไหวด้วยความเร็วคงที่:

สำหรับการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง:

สำหรับการเคลื่อนที่ในแนวโค้งสม่ำเสมอ:

กฎการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ :

การเคลื่อนที่แบบแปรผันเท่ากัน – เป็นการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งในแนวสัมผัสคงที่:

สำหรับการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง

สำหรับการเคลื่อนที่ในแนวโค้งสม่ำเสมอ:

กฎการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ:

กราฟจลนศาสตร์

กราฟจลนศาสตร์ - เป็นกราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงเส้นทาง ความเร็ว และความเร่งขึ้นอยู่กับเวลา

การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ (รูปที่ 2.5)

รูปที่ 2.5

การเคลื่อนไหวที่เท่าเทียมกัน (รูปที่ 2.6)

รูปที่2.6

การเคลื่อนไหวที่ง่ายที่สุดของร่างกายที่แข็งทื่อ

การเคลื่อนที่ไปข้างหน้า เรียกว่า การเคลื่อนไหวของร่างกายที่แข็งกระด้าง โดยเส้นตรงใด ๆ บนลำตัวระหว่างการเคลื่อนไหวยังคงขนานกับตำแหน่งเริ่มต้น (รูปที่ 2.7)

รูปที่2.7

ในการเคลื่อนที่แบบแปลน ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกัน: ความเร็วและความเร่งจะเท่ากันทุกขณะ

ที่การเคลื่อนที่แบบหมุน ทุกจุดของร่างกายอธิบายวงกลมรอบแกนคงที่ร่วมกัน

เรียกว่าแกนคงที่ซึ่งจุดทั้งหมดของร่างกายหมุนไปรอบ ๆ เรียกว่าแกนหมุน

เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุรอบแกนคงที่เท่านั้นตัวเลือกมุม (รูปที่ 2.8)

φ คือมุมการหมุนของร่างกาย

ω – ความเร็วเชิงมุมกำหนดการเปลี่ยนแปลงในมุมของการหมุนต่อหน่วยเวลา

การเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมกับเวลาถูกกำหนดโดยความเร่งเชิงมุม:

2.2. ตัวอย่างการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1: จะได้สมการการเคลื่อนที่ของจุด กำหนดความเร็วของจุดที่จุดสิ้นสุดของวินาทีที่สามของการเคลื่อนไหวและความเร็วเฉลี่ยสำหรับสามวินาทีแรก

วิธีการแก้:

1. สมการความเร็ว

2. ความเร็วเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่สาม (t=3 ค)

3. ความเร็วเฉลี่ย

ตัวอย่างที่ 2: ตามกฎการเคลื่อนที่ที่กำหนด ให้กำหนดประเภทของการเคลื่อนที่ ความเร็วเริ่มต้น และความเร่งในแนวสัมผัสของจุด เวลาที่จะหยุด

วิธีการแก้:

1. ลักษณะการเคลื่อนไหว : แปรผันเท่า ๆ กัน ()
2. เมื่อเปรียบเทียบสมการจะเห็นได้ว่า

- เส้นทางเริ่มต้นก่อนเริ่มนับถอยหลัง 10m;

- ความเร็วเริ่มต้น 20m/s

- ความเร่งในแนวสัมผัสคงที่

- ความเร่งเป็นลบ ดังนั้น การเคลื่อนไหวช้า ความเร่งจะมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับความเร็วของการเคลื่อนไหว

3. คุณสามารถกำหนดเวลาที่ความเร็วของจุดจะเท่ากับศูนย์

3. พลวัต: แนวคิดพื้นฐานและสัจพจน์

พลวัต - ส่วนของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีที่มีการเชื่อมโยงระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุกับแรงที่กระทำต่อวัตถุ

ในพลวัต ปัญหาสองประเภทได้รับการแก้ไข:

กำหนดพารามิเตอร์การเคลื่อนที่ตามแรงที่กำหนด

กำหนดแรงที่กระทำต่อร่างกายตามพารามิเตอร์การเคลื่อนไหวที่กำหนด

ภายใต้จุดวัสดุ บอกเป็นนัยถึงวัตถุบางอย่างที่มีมวลจำนวนหนึ่ง (กล่าวคือ มีสสารจำนวนหนึ่ง) แต่ไม่มีมิติเชิงเส้น (ปริมาตรที่น้อยมากของพื้นที่)
โดดเดี่ยว พิจารณาจุดวัสดุซึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากจุดวัสดุอื่น ในโลกแห่งความเป็นจริง ไม่มีจุดวัสดุที่แยกได้ เช่นเดียวกับวัตถุที่แยกออกมา แนวคิดนี้มีเงื่อนไข

ด้วยการเคลื่อนที่แบบแปลน ทุกจุดของร่างกายจะเคลื่อนไหวในลักษณะเดียวกัน ดังนั้นร่างกายจึงสามารถใช้เป็นจุดวัตถุได้

หากขนาดของลำตัวมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับวิถีโคจร ก็ถือเป็นจุดวัสดุ ในขณะที่จุดนั้นตรงกับจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย จุดต่างๆ อาจไม่เคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกัน ในกรณีนี้ ข้อกำหนดบางประการของไดนามิกสามารถใช้ได้กับจุดแต่ละจุดเท่านั้น และวัตถุที่เป็นวัสดุถือได้ว่าเป็นชุดของจุดวัสดุ

ดังนั้นไดนามิกจึงแบ่งออกเป็นไดนามิกของจุดและไดนามิกของระบบวัสดุ

สัจพจน์ของพลวัต

สัจพจน์แรก ( หลักการเฉื่อย): in จุดวัสดุแยกใด ๆ อยู่ในสถานะพักหรือเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจนกว่าแรงที่ใช้จะดึงออกจากสถานะนี้

รัฐนี้เรียกว่ารัฐความเฉื่อย ลบจุดออกจากสถานะนี้เช่น เร่งความเร็วบ้าง อาจเป็นแรงภายนอก

ทุกร่างกาย (จุด) มีความเฉื่อย การวัดความเฉื่อยคือมวลของร่างกาย

มวล เรียกว่าปริมาณของสารในร่างกาย ในกลศาสตร์คลาสสิกถือว่าเป็นค่าคงที่ หน่วยของมวลคือกิโลกรัม (กก.)

สัจพจน์ที่สอง (กฎข้อที่สองของนิวตันคือกฎพื้นฐานของพลวัต)

F=ma

ที่ไหนt - มวลจุดกก;เอ - การเร่งความเร็วจุด m/s 2 .

ความเร่งที่แรงกระทำต่อจุดวัตถุโดยแรงจะเป็นสัดส่วนกับขนาดของแรงและสอดคล้องกับทิศทางของแรง

แรงโน้มถ่วงกระทำต่อวัตถุทั้งหมดบนโลก ส่งผลให้ร่างกายมีอัตราเร่งของการตกอย่างอิสระ พุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของโลก:

G=mg

ที่ไหนก- 9.81 ม./วินาที² อัตราเร่งในการตกอย่างอิสระ

สัจพจน์ที่สาม (กฎข้อที่สามของนิวตัน): กับแรงปฏิสัมพันธ์ของวัตถุทั้งสองมีขนาดเท่ากันและมุ่งตรงไปตามเส้นตรงเดียวกันในทิศทางที่ต่างกัน.

เมื่อโต้ตอบกัน ความเร่งจะแปรผกผันกับมวล

สัจพจน์ที่สี่ (กฎความเป็นอิสระของการกระทำของกองกำลัง): ถึงแรงแต่ละระบบของระบบกำลังทำหน้าที่เหมือนที่ทำคนเดียว

ความเร่งที่ส่งไปยังจุดโดยระบบของแรงจะเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของการเร่งที่จุดโดยแรงแต่ละอันแยกกัน (รูปที่ 3.1):

รูปที่ 3.1

แนวคิดของแรงเสียดทาน ประเภทของแรงเสียดทาน

แรงเสียดทาน- แรงต้านที่เกิดจากการเคลื่อนไหวของร่างหยาบหนึ่งบนพื้นผิวของอีกร่างหนึ่ง แรงเสียดทานจากการเลื่อนส่งผลให้เกิดแรงเสียดทานจากการเลื่อน และแรงเสียดทานจากการกลิ้งทำให้เกิดแรงเสียดทานจากการโยก

แรงเสียดทานแบบเลื่อน

รูปที่ 3.2.

เหตุผลก็คือการมีส่วนร่วมทางกลของส่วนที่ยื่นออกมา แรงต้านการเคลื่อนที่ระหว่างการเลื่อน เรียกว่า แรงเสียดทานจากการเลื่อน (รูปที่ 3.2)

กฎของการเสียดสีเลื่อน:

1. แรงเสียดทานแบบเลื่อนเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงกดปกติ:

ที่ไหนR- แรงกดปกติตั้งฉากกับพื้นผิวรองรับฉ- ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานเลื่อน

รูปที่ 3.3

กรณีมีวัตถุเคลื่อนที่บนระนาบเอียง (ภาพที่ 3.3)

แรงเสียดทานกลิ้ง

ความต้านทานการหมุนสัมพันธ์กับการเสียรูปร่วมกันของพื้นและล้อ และน้อยกว่าแรงเสียดทานจากการเลื่อนมาก

ต้องใช้แรงในการรีดล้อสม่ำเสมอF dv (รูปที่ 3.4)

เงื่อนไขการหมุนของล้อคือโมเมนต์เคลื่อนที่ต้องไม่น้อยกว่าโมเมนต์ต้านทาน:

รูปที่ 3.4.

ตัวอย่างที่ 1: ตัวอย่างที่ 2: ถึงจุดมวลสองจุดม 1 =2กก. และม 2 = ใช้แรงเท่ากัน 5 กก. เปรียบเทียบค่าได้เร็วขึ้น

วิธีการแก้:

ตามสัจพจน์ที่สาม ไดนามิกความเร่งแปรผกผันกับมวล:

ตัวอย่างที่ 3: กำหนดการทำงานของแรงโน้มถ่วงเมื่อเคลื่อนย้ายโหลดจากจุด A ไปยังจุด C ตามระนาบเอียง (รูปที่ 3. 7) แรงโน้มถ่วงของร่างกายคือ 1500N AB=6ม., BC=4ม.ตัวอย่างที่ 3: กำหนดการทำงานของแรงตัดใน 3 นาที ความเร็วในการหมุนของชิ้นงานคือ 120 รอบต่อนาที เส้นผ่านศูนย์กลางของชิ้นงานคือ 40 มม. แรงตัดคือ 1kN (รูปที่ 3.8)

วิธีการแก้:

1. การทำงานกับการเคลื่อนที่แบบหมุน:

2. ความเร็วเชิงมุม 120 รอบต่อนาที

รูปที่3.8.

3. จำนวนรอบในช่วงเวลาที่กำหนดคือz\u003d 120 * 3 \u003d 360 รอบ

มุมการหมุนในช่วงเวลานี้ φ=2πz\u003d 2 * 3.14 * 360 \u003d 2261 rad

4. ทำงาน 3 รอบ:W\u003d 1 * 0.02 * 2261 \u003d 45.2 kJ

บรรณานุกรม

Olofinskaya, V.P. "กลศาสตร์เทคนิค" มอสโก "ฟอรัม" 2011

เออร์เดดี เอ.เอ. Erdedi N.A. กลศาสตร์เชิงทฤษฎี ความแข็งแรงของวัสดุ.- R-n-D; Phoenix, 2010

กลศาสตร์เชิงทฤษฎี- นี่คือสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ซึ่งกำหนดกฎพื้นฐานของการเคลื่อนที่ทางกลและปฏิกิริยาทางกลของวัตถุ

กลศาสตร์เชิงทฤษฎีเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีการศึกษาการเคลื่อนไหวของร่างกายในช่วงเวลาหนึ่ง (การเคลื่อนไหวทางกล) มันทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับส่วนอื่น ๆ ของกลศาสตร์ (ทฤษฎีความยืดหยุ่น, ความต้านทานของวัสดุ, ทฤษฎีของพลาสติก, ทฤษฎีของกลไกและเครื่องจักร, อุทกพลศาสตร์) และสาขาวิชาทางเทคนิคมากมาย

การเคลื่อนไหวทางกล- นี่คือการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปในตำแหน่งสัมพัทธ์ในอวกาศของวัตถุ

ปฏิสัมพันธ์ทางกล- นี่เป็นปฏิสัมพันธ์ซึ่งเป็นผลมาจากการเคลื่อนไหวทางกลที่เปลี่ยนไปหรือตำแหน่งสัมพัทธ์ของส่วนต่างๆของร่างกายเปลี่ยนไป

สถิตย์ร่างกายแข็ง

วิชาว่าด้วยวัตถุ- นี่คือสาขาหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ซึ่งเกี่ยวกับปัญหาความสมดุลของวัตถุแข็งและการเปลี่ยนแปลงของระบบแรงหนึ่งเป็นอีกระบบหนึ่ง ซึ่งเทียบเท่ากับมัน

แนวคิดพื้นฐานและกฎของสถิตยศาสตร์
• ร่างกายที่แข็งกระด้างที่สุด(ตัวแข็ง ตัว) เป็นวัตถุ ระยะห่างระหว่างจุดใด ๆ ที่ไม่เปลี่ยนแปลง
• จุดวัสดุคือร่างกายที่ละเลยมิติตามเงื่อนไขของปัญหาได้
• ร่างกายหลวมเป็นร่างกายในการเคลื่อนไหวที่ไม่มีข้อ จำกัด
• ไม่ฟรี (ถูกผูกไว้) ร่างกายคือร่างกายที่ถูกจำกัดการเคลื่อนไหว
• การเชื่อมต่อ- เหล่านี้เป็นวัตถุที่ป้องกันการเคลื่อนไหวของวัตถุภายใต้การพิจารณา (ร่างกายหรือระบบของร่างกาย).
• ปฏิกิริยาการสื่อสารเป็นแรงที่กำหนดลักษณะการกระทำของพันธะบนร่างกายที่แข็งกระด้าง หากเราพิจารณาว่าแรงที่วัตถุแข็งกระด้างกระทำต่อพันธะเป็นการกระทำ ปฏิกิริยาของพันธะก็คือการตอบโต้ ในกรณีนี้ แรง - การกระทำจะถูกนำไปใช้กับการเชื่อมต่อ และปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อจะถูกนำไปใช้กับร่างกายที่เป็นของแข็ง
• ระบบเครื่องกลเป็นชุดของวัตถุที่เชื่อมต่อถึงกันหรือจุดวัสดุ
• แข็งถือได้ว่าเป็นระบบกลไกตำแหน่งและระยะห่างระหว่างจุดที่ไม่เปลี่ยนแปลง
• ความแข็งแกร่งเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะการกระทำทางกลของวัตถุหนึ่งกับอีกวัตถุหนึ่ง
  แรงเป็นเวกเตอร์นั้นมีลักษณะเฉพาะจากจุดใช้งาน ทิศทางของการกระทำ และค่าสัมบูรณ์ หน่วยวัดสำหรับโมดูลัสของแรงคือนิวตัน
• สายพลังเป็นเส้นตรงตามทิศทางของเวกเตอร์แรง
• พลังเข้มข้นคือแรงที่กระทำ ณ จุดหนึ่ง
• แรงกระจาย (โหลดแบบกระจาย)- เป็นแรงที่กระทำต่อทุกจุดของปริมาตร พื้นผิว หรือความยาวของลำตัว
  โหลดแบบกระจายถูกกำหนดโดยแรงที่กระทำต่อหน่วยปริมาตร (พื้นผิว, ความยาว)
  ขนาดของโหลดแบบกระจายคือ N / m 3 (N / m 2, N / m)
• แรงภายนอกเป็นแรงที่กระทำต่อร่างกายที่ไม่อยู่ในระบบทางกลที่พิจารณา
• กำลังภายในเป็นแรงที่กระทำต่อจุดวัสดุของระบบทางกลจากจุดวัสดุอื่นที่เป็นของระบบที่พิจารณา
• ระบบแรงคือจำนวนรวมของแรงที่กระทำต่อระบบกลไก
• ระบบแรงแบนเป็นระบบของแรงที่มีแนวปฏิบัติอยู่ในระนาบเดียวกัน
• ระบบอวกาศของแรงเป็นระบบของแรงที่แนวการกระทำไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน
• ระบบแรงบรรจบกันเป็นระบบของแรงที่มีแนวการกระทำตัดกันที่จุดหนึ่ง
• ระบบบังคับตามอำเภอใจเป็นระบบของแรงที่แนวการกระทำไม่ตัดกันที่จุดหนึ่ง
• ระบบแรงเทียบเท่า- นี่คือระบบของกองกำลังซึ่งการแทนที่กันจะไม่เปลี่ยนสถานะทางกลของร่างกาย
  ยอมรับการกำหนด: .
• สมดุลภาวะที่ร่างกายยังคงนิ่งหรือเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงภายใต้การกระทำของกองกำลัง
• ระบบแรงสมดุล- นี่คือระบบของแรงที่เมื่อนำไปใช้กับวัตถุแข็งอิสระ จะไม่เปลี่ยนสถานะทางกลของมัน (ไม่ทำให้สมดุลย์)
  .
• แรงลัพธ์เป็นแรงที่กระทำต่อร่างกายเทียบเท่ากับระบบแรง
  .
• ช่วงเวลาแห่งพลังเป็นค่าที่กำหนดลักษณะความสามารถในการหมุนของแรง
• คู่พลังเป็นระบบของสองขนานที่เท่ากันในค่าสัมบูรณ์ของแรงที่มุ่งตรงตรงข้าม
  ยอมรับการกำหนด: .
  ภายใต้การกระทำของสองกองกำลัง ร่างกายจะทำการเคลื่อนไหวแบบหมุน
• การฉายภาพแรงบนแกน- นี่คือส่วนที่ล้อมรอบระหว่างเส้นตั้งฉากที่ดึงจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรงไปยังแกนนี้
  การฉายภาพเป็นบวกหากทิศทางของส่วนตรงกับทิศทางบวกของแกน
• การฉายภาพแรงบนเครื่องบินเป็นเวกเตอร์บนระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรงมายังระนาบนี้
• กฎข้อที่ 1 (กฎความเฉื่อย)จุดวัสดุที่แยกออกมาอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง
  การเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงของจุดวัสดุคือการเคลื่อนที่โดยความเฉื่อย สภาวะสมดุลของจุดวัตถุและวัตถุที่แข็งกระด้างนั้นไม่เพียงแต่เข้าใจว่าเป็นสภาวะพักเท่านั้น แต่ยังเข้าใจถึงการเคลื่อนที่โดยความเฉื่อยด้วย สำหรับวัตถุแข็งเกร็ง การเคลื่อนที่เฉื่อยมีหลายประเภท เช่น การหมุนตัววัตถุที่แข็งกระด้างอย่างสม่ำเสมอรอบแกนคงที่
• กฎหมาย 2วัตถุที่แข็งกระด้างจะอยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้การกระทำของแรงสองแรงก็ต่อเมื่อแรงเหล่านี้มีขนาดเท่ากันและมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามตามแนวการกระทำร่วม
  แรงทั้งสองนี้เรียกว่าสมดุล
  โดยทั่วไป แรงจะถือว่าสมดุลถ้าวัตถุแข็งเกร็งที่ใช้แรงเหล่านี้หยุดนิ่ง
• กฎหมาย 3โดยไม่ละเมิดสถานะ (คำว่า "รัฐ" ในที่นี้หมายถึงสถานะของการเคลื่อนไหวหรือการพักผ่อน) ของร่างกายที่แข็งกระด้าง เราสามารถเพิ่มและละทิ้งกองกำลังที่สมดุลได้
  ผลที่ตามมา โดยไม่รบกวนสถานะของวัตถุที่แข็งกระด้าง แรงสามารถเคลื่อนไปตามแนวการกระทำของมันไปยังจุดใดก็ได้ของร่างกาย
  แรงสองระบบจะเรียกว่าเท่ากัน ถ้าระบบใดระบบหนึ่งสามารถแทนที่ด้วยระบบอื่นโดยไม่รบกวนสถานะของวัตถุที่แข็งกระด้าง
• กฎหมาย 4ผลลัพธ์ของแรงสองแรงที่กระทำ ณ จุดหนึ่งถูกนำไปใช้ที่จุดเดียวกัน มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากแรงเหล่านี้ และถูกชี้ไปตามนี้
  เส้นทแยงมุม
  โมดูลัสของผลลัพธ์คือ:
  
• กฎข้อที่ 5 (กฎความเท่าเทียมกันของการกระทำและปฏิกิริยา). แรงที่วัตถุทั้งสองกระทำต่อกันจะมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางไปในทิศทางตรงกันข้ามตามเส้นตรงเส้นเดียว
  พึงระลึกไว้เสมอว่า การกระทำ- แรงที่ใช้กับร่างกาย บี, และ ฝ่ายค้าน- แรงที่ใช้กับร่างกาย แต่ไม่สมดุลเพราะยึดติดกับร่างกายต่างกัน
• กฎข้อที่ 6 (กฎแห่งการชุบแข็ง). ความสมดุลของวัตถุไม่แข็งตัวจะไม่ถูกรบกวนเมื่อแข็งตัว
  ไม่ควรลืมว่าสภาวะสมดุลซึ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับร่างกายที่แข็งกระด้างนั้นมีความจำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับร่างกายที่ไม่แข็งกระด้างที่สอดคล้องกัน
• กฎข้อที่ 7 (กฎแห่งการปลดปล่อยจากพันธบัตร)ร่างกายที่เป็นของแข็งที่ไม่เป็นอิสระถือได้ว่าเป็นอิสระหากปราศจากพันธะทางจิตใจ แทนที่การกระทำของพันธะด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกันของพันธะ

การเชื่อมต่อและปฏิกิริยาของพวกเขา
• พื้นผิวเรียบจำกัดการเคลื่อนไหวตามปกติกับพื้นผิวรองรับ ปฏิกิริยาตั้งฉากกับพื้นผิวโดยตรง
• ข้อต่อที่สามารถเคลื่อนย้ายได้จำกัดการเคลื่อนไหวของร่างกายตามแนวปกติจนถึงระนาบอ้างอิง ปฏิกิริยาจะพุ่งไปตามเส้นปกติไปยังพื้นผิวรองรับ
• การสนับสนุนคงที่อย่างชัดแจ้งต่อต้านการเคลื่อนไหวใด ๆ ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนหมุน
• คันเบ็ดไม่มีน้ำหนักต่อต้านการเคลื่อนไหวของร่างกายตามแนวแกน ปฏิกิริยาจะพุ่งไปตามแนวแกน
• การยกเลิกตาบอดต่อต้านการเคลื่อนไหวและการหมุนใด ๆ ในระนาบ การกระทำของมันสามารถถูกแทนที่ด้วยแรงที่นำเสนอในรูปแบบของสององค์ประกอบและกองกำลังหนึ่งคู่ด้วยครู่หนึ่ง

จลนศาสตร์

จลนศาสตร์- ส่วนหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีซึ่งพิจารณาคุณสมบัติทางเรขาคณิตทั่วไปของการเคลื่อนที่เชิงกลเป็นกระบวนการที่เกิดขึ้นในอวกาศและเวลา วัตถุที่เคลื่อนที่ถือเป็นจุดเรขาคณิตหรือวัตถุทางเรขาคณิต

แนวคิดพื้นฐานของจลนศาสตร์
• กฎการเคลื่อนที่ของจุด (body)คือการอาศัยตำแหน่งของจุด (body) ในอวกาศตรงต่อเวลา
• วิถีจุดคือโลคัสของตำแหน่งของจุดในอวกาศระหว่างการเคลื่อนที่
• จุด (ร่างกาย) ความเร็ว- นี่คือลักษณะของการเปลี่ยนแปลงในเวลาของตำแหน่งของจุด (ร่างกาย) ในอวกาศ
• จุด (ร่างกาย) การเร่งความเร็ว- นี่คือลักษณะของการเปลี่ยนแปลงในเวลาของความเร็วของจุด (ร่างกาย)

การกำหนดลักษณะจลนศาสตร์ของจุด
• วิถีจุด
  ในระบบอ้างอิงเวกเตอร์ วิถีถูกอธิบายโดยนิพจน์: .
  ในระบบอ้างอิงพิกัด วิถีถูกกำหนดตามกฎของการเคลื่อนที่แบบจุดและอธิบายโดยนิพจน์ z = ฉ(x,y)ในอวกาศหรือ y = ฉ(x)- ในเครื่องบิน
  ในระบบอ้างอิงตามธรรมชาติ วิถีถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า
• การหาความเร็วของจุดในระบบพิกัดเวกเตอร์
  เมื่อระบุการเคลื่อนที่ของจุดในระบบพิกัดเวกเตอร์ อัตราส่วนของการเคลื่อนที่ต่อช่วงเวลาจะเรียกว่าค่าเฉลี่ยของความเร็วในช่วงเวลานี้: .
  เราใช้ช่วงเวลาเป็นค่าที่ไม่สิ้นสุด เราได้รับค่าความเร็ว ณ เวลาที่กำหนด (ค่าความเร็วทันที): .
  เวกเตอร์ความเร็วเฉลี่ยมุ่งตรงไปตามเวกเตอร์ในทิศทางของการเคลื่อนที่ของจุด เวกเตอร์ความเร็วในทันทีนั้นมุ่งตรงไปยังวิถีโคจรในทิศทางของการเคลื่อนที่ของจุด
  บทสรุป: ความเร็วของจุดคือปริมาณเวกเตอร์เท่ากับอนุพันธ์ของกฎการเคลื่อนที่เทียบกับเวลา
  ทรัพย์สินอนุพันธ์: อนุพันธ์เวลาของค่าใด ๆ กำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่านี้
• การกำหนดความเร็วของจุดในระบบอ้างอิงพิกัด
  อัตราการเปลี่ยนแปลงของพิกัดจุด:
  .
  โมดูลความเร็วเต็มที่ของจุดที่มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมจะเท่ากับ:
  .
  ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วถูกกำหนดโดยโคไซน์ของมุมบังคับเลี้ยว:
  ,
  มุมระหว่างเวกเตอร์ความเร็วกับแกนพิกัดอยู่ที่ไหน
• การหาความเร็วของจุดในระบบอ้างอิงตามธรรมชาติ
  ความเร็วของจุดในระบบอ้างอิงตามธรรมชาติถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของกฎการเคลื่อนที่ของจุด:
  จากข้อสรุปก่อนหน้านี้ เวกเตอร์ความเร็วถูกกำกับโดยสัมผัสถึงวิถีโคจรในทิศทางของการเคลื่อนที่ของจุด และในแกนจะถูกกำหนดโดยการฉายภาพเดียวเท่านั้น .

จลนศาสตร์ร่างกายแข็ง
• ในจลนศาสตร์ของร่างกายที่แข็งกระด้าง ปัญหาหลักสองประการได้รับการแก้ไข:
  1) งานของการเคลื่อนไหวและการกำหนดลักษณะจลนศาสตร์ของร่างกายโดยรวม
  2) การกำหนดลักษณะจลนศาสตร์ของจุดต่างๆ ของร่างกาย
• การเคลื่อนไหวแปลของร่างกายที่แข็งกระด้าง
  การเคลื่อนที่แบบแปลนแปลคือการเคลื่อนไหวที่เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดของร่างกายยังคงขนานกับตำแหน่งเดิม
  ทฤษฎีบท: ในการเคลื่อนที่แบบแปลน ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ไปตามวิถีเดียวกัน และในแต่ละช่วงเวลามีความเร็วและความเร่งเท่ากันในค่าและทิศทางสัมบูรณ์.
  บทสรุป: การเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุที่แข็งกระด้างถูกกำหนดโดยการเคลื่อนที่ของจุดใดๆ ของมัน ดังนั้นงานและการศึกษาการเคลื่อนที่ของมันจะลดลงจนถึงจลนศาสตร์ของจุด.
• การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่
  การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่คือการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง โดยที่จุดสองจุดที่เป็นของลำตัวยังคงนิ่งอยู่ตลอดระยะเวลาของการเคลื่อนไหว
  ตำแหน่งของร่างกายถูกกำหนดโดยมุมของการหมุน หน่วยวัดของมุมคือเรเดียน (เรเดียนคือมุมศูนย์กลางของวงกลมที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี มุมเต็มของวงกลมประกอบด้วย 2πเรเดียน.)
  กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุรอบแกนคงที่
  ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของร่างกายจะถูกกำหนดโดยวิธีการสร้างความแตกต่าง:
  — ความเร็วเชิงมุม rad/s;
  — ความเร่งเชิงมุม rad/s²
  หากเราตัดลำตัวโดยระนาบตั้งฉากกับแกน ให้เลือกจุดบนแกนหมุน จากและจุดโดยพลการ เอ็มแล้วประเด็น เอ็มจะอธิบายรอบจุด จากวงกลมรัศมี R. ในระหว่าง dtมีการหมุนเบื้องต้นผ่านมุม ในขณะที่จุด เอ็มจะเคลื่อนไปตามวิถีเป็นระยะทางไกล .
  โมดูลความเร็วเชิงเส้น:
  .
  จุดเร่ง เอ็มด้วยวิถีที่รู้จักถูกกำหนดโดยส่วนประกอบ:
  ,
  ที่ไหน .
  ส่งผลให้เราได้สูตร
  การเร่งความเร็วในแนวสัมผัส: ;
  อัตราเร่งปกติ: .

พลวัต

พลวัต- นี่คือสาขาหนึ่งของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีซึ่งศึกษาการเคลื่อนไหวทางกลของวัตถุขึ้นอยู่กับสาเหตุที่ทำให้เกิด

แนวคิดพื้นฐานของพลวัต
• ความเฉื่อย- นี่คือคุณสมบัติของวัตถุที่จะคงสภาพการพักหรือการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอจนกว่าแรงภายนอกจะเปลี่ยนสถานะนี้
• น้ำหนักเป็นการวัดเชิงปริมาณของความเฉื่อยของร่างกาย หน่วยของมวลคือกิโลกรัม (กก.)
• จุดวัสดุคือร่างกายที่มีมวลซึ่งขนาดที่ถูกละเลยในการแก้ปัญหานี้
• จุดศูนย์กลางมวลของระบบเครื่องกลเป็นจุดเรขาคณิตซึ่งพิกัดถูกกำหนดโดยสูตร:
  
  ที่ไหน m k , x k , y k , z k- มวลและพิกัด k- จุดนั้นของระบบเครื่องกล มคือมวลของระบบ
  ในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลจะตรงกับตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง
• โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนเป็นการวัดเชิงปริมาณของความเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน
  โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุรอบแกนเท่ากับผลคูณของมวลของจุดและกำลังสองของระยะห่างของจุดจากแกน:
  .
  โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ (ร่างกาย) รอบแกนเท่ากับผลรวมเลขคณิตของโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดทั้งหมด:
  
• แรงเฉื่อยของจุดวัสดุเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่เท่ากับค่าสัมบูรณ์กับผลคูณของมวลของจุดและโมดูลของความเร่งและมุ่งตรงตรงข้ามกับเวกเตอร์ความเร่ง:
• แรงเฉื่อยของวัตถุเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์มวลกายและโมดูลความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายและกำกับตรงข้ามกับเวกเตอร์ความเร่งของจุดศูนย์กลางมวล: ,
  โดยที่ความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายอยู่ที่ไหน
• แรงกระตุ้นธาตุเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่เท่ากับผลคูณของเวกเตอร์แรงด้วยช่วงเวลาที่จำกัด dt:
  .
  แรงกระตุ้นรวมสำหรับ Δt เท่ากับอินทิกรัลของแรงกระตุ้นเบื้องต้น:
  .
• งานเบื้องต้นของกำลังเป็นสเกลาร์ ดา, เท่ากับสเกลาร์

การบรรยายเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎี

พลวัตของจุด

บรรยาย 1

แนวคิดพื้นฐานของพลวัต

ในบท พลวัตศึกษาการเคลื่อนไหวของร่างกายภายใต้การกระทำของกองกำลังที่ใช้กับพวกมัน ดังนั้นนอกจากแนวคิดที่ได้นำเสนอในหัวข้อ จลนศาสตร์จำเป็นต้องใช้แนวคิดใหม่ที่สะท้อนถึงผลกระทบเฉพาะของแรงที่มีต่อวัตถุต่างๆ และการตอบสนองต่อผลกระทบเหล่านี้ของร่างกาย ลองพิจารณาหลักของแนวคิดเหล่านี้

ก) ความแข็งแกร่ง

แรงเป็นผลเชิงปริมาณของผลกระทบต่อร่างกายที่กำหนดโดยร่างกายอื่นแรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ (รูปที่ 1)

จุด A ของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรง Fเรียกว่า จุดใช้กำลัง. เส้น MN ที่เวกเตอร์แรงตั้งอยู่เรียกว่า เส้นแรง.ความยาวของเวกเตอร์แรงที่วัดได้ในระดับหนึ่งเรียกว่า ค่าตัวเลขหรือโมดูลัสของแรงเวกเตอร์. โมดูลัสของแรงแสดงเป็น หรือ การกระทำของแรงที่กระทำต่อร่างกายนั้นปรากฏอยู่ในการเสียรูป ถ้าร่างกายไม่อยู่กับที่ หรือในการเร่งความเร็วเมื่อร่างกายเคลื่อนไหว ในการสำแดงของแรงเหล่านี้ อุปกรณ์ของเครื่องมือต่างๆ (เครื่องวัดแรงหรือไดนาโมมิเตอร์) สำหรับแรงในการวัดจะขึ้นอยู่กับ

b) ระบบกำลัง

เซตของกองกำลังที่พิจารณาแล้ว ระบบแรงระบบใด ๆ ที่ประกอบด้วยแรง n สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

c) ร่างกายฟรี

ร่างกายที่สามารถเคลื่อนที่ในอวกาศในทิศทางใดก็ได้โดยไม่ต้องมีปฏิสัมพันธ์โดยตรง (ทางกล) กับวัตถุอื่น ๆ เรียกว่า ฟรีหรือ โดดเดี่ยว. อิทธิพลของระบบแรงอย่างใดอย่างหนึ่งต่อร่างกายสามารถชี้แจงได้ก็ต่อเมื่อร่างกายนี้ว่าง

d) แรงลัพธ์

ถ้าแรงใดมีผลเช่นเดียวกันกับร่างกายอิสระกับระบบของแรงบางอย่าง แรงนี้เรียกว่า ผลลัพธ์ของระบบแรงนี้. สิ่งนี้เขียนดังนี้:

,

ซึ่งหมายความว่า ความเท่าเทียมกันผลกระทบต่อร่างกายอิสระเดียวกันของผลลัพธ์และระบบของกองกำลัง n บางระบบ

ให้เราหันมาพิจารณาแนวคิดที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งเกี่ยวข้องกับการกำหนดเชิงปริมาณของผลกระทบจากการหมุนของแรง

e) โมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุด (ศูนย์กลาง)

หากวัตถุภายใต้การกระทำของแรงสามารถหมุนรอบจุดคงที่ O (รูปที่ 2) ได้ ดังนั้นหากต้องการหาปริมาณเอฟเฟกต์การหมุนนี้ จะมีการแนะนำปริมาณทางกายภาพซึ่งเรียกว่า โมเมนต์ของแรงรอบจุด (ศูนย์กลาง)

ระนาบที่ผ่านจุดตายตัวที่กำหนด และเส้นแรงกระทำเรียกว่า เครื่องบินบังคับ. ในรูปที่ 2 นี่คือเครื่องบิน ОАВ

โมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุด (ศูนย์กลาง) คือปริมาณเวกเตอร์ที่เท่ากับผลคูณของเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีของจุดที่ใช้แรงโดยเวกเตอร์ของแรง:

( 1)

ตามกฎของการคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของพวกมันคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบของตำแหน่งของเวกเตอร์แฟคเตอร์ (ในกรณีนี้คือระนาบของ OAB สามเหลี่ยม) ซึ่งชี้ไปในทิศทางที่การหมุนที่สั้นที่สุดของ เวกเตอร์ตัวประกอบตัวแรกกับเวกเตอร์ตัวประกอบที่สอง มองเห็นได้กับนาฬิกา (รูปที่ 2)ด้วยลำดับของเวกเตอร์ของปัจจัยของผลิตภัณฑ์ไขว้ (1) การหมุนของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงจะมองเห็นได้กับนาฬิกา (รูปที่ 2) เนื่องจากเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบของ แรง ตำแหน่งในอวกาศกำหนดตำแหน่งของระนาบของแรง ค่าตัวเลขของเวกเตอร์ของโมเมนต์แรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ ОАВ และสามารถกำหนดได้โดยสูตร:

, (2)

ที่ไหน ขนาดชม.เท่ากับระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดที่กำหนด O ถึงแนวแรงกระทำ เรียกว่า แขนของแรง.

หากตำแหน่งของระนาบการกระทำของแรงในอวกาศไม่จำเป็นสำหรับการกำหนดลักษณะการเคลื่อนที่ของแรง ในกรณีนี้ ให้กำหนดลักษณะการเคลื่อนที่ของแรง แทนที่จะเป็นเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรง โมเมนต์พีชคณิตของแรง:

(3)

โมเมนต์เชิงพีชคณิตของแรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่กำหนดนั้นเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของแรงและไหล่ของมัน ถ่ายด้วยเครื่องหมายบวกหรือลบ ในกรณีนี้ โมเมนต์ที่เป็นบวกจะสอดคล้องกับการหมุนของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงที่กำหนดต่อนาฬิกา และโมเมนต์เชิงลบจะสอดคล้องกับการหมุนของร่างกายไปในทิศทางของนาฬิกา จากสูตร (1) (2) และ (3) ได้ดังนี้ โมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อแขนของแรงนี้ชม.ศูนย์. แรงดังกล่าวไม่สามารถหมุนร่างกายรอบจุดที่กำหนดได้

f) โมเมนต์ของแรงรอบแกน

หากวัตถุที่อยู่ภายใต้การกระทำของแรงสามารถหมุนรอบแกนคงที่บางส่วนได้ (เช่น การหมุนของกรอบประตูหรือหน้าต่างในบานพับเมื่อเปิดหรือปิด) จะมีการแนะนำปริมาณทางกายภาพเพื่อวัดผลการหมุนนี้ ซึ่ง ถูกเรียก โมเมนต์แรงรอบแกนที่กำหนด.

z

 ข Fxy

รูปที่ 3 แสดงไดอะแกรมตามที่กำหนดโมเมนต์ของแรงเกี่ยวกับแกน z:

มุม  เกิดจากสองทิศทางตั้งฉาก z และระนาบของสามเหลี่ยม O อะบีและ OAV ตามลำดับ ตั้งแต่  O อะบีคือการฉายภาพของ ОАВ ลงบนระนาบ xy จากนั้นตามทฤษฎีบทสเตอริโอเมทรี ในการฉายภาพรูปทรงแบนบนระนาบที่กำหนด เรามี:

โดยที่เครื่องหมายบวกสอดคล้องกับค่าบวกของ cos เช่น มุมแหลม  และเครื่องหมายลบสอดคล้องกับค่าลบของ cos เช่น มุมป้าน  เนื่องจากทิศทางของเวกเตอร์ . ในทางกลับกัน SO อะบี=1/2อับ, ที่ไหน ชม.  อะบี . มูลค่าของเซ็กเมนต์ อะบีเท่ากับแรงที่ฉายลงบนระนาบ xy นั่นคือ . อะบี = F xy .

จากที่กล่าวมา เช่นเดียวกับความเท่าเทียมกัน (4) และ (5) เรากำหนดโมเมนต์ของแรงเกี่ยวกับแกน z ดังนี้:

ความเท่าเทียมกัน (6) ช่วยให้เราสามารถกำหนดนิยามของโมเมนต์แรงรอบแกนใดๆ ดังต่อไปนี้ โมเมนต์ของแรงรอบแกนที่กำหนดจะเท่ากับการฉายภาพบนแกนนี้ของเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงนี้ที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ ของ แกนที่กำหนดและถูกกำหนดเป็นผลคูณของแรงที่ฉายลงบนระนาบตั้งฉากกับแกนที่กำหนด ถ่ายด้วยเครื่องหมายบวกหรือลบบนไหล่ของการฉายภาพนี้สัมพันธ์กับจุดตัดของแกนกับระนาบการฉายภาพ ในกรณีนี้ สัญญาณของโมเมนต์ถือเป็นค่าบวก หากมองจากทิศทางบวกของแกน การหมุนของร่างกายรอบแกนนี้สามารถมองเห็นได้กับนาฬิกา มิฉะนั้น โมเมนต์ของแรงรอบแกนจะเป็นลบ เนื่องจากคำจำกัดความของโมเมนต์แรงที่สัมพันธ์กับแกนนี้ค่อนข้างจำยาก ขอแนะนำให้จำสูตร (6) และรูปที่ 3 ซึ่งอธิบายสูตรนี้

จากสูตร (6) ได้ดังนี้ โมเมนต์ของแรงรอบแกนจะเป็นศูนย์ ifมันขนานกับแกน (ในกรณีนี้ การฉายภาพบนระนาบตั้งฉากกับแกนเท่ากับศูนย์) หรือแนวการกระทำของแรงตัดกับแกน (จากนั้นแขนฉาย ชม.=0). สิ่งนี้สอดคล้องกับความหมายทางกายภาพของโมเมนต์ของแรงรอบแกนอย่างเต็มที่ซึ่งเป็นลักษณะเชิงปริมาณของการกระทำการหมุนของแรงบนวัตถุที่มีแกนหมุน

g) น้ำหนักตัว

เป็นที่ทราบกันมานานแล้วว่าภายใต้อิทธิพลของแรง ร่างกายจะค่อยๆ เพิ่มความเร็วและเคลื่อนที่ต่อไปหากแรงถูกขจัดออกไป คุณสมบัติของกายนี้ เพื่อต้านทานการเปลี่ยนแปลงในการเคลื่อนที่ เรียกว่า ความเฉื่อยหรือความเฉื่อยของร่างกาย การวัดเชิงปริมาณของความเฉื่อยของร่างกายคือมวลของมันนอกจากนี้, มวลกายเป็นการวัดเชิงปริมาณของผลกระทบของแรงโน้มถ่วงต่อร่างกายที่กำหนด ยิ่งมวลของร่างกายมากเท่าไร แรงโน้มถ่วงก็จะยิ่งกระทำต่อร่างกายมากขึ้นเท่านั้นดังจะแสดงด้านล่าง เอ่อคำจำกัดความของน้ำหนักตัวทั้งสองนี้มีความเกี่ยวข้องกัน

แนวคิดและคำจำกัดความอื่นๆ ของไดนามิกจะถูกกล่าวถึงในภายหลังในหัวข้อที่เกิดขึ้นครั้งแรก

2. พันธะและปฏิกิริยาของพันธะ

ก่อนหน้านี้ในข้อ 1 จุด (c) แนวคิดของวัตถุอิสระถูกกำหนดให้เป็นวัตถุที่สามารถเคลื่อนที่ไปในอวกาศในทิศทางใดก็ได้โดยไม่ต้องสัมผัสโดยตรงกับวัตถุอื่น ร่างกายที่แท้จริงส่วนใหญ่ที่อยู่รอบตัวเรานั้นสัมผัสโดยตรงกับร่างกายอื่นและไม่สามารถเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวหรืออีกทางหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น วัตถุที่อยู่บนพื้นผิวโต๊ะสามารถเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดก็ได้ ยกเว้นทิศทางที่ตั้งฉากกับพื้นผิวโต๊ะลง ประตูบานพับหมุนได้ แต่เคลื่อนที่ไปข้างหน้าไม่ได้ ฯลฯ เรียกว่า ร่างที่ไม่สามารถเคลื่อนที่ในอวกาศในทิศทางเดียวหรืออีกทางหนึ่งได้ ไม่ฟรี.

ทุกสิ่งที่จำกัดการเคลื่อนไหวของร่างกายที่กำหนดในอวกาศเรียกว่าพันธะเหล่านี้อาจเป็นวัตถุอื่น ๆ ที่ป้องกันการเคลื่อนไหวของร่างกายนี้ในบางทิศทาง ( การเชื่อมต่อทางกายภาพ); ในวงกว้างกว่านี้ อาจมีเงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของร่างกาย ซึ่งจำกัดการเคลื่อนไหวนี้ ดังนั้น คุณสามารถกำหนดเงื่อนไขสำหรับการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุให้เกิดขึ้นตามเส้นโค้งที่กำหนดได้ ในกรณีนี้ การเชื่อมต่อจะถูกระบุทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของสมการ ( สมการการเชื่อมต่อ). คำถามเกี่ยวกับประเภทของลิงก์จะได้รับการพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

พันธะส่วนใหญ่ที่กำหนดให้กับร่างกายนั้นเป็นพันธะทางกายภาพ ดังนั้นคำถามจึงเกิดขึ้นเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ของร่างกายที่กำหนดและการเชื่อมต่อที่กำหนดไว้ในร่างกายนี้ คำถามนี้ตอบโดยสัจพจน์เกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ของร่างกาย: วัตถุสองชิ้นกระทำต่อกันด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากัน ตรงข้ามกับทิศทางและตั้งอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แรงเหล่านี้เรียกว่าแรงปฏิสัมพันธ์ แรงปฏิสัมพันธ์ถูกนำไปใช้กับร่างกายที่มีปฏิสัมพันธ์ต่างกัน ตัวอย่างเช่น ระหว่างปฏิสัมพันธ์ของร่างกายที่กำหนดและการเชื่อมต่อ หนึ่งในแรงปฏิสัมพันธ์จะถูกใช้จากด้านข้างของร่างกายไปยังการเชื่อมต่อ และแรงโต้ตอบอื่น ๆ จะถูกใช้จากด้านข้างของการเชื่อมต่อไปยังร่างกายที่กำหนด . พลังสุดท้ายนี้เรียกว่า แรงปฏิกิริยาพันธะหรือง่ายๆ ปฏิกิริยาการเชื่อมต่อ

ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติของพลวัต จำเป็นต้องค้นหาทิศทางของปฏิกิริยาของพันธะประเภทต่างๆ กฎทั่วไปในการกำหนดทิศทางของปฏิกิริยาพันธะ บางครั้งสามารถช่วยในเรื่องนี้: ปฏิกิริยาของพันธะมักจะมุ่งตรงไปตรงข้ามกับทิศทางที่พันธะนี้จะป้องกันการเคลื่อนไหวของร่างกายที่กำหนด หากทิศทางนี้สามารถระบุได้อย่างแน่นอน ปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อจะถูกกำหนดโดยทิศทาง มิฉะนั้น ทิศทางของปฏิกิริยาพันธะจะไม่แน่นอนและสามารถพบได้จากสมการการเคลื่อนที่หรือสมดุลของร่างกายเท่านั้น ในรายละเอียดเพิ่มเติมควรศึกษาคำถามเกี่ยวกับประเภทของพันธะและทิศทางของปฏิกิริยาตามตำรา: S.M. Targ หลักสูตรระยะสั้นในกลศาสตร์ทฤษฎี "โรงเรียนมัธยม", M. , 1986 Ch.1, §3.

ในหัวข้อที่ 1 จุด (c) ว่ากันว่าผลกระทบของระบบแรงใด ๆ สามารถกำหนดได้อย่างเต็มที่ก็ต่อเมื่อระบบกำลังนี้ใช้กับวัตถุอิสระ เนื่องจากร่างกายส่วนใหญ่ไม่ว่าง ดังนั้นเพื่อศึกษาการเคลื่อนไหวของร่างกายเหล่านี้ คำถามจึงเกิดขึ้นว่าจะทำอย่างไรให้ร่างกายเหล่านี้เป็นอิสระ คำถามนี้มีคำตอบ สัจพจน์ของการเชื่อมต่อของการบรรยาย บนปรัชญาที่บ้าน. บรรยายคือ... จิตวิทยาสังคมและชาติพันธุ์วิทยา 3. ทฤษฎีผลลัพธ์ในสังคมดาร์วินคือ ...

ทฤษฎี กลศาสตร์

กวดวิชา >> ฟิสิกส์

เชิงนามธรรม การบรรยาย บนเรื่อง ทฤษฎี กลศาสตร์สำหรับนักศึกษาพิเศษ: 260501.65 ... - บทคัดย่อเต็มเวลา การบรรยายรวบรวมบนพื้นฐานของ: Butorin L.V. , Busygina E.B. ทฤษฎี กลศาสตร์. คู่มือการศึกษาและปฏิบัติ...

ดู:บทความนี้ถูกอ่าน 32852 ครั้ง

Pdf เลือกภาษา... รัสเซีย ยูเครน English

รีวิวสั้นๆ

ดาวน์โหลดเอกสารฉบับเต็มด้านบนหลังจากเลือกภาษา

• วิชาว่าด้วยวัตถุ
  • แนวคิดพื้นฐานของสถิตยศาสตร์
  • ประเภทแรง
  • สัจพจน์ของสถิตยศาสตร์
  • การเชื่อมต่อและปฏิกิริยาของพวกเขา
  • ระบบแรงบรรจบกัน
    • วิธีการกำหนดระบบผลลัพธ์ของแรงบรรจบกัน
    • สภาวะสมดุลของระบบแรงบรรจบกัน
  • โมเมนต์ของแรงรอบจุดศูนย์กลางในรูปเวกเตอร์
    • ค่าพีชคณิตของโมเมนต์แรง
    • คุณสมบัติของโมเมนต์แรงรอบจุดศูนย์กลาง (จุด)
  • ทฤษฎีแรงคู่
    • การบวกแรงคู่ขนานสองแรงในทิศทางเดียวกัน
    • การเพิ่มแรงคู่ขนานสองแรงในทิศทางตรงกันข้าม
    • พาวเวอร์แพร์
    • ทฤษฎีบทแรงคู่
    • สภาวะสมดุลของระบบแรงคู่
  • คันโยก
  • ระบบแรงระนาบตามอำเภอใจ
    • กรณีของการลดระบบแรงราบให้อยู่ในรูปแบบที่เรียบง่าย
    • สภาวะสมดุลในการวิเคราะห์
  • ศูนย์กลางของกองกำลังคู่ขนาน จุดศูนย์ถ่วง
    • ศูนย์กองกำลังคู่ขนาน
    • จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายแข็งและพิกัด
    • จุดศูนย์ถ่วงของปริมาตร ระนาบ และเส้น
    • วิธีการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง
• พื้นฐานของ Strength Racsets
  • ปัญหาและวิธีการต้านทานของวัสดุ
  • การจัดหมวดหมู่โหลด
  • การจำแนกองค์ประกอบโครงสร้าง
  • การเปลี่ยนรูปก้าน
  • สมมติฐานหลักและหลักการ
  • กองกำลังภายใน. วิธีมาตรา
  • แรงดันไฟฟ้า
  • ความตึงเครียดและการบีบอัด
  • ลักษณะทางกลของวัสดุ
  • ความเครียดที่อนุญาต
  • ความแข็งของวัสดุ
  • พล็อตของแรงตามยาวและความเค้น
  • กะ
  • ลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนต่างๆ
  • แรงบิด
  • โค้งงอ
    • การพึ่งพาอาศัยกันในการดัดงอ
    • แรงดัดงอ
    • ความเครียดปกติ การคำนวณความแข็งแรง
    • แรงเฉือนในการดัดงอ
    • ความแข็งดัด
  • องค์ประกอบของทฤษฎีทั่วไปของสภาวะความเครียด
  • ทฤษฎีความแข็งแกร่ง
  • ดัดโค้ง
• จลนศาสตร์
  • จลนศาสตร์จุด
    • วิถีจุด
    • วิธีการระบุการเคลื่อนที่ของจุด
    • ความเร็วจุด
    • จุดเร่ง
  • จลนศาสตร์ร่างกายแข็ง
    • การเคลื่อนไหวแปลของร่างกายที่แข็งกระด้าง
    • การเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายที่แข็งกระด้าง
    • จลนศาสตร์ของกลไกเฟือง
    • การเคลื่อนที่ขนานกับระนาบของร่างกายที่แข็งเกร็ง
  • การเคลื่อนไหวของจุดที่ซับซ้อน
• พลวัต
  • กฎพื้นฐานของพลวัต
  • พลวัตของจุด
    • สมการเชิงอนุพันธ์ของจุดวัสดุอิสระ
    • ปัญหาสองประการของพลวัตของจุด
  • พลวัตของร่างกายแข็ง
    • การจำแนกแรงที่กระทำต่อระบบกลไก
    • สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของระบบเครื่องกล
  • ทฤษฎีบททั่วไปของพลวัต
    • ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบเครื่องกล
    • ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม
    • ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม
    • ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์
• แรงกระทำในเครื่องจักร
  • กองกำลังในการสู้รบของเดือยเกียร์
  • แรงเสียดทานในกลไกและเครื่องจักร
    • แรงเสียดทานแบบเลื่อน
    • แรงเสียดทานกลิ้ง
  • ประสิทธิภาพ
• ชิ้นส่วนเครื่องจักร
  • การส่งสัญญาณทางกล
    • ประเภทของเกียร์กล
    • พารามิเตอร์พื้นฐานและที่มาของเฟืองกล
    • เกียร์
    • เกียร์พร้อมข้อต่อแบบยืดหยุ่น
  • เพลา
    • วัตถุประสงค์และการจำแนกประเภท
    • การคำนวณการออกแบบ
    • ตรวจสอบการคำนวณเพลา
  • ตลับลูกปืน
    • ตลับลูกปืนธรรมดา
    • ตลับลูกปืนกลิ้ง
  • การเชื่อมต่อชิ้นส่วนเครื่องจักร
    • ประเภทของการเชื่อมต่อที่ถอดออกได้และถาวร
    • การเชื่อมต่อที่สำคัญ
• มาตรฐานของบรรทัดฐานการแลกเปลี่ยน
  • ความคลาดเคลื่อนและการลงจอด
  • ระบบรวมความคลาดเคลื่อนและการลงจอด (ESDP)
  • แบบฟอร์มและส่วนเบี่ยงเบนตำแหน่ง

รูปแบบ: pdf

ขนาด: 4MB

ภาษารัสเซีย

ตัวอย่างการคำนวณเดือยเกียร์
ตัวอย่างการคำนวณเฟืองเดือย การเลือกใช้วัสดุ การคำนวณความเค้นที่อนุญาต การคำนวณการสัมผัสและกำลังรับแรงดัด

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการดัดงอ
ในตัวอย่าง ไดอะแกรมของแรงตามขวางและโมเมนต์ดัดถูกพล็อต พบส่วนที่เป็นอันตราย และเลือกลำแสง I ในปัญหามีการวิเคราะห์การสร้างไดอะแกรมโดยใช้การพึ่งพาเชิงอนุพันธ์และทำการวิเคราะห์เปรียบเทียบส่วนต่าง ๆ ของลำแสง

ตัวอย่างการแก้ปัญหาแรงบิดของเพลา
ภารกิจคือการทดสอบความแข็งแรงของเพลาเหล็กสำหรับเส้นผ่านศูนย์กลาง วัสดุ และความเค้นที่อนุญาต ในระหว่างการแก้ปัญหา แผนภาพของแรงบิด ความเค้นเฉือน และมุมบิดจะถูกสร้างขึ้น ไม่คำนึงถึงน้ำหนักตัวของเพลา

ตัวอย่างการแก้ปัญหาแรงกดอัดของแท่ง
ภารกิจคือการทดสอบความแข็งแรงของแท่งเหล็กที่ความเค้นที่อนุญาต ในระหว่างการแก้ปัญหา จะมีการสร้างแผนผังของแรงตามยาว ความเค้นปกติ และการกระจัด ไม่คำนึงถึงน้ำหนักของแท่งเอง

การประยุกต์ทฤษฎีการอนุรักษ์พลังงานจลน์
ตัวอย่างการแก้ปัญหาการใช้ทฤษฎีบทการอนุรักษ์พลังงานจลน์ของระบบเครื่องกล

การหาความเร็วและความเร่งของจุดตามสมการการเคลื่อนที่ที่กำหนด
ตัวอย่างการแก้ปัญหาการกำหนดความเร็วและความเร่งของจุดตามสมการการเคลื่อนที่ที่กำหนด

การหาความเร็วและความเร่งของจุดของวัตถุแข็งเกร็งระหว่างการเคลื่อนที่แบบขนานระนาบ
ตัวอย่างการแก้ปัญหาการกำหนดความเร็วและความเร่งของจุดของวัตถุแข็งเกร็งระหว่างการเคลื่อนที่แบบขนานระนาบ

การกำหนดกำลังในระนาบทรัสบาร์
ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาแรงในแท่งของโครงถักแบบเรียบโดยวิธี Ritter และวิธีการตัดปม