คำตอบของสมการกำลังสองและทฤษฎีบทของเวียตา ทฤษฎีบทของเวียตา

ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง นอกจากสูตรรากแล้ว ยังมีความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์อื่นๆ ทฤษฎีบทของเวียตา. ในบทความนี้ เราจะให้สูตรและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสอง ต่อไป เราพิจารณาทฤษฎีบทหนึ่งที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา หลังจากนั้นเราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่มีลักษณะเฉพาะมากที่สุด สุดท้าย เราเขียนสูตร Vieta ที่กำหนดการเชื่อมต่อระหว่างรากที่แท้จริง สมการพีชคณิตองศา n และค่าสัมประสิทธิ์

การนำทางหน้า

ทฤษฎีบทของเวียตา สูตร การพิสูจน์

จากสูตรรากของสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 ของรูปแบบ โดยที่ D=b 2 −4 a c , ความสัมพันธ์ x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = ค/ก. ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการยืนยัน ทฤษฎีบทของเวียตา:

ทฤษฎีบท.

ถ้า x 1 และ x 2 คือรากของสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 แล้วผลรวมของรากจะเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ b และ a ที่นำมาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของ รากเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ c และ a นั่นคือ .

การพิสูจน์.

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเวียตาตามรูปแบบต่อไปนี้: เราจะเขียนผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากที่รู้จัก จากนั้นเราจะแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าพวกมันเท่ากับ −b /a และ c/a ตามลำดับ

เริ่มจากผลรวมของราก เขียนมัน ตอนนี้เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้ว ในตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์ หลังจากนั้น : . ในที่สุด หลังจาก 2 เราจะได้ . นี่เป็นการพิสูจน์ความสัมพันธ์ครั้งแรกของทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับผลรวมของรากของสมการกำลังสอง มาต่อกันที่ข้อที่สอง

เราเขียนผลคูณของรากของสมการกำลังสอง:. ตามกฎการคูณเศษส่วน ผลคูณสุดท้ายสามารถเขียนเป็น ตอนนี้เราคูณวงเล็บด้วยวงเล็บในตัวเศษ แต่จะยุบผลิตภัณฑ์นี้ได้เร็วกว่าโดย ความแตกต่างของสูตรกำลังสอง, ดังนั้น . จากนั้น จำไว้ว่า เราจะทำการเปลี่ยนแปลงครั้งต่อไป และเนื่องจากสูตร D=b 2 −4 a·c สอดคล้องกับการเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสอง ดังนั้น b 2 −4·a·c สามารถแทนที่เป็นเศษส่วนสุดท้ายแทนที่จะเป็น D เราจึงได้ หลังจากเปิดวงเล็บและลบพจน์ที่คล้ายกัน เราก็มาถึงเศษส่วน และลดลง 4·a ให้ นี่เป็นการพิสูจน์ความสัมพันธ์ที่สองของทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับผลคูณของราก

หากเราละเว้นคำอธิบาย การพิสูจน์ทฤษฎีบทเวียตาจะมีรูปแบบที่กระชับ:
,
.

ยังคงเป็นเพียงข้อสังเกตว่าเมื่อ discriminant เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจะมีหนึ่งราก อย่างไรก็ตาม หากเราคิดว่าสมการในกรณีนี้มีสองรากที่เหมือนกัน ความเท่าเทียมกันจากทฤษฎีบทเวียตาก็ถือเช่นกัน อันที่จริงสำหรับ D=0 รากของสมการกำลังสองคือ จากนั้น และ และเนื่องจาก D=0 นั่นคือ b 2 −4·a·c=0 เหตุใด b 2 =4·a·c จึง

ในทางปฏิบัติ ทฤษฎีบทของ Vieta มักใช้กับสมการกำลังสองที่ลดลง (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์สูงสุดเท่ากับ 1 ) ของรูปแบบ x 2 +p·x+q=0 . บางครั้งมันถูกสร้างสำหรับสมการกำลังสองของประเภทนี้ ซึ่งไม่จำกัดความทั่วไป เนื่องจากสมการกำลังสองใดๆ สามารถแทนที่ด้วยสมการที่เท่ากันได้โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a นี่คือสูตรที่สอดคล้องกันของทฤษฎีบทของเวียตา:

ทฤษฎีบท.

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลด x 2 + p x + q \u003d 0 เท่ากับสัมประสิทธิ์ที่ x ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากเป็นเทอมอิสระ นั่นคือ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา

สูตรที่สองของทฤษฎีบทเวียตาที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ระบุว่าถ้า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองลด x 2 +p x+q=0 แล้ว ความสัมพันธ์ x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. ในทางกลับกัน จากความสัมพันธ์ที่เป็นลายลักษณ์อักษร x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q ตามมาว่า x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสอง x 2 +p x+q=0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง การยืนยันกับทฤษฎีบทของ Vieta นั้นเป็นความจริง เรากำหนดมันในรูปแบบของทฤษฎีบทและพิสูจน์มัน

ทฤษฎีบท.

หากตัวเลข x 1 และ x 2 เป็นจำนวนที่ x 1 +x 2 =−p และ x 1 x 2 =q ดังนั้น x 1 และ x 2 จะเป็นรากของสมการกำลังสองลด x 2 +p x+q=0 .

การพิสูจน์.

หลังจากแทนที่สัมประสิทธิ์ p และ q ในสมการ x 2 +p x+q=0 ของนิพจน์ผ่าน x 1 และ x 2 ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกแปลงเป็นสมการที่เทียบเท่ากัน

เราแทนที่ตัวเลข x 1 แทน x ในสมการผลลัพธ์ เรามีความเท่าเทียมกัน x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0ซึ่งสำหรับ x 1 และ x 2 ใด ๆ เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 0=0 ตั้งแต่ x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. ดังนั้น x 1 จึงเป็นรากของสมการ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ซึ่งหมายความว่า x 1 เป็นรูทของสมการเทียบเท่า x 2 +p x+q=0

ถ้าอยู่ในสมการ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0แทนที่ตัวเลข x 2 แทน x แล้วเราจะได้ความเท่าเทียมกัน x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. เป็นสมการที่ถูกต้องเพราะ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. ดังนั้น x 2 จึงเป็นรากของสมการด้วย x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0และด้วยเหตุนี้สมการ x 2 +p x+q=0

เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

ได้เวลาพูดถึงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเวียตาและทฤษฎีบทผกผันในทางปฏิบัติแล้ว ในส่วนย่อยนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไปส่วนใหญ่หลายๆ ตัวอย่าง

เราเริ่มต้นด้วยการใช้ทฤษฎีบทกับทฤษฎีบทของเวียตา สะดวกในการใช้ตรวจสอบว่าตัวเลขสองตัวที่ให้มานั้นเป็นรากของสมการกำลังสองที่ให้มาหรือไม่ ในกรณีนี้จะคำนวณผลรวมและส่วนต่างหลังจากนั้นจะตรวจสอบความถูกต้องของความสัมพันธ์ ถ้าความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เป็นที่พอใจ ดังนั้น โดยอาศัยทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตา สรุปได้ว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งความสัมพันธ์ไม่พอใจ ตัวเลขเหล่านี้ก็ไม่ใช่รากของสมการกำลังสอง วิธีนี้สามารถใช้เมื่อแก้สมการกำลังสองเพื่อตรวจสอบรากที่พบ

ตัวอย่าง.

คู่ใดของตัวเลข 1) x 1 =−5, x 2 =3 หรือ 2), หรือ 3) เป็นคู่ของรากของสมการกำลังสอง 4 x 2 −16 x+9=0?

วิธีการแก้.

สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองที่กำหนด 4 x 2 −16 x+9=0 คือ a=4 , b=−16 , c=9 . ตามทฤษฎีบทของเวียตา ผลรวมของรากของสมการกำลังสองต้องเท่ากับ −b/a นั่นคือ 16/4=4 และผลิตภัณฑ์ของรากต้องเท่ากับ c/a นั่นคือ 9 /4.

ตอนนี้ มาคำนวณผลรวมและผลคูณของตัวเลขในสามคู่ที่กำหนดแต่ละคู่ แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่เพิ่งได้รับ

ในกรณีแรก เรามี x 1 +x 2 =−5+3=−2 . ค่าผลลัพธ์จะแตกต่างจาก 4 ดังนั้นจึงไม่สามารถตรวจสอบเพิ่มเติมได้ แต่โดยทฤษฎีบทซึ่งเป็นผกผันของทฤษฎีบทของ Vieta เราสามารถสรุปได้ทันทีว่าตัวเลขคู่แรกไม่ใช่คู่ของรากของสมการกำลังสองที่กำหนด .

มาต่อกันที่กรณีที่สอง นั่นคือเงื่อนไขแรกเป็นที่พอใจ เราตรวจสอบเงื่อนไขที่สอง: ค่าที่ได้จะแตกต่างจาก 9/4 ดังนั้น จำนวนคู่ที่สองจึงไม่ใช่คู่ของรากของสมการกำลังสอง

คดีสุดท้ายยังคงอยู่ ที่นี่และ. ทั้งสองเงื่อนไขเป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้ x 1 และ x 2 จึงเป็นรากของสมการกำลังสองที่ให้มา

ตอบ:

ทฤษฎีบทซึ่งเป็นส่วนกลับของทฤษฎีบทของเวียตา สามารถนำมาใช้ในทางปฏิบัติเพื่อเลือกรากของสมการกำลังสอง โดยปกติ รากของจำนวนเต็มของสมการกำลังสองที่กำหนดพร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจะถูกเลือก เนื่องจากในกรณีอื่นๆ การทำเช่นนี้ค่อนข้างยาก ในเวลาเดียวกัน พวกเขาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าถ้าผลรวมของตัวเลขสองตัวเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการกำลังสอง นำด้วยเครื่องหมายลบ และผลคูณของจำนวนเหล่านี้เท่ากับเทอมว่าง ตัวเลขเหล่านี้ก็คือ รากของสมการกำลังสองนี้ มาจัดการกับตัวอย่างนี้กัน

ลองใช้สมการกำลังสอง x 2 −5 x+6=0 กัน เพื่อให้ตัวเลข x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการนี้ ต้องมีความเท่าเทียมกันสองค่า x 1 +x 2 \u003d 5 และ x 1 x 2 \u003d 6 มันยังคงเลือกตัวเลขดังกล่าว ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะทำ: ตัวเลขดังกล่าวคือ 2 และ 3 เนื่องจาก 2+3=5 และ 2 3=6 . ดังนั้น 2 และ 3 จึงเป็นรากของสมการกำลังสองนี้

ทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทของเวียตาสะดวกเป็นพิเศษในการหารากที่สองของสมการกำลังสองที่ลดรูปเมื่อรูตตัวใดตัวหนึ่งทราบอยู่แล้วหรือชัดเจน ในกรณีนี้ จะพบรูทที่สองจากความสัมพันธ์ใดๆ

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 512 x 2 −509 x−3=0 กัน ในที่นี้ง่ายที่จะเห็นว่าหน่วยเป็นรากของสมการ เนื่องจากผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองนี้เป็นศูนย์ ดังนั้น x 1 =1 รากที่สอง x 2 สามารถพบได้ ตัวอย่างเช่น จากความสัมพันธ์ x 1 x 2 =c/a เรามี 1 x 2 =−3/512 ดังนั้น x 2 =−3/512 ดังนั้นเราจึงกำหนดรากทั้งสองของสมการกำลังสอง: 1 และ −3/512

เป็นที่ชัดเจนว่าการเลือกรากนั้นเหมาะสมในกรณีที่ง่ายที่สุดเท่านั้น ในกรณีอื่นๆ ในการหาราก คุณสามารถใช้สูตรของรากของสมการกำลังสองผ่านตัวจำแนกได้

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติอีกประการหนึ่ง คือ การผกผันของทฤษฎีบทของเวียตา คือการรวบรวมสมการกำลังสองสำหรับรากที่กำหนด x 1 และ x 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะคำนวณผลรวมของราก ซึ่งให้สัมประสิทธิ์ของ x กับเครื่องหมายตรงข้ามของสมการกำลังสองที่กำหนด และผลิตภัณฑ์ของราก ซึ่งให้เทอมอิสระ

ตัวอย่าง.

เขียนสมการกำลังสองซึ่งมีรากเป็นตัวเลข -11 และ 23

วิธีการแก้.

แสดงว่า x 1 =-11 และ x 2 =23 . เราคำนวณผลรวมและผลิตภัณฑ์ของตัวเลขเหล่านี้: x 1 + x 2 \u003d 12 และ x 1 x 2 \u003d −253 ดังนั้น ตัวเลขเหล่านี้จึงเป็นรากของสมการกำลังสองที่ให้มาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง -12 และพจน์ว่าง -253 นั่นคือ x 2 −12·x−253=0 เป็นสมการที่ต้องการ

ตอบ:

x 2 −12 x−253=0 .

ทฤษฎีบทของ Vieta มักใช้ในการแก้งานที่เกี่ยวข้องกับสัญญาณของรากของสมการกำลังสอง ทฤษฎีบทของ Vieta เกี่ยวข้องกับสัญญาณของรากของสมการกำลังสองลด x 2 +p x+q=0 อย่างไร ต่อไปนี้คือข้อความที่เกี่ยวข้องสองข้อความ:

ถ้าเทอมว่าง q เป็นจำนวนบวก และถ้าสมการกำลังสองมีรากจริง แสดงว่าทั้งคู่เป็นบวกหรือทั้งคู่เป็นลบ
ถ้าเทอมอิสระ q เป็นจำนวนลบ และถ้าสมการกำลังสองมีรากจริง เครื่องหมายของพวกมันจะต่างกัน กล่าวคือ รากหนึ่งเป็นค่าบวกและอีกค่าหนึ่งเป็นค่าลบ

ข้อความเหล่านี้เป็นไปตามสูตร x 1 x 2 =q ตลอดจนกฎสำหรับการคูณจำนวนบวก ค่าลบ และตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน พิจารณาตัวอย่างการใช้งาน

ตัวอย่าง.

R เป็นบวก ตามสูตรจำแนกเราพบ D=(r+2) 2 −4 1 (r-1)= r 2 +4 r+4-4 r+4=r 2 +8 ค่าของนิพจน์ r 2 +8 เป็นค่าบวกสำหรับจำนวนจริง r ดังนั้น D>0 สำหรับจำนวนจริง r ใดๆ ดังนั้นสมการกำลังสองดั้งเดิมจึงมีรากที่สองสำหรับค่าจริงของพารามิเตอร์ r

ทีนี้มาดูว่าเมื่อใดที่รากมีสัญญาณต่างกัน หากเครื่องหมายของรากต่างกัน ผลคูณของพวกมันจะเป็นลบ และโดยทฤษฎีบทเวียตา ผลคูณของรากของสมการกำลังสองที่ให้มาจะเท่ากับเทอมอิสระ ดังนั้นเราจึงสนใจค่าของ r ซึ่งพจน์อิสระ r-1 เป็นค่าลบ ดังนั้น เพื่อที่จะหาค่าของ r ที่เราสนใจ เราต้อง แก้อสมการเชิงเส้น r-1<0 , откуда находим r<1 .

ตอบ:

ที่ r<1 .

สูตรเวียต้า

ด้านบน เราได้พูดถึงทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสองและวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่มันยืนยัน แต่มีสูตรที่เชื่อมโยงรากจริงและสัมประสิทธิ์ไม่เพียงแต่ของสมการกำลังสองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมการลูกบาศก์ สมการสี่เท่า และโดยทั่วไป สมการพีชคณิตองศา น. พวกเขาถูกเรียกว่า สูตรเวียต้า.

เราเขียนสูตรเวียตาสำหรับสมการพีชคณิตของดีกรี n ของรูปแบบ ในขณะที่เราคิดว่ามันมี n รากจริง x 1, x 2, ..., x n (ในจำนวนนั้นอาจมีเหมือนกัน):

รับสูตรเวียต้าช่วยให้ ทฤษฎีบทตัวประกอบพหุนามเช่นเดียวกับคำจำกัดความของพหุนามเท่ากันผ่านความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันทั้งหมด ดังนั้นพหุนามและการขยายตัวของตัวประกอบเชิงเส้นตรงของรูปแบบจึงเท่ากัน การเปิดวงเล็บในผลิตภัณฑ์สุดท้ายและเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเราได้รับสูตร Vieta

โดยเฉพาะสำหรับ n=2 เรามีสูตร Vieta ที่คุ้นเคยอยู่แล้วสำหรับสมการกำลังสอง

สำหรับสมการลูกบาศก์ สูตรเวียต้าจะมีรูปแบบ

เหลือเพียงสังเกตว่าทางด้านซ้ายของสูตรเวียตามีสิ่งที่เรียกว่าระดับประถมศึกษา พหุนามสมมาตร.

บรรณานุกรม.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ค.ศ. 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ไอ 978-5-346-01155-2
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [อ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; เอ็ด เอ.บี.จิจเชนโก. - ครั้งที่ 3 - ม.: ตรัสรู้, 2553.- 368 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-022771-1

ในการบรรยายนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับความสัมพันธ์ที่น่าสงสัยระหว่างรากของสมการกำลังสองและสัมประสิทธิ์ของสมการ ความสัมพันธ์เหล่านี้ถูกค้นพบครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Francois Viet (1540-1603)

ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 โดยไม่พบราก คุณสามารถใช้ทฤษฎีบท Vieta พูดได้ทันทีว่าผลรวมของรากคือ และผลิตภัณฑ์ของรากคือ
เช่น - 2 และสำหรับสมการ x 2 - 6x + 8 \u003d 0 เราสรุป: ผลรวมของรากคือ 6 ผลคูณของรากคือ 8 อย่างไรก็ตาม เดาได้ไม่ยากว่ารากมีค่าเท่ากับ 4 และ 2
บทพิสูจน์ทฤษฎีบทของเวียตา ราก x 1 และ x 2 ของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c \u003d 0 หาได้จากสูตร

โดยที่ D \u003d b 2 - 4ac คือการเลือกปฏิบัติของสมการ วางรากเหล่านี้ลง
เราได้รับ

ตอนนี้เราคำนวณผลคูณของราก x 1 และ x 2 เรามี

พิสูจน์ความสัมพันธ์ที่สอง:
ความคิดเห็น ทฤษฎีบทของเวียตายังใช้ได้ในกรณีที่สมการกำลังสองมีหนึ่งรูต (เช่น เมื่อ D \u003d 0) ในกรณีนี้ถือว่าสมการนั้นมีรากที่เหมือนกันสองราก ซึ่งใช้ความสัมพันธ์ข้างต้น
ความสัมพันธ์ที่พิสูจน์แล้วสำหรับสมการกำลังสองลด x 2 + px + q \u003d 0 มีรูปแบบง่าย ๆ โดยเฉพาะ ในกรณีนี้ เราได้รับ:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
เหล่านั้น. ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ให้มานั้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง หารด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากจะเท่ากับเทอมว่าง
ด้วยการใช้ทฤษฎีบทเวียตา เราสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองได้ ให้ตัวอย่างเช่น x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองลดลง x 2 + px + q = 0 จากนั้น

อย่างไรก็ตาม จุดประสงค์หลักของทฤษฎีบทของ Vieta ไม่ใช่การแสดงความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง สิ่งที่สำคัญกว่านั้นมากคือความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทเวียตา เราจะได้สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบกำลังสองไตรโนเมียลโดยที่เราจะไม่ทำในอนาคต

การพิสูจน์. เรามี

ตัวอย่างที่ 1. แยกตัวประกอบกำลังสองไตรโนเมียล 3x 2 - 10x + 3
วิธีการแก้. เมื่อแก้สมการ Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 แล้ว เราจะพบรากของจตุรัสไตรนาม Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d
โดยใช้ทฤษฎีบท 2 เราจะได้

มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะเขียน Zx - 1 จากนั้นเราก็ได้ Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1)
โปรดทราบว่าสามารถแยกตัวประกอบกำลังสองกำลังสองโดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีบท 2 โดยใช้วิธีการจัดกลุ่ม:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1)

แต่อย่างที่คุณเห็น ด้วยวิธีนี้ ความสำเร็จขึ้นอยู่กับว่าเราสามารถหากลุ่มที่ประสบความสำเร็จได้หรือไม่ ในขณะที่วิธีแรกรับประกันความสำเร็จ
ตัวอย่างที่ 1. ลดเศษส่วน

วิธีการแก้. จากสมการ 2x 2 + 5x + 2 = 0 เราพบว่า x 1 = - 2

จากสมการ x2 - 4x - 12 = 0 เราพบว่า x 1 = 6, x 2 = -2 นั่นเป็นเหตุผลที่
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2)
ทีนี้ลองลดเศษส่วนที่กำหนด:

ตัวอย่างที่ 3. แยกตัวประกอบนิพจน์:
ก) x4 + 5x 2 +6; ข) 2x+-3
วิธีแก้ไข ก) เราแนะนำตัวแปรใหม่ y = x 2 . สิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถเขียนนิพจน์ที่กำหนดใหม่ในรูปแบบของไตรนามกำลังสองเทียบกับตัวแปร y กล่าวคือ ในรูปแบบ y 2 + โดย + 6
เมื่อแก้สมการ y 2 + โดย + 6 \u003d 0, เราจะพบรากของไตรนามกำลังสอง y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3 ตอนนี้เราใช้ทฤษฎีบท 2; เราได้รับ

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3)
ยังคงต้องจำไว้ว่า y \u003d x 2 คือกลับไปที่นิพจน์ที่กำหนด ดังนั้น,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3)
b) มาแนะนำตัวแปรใหม่ y = สิ่งนี้จะช่วยให้คุณสามารถเขียนนิพจน์ที่กำหนดใหม่ในรูปแบบของไตรนามกำลังสองเทียบกับตัวแปร y กล่าวคือ ในรูปแบบ 2y 2 + y - 3 เมื่อแก้สมการแล้ว
2y 2 + y - 3 = 0 หารากของไตรโนเมียลกำลังสอง 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . นอกจากนี้ โดยใช้ทฤษฎีบท 2 เราได้รับ:

ยังคงต้องจำไว้ว่า y \u003d คือกลับไปที่นิพจน์ที่กำหนด ดังนั้น,

ส่วนนี้ลงท้ายด้วยข้อพิจารณาบางประการ ซึ่งเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทเวียตาอีกครั้ง หรือมากกว่าด้วยการยืนยันจากการสนทนา:
หากตัวเลข x 1, x 2 เป็นเช่นนั้น x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q แสดงว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการ
เมื่อใช้คำสั่งนี้ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองหลาย ๆ สมการได้โดยไม่ต้องใช้สูตรรากที่ยุ่งยาก และยังเขียนสมการกำลังสองด้วยรากที่กำหนดได้ ให้ตัวอย่าง

1) x 2 - 11x + 24 = 0 ในที่นี้ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24 เดาง่าย ๆ ว่า x 1 = 8, x 2 = 3

2) x 2 + 11x + 30 = 0 ในที่นี้ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30 เดาง่าย ๆ ว่า x 1 = -5, x 2 = -6
โปรดทราบ: หากพจน์ว่างของสมการเป็นจำนวนบวก รากทั้งสองจะเป็นค่าบวกหรือค่าลบ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องพิจารณาเมื่อเลือกราก

3) x 2 + x - 12 = 0 ที่นี่ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12 เดาได้ง่ายว่า x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4
โปรดทราบ: หากพจน์ว่างของสมการเป็นจำนวนลบ แสดงว่ารากในเครื่องหมายต่างกัน นี่เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องพิจารณาเมื่อเลือกราก

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0 ง่ายที่จะเห็นว่า x = 1 เป็นไปตามสมการ กล่าวคือ x 1 \u003d 1 - รากของสมการ ตั้งแต่ x 1 x 2 \u003d - และ x 1 \u003d 1 เราจึงได้ x 2 \u003d -

5) x 2 - 293x + 2830 = 0 ในที่นี้ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830 หากคุณสนใจความจริงที่ว่า 2830 = 283 10 และ 293 \u003d 283 + 10 จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (ลองนึกดูว่าจะต้องทำการคำนวณใดเพื่อแก้สมการกำลังสองนี้โดยใช้สูตรมาตรฐาน)

6) มาเขียนสมการกำลังสองกันเพื่อให้ตัวเลข x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 เป็นรากของมัน โดยปกติแล้ว ในกรณีเช่นนี้จะประกอบกันเป็นสมการกำลังสองลด x 2 + px + q \u003d 0
เรามี x 1 + x 2 \u003d -p ดังนั้น 8 - 4 \u003d -p นั่นคือ p \u003d -4 นอกจากนี้ x 1 x 2 = q นั่นคือ 8"(-4) = q ดังนั้นเราจะได้ q = -32 ดังนั้น p \u003d -4, q \u003d -32 ซึ่งหมายความว่าสมการกำลังสองที่ต้องการมีรูปแบบ x 2 -4x-32 \u003d 0

การกำหนดและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสอง ทฤษฎีบท Vieta ผกผัน ทฤษฎีบทเวียตาสำหรับสมการกำลังสามและสมการลำดับตามอำเภอใจ

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: รากของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสอง

ทฤษฎีบทของเวียตา

ให้และแสดงถึงรากของสมการกำลังสองที่ลดลง
(1) .
แล้วผลรวมของรากจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม ผลคูณของรูตเท่ากับเทอมอิสระ:
;
.

หมายเหตุเกี่ยวกับหลายราก

ถ้าดิสคริมิแนนต์ของสมการ (1) เป็นศูนย์ สมการนี้มีรากเดียว แต่เพื่อหลีกเลี่ยงการกำหนดสูตรที่ยุ่งยาก เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าในกรณีนี้ สมการ (1) มีรากสองผลคูณหรือเท่ากัน:
.

พิสูจน์หนึ่ง

ให้เราหารากของสมการ (1) เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง:
;
;
.

หาผลรวมของราก:
.

ในการค้นหาผลิตภัณฑ์ เราใช้สูตร:
.
แล้ว

.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐานที่สอง

หากตัวเลขและเป็นรากของสมการกำลังสอง (1) แล้ว
.
เราเปิดวงเล็บ

.
ดังนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราพบว่า:
;
.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทผกผันเวียตา

ให้มีตัวเลขโดยพลการ แล้วก็เป็นรากของสมการกำลังสอง
,
ที่ไหน
(2) ;
(3) .

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสนทนาของเวียตา

พิจารณาสมการกำลังสอง
(1) .
เราต้องพิสูจน์ว่า if และ แล้ว และ เป็นรากของสมการ (1)

แทนที่ (2) และ (3) เป็น (1):
.
เราจัดกลุ่มเงื่อนไขทางด้านซ้ายของสมการ:
;
;
(4) .

ทดแทนใน (4) :
;
.

ทดแทนใน (4) :
;
.
สมการเป็นจริง นั่นคือ ตัวเลขคือรากของสมการ (1)

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการกำลังสองที่สมบูรณ์
(5) ,
โดยที่ และ เป็นตัวเลขบางตัว และ .

เราหารสมการ (5) โดย:
.
นั่นคือเราได้สมการข้างต้นแล้ว
,
ที่ไหน ; .

จากนั้นทฤษฎีบทเวียตาสำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์จะมีรูปแบบดังนี้

ให้และแสดงว่ารากของสมการกำลังสองสมบูรณ์
.
จากนั้นผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากจะถูกกำหนดโดยสูตร:
;
.

ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการลูกบาศก์

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสร้างการเชื่อมต่อระหว่างรากของสมการลูกบาศก์ได้ พิจารณาสมการลูกบาศก์
(6) ,
โดยที่ , , , เป็นตัวเลขบางตัว และ .
ลองหารสมการนี้ด้วย:
(7) ,
ที่ไหน , , .
ให้ , , เป็นรากของสมการ (7) (และสมการ (6)) แล้ว

.

เมื่อเปรียบเทียบกับสมการ (7) เราพบว่า:
;
;
.

ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการดีกรีที่ n

ในทำนองเดียวกัน คุณจะพบความเชื่อมโยงระหว่างราก , , ... , , สำหรับสมการของดีกรีที่ n
.

ทฤษฎีบทของเวียตาสำหรับสมการดีกรีที่ n มีรูปแบบดังนี้:
;
;
;

.

เพื่อให้ได้สูตรเหล่านี้ เราเขียนสมการในรูปแบบต่อไปนี้:
.
จากนั้นเราหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ , , , ... , และเปรียบเทียบเทอมอิสระ

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.
ซม. Nikolsky, เอ็ม.เค. Potapov et al., พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาชั้นประถมศึกษาปีที่ 8, มอสโก, การศึกษา, 2549

ดูสิ่งนี้ด้วย:

เกือบทุกสมการกำลังสอง \ สามารถแปลงเป็นรูปแบบ \ อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้หากแต่ละเทอมถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์ \ หน้า \ นอกจากนี้ สัญกรณ์ใหม่ยังสามารถแนะนำได้:

\[(\frac (b)(a))= p\] และ \[(\frac (c)(a)) = q\]

ด้วยเหตุนี้ เราจะมีสมการ \ เรียกในคณิตศาสตร์ว่าสมการกำลังสองลดรูป รากของสมการนี้และสัมประสิทธิ์ \ เชื่อมโยงถึงกัน ซึ่งได้รับการยืนยันโดยทฤษฎีบทเวียตา

ทฤษฎีบทของเวียตา: ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ลดลง \ เท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง \ ที่นำมาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากคือเทอมอิสระ \

เพื่อความชัดเจน เราแก้สมการของรูปแบบต่อไปนี้:

เราแก้สมการกำลังสองนี้โดยใช้กฎการเขียน หลังจากวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นแล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าสมการจะมีรากที่แตกต่างกันสองแบบ เพราะ:

ทีนี้ จากตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลข 15 (1 และ 15, 3 และ 5) เราเลือกตัวที่มีความแตกต่างเท่ากับ 2 ตัวเลข 3 และ 5 อยู่ภายใต้เงื่อนไขนี้ เราใส่เครื่องหมายลบไว้ข้างหน้าตัวที่เล็กกว่า ตัวเลข. ดังนั้นเราจึงได้รากของสมการ \

คำตอบ: \[ x_1= -3 และ x_2 = 5\]

ฉันจะแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณสามารถชมวิดีโอการสอนและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณเสมอ

เมื่อศึกษาวิธีแก้สมการอันดับสองในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน ให้พิจารณาคุณสมบัติของรากที่ได้รับ ตอนนี้พวกเขารู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเวียตา ตัวอย่างการใช้งานมีให้ในบทความนี้

สมการกำลังสอง

สมการลำดับที่สองคือความเท่าเทียมกัน ซึ่งแสดงในรูปภาพด้านล่าง

ในที่นี้สัญลักษณ์ a, b, c คือตัวเลขบางตัวที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่กำลังพิจารณา ในการแก้ความเท่าเทียมกัน คุณต้องหาค่า x ที่ทำให้เป็นจริง

โปรดทราบว่าเนื่องจากค่าสูงสุดของกำลังที่ x เพิ่มขึ้นคือสอง ดังนั้นจำนวนรูตในกรณีทั่วไปจึงเป็นสองด้วย

มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาความเท่าเทียมกันประเภทนี้ ในบทความนี้เราจะพิจารณาหนึ่งในนั้นซึ่งเกี่ยวข้องกับการใช้ทฤษฎีบทเวียตาที่เรียกว่า

คำชี้แจงของทฤษฎีบทของเวียตา

ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 16 นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง Francois Viet (ชาวฝรั่งเศส) สังเกตเห็นเมื่อวิเคราะห์คุณสมบัติของรากของสมการกำลังสองแบบต่างๆ ว่าการรวมกันบางอย่างเป็นไปตามความสัมพันธ์ที่เฉพาะเจาะจง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ชุดค่าผสมเหล่านี้เป็นผลิตภัณฑ์และผลรวม

ทฤษฎีบทของเวียตากำหนดดังต่อไปนี้: เมื่อรวมรากของสมการกำลังสองแล้ว ให้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์เชิงเส้นต่อกำลังสองที่นำมากับเครื่องหมายตรงข้าม และเมื่อคูณแล้ว จะนำไปสู่อัตราส่วนของเทอมอิสระต่อสัมประสิทธิ์กำลังสอง .

หากรูปแบบทั่วไปของสมการถูกเขียนตามที่แสดงในภาพถ่ายในส่วนก่อนหน้าของบทความ ในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทนี้สามารถเขียนได้เป็นสองความเท่าเทียมกัน:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a

โดยที่ r 1 , r 2 คือค่าของรากของสมการที่พิจารณา

ความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากจำนวนหนึ่ง การใช้ทฤษฎีบทเวียตาในตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหามีให้ในหัวข้อต่อไปนี้ของบทความ