คำนิยาม. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลขคือฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีชื่อเดียวกันของมุมเท่ากับเรเดียน
ให้เราชี้แจงคำจำกัดความนี้ด้วยตัวอย่างเฉพาะ
ตัวอย่างที่ 1 คำนวณค่าของ โดยเราหมายถึงจำนวนอตรรกยะที่เป็นนามธรรม โดยนิยาม. ดังนั้น, .
ตัวอย่างที่ 2 คำนวณค่าของ โดย 1.5 เราหมายถึงจำนวนนามธรรม ตามที่กำหนดไว้ (ดูภาคผนวก II)
ตัวอย่างที่ 3 คำนวณค่า ในทำนองเดียวกันกับค่าก่อนหน้า เราได้รับ (ดูภาคผนวก II)
ดังนั้น ในอนาคต ภายใต้อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราจะเข้าใจมุม (ส่วนโค้ง) หรือเพียงแค่ตัวเลข ขึ้นอยู่กับปัญหาที่เรากำลังแก้ไข และในบางกรณี อาร์กิวเมนต์อาจเป็นค่าที่มีมิติอื่น เช่น เวลา เป็นต้น การเรียกอาร์กิวเมนต์ว่ามุม (arc) เราสามารถหมายถึงตัวเลขที่ใช้วัดเป็นเรเดียนได้
เราได้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานที่สุดแล้ว (อย่าหลงกล นอกเหนือไปจากไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ยังมีฟังก์ชันอื่นๆ อีกมาก แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง) แต่ตอนนี้ เราจะพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่าง ของหน้าที่ศึกษาไปแล้ว
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข
ไม่ว่าจำนวนจริง t จะถูกนำออกไปใดก็ตาม ก็สามารถกำหนดจำนวนเฉพาะ sin(t) ได้ จริงอยู่ กฎการติดต่อสื่อสารค่อนข้างซับซ้อนและประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้
ในการหาค่าของ sin(t) ด้วยจำนวน t คุณต้อง:
- วางตำแหน่งวงกลมตัวเลขบนระนาบพิกัดเพื่อให้จุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิด และจุดเริ่มต้น A ของวงกลมกระทบจุด (1; 0);
- หาจุดบนวงกลมที่ตรงกับตัวเลข t;
- หาพิกัดของจุดนี้
- พิกัดนี้เป็นบาปที่ต้องการ
เรากำลังพูดถึงฟังก์ชัน s = sin(t) โดยที่ t คือจำนวนจริงใดๆ เราสามารถคำนวณค่าบางค่าของฟังก์ชันนี้ได้ (เช่น sin(0) = 0 , \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \)เป็นต้น) เราทราบคุณสมบัติบางอย่างของมัน
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสรุปได้ว่าเราได้รับแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันเพิ่มเติมอีกสามฟังก์ชันแล้ว: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) ฟังก์ชันทั้งหมดนี้เรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข t .
การเชื่อมต่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
อย่างที่คุณคาดหวัง เดาว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเชื่อมต่อถึงกัน และถึงแม้จะไม่รู้ค่าของฟังก์ชันหนึ่ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถหาได้จากอีกฟังก์ชันหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น สูตรที่สำคัญที่สุดของตรีโกณมิติทั้งหมดคือ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:
\[ บาป^(2) t + cos^(2) t = 1 \]
อย่างที่คุณเห็น การรู้ค่าของไซน์ คุณสามารถหาค่าของโคไซน์ได้ และในทางกลับกัน นอกจากนี้ สูตรทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับไซน์และโคไซน์กับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]
จากสูตรสองสูตรสุดท้าย สามารถอนุมานเอกลักษณ์ตรีโกณมิติได้อีกหนึ่งสูตร โดยเชื่อมโยงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในเวลานี้:
\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]
ตอนนี้เรามาดูกันว่าสูตรเหล่านี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ
ตัวอย่าง 1. ลดความซับซ้อนของนิพจน์: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)
ก) ก่อนอื่น เราเขียนแทนเจนต์ โดยคงกำลังสอง:
\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
ตอนนี้เราแนะนำทุกอย่างภายใต้ตัวส่วนร่วม และเราจะได้รับ:
\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]
และสุดท้าย อย่างที่เราเห็น ตัวเศษสามารถลดลงเหลือหนึ่งตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน ดังนั้นเราจึงได้รับ: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]
b) ด้วยโคแทนเจนต์ เราดำเนินการแบบเดียวกันทั้งหมด เฉพาะตัวส่วนเท่านั้นที่จะไม่มีโคไซน์อีกต่อไป แต่เป็นไซน์ และคำตอบจะเป็นดังนี้:
\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]
เมื่อทำภารกิจนี้เสร็จแล้ว เราก็ได้สูตรสำคัญอีกสองสูตรที่เชื่อมโยงฟังก์ชันของเราเข้าด้วยกัน ซึ่งคุณจำเป็นต้องรู้เช่นเดียวกับหลังมือของคุณ:
\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]
คุณต้องรู้ด้วยใจทุกสูตรที่นำเสนอในกรอบงาน มิฉะนั้น การศึกษาตรีโกณมิติเพิ่มเติมหากไม่มีสูตรเหล่านี้เป็นไปไม่ได้เลย คราวหน้าจะมีสูตรมากขึ้นและจะมีอีกมาก รับรองว่าจะจำไปอีกนานแน่นอน หรืออาจจะจำไม่ได้ แต่ใครๆ ก็รู้ทั้ง 6 ข้อนี้ !
Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณต้องเปิดใช้งานการควบคุม ActiveX เพื่อทำการคำนวณ!
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
เกี่ยวกับการศึกษา:
- ให้การทำซ้ำการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบของเนื้อหาของหัวข้อ "ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข";
- สร้างเงื่อนไขสำหรับการควบคุม (การควบคุมตนเอง) ของการดูดซึมความรู้และทักษะ
กำลังพัฒนา:
- เพื่อสนับสนุนการก่อตัวของความสามารถในการใช้เทคนิค - การเปรียบเทียบ, การวางนัยทั่วไป, เน้นสิ่งสำคัญ, การถ่ายโอนความรู้ไปยังสถานการณ์ใหม่;
- พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ การคิด การพูด ความสนใจ และความจำ
เกี่ยวกับการศึกษา:
- เพื่อส่งเสริมการศึกษาที่สนใจในวิชาคณิตศาสตร์ กิจกรรม ทักษะการสื่อสาร และวัฒนธรรมร่วม
ประเภทบทเรียน:บทเรียนเรื่องการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบความรู้
วิธีการสอน:การค้นหาบางส่วน (ฮิวริสติก)
ทดสอบการตรวจสอบระดับความรู้ การแก้ปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับความรู้ความเข้าใจ การตรวจสอบตนเอง การวางนัยทั่วไปของระบบ
แผนการเรียน.
- องค์กร ช่วงเวลา - 2 นาที
- แบบทดสอบตรวจสอบตัวเอง - 10 นาที
- รายงานในหัวข้อ - 3 นาที
- การจัดระบบของวัสดุทางทฤษฎี - 15 นาที
- งานอิสระที่แตกต่างพร้อมการตรวจสอบตนเอง - 10 นาที
- ผลงานอิสระ - 2 นาที
- สรุปบทเรียน - 3 นาที
ระหว่างเรียน
1. ช่วงเวลาขององค์กร
การบ้าน:
วรรค 1 วรรค 1.4
- งานทดสอบ (งานถูกโพสต์บนขาตั้ง)
อนาโตล ฟรองซ์ นักเขียนชาวฝรั่งเศสเคยกล่าวไว้ว่า “การเรียนรู้ต้องเป็นเรื่องสนุกเท่านั้น ในการแยกแยะความรู้ เราต้องซึมซับมันด้วยความเอร็ดอร่อย” วันนี้มาทำตามคำแนะนำของนักเขียนกันในบทเรียนกันเถอะ กระตือรือร้น ใส่ใจ ซึมซับความรู้ด้วยความปรารถนาดี ท้ายที่สุดพวกเขาจะเป็นประโยชน์กับคุณในอนาคต
วันนี้เรามีบทเรียนสุดท้ายในหัวข้อ: "ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข" เราทำซ้ำ สรุปเนื้อหาที่ศึกษา วิธีการและเทคนิคในการแก้นิพจน์ตรีโกณมิติ
2. การทดสอบตรวจสอบตนเอง
งานจะดำเนินการในสองรุ่น คำถามบนหน้าจอ
| № | 1 ตัวเลือก | ตัวเลือก 2 |
| 1 | กำหนดไซน์และโคไซน์ของมุมแหลม | กำหนดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลม |
| 2 | ฟังก์ชันตัวเลขใดที่เรียกว่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ให้คำจำกัดความ | ฟังก์ชันตัวเลขใดที่เรียกว่าไซน์และโคไซน์ ให้คำจำกัดความ |
| 3 | จุดบนวงกลมหน่วยมีพิกัด ค้นหาค่าของบาป cos | จุดวงกลมหน่วยมีพิกัด (-0.8; -0.6) ค้นหาค่า tg , ctg |
| 4 | ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานข้อใดเป็นเลขคี่ เขียนความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกัน | ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานข้อใดเท่ากัน เขียนความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกัน |
| 5 | ค่าของไซน์และโคไซน์เปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อมุมเปลี่ยนตามจำนวนรอบการหมุน? เขียนความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกัน | ค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อมุมเปลี่ยนตามจำนวนรอบการหมุนจำนวนเต็ม? คุณสมบัติคืออะไร? เขียนความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกัน |
| 6 | ค้นหาค่าบาป cos, บาป(- 630 °), cos (- 630 °) | ค้นหาค่า tg , ctg , tg 540°, ctg(-450 °) |
| 7 | รูปใดแสดงกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x
|
รูปใดแสดงกราฟของฟังก์ชัน y \u003d tg x
|
| 8 | เขียนสูตรการลดขนาดสำหรับมุม ( - ), (- ) | เขียนสูตรการลดขนาดสำหรับมุม (+ ), (+ ) |
| 9 | เขียนสูตรบวก. | เขียนเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน |
| 10 | เขียนสูตรลดระดับ. | เขียนสูตรอาร์กิวเมนต์คู่ |
นักเรียนทำเครื่องหมายขั้นตอนที่ไม่ถูกต้อง จำนวนคำตอบที่ถูกต้องจะถูกบันทึกไว้ในใบความรู้
3. ข้อความ
รายงานประวัติความเป็นมาของการพัฒนาตรีโกณมิติ (นักเรียนฝึกหัดพูด)
4. การจัดระบบของวัสดุทางทฤษฎี
งานปากเปล่า.
1) เรากำลังพูดถึงอะไร? มีอะไรพิเศษ?
กำหนดเครื่องหมายของนิพจน์:
ก) cos (700 °) tg 380 °,
b) cos (- 1) บาป (- 2)
2) บล็อกของสูตรนี้พูดว่าอย่างไร ผิดพลาดตรงไหน?
3) พิจารณาตาราง:
การแปลงตรีโกณมิติ |
|||
| การหาค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติ | การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากค่าที่ทราบของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนด | ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ | อัตลักษณ์ |
4) การแก้ปัญหาการแปลงตรีโกณมิติแต่ละประเภท
การหาค่านิพจน์ตรีโกณมิติ
การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากค่าที่ทราบของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนด
ให้ไว้: บาป = ;< <
หา cos2, ctg2
ตอบ: .< < 2
ค้นหา: cos2 , tg2
ระดับความยากที่สาม:
ให้ไว้: บาป = ;< <
ค้นหา: sin2 ; บาป(60° - ); tg (45° + )
งานเสริม.
พิสูจน์ตัวตน:
4 บาป 4 - 4 บาป 2 = cos 2 2 - 1
6. ผลงานอิสระ
นักเรียนตรวจสอบงานและบันทึกผลงานลงในใบงาน
7. สรุปบทเรียน
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข ความหมาย เอกลักษณ์"
วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 10
ปัญหาพีชคณิตกับพารามิเตอร์ เกรด 9–11
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"
เราจะเรียนอะไร:
1. คำจำกัดความของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นตัวเลข
2. สูตรพื้นฐาน
3. อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ
4. ตัวอย่างและงานสำหรับโซลูชันอิสระ
นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข
พวกเรารู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไรเรามาดูกันว่าสามารถค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นผ่านค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้หรือไม่?
มากำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติขององค์ประกอบตัวเลขดังนี้: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$
จำสูตรพื้นฐาน:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. ว่าแต่สูตรนี้ชื่ออะไรคะ?
$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$ สำหรับ $t≠\frac(π)(2)+πk$
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$ สำหรับ $t≠πk$
มาสร้างสูตรใหม่กัน
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
เรารู้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$เรามาหารเอกลักษณ์ทั้งสองด้านด้วย $cos^2(t)$
เราได้รับ: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t))$.
มาแปลงร่างกัน: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
เราได้รับข้อมูลประจำตัว: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$ กับ $t≠\frac(π)(2)+πk$
ตอนนี้เราหารเอกลักษณ์ทั้งสองด้านด้วย $sin^2(t)$
เราได้รับ: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
มาแปลงร่างกันเถอะ: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
เราได้รับเอกลักษณ์ใหม่ที่ควรค่าแก่การจดจำ:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$ สำหรับ $t≠πk$
เราได้รับสองสูตรใหม่ จำพวกเขา
สูตรเหล่านี้จะใช้ถ้าจำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันอื่นด้วยค่าที่รู้จักบางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การแก้ตัวอย่างสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข
ตัวอย่าง 1$cos(t) =\frac(5)(7)$, หา $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ สำหรับ t ทั้งหมด
การตัดสินใจ:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
จากนั้น $sin^2(t)=1-cos^2(t)$
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.
ตัวอย่าง 2
$tg(t) = \frac(5)(12)$ หา $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$ สำหรับ $0 . ทั้งหมด การตัดสินใจ:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
จากนั้น $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
เราจะได้ $cos^2(t)=\frac(144)(169)$
จากนั้น $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$ แต่ $0
เราได้รับ: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.งานสำหรับโซลูชันอิสระ
1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, ค้นหา $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$ สำหรับ $\frac(π)(2) ทั้งหมด
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, หา $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ สำหรับ $t$ ทั้งหมด