หากเราทำตามคำจำกัดความ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มของฟังก์ชัน Δ yเพื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองคำนวณตามสูตรนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · อี xบาป x. หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากการคำนวณสองสามหน้าคุณจะหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ในการเริ่มต้น เราทราบว่าฟังก์ชันพื้นฐานที่เรียกว่าสามารถแยกแยะได้จากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด นี่เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่คำนวณและป้อนในตารางมานานแล้ว ฟังก์ชันดังกล่าวจำได้ง่ายพร้อมกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันพื้นฐานมีทุกอย่างตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องเป็นที่รู้จักด้วยหัวใจ ยิ่งกว่านั้น การจำพวกมันได้ไม่ยาก - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

ชื่อ	การทำงาน	อนุพันธ์
คงที่	ฉ(x) = ค, ค ∈ R	0 (ใช่ ใช่ ศูนย์!)
องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ	ฉ(x) = x น	น · x น − 1
ไซนัส	ฉ(x) = บาป x	cos x
โคไซน์	ฉ(x) = cos x	− บาป x(ลบไซน์)
แทนเจนต์	ฉ(x) = tg x	1/cos 2 x
โคแทนเจนต์	ฉ(x) = ctg x	− 1/sin2 x
ลอการิทึมธรรมชาติ	ฉ(x) = บันทึก x	1/x
ลอการิทึมตามอำเภอใจ	ฉ(x) = บันทึก เอ x	1/(x ln เอ)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง	ฉ(x) = อี x	อี x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง)

หากฟังก์ชันมูลฐานคูณด้วยค่าคงที่ใดๆ ก็ตาม อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็สามารถคำนวณได้ง่ายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถเอาออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

เห็นได้ชัดว่า ฟังก์ชันพื้นฐานสามารถเพิ่มซึ่งกันและกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมาย นี่คือลักษณะที่ปรากฏของฟังก์ชันใหม่ ไม่ใช่แบบพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังแยกความแตกต่างได้ตามกฎบางอย่าง กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อนุพันธ์ของผลรวมและส่วนต่าง

ให้ฟังก์ชั่น ฉ(x) และ g(x) ซึ่งเรารู้จักอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้น จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + g)’ = ฉ ’ + g ’
2. (ฉ − g)’ = ฉ ’ − g ’

ดังนั้นอนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจึงเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + g + ชม.)’ = ฉ ’ + g ’ + ชม. ’.

พูดอย่างเคร่งครัดไม่มีแนวคิดของ "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดของ "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − gสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (-1) gและเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + บาป; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2+ บาป x)’ = (x 2)' + (บาป x)’ = 2x+ คอสเอ็กซ์;

เราโต้แย้งกันสำหรับฟังก์ชัน g(x). มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอสเอ็กซ์;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณนั้น โจมตี"\u003e เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สำหรับคุณมะเดื่อ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · g) ’ = ฉ ’ · g + ฉ · g ’

สูตรง่าย ๆ แต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอสเอ็กซ์; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · อี x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3 คอส x)’ = (x 3)' เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − xบาป x)

การทำงาน g(x) ตัวคูณแรกนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปจะไม่เปลี่ยนแปลงจากสิ่งนี้ แน่นอน ตัวคูณแรกของฟังก์ชัน g(x) เป็นพหุนาม และอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · อี x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · อี x + (x 2 + 7x− 7) ( อี x)’ = (2x+ 7) · อี x + (x 2 + 7x− 7) · อี x = อี x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · อี x = x(x+ 9) · อี x .

ตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3cos x − xบาป x);
g ’(x) = x(x+ 9) · อี x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้าย อนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการ ไม่จำเป็น แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อสำรวจฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าเพิ่มเติมอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ เครื่องหมายจะถูกหา และอื่น ๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรมีการแสดงออกที่แยกออกเป็นปัจจัยต่างๆ

หากมีสองหน้าที่ ฉ(x) และ g(x), และ g(x) ≠ 0 ในเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/g(x). สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่มั้ย ค่าลบมาจากไหน? ทำไม g 2? แต่แบบนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องใช้ขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาด้วยตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

มีฟังก์ชันพื้นฐานในตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนแต่ละส่วน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว เราแยกตัวเศษออกเป็นปัจจัย - ซึ่งจะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:

ฟังก์ชันเชิงซ้อนไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรที่มีความยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ฟังก์ชัน ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร x, พูด, บน x 2+ln x. ปรากฎว่า ฉ(x) = บาป ( x 2+ln x) เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน เธอยังมีอนุพันธ์ แต่จะไม่ทำงานเพื่อค้นหาตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น

จะเป็นอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะช่วยได้ดังนี้

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย t(x).

ตามกฎแล้วสถานการณ์ที่มีความเข้าใจในสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหาร ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของแต่ละขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = อี 2x + 3 ; g(x) = บาป ( x 2+ln x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+ 3 จะง่าย xจากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = อี x. ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้2 x + 3 = t, ฉ(x) = ฉ(t) = อี t. เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยสูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (อี t)’ · t ’ = อี t · t ’

และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: t = 2x+ 3. เราได้รับ:

ฉ ’(x) = อี t · t ’ = อี 2x+ 3 (2 x + 3)’ = อี 2x+ 3 2 = 2 อี 2x + 3

ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน g(x). เห็นได้ชัดว่าต้องเปลี่ยน x 2+ln x = t. เรามี:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (บาป t)’ · t' = cos t · t ’

การเปลี่ยนกลับ: t = x 2+ln x. แล้ว:

g ’(x) = คอส ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = คอส ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณอนุพันธ์ของผลรวม

ตอบ:
ฉ ’(x) = 2 อี 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ( x 2+ln x).

บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "จังหวะ" ตัวอย่างเช่น สโตรกของผลรวมเท่ากับผลรวมของสโตรก ชัดเจนกว่านี้ไหม? ดีที่ดี

ดังนั้น การคำนวณอนุพันธ์ลงมาเพื่อกำจัดจังหวะเหล่านี้ตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นตัวอย่างสุดท้าย กลับไปที่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

(x น)’ = น · x น − 1

น้อยคนนักที่จะรู้ว่าในบทบาท นอาจเป็นจำนวนเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่น รูตคือ x 0.5 . แต่ถ้ามีอะไรซับซ้อนอยู่ใต้รากล่ะ? อีกครั้งจะมีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนปรากฏขึ้น - พวกเขาต้องการให้โครงสร้างดังกล่าวในการทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

อันดับแรก ให้เขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขยกกำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = t. เราหาอนุพันธ์ได้จากสูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: t = x 2 + 8x− 7. เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ในที่สุดกลับไปที่ราก:

มันง่ายมากที่จะจำ

เราจะไม่ไปไกลเราจะพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร? ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือ ลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่าลอการิทึมแบบ "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญกรณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

เท่ากับอะไร? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมากเช่นกัน:

ตัวอย่าง:

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: เลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำแบบใครในแง่ของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมกับฐานอื่นๆ จะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลัง หลังจากที่เราผ่านกฎของความแตกต่าง

กฎการสร้างความแตกต่าง

กฎอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...

ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์

เท่านั้นและทุกอย่าง คำอื่นสำหรับกระบวนการนี้คืออะไร? ไม่ใช่ proizvodnovanie... ดิฟเฟอเรนเชียลของคณิตศาสตร์เรียกว่าการเพิ่มขึ้นอย่างมากของฟังก์ชันที่ คำนี้มาจากความแตกต่างของภาษาละติน - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้กฎเหล่านี้มา เราจะใช้สองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น และ เราต้องการสูตรสำหรับการเพิ่ม:

มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ

ค่าคงที่ถูกเอาออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่บางตัว (ค่าคงที่) แล้ว

เห็นได้ชัดว่ากฎนี้ใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กัน ให้หรือง่ายกว่า

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. ณ จุดนั้น;
2. ณ จุดนั้น;
3. ณ จุดนั้น;
4. ที่จุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์จะเหมือนกันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างคล้ายกันที่นี่: เราแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาการเพิ่มขึ้น:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ
2. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ ความรู้ของคุณก็เพียงพอที่จะเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังใดๆ และไม่ใช่แค่เลขชี้กำลัง (คุณลืมหรือยังว่ามันคืออะไร?)

แล้วเลขไหนล่ะ.

เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองนำฟังก์ชันของเราไปที่ฐานใหม่:

ในการทำเช่นนี้ เราใช้กฎง่ายๆ: แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ดู, และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรกลับกลายเป็นว่าคล้ายกันมากกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง: เหมือนเดิม เหลือเพียงปัจจัยที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข นั่นคือ ไม่สามารถเขียนในรูปแบบที่ง่ายกว่าได้ ดังนั้นเราจึงปล่อยให้อยู่ในแบบฟอร์มนี้ในคำตอบ

โปรดทราบว่านี่คือผลหารของสองฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างที่เหมาะสม:

ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของสองฟังก์ชัน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

มันคล้ายกัน: คุณรู้อยู่แล้วว่าอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:

ดังนั้น ในการหาอนุญาโตตุลาการจากลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน เช่น :

เราจำเป็นต้องนำลอการิทึมนี้ไปที่ฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้แทนที่จะเขียนว่า:

ตัวส่วนกลายเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์นั้นง่ายมาก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมแทบไม่เคยพบในข้อสอบ แต่การรู้ฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่ไม่จำเป็น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์คแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าลอการิทึมจะดูเหมือนยากสำหรับคุณ โปรดอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วทุกอย่างจะได้ผล) แต่ในแง่ของคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับสิ่งของบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตในกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ปรากฎว่าเป็นวัตถุที่ประกอบเข้าด้วยกัน: แท่งช็อกโกแลตห่อและมัดด้วยริบบิ้น ในการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำขั้นตอนตรงกันข้ามในลำดับที่กลับกัน

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: อันดับแรก เราจะหาโคไซน์ของตัวเลข จากนั้นเราจะยกกำลังสองผลลัพธ์ที่ได้ ดังนั้นพวกเขาจึงให้ตัวเลข (ช็อกโกแลต) แก่เรา ฉันพบว่าโคไซน์ (wrapper) ของมัน และจากนั้นคุณยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (มัดด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เพื่อค้นหาค่านั้น เมื่อเราดำเนินการครั้งแรกกับตัวแปรโดยตรง เพื่อค้นหาค่าของมัน จากนั้นจึงดำเนินการครั้งที่สองกับสิ่งที่เกิดขึ้นซึ่งเป็นผลมาจากครั้งแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันเชิงซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างของเรา .

เราอาจทำแบบเดียวกันในลำดับที่กลับกัน: ก่อนอื่นให้ยกกำลังสอง แล้วหาโคไซน์ของจำนวนผลลัพธ์: เดาได้ง่ายว่าผลลัพธ์ที่ได้จะแตกต่างกันเกือบทุกครั้ง คุณลักษณะที่สำคัญของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนไป ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป

ตัวอย่างที่สอง: (เหมือนกัน) .

การกระทำสุดท้ายที่เราทำจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชัน "ภายนอก"และการดำเนินการก่อน - ตามลำดับ ฟังก์ชัน "ภายใน"(เหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาในภาษาที่เรียบง่ายเท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและส่วนใดเป็นฟังก์ชันภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เช่น ในฟังก์ชัน

1. เราจะดำเนินการอะไรเป็นอันดับแรก ขั้นแรก เราคำนวณไซน์ แล้วจึงเพิ่มเป็นลูกบาศก์ จึงเป็นฟังก์ชันภายใน ไม่ใช่ฟังก์ชันภายนอก
   และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: .
2. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
3. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
4. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
5. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ตอนนี้เราจะแยกช็อคโกแลตของเรา - มองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ: อันดับแรก เรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นเราคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สำหรับตัวอย่างเดิม จะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างอื่น:

ในที่สุด มากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:

อัลกอริทึมในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนจะง่ายใช่มั้ย?

ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามลดตอนนี้ ไม่มีอะไรถูกนำออกจากใต้โคไซน์ จำได้ไหม)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

เป็นที่แน่ชัดในทันทีว่ามีฟังก์ชันเชิงซ้อนสามระดับอยู่ที่นี่: ท้ายที่สุด นี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอยู่แล้วในตัวเอง และเรายังคงแยกรากออกจากมัน นั่นคือ เราดำเนินการที่สาม (ใส่ช็อกโกแลตลงในกระดาษห่อ) และด้วยริบบิ้นในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่จะต้องกลัว อย่างไรก็ตาม เราจะ "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดียวกันตามปกติ: จากตอนท้าย

นั่นคือ อันดับแรก เราแยกความแตกต่างของรูท ตามด้วยโคไซน์ และจากนั้นนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด

ในกรณีเช่นนี้ สะดวกในการนับการกระทำ นั่นคือ ลองนึกภาพสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการคำนวณค่าของนิพจน์นี้ในลำดับใด ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งมีการดำเนินการในภายหลัง ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่ง "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำ - เหมือนเมื่อก่อน:

ที่นี่การทำรังโดยทั่วไปมี 4 ระดับ มากำหนดแนวทางปฏิบัติกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง .

2. รูท .

3. ไซนัส .

4. สแควร์ .

5. นำทุกอย่างมารวมกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์โดยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎการสร้างความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

ผลิตภัณฑ์อนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

อัลกอริทึมในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" ค้นหาอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" ค้นหาอนุพันธ์ของมัน
3. เราคูณผลลัพธ์ของจุดแรกและจุดที่สอง

อนุพันธ์ที่ซับซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรายังคงปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของเราอย่างต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม พิจารณาอนุพันธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น และทำความคุ้นเคยกับกลเม็ดและลูกเล่นใหม่ๆ ในการหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์ลอการิทึม

ผู้อ่านที่มีระดับการเตรียมตัวต่ำควรอ้างอิงบทความ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างโซลูชันซึ่งจะทำให้คุณสามารถเพิ่มทักษะของคุณได้ตั้งแต่เริ่มต้น ต่อไปต้องศึกษาเพจให้ดี อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันให้ บทเรียนนี้มีเหตุผลเป็นบทเรียนที่สามติดต่อกัน และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกแยะหน้าที่ที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่เป็นที่พึงปรารถนาที่จะยึดติดกับตำแหน่ง "ที่อื่น? ใช่ก็พอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากการทดสอบจริงและมักพบในทางปฏิบัติ

เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเราได้พิจารณาตัวอย่างจำนวนหนึ่งพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในระหว่างการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และส่วนอื่นๆ ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คุณจะต้องแยกความแตกต่างบ่อยครั้งมาก และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ในการลงตัวอย่างอย่างละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกฝนในช่องปากของการหาอนุพันธ์ "ผู้สมัคร" ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดเช่น:

ตามกฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เมื่อศึกษาหัวข้ออื่น ๆ ของ matan ในอนาคตมักไม่ต้องการบันทึกรายละเอียดดังกล่าวโดยถือว่านักเรียนสามารถค้นหาอนุพันธ์ที่คล้ายกันบนหม้อแปลงไฟฟ้า ลองนึกภาพว่าตอนตี 3 โทรศัพท์ดังขึ้น และเสียงที่ไพเราะก็ถามว่า: "อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ 2 x คืออะไร" ตามด้วยการตอบสนองที่เกือบจะทันทีและสุภาพ: .

ตัวอย่างแรกจะมีไว้สำหรับโซลูชันอิสระทันที

ตัวอย่าง 1

ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยวาจาในขั้นตอนเดียวเช่น: . ในการทำงานให้สำเร็จคุณจะต้องใช้ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น(ถ้าเธอยังไม่จำ) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันแนะนำให้อ่านบทเรียนอีกครั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

คำตอบท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ที่ซับซ้อน

หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้นแล้ว ตัวอย่างที่มีฟังก์ชั่นเสริม 3-4-5 จะน่ากลัวน้อยลง บางทีตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าพวกเขาเข้าใจ (มีคนทนทุกข์) เกือบทุกอย่างในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก

ตัวอย่าง 2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เมื่อต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน อย่างแรก จำเป็น ขวาเข้าใจการลงทุน ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันเตือนคุณถึงเคล็ดลับที่มีประโยชน์: เราใช้ค่าทดลอง "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "นิพจน์ที่แย่มาก"

1) อันดับแรก เราต้องคำนวณนิพจน์ ดังนั้นผลรวมจึงเป็นการซ้อนที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นลูกบาศก์โคไซน์:

5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:

6) และสุดท้าย ฟังก์ชันนอกสุดคือรากที่สอง:

สูตรสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ถูกนำไปใช้ในลำดับที่กลับกัน จากฟังก์ชันนอกสุดไปยังภายในสุด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด...

(1) เราหาอนุพันธ์ของรากที่สอง

(2) เราหาอนุพันธ์ของความแตกต่างโดยใช้กฎ

(3) อนุพันธ์ของสามเท่าเท่ากับศูนย์ เทอมที่สอง เราหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)

(4) เราหาอนุพันธ์ของโคไซน์

(5) เราหาอนุพันธ์ของลอการิทึม

(6) สุดท้าย เราหาอนุพันธ์ของการทำรังที่ลึกที่สุด

อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ยกตัวอย่างเช่น คอลเล็กชั่นของ Kuznetsov และคุณจะประทับใจกับเสน่ห์และความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตว่าพวกเขาชอบที่จะให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่เข้าใจ

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สำหรับโซลูชันแบบสแตนด์อโลน

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำแนะนำ: ขั้นแรก เราใช้กฎความเป็นเส้นตรงและกฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์

คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ได้เวลาเปลี่ยนไปสู่สิ่งที่กะทัดรัดและสวยงามกว่านี้แล้ว
ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับสถานการณ์ที่ผลคูณไม่ใช่สอง แต่มีฟังก์ชันสามอย่างให้ไว้ในตัวอย่าง จะหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัยสามตัวได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อันดับแรก เราดู แต่เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันสามฟังก์ชันให้เป็นผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บเหลี่ยมได้ แต่ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดต่างกัน: ดีกรี เลขชี้กำลัง และลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้มีความจำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง

เคล็ดลับคือสำหรับ "y" เราหมายถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และสำหรับ "ve" - ​​​​ลอการิทึม: ทำไมถึงสามารถทำได้? ใช่ไหม - นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎไม่ทำงาน?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้ยังคงใช้กฎเป็นครั้งที่สอง ในวงเล็บ:

คุณยังสามารถบิดเบือนและนำบางสิ่งออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้ เป็นการดีกว่าที่จะทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ - จะตรวจสอบได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:

โซลูชันทั้งสองนั้นเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างที่แก้ไขด้วยวิธีแรก

พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คุณสามารถไปได้หลายวิธี:

หรือเช่นนี้:

แต่วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนให้กระชับมากขึ้นได้ ถ้าอย่างแรกเลย เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหาร , หาตัวเศษทั้งหมด:

โดยหลักการแล้ว ตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว และหากปล่อยไว้ในรูปแบบนี้ ก็จะไม่มีข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบฉบับร่างเสมอ แต่เป็นไปได้ไหมที่จะลดความซับซ้อนของคำตอบ เรานำนิพจน์ของตัวเศษมาเป็นตัวส่วนร่วมและ กำจัดเศษส่วนสามชั้น:

ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่เมื่อมีการเปลี่ยนโรงเรียนซ้ำซากจำเจ ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานและขอให้ "นึกถึง" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 7

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เรายังคงฝึกฝนเทคนิคการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 8

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

แต่ขั้นตอนแรกสุดจะทำให้คุณสิ้นหวังในทันที - คุณต้องหาอนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์ของระดับเศษส่วนแล้วจากเศษส่วนด้วย

นั่นเป็นเหตุผลที่ ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "แฟนซี" ก่อนหน้านี้ทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่รู้จักกันดี:

! หากคุณมีสมุดบันทึกสำหรับฝึกหัดพกติดตัว ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่น ถ้าคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้วาดลงบนกระดาษ เพราะตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะกล่าวถึงสูตรเหล่านี้

โซลูชันสามารถกำหนดได้ดังนี้:

มาแปลงฟังก์ชันกันเถอะ:

เราพบอนุพันธ์:

การแปลงฟังก์ชันเบื้องต้นทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันเพื่อสร้างความแตกต่าง ขอแนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ

และตอนนี้มีตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 9

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 10

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การเปลี่ยนแปลงและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์ลอการิทึม

หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นเพลงที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมในบางกรณีที่จะจัดระเบียบลอการิทึมเทียม? สามารถ! และถึงแม้จะจำเป็น

ตัวอย่าง 11

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่คล้ายกันที่เราเพิ่งพิจารณา จะทำอย่างไร? สามารถใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารได้อย่างต่อเนื่อง จากนั้นจึงใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นจำนวนมาก ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย

แต่ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมเช่นอนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดระเบียบเทียมโดย "แขวน" ไว้ทั้งสองข้าง:

บันทึก : เพราะ ฟังก์ชันสามารถรับค่าลบได้ โดยทั่วไปแล้ว คุณต้องใช้โมดูล: ที่หายไปจากความแตกแยก อย่างไรก็ตาม การออกแบบในปัจจุบันก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน โดยค่าเริ่มต้น ซับซ้อนค่านิยม แต่ถ้าด้วยความเข้มงวดทั้งหมดแล้วในทั้งสองกรณีจำเป็นต้องทำการจองที่.

ตอนนี้คุณต้อง "แยกย่อย" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้อย่างละเอียด:

เริ่มจากความแตกต่างกันก่อน
เราสรุปทั้งสองส่วนด้วยจังหวะ:

อนุพันธ์ของด้านขวานั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็นเพราะถ้าคุณกำลังอ่านข้อความนี้ คุณควรจะสามารถจัดการกับมันได้อย่างมั่นใจ

แล้วด้านซ้ายล่ะ?

ทางซ้ายมือมี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน. ฉันคาดว่าคำถาม: "ทำไม มีตัวอักษร "y" อยู่ใต้ลอการิทึมหนึ่งตัวหรือไม่

ความจริงก็คือว่า "หนึ่งตัวอักษร y" นี้ - เป็นฟังก์ชันในตัวเอง(หากไม่ชัดเจนนัก ให้อ้างอิงกับบทความ Derivative of a function ที่ระบุโดยปริยาย) ดังนั้น ลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันทบต้น :

ทางด้านซ้าย ราวกับว่าโดยเวทมนตร์ เรามีอนุพันธ์ นอกจากนี้ ตามกฎของสัดส่วน เราโยน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนขวา:

และตอนนี้เราจำได้ว่า "เกม" - ฟังก์ชั่นประเภทใดที่เราพูดถึงเมื่อสร้างความแตกต่าง? ลองดูเงื่อนไข:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่าง 12

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่างประเภทนี้เมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ลอการิทึม มันเป็นไปได้ที่จะแก้ตัวอย่างที่ 4-7 อีกสิ่งหนึ่งคือฟังก์ชันที่นั่นง่ายกว่าและบางทีการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมก็ไม่สมเหตุสมผลมาก

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือฟังก์ชันที่มี และระดับและฐานขึ้นอยู่กับ "x". ตัวอย่างคลาสสิกที่จะมอบให้คุณในตำราเรียนหรือการบรรยาย:

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้อย่างไร?

จำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งพิจารณา - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมทั้งสองด้าน:

ตามกฎแล้ว ระดับจะถูกลบออกจากลอการิทึมทางด้านขวา:

ส่งผลให้ทางขวามือเราได้ผลคูณสองหน้าที่ซึ่งจะแตกต่างไปตามสูตรมาตรฐาน .

เราพบอนุพันธ์ สำหรับสิ่งนี้ เราใส่ทั้งสองส่วนภายใต้จังหวะ:

ขั้นตอนถัดไปนั้นง่าย:

ในที่สุด:

หากการเปลี่ยนแปลงบางอย่างไม่ชัดเจน โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่าง #11 อีกครั้งอย่างละเอียด

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างการบรรยายที่พิจารณาเสมอ

ตัวอย่างที่ 13

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

ทางด้านขวา เรามีค่าคงที่และผลคูณของสองปัจจัย - "x" และ "ลอการิทึมของลอการิทึมของ x" (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) เมื่อสร้างความแตกต่างของค่าคงที่ ดังที่เราจำได้ จะดีกว่าถ้าเอามันออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ทันทีเพื่อไม่ให้มาขวางทาง และแน่นอนใช้กฎที่คุ้นเคย :

ตั้งแต่คุณมาที่นี่ คุณคงเห็นสูตรนี้แล้วในตำราเรียน

แล้วทำหน้าแบบนี้

เพื่อนไม่ต้องกังวล! อันที่จริง ทุกสิ่งเป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้อับอายขายหน้า คุณจะเข้าใจทุกอย่างอย่างแน่นอน คำขอเดียวเท่านั้น - อ่านบทความ ช้าพยายามทำความเข้าใจทุกขั้นตอน ฉันเขียนให้เรียบง่ายและชัดเจนที่สุด แต่คุณยังคงต้องเจาะลึกแนวคิดนี้ และอย่าลืมแก้ไขงานจากบทความ

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคืออะไร?

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังย้ายไปอพาร์ตเมนต์อื่น และด้วยเหตุนี้คุณจึงบรรจุสิ่งของในกล่องขนาดใหญ่ ให้จำเป็นต้องรวบรวมสิ่งของชิ้นเล็ก ๆ เช่นเครื่องเขียนของโรงเรียน หากคุณโยนมันลงในกล่องขนาดใหญ่ พวกมันจะหลงทาง เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ ก่อนอื่นคุณต้องใส่มันลงในถุง ซึ่งคุณใส่ในกล่องขนาดใหญ่หลังจากนั้นก็ปิดผนึก กระบวนการที่ "ยากที่สุด" นี้แสดงอยู่ในแผนภาพด้านล่าง:

ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์อยู่ที่ไหน นอกจากนี้ ฟังก์ชันที่ซับซ้อนยังถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน! มีเพียงเราเท่านั้นที่ "แพ็ค" ไม่ใช่โน้ตบุ๊คและปากกา แต่ \ (x \) ในขณะที่ "แพ็คเกจ" และ "กล่อง" ต่างกันให้บริการ

ตัวอย่างเช่น ลองนำ x และ "แพ็ค" ลงในฟังก์ชัน:

เป็นผลให้เราได้รับ \(\cos⁡x\) แน่นอน นี่คือ "ถุงผ้า" ของเรา และตอนนี้เราใส่มันใน "กล่อง" - เราแพ็คมันลงในฟังก์ชันลูกบาศก์

จะเกิดอะไรขึ้นในที่สุด? ใช่ ถูกต้อง จะมี "แพ็คเกจที่มีของในกล่อง" นั่นคือ "โคไซน์ของ x ลูกบาศก์"

โครงสร้างที่ได้นั้นเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน แตกต่างไปจากของธรรมดาตรงที่ว่า “ผลกระทบ” (แพ็คเกจ) หลายครั้งถูกนำไปใช้กับ X หนึ่งรายการติดต่อกันและปรากฎว่า "ฟังก์ชันจากฟังก์ชัน" - "แพ็กเกจในแพ็กเกจ" เหมือนเดิม

ในหลักสูตรของโรงเรียน มี "แพ็คเกจ" เดียวกันนี้น้อยมาก มีเพียงสี่ประเภทเท่านั้น:

ตอนนี้ ให้ "แพ็ค" x ลงในฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน 7 ก่อน แล้วจึงเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราได้รับ:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

และตอนนี้ มา "แพ็ค" x สองครั้งในฟังก์ชันตรีโกณมิติ ก่อนแล้วจึงลงใน:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

ง่ายใช่มั้ย?

ตอนนี้เขียนฟังก์ชันด้วยตัวเองโดยที่ x:
- อันดับแรก มันถูก "บรรจุ" ลงในโคไซน์ และจากนั้นเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน \(3\);
- อันดับแรกยกกำลังห้าแล้วจึงแทนเจนต์
- ก่อนถึงลอการิทึมฐาน \(4\) จากนั้นให้ยกกำลัง \(-2\)

ดูคำตอบสำหรับคำถามนี้ที่ท้ายบทความ

แต่เรา "แพ็ค" x ไม่ใช่สอง แต่สามครั้งได้ไหม? ไม่มีปัญหา! และสี่ ห้า และยี่สิบห้าครั้ง ตัวอย่างเช่น ในที่นี้ เป็นฟังก์ชันที่ x ถูก "บรรจุ" \(4\) ครั้ง:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

แต่จะไม่พบสูตรดังกล่าวในการฝึกฝนของโรงเรียน (นักเรียนโชคดีกว่า - อาจยากกว่า☺)

"การเปิดออก" ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

ดูฟังก์ชันก่อนหน้านี้อีกครั้ง คุณสามารถหาลำดับของ "การบรรจุ" ได้หรือไม่? สิ่งที่ X ถูกยัดเข้าไปก่อน อะไรต่อจากนั้น และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงที่สุด กล่าวคือ ฟังก์ชันใดซ้อนอยู่ในข้อใด หยิบกระดาษแผ่นหนึ่งแล้วเขียนสิ่งที่คุณคิด คุณสามารถทำสิ่งนี้ได้โดยใช้ลูกธนูเป็นลูกโซ่ ตามที่เราเขียนไว้ข้างต้น หรือด้วยวิธีอื่นใด

ตอนนี้ คำตอบที่ถูกต้องคือ: x ตัวแรก "ถูกบรรจุ" ไว้ในกำลัง \(4\)th จากนั้นผลลัพธ์ก็ถูกบรรจุลงในไซน์ ในทางกลับกัน มันถูกวางไว้ในฐานลอการิทึม \(2\) และใน ท้ายที่สุด การก่อสร้างทั้งหมดก็ถูกผลักเข้าสู่อำนาจห้า

นั่นคือจำเป็นต้องคลายลำดับในลำดับย้อนกลับ และนี่คือคำใบ้เกี่ยวกับวิธีการทำให้ง่ายขึ้น: เพียงแค่ดูที่ X - คุณต้องเต้นจากมัน มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างเช่น นี่คือฟังก์ชัน: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\) เราดูที่ X - เกิดอะไรขึ้นกับเขาก่อน? เอามาจากเขา แล้ว? แทนเจนต์ของผลลัพธ์ที่ได้ และลำดับจะเหมือนกัน:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

อีกตัวอย่างหนึ่ง: \(y=\cos⁡((x^3))\) เราวิเคราะห์ - x ตัวแรกถูกลูกบาศก์แล้วโคไซน์ก็ถูกนำมาจากผลลัพธ์ ดังนั้นลำดับจะเป็น: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\) ให้ความสนใจ ฟังค์ชั่นดูเหมือนจะคล้ายกับอันแรก (ที่มีรูปภาพ) แต่นี่เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง: ที่นี่ในคิวบ์ x (นั่นคือ \(\cos⁡((x x x)))\) และในลูกบาศก์โคไซน์ \(x\) (นั่นคือ \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). ความแตกต่างนี้เกิดจากลำดับ "การบรรจุ" ที่ต่างกัน

ตัวอย่างสุดท้าย (ซึ่งมีข้อมูลสำคัญอยู่ในนั้น): \(y=\sin⁡((2x+5))\) เป็นที่ชัดเจนว่าในตอนแรกเราทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วย x จากนั้นไซน์ถูกนำมาจากผลลัพธ์: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\) และนี่คือจุดสำคัญ: แม้ว่าการดำเนินการเลขคณิตจะไม่ทำงานในตัวเอง แต่ที่นี่ยังทำหน้าที่เป็นวิธีการ "บรรจุ" มาเจาะลึกความละเอียดอ่อนนี้กันสักหน่อย

ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น ในฟังก์ชันง่าย ๆ x จะถูก "บรรจุ" หนึ่งครั้ง และในฟังก์ชันที่ซับซ้อน - สองรายการขึ้นไป นอกจากนี้ การรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ (นั่นคือ ผลรวม ผลต่าง การคูณ หรือหาร) ก็เป็นฟังก์ชันง่ายๆ เช่นกัน ตัวอย่างเช่น \(x^7\) เป็นฟังก์ชันธรรมดา และ \(ctg x\) ก็เช่นกัน ดังนั้น การรวมกันทั้งหมดจึงเป็นฟังก์ชันง่ายๆ:

\(x^7+ ctg x\) - ง่าย ๆ
\(x^7 ctg x\) นั้นง่าย
\(\frac(x^7)(ctg x)\) นั้นเรียบง่าย เป็นต้น

อย่างไรก็ตาม หากใช้ฟังก์ชันอื่นร่วมกับชุดค่าผสมดังกล่าว ก็จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอยู่แล้ว เนื่องจากจะมี "แพ็คเกจ" สองชุด ดูแผนภาพ:

โอเค มาเริ่มกันเลยดีกว่า เขียนลำดับของฟังก์ชัน "wrapping":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
คำตอบจะอยู่ท้ายบทความอีกครั้ง

ฟังก์ชั่นภายในและภายนอก

ทำไมเราต้องเข้าใจฟังก์ชั่น nesting? สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง? ประเด็นคือหากไม่มีการวิเคราะห์ดังกล่าว เราจะไม่สามารถค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กล่าวถึงข้างต้นได้อย่างน่าเชื่อถือ

และเพื่อที่จะไปต่อ เราจำเป็นต้องมีอีกสองแนวคิด: ฟังก์ชันภายในและภายนอก นี่เป็นเรื่องง่ายมาก ยิ่งกว่านั้น เราได้วิเคราะห์ไปแล้วข้างต้น: หากเราจำการเปรียบเทียบของเราได้ในตอนเริ่มต้น ฟังก์ชันภายในก็คือ "แพ็กเกจ" และฟังก์ชันภายนอกคือ "กล่อง" เหล่านั้น. สิ่งที่ X คือ "ห่อ" ในอันดับแรกคือฟังก์ชันภายใน และสิ่งที่อยู่ภายใน "ห่อ" อยู่นั้นเป็นฟังก์ชันภายนอกอยู่แล้ว เป็นที่เข้าใจได้ว่าทำไม - มันอยู่ข้างนอก มันหมายถึงภายนอก

ในตัวอย่างนี้: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), ฟังก์ชัน \(\log_2⁡x\) เป็นฟังก์ชันภายใน และ
- ภายนอก

และในอันนี้: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) อยู่ภายใน และ
- ภายนอก

ทำแบบฝึกหัดสุดท้ายของการวิเคราะห์ฟังก์ชันที่ซับซ้อน และสุดท้าย ไปที่จุดที่ทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น - เราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

เติมช่องว่างในตาราง:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ไชโยสำหรับเรา เรายังไปถึง "หัวหน้า" ของหัวข้อนี้ - อันที่จริง อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จนถึงสูตรที่แย่มากนั้นตั้งแต่ต้นบทความ☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot ก"(x)\)

สูตรนี้อ่านดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่สัมพันธ์กับฟังก์ชันภายในคงที่และอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

และดูรูปแบบการแยกวิเคราะห์ "ด้วยคำพูด" ทันทีเพื่อทำความเข้าใจว่าต้องเกี่ยวข้องกับอะไร:

ฉันหวังว่าคำว่า "อนุพันธ์" และ "ผลิตภัณฑ์" จะไม่ทำให้เกิดปัญหา "ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน" - เราได้รื้อถอนแล้ว การจับนั้นอยู่ใน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่สัมพันธ์กับค่าคงที่ภายใน" มันคืออะไร?

คำตอบ: นี่คืออนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันภายนอก ซึ่งมีเพียงฟังก์ชันภายนอกเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่ฟังก์ชันภายในยังคงเหมือนเดิม ยังไม่ชัดเจน? โอเค มาดูตัวอย่างกัน

สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน \(y=\sin⁡(x^3)\) เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชันภายในที่นี่คือ \(x^3\) และฟังก์ชันภายนอก
. ตอนนี้ให้เราหาอนุพันธ์ของตัวนอกเทียบกับค่าคงที่ตัวใน

ถ้า g(x) และ ฉ(ยู) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของอาร์กิวเมนต์ตามลำดับที่จุด xและ ยู= g(x), จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนก็สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด xและหาได้จากสูตร

ข้อผิดพลาดทั่วไปในการแก้ปัญหาอนุพันธ์คือการถ่ายโอนกฎอัตโนมัติเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันง่าย ๆ ไปสู่ฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจะเรียนรู้ที่จะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดนี้

ตัวอย่าง 2หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีแก้ปัญหาที่ผิด:คำนวณลอการิทึมธรรมชาติของแต่ละเทอมในวงเล็บและหาผลรวมของอนุพันธ์:

การตัดสินใจที่ถูกต้อง:อีกครั้งเรากำหนดว่า "แอปเปิ้ล" อยู่ที่ไหนและ "เนื้อสับ" อยู่ที่ไหน ที่นี่ลอการิทึมธรรมชาติของนิพจน์ในวงเล็บคือ "แอปเปิ้ล" นั่นคือฟังก์ชันบนอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ยูและนิพจน์ในวงเล็บคือ "เนื้อสับ" นั่นคืออาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ยูโดยตัวแปรอิสระ x.

จากนั้น (โดยใช้สูตร 14 จากตารางอนุพันธ์)

ในปัญหาจริงหลายๆ นิพจน์ นิพจน์ที่มีลอการิทึมค่อนข้างซับซ้อน จึงเป็นเหตุให้มีบทเรียน

ตัวอย่างที่ 3หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีแก้ปัญหาที่ผิด:

การตัดสินใจที่ถูกต้องอีกครั้งที่เรากำหนดที่ "แอปเปิ้ล" และที่ "เนื้อสับ" ที่นี่โคไซน์ของนิพจน์ในวงเล็บ (สูตร 7 ในตารางอนุพันธ์) คือ "แอปเปิ้ล" ปรุงในโหมด 1 มีผลเฉพาะกับนิพจน์และนิพจน์ในวงเล็บ (อนุพันธ์ของระดับ - หมายเลข 3 ใน ตารางอนุพันธ์) คือ "เนื้อสับ" ปรุงในโหมด 2 มีผลกับมันเท่านั้น และเช่นเคย เราเชื่อมโยงอนุพันธ์สองตัวกับเครื่องหมายผลิตภัณฑ์ ผลลัพธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมที่ซับซ้อนเป็นงานที่ทำบ่อยในการทดสอบ ดังนั้นเราขอแนะนำให้คุณไปที่บทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม"

ตัวอย่างแรกมีไว้สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ซึ่งอาร์กิวเมนต์ระดับกลางของตัวแปรอิสระเป็นฟังก์ชันอย่างง่าย แต่ในทางปฏิบัติมักจะต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน โดยที่อาร์กิวเมนต์ระดับกลางอาจเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนหรือมีฟังก์ชันดังกล่าวอยู่ จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวโดยใช้ตารางและกฎการสร้างความแตกต่าง เมื่อพบอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง จะถูกแทนที่ในตำแหน่งที่ถูกต้องในสูตร ด้านล่างนี้คือตัวอย่างวิธีการดำเนินการ 2 ตัวอย่าง

นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ที่จะทราบดังต่อไปนี้ หากฟังก์ชันเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นลูกโซ่ของฟังก์ชันสามฟังก์ชันได้

ดังนั้นควรหาอนุพันธ์ของมันคือผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันแต่ละอย่างเหล่านี้:

การบ้านหลายๆ อย่างอาจทำให้คุณต้องเปิดบทช่วยสอนในหน้าต่างใหม่ การกระทำด้วยอำนาจและรากเหง้าและ การกระทำที่มีเศษส่วน .

ตัวอย่างที่ 4หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน โดยอย่าลืมว่าในผลคูณของอนุพันธ์ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ xไม่เปลี่ยนแปลง:

เราเตรียมปัจจัยที่สองของผลิตภัณฑ์และใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของผลรวม:

เทอมที่สองคือรูตดังนั้น

ดังนั้น จึงได้มาว่าอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ซึ่งเป็นผลรวม มีฟังก์ชันซับซ้อนเป็นหนึ่งในเงื่อนไข: การยกกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และสิ่งที่ยกกำลังเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยตัวแปรอิสระ x.

ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง:

เราแปลงดีกรีของปัจจัยแรกเป็นรูต และแยกความแตกต่างของปัจจัยที่สอง เราต้องไม่ลืมว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์:

ตอนนี้เราสามารถหาอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางที่จำเป็นในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ต้องการในเงื่อนไขของปัญหาได้ y:

ตัวอย่างที่ 5หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อันดับแรก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวม:

หาผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนสองฟังก์ชัน ค้นหาสิ่งแรก:

ในที่นี้ การเพิ่มไซน์เป็นกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และไซน์เองก็เป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลางในตัวแปรอิสระ x. ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนไปพร้อมกัน นำตัวคูณออกจากวงเล็บ :

ตอนนี้เราพบเทอมที่สองจากเทอมที่มาจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y:

ในที่นี้ การเพิ่มโคไซน์เป็นกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉและโคไซน์เองก็เป็นอาร์กิวเมนต์กลางที่เกี่ยวกับตัวแปรอิสระ x. อีกครั้ง เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

ผลลัพธ์คืออนุพันธ์ที่ต้องการ:

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบางอย่าง

สำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน ตามกฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่ายจะมีรูปแบบที่ต่างออกไป

1. อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเชิงซ้อน โดยที่ ยู x
2. อนุพันธ์ของรากของนิพจน์
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
4. กรณีพิเศษของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานบวกตามอำเภอใจ เอ
6. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อน โดยที่ ยูเป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ x
7. อนุพันธ์ของไซน์
8. อนุพันธ์โคไซน์
9. อนุพันธ์แทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
11. อนุพันธ์ของอาร์กไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
13. อนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ผกผัน