§1.1. ตัวเลขจริง
ความคุ้นเคยครั้งแรกกับตัวเลขจริงเกิดขึ้นในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน จำนวนจริงใดๆ จะแสดงด้วยเศษส่วนทศนิยมมีจำกัดหรืออนันต์
จำนวนจริง (ของจริง) แบ่งออกเป็นสองคลาส: คลาสของจำนวนตรรกยะและคลาสของจำนวนอตรรกยะ มีเหตุผลเรียกตัวเลขที่มีลักษณะเหมือน โดยที่ มและ นเป็นจำนวนเต็มโคไพรม์ แต่ 
. (เซตของจำนวนตรรกยะเขียนแทนด้วยตัวอักษร คิว). จำนวนจริงที่เหลือเรียกว่า ไม่มีเหตุผล. จำนวนตรรกยะจะแสดงด้วยเศษส่วนที่มีระยะเวลาจำกัดหรือไม่จำกัด (เหมือนกับเศษส่วนธรรมดา) จากนั้นจำนวนจริงเหล่านั้นและเฉพาะจำนวนจริงที่สามารถแสดงด้วยเศษส่วนที่ไม่เป็นงวดแบบอนันต์เท่านั้นที่จะเป็นจำนวนอตรรกยะ
ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 
- มีเหตุผลและ 
, 
, 
เป็นต้น เป็นจำนวนอตรรกยะ
จำนวนจริงยังสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต - รากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ (ซึ่งรวมถึงโดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนตรรกยะทั้งหมด - รากของสมการ 
) - และเหนือธรรมชาติ - ที่เหลือทั้งหมด (เช่น ตัวเลข 
อื่นๆ).
ชุดของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนจริงทั้งหมดแสดงตามลำดับดังนี้: นู๋Z, R
(อักษรตัวแรกของคำว่า Naturel, Zahl, Reel)
§1.2. รูปภาพของจำนวนจริงบนเส้นจำนวน ช่วงเวลา
ในเชิงเรขาคณิต (เพื่อความชัดเจน) จำนวนจริงจะแสดงด้วยจุดบนเส้นตรงอนันต์ (ในทั้งสองทิศทาง) เรียกว่า ตัวเลข
แกน. เพื่อจุดประสงค์นี้ จุดจะถูกนำไปที่เส้นที่พิจารณา (จุดอ้างอิงคือจุดที่ 0) ทิศทางที่เป็นบวกจะถูกระบุโดยลูกศร (โดยปกติไปทางขวา) และเลือกหน่วยมาตราส่วนซึ่งถูกกันไว้ อย่างไม่มีกำหนดทั้งสองด้านของจุด 0 นี่คือวิธีแสดงจำนวนเต็ม เมื่อต้องการแสดงตัวเลขที่มีทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง แต่ละส่วนจะต้องแบ่งออกเป็นสิบส่วน เป็นต้น ดังนั้น จำนวนจริงแต่ละจำนวนจึงถูกแทนด้วยจุดบนเส้นจำนวน ตรงกันข้ามทุกจุด 
ตรงกับจำนวนจริงเท่ากับความยาวของเซกเมนต์ 
และถ่ายด้วยเครื่องหมาย "+" หรือ "-" ขึ้นอยู่กับว่าจุดนั้นอยู่ทางขวาหรือทางซ้ายของแหล่งกำเนิด ดังนั้น การโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งจึงถูกสร้างขึ้นระหว่างเซตของจำนวนจริงทั้งหมดกับเซตของจุดทั้งหมดของแกนตัวเลข คำว่า "จำนวนจริง" และ "จุดของแกนตัวเลข" ใช้เป็น คำพ้องความหมาย
สัญลักษณ์ 
เราจะระบุทั้งจำนวนจริงและจุดที่ตรงกับมัน ตัวเลขบวกอยู่ทางด้านขวาของจุด 0, ลบ - ทางซ้าย ถ้า 
จากนั้นจุดบนแกนจริง 
อยู่ทางด้านซ้ายของจุด 
. ให้ประเด็น 
ตรงกับตัวเลขแล้วเรียกเลขนั้นว่าพิกัดของจุดนั้นเขียนว่า 
; บ่อยขึ้น จุดนั้นจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับตัวเลข จุด 0 คือที่มาของพิกัด แกนยังเขียนแทนด้วยตัวอักษร 
(รูปที่ 1.1)
ข้าว. 1.1. แกนตัวเลข
ชุดเลขทั้งหมดโกหก ระหว่างตัวเลขที่กำหนดและเรียกว่าช่วงเวลาหรือช่วงเวลา ปลายทางอาจเป็นของเขาหรือไม่ก็ได้ ขอชี้แจงเรื่องนี้ ปล่อยให้เป็น 
. ชุดตัวเลขที่เข้าเงื่อนไข 
เรียกว่าช่วง (ในความหมายที่แคบ) หรือช่วงเปิด แทนด้วยสัญลักษณ์ 
(รูปที่ 1.2)
ข้าว. 1.2. ช่วงเวลา
ที่รวบรวมตัวเลขต่างๆเช่นว่า 
เรียกว่าช่วงปิด (ส่วน, ส่วน) และแสดงโดย 
; บนแกนตัวเลขมีการทำเครื่องหมายดังนี้:
ข้าว. 1.3. ช่วงปิด
มันแตกต่างจากช่องว่างเปิดเพียงสองจุด (สิ้นสุด) และ . แต่ความแตกต่างนี้เป็นพื้นฐาน จำเป็น ดังที่เราจะเห็นในภายหลัง เช่น เมื่อศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน
ละเว้นคำว่า “ชุดของตัวเลขทั้งหมด (จุด) xเช่นนั้น " ฯลฯ เราทราบเพิ่มเติม:
และ 
, หมายถึง 
และ 
ครึ่งเปิดหรือครึ่งปิด ช่วงเวลา (บางครั้ง: ครึ่งช่วง);
หรือ 
วิธี: 
หรือ 
และเขียนว่า 
หรือ 
;
หรือ 
วิธี 
หรือ 
และเขียนว่า 
หรือ 
;
, หมายถึง 
เซตของจำนวนจริงทั้งหมด ป้าย 
สัญลักษณ์ของ "อินฟินิตี้"; พวกเขาถูกเรียกว่าตัวเลขที่ไม่เหมาะสมหรือในอุดมคติ 
§1.3. ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) ของจำนวนจริง
คำนิยาม. ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูล)เรียกว่าตัวเลขนั้นเอง ถ้า 
หรือ 
ถ้า 
. ค่าสัมบูรณ์แสดงด้วยสัญลักษณ์ 
. ดังนั้น, 
ตัวอย่างเช่น, 
, 
, 
.
ทางเรขาคณิตหมายถึงระยะทางของจุด เอถึงที่มาของพิกัด หากเรามีจุดสองจุด และ แล้ว ระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้สามารถแสดงเป็น 
(หรือ 
). ตัวอย่างเช่น, 
ระยะทางนั้น 
.
คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์
1. ตามมาจากนิยามว่า 
, 
, เช่น 
.
2. ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมและผลต่างไม่เกินผลรวมของค่าสัมบูรณ์: 
.
1) ถ้า 
, แล้ว 
. 2) ถ้า 
, แล้ว . ▲
3. 
.
จากนั้นตามคุณสมบัติ 2: 
, เช่น. 
. ในทำนองเดียวกัน หากเราจินตนาการถึง 
แล้วเราก็มาถึงความไม่เท่าเทียมกัน 
▲
4. 
– ตามคำจำกัดความ: พิจารณาคดี 
และ 
.
5. 
โดยมีเงื่อนไขว่า 
เช่นเดียวกันตามคำจำกัดความ
6. ความไม่เท่าเทียมกัน 
,
, วิธี 
. ความไม่เท่าเทียมกันนี้ถูกเติมเต็มด้วยจุดที่อยู่ระหว่าง 
และ 
.
7. ความไม่เท่าเทียมกัน 
เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน 
, เช่น. . เป็นช่วงที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดความยาว 
. มันถูกเรียกว่า 
บริเวณใกล้เคียงของจุด (ตัวเลข) . ถ้า 
, แล้วย่านนั้นเรียกว่า เจาะ : นี่ หรือ 
. (รูปที่ 1.4)
8. 
จึงเป็นเหตุให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน 
(
) เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน 
หรือ 
; และความไม่เท่าเทียมกัน 
กำหนดชุดของคะแนนที่ 
, เช่น. เป็นจุดนอกเซกเมนต์ 
, อย่างแน่นอน: 
และ 
.
§1.4. แนวคิด การกำหนดบางอย่าง
ต่อไปนี้คือแนวคิดที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย สัญกรณ์จากทฤษฎีเซต ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่
1 . แนวคิด ชุดเป็นหนึ่งในพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ เบื้องต้น สากล - ดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดได้ มันสามารถอธิบายได้เท่านั้น (แทนที่ด้วยคำพ้องความหมาย): มันคือของสะสม, ของสะสม, ของบางอย่าง, สิ่งของ, รวมกันด้วยสัญญาณบางอย่าง วัตถุเหล่านี้เรียกว่า องค์ประกอบชุด ตัวอย่าง: เม็ดทรายจำนวนมากบนชายฝั่ง ดวงดาวในจักรวาล นักเรียนในห้องเรียน รากของสมการ จุดของส่วน ชุดที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลขเรียกว่า ชุดตัวเลข. สำหรับชุดมาตรฐานบางชุด จะมีการแนะนำสัญลักษณ์พิเศษ เช่น นู๋,Z,ร-ดู§ 1.1.
ปล่อยให้เป็น อา- ตั้งค่าและ xเป็นองค์ประกอบ แล้วเราเขียน: 
; อ่าน " xเป็นของ อา» ( 
เครื่องหมายรวมสำหรับองค์ประกอบ) ถ้าวัตถุ xไม่รวมอยู่ใน อาแล้วพวกเขาก็เขียน 
; อ่านว่า: " xไม่เป็น อา". ตัวอย่างเช่น, 
นู๋; 8,51
นู๋; แต่ 8.51 
R.
ถ้า xเป็นการกำหนดทั่วไปสำหรับองค์ประกอบของเซต อาแล้วพวกเขาก็เขียน 
. หากเป็นไปได้ที่จะเขียนการกำหนดองค์ประกอบทั้งหมดให้เขียน 
, 
เป็นต้น ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบเดียวเรียกว่าชุดว่างและแสดงด้วยสัญลักษณ์ ตัวอย่างเช่น เซตของราก (ของจริง) ของสมการ 
มีอันที่ว่างเปล่า
ชุดเรียกว่า สุดท้ายถ้ามันประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด อย่างไรก็ตาม ถ้าไม่ว่าจะถ่าย N อะไรก็ตาม ในชุด อามีองค์ประกอบมากกว่า N แล้ว อาเรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุดชุด: มีองค์ประกอบมากมายในนั้น
ถ้าทุกองค์ประกอบของเซต ^อาอยู่ในชุด บี, แล้ว 
เรียกว่า ส่วนหนึ่งหรือเซตย่อยของเซต บีและเขียน 
; อ่าน " อาบรรจุใน บี» ( 
มีเครื่องหมายรวมสำหรับชุด) ตัวอย่างเช่น, นู๋Zร.ถ้า 
,แล้วเราว่าชุด อาและ บีเท่ากับและเขียน 
. มิฉะนั้น เขียน 
. ตัวอย่างเช่น if 
, แ 
เซตของรากของสมการ 
, แล้ว .
เซตขององค์ประกอบของทั้งสองเซต อาและ บีเรียกว่า สมาคมกำหนดและเขียนแทน 
(บางครั้ง 
). เซตขององค์ประกอบที่เป็นของ and อาและ บี, ถูกเรียก จุดตัดกำหนดและเขียนแทน 
. เซตขององค์ประกอบทั้งหมดของเซต ^อาซึ่งไม่รวมอยู่ใน บี, ถูกเรียก ความแตกต่างกำหนดและเขียนแทน 
. แผนผัง การดำเนินการเหล่านี้สามารถอธิบายได้ดังนี้:
หากสามารถกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของเซตได้ พวกเขากล่าวว่าเซตเหล่านี้มีค่าเท่ากันและเขียน 
. ชุดใดก็ได้ อา, เทียบเท่ากับเซตของตัวเลขธรรมชาติ นู๋= เรียกว่า นับได้หรือ นับได้กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตเรียกว่า นับได้ ถ้าองค์ประกอบสามารถนับได้ วางไว้ในอนันต์ ลำดับต่อไป 
ซึ่งสมาชิกทั้งหมดมีความแตกต่างกัน: 
ที่ 
และสามารถเขียนได้เป็น . เซตอนันต์อื่นๆ เรียกว่า นับไม่ได้. นับได้ ยกเว้นเซตเอง ยังไม่มีข้อความจะมีตัวอย่างเช่นชุด 
, ซี.ปรากฎว่าเซตของจำนวนตรรกยะและพีชคณิตทั้งหมดสามารถนับได้ และเซตที่เท่ากันของจำนวนอตรรกยะ เหนือธรรมชาติ จริง และจุดของช่วงใดๆ นั้นนับไม่ได้ พวกเขากล่าวว่าอย่างหลังมีอำนาจของคอนตินิวอัม (อำนาจเป็นการสรุปแนวคิดของจำนวน (จำนวน) ขององค์ประกอบสำหรับเซตอนันต์)
2
. ให้มีสองข้อความ สองข้อเท็จจริง: และ 
. สัญลักษณ์ 
หมายถึง: "ถ้าจริงก็จริงและ" หรือ "ตาม", "หมายความว่ามีรากของสมการมีคุณสมบัติจากภาษาอังกฤษ มีอยู่- มีอยู่.
การบันทึก: 
, หรือ 
, หมายถึง: มี (อย่างน้อยหนึ่ง) วัตถุที่มีคุณสมบัติ 
. บันทึก 
, หรือ 
, หมายถึง: ทั้งหมดมีคุณสมบัติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถเขียน: 
และ .
แนวคิดของ "เซต" "องค์ประกอบ" "สมาชิกขององค์ประกอบในชุด" เป็นแนวคิดหลักของคณิตศาสตร์ พวงของ- คอลเลกชันใด ๆ (รวม) ของรายการใด ๆ .
A เป็นสับเซตของ Bถ้าแต่ละองค์ประกอบของเซต A เป็นองค์ประกอบของเซต B นั่นคือ AÌV Û (хОА u хОВ).
สองชุดเท่ากันหากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน เรากำลังพูดถึงความเท่าเทียมกันทางทฤษฎีเซต (เพื่อไม่ให้สับสนกับความเท่าเทียมกันระหว่างตัวเลข): A=B Û AÌB Ù BÌA.
ยูเนี่ยนของสองชุดประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของชุดอย่างน้อยหนึ่งชุด กล่าวคือ xOAÈV Û xOAÚ xOV.
จุดตัดประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดพร้อมกันที่เป็นของทั้งชุด A และชุด B: хОАЗВ Û хОА ยู хОВ.
ความแตกต่างประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของ A ที่ไม่ได้เป็นของ B นั่นคือ xO A\B Û xOA ÙxPB.
ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน C=A´B ของเซต A และ B คือเซตของคู่ทั้งหมดที่เป็นไปได้ ( x,y) โดยที่องค์ประกอบแรก Xแต่ละคู่เป็นของ A และองค์ประกอบที่สอง ที่เป็นของวี
เซตย่อย F ของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน A´B เรียกว่า การทำแผนที่จากชุด A ไปยังชุด B , หากตรงตามเงื่อนไข: (" XОА)($! คู่ ( x.y)ОF). ในเวลาเดียวกันพวกเขาเขียน: A.V.
คำว่า "การทำแผนที่" และ "ฟังก์ชัน" มีความหมายเหมือนกัน ถ้า ("хОА)($! уОВ): ( x,y) nF แล้วองค์ประกอบ ที่Î ที่เรียกว่า ทาง Xเมื่อแสดง F และเขียนดังนี้: ที่=F( X). องค์ประกอบ Xในเวลาเดียวกันคือ ต้นแบบ (หนึ่งในที่เป็นไปได้) องค์ประกอบ y
พิจารณา ชุดของจำนวนตรรกยะ Q - เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดและเซตของเศษส่วนทั้งหมด (บวกและลบ) จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นผลหารได้ ตัวอย่างเช่น 1 =4/3=8/6=12/9=…. มีการเป็นตัวแทนดังกล่าวมากมาย แต่มีเพียงรายการเดียวเท่านั้นที่ลดหย่อนไม่ได้ .
ที่ จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วน p/q ได้โดยไม่ซ้ำกัน โดยที่ pОZ, qОN, ตัวเลข p, q เป็น coprime
คุณสมบัติของเซต Q:
1. ปิดในส่วนที่เกี่ยวกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผลลัพธ์ของการบวก ลบ คูณ ยกกำลังธรรมชาติ การหาร (ยกเว้นการหารด้วย 0) ของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ: ; ; 
.
2. สั่งซื้อ: (" x, yโอเค x¹y)®( x
และ: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)เอ -b.
3. ความหนาแน่น. ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ x, yมีจำนวนตรรกยะที่สาม (เช่น ค= ):
("x, yโอเค x<y)($cOQ) : ( X
ในชุด Q คุณสามารถดำเนินการเลขคณิตได้ 4 แบบ แก้ระบบสมการเชิงเส้น แต่ใช้สมการกำลังสองของแบบฟอร์ม x 2 \u003d a, a N ไม่สามารถแก้ไขได้ในชุด Q
ทฤษฎีบท.ไม่มีตัวเลข хОQซึ่งมีกำลังสองคือ 2
g ปล่อยให้มีเศษส่วนดังกล่าว X=p/q โดยที่ตัวเลข p และ q เป็น coprime และ X 2=2. จากนั้น (p/q) 2 =2 เพราะฉะนั้น,
ด้านขวาของ (1) หารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น p 2 จึงเป็นเลขคู่ ดังนั้น p=2n (n-จำนวนเต็ม) แล้ว q ต้องเป็นเลขคี่
กลับไปที่ (1) เรามี 4n 2 =2q 2 ดังนั้น q 2 \u003d 2n 2 ในทำนองเดียวกัน เราต้องแน่ใจว่า q หารด้วย 2 ลงตัว นั่นคือ q เป็นจำนวนคู่ โดยความขัดแย้ง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว.n
การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะวางส่วนเดียวจากจุดกำเนิดของพิกัด 1, 2, 3 ... ครั้งทางด้านขวา เราจะได้จุดของเส้นพิกัดซึ่งสอดคล้องกับตัวเลขธรรมชาติ ในทำนองเดียวกันทางซ้าย เราได้คะแนนที่ตรงกับจำนวนเต็มลบ เอาละ 1/q(q= 2,3,4 … ) ส่วนหนึ่งของส่วนเดียวและเราจะเลื่อนออกไปทั้งสองด้านของต้นทาง Rครั้งหนึ่ง. เราได้คะแนนเป็นเส้นตรงที่สอดคล้องกับตัวเลขของแบบฟอร์ม ±p/q (pOZ, qON)ถ้า p, q วิ่งผ่านคู่ของจำนวน coprime ทั้งหมด จากนั้นบนเส้นนั้น เรามีจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับตัวเลขที่เป็นเศษส่วน ดังนั้น, ตามวิธีที่ยอมรับ จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนจะสัมพันธ์กับจุดเดียวของเส้นพิกัด
มีจำนวนตรรกยะเดียวสำหรับทุกจุดหรือไม่? บรรทัดเต็มไปด้วยจำนวนตรรกยะหรือไม่?
ปรากฎว่ามีจุดบนเส้นพิกัดที่ไม่ตรงกับจำนวนตรรกยะใดๆ เราสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วในส่วนเดียว จุด N ไม่ตรงกับจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก if เปิด=x- มีเหตุผล x 2 = 2 ซึ่งไม่สามารถ
มีหลายจุดที่คล้ายกับจุด N บนเส้นเป็นอนันต์ ใช้ส่วนที่มีเหตุผลของเซ็กเมนต์ x=เปิด,เหล่านั้น. X. หากเราเลื่อนไปทางขวา จะไม่มีจำนวนตรรกยะที่ตรงกับปลายแต่ละด้านของส่วนใดๆ เหล่านี้ สมมติว่าความยาวของส่วนแสดงด้วยจำนวนตรรกยะ x=, เราได้รับสิ่งนั้น x=- มีเหตุผล. สิ่งนี้ขัดแย้งกับสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์ข้างต้น
จำนวนตรรกยะไม่เพียงพอสำหรับแต่ละจุดของเส้นพิกัดที่จะเชื่อมโยงกับจำนวนตรรกยะบางตัว
มาสร้างกันเถอะ ชุดของจำนวนจริง R ผ่าน ทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุด
ตามอัลกอริธึมการหาร "มุม" จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาจำกัดหรืออนันต์ได้ เมื่อตัวส่วนของ p/q ไม่มีตัวหารเฉพาะอื่นนอกจาก 2 และ 5 นั่นคือ q=2 m ×5 k แล้วผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย p/q=a 0 ,a 1 a 2 …a n เศษส่วนอื่นๆ สามารถมีการขยายทศนิยมแบบอนันต์เท่านั้น
เมื่อทราบเศษส่วนทศนิยมแบบเป็นงวดแบบอนันต์ คุณจะพบจำนวนตรรกยะซึ่งแทนค่าของจำนวนนั้น แต่เศษส่วนทศนิยมจำกัดใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งดังต่อไปนี้
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
ตัวอย่างเช่น สำหรับทศนิยมอนันต์ X=0,(9) เรามี 10 X=9,(9). ถ้าเราลบจำนวนเดิมออกจาก 10x เราจะได้ 9 X=9 หรือ 1=1,(0)=0,(9)
การโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งถูกสร้างขึ้นระหว่างเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดและเซตของเศษส่วนทศนิยมแบบคาบไม่สิ้นสุดทั้งหมด หากเราระบุเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่มีตัวเลข 9 ในช่วงเวลาที่มีเศษส่วนทศนิยมไม่จำกัดที่มีตัวเลข 0 ใน ระยะเวลาตามกฎ (2).
ให้เราตกลงใช้เศษส่วนที่มีระยะอนันต์ที่ไม่มีเลข 9 อยู่ในคาบนั้น หากเศษส่วนทศนิยมที่มีจำนวนไม่สิ้นสุดที่มีเลข 9 ในช่วงเวลานั้นเกิดขึ้นในกระบวนการให้เหตุผล เราจะแทนที่ด้วยเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่มีศูนย์ในช่วงเวลานั้น กล่าวคือ แทน 1,999… เราจะเอา 2,000…
นิยามของจำนวนอตรรกยะนอกจากเศษส่วนที่เป็นงวดทศนิยมอนันต์แล้ว ยังมีเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นคาบอีกด้วย ตัวอย่างเช่น 0.1010010001… หรือ 27.1234567891011… (ตัวเลขธรรมชาติอยู่ตามจุดทศนิยม)
พิจารณาเศษส่วนทศนิยมอนันต์ของรูปแบบ ±a 0 , a 1 a 2 …a n … (3)
เศษส่วนนี้กำหนดโดยการระบุเครื่องหมาย “+” หรือ “–” จำนวนเต็มไม่เป็นลบ a 0 และลำดับของตำแหน่งทศนิยม a 1 ,a 2 ,…,a n ,… (ชุดของตำแหน่งทศนิยมประกอบด้วยตัวเลขสิบตัว : 0, 1, 2,…, เก้า).
เราเรียกเศษส่วนของแบบฟอร์ม (3) จำนวนจริง (ของจริง)หากมีเครื่องหมาย “+” ก่อนเศษ (3) มักจะละไว้และเขียนเป็น 0, a 1 a 2 ... a n ... (4)
ตัวเลขของแบบฟอร์ม (4) จะถูกเรียก จำนวนจริงไม่เป็นลบและในกรณีที่อย่างน้อยหนึ่งตัวเลข a 0 , a 1 , 2 , …, a n แตกต่างจากศูนย์, – จำนวนจริงบวก. หากในนิพจน์ (3) ใช้เครื่องหมาย "-" แสดงว่าเป็นจำนวนลบ
การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะประกอบเป็นเซตของจำนวนจริง (QÈJ=R) หากเศษส่วนทศนิยมอนันต์ (3) เป็นคาบ นี่ก็คือจำนวนตรรกยะ เมื่อเศษส่วนไม่เป็นคาบ จะเป็นจำนวนอตรรกยะ
จำนวนจริงไม่เป็นลบสองตัว a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n ….เรียกว่า เท่ากับ(พวกเขาเขียน a=b), ถ้า น = ข นที่ n=0,1,2… จำนวน a น้อยกว่าจำนวน b(พวกเขาเขียน เอ<ข), ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่ง 0 หรือ 0 = ข 0และมีเลข เมตรอะไร a k =b k (k=0,1,2,…m-1),เอ เป็น , เช่น. เอ Û (0 Ú ($mON: a k =b k (k= ), a m ). คำว่า " เอ>ข».
เพื่อเปรียบเทียบจำนวนจริงตามอำเภอใจ เราแนะนำแนวคิด " โมดูลัสของ a» . โมดูลัสของจำนวนจริง a \u003d ± a 0, a 1 a 2 ... a n ...เรียกว่าจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบซึ่งแสดงด้วยเศษส่วนทศนิยมอนันต์เดียวกัน แต่ใช้เครื่องหมาย "+" เช่น ½ เอ½= 0 , 1 เป็ 2 …ก …และ½ เอ½³0. ถ้า ก -ไม่เป็นลบ, ขเป็นจำนวนลบ ดังนั้น a>b. หากตัวเลขทั้งสองเป็นค่าลบ ( เอ<0, b<0 ) จากนั้นเราถือว่า: 1) a=b, ถ้า ½ เอ½ = ½ ข½; 2) เอ , ถ้า ½ เอ½ > ½ ข½.
คุณสมบัติของเซต R:
ฉัน. สั่งซื้อคุณสมบัติ:
1. สำหรับจำนวนจริงทุกคู่ เอและ ขมีความสัมพันธ์หนึ่งเดียวเท่านั้น: a=b, a
2. ถ้า เอ
3. ถ้า เอ แล้วมีตัวเลข c เช่นนั้น เอ< с .
ครั้งที่สอง คุณสมบัติของการดำเนินการบวกและลบ:
4. a+b=b+a(การสับเปลี่ยน).
5. (a+b)+c=a+(b+c) (ความเชื่อมโยง).
6. เอ+0=ก.
7. a+(-a)= 0.
8. ออก เอ Þ a+c
สาม. คุณสมบัติของการดำเนินการคูณและหาร:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c).
11. ก×1=ก.
12. a×(1/a)=1 (a¹0).
13. (a + b) × c \u003d ac + bc(การกระจาย).
14. ถ้า เอ และ c>0 แล้ว a×s
IV. ทรัพย์สินอาร์คิมีดีน("cOR)($nON) : (n>c).
ไม่ว่าจำนวน сOR จะมี nON ซึ่ง n>c.
วี คุณสมบัติความต่อเนื่องของจำนวนจริงให้ชุดที่ไม่ว่างสองชุด AÌR และ BÌR เป็นชุดที่องค์ประกอบใด ๆ เอОА จะไม่มีอีกต่อไป ( เอ£ ข) ขององค์ประกอบใด ๆ bnB แล้ว หลักการต่อเนื่องของ Dedekindยืนยันการมีอยู่ของตัวเลข c เพื่อให้ทุกคน เอОА และ bОB เงื่อนไข เอ£c£ ข:
(" AÌR, BÌR):(" เอ OA, bOB ® เอ£b)($cOR): (" เอÎA, bÎB® เอ£c£b).
เราจะระบุเซต R ด้วยเซตของคะแนนของเส้นจริง และเรียกคะแนนจำนวนจริง
จำนวนจริงทางเรขาคณิต เช่น จำนวนตรรกยะ จะแสดงด้วยจุดบนเส้นตรง
ปล่อยให้เป็น l - เส้นตรงตามอำเภอใจและ O - บางจุด (รูปที่ 58) ทุกจำนวนจริงบวก α ใส่จดหมายจุด A นอนทางด้านขวาของ O ที่ระยะห่างของ α หน่วยของความยาว
ถ้า ตัวอย่างเช่น α = 2.1356... แล้ว
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
เป็นต้น เป็นที่ชัดเจนว่าจุด A ในกรณีนี้ต้องอยู่บนเส้น l ทางด้านขวาของจุดที่ตรงกับตัวเลข
2; 2,1; 2,13; ... ,
แต่ทางด้านซ้ายของจุดที่ตรงกับตัวเลข
3; 2,2; 2,14; ... .
สามารถแสดงว่าเงื่อนไขเหล่านี้กำหนดในบรรทัด l จุดเดียว A ซึ่งเราถือว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริง α = 2,1356... .
ในทำนองเดียวกัน ทุกจำนวนจริงติดลบ β วางจุด B ไว้ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะห่าง | β | หน่วยของความยาว สุดท้ายเรากำหนดจุด O ให้กับตัวเลข "ศูนย์"
ดังนั้นหมายเลข 1 จะแสดงเป็นเส้นตรง l จุด A ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของ O ที่ระยะทางหนึ่งหน่วยของความยาว (รูปที่ 59) หมายเลข - √2 - จุด B ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะทาง √2 หน่วยของความยาว ฯลฯ
เรามาแสดงวิธีการเป็นเส้นตรงกันดีกว่า l โดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง เราสามารถค้นหาจุดที่ตรงกับจำนวนจริง √2, √3, √4, √5 เป็นต้น ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราจะแสดงวิธีสร้างส่วนที่มีความยาวแสดงด้วยตัวเลขเหล่านี้ ให้ AB เป็นส่วนที่ใช้เป็นหน่วยความยาว (รูปที่ 60)
ที่จุด A เราคืนค่าฉากตั้งฉากกับส่วนนี้และแยกส่วน AC ไว้บนนั้น เท่ากับส่วน AB จากนั้นนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เราจะได้ BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2
ดังนั้นเซ็กเมนต์ BC จึงมีความยาว √2 ตอนนี้ ให้เราคืนค่าฉากตั้งฉากกับส่วน BC ที่จุด C และเลือกจุด D บนจุดนั้น เพื่อให้ซีดีส่วนนั้นเท่ากับความยาวหน่วย AB จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD เราพบว่า:
ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3
ดังนั้นเซ็กเมนต์ BD จึงมีความยาว √3 ดำเนินการตามกระบวนการที่อธิบายไว้ต่อไป เราจะได้ส่วน BE, BF, ... ซึ่งความยาวแสดงด้วยตัวเลข √4, √5 ฯลฯ
ตอนนี้อยู่ในสาย l มันง่ายที่จะหาจุดที่ทำหน้าที่เป็นทางเรขาคณิตของตัวเลข √2, √3, √4, √5 ฯลฯ
ตัวอย่างเช่น การวางส่วน BC ทางด้านขวาของจุด O (รูปที่ 61) เราจะได้จุด C ซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของตัวเลข √2 ในทำนองเดียวกัน การวางส่วน BD ไว้ทางด้านขวาของจุด O เราจะได้จุด D" ซึ่งเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข √3 เป็นต้น
อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัดบนเส้นจำนวน l เราสามารถหาจุดที่ตรงกับจำนวนจริงใดๆ ที่ระบุได้ ได้รับการพิสูจน์แล้ว ตัวอย่างเช่น มีเพียงเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างส่วนที่มีความยาวแสดงด้วยตัวเลข π = 3.14 .... . บนเส้นจำนวน l การใช้โครงสร้างดังกล่าวทำให้ไม่สามารถระบุจุดที่สอดคล้องกับตัวเลขนี้ได้ อย่างไรก็ตาม ประเด็นดังกล่าวยังคงมีอยู่
ดังนั้นสำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน α เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงจุดที่กำหนดไว้อย่างดีของเส้น l . จุดนี้จะถูกแยกออกจากจุดเริ่มต้น O ที่ระยะทาง | α | หน่วยของความยาวและอยู่ทางขวาของ O if α > 0 และทางซ้ายของ O if α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . แท้จริงแล้วให้ตัวเลข α ตรงกับจุด A และตัวเลข β - จุด B. ถ้า α > β จากนั้น A จะอยู่ทางด้านขวาของ B (รูปที่ 62, a); ถ้า α < β จากนั้น A จะนอนทางด้านซ้ายของ B (รูปที่ 62, b)
เมื่อเราพูดถึง § 37 เกี่ยวกับการแทนค่าทางเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ เราตั้งคำถามว่า จุดใดๆ ของเส้นตรงสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางจุดได้หรือไม่ มีเหตุผลตัวเลข? ในเวลานั้นเราไม่สามารถให้คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้ ตอนนี้เราสามารถตอบได้ค่อนข้างแน่นอน มีจุดบนเส้นที่ใช้เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของจำนวนอตรรกยะ (เช่น √2) ดังนั้น ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นตรงที่แสดงถึงจำนวนตรรกยะ แต่ในกรณีนี้ มีคำถามอีกประการหนึ่งว่า จุดใดๆ ของเส้นจริงสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางส่วนได้หรือไม่ ถูกต้องตัวเลข? ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้วในเชิงบวก
อันที่จริงให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเส้น l , นอนทางด้านขวาของ O (รูปที่ 63).
ความยาวของเซกเมนต์ OA แสดงด้วยจำนวนจริงบวกจำนวนหนึ่ง α (ดู§ 41) ดังนั้นจุด A จึงเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข α . ในทำนองเดียวกัน เป็นที่ยอมรับว่าแต่ละจุด B ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ O ถือได้ว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริงเชิงลบ - β , ที่ไหน β - ความยาวของเซ็กเมนต์ VO สุดท้าย จุด O ทำหน้าที่เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของจำนวนศูนย์ เป็นที่ชัดเจนว่าจุดสองจุดที่แตกต่างกันของเส้น l ไม่สามารถเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริงเดียวกันได้
ด้วยเหตุผลที่กล่าวข้างต้น จะเรียกเส้นตรงซึ่งบางจุด O ถูกระบุว่าเป็นจุด "เริ่มต้น" (สำหรับหน่วยความยาวที่กำหนด) เส้นจำนวน.
บทสรุป. เซตของจำนวนจริงทั้งหมดและเซตของจุดทั้งหมดของเส้นจริงอยู่ในการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
ซึ่งหมายความว่าจำนวนจริงแต่ละจำนวนจะสัมพันธ์กับจุดหนึ่งจุดที่กำหนดไว้อย่างดีของเส้นจำนวน และในทางกลับกัน กับจุดแต่ละจุดของเส้นจำนวนที่มีความสอดคล้องกัน จะมีจำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดีหนึ่งจำนวน
การแสดงทางเรขาคณิตที่แสดงออกของระบบจำนวนตรรกยะสามารถหาได้ดังนี้
บนเส้นตรงบางเส้น "แกนตัวเลข" เราทำเครื่องหมายส่วนจาก O ถึง 1 (รูปที่ 8) ซึ่งจะกำหนดความยาวของส่วนของหน่วย ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว สามารถเลือกได้ตามต้องการ จำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะแสดงเป็นชุดของจุดที่เว้นระยะเท่ากันบนแกนตัวเลข ซึ่งเป็นจำนวนบวกที่ทำเครื่องหมายไว้ทางด้านขวา และจำนวนลบทางด้านซ้ายของจุด 0 เพื่อแสดงถึงตัวเลขที่มีตัวส่วน n เรา แบ่งแต่ละส่วนของความยาวหน่วยที่ได้รับออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน คะแนนหารจะแสดงเศษส่วนที่มีตัวส่วน n หากเราทำสิ่งนี้สำหรับค่าของ n ที่สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนตรรกยะแต่ละจุดจะถูกวาดโดยบางจุดบนแกนตัวเลข เราจะตกลงเรียกประเด็นเหล่านี้ว่า "มีเหตุผล" โดยทั่วไป คำว่า "จำนวนตรรกยะ" และ "จุดตรรกยะ" จะถูกใช้เป็นคำพ้องความหมาย
ในบทที่ 1 § 1 ความสัมพันธ์อสมการ A ถูกกำหนดไว้สำหรับคู่ของจุดตรรกยะใดๆ เป็นเรื่องปกติที่จะพยายามสรุปความสัมพันธ์อสมการเลขคณิตในลักษณะที่จะคงลำดับทางเรขาคณิตนี้ไว้สำหรับจุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เป็นไปได้ถ้าเรายอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้: เราบอกว่าจำนวนตรรกยะA เล็กกว่ากว่าจำนวนตรรกยะ B (A มากกว่าจำนวน A (B>A) ถ้าผลต่าง BA เป็นบวก ต่อจากนี้ (สำหรับ A ระหว่าง A และ B คือส่วนที่เป็นทั้ง > A และส่วน (หรือ เซ็กเมนต์) และแสดงโดย [A, B] (และชุดของจุดกลางเท่านั้น - ช่วงเวลา(หรือ ช่องว่าง) แทนด้วย (A, B)).
ระยะทางของจุดใดก็ได้ A จากจุดกำเนิด 0 ถือเป็นจำนวนบวก เรียกว่า ค่าสัมบูรณ์และแสดงด้วยสัญลักษณ์
แนวคิดของ "ค่าสัมบูรณ์" ถูกกำหนดดังนี้: ถ้า A≥0 แล้ว |A| = เอ; ถ้า A
|A + B|≤|A| + |B|,
ซึ่งเป็นจริงโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย A และ B
ข้อเท็จจริงของความสำคัญพื้นฐานแสดงโดยข้อเสนอต่อไปนี้ จุดตรรกยะมีอยู่ทุกหนทุกแห่งบนเส้นจำนวน ความหมายของข้อความนี้คือภายในช่วงใด ๆ ไม่ว่าจะเล็กแค่ไหน ก็มีจุดที่มีเหตุผล ในการตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งที่ระบุ ก็เพียงพอที่จะใช้ตัวเลข n มากจนช่วงเวลาจะน้อยกว่าช่วงเวลาที่กำหนด (A, B); จุดชมวิวอย่างน้อยหนึ่งจุดจะอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนด ดังนั้นจึงไม่มีช่วงดังกล่าวบนเส้นจำนวน (แม้จะน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้) ซึ่งภายในนั้นจะไม่มีจุดที่เป็นเหตุเป็นผล นี่แสดงถึงผลสืบเนื่องเพิ่มเติม: ทุกช่วงเวลามีชุดจุดตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด แท้จริงแล้ว หากช่วงใดช่วงหนึ่งมีจุดตรรกยะจำนวนจำกัด ก็จะไม่มีจุดตรรกยะภายในช่วงที่เกิดจากจุดดังกล่าวสองจุดที่อยู่ใกล้เคียงกันอีกต่อไป และสิ่งนี้ขัดแย้งกับสิ่งที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตั๋ว 1
มีเหตุผลตัวเลขคือตัวเลขที่เขียนเป็น p/q โดยที่ q เป็นธรรมชาติ number และ p เป็นจำนวนเต็ม
ตัวเลขสองตัว a=p1/q1 และ b=p2/q2 เรียกว่าเท่ากัน ถ้า p1q2=p2q1 และ p2q1 และ a>b ถ้า p1q2
ตั๋ว 2
ตัวเลขที่ซับซ้อนตัวเลขที่ซับซ้อน
สมการพีชคณิตคือสมการของรูปแบบ: P n ( x) = 0 โดยที่ P n ( x) - พหุนาม น- โอ้ องศา ตัวเลขจริงสองสามตัว xและ ที่จะถูกเรียกว่าเป็นคำสั่งหากมีการระบุว่าอันไหนเป็นอันแรกอันไหนอันที่สอง สัญกรณ์คู่ที่สั่งซื้อ: ( x, y). จำนวนเชิงซ้อนคือคู่ของจำนวนจริงที่มีลำดับตามอำเภอใจ z = (x, y)-จำนวนเชิงซ้อน.
x- ส่วนจริง z, y- ส่วนจินตภาพ z. ถ้า x= 0 และ y= 0 แล้วก็ z= 0. พิจารณา z 1 = (x 1 , y 1) และ z 2 = (x 2 , y 2)
คำจำกัดความ 1 z 1 \u003d z 2 ถ้า x 1 \u003d x 2 และ y 1 \u003d y 2
แนวคิด > และ< для комплексных чисел не вводятся.
การแทนค่าทางเรขาคณิตและรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
ม( x, y) « z = x + ฉัน.
½ OM½ = r =½ z½ = .(รูปภาพ)
r เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z.
j เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z. ถูกกำหนดได้ถึง± 2p น.
X= rcosj , y= รศ.
z= x+ ฉัน= r(cosj + ฉัน sinj) เป็นรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
คำชี้แจง 3
= (เพราะ + ฉันบาป),
= (เพราะ + ฉันบาป ) แล้ว
= (คอส( + ) + ฉันบาป ( + )),
= (cos(-)+ ฉันบาป ( - )) ที่ ¹0
คำชี้แจง 4
ถ้า z=r (cosj + ฉัน sinj) แล้ว " โดยธรรมชาติ น:
= (cos nj + ฉันบาป nj),
ตั๋ว 3
ปล่อยให้เป็น X-ชุดตัวเลขที่มีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัว (ชุดที่ไม่ว่าง)
xÎ X- xบรรจุใน X. ; xÏ X- xไม่เป็น X.
คำนิยาม: พวงของ Xเรียกว่า ขอบเขตจากเบื้องบน (จากด้านล่าง) หากมีหมายเลข เอ็ม(ม) เช่นนั้นเพื่อสิ่งใด x Î Xความไม่เท่าเทียมกัน x £ เอ็ม (x ³ ม) ในขณะที่ตัวเลข เอ็มเรียกว่าขอบบน (ล่าง) ของเซต X. พวงของ Xเรียกว่า bound จากด้านบน ถ้า $ เอ็ม, " x Î X: x £ เอ็ม. คำนิยามตั้งไม่มีขอบเขตจากด้านบน พวงของ Xเรียกว่า unbounded จากด้านบน ถ้า " เอ็ม $ x Î X: x> M Definitionพวงของ Xเรียกว่า bounded ถ้า bound ด้านบนและด้านล่าง เช่น $ เอ็ม, มดังนั้น " x Î X: ม £ x £ ม.คำจำกัดความเทียบเท่าชุดจำกัด: Set Xเรียกว่า bound ถ้า $ อา > 0, " x Î X: ½ x½£ อา. คำจำกัดความ: ขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของเซตที่ล้อมรอบด้านบน Xเรียกว่าขอบเขตบนที่น้อยที่สุด และแสดงเป็น สุ X
(สูงสุด). = ศุภ X. ในทำนองเดียวกันเราสามารถกำหนดที่แน่นอนได้
ขอบล่าง. เทียบเท่า คำนิยามขอบบนที่แน่นอน:
เรียกว่าขอบเขตบนสุดของเซต X, ถ้า: 1) " x Î X: X£ (เงื่อนไขนี้แสดงว่าเป็นหนึ่งในขอบเขตบน) 2) " < $ x Î X: X> (เงื่อนไขนี้แสดงว่า -
ขอบบนที่เล็กที่สุด)
จีบ X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) เป็น infimum น้อยที่สุด ให้เราตั้งคำถามว่า ทุกฉากที่มีขอบเขตมีใบหน้าที่แน่นอนหรือไม่?
ตัวอย่าง: X= {x: x>0) ไม่มีจำนวนที่น้อยที่สุด
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของใบหน้าบน (ล่าง) ที่แน่นอน. ชุดขอบเขตบน (ล่าง) ที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ xOR มีขอบเขตจุดบน (ล่าง)
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความแยกได้ของพหูพจน์ตัวเลข:▀▀▄
ตั๋ว 4
หากแต่ละหมายเลข n (n = 1,2,3 .. ) ถูกกำหนดให้กับหมายเลข Xn พวกเขาบอกว่ามันถูกกำหนดและให้ ลำดับต่อไป x1, x2 … เขียน (Xn), (Xn) ตัวอย่าง: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,… จากด้านบน (จากด้านล่าง) หากจำนวนจุด x=x1,x2,…xn ที่วางอยู่บนแกนจริงถูกจำกัดจากด้านบน (จากด้านล่าง) i. $C:Xn£C" ขีด จำกัด ล่าสุด:หมายเลข a เรียกว่าขีด จำกัด ของค่าสุดท้ายหากมี ε>0 $ : N (N=N/(ε)) "n>N ความไม่เท่าเทียมกัน |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
ที่ n > น.
เอกลักษณ์ของลิมิตลำดับขอบเขตและบรรจบกัน
คุณสมบัติ 1: ลำดับการบรรจบกันมีขีด จำกัด เดียวเท่านั้น
พิสูจน์: โดยขัดแย้งให้ เอและ ขลิมิตของลำดับการบรรจบกัน (x n ) โดยที่ a ไม่เท่ากับ b พิจารณาลำดับที่น้อยที่สุด (α n )=(x n -a) และ (β n )=(x n -b) เพราะ องค์ประกอบทั้งหมดของ b.m. ลำดับ (α n -β n ) มีค่าเท่ากัน b-a จากนั้นตามคุณสมบัติ b.m ลำดับ b-a=0 เช่น b=a และเรามาถึงความขัดแย้ง
คุณสมบัติ 2: ลำดับการบรรจบกันมีขอบเขต
พิสูจน์: ให้ a เป็นขีดจำกัดของลำดับการบรรจบกัน (x n ) จากนั้น α n =x n -a เป็นองค์ประกอบของ b.m ลำดับ ใช้ ε>0 ใดๆ แล้วใช้เพื่อค้นหา N ε: / x n -a/< ε при n>นุ้ย . แทนด้วย b ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε . เห็นได้ชัดว่า / x n /
หมายเหตุ: ลำดับที่มีขอบเขตอาจจะหรืออาจจะไม่บรรจบกันก็ได้
ตั๋ว 6
ลำดับ a n เรียกว่า infinitesimal ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดของลำดับหลังนี้คือ 0
a n คือ Û lim(n ® + ¥)a n =0 เล็กน้อย คือ สำหรับ ε>0 ใดๆ จะมี N เช่นนั้น |a n |<ε
ทฤษฎีบท.ผลรวมของจำนวนน้อยที่สุดคือจำนวนน้อยที่สุด
a n b n ®เล็กอย่างไม่สิ้นสุด Þ a n +b n มีขนาดเล็กอย่างไม่สิ้นสุด
การพิสูจน์.
a n - น้อย Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 z |a n |<ε
b n - น้อย Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 z |b n |<ε
ให้เราตั้งค่า N=max(N 1 ,N 2 ) จากนั้นสำหรับ n>N z ใดๆ ที่อสมการทั้งสองจะคงอยู่พร้อมกัน:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>นู๋
ตั้งค่า "ε 1 >0, ตั้ง ε=ε 1 /2 จากนั้นสำหรับ ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
คือ a n +b n - เล็กไม่สิ้นสุด
ทฤษฎีบทผลคูณของจำนวนน้อยที่สุดนั้นน้อยมาก
a n ,b n มีขนาดเล็กมาก Þ a n b n มีขนาดเล็กมาก
การพิสูจน์:
ตั้งค่า "ε 1 >0, set ε=Öε 1 , เนื่องจาก a n และ b n นั้นเล็กมากสำหรับ ε>0 นี้ ดังนั้นจึงมี N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
ลองใช้ N=max (N 1 ;N 2 ) จากนั้น "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n นั้นน้อยมาก ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์
ทฤษฎีบทผลคูณของลำดับที่มีขอบเขตและลำดับที่น้อยที่สุดคือลำดับที่น้อยที่สุด
และ n เป็นลำดับที่มีขอบเขต
n คือลำดับที่น้อยที่สุด Þ a n a n คือลำดับที่น้อยที่สุด
หลักฐาน: เนื่องจาก а n มีขอบเขต Û $С>0: "nн นู๋ z |a n |£C
เราตั้งค่า "ε 1 >0; เราตั้งค่า ε=ε 1 /C; เนื่องจาก n มีค่าน้อยมาก ดังนั้น ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n เป็นจำนวนน้อยที่สุด ลำดับนี้เรียกว่า BBP(ลำดับ) ถ้าเขียน . เห็นได้ชัดว่า BBP ไม่ได้จำกัดอยู่ ข้อความสนทนาโดยทั่วไปไม่เป็นความจริง (ตัวอย่าง) ถ้าขนาดใหญ่ นสมาชิกแล้วเขียนว่า ทันที . ความหมายของสัญกรณ์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ลำดับที่ใหญ่ไม่สิ้นสุด n = 2 n ;
b n \u003d (-1) n 2 n ; c n \u003d -2 n คำนิยาม(ลำดับขนาดใหญ่อนันต์) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥ if "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε โดยที่ ε มีขนาดเล็กตามอำเภอใจ 2) lim(n ® ¥)a n =-¥ if "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε ตั๋ว 7 ทฤษฎีบท “ในโมโนโทนบรรจบกัน ล่าสุด" ลำดับเสียงเดียวใดๆ มาบรรจบกัน นั่นคือ มีข้อ จำกัด หมออินปล่อยให้เสียงเดียวสุดท้าย (xn) ขึ้นไป และจำกัดจากด้านบน X - เซตของตัวเลขทั้งหมดที่ใช้ค่า el-t ของค่านี้ตามข้อตกลง ทฤษฎีบทมีข้อ จำกัด มากมาย ดังนั้นตาม acc. ทฤษฎีบท มันมียอดที่แน่นอนแน่นอน ใบหน้า supX xn®supX (เราแสดงว่า supX คูณ x*) เพราะ x* ด้านบนตรง edge จากนั้น xn£x* " n. " e >0 vyp-sya $ xm (ให้ m เป็น n พร้อมฝา): xm>x*-e ด้วย " n>m => จาก 2 อสมการที่ระบุ เราได้รับ อสมการที่สอง x*-e£xn£x*+e สำหรับ n>m เทียบเท่ากับ 1xn-x*1 ตั๋ว 8 เลขชี้กำลังหรือตัวเลข e หมายเลขขอบ R สุดท้ายด้วยคำทั่วไป xn=(1+1/n)^n (ยกกำลังของ n)(1) ปรากฎว่าลำดับ (1) เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ มีขอบเขตจากด้านบนและค่อนข้างมาบรรจบกัน ขีด จำกัด ของโพสต์นี้เรียกว่าเลขชี้กำลังและแสดงด้วยสัญลักษณ์ e "2.7128 ... หมายเลข e ตั๋ว 9 หลักการของส่วนที่ซ้อนกัน ให้ลำดับของเซ็กเมนต์ ,,…,,… บนเส้นจำนวน นอกจากนี้ เซ็กเมนต์เหล่านี้ตอบสนอง sl เงื่อนไข: 1) ผู้สืบทอดแต่ละคนจะซ้อนอยู่ในรายการก่อนหน้าเช่น Ì, "n=1,2,…; 2) ความยาวของเซ็กเมนต์ ®0 เมื่อเพิ่ม n นั่นคือ lim(n®¥)(bn-an)=0. ลำดับกับวิสุทธิชนที่ระบุเรียกว่าซ้อนกัน ทฤษฎีบทลำดับของส่วนที่ซ้อนกันใดๆ มี m-ku เดียวที่เป็นของทุกส่วนของลำดับในเวลาเดียวกัน โดยมีจุดร่วมของทุกส่วนที่มีการหดตัว หมออิน(ก)-ลำดับของปลายด้านซ้ายของส่วน yavl ซ้ำซากไม่ลดลงและ จำกัด จากด้านบนด้วยหมายเลข b1 (bn)-ลำดับของปลายด้านขวาจะไม่เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ดังนั้นลำดับเหล่านี้จึงเป็น yavl มาบรรจบกัน กล่าวคือ หมายเลขนาม с1=lim(n®¥)an และ с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - ค่าทั่วไป อันที่จริง มันมีขีดจำกัด lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) เนื่องจากเงื่อนไข 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=c2-c1=> c1=c2=c เป็นที่ชัดเจนว่า m. c เป็นเรื่องธรรมดาในทุกกลุ่มตั้งแต่ "n an£c£bn. ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่าเป็นหนึ่ง สมมติว่า $ เป็นอีก c' ที่ส่วนทั้งหมดถูกทำสัญญา หากเราใช้ส่วนที่ไม่ตัดกัน c และ c' ดังนั้น ด้านหนึ่ง "หาง" ทั้งหมดของส่วนสุดท้าย (a) (bn) จะต้องอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของ c'' (เพราะ a และ bn มาบรรจบกัน c และ c' ในเวลาเดียวกัน) doc-et t-mu. ความขัดแย้ง ตั๋ว 10 ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราส
จากขีด จำกัด ใด ๆ สุดท้าย คุณสามารถเลือกชุมนุมได้ รอง 1. เนื่องจากสุดท้ายมีขอบเขต จากนั้น $ m และ M เช่นนั้น " m £ xn £ M, " n D1= - ส่วนที่ m-ki ทั้งหมดของการโกหกครั้งสุดท้าย มาแบ่งครึ่งกันเถอะ อย่างน้อยในครึ่งหนึ่งจะมีจำนวนนับไม่ถ้วน D2 คือครึ่งหนึ่งที่จำนวน m-to-last อยู่เป็นอนันต์ เราแบ่งครึ่ง อย่างน้อยก็ในครึ่งซีก D2 nah-Xia เป็นจำนวนอนันต์จนถึงที่สุด ครึ่งนี้คือ D3 เราแบ่งส่วน D3 ... เป็นต้น เราได้รับลำดับของส่วนที่ซ้อนกัน ซึ่งความยาวมักจะเป็น 0 ตาม m-me เกี่ยวกับส่วนที่ซ้อนกัน $ unity t-ka C, แมว เป็นเจ้าของ ทุกส่วน D1 บาง t-ku Dn1 ในส่วน D2 ฉันเลือก m-ku xn2 ดังนั้น n2>n1 ในส่วน D3 … เป็นต้น เป็นผลให้เรากิน xnkÎDk สุดท้าย ตั๋ว 11 ตั๋ว 12 พื้นฐาน โดยสรุป ให้พิจารณาคำถามเกี่ยวกับเกณฑ์การบรรจบกันของลำดับตัวเลข ให้เช่น: เราได้รับข้อความต่อไปนี้: ถ้าลำดับมาบรรจบกัน จะได้เงื่อนไข Cauchy: ลำดับตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข Cauchy เรียกว่า พื้นฐาน. มันสามารถพิสูจน์ได้ว่าการสนทนานั้นเป็นความจริงเช่นกัน ดังนั้นเราจึงมีเกณฑ์ (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) สำหรับการบรรจบกันของลำดับ เกณฑ์ Cauchy เพื่อให้ลำดับมีขีดจำกัด จำเป็นและเพียงพอที่ลำดับนั้นจะเป็นพื้นฐาน ความหมายที่สองของเกณฑ์ Cauchyสมาชิกลำดับและที่ไหน นและ มกำลังใกล้เข้ามาอย่างไม่สิ้นสุดที่ ตั๋ว 13 ข้อ จำกัด ด้านเดียว คำจำกัดความ 13.11.ตัวเลข แต่เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน y = ฉ(x) ที่ Xมุ่งมั่นเพื่อ x 0ซ้าย (ขวา) ถ้าอย่างนั้น | f(x)-A|<ε при x 0 - x< δ
(x - x 0< δ
). การกำหนด: ทฤษฎีบท 13.1 (คำจำกัดความที่สองของขีด จำกัด )การทำงาน y=f(x)มีที่ เอ็กซ์,ทะเยอทะยาน X 0 , จำกัด เท่ากับ แต่ถ้าหากว่าทั้งสองขีดจำกัดด้านเดียว ณ จุดนี้มีอยู่และเท่ากัน แต่. การพิสูจน์. 1) ถ้า แล้ว และ สำหรับ x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - อา|<ε, то есть 1) ถ้า แล้วมี δ 1: | f(x) - อา| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - อา| < ε при x - x 0<
δ2. เลือกจากตัวเลข δ 1 และ δ 2 ที่เล็กกว่าและนำมาเป็น δ เราได้สิ่งนั้นสำหรับ | x-x0| < δ |f(x) - อา| < ε, то есть . Теорема доказана. ความคิดเห็น เนื่องจากความเท่าเทียมกันของข้อกำหนดที่มีอยู่ในคำจำกัดความของขีดจำกัด 13.7 และเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่และความเท่าเทียมกันของขีดจำกัดด้านเดียวได้รับการพิสูจน์แล้ว เงื่อนไขนี้จึงถือได้ว่าเป็นคำจำกัดความที่สองของขีดจำกัด คำจำกัดความ 4 (ตาม Heine) ตัวเลข แต่เรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชันถ้า BBP ของค่าอาร์กิวเมนต์ใด ๆ ลำดับของค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกันมาบรรจบกันเป็น แต่. คำจำกัดความ 4 (ตาม Cauchy) ตัวเลข แต่เรียกว่าถ้า. ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าคำจำกัดความเหล่านี้เทียบเท่ากัน ตั๋ว 14 และ 15 ฟังก์ชันจำกัดคุณสมบัติที่จุด 1) หากขีด จำกัด มีอยู่ใน t-ke แสดงว่าไม่ซ้ำกัน 2) ถ้าในวงจร x0 ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> จากนั้นใน t-ke $ นี้คือขีดจำกัดของผลรวม ความแตกต่าง ผลิตภัณฑ์ และผลหาร การแยก 2 ฟังก์ชันนี้ ก) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B ค) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B ง) ลิม(x®x0)C=C จ) lim(x®x0)C*f(x)=C*A ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า ( ตอบกลับ A ) ดังนั้น $ คือย่านที่ความไม่เท่าเทียมกัน >B(ตอบกลับ การตั้งค่าในทฤษฎีบท 3 B=0, เราได้รับ: if ( ตอบกลับ) จากนั้น $ ทุกจุดซึ่งจะเป็น >0 (ตอบกลับ<0),
เหล่านั้น. ฟังก์ชันยังคงเครื่องหมายของขีด จำกัด ไว้ ทฤษฎีบท 4(เมื่อผ่านถึงขีด จำกัด ในความไม่เท่าเทียมกัน) ถ้าในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด (ยกเว้นบางทีสำหรับจุดนี้เอง) เงื่อนไขเป็นที่พอใจและฟังก์ชันเหล่านี้มีข้อ จำกัด ที่จุดนั้น ในภาษาและ มาแนะนำฟังก์ชั่นกัน เป็นที่ชัดเจนว่าในย่านต. จากนั้น โดยทฤษฎีบทการอนุรักษ์ฟังก์ชัน เรามีค่าของลิมิตของมัน แต่ ทฤษฎีบทที่ 5(บนขีด จำกัด ของฟังก์ชันระดับกลาง) (1) ถ้า ตั๋ว 16 คำจำกัดความ 14.1การทำงาน y=α(x) เรียกว่า infinitesimal at x→x 0ถ้า คุณสมบัติของอนันต์ 1. ผลรวมของอนันต์ทั้งสองมีค่าน้อยมาก การพิสูจน์. ถ้า α(x) และ β(x) น้อยมากที่ x→x 0แล้วมี δ 1 และ δ 2 เช่นนั้น | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x .))|<ε, то есть |(α(x)+β(x .)))-0|<ε. Следовательно, ความคิดเห็น มันตามมาว่าผลรวมของจำนวนจำกัดใดๆ ที่มีจำนวนจำกัดนั้นมีค่าน้อยมาก 2. ถ้า α( X) มีขนาดเล็กไม่สิ้นสุดที่ x→x 0, แ ฉ(x) เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตอยู่ในละแวกใกล้เคียง x 0, แล้ว α(x)f(x .)) มีขนาดเล็กไม่สิ้นสุดที่ x→x 0. การพิสูจน์. เลือกหมายเลข เอ็มอย่างนั้น | f(x)| ข้อพิสูจน์ 1. ผลคูณของจำนวนน้อยที่สุดด้วยจำนวนจำกัดนั้นมีค่าน้อยที่สุด ข้อพิสูจน์ที่ 2 ผลคูณของจำนวนน้อยที่สุดตั้งแต่สองตัวขึ้นไปนั้นถือว่าน้อยมาก ข้อพิสูจน์ 3 ผลรวมเชิงเส้นของจำนวนน้อยนั้นน้อยมาก 3. (คำจำกัดความที่สามของขีด จำกัด). ถ้า แล้วเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้ก็คือฟังก์ชัน ฉ(x) สามารถแสดงเป็น f(x)=A+α(x), ที่ไหน α(x) มีขนาดเล็กไม่สิ้นสุดที่ x→x 0. การพิสูจน์. 1)
ปล่อยแล้ว | f(x)-A|<ε при x→x 0, เช่น α(x)=f(x)-Aมีขนาดเล็กไม่สิ้นสุดที่ x→x 0 .เพราะฉะนั้น , f(x)=A+α(x). 2) ให้ f(x)=A+α(x). แล้ว ความคิดเห็น ดังนั้นจึงได้คำจำกัดความของขีด จำกัด อีกหนึ่งคำซึ่งเทียบเท่ากับสองคำจำกัดความก่อนหน้า ฟังก์ชันขนาดใหญ่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด คำจำกัดความ 15.1. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่า ใหญ่ไม่สิ้นสุด สำหรับ x x 0 if สำหรับขนาดใหญ่อย่างอนันต์ เราสามารถแนะนำระบบการจำแนกประเภทเดียวกันกับระบบที่ไม่สำคัญ กล่าวคือ: 1. ค่า f(x) และ g(x) ที่มากจนนับไม่ถ้วนถือว่าอยู่ในลำดับเดียวกัน if 2. ถ้า ดังนั้น f(x) ถือเป็นลำดับที่สูงกว่า g(x) อย่างไม่สิ้นสุด 3. ค่า f(x) ที่ใหญ่เป็นอนันต์เรียกว่าลำดับที่ k เทียบกับค่า g(x) ที่มีขนาดใหญ่อย่างอนันต์ ความคิดเห็น โปรดทราบว่า a x เป็นลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์ (สำหรับ a>1 และ x ) ลำดับที่สูงกว่า x k สำหรับ k ใดๆ และ log a x เป็นลำดับที่ต่ำกว่ากำลังใดๆ x k ทฤษฎีบท 15.1. หาก α(x) มีขนาดเล็กไม่สิ้นสุดสำหรับ x→x 0 ดังนั้น 1/α(x) จะใหญ่มากสำหรับ x→x 0 การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>ม. ดังนั้น นั่นคือ 1/α(x) มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ x→x 0 ตั๋ว 17 ทฤษฎีบท 14.7 (ขีด จำกัด แรกที่น่าทึ่ง) . การพิสูจน์. พิจารณาวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด และถือว่ามุม AOB คือ x (เรเดียน) ลองเปรียบเทียบพื้นที่ของสามเหลี่ยม AOB, ส่วน AOB และสามเหลี่ยม AOC โดยที่เส้น OS เป็นแทนเจนต์กับวงกลมที่ผ่านจุด (1; 0) เป็นที่ชัดเจนว่า โดยใช้สูตรเรขาคณิตที่สอดคล้องกันสำหรับพื้นที่ของตัวเลข เราได้รับจากสิ่งนี้ว่า 
ร่วมกับจำนวนธรรมชาติ เราสามารถแทนที่จำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่งเป็นอสมการสุดท้ายได้ 
,แล้ว
และในละแวกใกล้เคียงของ t (ยกเว้นบางที ตัว t เอง) สภาพ (2) เป็นที่พอใจ แล้วฟังก์ชันก็มีลิมิตใน t และขีดจำกัดนี้เท่ากับ แต่.ตามเงื่อนไข (1) $ for (นี่คือย่านที่เล็กที่สุดของจุด ) แต่แล้วตามเงื่อนไข (2) ค่าก็จะอยู่ใน - บริเวณจุดนั้นด้วย แต่,เหล่านั้น. .
, เช่น α(х)+β(х .)) น้อยมาก
แปลว่า | f(x)-A|<ε при |x-x0| < δ(ε). Cледовательно, .
, หรือ sinx