การหารลอการิทึมที่มีฐานเท่ากัน คุณสมบัติของลอการิทึมและตัวอย่างการแก้ปัญหา

• Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

เราศึกษาลอการิทึมต่อไป ในบทความนี้เราจะพูดถึง การคำนวณลอการิทึม, กระบวนการนี้เรียกว่า ลอการิทึม. อันดับแรก เราจะจัดการกับการคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ ต่อไป ให้พิจารณาวิธีการหาค่าของลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติของมัน หลังจากนั้นเราจะอาศัยการคำนวณลอการิทึมผ่านค่าที่กำหนดในตอนแรกของลอการิทึมอื่น สุดท้าย มาเรียนรู้วิธีใช้ตารางลอการิทึมกัน ทฤษฎีทั้งหมดมีตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

การนำทางหน้า

การคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด สามารถทำได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย การหาลอการิทึมตามนิยาม. มาดูกันดีกว่าว่ากระบวนการนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร

สาระสำคัญของมันคือการแสดงตัวเลข b ในรูปแบบ a c ดังนั้นโดยคำจำกัดความของลอการิทึมตัวเลข c คือค่าของลอการิทึม นั่นคือตามคำจำกัดความ การค้นหาลอการิทึมสอดคล้องกับห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน: log a b=log a a c =c

ดังนั้น การคำนวณลอการิทึมโดยนิยาม ลงมาเพื่อหาจำนวนดังกล่าว c ที่ a c \u003d b และตัวเลข c ก็คือค่าที่ต้องการของลอการิทึม

จากข้อมูลของย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อตัวเลขภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมถูกกำหนดโดยระดับฐานของลอการิทึม คุณจะสามารถระบุได้ทันทีว่าลอการิทึมมีค่าเท่าใด - มันเท่ากับเลขชี้กำลัง มาแสดงตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาบันทึก 2 2 −3 และคำนวณลอการิทึมธรรมชาติของ e 5.3 ด้วย

การตัดสินใจ.

คำจำกัดความของลอการิทึมทำให้เราพูดได้ทันทีว่า log 2 2 −3 = −3 อันที่จริง จำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมมีค่าเท่ากับฐาน 2 ยกกำลัง -3

ในทำนองเดียวกัน เราพบลอการิทึมที่สอง: lne 5.3 =5.3

ตอบ:

บันทึก 2 2 −3 = −3 และ lne 5.3 =5.3 .

หากตัวเลข b ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมไม่ได้รับเป็นกำลังของฐานของลอการิทึม คุณจำเป็นต้องพิจารณาให้ถี่ถ้วนว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแสดงตัวเลข b ในรูปแบบ a c . บ่อยครั้งการแสดงนี้ค่อนข้างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมเท่ากับฐานกำลัง 1 หรือ 2 หรือ 3 ...

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึม log 5 25 และ .

การตัดสินใจ.

ง่ายที่จะเห็นว่า 25=5 2 ช่วยให้คุณคำนวณลอการิทึมแรกได้: log 5 25=log 5 5 2 =2

เราดำเนินการคำนวณลอการิทึมที่สอง ตัวเลขสามารถแสดงเป็นเลขยกกำลัง 7: (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) เพราะฉะนั้น, .

ลองเขียนลอการิทึมที่สามในรูปแบบต่อไปนี้ ตอนนี้คุณจะเห็นแล้วว่า ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า . ดังนั้น โดยนิยามของลอการิทึม .

โดยย่อ วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้:

ตอบ:

บันทึก 5 25=2 และ .

เมื่อจำนวนธรรมชาติที่มากพออยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม มันก็ไม่เสียหายที่จะแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ มักจะช่วยในการแสดงตัวเลขเช่นกำลังของฐานของลอการิทึม ดังนั้น การคำนวณลอการิทึมนี้ตามคำจำกัดความ

ตัวอย่าง.

หาค่าของลอการิทึม

การตัดสินใจ.

คุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึมช่วยให้คุณระบุค่าของลอการิทึมได้ทันที คุณสมบัติเหล่านี้รวมถึงคุณสมบัติของลอการิทึมของหนึ่งและคุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลขเท่ากับฐาน: log 1 1=log a a 0 =0 และ log a=log a 1 =1 นั่นคือ เมื่อเลข 1 หรือตัวเลข a อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึม เท่ากับฐานของลอการิทึม ในกรณีนี้ ลอการิทึมจะเป็น 0 และ 1 ตามลำดับ

ตัวอย่าง.

ลอการิทึมและ lg10 คืออะไร?

การตัดสินใจ.

เนื่องจาก มันตามมาจากนิยามของลอการิทึม .

ในตัวอย่างที่สอง หมายเลข 10 ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมตรงกับฐาน ดังนั้นลอการิทึมทศนิยมของสิบจึงเท่ากับหนึ่ง นั่นคือ lg10=lg10 1 =1

ตอบ:

และ lg10=1 .

โปรดทราบว่าลอการิทึมการคำนวณตามคำจำกัดความ (ที่เรากล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า) หมายถึงการใช้บันทึกความเท่าเทียมกัน a p =p ซึ่งเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม

ในทางปฏิบัติ เมื่อจำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมและฐานของลอการิทึมแสดงเป็นกำลังของจำนวนหนึ่งได้ง่าย จะสะดวกมากที่จะใช้สูตร ซึ่งสอดคล้องกับหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม ลองพิจารณาตัวอย่างการหาลอการิทึมที่แสดงการใช้สูตรนี้

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึมของ

การตัดสินใจ.

ตอบ:

.

คุณสมบัติของลอการิทึมที่ไม่ได้กล่าวถึงข้างต้นยังใช้ในการคำนวณ แต่เราจะพูดถึงสิ่งนี้ในย่อหน้าต่อไปนี้

การหาลอการิทึมในรูปของลอการิทึมอื่นๆ

ข้อมูลในย่อหน้านี้ยังคงเป็นหัวข้อของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมในการคำนวณ แต่ที่นี่ ความแตกต่างที่สำคัญคือคุณสมบัติของลอการิทึมถูกใช้เพื่อแสดงลอการิทึมดั้งเดิมในแง่ของลอการิทึมอื่นซึ่งเป็นค่าที่ทราบ ลองมาดูตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง สมมุติว่าเรารู้ log 2 3≈1.584963 จากนั้นเราสามารถหา log 2 6 ได้โดยทำการแปลงเล็กน้อยโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: บันทึก 2 6=บันทึก 2 (2 3)=บันทึก 2 2+บันทึก 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ในตัวอย่างข้างต้น ก็เพียงพอแล้วที่เราจะใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่คุณต้องใช้คลังแสงที่กว้างขึ้นของคุณสมบัติของลอการิทึม เพื่อคำนวณลอการิทึมดั้งเดิมในแง่ของค่าที่กำหนด

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึมของ 27 ถึงฐาน 60 ถ้าทราบว่า log 60 2=a และ log 60 5=b

การตัดสินใจ.

เลยต้องหา log 60 27 ง่ายที่จะเห็นว่า 27=3 3 และลอการิทึมเดิม เนื่องจากคุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี สามารถเขียนใหม่เป็น 3·log 60 3

ตอนนี้เรามาดูกันว่า log 60 3 สามารถแสดงในรูปของลอการิทึมที่รู้จักได้อย่างไร คุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลขเท่ากับฐานทำให้คุณสามารถเขียนบันทึกความเท่าเทียมกันได้ 60 60=1 . ในทางกลับกัน บันทึก 60 60=log60(2 2 3 5)= บันทึก 60 2 2 +บันทึก 60 3+บันทึก 60 5= 2 บันทึก 60 2+บันทึก 60 3+บันทึก 60 5 ดังนั้น, 2 บันทึก 60 2+บันทึก 60 3+บันทึก 60 5=1. เพราะฉะนั้น, บันทึก 60 3=1−2 บันทึก 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

สุดท้าย เราคำนวณลอการิทึมเดิม: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

ตอบ:

บันทึก 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

แยกกัน ควรกล่าวถึงความหมายของสูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึมของแบบฟอร์ม ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากลอการิทึมที่มีฐานใดก็ได้ไปยังลอการิทึมที่มีฐานเฉพาะซึ่งเป็นค่าที่ทราบหรือสามารถหาได้ โดยปกติจากลอการิทึมดั้งเดิมตามสูตรการเปลี่ยนแปลงพวกเขาจะเปลี่ยนเป็นลอการิทึมในฐานใดฐานหนึ่ง 2, e หรือ 10 เนื่องจากสำหรับฐานเหล่านี้มีตารางลอการิทึมที่อนุญาตให้คำนวณค่าของพวกเขาในระดับหนึ่ง ของความถูกต้อง ในส่วนถัดไปเราจะแสดงวิธีการดำเนินการนี้

ตารางลอการิทึมการใช้งาน

สำหรับการคำนวณค่าลอการิทึมโดยประมาณคุณสามารถใช้ ตารางลอการิทึม. ตารางที่ใช้บ่อยที่สุดคือตารางลอการิทึมฐาน 2 ตารางลอการิทึมธรรมชาติ และตารางลอการิทึมทศนิยม เมื่อทำงานในระบบเลขฐานสิบ จะสะดวกที่จะใช้ตารางลอการิทึมเป็นฐานสิบ ด้วยความช่วยเหลือของมัน เราจะเรียนรู้การหาค่าของลอการิทึม

ตารางที่นำเสนอช่วยให้ค้นหาค่าลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขได้ตั้งแต่ 1.000 ถึง 9.999 (มีทศนิยมสามตำแหน่ง) ด้วยความแม่นยำถึงหนึ่งหมื่น เราจะวิเคราะห์หลักการหาค่าลอการิทึมโดยใช้ตารางลอการิทึมทศนิยมโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ - ชัดเจนยิ่งขึ้น มาหา lg1,256 กัน

ในคอลัมน์ด้านซ้ายของตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบสองหลักแรกของตัวเลข 1.256 นั่นคือ เราพบ 1.2 (ตัวเลขนี้อยู่ในวงกลมสีน้ำเงินเพื่อความชัดเจน) หลักที่สามของตัวเลข 1.256 (หมายเลข 5) จะอยู่ในบรรทัดแรกหรือสุดท้ายทางด้านซ้ายของเส้นคู่ (ตัวเลขนี้ในวงกลมสีแดง) หลักที่สี่ของหมายเลขเดิม 1.256 (หมายเลข 6) จะอยู่ในบรรทัดแรกหรือบรรทัดสุดท้ายทางด้านขวาของบรรทัดคู่ (หมายเลขนี้ในวงกลมสีเขียว) ตอนนี้เราพบตัวเลขในเซลล์ของตารางลอการิทึมที่จุดตัดของแถวที่ทำเครื่องหมายและคอลัมน์ที่ทำเครื่องหมายไว้ (ตัวเลขเหล่านี้ถูกเน้นด้วยสีส้ม) ผลรวมของตัวเลขที่ทำเครื่องหมายไว้ทำให้ค่าที่ต้องการของลอการิทึมทศนิยมเพิ่มขึ้นเป็นทศนิยมที่สี่นั่นคือ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

เป็นไปได้ไหมโดยใช้ตารางด้านบนเพื่อค้นหาค่าของลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขที่มีจุดทศนิยมมากกว่าสามหลักและยังเกินขีดจำกัดตั้งแต่ 1 ถึง 9.999 ใช่คุณสามารถ. มาแสดงวิธีการทำกับตัวอย่าง

มาคำนวณกัน lg102.76332 ก่อนอื่นคุณต้องเขียน ตัวเลขในรูปแบบมาตรฐาน: 102.76332=1.0276332 10 2 . หลังจากนั้น ตั๊กแตนตำข้าวก็ควรปัดขึ้นเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สาม เรามี 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2ในขณะที่ลอการิทึมทศนิยมเดิมมีค่าเท่ากับลอการิทึมของจำนวนผลลัพธ์โดยประมาณ นั่นคือเราใช้ lg102.76332≈lg1.028·10 2 ตอนนี้ใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. สุดท้าย เราพบค่าของลอการิทึม lg1.028 ตามตารางลอการิทึมทศนิยม lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 เป็นผลให้กระบวนการทั้งหมดของการคำนวณลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

โดยสรุป เป็นที่น่าสังเกตว่าการใช้ตารางลอการิทึมทศนิยม คุณสามารถคำนวณค่าประมาณของลอการิทึมใดๆ ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงเพื่อไปที่ลอการิทึมทศนิยม ค้นหาค่าในตาราง และทำการคำนวณที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณ log 2 3 จากสูตรการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึม เราได้ . จากตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบ lg3≈0.4771 และ lg2≈0.3010 ดังนั้น, .

บรรณานุกรม.

• Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

คุณสมบัติพื้นฐาน.

1. logax + logay = บันทึก(x y);
2. logax − logay = บันทึก (x: y)

เหตุเดียวกัน

บันทึก6 4 + บันทึก6 9

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีดีกรีอยู่ในฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นเลขชี้กำลังของดีกรีนี้สามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึมล็อกแซ์ จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ดูสิ่งนี้ด้วย:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. ในการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎ: เลขชี้กำลังคือ 2.7 และเป็นสองเท่าของปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเกิดของลีโอ ตอลสตอย

ตัวอย่างลอการิทึม

หาลอการิทึมของนิพจน์

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0, c>0).

โดยคุณสมบัติ 3,5 เราคำนวณ

2.

3.

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x if

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าของลอการิทึมถูกกำหนด

คำนวณ log(x) if

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถเพิ่ม ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎเรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

ต้องรู้กฎเหล่านี้ - ปัญหาลอการิทึมที่ร้ายแรงไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - ทุกอย่างสามารถเรียนรู้ได้ในหนึ่งวัน มาเริ่มกันเลยดีกว่า

การบวกและการลบของลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นคุณสามารถเพิ่มและลบและ:

1. logax + logay = บันทึก(x y);
2. logax − logay = บันทึก (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างคือลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ - เหตุเดียวกัน. หากฐานต่างกัน กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ลองดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเท่ากัน เราใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึม "ไม่ดี" ซึ่งไม่พิจารณาแยกกัน แต่หลังจากการแปลง ตัวเลขค่อนข้างปกติปรากฎ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ การควบคุม - การแสดงออกที่คล้ายคลึงกันในทุกเรื่องที่จริงจัง (บางครั้ง - โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) มีให้ในการสอบ

การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ก็ควรจำไว้ดีกว่า - ในบางกรณีจะลดปริมาณการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกสิ่งหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ในทางกลับกัน เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนเครื่องหมายของลอการิทึมลงในตัวลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดดีกรีในอาร์กิวเมนต์ตามสูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนคือลอการิทึมที่ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม ลอการิทึมเป็นตัวอย่างของการแก้ปัญหา

พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ในรูปองศาและนำตัวชี้วัดออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเหมือนกัน: log2 7. เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎเลขคณิต สามารถโอนทั้งสี่ไปที่ตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นเป็นพิเศษว่าพวกมันใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น เกิดอะไรขึ้นถ้าฐานแตกต่างกัน? เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของจำนวนเดียวกัน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ได้รับการช่วยเหลือ เราสร้างพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมล็อกแซ์ จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองที่ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมสามารถสับเปลี่ยนกันได้ แต่นิพจน์ทั้งหมด "ถูกพลิก" กล่าวคือ ลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป เป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

อย่างไรก็ตาม มีงานบางอย่างที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลย ยกเว้นการย้ายฐานรากใหม่ ลองพิจารณาสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขชี้กำลังที่ถูกต้อง มาดูตัวชี้วัดกัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนจากการเรียงสับเปลี่ยนของตัวประกอบ เราจึงคูณสี่กับสองอย่างใจเย็น แล้วหาลอการิทึมออกมา

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกเป็นกำลังที่แน่นอน มาเขียนมันและกำจัดตัวชี้วัด:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

ในกรณีแรก จำนวน n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าของลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นจริงคำจำกัดความถอดความ เรียกว่าดังนี้

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวน b ถูกยกขึ้นในระดับที่หมายเลข b ในระดับนี้ให้จำนวน a? ใช่แล้ว: นี่คือตัวเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างระมัดระวังอีกครั้ง - หลายคน "แขวน" ไว้

เช่นเดียวกับสูตรการแปลงฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานเป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - เพิ่งดึงกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎของการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้:

หากไม่มีใครรู้จัก นี่เป็นงานจริงจากการสอบ Unified State 🙂

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อมูลประจำตัวสองประการที่เรียกคุณสมบัติได้ยาก - แต่สิ่งเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกเขามักพบปัญหาและสร้างความประหลาดใจให้กับนักเรียนที่ "ขั้นสูง" อย่างน่าประหลาดใจ

1. logaa = 1 คือ จำไว้เสมอว่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ a จากตัวฐานนั้นเองมีค่าเท่ากับหนึ่ง
2. ล็อก 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เนื่องจาก a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึมของจำนวน b ถึงฐาน a หมายถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการหากำลัง x () ซึ่งความเท่าเทียมกันเป็นจริง

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดได้รับการแก้ไขตามลอการิทึม คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถหาได้จากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและส่วนต่างของลอการิทึม (3.4) มักพบบ่อย ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่ง สิ่งเหล่านี้จำเป็นสำหรับการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและการคำนวณค่าของงาน

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่ฐานเป็นสิบ เลขชี้กำลังหรือดิวซ์
ลอการิทึมฐานสิบมักจะเรียกว่าลอการิทึมฐานสิบและเขียนแทนด้วย lg(x)

จะเห็นได้จากบันทึกว่าพื้นฐานไม่ได้เขียนไว้ในบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงเป็น ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. ในการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎ: เลขชี้กำลังคือ 2.7 และเป็นสองเท่าของปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเกิดของลีโอ ตอลสตอย

และลอการิทึมฐานสองที่สำคัญอีกอันหนึ่งคือ

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยการพึ่งพา

เนื้อหาข้างต้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อให้ซึมซับเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างเพียงไม่กี่ตัวอย่างจากหลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัยเท่านั้น

ตัวอย่างลอการิทึม

หาลอการิทึมของนิพจน์

ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0, c>0).

โดยคุณสมบัติ 3,5 เราคำนวณ

2.
โดยคุณสมบัติผลต่างของลอการิทึม เรามี

3.
การใช้คุณสมบัติ 3.5 เราพบว่า

นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนโดยใช้ชุดของกฎจะลดความซับซ้อนลงในรูปแบบ

การหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x if

การตัดสินใจ. สำหรับการคำนวณ เราใช้คุณสมบัติ 5 และ 13 จนถึงเทอมสุดท้าย

ทดแทนในบันทึกและไว้ทุกข์

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์

ลอการิทึม ระดับแรก.

ให้ค่าของลอการิทึมถูกกำหนด

คำนวณ log(x) if

วิธีแก้ไข: นำลอการิทึมของตัวแปรมาเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของเทอม

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของลอการิทึม ฝึกฝนการคำนวณ เพิ่มพูนทักษะการปฏิบัติของคุณ - คุณจะต้องใช้ความรู้ที่ได้รับเพื่อแก้สมการลอการิทึมในไม่ช้า เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้ว เราจะขยายความรู้ของคุณสำหรับหัวข้อที่สำคัญไม่แพ้กันอีกหัวข้อหนึ่ง - ความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึม ...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถเพิ่ม ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎเรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

ต้องรู้กฎเหล่านี้ - ปัญหาลอการิทึมที่ร้ายแรงไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - ทุกอย่างสามารถเรียนรู้ได้ในหนึ่งวัน มาเริ่มกันเลยดีกว่า

การบวกและการลบของลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นคุณสามารถเพิ่มและลบและ:

1. logax + logay = บันทึก(x y);
2. logax − logay = บันทึก (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างคือลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ - เหตุเดียวกัน. หากฐานต่างกัน กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ลองดูตัวอย่างและดู:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเท่ากัน เราใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึม "ไม่ดี" ซึ่งไม่พิจารณาแยกกัน แต่หลังจากการแปลง ตัวเลขค่อนข้างปกติปรากฎ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ การควบคุม - การแสดงออกที่คล้ายคลึงกันในทุกเรื่องที่จริงจัง (บางครั้ง - โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) มีให้ในการสอบ

การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เกิดอะไรขึ้นถ้ามีดีกรีอยู่ในฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นเลขชี้กำลังของดีกรีนี้สามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมตามกฎต่อไปนี้:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ก็ควรจำไว้ดีกว่า - ในบางกรณีจะลดปริมาณการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกสิ่งหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ในทางกลับกัน เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนเครื่องหมายของลอการิทึมลงในตัวลอการิทึมได้

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดดีกรีในอาร์กิวเมนต์ตามสูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนคือลอการิทึมที่ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ในรูปองศาและนำตัวชี้วัดออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเหมือนกัน: log2 7. เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎเลขคณิต สามารถโอนทั้งสี่ไปที่ตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นเป็นพิเศษว่าพวกมันใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น เกิดอะไรขึ้นถ้าฐานแตกต่างกัน? เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของจำนวนเดียวกัน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ได้รับการช่วยเหลือ เราสร้างพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมล็อกแซ์ จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองที่ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมสามารถสับเปลี่ยนกันได้ แต่นิพจน์ทั้งหมด "ถูกพลิก" กล่าวคือ ลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป เป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

อย่างไรก็ตาม มีงานบางอย่างที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลย ยกเว้นการย้ายฐานรากใหม่ ลองพิจารณาสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขชี้กำลังที่ถูกต้อง มาดูตัวชี้วัดกัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนจากการเรียงสับเปลี่ยนของตัวประกอบ เราจึงคูณสี่กับสองอย่างใจเย็น แล้วหาลอการิทึมออกมา

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกเป็นกำลังที่แน่นอน มาเขียนมันและกำจัดตัวชี้วัด:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

ในกรณีแรก จำนวน n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าของลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นจริงคำจำกัดความถอดความ เรียกว่าดังนี้

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวน b ถูกยกขึ้นในระดับที่หมายเลข b ในระดับนี้ให้จำนวน a? ใช่แล้ว: นี่คือตัวเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างระมัดระวังอีกครั้ง - หลายคน "แขวน" ไว้

เช่นเดียวกับสูตรการแปลงฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานเป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - เพิ่งดึงกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎของการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้:

หากไม่มีใครรู้จัก นี่เป็นงานจริงจากการสอบ Unified State 🙂

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อมูลประจำตัวสองประการที่เรียกคุณสมบัติได้ยาก - แต่สิ่งเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกเขามักพบปัญหาและสร้างความประหลาดใจให้กับนักเรียนที่ "ขั้นสูง" อย่างน่าประหลาดใจ

1. logaa = 1 คือ จำไว้เสมอว่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ a จากตัวฐานนั้นเองมีค่าเท่ากับหนึ่ง
2. ล็อก 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เนื่องจาก a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ดังที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยกำลัง เลขชี้กำลังจะรวมกันเสมอ (a b * a c = a b + c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้มาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วิราเซนได้สร้างตารางตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างของการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ซึ่งจำเป็นต้องทำให้การคูณที่ยุ่งยากซับซ้อนและบวกง่ายขึ้น หากคุณใช้เวลาอ่านบทความนี้ 10 นาที เราจะอธิบายให้คุณทราบว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานกับลอการิทึมได้อย่างไร ภาษาที่ง่ายและเข้าถึงได้

คำนิยามในวิชาคณิตศาสตร์

ลอการิทึมคือนิพจน์ของรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือลอการิทึมของจำนวนที่ไม่เป็นลบใดๆ (นั่นคือ ค่าบวกใดๆ) "b" ที่มีฐาน "a" ถือเป็นกำลังของ "c" ซึ่งต้องยกฐาน "a" เพื่อที่จะได้รับค่า "b" ในท้ายที่สุด มาวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีนิพจน์ log 2 8. จะหาคำตอบได้อย่างไร? มันง่ายมาก คุณต้องหาระดับที่ต้องการจาก 2 ถึงระดับที่กำหนด คุณจะได้ 8 เมื่อคำนวณในใจแล้ว เราได้เลข 3! และถูกต้องแล้ว เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้เลข 8 อยู่ในคำตอบ

ความหลากหลายของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนจำนวนมาก หัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ในความเป็นจริง ลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือการเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎเกณฑ์บางประการ นิพจน์ลอการิทึมมีสามประเภทที่แตกต่างกัน:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ยกกำลังฐาน a>1

แต่ละข้อได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการทำให้เข้าใจง่าย การลดลง และการลดลงที่ตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องเราควรจดจำคุณสมบัติและลำดับของการกระทำในการตัดสินใจ

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายประการที่ยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านี้ไม่ได้อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของระดับคู่ออกจากจำนวนลบ ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเองอีกด้วย ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้วิธีทำงานแม้ในนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและกว้างขวาง:

• ฐาน "a" ต้องมากกว่าศูนย์เสมอ และในเวลาเดียวกันต้องไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้น นิพจน์จะสูญเสียความหมายไป เนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดๆ จะเท่ากับค่าของพวกเขาเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้ว a b > 0 ปรากฎว่า "c" ต้องมากกว่าศูนย์

จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่น เมื่อมอบหมายงานเพื่อค้นหาคำตอบของสมการ 10 x \u003d 100 มันง่ายมาก คุณต้องเลือกพลังดังกล่าวโดยเพิ่มจำนวนสิบที่เราได้ 100 แน่นอน นี่คือ 10 2 \u003d 100.

ทีนี้ มาแทนนิพจน์นี้เป็นตัวลอการิทึม เราจะได้ log 10 100 = 2 เมื่อแก้โจทย์ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันเพื่อหาระดับที่จะต้องป้อนฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการกำหนดค่าระดับที่ไม่รู้จักได้อย่างถูกต้อง คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่านี้:

อย่างที่คุณเห็น เลขชี้กำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสัญชาตญาณถ้าคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตาม ค่าที่มากขึ้นจะต้องใช้ตารางพลังงาน สามารถใช้ได้แม้กับผู้ที่ไม่เข้าใจอะไรเลยในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนของตัวเลขคือค่าของยกกำลัง c ซึ่งตัวเลข a จะถูกยกขึ้น ที่จุดตัดในเซลล์ ค่าของตัวเลขจะถูกกำหนดซึ่งเป็นคำตอบ (a c =b) ตัวอย่างเช่น เซลล์แรกสุดที่มีตัวเลข 10 และยกกำลังสอง เราได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของเซลล์ทั้งสองของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายและง่ายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ สามารถเขียนเป็นสมการลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3 4 =81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมของ 81 ถึงฐาน 3 ซึ่งก็คือสี่ (log 3 81 = 4) สำหรับกำลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนเป็นลอการิทึม เราได้ล็อก 2 (1/32) = -5 หนึ่งในส่วนที่น่าสนใจที่สุดของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะพิจารณาตัวอย่างและคำตอบของสมการให้ต่ำลงเล็กน้อยทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของสมการแล้ว ทีนี้มาดูกันว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกความแตกต่างจากสมการได้อย่างไร

นิพจน์ของรูปแบบต่อไปนี้ได้รับ: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม และในนิพจน์ปริมาณสองจะถูกเปรียบเทียบ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการในฐานสองมากกว่าจำนวนสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมกับอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่น ลอการิทึมของ 2 x = √9) ระบุค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าหรือมากกว่าในคำตอบ ในขณะที่แก้สมการลอการิทึมทั้งช่วงของ ค่าที่ยอมรับได้และคะแนนที่ทำลายฟังก์ชันนี้ ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ อย่างในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ปัญหาเบื้องต้นในการหาค่าของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึมอาจไม่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ อย่างแรกเลย จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและประยุกต์ใช้คุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึมในทางปฏิบัติ ต่อไปเราจะมาทำความรู้จักกับตัวอย่างสมการกัน เรามาวิเคราะห์คุณสมบัติแต่ละอย่างอย่างละเอียดกันก่อนดีกว่า

1. ข้อมูลประจำตัวพื้นฐานมีลักษณะดังนี้: a logaB =B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับหนึ่ง และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้ได้ พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา ให้ล็อก a s 1 = f 1 และล็อก a s 2 = f 2 จากนั้น a f1 = s 1 , a f2 = s 2 เราจะได้ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติองศา ) และเพิ่มเติมตามคำจำกัดความ: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรใช้รูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า "คุณสมบัติของดีกรีของลอการิทึม" มันคล้ายกับคุณสมบัติของดีกรีสามัญ และไม่น่าแปลกใจเพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดอยู่บนสมมุติฐานปกติ มาดูหลักฐานกัน

ให้ล็อก a b \u003d t ปรากฎว่า a t \u003d b หากคุณยกทั้งสองส่วนกำลัง m: a tn = b n ;

แต่เนื่องจาก a tn = (a q) nt/q = b n ดังนั้นบันทึก a q b n = (n*t)/t จากนั้นบันทึก a q b n = n/q log a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างของปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน

ปัญหาลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือตัวอย่างของสมการและอสมการ มีอยู่ในหนังสือปัญหาเกือบทั้งหมด และยังรวมอยู่ในส่วนบังคับของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย ในการเข้ามหาวิทยาลัยหรือสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือแผนงานเดียวสำหรับการแก้และกำหนดค่าที่ไม่รู้จักของลอการิทึม อย่างไรก็ตาม กฎบางอย่างสามารถนำไปใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์สามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดขนาดเป็นรูปแบบทั่วไปได้หรือไม่ คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้ หากคุณใช้คุณสมบัติของนิพจน์ลอการิทึมอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาเร็ว ๆ นี้

เมื่อแก้สมการลอการิทึม จำเป็นต้องกำหนดประเภทของลอการิทึมที่เรามีอยู่ก่อนเรา: ตัวอย่างของนิพจน์อาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 การแก้ปัญหาของพวกเขาทำให้คุณต้องกำหนดระดับว่าฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1026 ตามลำดับ สำหรับคำตอบของลอการิทึมธรรมชาติ เราต้องใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกมัน มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

เรามาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทหลักกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ได้ในงานที่จำเป็นต้องแยกค่า b จำนวนมากออกเป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 4 + บันทึก 2 128 = บันทึก 2 (4*128) = บันทึก 2 512 คำตอบคือ 9
2. บันทึก 4 8 = บันทึก 2 2 2 3 = 3/2 บันทึก 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็น โดยใช้คุณสมบัติที่สี่ของดีกรีของลอการิทึม เราสามารถแก้ปัญหานิพจน์ที่ซับซ้อนและแก้ไม่ได้ในทันที จำเป็นต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วเอาค่าเลขชี้กำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมเท่านั้น

ภารกิจจากการสอบ

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาลอการิทึมจำนวนมากในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาในโรงเรียนทุกคน) โดยปกติงานเหล่านี้จะมีอยู่ไม่เฉพาะในส่วน A (ส่วนการทดสอบที่ง่ายที่สุดของการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C (งานที่ยากและใหญ่โตที่สุด) การสอบแสดงถึงความรู้ที่ถูกต้องและสมบูรณ์แบบของหัวข้อ "ลอการิทึมธรรมชาติ"

ตัวอย่างและการแก้ปัญหานำมาจากแบบทดสอบอย่างเป็นทางการ เรามาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร

ให้บันทึก 2 (2x-1) = 4. วิธีแก้ไข:
มาเขียนนิพจน์ใหม่ ลดความซับซ้อนของ log 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึมเราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5.

• ลอการิทึมทั้งหมดถูกลดขนาดลงเป็นฐานเดียวกัน เพื่อไม่ให้การแก้ปัญหายุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะถูกระบุว่าเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อนำเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังของนิพจน์ออก ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมและเป็นฐาน นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก

ช่วงที่ยอมรับได้ (ODZ) ของลอการิทึม

ทีนี้มาพูดถึงข้อจำกัดกัน (ODZ - พื้นที่ของค่าตัวแปรที่ยอมรับได้)

เราจำได้ว่า ตัวอย่างเช่น รากที่สองไม่สามารถนำมาจากจำนวนลบได้ หรือถ้าเรามีเศษส่วน ตัวส่วนจะเท่ากับศูนย์ไม่ได้ มีข้อจำกัดที่คล้ายกันสำหรับลอการิทึม:

นั่นคือ ทั้งอาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์ และฐานต้องไม่เท่ากัน

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น?

มาเริ่มกันง่ายๆ สมมติว่า ตัวอย่างเช่น ตัวเลขนั้นไม่มีอยู่จริง เพราะไม่ว่าเราจะเพิ่มระดับใดก็ตาม มันก็กลับกลายเป็นออกมาเสมอ นอกจากนี้ยังไม่มีอยู่สำหรับใด ๆ แต่ในขณะเดียวกันก็สามารถเท่ากับอะไรก็ได้ (ด้วยเหตุผลเดียวกัน - เท่ากับระดับใดก็ได้) ดังนั้น วัตถุนั้นจึงไม่สนใจ และมันก็แค่โยนมันทิ้งไปจากวิชาคณิตศาสตร์

เรามีปัญหาที่คล้ายกันในกรณีนี้: ในระดับบวก - สิ่งนี้ แต่ไม่สามารถยกกำลังเชิงลบได้เลยเนื่องจากการหารด้วยศูนย์จะส่งผลให้ (ฉันเตือนคุณว่า)

เมื่อเราต้องเผชิญกับปัญหาการยกกำลังเป็นเศษส่วน (ซึ่งแสดงเป็น root:. ตัวอย่างเช่น (นั่นคือ) แต่ไม่มีอยู่.

ดังนั้นเหตุผลเชิงลบจึงง่ายกว่าที่จะโยนทิ้งมากกว่าไปยุ่งกับพวกเขา

เนื่องจากฐาน a เป็นบวกสำหรับเราเท่านั้น ไม่ว่าเราจะเพิ่มระดับใด เราก็จะได้จำนวนบวกอย่างเคร่งครัดเสมอ ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ต้องเป็นบวก ตัวอย่างเช่น ไม่มีอยู่จริง เนื่องจากจะไม่เป็นจำนวนลบในทุกระดับ (และแม้แต่ศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีอยู่ด้วย)

ในปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึม ขั้นตอนแรกคือการเขียน ODZ ฉันจะยกตัวอย่าง:

มาแก้สมการกัน

จำคำจำกัดความ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งต้องยกฐานเพื่อให้ได้อาร์กิวเมนต์ และโดยเงื่อนไข ดีกรีนี้เท่ากับ:

เราได้สมการกำลังสองปกติ: เราแก้มันโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา: ผลรวมของรากมีค่าเท่ากันและผลคูณ หยิบง่าย เหล่านี้เป็นตัวเลขและ

แต่ถ้าคุณจดตัวเลขทั้งสองนี้ลงในคำตอบทันที คุณจะได้รับ 0 คะแนนสำหรับงาน ทำไม ลองคิดดูว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าเราแทนรากพวกนี้ลงในสมการตั้งต้น?

นี่เป็นเท็จอย่างชัดเจน เนื่องจากฐานไม่สามารถลบได้ นั่นคือ รูทคือ "บุคคลที่สาม"

เพื่อหลีกเลี่ยงกลอุบายที่ไม่พึงประสงค์ดังกล่าว คุณต้องจด ODZ ก่อนเริ่มแก้สมการเสียก่อน:

จากนั้นเมื่อได้รับรากแล้วเราก็ทิ้งรากทันทีและเขียนคำตอบที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1(ลองแก้เอง) :

หารากของสมการ. หากมีหลายราก ให้ระบุรากที่เล็กกว่าในคำตอบของคุณ

การตัดสินใจ:

ก่อนอื่น มาเขียน ODZ กันก่อน:

ตอนนี้เราจำได้ว่าลอการิทึมคืออะไร: คุณต้องการยกฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้งอะไร ในวินาที. เช่น:

ดูเหมือนว่ารูตที่เล็กกว่าจะเท่ากัน แต่สิ่งนี้ไม่เป็นเช่นนั้น ตาม ODZ รูทนั้นเป็นบุคคลที่สาม นั่นคือ มันไม่ใช่รูทของสมการนี้เลย ดังนั้น สมการจึงมีรากเดียว: .

ตอบ: .

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

จำคำจำกัดความของลอการิทึมในแง่ทั่วไป:

แทนที่ในความเท่าเทียมกันที่สองแทนลอการิทึม:

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน. แม้ว่าในสาระสำคัญความเท่าเทียมกันนี้จะเขียนต่างกันเท่านั้น นิยามของลอการิทึม:

นี่คือพลังที่คุณต้องเพิ่มเพื่อให้ได้มา

ตัวอย่างเช่น:

แก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่าง 2

ค้นหาค่าของนิพจน์

การตัดสินใจ:

จำกฎจากส่วนนี้ นั่นคือ เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ตัวบ่งชี้จะถูกคูณ มาปรับใช้กัน:

ตัวอย่างที่ 3

พิสูจน์ว่า

การตัดสินใจ:

คุณสมบัติของลอการิทึม

น่าเสียดายที่งานไม่ได้เรียบง่ายเสมอไป - บ่อยครั้งที่คุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น นำไปที่รูปแบบปกติ จากนั้นจึงจะคำนวณค่าได้ มันง่ายที่สุดที่จะทำสิ่งนี้โดยรู้ คุณสมบัติของลอการิทึม. มาเรียนรู้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมกันเถอะ ฉันจะพิสูจน์แต่ละข้อเพราะกฎใด ๆ จะง่ายกว่าถ้าคุณรู้ว่ามันมาจากไหน

ต้องจำคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด หากไม่มี คุณสมบัติเหล่านี้ ปัญหาส่วนใหญ่เกี่ยวกับลอการิทึมจะไม่สามารถแก้ไขได้

และตอนนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมโดยละเอียด

คุณสมบัติ 1:

การพิสูจน์:

ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.

คุณสมบัติ 2: ผลรวมของลอการิทึม

ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเท่ากันจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: .

การพิสูจน์:

ให้แล้ว. ให้แล้ว.

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าของนิพจน์: .

การตัดสินใจ: .

สูตรที่คุณเพิ่งเรียนรู้จะช่วยให้ผลรวมของลอการิทึมง่ายขึ้น ไม่ใช่ความแตกต่าง เพื่อให้ลอการิทึมเหล่านี้ไม่สามารถรวมกันได้ทันที แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - "แบ่ง" ลอการิทึมแรกออกเป็นสองส่วน: และนี่คือการลดความซับซ้อนที่สัญญาไว้:
.
ทำไมสิ่งนี้จึงจำเป็น? ตัวอย่างเช่น: มันสำคัญอะไร?

ตอนนี้มันชัดเจนว่า

ตอนนี้ ทำให้ง่ายสำหรับตัวคุณเอง:

งาน:

คำตอบ:

คุณสมบัติ 3: ความแตกต่างของลอการิทึม:

การพิสูจน์:

ทุกอย่างเหมือนกับในวรรค 2:

ให้แล้ว.

ให้แล้ว. เรามี:

ตัวอย่างจากจุดสุดท้ายตอนนี้ง่ายยิ่งขึ้น:

ตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น: . เดาเอาเองว่าจะตัดสินใจยังไง?

ในที่นี้ควรสังเกตว่าเราไม่มีสูตรเดียวเกี่ยวกับลอการิทึมกำลังสอง นี่คือสิ่งที่คล้ายกับนิพจน์ - ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ในทันที

ดังนั้น เรามานอกเรื่องจากสูตรเกี่ยวกับลอการิทึม และลองคิดดูว่าโดยทั่วไปแล้วสูตรใดที่เราใช้ในทางคณิตศาสตร์บ่อยที่สุด ตั้งแต่ ป.7!

นี่คือ - . คุณต้องชินกับความจริงที่ว่ามีอยู่ทุกที่! และในรูปเลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ และปัญหาอตรรกยะ จะพบได้ ดังนั้นพวกเขาจะต้องจำไว้

หากคุณพิจารณาสองเทอมแรกอย่างใกล้ชิด จะเห็นได้ชัดว่านี่คือ ความแตกต่างของสี่เหลี่ยม:

คำตอบเพื่อตรวจสอบ:

ลดความซับซ้อนของตัวคุณเอง

ตัวอย่าง

คำตอบ

คุณสมบัติ 4: ที่มาของเลขชี้กำลังจากการอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

การพิสูจน์:และที่นี่เรายังใช้นิยามของลอการิทึม: อนุญาต แล้ว เรามี: , h.t.d.

คุณสามารถเข้าใจกฎนี้ดังนี้:

นั่นคือระดับของการโต้แย้งถูกนำไปข้างหน้าของลอการิทึมเป็นสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าของนิพจน์

การตัดสินใจ: .

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

คุณสมบัติ 5: ที่มาของเลขชี้กำลังจากฐานของลอการิทึม:

การพิสูจน์:ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.
จำเอาไว้: จาก บริเวณองศาจะแสดงเป็น ย้อนกลับตัวเลขไม่เหมือนเคสที่แล้ว!

คุณสมบัติ 6: ที่มาของเลขชี้กำลังจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

หรือถ้าองศาเท่ากัน: .

คุณสมบัติ 7: การเปลี่ยนไปสู่ฐานใหม่:

การพิสูจน์:ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.

คุณสมบัติ 8: การสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

การพิสูจน์:นี่เป็นกรณีพิเศษของสูตร 7: หากเราแทนที่ เราจะได้: , p.t.d.

มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกัน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาค่าของนิพจน์

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 2 - ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาค่าของนิพจน์

การตัดสินใจ:

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 3 และหมายเลข 4:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาค่าของนิพจน์

การตัดสินใจ:

ใช้คุณสมบัติหมายเลข 7 - ไปที่ฐาน 2:

ตัวอย่าง 7

ค้นหาค่าของนิพจน์

การตัดสินใจ:

คุณชอบบทความอย่างไร?

หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้ แสดงว่าคุณได้อ่านบทความทั้งหมดแล้ว

และมันเจ๋งมาก!

ตอนนี้บอกเราว่าคุณชอบบทความอย่างไร

คุณเรียนรู้ที่จะแก้ลอการิทึมหรือไม่? ถ้าไม่ปัญหาคืออะไร?

เขียนถึงเราในความคิดเห็นด้านล่าง

และใช่ ขอให้โชคดีกับการสอบของคุณ

ที่การสอบ Unified State และ OGE และโดยทั่วไปในชีวิต