ผลรวมของมุมด้านเดียวในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเท่าใด สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของมัน

สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน กล่าวคือ นอนอยู่บนเส้นขนาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
ทฤษฎีบท 22. ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากัน
การพิสูจน์. วาดเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD สามเหลี่ยม ACD และ ACB นั้นเท่ากันทุกประการโดยมีด้าน AC ร่วมกันและมีมุมเท่ากันสองคู่ ประชิดกับมัน: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (เป็นมุมขวางกับเส้นคู่ขนาน AD และ BC) ดังนั้น AB=CD และ BC=AD เป็นด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่เท่ากัน ฯลฯ ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ยังแสดงถึงความเท่าเทียมกันของมุมที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม:
ทฤษฎีบท 23. มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ: ∠ A=∠ C และ ∠ B=∠ D
ความเท่าเทียมกันของคู่แรกมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABD และ CBD และคู่ที่สอง - ABC และ ACD
ทฤษฎีบท 24. มุมข้างเคียงของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ มุมประชิดด้านใดด้านหนึ่งรวมกันได้ 180 องศา
ที่เป็นเช่นนี้เพราะเป็นมุมด้านเดียวภายใน
ทฤษฎีบท 25. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งที่จุดตัดกัน
การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยม BOC และ AOD ตามคุณสมบัติแรก AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV และ ∠ ОDA=∠ ОВС เป็นเส้นขนาน AD และ BC ดังนั้น สามเหลี่ยม BOC และ AOD เท่ากันทั้งด้านและมุมที่อยู่ติดกัน ดังนั้น BO=OD และ AO=OC ในฐานะด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่เท่ากัน ฯลฯ

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ทฤษฎีบท 26. หากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมมีคู่เท่ากัน แสดงว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีด้าน AD และ BC, AB และ CD ตามลำดับ เท่ากัน (รูปที่ 2) ลองวาด AC ในแนวทแยงกัน สามเหลี่ยม ABC และ ACD มีสามด้านเท่ากัน จากนั้นมุม BAC และ DCA จะเท่ากัน ดังนั้น AB จึงขนานกับ CD ความขนานของด้าน BC และ AD ตามมาจากความเท่าเทียมกันของมุม CAD และ DIA
ทฤษฎีบท 27. ถ้ามุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีคู่เท่ากัน แสดงว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ ∠ A=∠ C และ ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o จากนั้น ∠ A+∠ B=180 o และด้าน AD และ BC ขนานกัน (บนพื้นฐานของเส้นขนาน) เรายังพิสูจน์ความขนานของด้าน AB และ CD และสรุปได้ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 28. ถ้ามุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมคือ มุมประชิดด้านใดด้านหนึ่งรวมกันได้ 180 องศา แล้วมันจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
หากมุมด้านเดียวภายในรวมกันได้ 180 องศา แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน ซึ่งหมายความว่า AB เป็นคู่ของซีดีและ BC เป็นคู่ของ AD รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 29. หากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกแบ่งออกจากกันที่จุดตัดกันครึ่งหนึ่งแล้ว รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ถ้า AO=OC, BO=OD รูปสามเหลี่ยม AOD และ BOC จะเท่ากัน เนื่องจากมีมุมเท่ากัน (แนวตั้ง) ที่จุดยอด O ซึ่งอยู่ระหว่างคู่ของด้านเท่ากัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม เราสรุปได้ว่า AD และ BC เท่ากัน ด้าน AB และ CD เท่ากันด้วย และสี่เหลี่ยมจัตุรัสกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคุณลักษณะ 1
ทฤษฎีบท 30. ถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านคู่ขนานกัน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ด้าน AB และ CD ขนานกันและเท่ากันในรูปสี่เหลี่ยม ABCD วาดเส้นทแยงมุม AC และ BD จากความขนานของเส้นเหล่านี้เป็นไปตามความเท่าเทียมกันของมุมเอียง ABO=CDO และ BAO=OCD สามเหลี่ยม ABO และ CDO เท่ากันในมุมข้างและมุมประชิด ดังนั้น AO=OC, BO=OD เช่น เส้นทแยงมุมของจุดตัดแบ่งครึ่งและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคุณลักษณะ 4

ในเรขาคณิต จะพิจารณากรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

แนวคิดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำจำกัดความ 1

สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน (รูปที่ 1)

รูปที่ 1

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติหลักสองประการ ลองพิจารณาโดยไม่มีการพิสูจน์

ทรัพย์สิน 1: ด้านตรงข้ามและมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากันตามลำดับ

ทรัพย์สิน 2: เส้นทแยงมุมที่วาดในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัดกัน

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พิจารณาคุณลักษณะสามประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานและนำเสนอในรูปของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 1

ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันและขนานกันด้วย แล้วรูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ โดยที่ $AB||CD$ และ $AB=CD$ ให้เราวาด $AC$ ในแนวทแยง (รูปที่ 2)

รูปที่ 2

พิจารณาเส้นขนาน $AB$ และ $CD$ และตัด $AC$ แล้ว

\[\มุม CAB=\มุม DCA\]

เหมือนมุมขวาง

ตามเกณฑ์ $I$ เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

เนื่องจาก $AC$ เป็นด้านร่วมของพวกมัน และ $AB=CD$ โดยสมมติฐาน วิธี

\[\มุม DAC=\มุม ACB\]

พิจารณาเส้น $AD$ และ $CB$ และซีแคนต์ของพวกมัน $AC$ โดยความเสมอภาคสุดท้ายของมุมตัดขวาง เราจะได้ $AD||CB$.) ดังนั้น โดยนิยามของ $1$ รูปสี่เหลี่ยมนี้ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2

ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน มันจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ โดยที่ $AD=BC$ และ $AB=CD$ ให้เราวาด $AC$ ในแนวทแยง (รูปที่ 3)

รูปที่ 3

เนื่องจาก $AD=BC$, $AB=CD$ และ $AC$ เป็นด้านร่วม จากนั้นด้วยการทดสอบความเท่าเทียมกันสามเหลี่ยม $III$

\[\สามเหลี่ยม DAC=\สามเหลี่ยม ACB\]

\[\มุม DAC=\มุม ACB\]

พิจารณาเส้น $AD$ และ $CB$ และซีแคนต์ของพวกมัน $AC$ โดยความเสมอภาคสุดท้ายของมุมตัดขวาง เราได้ $AD||CB$ นั้น ดังนั้น ตามคำจำกัดความของ $1$ รูปสี่เหลี่ยมนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

\[\มุม DCA=\มุม CAB\]

พิจารณาเส้น $AB$ และ $CD$ และซีแคนต์ของพวกมัน $AC$ โดยความเสมอภาคสุดท้ายของมุมตัดขวาง เราได้ $AB||CD$ ดังนั้นตามนิยาม 1 รูปสี่เหลี่ยมนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 3

หากเส้นทแยงมุมที่วาดในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันด้วยจุดตัดกัน รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ ให้เราวาดเส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ ในนั้น ให้พวกมันตัดกันที่จุด $O$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4

เนื่องจากโดยเงื่อนไข $BO=OD,\ AO=OC$ และมุม $\angle COB=\angle DOA$ เป็นแนวตั้ง จากนั้นโดยการทดสอบความเท่าเทียมกันสามเหลี่ยม $I$

\[\สามเหลี่ยม BOC=\สามเหลี่ยม AOD\]

\[\มุม DBC=\มุม BDA\]

พิจารณาเส้น $BC$ และ $AD$ และซีแคนต์ของพวกมัน $BD$ โดยความเสมอภาคสุดท้ายของมุมตัดขวาง เราได้ $BC||AD$ นอกจากนี้ $BC=AD$ ดังนั้น ตามทฤษฎีบท $1$ รูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำนิยาม

สี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน

รูปที่ 1 แสดงรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน $A B C D, A B\|C D, B C\| ดี$.

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านตรงข้ามเท่ากัน: $A B=C D, B C=A D$ (รูปที่ 1)
ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมตรงข้ามจะเท่ากับ $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ (รูปที่ 1)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จุดตัดแบ่งครึ่ง $A O=O C, B O=O D$ (รูปที่ 1)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน

ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อยู่ติดกับด้านใดด้านหนึ่งคือ $180^(\circ)$:

$$\มุม A+\มุม B=180^(\วงกลม), \มุม B+\มุม C=180^(\วงกลม)$$

$$\มุม C+\มุม D=180^(\วงกลม), \มุม D+\มุม A=180^(\วงกลม)$$

เส้นทแยงมุมและด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมระหว่างความสูงเท่ากับมุมแหลม: $\angle K B H=\angle A$
แบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกับด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตั้งฉากกัน
แบ่งครึ่งของมุมตรงข้ามสองมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานขนานกัน

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน if

$A B=C D$ และ $A B \| C D$
$A B=C D$ และ $B C=A D$
$A O=O C$ และ $B O=O D$
$\angle A=\angle C$ และ $\angle B=\angle D$

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ผลรวมของมุมสองมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ $140^(\circ)$ หามุมที่ใหญ่ที่สุดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีการแก้.ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมตรงข้ามจะเท่ากัน แสดงว่ามุมที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $\alpha$ และมุมที่เล็กกว่า $\beta$ ผลรวมของมุม $\alpha$ และ $\beta$ คือ $180^(\circ)$ ดังนั้นผลรวมของ $140^(\circ)$ คือผลรวมของมุมตรงข้ามสองมุม จากนั้น $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. ดังนั้นมุมที่เล็กกว่าคือ $\beta=70^(\circ)$ เราพบมุมที่ใหญ่กว่า $\alpha$ จากความสัมพันธ์:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

ตอบ.$\alpha=110^(\circ)$

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 18 ซม. และ 15 ซม. และความสูงที่ลากไปด้านที่เล็กกว่าคือ 6 ซม. หาความสูงอื่นของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 2)

ตามเงื่อนไข $a=15$ cm, $b=18$ cm, $h_(a)=6$ cm. สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรต่อไปนี้ใช้ได้สำหรับการหาพื้นที่:

$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$

เทียบส่วนที่ถูกต้องของความเท่าเทียมกันเหล่านี้และแสดงจากความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น $h_(b) $:

$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Rightarrow h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$

แทนที่ข้อมูลเริ่มต้นของปัญหา ในที่สุดเราก็ได้:

$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \ลูกศรขวา h_(b)=5$ (ซม.)

การพิสูจน์

เรามาวาดเส้นทแยงมุมกันก่อน ได้สามเหลี่ยมสองรูป: ABC และ ADC

เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สิ่งต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

AD || BC \ลูกศรขวา \มุม 1 = \มุม 2เหมือนนอนตะแคง

AB || ซีดี \ ลูกศรขวา \ มุม 3 = \ มุม 4เหมือนนอนตะแคง

ดังนั้น \triangle ABC = \triangle ADC (โดยคุณสมบัติที่สอง: และ AC เป็นเรื่องปกติ)

ดังนั้น \triangle ABC = \triangle ADC จากนั้น AB = CD และ AD = BC

พิสูจน์แล้ว!

2. มุมตรงข้ามเท่ากัน

การพิสูจน์

ตามหลักฐาน คุณสมบัติ 1เรารู้ว่า \มุม 1 = \มุม 2, \มุม 3 = \มุม 4. ดังนั้นผลรวมของมุมตรงข้ามคือ: \มุม 1 + \มุม 3 = \มุม 2 + \มุม 4. เมื่อพิจารณาว่า \triangle ABC = \triangle ADC เราจะได้ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D

พิสูจน์แล้ว!

3. เส้นทแยงมุมถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด

การพิสูจน์

ลองวาดเส้นทแยงมุมอีกอัน

โดย ทรัพย์สิน 1เรารู้ว่าด้านตรงข้ามเหมือนกัน: AB = CD อีกครั้งที่เราสังเกตมุมเท่ากันที่อยู่ในแนวขวาง

ดังนั้น จะเห็นได้ว่า \triangle AOB = \triangle COD โดยเครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (สองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างกัน) นั่นคือ BO = OD (ตรงข้าม \angle 2 และ \angle 1 ) และ AO = OC (ตรงข้าม \angle 3 และ \angle 4 ตามลำดับ)

พิสูจน์แล้ว!

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากปัญหาของคุณมีเพียงเครื่องหมายเดียว แสดงว่ารูปนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และคุณสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดของรูปนี้ได้

เพื่อการท่องจำที่ดียิ่งขึ้น โปรดทราบว่าเครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตอบคำถามต่อไปนี้ − "จะหาได้อย่างไร". นั่นคือจะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันและขนานกัน

AB=ซีดี; AB || CD \Rightarrow ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

ลองพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม ทำไมต้องโฆษณา || ปีก่อนคริสตกาล?

\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC โดย ทรัพย์สิน 1: AB = CD , AC เป็นเรื่องปกติและ \angle 1 = \angle 2 เป็นแนวขวางกับ AB และ CD ขนานและซีแคนต์ AC

แต่ถ้า \triangle ABC = \triangle ADC แล้ว \angle 3 = \angle 4 (อยู่ตรงข้าม AB และ CD ตามลำดับ) ดังนั้น AD || BC (\angle 3 และ \angle 4 - นอนขวางเท่ากัน)

สัญญาณแรกถูกต้อง

2. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามเท่ากัน

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

ลองพิจารณาคุณลักษณะนี้ ลองวาด AC ในแนวทแยงอีกครั้ง

โดย ทรัพย์สิน 1\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ACD

ดังต่อไปนี้: \angle 1 = \angle 2 \ลูกศรขวา AD || BCและ \มุม 3 = \มุม 4 \ลูกศรขวา AB || ซีดีนั่นคือ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เครื่องหมายที่สองถูกต้อง

3. สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมตรงข้ามเท่ากัน

\มุม A = \มุม C , \ มุม B = \ มุม D \ ลูกศรขวา ABCD- สี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(เพราะ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม และ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ตามแบบแผน)

ดังนั้น \alpha + \beta = 180^(\circ) แต่ \alpha และ \beta อยู่ภายในด้านเดียวที่ secant AB

และความจริงที่ว่า \alpha + \beta = 180^(\circ) ก็หมายความว่า AD || ปีก่อนคริสตกาล

ในเวลาเดียวกัน \alpha และ \beta อยู่ภายในด้านเดียวด้วย AD secant และนั่นก็หมายถึง AB || ซีดี.

เครื่องหมายที่สามถูกต้อง

4. สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด

AO=OC; BO = OD \Rightarrow สี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

บ่อ=โอดี; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 เป็นแนวตั้ง \ลูกศรขวา \สามเหลี่ยม AOB = \สามเหลี่ยม COD, \ลูกศรขวา \มุม 3 = \มุม 4, และ \Rightarrow AB || ซีดี.

ในทำนองเดียวกัน BO = OD ; AO=OC, \ มุม 5 = \ มุม 6 \ ลูกศรขวา \ สามเหลี่ยม AOD = \ สามเหลี่ยม BOC \ ลูกศรขวา \ มุม 7 = \ มุม 8, และ \Rightarrow AD || ปีก่อนคริสตกาล

เครื่องหมายที่สี่ถูกต้อง

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐาน (a) และความสูง (h) คุณยังสามารถหาพื้นที่ได้จากสองด้านและมุมหนึ่งและผ่านเส้นทแยงมุม

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. ด้านตรงข้ามเหมือนกัน

ก่อนอื่นให้วาดเส้นทแยงมุม $AC $ ได้สามเหลี่ยมสองรูป: $ABC $ และ $ADC $

เนื่องจาก $ABCD $ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สิ่งต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

$AD || BC \ลูกศรขวา \มุม 1 = \มุม 2 $เหมือนนอนตะแคง

$AB || CD \ลูกศรขวา \angle3 = \มุม 4 $เหมือนนอนตะแคง

ดังนั้น (บนพื้นฐานที่สอง: และ $AC$ เป็นเรื่องปกติ)

และดังนั้นจึง, $\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC $จากนั้น $AB = CD $ และ $AD = BC $

2. มุมตรงข้ามเท่ากัน

ตามหลักฐาน คุณสมบัติ 1เรารู้ว่า $\มุม 1 = \มุม 2, \มุม 3 = \มุม 4 $. ดังนั้นผลรวมของมุมตรงข้ามคือ: $\มุม 1 + \มุม 3 = \มุม 2 + \มุม 4 $. ระบุว่า $\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC $เราได้รับ $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $

3. เส้นทแยงมุมถูกแบ่งครึ่งโดยจุดสี่แยก

โดย ทรัพย์สิน 1เรารู้ว่าด้านตรงข้ามเหมือนกัน: $AB = CD $ อีกครั้งที่เราสังเกตมุมเท่ากันที่อยู่ในแนวขวาง

จึงเห็นได้ว่า $\สามเหลี่ยม AOB = \สามเหลี่ยม COD $ตามเกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม (สองมุมและด้านระหว่างพวกเขา) นั่นคือ $BO = OD $ (ตรงข้ามมุม $\angle 2 $ และ $\angle 1 $ ) และ $AO = OC $ (ตรงข้ามมุม $\angle 3 $ และ $ \มุม 4 $ ตามลำดับ)

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เพื่อการท่องจำที่ดีขึ้น โปรดทราบว่าเครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตอบคำถามต่อไปนี้ - "จะหาได้อย่างไร". นั่นคือจะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากันและขนานกัน

$AB = ซีดี $ ; $AB || CD \ลูกศรขวา ABCD $- สี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลองพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม ทำไม $AD || BC $ ?

$\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC $บน ทรัพย์สิน 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ ตามขวางด้วยขนาน $AB $ และ $CD $ และซีแคนต์ $AC $

แต่ถ้า $\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ADC $จากนั้น $\angle 3 = \angle 4 $ (อยู่ตรงข้าม $AD || BC $ ($\angle 3 $ และ $\angle 4 $ - นอนตรงข้ามก็เท่ากัน)

สัญญาณแรกถูกต้อง

2. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามเท่ากัน

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลองพิจารณาคุณลักษณะนี้ วาดเส้นทแยงมุม $AC $ อีกครั้ง

โดย ทรัพย์สิน 1$\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ACD $.

ดังต่อไปนี้: $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC $และ $\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD $นั่นคือ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เครื่องหมายที่สองถูกต้อง

3. สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมตรงข้ามเท่ากัน

$\มุม A = \มุม C $ , $\ มุม B = \ มุม D \ ลูกศรขวา ABCD $- สี่เหลี่ยมด้านขนาน

$2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) $(เพราะ $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ ตามคำจำกัดความ)

ปรากฎว่า . แต่ $\alpha $ และ $\beta $ อยู่ภายในด้านเดียวที่ซีแคนต์ $AB $

และอะไร $\alpha + \beta = 180^(\circ) $กล่าวด้วยว่า $AD || BC $