อินทิกรัลที่แน่นอนคำนวณอย่างไร? อินทิกรัล - มันคืออะไร, วิธีแก้ปัญหา, ตัวอย่างของการแก้ปัญหาและคำอธิบายสำหรับหุ่น

ในแต่ละบทจะมีงานสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ ซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้

แนวคิดของอินทิกรัลแน่นอนและสูตรนิวตัน-ไลบนิซ

ปริพันธ์ที่แน่นอน จากฟังก์ชันต่อเนื่อง ฉ(x) ในช่วงเวลาจำกัด [ เอ, ข] (โดยที่ ) คือการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟบางตัวในส่วนนี้ (โดยทั่วไปแล้ว ความเข้าใจจะง่ายขึ้นอย่างเห็นได้ชัดหากคุณทำซ้ำหัวข้อของอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนครั้ง) ในกรณีนี้ สัญกรณ์

ดังแสดงในกราฟด้านล่าง (การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟถูกระบุโดย ) อินทิกรัลแน่นอนสามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ(คำนวณเป็นผลต่างระหว่างค่าของแอนติเดริเวทีฟในขีดจำกัดบนกับค่าของขีดจำกัดล่าง กล่าวคือ F(ข) - F(เอ)).

ตัวเลข เอและ ขเรียกว่า ขีดจำกัดล่างและบนของการรวม ตามลำดับ และช่วง [ เอ, ข] คือส่วนของการรวม

ดังนั้น ถ้า F(x) เป็นฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) จากนั้นตามคำจำกัดความ

(38)

ความเสมอภาค (38) เรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบนิซ . ความแตกต่าง F(ข) – F(เอ) เขียนสั้นๆ ดังนี้

ดังนั้นสูตรนิวตัน-ไลบนิซจึงเขียนได้ดังนี้

(39)

ให้เราพิสูจน์ว่าอินทิกรัลแน่นอนไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าแอนติเดริเวทีฟของอินทิกรัลใดที่คำนวณได้ อนุญาต F(x) และ F( X) เป็นแอนติเดริเวทีฟตามอำเภอใจของอินทิกรัล เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเดียวกัน พวกมันจึงต่างกันด้วยพจน์คงที่: Ф( X) = F(x) + ค. นั่นเป็นเหตุผลที่

ดังนั้นจึงเป็นที่แน่ชัดว่าในส่วนของ [ เอ, ข] การเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน ฉ(x) การแข่งขัน.

ดังนั้น ในการคำนวณอินทิกรัลแน่นอน จำเป็นต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟใดๆ ของอินทิกรัลที่แน่นอน นั่นคือ ก่อนอื่นคุณต้องหาอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนก่อน คงที่ จาก ไม่รวมอยู่ในการคำนวณในภายหลัง จากนั้นใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ: ค่าของขีดจำกัดบนจะถูกแทนที่ลงในฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ ข , ต่อไป - มูลค่าของขีด จำกัด ล่าง เอ และคำนวณส่วนต่าง ฉ(ข) - ฉ(ก) . จำนวนผลลัพธ์จะเป็นอินทิกรัลแน่นอน.

ที่ เอ = ขยอมรับตามคำนิยาม

ตัวอย่างที่ 1

วิธีการแก้. ลองหาอินทิกรัลไม่จำกัดกันก่อน:

การใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซกับแอนติเดริเวทีฟ

(ที่ จาก= 0) เราได้รับ

อย่างไรก็ตาม เมื่อคำนวณอินทิกรัลแน่นอน จะดีกว่าที่จะไม่พบแอนติเดริเวทีฟแยกจากกัน แต่ให้เขียนอินทิกรัลในรูปแบบ (39) ทันที

ตัวอย่าง 2คำนวณอินทิกรัลแน่นอน

วิธีการแก้. การใช้สูตร

ค้นหาอินทิกรัลที่แน่นอนด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา

คุณสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอน

ทฤษฎีบท 2ค่าของปริพันธ์ที่แน่นอนไม่ได้ขึ้นอยู่กับการกำหนดตัวแปรการรวม, เช่น.

(40)

อนุญาต F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x). สำหรับ ฉ(t) แอนติเดริเวทีฟเป็นฟังก์ชันเดียวกัน F(t) ซึ่งตัวแปรอิสระแสดงต่างกัน เพราะเหตุนี้,

ตามสูตร (39) ความเท่าเทียมกันสุดท้ายหมายถึงความเท่าเทียมกันของปริพันธ์

ทฤษฎีบทที่ 3ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของปริพันธ์ที่แน่นอนได้, เช่น.

(41)

ทฤษฎีบทที่ 4อินทิกรัลแน่นอนของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันจำนวนจำกัด เท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของปริพันธ์แน่นอนของฟังก์ชันเหล่านี้, เช่น.

(42)

ทฤษฎีบทที่ 5หากเซกเมนต์อินทิเกรตถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ดังนั้นอินทิกรัลแน่นอนสำหรับเซกเมนต์ทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลแน่นอนเหนือส่วนต่างๆ, เช่น. ถ้า

(43)

ทฤษฎีบทที่ 6เมื่อทำการจัดเรียงขีดจำกัดของการบูรณาการใหม่ ค่าสัมบูรณ์ของปริพันธ์ที่แน่นอนจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่มีเพียงเครื่องหมายเท่านั้นที่เปลี่ยนไป, เช่น.

(44)

ทฤษฎีบท 7(ทฤษฎีบทค่ากลาง). อินทิกรัลที่แน่นอนเท่ากับผลคูณของความยาวของเซกเมนต์การรวมและค่าของอินทิกรัล ณ จุดหนึ่งภายในนั้น, เช่น.

(45)

ทฤษฎีบทที่ 8หากขีดจำกัดการรวมบนมากกว่าค่าที่ต่ำกว่าและอินทิกรัลไม่เป็นค่าลบ (บวก) แสดงว่าอินทิกรัลที่แน่นอนก็ไม่ใช่ค่าลบ (บวก) ด้วย เช่น ถ้า

ทฤษฎีบทที่ 9หากขีดจำกัดบนของการผสานรวมกันมากกว่าขีดจำกัดล่างและฟังก์ชันและต่อเนื่อง แสดงว่าอสมการ

สามารถรวมคำศัพท์ตามเทอม, เช่น.

(46)

คุณสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอนช่วยให้เราสามารถคำนวณอินทิกรัลโดยตรงได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 5คำนวณอินทิกรัลแน่นอน

โดยใช้ทฤษฎีบท 4 และ 3 และเมื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟ - อินทิกรัลตาราง (7) และ (6) เราจะได้

ปริพันธ์แน่นอนพร้อมขีดจำกัดบนของตัวแปร

อนุญาต ฉ(x) ต่อเนื่องกันบนช่วง [ เอ, ข] ฟังก์ชั่นและ F(x) เป็นแบบอย่าง พิจารณาอินทิกรัลแน่นอน

(47)

และผ่าน tตัวแปรการรวมแสดงไว้เพื่อไม่ให้สับสนกับขอบเขตบน เมื่อมันเปลี่ยนไป Xอินทิกรัลแน่นอน (47) ก็เปลี่ยนแปลงเช่นกัน กล่าวคือ มันเป็นหน้าที่ของขีด จำกัด บนของการบูรณาการ Xซึ่งเราแสดงโดย F(X), เช่น.

(48)

ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน F(X) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) = ฉ(t). แท้จริงแล้วแตกต่าง F(X), เราได้รับ

เพราะ F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) แ F(เอ) เป็นค่าคงที่

การทำงาน F(X) เป็นหนึ่งในเซตของแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) คืออันที่ x = เอไปที่ศูนย์ คำสั่งนี้ได้มาจากความเท่าเทียมกัน (48) เราใส่ x = เอและใช้ทฤษฎีบท 1 ของส่วนก่อนหน้า

การคำนวณอินทิกรัลแน่นอนโดยวิธีการรวมโดยส่วนต่างๆ และวิธีการเปลี่ยนตัวแปร

โดยที่ตามคำจำกัดความ F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x). หากในอินทิกรัลเราทำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

จากนั้นตามสูตร (16) เราสามารถเขียน

ในนิพจน์นี้

ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสำหรับ

อันที่จริงอนุพันธ์ของมันตาม กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน, เท่ากับ

ให้ α และ β เป็นค่าของตัวแปร tซึ่งฟังก์ชัน

ใช้ค่าตามลำดับ เอและ ข, เช่น.

แต่ตามสูตรนิวตัน-ไลบนิซ ความแตกต่าง F(ข) – F(เอ) มี

อินทิกรัลมีไว้เพื่ออะไร? ลองตอบคำถามนี้ด้วยตัวคุณเอง

ในการอธิบายหัวข้อของปริพันธ์ ครูแสดงรายการส่วนการใช้งานที่ไม่มีประโยชน์สำหรับจิตใจของโรงเรียน ในหมู่พวกเขา:

• การคำนวณพื้นที่ของรูป
• การคำนวณมวลกายที่มีความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอ
• การกำหนดระยะทางที่เดินทางเมื่อเคลื่อนที่ด้วยความเร็วตัวแปร
• และอื่น ๆ.

เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะเชื่อมโยงกระบวนการเหล่านี้ทั้งหมด นักเรียนจำนวนมากจึงสับสน แม้ว่าพวกเขาจะมีความรู้พื้นฐานทั้งหมดเพื่อทำความเข้าใจอินทิกรัลก็ตาม

สาเหตุหลักของความไม่รู้– ขาดความเข้าใจในความสำคัญเชิงปฏิบัติของปริพันธ์

อินทิกรัล - มันคืออะไร?

ข้อกำหนดเบื้องต้น. ความจำเป็นในการบูรณาการเกิดขึ้นในกรีกโบราณ ในเวลานั้น อาร์คิมิดีสเริ่มใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกันในสาระสำคัญกับแคลคูลัสปริพันธ์สมัยใหม่ เพื่อหาพื้นที่ของวงกลม แนวทางหลักในการกำหนดพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่เท่ากันคือ "วิธีการหมดแรง" ซึ่งค่อนข้างเข้าใจง่าย

สาระสำคัญของวิธีการ. ลำดับแบบโมโนโทนิกของตัวเลขอื่น ๆ ถูกจารึกไว้ในรูปนี้ จากนั้นจะคำนวณขีด จำกัด ของลำดับของพื้นที่ของพวกเขา ขีดจำกัดนี้ถือเป็นพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนด

ในวิธีนี้ แนวคิดของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์สามารถติดตามได้ง่าย ๆ ซึ่งก็คือการหาขีดจำกัดของผลรวมอนันต์ ต่อมานักวิทยาศาสตร์ได้นำแนวคิดนี้มาแก้ปัญหา งานที่นำไปใช้วิทยาศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ กลศาสตร์ ฯลฯ

อินทิกรัลที่ทันสมัย. ทฤษฎีคลาสสิกของการบูรณาการถูกกำหนดขึ้นในเงื่อนไขทั่วไปโดยนิวตันและไลบนิซ มันอาศัยกฎของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ที่มีอยู่ในขณะนั้น เพื่อให้เข้าใจ คุณต้องมีความรู้พื้นฐานที่จะช่วยคุณอธิบายแนวคิดที่เป็นภาพและเป็นธรรมชาติเกี่ยวกับปริพันธ์ในภาษาคณิตศาสตร์

อธิบายแนวคิดของ "Integral"

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่างและการหาแอนติเดริเวทีฟ - บูรณาการ.

ปริพันธ์ ภาษาคณิตศาสตร์คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน (สิ่งที่อยู่ก่อนอนุพันธ์) + ค่าคงที่ "C"

ปริพันธ์ พูดง่ายๆคือพื้นที่ของรูปโค้ง อินทิกรัลไม่ จำกัด คือพื้นที่ทั้งหมด อินทิกรัลแน่นอนคือพื้นที่ในพื้นที่ที่กำหนด

อินทิกรัลเขียนดังนี้:

อินทิกรัลแต่ละตัวคูณด้วยคอมโพเนนต์ "dx" มันแสดงให้เห็นว่าตัวแปรใดถูกรวมเข้าด้วยกัน "dx" คือการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แทนที่จะเป็น X สามารถมีอาร์กิวเมนต์อื่นได้ เช่น t (เวลา)

ปริพันธ์ไม่แน่นอน

อินทิกรัลไม่มีกำหนดไม่มีขอบเขตของการบูรณาการ

ในการแก้อินทิกรัลไม่จำกัด ก็เพียงพอที่จะหาแอนติเดริเวทีฟของอินทิกรัลแล้วเติม "C" ลงไป

ปริพันธ์ที่แน่นอน

ในอินทิกรัลที่แน่นอน ข้อจำกัด "a" และ "b" ถูกเขียนบนเครื่องหมายการรวม ซึ่งระบุไว้บนแกน x ในกราฟด้านล่าง

ในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน คุณต้องหาแอนติเดริเวทีฟ แทนที่ค่าของ "a" และ "b" แล้วหาความแตกต่าง ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบนิซ:

ตารางอินทิกรัลสำหรับนักเรียน (สูตรพื้นฐาน)

ดาวน์โหลดสูตรของอินทิกรัล พวกมันจะยังมีประโยชน์สำหรับคุณ

วิธีการคำนวณอินทิกรัลอย่างถูกต้อง

มีการดำเนินการง่ายๆ หลายประการสำหรับการแปลงอินทิกรัล นี่คือรายการหลัก:

การลบค่าคงที่ใต้เครื่องหมายปริพันธ์

การสลายตัวของอินทิกรัลรวมเป็นผลรวมของปริพันธ์

หากคุณสลับ a และ b เครื่องหมายจะเปลี่ยน

คุณสามารถแบ่งอินทิกรัลเป็นช่วงได้ดังนี้

นี่เป็นคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดบนพื้นฐานของทฤษฎีบทและวิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้นของแคลคูลัสในภายหลัง

ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัล

การแก้อินทิกรัลไม่แน่นอน

การแก้อินทิกรัลแน่นอน

แนวคิดพื้นฐานสำหรับการทำความเข้าใจหัวข้อ

เพื่อให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของการบูรณาการและอย่าปิดหน้าจากการเข้าใจผิด เราจะอธิบายแนวคิดพื้นฐานจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชัน อนุพันธ์ ลิมิต และแอนติเดริเวทีฟคืออะไร

การทำงาน- กฎที่องค์ประกอบทั้งหมดจากชุดหนึ่งเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบทั้งหมดจากชุดอื่น

อนุพันธ์เป็นฟังก์ชันที่อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันอื่นในแต่ละจุดที่เฉพาะเจาะจง ในแง่ที่เคร่งครัด นี่คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ มีการคำนวณด้วยตนเอง แต่ใช้ตารางอนุพันธ์ได้ง่ายกว่า ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันมาตรฐานส่วนใหญ่

เพิ่มขึ้น- การเปลี่ยนแปลงเชิงปริมาณของฟังก์ชันโดยมีการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์

ขีดจำกัด- ค่าที่ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้ม เมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นค่าหนึ่ง

ตัวอย่างของลิมิต: สมมุติว่าสำหรับ X เท่ากับ 1, Y จะเท่ากับ 2 แต่ถ้า X ไม่เท่ากับ 1 แต่มีแนวโน้มเป็น 1 นั่นคือ จะไม่มีวันถึงมัน? ในกรณีนี้ y จะไม่ถึง 2 แต่จะมีแนวโน้มที่ค่านี้เท่านั้น ในภาษาคณิตศาสตร์ เขียนได้ดังนี้ limY (X) โดยที่ X –> 1 = 2 อ่านว่า ลิมิตของฟังก์ชัน Y (X) โดยที่ x พุ่งไปที่ 1 คือ 2

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว อนุพันธ์คือฟังก์ชันที่อธิบายฟังก์ชันอื่น ฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถได้มาจากฟังก์ชันอื่น ฟังก์ชันอื่นนี้เรียกว่า ดั้งเดิม.

บทสรุป

การหาอินทิกรัลไม่ยาก หากคุณไม่เข้าใจวิธีการทำ . จากครั้งที่สองจะชัดเจนขึ้น จดจำ!คำตอบของอินทิกรัลลดลงเป็นการแปลงแบบง่ายของอินทิกรัลแล้วค้นหาใน

หากคำอธิบายข้อความใช้ไม่ได้ผล ให้ดูวิดีโอเกี่ยวกับความหมายของอินทิกรัลและอนุพันธ์:

อินทิกรัล - มันคืออะไร, วิธีแก้ปัญหา, ตัวอย่างของการแก้ปัญหาและคำอธิบายสำหรับหุ่นปรับปรุงเมื่อ: 22 พฤศจิกายน 2019 โดย: บทความทางวิทยาศาสตร์.Ru

การแก้ปัญหาอินทิกรัลเป็นเรื่องง่าย แต่สำหรับชนชั้นสูงเท่านั้น บทความนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้ที่จะเข้าใจอินทิกรัล แต่รู้เพียงเล็กน้อยหรือไม่รู้เลยเกี่ยวกับพวกมัน อินทิกรัล... ทำไมจึงจำเป็น? วิธีการคำนวณมัน? อินทิกรัลที่แน่นอนและไม่แน่นอนคืออะไร?

หากการใช้อินทิกรัลเพียงอย่างเดียวที่คุณรู้จักคือการได้สิ่งที่มีประโยชน์จากสถานที่ที่เข้าถึงยากด้วยตะขอที่มีรูปร่างเป็นไอคอนอินทิกรัล ยินดีต้อนรับ! เรียนรู้วิธีแก้อินทิกรัลอย่างง่ายและอินทิกรัลอื่นๆ และทำไมคุณทำไม่ได้ถ้าไม่มีมันในวิชาคณิตศาสตร์

เราศึกษาแนวคิด « อินทิกรัล »

การบูรณาการเป็นที่รู้จักในอียิปต์โบราณ แน่นอนว่าไม่ใช่ในรูปแบบที่ทันสมัยแต่ยังคง ตั้งแต่นั้นมา นักคณิตศาสตร์ได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นจำนวนมาก โดดเด่นเป็นพิเศษ นิวตัน และ ไลบนิซ แต่แก่นแท้ของสิ่งต่าง ๆ ไม่เปลี่ยนแปลง

จะเข้าใจอินทิกรัลตั้งแต่เริ่มต้นได้อย่างไร? ไม่มีทาง! เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับพื้นฐานการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ข้อมูลเกี่ยวกับ ซึ่งจำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจเกี่ยวกับปริพันธ์ มีอยู่แล้วในบล็อกของเรา

ปริพันธ์ไม่แน่นอน

มาทำหน้าที่กันเถอะ เอฟ(x) .

อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน เอฟ(x) ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า เอฟ(x) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชัน เอฟ(x) .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อินทิกรัลคืออนุพันธ์ย้อนกลับหรือแอนติเดริเวทีฟ โดยวิธีการอ่านในบทความของเรา

มีแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด นอกจากนี้ เครื่องหมายคงที่มักจะถูกเพิ่มเข้าไปในแอนติเดริเวทีฟ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่แตกต่างกันโดยค่าคงที่คงที่ กระบวนการหาอินทิกรัลเรียกว่าอินทิกรัล

ตัวอย่างง่ายๆ:

เพื่อไม่ให้คำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันพื้นฐานตลอดเวลา จะสะดวกที่จะนำเข้ามาในตารางและใช้ค่าสำเร็จรูป

ตารางอินทิกรัลที่สมบูรณ์สำหรับนักเรียน

ปริพันธ์ที่แน่นอน

เมื่อต้องจัดการกับแนวคิดของอินทิกรัล เรากำลังจัดการกับปริมาณที่น้อยมาก อินทิกรัลจะช่วยคำนวณพื้นที่ของร่าง, มวลของวัตถุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน, เส้นทางที่เดินทางระหว่างการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอและอีกมากมาย ควรจำไว้ว่าอินทิกรัลเป็นผลรวมของเทอมเล็กอนันต์จำนวนมากอย่างอนันต์

ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง

จะหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร? ด้วยความช่วยเหลือของอินทิกรัล! ลองแยกสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชันออกเป็นส่วนน้อย ดังนั้นรูปจะถูกแบ่งออกเป็นคอลัมน์บาง ๆ ผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์จะเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่จำไว้ว่าการคำนวณดังกล่าวจะให้ผลลัพธ์โดยประมาณ อย่างไรก็ตาม ยิ่งเซ็กเมนต์เล็กและแคบลงเท่าใด การคำนวณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น หากเราลดขนาดลงจนความยาวมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ผลรวมของพื้นที่ของเซ็กเมนต์จะมีแนวโน้มเท่ากับพื้นที่ของรูป นี่คืออินทิกรัลแน่นอนซึ่งเขียนดังนี้:

จุด a และ b เรียกว่า ลิมิตของการบูรณาการ

« ปริพันธ์ »

อนึ่ง! สำหรับผู้อ่านของเราตอนนี้มีส่วนลด 10% สำหรับ

กฎสำหรับการคำนวณอินทิกรัลสำหรับ Dummies

คุณสมบัติของปริพันธ์ไม่แน่นอน

จะแก้อินทิกรัลไม่จำกัดได้อย่างไร? ที่นี่เราจะพิจารณาคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการแก้ตัวอย่าง

• อนุพันธ์ของอินทิกรัลเท่ากับอินทิกรัล:

• ค่าคงที่สามารถนำออกมาจากใต้เครื่องหมายปริพันธ์:

• อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของปริพันธ์ จริงเช่นกันสำหรับความแตกต่าง:

คุณสมบัติของอินทิกรัลที่แน่นอน

• ความเป็นเส้นตรง:

• เครื่องหมายของอินทิกรัลจะเปลี่ยนแปลงหากขีดจำกัดของการผสานรวมกลับกัน:

• ที่ ใดๆคะแนน เอ, ขและ กับ:

เราพบแล้วว่าอินทิกรัลแน่นอนคือขีดจำกัดของผลรวม แต่จะรับค่าเฉพาะเมื่อแก้ตัวอย่างได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้ มีสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ:

ตัวอย่างของการแก้อินทิกรัล

ด้านล่างนี้เราพิจารณาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหา เราขอเสนอให้คุณเข้าใจความซับซ้อนของโซลูชันโดยอิสระ และหากมีสิ่งใดไม่ชัดเจน ให้ถามคำถามในความคิดเห็น

ในการรวมเนื้อหา ดูวิดีโอเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขอินทิกรัลในทางปฏิบัติ อย่าสิ้นหวังหากไม่ได้ให้อินทิกรัลในทันที หันไปหาบริการนักศึกษาอย่างมืออาชีพ แล้วอินทิกรัลสามส่วนหรือส่วนโค้งใดๆ บนพื้นผิวปิดจะอยู่ในอำนาจของคุณ

เครื่องคิดเลขนี้ให้คุณแก้อินทิกรัลที่แน่นอนทางออนไลน์ได้ ในความเป็นจริง, การคำนวณอินทิกรัลแน่นอน- เป็นการหาจำนวนที่เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน สำหรับโซลูชัน จำเป็นต้องกำหนดขอบเขตของการผสานรวมและฟังก์ชันที่จะรวมเข้าด้วยกัน หลังจากการรวมเข้าด้วยกัน ระบบจะค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด คำนวณค่าที่จุดของขอบเขตการรวม ค้นหาความแตกต่าง ซึ่งจะเป็นคำตอบของอินทิกรัลที่แน่นอน ในการแก้อินทิกรัลไม่จำกัด คุณต้องใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ที่คล้ายกัน ซึ่งอยู่บนเว็บไซต์ของเราที่ลิงก์ - แก้อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน

เราอนุญาต คำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนออนไลน์ได้อย่างรวดเร็วและเชื่อถือได้ คุณจะได้รับคำตอบที่ถูกต้องเสมอ นอกจากนี้ สำหรับปริพันธ์แบบตาราง คำตอบจะถูกนำเสนอในรูปแบบคลาสสิก กล่าวคือ แสดงผ่านค่าคงที่ที่ทราบ เช่น ตัวเลข "pi" "เลขชี้กำลัง" เป็นต้น การคำนวณทั้งหมดนั้นฟรีและไม่ต้องลงทะเบียน การแก้ปัญหาอินทิกรัลที่แน่นอนกับเรา จะช่วยตัวเองให้พ้นจากการคำนวณที่ใช้เวลานานและซับซ้อน หรือโดยการแก้อินทิกรัลด้วยตัวเอง คุณจะสามารถตรวจสอบโซลูชันของคุณได้

บริการออนไลน์บน เว็บไซต์ให้คุณค้นพบ การแก้อินทิกรัลที่แน่นอนทางออนไลน์. การตัดสินใจจะดำเนินการโดยอัตโนมัติบนเซิร์ฟเวอร์และภายในไม่กี่วินาทีผู้ใช้จะได้รับผล บริการออนไลน์ทั้งหมดบนเว็บไซต์นั้นฟรีอย่างแน่นอน และการแก้ปัญหานั้นออกในรูปแบบที่สะดวกและเข้าใจได้ นอกจากนี้ ข้อได้เปรียบของเราคือให้ผู้ใช้มีโอกาสเข้าสู่ขอบเขตของการผสานรวม ซึ่งรวมถึงขีดจำกัดของการผสานรวม: ลบและบวกอนันต์ ดังนั้น การแก้อินทิกรัลที่แน่นอนจะกลายเป็นเรื่องง่าย รวดเร็วและมีคุณภาพสูง เป็นสิ่งสำคัญที่เซิร์ฟเวอร์อนุญาต คำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนออนไลน์ฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งการแก้ปัญหาในบริการออนไลน์อื่น ๆ มักจะเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความไม่สมบูรณ์ของระบบ เราจัดเตรียมกลไกที่ง่ายมากและใช้งานง่ายสำหรับการป้อนฟังก์ชันและความสามารถในการเลือกตัวแปรการรวม ซึ่งคุณไม่จำเป็นต้องแปลฟังก์ชันที่กำหนดในตัวแปรหนึ่งเป็นตัวแปรอื่น เพื่อขจัดข้อผิดพลาดและการพิมพ์ผิดที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้ นอกจากนี้ในหน้ายังมีลิงก์ไปยังบทความเชิงทฤษฎีและตารางเกี่ยวกับการแก้ปัญหาของปริพันธ์ที่แน่นอน เมื่อรวมกันแล้วจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนทางออนไลน์ได้อย่างรวดเร็ว และหากคุณต้องการ ให้ค้นหาและทำความเข้าใจทฤษฎีของการแก้อินทิกรัลที่แน่นอน บน http: // ไซต์ คุณสามารถไปที่บริการอื่น ๆ ได้: โซลูชันออนไลน์ของข้อ จำกัด, อนุพันธ์, ผลรวมของอนุกรม การไปที่แท็บเพื่อแก้ไขอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนทางออนไลน์นั้นค่อนข้างง่าย - ลิงก์อยู่ในแถวระหว่างลิงก์ที่มีประโยชน์ นอกจากนี้ บริการยังได้รับการปรับปรุงและพัฒนาอย่างต่อเนื่อง และทุกวันมีคุณสมบัติและการปรับปรุงใหม่ๆ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แก้อินทิกรัลแน่นอนร่วมกับเรา! บริการออนไลน์ทั้งหมดมีให้แม้กระทั่งผู้ใช้ที่ไม่ได้ลงทะเบียนและฟรีอย่างแน่นอน

คุณสามารถตรวจสอบโซลูชันของคุณเองหรือกำจัดการคำนวณที่สิ้นเปลืองเวลาที่ไม่จำเป็น และไว้วางใจในเครื่องจักรอัตโนมัติที่มีเทคโนโลยีสูงด้วยการแก้อินทิกรัลที่แน่นอนกับเราได้ ความแม่นยำที่คำนวณได้จากบริการจะเป็นไปตามมาตรฐานทางวิศวกรรมเกือบทุกชนิด บ่อยครั้ง สำหรับอินทิกรัลที่แน่นอนแบบตารางจำนวนมาก ผลลัพธ์จะได้รับในรูปแบบที่แน่นอน (โดยใช้ค่าคงที่ที่รู้จักกันดีและฟังก์ชันที่ไม่ใช่องค์ประกอบ)