วิธีหาความยาวด้านของไซน์ การคำนวณไซน์จากฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

ในชีวิตเรามักจะต้องเผชิญกับปัญหาคณิตศาสตร์ ที่โรงเรียน ที่มหาวิทยาลัย แล้วช่วยลูกทำการบ้าน ผู้คนในวิชาชีพบางอาชีพจะพบกับวิชาคณิตศาสตร์ทุกวัน ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการจดจำหรือจำกฎทางคณิตศาสตร์ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์หนึ่งในนั้น: การหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร

ก่อนอื่น ให้จำไว้ว่าสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปเรขาคณิตของสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมุมหนึ่งของรูปนี้คือ 90 องศา ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา และด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

การหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

มีหลายวิธีในการค้นหาความยาวของขา ฉันต้องการพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากกับขา เราก็สามารถหาความยาวของขาที่ไม่รู้จักได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดูเหมือนว่า: "กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา" สูตร: c²=a²+b² โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b คือขา เราแปลงสูตรและรับ: a²=c²-b²

ตัวอย่าง. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5 ซม. และขาคือ 3 ซม. เราแปลงสูตร: c²=a²+b² → a²=c²-b² ต่อไป เราตัดสินใจ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; ก=√16; ก=4 (ซม.)

ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติเพื่อหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นอกจากนี้ยังสามารถหาขาที่ไม่รู้จักได้หากรู้ด้านอื่นและมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีสี่ตัวเลือกในการค้นหาขาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: โดยไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ในการแก้ปัญหา ตารางด้านล่างนี้จะช่วยเราได้ ลองพิจารณาตัวเลือกเหล่านี้

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ไซน์

ไซน์ของมุม (sin) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: sin \u003d a / c โดยที่ a คือขาตรงข้ามมุมที่กำหนด และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อไป เราแปลงสูตรและรับ: a=sin*c

ตัวอย่าง. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. และมุม A คือ 30 องศา จากตาราง เราคำนวณไซน์ของมุม A เท่ากับ 1/2 จากนั้น ใช้สูตรที่แปลงแล้ว เราแก้สมการ: a=sin∠A*c; ก=1/2*10; ก=5 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้โคไซน์

โคไซน์ของมุม (cos) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: cos \u003d b / c โดยที่ b คือขาที่อยู่ติดกับมุมที่กำหนดและ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ลองแปลงสูตรและรับ: b=cos*c

ตัวอย่าง. มุม A คือ 60 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. จากตาราง เราคำนวณโคไซน์ของมุม A เท่ากับ 1/2 ต่อไป เราจะแก้: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้แทนเจนต์

แทนเจนต์ของมุม (tg) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน สูตร: tg \u003d a / b โดยที่ a คือขาตรงข้ามกับมุม และ b อยู่ติดกัน ลองแปลงสูตรและรับ: a=tg*b

ตัวอย่าง. มุม A คือ 45 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. จากตาราง เราคำนวณแทนเจนต์ของมุม A ซึ่งเท่ากับ Solve: a=tg∠A*b; ก=1*10; ก=10 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้โคแทนเจนต์

โคแทนเจนต์ของมุม (ctg) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม สูตร: ctg \u003d b / a โดยที่ b คือขาที่อยู่ติดกับมุมและอยู่ตรงข้าม กล่าวอีกนัยหนึ่ง โคแทนเจนต์คือ "แทนเจนต์กลับหัว" เราได้รับ: b=ctg*a.

ตัวอย่าง. มุม A คือ 30 องศา ขาตรงข้ามคือ 5 ซม. ตามตาราง แทนเจนต์ของมุม A คือ √3 คำนวณ: b=ctg∠A*a; ข=√3*5; b=5√3 (ซม.)

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาขาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว อย่างที่คุณเห็นมันไม่ยากเลย สิ่งสำคัญคือการจำสูตร

ด้านข้างสามเหลี่ยมสามารถตรวจจับได้ไม่เฉพาะตามแนวเส้นรอบวงและพื้นที่เท่านั้น แต่ยังตรวจตามด้านและมุมที่กำหนดด้วย ด้วยเหตุนี้จึงใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ - ไซนัสและ co ไซนัส. ปัญหาเกี่ยวกับการสมัครพบได้ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน ตลอดจนในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์และพีชคณิตเชิงเส้นของมหาวิทยาลัย

คำแนะนำ

1. หากด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมและมุมระหว่างมันกับอีกด้านของมันมีชื่อเสียง ให้ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ - ไซนัสออมแอนด์โค ไซนัสโอห์ม. ลองนึกภาพสามเหลี่ยมมุมฉาก HBC ซึ่งมีมุมเป็นมุม? เท่ากับ 60 องศา สามเหลี่ยม HBC แสดงอยู่ในรูป เพราะว่า ไซนัสอย่างที่คุณทราบ คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก และ to ไซนัส- อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก ในการแก้ปัญหา ใช้ความสัมพันธ์เพิ่มเติมระหว่างพารามิเตอร์เหล่านี้: sin?=HB/BCดังนั้น หากคุณต้องการทราบขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้แสดงผ่านด้านตรงข้ามมุมฉากใน วิธีต่อไปนี้:

2. ในทางตรงกันข้าม หากขาของรูปสามเหลี่ยมได้รับในสภาพของปัญหา ให้หาด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งชี้นำโดยความสัมพันธ์เพิ่มเติมระหว่างค่าที่กำหนด: BC \u003d HB / sin โดยการเปรียบเทียบ ให้หาด้านของสามเหลี่ยม และใช้ ไซนัส a เปลี่ยนนิพจน์ก่อนหน้าด้วยวิธีต่อไปนี้: cos ?=HC/BC

3. ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษามีการแสดงทฤษฎีบท ไซนัสว. จากข้อเท็จจริงที่ทฤษฎีบทนี้อธิบาย เป็นไปได้ที่จะหาด้านของรูปสามเหลี่ยม นอกจากนี้ยังช่วยให้คุณค้นหาด้านของสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมได้ หากคุณทราบรัศมีของด้านหลัง เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้ความสัมพันธ์ด้านล่าง: a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2R

4. นอกเหนือจากทฤษฎีบท ไซนัส ov นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทที่คล้ายกันในสาระสำคัญ ไซนัส ov ซึ่งเหมือนกับก่อนหน้านี้ ใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมทั้ง 3 แบบ: มุมฉาก มุมแหลม และมุมป้าน ตามข้อเท็จจริงที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ อนุญาตให้ค้นหาปริมาณที่ไม่รู้จักโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างกัน: c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?

รูปทรงเรขาคณิตประกอบด้วยจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่ในเส้นเดียวกันเรียกว่าจุดยอดและส่วนคู่สามส่วนที่เชื่อมต่อกันเรียกว่าด้านเรียกว่าสามเหลี่ยม มีปัญหามากมายในการค้นหาด้านและมุมของสามเหลี่ยมเนื่องจากข้อมูลตั้งต้นมีจำนวนจำกัด หนึ่งในปัญหาเหล่านี้คือการหาด้านของสามเหลี่ยมโดยให้ด้านใดด้านหนึ่งและสองด้าน มุม .

คำแนะนำ

1. ให้สร้างสามเหลี่ยม ABC และมีชื่อเสียง - ด้าน BC และมุม ?? และ ??. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180? จะเท่ากันไหม? = 180? – (?? + ??) เป็นไปได้ที่จะหาด้าน AC และ AB โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์ ซึ่งอ่าน AB / sin?? = BC/บาป?? = เอซี/บาป?? \u003d 2 * R โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่อธิบายเกี่ยวกับสามเหลี่ยม ABC จากนั้นเราจะได้ R \u003d BC / sin??, AB \u003d 2 * R * sin ??, AC \u003d 2 * R * บาป ??. ทฤษฎีบทไซน์สามารถใช้ได้สำหรับ 2 มุมและด้านใด ๆ ที่กำหนด

2. ด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนดสามารถพบได้โดยการคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร S \u003d 2 * R? *บาป?? *บาป?? * sin?? โดยที่ R คำนวณโดยสูตร R = BC / sin??, R คือรัศมีของสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบ? ABC จากที่นี่จากนั้น ด้านข้าง AB สามารถหาได้โดยการคำนวณความสูงที่ตกบนนั้น h = BC * sin?? จากสูตร S = 1/2 * h * AB เรามี AB = 2 * S / h ด้านข้างแอร์.

3. ถ้าให้มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเป็นมุม? แล้วมันเป็นไปได้ที่จะตรวจจับมุมภายในด้วยการสนับสนุนของความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันหรือไม่? = 180? – ???,?? = 180? – ???,?? = 180? – (?? + ??) จากนั้นเราก็ทำเหมือนสองข้อแรก

นักคณิตศาสตร์ได้ทำความเข้าใจเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมาเป็นเวลาหลายพันปีแล้ว ศาสตร์แห่งสามเหลี่ยม - ตรีโกณมิติ - ใช้ปริมาณพิเศษ: ไซน์และโคไซน์

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ในขั้นต้น ไซน์และโคไซน์ปรากฏขึ้นเนื่องจากจำเป็นต้องคำนวณปริมาณในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สังเกตว่าถ้าค่าของการวัดดีกรีของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไม่เปลี่ยนแปลง อัตราส่วนกว้างยาว ไม่ว่าด้านเหล่านี้จะเปลี่ยนความยาวเท่าไร จะยังคงเหมือนเดิมเสมอกัน นี่คือวิธีที่การแสดงแทนไซน์และโคไซน์ แนะนำ ไซน์ของมุมแหลมในสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก และโคไซน์คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์

แต่โคไซน์และไซน์สามารถใช้ได้ไม่เฉพาะในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ในการหาค่าของมุมป้านหรือมุมแหลม ด้านของสามเหลี่ยมใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ทฤษฎีบทโคไซน์และไซน์ ทฤษฎีบทโคไซน์ค่อนข้างจะดั้งเดิม: “กำลังสองของด้านสามเหลี่ยมเท่ากับ ผลรวมของกำลังสองของอีก 2 ด้านที่เหลือ ลบผลคูณสองเท่าของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน” มีสองการตีความของทฤษฎีบทไซน์: เล็กและขยาย ตามส่วนเล็ก: "ในรูปสามเหลี่ยม มุมเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้าม" ทฤษฎีบทนี้มักจะถูกขยายออกไปเนื่องจากคุณสมบัติของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม: "ในรูปสามเหลี่ยม มุมเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้าม และอัตราส่วนจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ"

อนุพันธ์

อนุพันธ์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ อนุพันธ์ใช้ในพีชคณิต เรขาคณิต เศรษฐศาสตร์และฟิสิกส์ และในสาขาวิชาเทคนิคจำนวนหนึ่ง เมื่อแก้ปัญหาคุณจำเป็นต้องรู้ค่าตารางของอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์ อนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของโคไซน์คือไซน์ แต่มีเครื่องหมายลบ

การประยุกต์ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไซน์และโคไซน์ถูกใช้ในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉากและปัญหาที่เกี่ยวข้องกัน ความสะดวกสบายของไซน์และโคไซน์พบการสะท้อนในเทคโนโลยี การประมาณค่ามุมและด้านโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์และไซน์นั้นถือเป็นเรื่องปกติ โดยแบ่งตัวเลขและวัตถุที่ยากออกให้เป็นรูปสามเหลี่ยม "ดึกดำบรรพ์" วิศวกรและสถาปนิก ซึ่งมักจะจัดการกับอัตราส่วนกว้างยาวและองศา ได้ใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในการคำนวณโคไซน์และไซน์ของมุมที่ไม่ใช่ตาราง จากนั้นโต๊ะของ Bradis ก็มาช่วยซึ่งมีค่าไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในมุมต่างๆ ในสมัยโซเวียต ครูบางคนบังคับให้วอร์ดจำหน้าตารางแบรดิส

ไซน์เป็นหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ซึ่งแอปพลิเคชันนี้ไม่ได้จำกัดเฉพาะเรขาคณิตเท่านั้น ตารางสำหรับคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น เครื่องคำนวณทางวิศวกรรม ไม่ได้อยู่ใกล้แค่เอื้อม และบางครั้งการคำนวณไซน์ก็มีความจำเป็นในการแก้ปัญหาต่างๆ โดยทั่วไป การคำนวณไซน์จะช่วยรวมทักษะการวาดและความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

เกมส์ไม้บรรทัดและดินสอ

งานง่าย ๆ : วิธีการหาไซน์ของมุมที่วาดบนกระดาษ? ในการแก้ปัญหา คุณต้องใช้ไม้บรรทัดธรรมดา สามเหลี่ยม (หรือเข็มทิศ) และดินสอ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณไซน์ของมุมคือการหารขาไกลของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากด้วยด้านยาว - ด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น ขั้นแรก คุณต้องทำให้มุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสมบูรณ์โดยการวาดเส้นตั้งฉากกับรังสีใด ๆ ที่ระยะห่างจากจุดยอดของมุมตามอำเภอใจ จำเป็นต้องสังเกตมุม 90 องศาพอดีซึ่งเราต้องการสามเหลี่ยมเสมียน

การใช้เข็มทิศนั้นแม่นยำกว่าเล็กน้อย แต่จะใช้เวลานานกว่านั้น บนรังสีอันใดอันหนึ่ง คุณต้องทำเครื่องหมาย 2 จุดที่ระยะหนึ่ง กำหนดรัศมีบนเข็มทิศเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ โดยประมาณ และวาดครึ่งวงกลมด้วยจุดศูนย์กลางที่จุดเหล่านี้จนกว่าเส้นเหล่านี้จะตัดกัน โดยการเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลมของเราเข้าด้วยกัน เราได้เส้นตั้งฉากที่เข้มงวดกับรังสีของมุมของเรา มันจะเหลือเพียงการขยายเส้นออกไปจนกว่าจะตัดกับรังสีอื่น

ในรูปสามเหลี่ยมผลลัพธ์ คุณต้องวัดด้านตรงข้ามมุมและด้านยาวของรังสีหนึ่งด้วยไม้บรรทัด อัตราส่วนของการวัดครั้งแรกกับครั้งที่สองจะเป็นค่าที่ต้องการของไซน์ของมุมแหลม

ค้นหาไซน์สำหรับมุมที่มากกว่า 90°

สำหรับมุมป้าน งานนี้ไม่ได้ยากไปกว่านี้มาก จำเป็นต้องวาดรังสีจากจุดยอดในทิศทางตรงกันข้ามโดยใช้ไม้บรรทัดเพื่อสร้างเส้นตรงที่มีรังสีหนึ่งของมุมที่เราสนใจ ด้วยมุมแหลมที่เกิดขึ้นคุณควรดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้นไซน์ของมุมที่อยู่ติดกันซึ่งประกอบเป็นมุมที่พัฒนาแล้วที่ 180 °จะเท่ากัน

การคำนวณไซน์จากฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

นอกจากนี้ การคำนวณไซน์ยังเป็นไปได้หากทราบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ของมุมหรืออย่างน้อยก็ทราบความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม เอกลักษณ์ทางตรีโกณมิติจะช่วยเราในเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างทั่วไป

จะหาไซน์กับโคไซน์ของมุมได้อย่างไร? เอกลักษณ์ตรีโกณมิติแรกที่มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกันมีค่าเท่ากับหนึ่ง

จะหาไซน์กับแทนเจนต์ของมุมได้อย่างไร? แทนเจนต์ได้มาจากการหารขาไกลด้วยอันใกล้หรือโดยการหารไซน์ด้วยโคไซน์ ดังนั้น ไซน์จะเป็นผลคูณของโคไซน์และแทนเจนต์ และกำลังสองของไซน์จะเป็นกำลังสองของผลคูณนี้ เราแทนที่โคไซน์กำลังสองด้วยผลต่างระหว่างเอกภาพและไซน์กำลังสองตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติแรก และด้วยการปรับง่ายๆ เรานำสมการมาคำนวณค่าไซน์กำลังสองผ่านแทนเจนต์ ตามลำดับ ในการคำนวณไซน์ คุณจะต้อง สกัดรากจากผลลัพธ์ที่ได้รับ

จะหาไซน์ที่มีโคแทนเจนต์ของมุมได้อย่างไร? ค่าโคแทนเจนต์สามารถคำนวณได้โดยการหารความยาวของขาใกล้จากมุมขาด้วยความยาวของอันไกลโพ้น เช่นเดียวกับการหารโคไซน์ด้วยไซน์ กล่าวคือ โคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ด้วยความเคารพ ไปที่หมายเลข 1 ในการคำนวณไซน์ คุณสามารถคำนวณแทนเจนต์โดยใช้สูตร tg α \u003d 1 / ctg α และใช้สูตรในตัวเลือกที่สอง คุณยังสามารถหาสูตรโดยตรงโดยการเปรียบเทียบกับแทนเจนต์ ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้

วิธีหาไซน์ของทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม

มีสูตรการหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมใดๆ ไม่ใช่แค่สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยให้ด้านที่รู้จักสองด้านโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของโคไซน์ของมุมตรงข้าม เธอมีลักษณะเช่นนี้

ไซน์สามารถคำนวณเพิ่มเติมจากโคไซน์ตามสูตรข้างต้น

หากโจทย์กำหนดความยาวของสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมระหว่างพวกมัน คุณสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านไซน์ได้

ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ไซน์ ด้านที่กำหนด a = 3, b = 4 และมุม γ= 30° ไซน์ของมุม 30° คือ 0.5

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 3 ตร.ม. ซม.

อาจมีเงื่อนไขอื่นด้วย หากกำหนดความยาวของด้านใดด้านหนึ่งและมุม ขั้นแรกคุณต้องคำนวณมุมที่ขาดหายไป เพราะ ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180° จากนั้น:

พื้นที่จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของกำลังสองของด้านคูณด้วยเศษส่วน ในตัวเศษเป็นผลคูณของไซน์ของมุมที่อยู่ติดกัน และในตัวส่วนคือไซน์ของมุมตรงข้าม ตอนนี้เราคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น ให้รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a=3 และมุม γ=60°, β=60° คำนวณมุมที่สาม:
การแทนข้อมูลลงในสูตร
เราได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ 3.87 ตารางเมตร. ซม.

ครั้งที่สอง พื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของโคไซน์

ในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม คุณจำเป็นต้องรู้ความยาวของทุกด้าน ตามทฤษฎีบทโคไซน์ คุณจะพบด้านที่ไม่รู้จัก แล้วจึงใช้ .
ตามกฎของโคไซน์ กำลังสองของด้านที่ไม่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านที่เหลือ ลบสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

จากทฤษฎีบท เราได้สูตรการหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จัก:

เมื่อรู้วิธีหาด้านที่หายไป มีสองด้านและมุมระหว่างกัน คุณก็สามารถคำนวณพื้นที่ได้อย่างง่ายดาย สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของโคไซน์ช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ปัญหาต่างๆ ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย

ตัวอย่างการคำนวณสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมผ่านโคไซน์
ให้รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านที่รู้จัก a = 3, b = 4 และมุม γ= 45° มาตามหาส่วนที่ขาดหายไปกันก่อน กับ. โดยโคไซน์ 45°=0.7 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแทนข้อมูลลงในสมการที่ได้มาจากทฤษฎีบทโคไซน์
ตอนนี้ใช้สูตรเราพบว่า

พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านข้างและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

การพิสูจน์:

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ตามอำเภอใจ ให้ด้าน BC = a อยู่ในนั้น ด้าน CA = b และ S เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ ต้องพิสูจน์ว่า S = (1/2)*a*b*บาป(C).

ในการเริ่มต้น เราแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและวางจุดกำเนิดที่จุด C ลองวางตำแหน่งระบบพิกัดของเราเพื่อให้จุด B อยู่บนทิศทางบวกของแกน Cx และจุด A จะมีพิกัดบวก

หากทุกอย่างถูกต้องคุณควรได้รูปต่อไปนี้

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนดสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: S = (1/2)*a*hโดยที่ h คือความสูงของสามเหลี่ยม ในกรณีของเรา ความสูงของสามเหลี่ยม h เท่ากับพิกัดของจุด A นั่นคือ h \u003d b * sin (C)

จากผลลัพธ์ที่ได้ สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: S = (1/2)*a*b*sin(C). คิวอีดี

การแก้ปัญหา

ภารกิจที่ 1 หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ถ้า a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, มุม A = 60 องศา b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, มุม B= 45 องศา c ) AC = 14 ซม. CB = 7 ซม. มุม C = 48 องศา

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์ข้างต้น พื้นที่ S ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ:

S = (1/2)*AB*AC*บาป(A)

มาทำการคำนวณกัน:

ก) S = ((1/2) *6*√8*4*บาป(60˚)) = 12*√6 cm^2

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2

เราคำนวณค่าไซน์ของมุมบนเครื่องคิดเลขหรือใช้ค่าจากตารางค่าของมุมตรีโกณมิติ ตอบ:

ก) 12*√6 ซม.^2.

ค) ประมาณ 36.41 ซม.^2

ปัญหาที่ 2 พื้นที่สามเหลี่ยม ABC คือ 60 ซม.^2 หาด้าน AB ถ้า AC = 15 ซม. มุม A = 30˚

ให้ S เป็นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC โดยทฤษฎีบทพื้นที่สามเหลี่ยม เราได้:

S = (1/2)*AB*AC*บาป(A)

แทนที่ค่าที่เรามีลงไป:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB

จากตรงนี้ เราแสดงความยาวของด้าน AB: AB = (60*4)/15 = 16