ทางการศึกษา: สอนนักเรียนให้ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยใช้วิธีที่พวกเขาเลือก ในรูปแบบการแทนค่าเบื้องต้น
ทักษะด้านรูปหลายเหลี่ยม กราฟิก และการวัด
การพัฒนา: การพัฒนาวิธีการกิจกรรมทางจิตของนักเรียนเมื่อปฏิบัติงานจากการสังเกตการคำนวณเพื่อชี้แจงรูปแบบการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม
การให้ความรู้: การเปิดเผยประสบการณ์ส่วนตัวของนักเรียน การกระตุ้นการกระทำ แรงบันดาลใจของนักเรียนเป็นพื้นฐานในการให้ความรู้ลักษณะบุคลิกภาพเชิงบวก
ระเบียบวิธี: การสร้างเงื่อนไขสำหรับการสำแดงกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน

อุปกรณ์การเรียน:

การออกแบบไวท์บอร์ด: ด้านซ้าย - รูปหลายเหลี่ยม, ด้านขวา - ผ้าใบเปล่าของกระดานสำหรับเขียนในบทเรียน, ตรงกลาง - รูปหลายเหลี่ยม-สี่เหลี่ยมผืนผ้า
แผ่นพับ "สำหรับการวิจัย"
เครื่องมือของครูและนักเรียน (ชอล์ก ตัวชี้ ไม้บรรทัด แผ่นงานวิจัย ตัวเลข กระดาษวาดรูป มาร์กเกอร์)

วิธีการเรียน:

เกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ของครูและนักเรียน - การสนทนา - การสื่อสาร
ตามวิธีการแก้ปัญหา - ค้นหาบางส่วน;
ตามวิถีของกิจกรรมทางจิต - (SUD) การฝึกพัฒนาการ

รูปแบบของบทเรียนเป็นแบบหน้าผาก เป็นคู่ เป็นรายบุคคล

ประเภทของบทเรียนเป็นบทเรียนในการเรียนรู้ความรู้ ทักษะ และความสามารถใหม่ๆ

โครงสร้างของบทเรียนจะค่อยๆ ลงลึกในหัวข้อ ยืดหยุ่น โต้ตอบได้

ระหว่างเรียน

ทักทาย.

บทเรียนนั้นสวยงามและนำความสุขมาให้เมื่อเราคิดและทำงานร่วมกัน วันนี้เราจะพิจารณาตัวเลข กำหนดชื่อ คิด ค้นหา และค้นหาวิธีแก้ไข ขอให้งานสำเร็จลุล่วงไปด้วยดี

อัพเดทความรู้.

พิจารณาตัวเลข (รูปหลายเหลี่ยมบนกระดาน)

พวกเขาทั้งหมดเข้าด้วยกัน ทำไม คุณสมบัติทั่วไปของพวกเขาคืออะไร? (รูปหลายเหลี่ยม).

ตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมนี้ (5-gon, 6-gon…)

คุณรู้หรือไม่ว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?

จากนั้นแสดงบนหนึ่งในตัวเลข

(ลักษณะทั่วไปโดยครู: พื้นที่เป็นส่วนหนึ่งของระนาบภายในรูปทรงเรขาคณิตแบบปิด)

ในภาษารัสเซีย คำนี้มีความหมายหลายประการ

(นักเรียนในพจนานุกรมแนะนำความหมาย)

ส่วนหนึ่งของระนาบภายในรูปทรงเรขาคณิตแบบปิด
พื้นที่ขนาดใหญ่ที่ยังไม่ได้พัฒนาและแบน
สถานที่สำหรับวัตถุประสงค์ใด ๆ

ค่าใดที่ใช้ในคณิตศาสตร์?

ในวิชาคณิตศาสตร์ ค่าแรกถูกใช้

(มีรูปอยู่บนกระดาน)

มันเป็นรูปหลายเหลี่ยมหรือไม่? ใช่.

ตั้งชื่อรูปร่างแตกต่างกัน สี่เหลี่ยมผืนผ้า.

แสดงความยาว ความกว้าง

จะหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร?

เขียนสูตรโดยใช้ตัวอักษรและสัญลักษณ์

ถ้าความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าของเราคือ 20 ซม. ความกว้างคือ 10 ซม. พื้นที่คืออะไร?

พื้นที่ 200 ซม. 2

คิดเกี่ยวกับวิธีการแนบไม้บรรทัดเพื่อให้ร่างแบ่งออกเป็น:

คุณเห็นหรือไม่ว่ารูปประกอบด้วยส่วนใด? ในทางกลับกัน เราจะประกอบชิ้นส่วนทั้งหมดเข้าด้วยกัน

(ชิ้นส่วนของร่างวางอยู่บนโต๊ะ เด็ก ๆ ประกอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าจากพวกเขา)

หาข้อสรุปจากการสังเกตของคุณ

ร่างทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และจากส่วนต่าง ๆ เพื่อสร้างทั้งหมด

บ้านที่สร้างจากรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมเป็นรูปเงา นี่คือสิ่งที่พวกเขากลายเป็น

(สาธิตการวาดภาพโดยนักเรียนที่บ้าน วิเคราะห์ผลงานชิ้นหนึ่ง)

คุณใช้ตัวเลขอะไร คุณมีรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน

คำชี้แจงของงานการศึกษา

ในบทเรียน เราต้องตอบคำถาม: จะหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนได้อย่างไร?

ทำไมคนต้องหาพื้นที่?

(คำตอบของเด็กและลักษณะทั่วไปโดยครู)

งานกำหนดพื้นที่เกิดจากการปฏิบัติ

(แสดงแผนผังไซต์โรงเรียน)

ในการสร้างโรงเรียน พวกเขาสร้างแผนขึ้นมาก่อน จากนั้นอาณาเขตก็ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ของบางพื้นที่ อาคาร เตียงดอกไม้ สนามกีฬา ในกรณีนี้ เว็บไซต์มีรูปร่างที่แน่นอน - รูปทรงของรูปหลายเหลี่ยม

การแก้ปัญหาทางการศึกษา

(รูปแบบถูกส่งออกไปเพื่อการวิจัย)

มีร่างอยู่ข้างหน้าคุณ ตั้งชื่อเธอ

รูปหลายเหลี่ยม, หกเหลี่ยม

หาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม จะทำอย่างไรเพื่อสิ่งนี้?

แบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยม

(ในกรณีที่ยากจะมีคำถามอีกว่า “รูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยรูปร่างอะไร?”)

จากสองสี่เหลี่ยม

แบ่งรูปร่างออกเป็นสี่เหลี่ยมโดยใช้ไม้บรรทัดและดินสอ กำหนดหมายเลข 1 และ 2 ชิ้นส่วนที่ได้รับ

มาวัดกัน

หาพื้นที่ของรูปแรก

(นักเรียนเสนอวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้และเขียนไว้บนกระดาน)

S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 ซม. 2
S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 ซม. 2

เมื่อรู้พื้นที่ของชิ้นส่วนแล้วจะหาพื้นที่ของรูปทั้งหมดได้อย่างไร?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 ซม. 2

S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 ซม. 2
S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 ซม. 2
S \u003d 12 + 3 \u003d 15 ซม. 2

เปรียบเทียบผลลัพธ์และสรุป

มาทำตามขั้นตอนของเรากัน

พบพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร?

อัลกอริทึมถูกรวบรวมและเขียนบนโปสเตอร์:?

1. แบ่งร่างเป็นส่วนๆ

2. ค้นหาพื้นที่ของส่วนต่างๆ ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ (S 1, S 2)

3. ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด (S 1 + S 2)

พูดอัลกอริทึม

(นักเรียนหลายคนออกเสียงอัลกอริทึม)

เราพบสองวิธีและอาจมีมากกว่านั้น?

และคุณสามารถจบร่างได้

คุณได้สี่เหลี่ยมกี่อัน?

มากำหนดส่วนที่ 1 และ 2 กันเถอะ มาทำการวัดกัน

หาพื้นที่ของแต่ละส่วนของรูปหลายเหลี่ยม

S1=6? 5=30ซม.2
S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 ซม. 2

จะหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมของเราได้อย่างไร?

S \u003d 30 - 15 \u003d 15 ซม. 2

มาสร้างอัลกอริทึมกันเถอะ:

แต่งรูปให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พบ S 1 และ S 2 .

เราพบความแตกต่าง S 1 - S 2

เปรียบเทียบสองอัลกอริธึม ทำการสรุป การกระทำอะไรที่เหมือนกัน? การกระทำของเราต่างกันตรงไหน?

หลับตา ก้มศีรษะลง ทำซ้ำอัลกอริทึมทางจิตใจ

เราได้ทำงานวิจัยโดยพิจารณาถึงวิธีการต่างๆ และตอนนี้เราสามารถหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ได้แล้ว

การตรวจสอบประสิทธิภาพ

ทดสอบตัวเอง.

นี่คือรูปหลายเหลี่ยม

ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่เลือกในขณะที่คุณสามารถใช้วิธีการต่างๆ

งานนี้ทำอย่างอิสระ เด็ก ๆ เลือกรูป ค้นหาพื้นที่ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง การยืนยันเป็นกุญแจสำคัญบนกระดาน

สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับแบบฟอร์ม? (แบบฟอร์มต่างกัน)

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้คืออะไร? (พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากัน)

ประเมินผลลัพธ์

ใครถูก - ใส่ "+"

ใครมีข้อสงสัยความยากลำบาก -“?”

ที่ปรึกษาให้ความช่วยเหลือพวกเขาค้นหาข้อผิดพลาดช่วยแก้ไข

การบ้าน:

เขียนแผ่นงานวิจัย คำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมในรูปแบบต่างๆ

สรุปบทเรียน

พวกคุณบอกพ่อแม่อย่างไรเกี่ยวกับการหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต - รูปหลายเหลี่ยม

บทเรียนจากซีรีส์ " อัลกอริทึมทางเรขาคณิต»

สวัสดีผู้อ่านที่รัก

การแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงคำนวณหลายๆ ปัญหานั้นขึ้นอยู่กับการหา พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม. ในบทเรียนนี้ เราจะได้สูตรการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยใช้พิกัดของจุดยอดของมัน และเขียนฟังก์ชันเพื่อคำนวณพื้นที่นี้

งาน. คำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมกำหนดโดยพิกัดของจุดยอดในลำดับตามเข็มนาฬิกา

ข้อมูลจากเรขาคณิตเชิงคำนวณ

ในการหาสูตรพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เราต้องการข้อมูลจากเรขาคณิตเชิงคำนวณ กล่าวคือ แนวคิดของพื้นที่เชิงมุมของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่เชิงมุมของรูปสามเหลี่ยมคือพื้นที่ปกติที่มีเครื่องหมาย เครื่องหมายพื้นที่เชิงมุมของรูปสามเหลี่ยม ABCเช่นเดียวกับมุมวางแนวระหว่างเวกเตอร์กับ นั่นคือเครื่องหมายของมันขึ้นอยู่กับลำดับที่ระบุจุดยอด

บน ข้าว. 1 สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่เชิงของมันคือ (มากกว่าศูนย์เนื่องจากทั้งคู่มีทิศทางเชิงบวก) ค่าเดียวกันสามารถคำนวณได้อีกทางหนึ่ง

อนุญาต อู๋เป็นจุดโดยพลการของเครื่องบิน ในรูปของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ได้มาจากการลบพื้นที่ของ OAB และ OCA ออกจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม OBC ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้อง เพิ่มพื้นที่ที่มุ่งเน้นสามเหลี่ยม OAB, OBC และ OCA กฎนี้ใช้ได้กับการเลือกจุดใดก็ได้ อู๋.

ในทำนองเดียวกัน ในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ คุณต้องเพิ่มพื้นที่เชิงของรูปสามเหลี่ยม

ผลรวมจะเป็นพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ถ่ายด้วยเครื่องหมายบวก ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่ทางซ้ายเมื่อข้ามรูปหลายเหลี่ยม (ทวนเข็มนาฬิกาข้ามขอบ) และมีเครื่องหมายลบถ้าอยู่ทางขวา (ตามเข็มนาฬิกา) .

ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมจึงลดลงเป็นการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม มาดูวิธีการแสดงเป็นพิกัดกัน

ผลคูณของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์เหล่านี้

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แสดงในรูปของพิกัดของเวกเตอร์:

หากพิกัดของจุดยอดได้รับในลำดับทวนเข็มนาฬิกาดังนั้นจำนวน เอส,คำนวณโดยสูตรนี้จะเป็นบวก ไม่เช่นนั้นมันจะเป็นค่าลบ และเพื่อให้ได้พื้นที่เรขาคณิตปกติ เราจำเป็นต้องใช้ค่าสัมบูรณ์ของมัน

ดังนั้น ให้พิจารณาโปรแกรมหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดโดยพิกัดของจุดยอด

3. หากรูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมหลายรูป พื้นที่ของรูปนั้นจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้

4. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน \(a\) คือ \(a^2\)

\[(\Large(\text(พื้นที่สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนาน))))\]

ทฤษฎีบท: พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน \(a\) และ \(b\) คือ \(S=ab\)

การพิสูจน์

มาสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้า \(ABCD\) เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน \(a+b\) ดังแสดงในรูป:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้า \(ABCD\) สี่เหลี่ยมอีกอันหนึ่งเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส และสี่เหลี่ยมสองสี่เหลี่ยมที่มีด้าน \(a\) และ \(b\) ทางนี้,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \ลูกศรขวา S_(\text(pr-k) )=ab \end(หลายบรรทัด*)\)

คำนิยาม

ความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานไปทางด้าน (หรือส่วนต่อขยายของด้านข้าง) ที่ไม่มีจุดยอดนั้น
ตัวอย่างเช่น ความสูง \(BK\) อยู่ที่ด้านข้าง \(AD\) และความสูง \(BH\) อยู่ที่ส่วนขยายของด้านข้าง \(CD\) :

ทฤษฎีบท: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความสูงและด้านที่วาดความสูงนี้

การพิสูจน์

วาดเส้นตั้งฉาก \(AB"\) และ \(DC"\) ตามที่แสดงในรูป โปรดทราบว่าเส้นตั้งฉากเหล่านี้เท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\)

\(AB"C"D\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\)

โปรดทราบว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก \(ABB"\) และ \(DCC"\) เท่ากัน ทางนี้,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(พื้นที่สามเหลี่ยม))))\]

คำนิยาม

เราจะเรียกด้านที่ระดับความสูงถูกวาดในสามเหลี่ยมว่าเป็นฐานของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงที่ลากไปที่ฐานนั้น

การพิสูจน์

ให้ \(S\) เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยม \(ABC\) . ลองหาด้าน \(AB\) เป็นฐานของสามเหลี่ยมแล้ววาดความสูง \(CH\) ลองพิสูจน์ว่า \ มาสร้างสามเหลี่ยม \(ABC\) ให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABDC\) ดังแสดงในรูป:

สามเหลี่ยม \(ABC\) และ \(DCB\) เท่ากันในสามด้าน (\(BC\) เป็นด้านร่วมของพวกมัน \(AB = CD\) และ \(AC = BD\) เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน \ (ABDC\ )) ดังนั้นพื้นที่ของพวกมันจึงเท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ \(S\) ของสามเหลี่ยม \(ABC\) เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABDC\) เช่น \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

ทฤษฎีบท

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูป \(\triangle ABC\) และ \(\triangle A_1B_1C_1\) มีความสูงเท่ากัน พื้นที่ของรูปเหล่านั้นจะสัมพันธ์กันเป็นฐานที่ใช้ดึงความสูงเหล่านี้

ผลที่ตามมา

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

ทฤษฎีบท

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูป \(\triangle ABC\) และ \(\triangle A_2B_2C_2\) แต่ละรูปมีมุมเท่ากัน พื้นที่ของรูปเหล่านั้นจะสัมพันธ์กันเป็นผลคูณของด้านที่สร้างมุมนี้

การพิสูจน์

ให้ \(\angle A=\angle A_2\) ให้รวมมุมเหล่านี้ตามที่แสดงในภาพ (จุด \(A\) อยู่ในแนวเดียวกับจุด \(A_2\)):

วาดความสูง \(BH\) และ \(C_2K\)

สามเหลี่ยม \(AB_2C_2\) และ \(ABC_2\) มีความสูงเท่ากัน \(C_2K\) ดังนั้น: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

สามเหลี่ยม \(ABC_2\) และ \(ABC\) มีความสูงเท่ากัน \(BH\) ดังนั้น: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

คูณสองความเท่าเทียมกันสุดท้าย เราจะได้: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( or ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา:

บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้าในรูปสามเหลี่ยมกำลังสองของความยาวของด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของอีกสองด้าน สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก

ทฤษฎีบท

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

ทฤษฎีบท: สูตรของนกกระสา

ให้ \(p\) เป็นกึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยม \(a\) , \(b\) , \(c\) เป็นความยาวของด้านของมัน แล้วพื้นที่ของมันจะเท่ากับ \

\[(\Large(\text(พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมคางหมู)))\]

ความคิดเห็น

เพราะ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจากนั้นสูตรเดียวกันก็เป็นจริงเช่น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของความสูงและด้านที่วาดความสูงนี้

ทฤษฎีบท

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉากเป็นผลคูณของเส้นทแยงมุมครึ่งหนึ่ง

การพิสูจน์

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม \(ABCD\) หมายถึง \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

โปรดทราบว่าสี่เหลี่ยมนี้ประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้จึงเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

ข้อพิสูจน์: พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นผลคูณของเส้นทแยงมุมครึ่งหนึ่ง:

คำนิยาม

ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือการตั้งฉากจากด้านบนของฐานหนึ่งไปยังฐานอื่น

ทฤษฎีบท: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐานคูณความสูง

การพิสูจน์

พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมู \(ABCD\) ที่มีฐาน \(BC\) และ \(AD\) วาด \(CD"\parallel AB\) ดังแสดงในรูป:

จากนั้น \(ABCD"\) จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เรายังวาด \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู)

แล้ว \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

เพราะ สี่เหลี่ยมคางหมูประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD"\) และสามเหลี่ยม \(CDD"\) จากนั้นพื้นที่ของมันจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม นั่นคือ:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

ทุกคนที่เรียนคณิตศาสตร์และเรขาคณิตที่โรงเรียนรู้จักวิทยาศาสตร์เหล่านี้อย่างน้อยก็เผินๆ แต่เมื่อเวลาผ่านไป ถ้าไม่ฝึกฝน ความรู้ก็จะถูกลืม หลายคนถึงกับเชื่อว่าพวกเขาเพิ่งเสียเวลาศึกษาการคำนวณทางเรขาคณิต อย่างไรก็ตาม พวกเขาคิดผิด เจ้าหน้าที่เทคนิคทำงานประจำวันที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณทางเรขาคณิต สำหรับการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ความรู้นี้ยังพบการนำไปใช้ในชีวิต อย่างน้อยจะต้องใช้ในการคำนวณพื้นที่ของที่ดิน เรามาเรียนรู้วิธีหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมกัน

นิยามรูปหลายเหลี่ยม

อันดับแรก ให้นิยามว่ารูปหลายเหลี่ยมคืออะไร นี่คือรูปทรงเรขาคณิตแบนซึ่งเกิดขึ้นจากจุดตัดของเส้นสามเส้นขึ้นไป คำจำกัดความง่าย ๆ อีกประการหนึ่ง: รูปหลายเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมแบบปิด โดยธรรมชาติ ที่จุดตัดของเส้นนั้น จุดตัดกันจะเกิดขึ้น จำนวนของพวกมันจะเท่ากับจำนวนเส้นที่สร้างรูปหลายเหลี่ยม จุดตัดเรียกว่าจุดยอด และส่วนที่เป็นเส้นตรงเรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม ส่วนที่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยมไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ส่วนของเส้นตรงที่ไม่อยู่ติดกันคือส่วนที่ไม่ผ่านจุดร่วม

ผลรวมของพื้นที่สามเหลี่ยม

จะหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร? พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือส่วนในของระนาบ ซึ่งเกิดขึ้นที่จุดตัดของส่วนหรือด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมคือการรวมกันของรูปร่างต่างๆ เช่น สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมจัตุรัส, สี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นจึงไม่มีสูตรสากลสำหรับการคำนวณพื้นที่ของมัน ในทางปฏิบัติ วิธีที่เป็นสากลที่สุดคือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นตัวเลขที่เรียบง่ายกว่า ซึ่งหาพื้นที่ได้ไม่ยาก โดยการเพิ่มผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขง่ายๆ เหล่านี้ เราได้พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม

ผ่านพื้นที่วงกลม

ในกรณีส่วนใหญ่ รูปหลายเหลี่ยมจะมีรูปร่างปกติและสร้างรูปที่มีด้านและมุมเท่ากันระหว่างกัน การคำนวณพื้นที่ในกรณีนี้ทำได้ง่ายมากโดยใช้วงกลมที่มีเครื่องหมายหรือวงกลมล้อมรอบ หากทราบพื้นที่ของวงกลมแล้วจะต้องคูณด้วยปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมแล้วผลลัพธ์ที่ได้จะถูกหารด้วย 2 ผลลัพธ์ที่ได้คือสูตรการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว : S = ½∙P∙r. โดยที่ P คือพื้นที่ของวงกลม และ r คือปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยม

วิธีการแยกรูปหลายเหลี่ยมให้เป็นรูปทรงที่ "สะดวก" เป็นวิธีที่นิยมที่สุดในเรขาคณิต ช่วยให้คุณค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 มักจะเรียนรู้วิธีการดังกล่าว

พื้นที่ หนึ่งในปริมาณพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิต ในกรณีที่ง่ายที่สุด จะวัดโดยจำนวนหน่วยสี่เหลี่ยมที่เติมรูปทรงแบน นั่นคือ สี่เหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากับหนึ่ง การคำนวณของ P. มีอยู่แล้วในสมัยโบราณ ... ...

คำนี้มีความหมายอื่น ดูพื้นที่ (ความหมาย) พื้นที่ของรูปทรงแบนเป็นลักษณะพิเศษเชิงตัวเลขของตัวเลขที่เป็นของระนาบเดียวทั้งหมด ในกรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนจำกัด ... ... Wikipedia

I Area เป็นหนึ่งในปริมาณพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิต ในกรณีที่ง่ายที่สุด จะวัดโดยจำนวนหน่วยสี่เหลี่ยมที่เติมรูปทรงแบน นั่นคือ สี่เหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากับหนึ่ง การคำนวณ ป. ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

คำนี้มีความหมายอื่น ดูพื้นที่ (ความหมาย) หน่วยพื้นที่ L² SI หน่วย m² ... Wikipedia

ช. 1. ส่วนหนึ่งของพื้นผิวโลก พื้นที่จำกัดโดยธรรมชาติหรือจัดสรรไว้เป็นพิเศษเพื่อวัตถุประสงค์บางอย่าง อ๊อต พื้นที่น้ำ. อ๊อต ใหญ่ แบน พื้นที่ 2. พื้นที่สาธารณะที่ยังไม่ได้พัฒนา ... ... พจนานุกรมอธิบายที่ทันสมัยของภาษารัสเซีย Efremova

บทความนี้เสนอให้ลบ คำอธิบายของเหตุผลและการอภิปรายที่เกี่ยวข้องสามารถพบได้ในหน้า Wikipedia: จะถูกลบ / 2 กันยายน 2012 จนกว่ากระบวนการอภิปรายจะเสร็จสิ้น สามารถปรับปรุงบทความได้ แต่ควรเป็น ... ... Wikipedia

ตัวเลขสองรูปใน R2 ที่มีพื้นที่เท่ากัน และรูปหลายเหลี่ยม M1 และ M 2 สองรูปตามลำดับ จนสามารถตัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมได้ โดยที่ส่วนที่ประกอบเป็น M 1 จะเท่ากันทุกประการกับส่วนที่ประกอบกันเป็น M 2 สำหรับ พื้นที่เท่ากัน ...... สารานุกรมคณิตศาสตร์

B=7, G=8, B + G/2 − 1= 10 ทฤษฎีบทของ Pick เป็นผลลัพธ์คลาสสิกของเรขาคณิตเชิงผสมและเรขาคณิตของตัวเลข พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนเต็ม ... Wikipedia

คำนี้มีความหมายอื่นๆ ดู Pick's Theorem V = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 สูตรของ Pick (หรือทฤษฎีบทของ Pick) เป็นผลลัพธ์คลาสสิกของเรขาคณิตเชิงผสมและเรขาคณิตของตัวเลข จัตุรัส ... Wikipedia

โดเมน (ชุดเปิดที่เชื่อมต่อ) บนขอบเขตของวัตถุนูนในช่องว่างแบบยุคลิด E 3 ขอบเขตทั้งหมดของวัตถุนูนเรียกว่า สมบูรณ์ V. p. ถ้าร่างกายมี จำกัด ให้กรอก V. p. ปิด. หากร่างกายไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว V. p. ที่สมบูรณ์ ไม่มีที่สิ้นสุด...... สารานุกรมคณิตศาสตร์

บทเรียนจากซีรีส์ " อัลกอริทึมทางเรขาคณิต»

สวัสดีผู้อ่านที่รัก

ข้อมูลจากเรขาคณิตเชิงคำนวณ

พื้นที่เชิงมุมของรูปสามเหลี่ยมคือพื้นที่ปกติที่มีเครื่องหมาย เครื่องหมายพื้นที่เชิงมุมของรูปสามเหลี่ยม ABCเหมือนกับมุมวางแนวระหว่างเวกเตอร์และ . นั่นคือเครื่องหมายของมันขึ้นอยู่กับลำดับที่ระบุจุดยอด

บน ข้าว. 1 สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่เชิงของมันมีค่าเท่ากับ (มากกว่าศูนย์ เนื่องจากคู่เป็นแนวบวก) ค่าเดียวกันสามารถคำนวณได้อีกทางหนึ่ง

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แสดงในรูปของพิกัดของเวกเตอร์:

พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่นี้:

สะดวกในการใช้จุดกำเนิดของพิกัดเป็นจุด O จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานของการคำนวณพื้นที่เชิงพื้นที่จะตรงกับพิกัดของจุด

ให้ (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - พิกัดของจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดในลำดับตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นพื้นที่เชิง S จะเท่ากับ:

นี่คือสูตรการทำงานของเรา มันถูกใช้ในโปรแกรมของเรา

โปรแกรม geom6; ค่าคงที่ n_max=200; (คะแนนสูงสุด+1) ประเภท b=บันทึก x,y:ของจริง; จบ; myArray= อาร์เรย์ของ b; อินพุต var:ข้อความ; ตอบ: myArray; s:จริง; ผม,n:จำนวนเต็ม; ขั้นตอน ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (การเติมอาร์เรย์) เริ่มกำหนด(อินพุต,"input.pas"); รีเซ็ต (อินพุต); readln(อินพุต, n); สำหรับ i:=1 to n do read(input, a[i].x,a[i].y); ปิด(อินพุต); จบ; ฟังก์ชั่น Square(A:myarray): จริง; (การคำนวณพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม) var i:integer; S: จริง เริ่ม a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; สำหรับ i:=1 ถึง n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); สี่เหลี่ยมจัตุรัส:= ปลาย S; (สี่เหลี่ยม) เริ่มต้น (หลัก) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:=สแควร์(a); writeln("S= ",s:6:2); จบ.

พิกัดจุดยอดจะอ่านจากไฟล์ input.pas. ซึ่งจัดเก็บไว้ในอาร์เรย์ แต่เป็นระเบียนที่มีสองช่อง เพื่อความสะดวกในการเลี่ยงผ่านรูปหลายเหลี่ยม จะมีการแนะนำองค์ประกอบ n + 1 ในอาร์เรย์ ซึ่งค่าจะเท่ากับค่าขององค์ประกอบแรกของอาร์เรย์

ป้อนข้อมูล:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

เอาท์พุท:
S= 3.91

เราได้แก้ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยพิกัดของจุดยอดของมันแล้ว งานเริ่มยากขึ้น หากคุณมีความคิดเห็นเกี่ยวกับบทความนี้หรือมีความปรารถนา เขียนความคิดเห็น ฉันจะขอบคุณมากสำหรับความร่วมมือของคุณ

เจอกันใหม่ในบทเรียนหน้า

ทางการศึกษา: สอนนักเรียนให้ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยใช้วิธีที่พวกเขาเลือก ในรูปแบบการแทนค่าเบื้องต้น
ทักษะด้านรูปหลายเหลี่ยม กราฟิก และการวัด
การพัฒนา: การพัฒนาวิธีการกิจกรรมทางจิตของนักเรียนเมื่อปฏิบัติงานจากการสังเกตการคำนวณเพื่อชี้แจงรูปแบบการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม
การให้ความรู้: การเปิดเผยประสบการณ์ส่วนตัวของนักเรียน การกระตุ้นการกระทำ แรงบันดาลใจของนักเรียนเป็นพื้นฐานในการให้ความรู้ลักษณะบุคลิกภาพเชิงบวก
ระเบียบวิธี: การสร้างเงื่อนไขสำหรับการสำแดงกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน

อุปกรณ์การเรียน:

การออกแบบไวท์บอร์ด: ด้านซ้าย - รูปหลายเหลี่ยม, ด้านขวา - ผ้าใบเปล่าของกระดานสำหรับเขียนในบทเรียน, ตรงกลาง - รูปหลายเหลี่ยม-สี่เหลี่ยมผืนผ้า
แผ่นพับ "สำหรับการวิจัย"
เครื่องมือของครูและนักเรียน (ชอล์ก ตัวชี้ ไม้บรรทัด แผ่นงานวิจัย ตัวเลข กระดาษวาดรูป มาร์กเกอร์)

วิธีการเรียน:

เกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ของครูและนักเรียน - การสนทนา - การสื่อสาร
ตามวิธีการแก้ปัญหา - ค้นหาบางส่วน;
ตามวิถีของกิจกรรมทางจิต - (SUD) การฝึกพัฒนาการ

รูปแบบของบทเรียนเป็นแบบหน้าผาก เป็นคู่ เป็นรายบุคคล

โครงสร้างของบทเรียนจะค่อยๆ ลงลึกในหัวข้อ ยืดหยุ่น โต้ตอบได้

ระหว่างเรียน

ทักทาย.

อัพเดทความรู้.

พิจารณาตัวเลข (รูปหลายเหลี่ยมบนกระดาน)

ตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมนี้ (5-gon, 6-gon…)

คุณรู้หรือไม่ว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?

จากนั้นแสดงบนหนึ่งในตัวเลข

ในภาษารัสเซีย คำนี้มีความหมายหลายประการ

(นักเรียนในพจนานุกรมแนะนำความหมาย)

ส่วนหนึ่งของระนาบภายในรูปทรงเรขาคณิตแบบปิด
พื้นที่ขนาดใหญ่ที่ยังไม่ได้พัฒนาและแบน
สถานที่สำหรับวัตถุประสงค์ใด ๆ

ค่าใดที่ใช้ในคณิตศาสตร์?

ในวิชาคณิตศาสตร์ ค่าแรกถูกใช้

(มีรูปอยู่บนกระดาน)

มันเป็นรูปหลายเหลี่ยมหรือไม่? ใช่.

ตั้งชื่อรูปร่างแตกต่างกัน สี่เหลี่ยมผืนผ้า.

แสดงความยาว ความกว้าง

จะหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร?

เขียนสูตรโดยใช้ตัวอักษรและสัญลักษณ์

พื้นที่ 200 ซม. 2

คิดเกี่ยวกับวิธีการแนบไม้บรรทัดเพื่อให้ร่างแบ่งออกเป็น:

(ชิ้นส่วนของร่างวางอยู่บนโต๊ะ เด็ก ๆ ประกอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าจากพวกเขา)

หาข้อสรุปจากการสังเกตของคุณ

ร่างทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และจากส่วนต่าง ๆ เพื่อสร้างทั้งหมด

(สาธิตการวาดภาพโดยนักเรียนที่บ้าน วิเคราะห์ผลงานชิ้นหนึ่ง)

คุณใช้ตัวเลขอะไร คุณมีรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน

คำชี้แจงของงานการศึกษา

ทำไมคนต้องหาพื้นที่?

(คำตอบของเด็กและลักษณะทั่วไปโดยครู)

งานกำหนดพื้นที่เกิดจากการปฏิบัติ

(แสดงแผนผังไซต์โรงเรียน)

การแก้ปัญหาทางการศึกษา

(รูปแบบถูกส่งออกไปเพื่อการวิจัย)

มีร่างอยู่ข้างหน้าคุณ ตั้งชื่อเธอ

รูปหลายเหลี่ยม, หกเหลี่ยม

หาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม จะทำอย่างไรเพื่อสิ่งนี้?

แบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยม

(ในกรณีที่ยากจะมีคำถามอีกว่า “รูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยรูปร่างอะไร?”)

จากสองสี่เหลี่ยม

มาวัดกัน

หาพื้นที่ของรูปแรก

(นักเรียนเสนอวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้และเขียนไว้บนกระดาน)

S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 ซม. 2
S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 ซม. 2

เมื่อรู้พื้นที่ของชิ้นส่วนแล้วจะหาพื้นที่ของรูปทั้งหมดได้อย่างไร?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 ซม. 2

S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 ซม. 2
S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 ซม. 2
S \u003d 12 + 3 \u003d 15 ซม. 2

เปรียบเทียบผลลัพธ์และสรุป

มาทำตามขั้นตอนของเรากัน

พบพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร?

อัลกอริทึมถูกรวบรวมและเขียนบนโปสเตอร์:?

1. แบ่งร่างเป็นส่วนๆ

2. ค้นหาพื้นที่ของส่วนต่างๆ ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ (S 1, S 2)

3. ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด (S 1 + S 2)

พูดอัลกอริทึม

(นักเรียนหลายคนออกเสียงอัลกอริทึม)

เราพบสองวิธีและอาจมีมากกว่านั้น?

และคุณสามารถจบร่างได้

คุณได้สี่เหลี่ยมกี่อัน?

มากำหนดส่วนที่ 1 และ 2 กันเถอะ มาทำการวัดกัน

หาพื้นที่ของแต่ละส่วนของรูปหลายเหลี่ยม

S1=6? 5=30ซม.2
S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 ซม. 2

จะหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมของเราได้อย่างไร?

S \u003d 30 - 15 \u003d 15 ซม. 2

มาสร้างอัลกอริทึมกันเถอะ:

แต่งรูปให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พบ S 1 และ S 2 .

เราพบความแตกต่าง S 1 - S 2

หลับตา ก้มศีรษะลง ทำซ้ำอัลกอริทึมทางจิตใจ

การตรวจสอบประสิทธิภาพ

ทดสอบตัวเอง.

นี่คือรูปหลายเหลี่ยม

ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่เลือกในขณะที่คุณสามารถใช้วิธีการต่างๆ

สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับแบบฟอร์ม? (แบบฟอร์มต่างกัน)

ประเมินผลลัพธ์

ใครถูก - ใส่ "+"

ใครมีข้อสงสัยความยากลำบาก -“?”

ที่ปรึกษาให้ความช่วยเหลือพวกเขาค้นหาข้อผิดพลาดช่วยแก้ไข

การบ้าน:

เขียนแผ่นงานวิจัย คำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมในรูปแบบต่างๆ

สรุปบทเรียน

ระยะทางและความยาว หน่วย แปลง หน่วย พื้นที่ ตัวแปลง เข้าร่วม © 2011-2017 Mikhail Dovzhik ห้ามคัดลอกวัสดุ ในเครื่องคิดเลขออนไลน์ คุณสามารถใช้ค่าในหน่วยการวัดเดียวกันได้! หากคุณมีปัญหาในการแปลงหน่วยวัด ให้ใช้ตัวแปลงหน่วยระยะทางและความยาว และตัวแปลงหน่วยพื้นที่ คุณสมบัติเพิ่มเติมของเครื่องคำนวณพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

คุณสามารถย้ายระหว่างช่องป้อนข้อมูลได้โดยการกดปุ่มขวาและซ้ายบนแป้นพิมพ์

ทฤษฎี. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปเรขาคณิตที่ประกอบด้วยสี่จุด (จุดยอด) ไม่มีสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และสี่ส่วน (ด้าน) เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่ รูปสี่เหลี่ยมเรียกว่านูนถ้าส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมนี้อยู่ภายใน

จะหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมได้อย่างไร?

สูตรการกำหนดพื้นที่ถูกกำหนดโดยการใช้ขอบแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยม AB และคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABO ที่มีจุดยอดที่จุดกำเนิด O ผ่านพิกัดของจุดยอด เมื่อเดินไปรอบๆ รูปหลายเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมจะถูกสร้างขึ้น รวมถึงด้านในของรูปหลายเหลี่ยมและตั้งอยู่ด้านนอก ความแตกต่างระหว่างผลรวมของพื้นที่เหล่านี้คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเอง

ดังนั้นสูตรนี้จึงเรียกว่าสูตรของผู้รังวัดเนื่องจาก "นักทำแผนที่" เป็นแหล่งกำเนิด ถ้ามันเดินตามพื้นที่ทวนเข็มนาฬิกา พื้นที่จะถูกเพิ่มถ้ามันอยู่ทางซ้ายและลบออกถ้ามันอยู่ทางขวาในแง่ของจุดเริ่มต้น สูตรพื้นที่ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ตัดกัน (ธรรมดา) ซึ่งอาจนูนหรือเว้า เนื้อหา

1 คำจำกัดความ
2 ตัวอย่าง
3 ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น
4 คำอธิบายชื่อ
5 ดู

พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม

ความสนใจ

มันอาจจะเป็น:

สามเหลี่ยม;
รูปสี่เหลี่ยม
ห้าหรือหกเหลี่ยมเป็นต้น

ตัวเลขดังกล่าวจะมีลักษณะสองตำแหน่งอย่างแน่นอน:

ด้านที่อยู่ติดกันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน
สิ่งที่ไม่อยู่ติดกันไม่มีจุดร่วมนั่นคือไม่ตัดกัน

หากต้องการทราบว่าจุดยอดใดอยู่ประชิดกัน คุณต้องดูว่าจุดยอดอยู่ด้านเดียวกันหรือไม่ ถ้าใช่ก็เพื่อนบ้าน มิฉะนั้น พวกเขาสามารถเชื่อมต่อด้วยเซ็กเมนต์ ซึ่งต้องเรียกว่าเส้นทแยงมุม สามารถวาดได้เฉพาะในรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดมากกว่าสามจุดเท่านั้น

พวกเขามีประเภทใดบ้าง? รูปหลายเหลี่ยมที่มีมากกว่าสี่มุมสามารถนูนหรือเว้าได้ ความแตกต่างประการหลังคือจุดยอดบางจุดอาจอยู่บนด้านต่างๆ ของเส้นตรงที่ลากผ่านด้านใดก็ได้ของรูปหลายเหลี่ยม

จะหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติและไม่สม่ำเสมอได้อย่างไร?

รู้ความยาวของด้านคูณด้วย 6 และรับปริมณฑลของรูปหกเหลี่ยม: 10 ซม. x 6 \u003d 60 ซม.
แทนที่ผลลัพธ์ในสูตรของเรา:

วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู
วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติโดยใช้แกนพิกัด
วิธีการแยกรูปหกเหลี่ยมออกเป็นรูปทรงอื่นๆ

ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้นที่คุณจะรู้ เลือกวิธีการที่เหมาะสม

สำคัญ

รูปหกเหลี่ยมไม่ปกติบางรูปประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานสองรูป การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ให้คูณความยาวด้วยความกว้าง แล้วบวกส่วนที่ทราบแล้วทั้งสองส่วน วิดีโอเกี่ยวกับวิธีการหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามีหกด้านเท่ากันและเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามีค่าเท่ากับ 6 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมโดยแบ่งรูปหกเหลี่ยมปกติออก สามเหลี่ยมทั้งหมดในรูปหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากัน ดังนั้น การหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมนั้น ก็เพียงพอที่จะรู้พื้นที่ของสามเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งรูป ในการหาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า แน่นอนว่าจะใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

404 ไม่พบ

การตกแต่งบ้าน เสื้อผ้า การวาดภาพมีส่วนทำให้เกิดกระบวนการสร้างและรวบรวมข้อมูลในด้านเรขาคณิต ซึ่งผู้คนในสมัยนั้นได้รับจากการสังเกตทีละน้อยและส่งต่อจากรุ่นสู่รุ่น ทุกวันนี้ ความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับช่างตัดเสื้อ ผู้สร้าง สถาปนิก และบุคคลทั่วไปทุกคนในชีวิตประจำวัน ดังนั้น คุณต้องเรียนรู้วิธีคำนวณพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ และจำไว้ว่าแต่ละสูตรจะมีประโยชน์ในภายหลังในทางปฏิบัติ รวมถึงสูตรสำหรับรูปหกเหลี่ยมปกติ
หกเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งจำนวนมุมทั้งหมดคือหก รูปหกเหลี่ยมปกติคือรูปหกเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน มุมของรูปหกเหลี่ยมปกติก็เท่ากัน
ในชีวิตประจำวัน เรามักจะพบสิ่งของที่มีรูปร่างเป็นหกเหลี่ยมปกติ

เครื่องคิดเลขพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่สม่ำเสมอโดยด้านข้าง

คุณจะต้องการ

- รูเล็ต;
— เครื่องวัดระยะแบบอิเล็กทรอนิกส์
- แผ่นกระดาษและดินสอ
- เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ 1 หากคุณต้องการพื้นที่ทั้งหมดของอพาร์ทเมนต์หรือห้องแยกต่างหาก เพียงแค่อ่านหนังสือเดินทางทางเทคนิคสำหรับอพาร์ทเมนต์หรือบ้าน ซึ่งจะแสดงภาพของแต่ละห้องและฟุตเทจทั้งหมดของอพาร์ทเมนท์ 2 ในการวัดพื้นที่ของห้องสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยม ให้ใช้เทปวัดหรือเครื่องวัดระยะแบบอิเล็กทรอนิกส์แล้ววัดความยาวของผนัง เมื่อวัดระยะทางด้วยเครื่องวัดระยะ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าทิศทางลำแสงตั้งฉาก มิฉะนั้น ผลการวัดอาจผิดเพี้ยน 3 จากนั้นคูณความยาวผลลัพธ์ (เป็นเมตร) ของห้องด้วยความกว้าง (เป็นเมตร) ค่าที่ได้จะเป็นพื้นที่พื้นวัดเป็นตารางเมตร

สูตรพื้นที่เกาส์

หากคุณต้องการคำนวณพื้นที่พื้นของโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น ห้องห้าเหลี่ยมหรือห้องที่มีส่วนโค้งกลม ให้ร่างภาพร่างแผนผังบนแผ่นกระดาษ จากนั้นแบ่งรูปร่างที่ซับซ้อนออกเป็นรูปร่างง่ายๆ หลายๆ รูป เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยม หรือสี่เหลี่ยมผืนผ้ากับครึ่งวงกลม วัดด้วยตลับเมตรหรือเรนจ์ไฟน์เดอร์ขนาดของทุกด้านของผลลัพธ์ที่ได้ (สำหรับวงกลมที่คุณจำเป็นต้องรู้เส้นผ่านศูนย์กลาง) และป้อนผลลัพธ์บนภาพวาดของคุณ

5 ตอนนี้คำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปร่างแยกกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัสคำนวณโดยการคูณด้าน ในการคำนวณพื้นที่ของวงกลม ให้แบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นครึ่งและสี่เหลี่ยมจัตุรัส (คูณด้วยตัวมันเอง) แล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 3.14
หากคุณต้องการเพียงครึ่งวงกลม ให้แบ่งพื้นที่ผลลัพธ์ออกเป็นครึ่ง ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม ให้หา P โดยหารผลรวมของทุกด้านด้วย 2

สูตรคำนวณพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมไม่ปกติ

หากจุดต่างๆ ถูกนับตามลำดับในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ดีเทอร์มีแนนต์ในสูตรด้านบนจะเป็นค่าบวกและมอดุลัสในนั้นสามารถละเว้นได้ ถ้านับตามเข็มนาฬิกา ดีเทอร์มีแนนต์จะเป็นลบ เนื่องจากสูตรนี้สามารถมองเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของกรีนได้ ในการใช้สูตร คุณจำเป็นต้องทราบพิกัดของจุดยอดหลายเหลี่ยมในระนาบคาร์ทีเซียน

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สามเหลี่ยมที่มีพิกัด ((2, 1), (4, 5), (7, 8)) หาพิกัด x แรกของจุดยอดแรกแล้วคูณด้วยพิกัด y ของจุดยอดที่สอง จากนั้นคูณพิกัด x ของจุดยอดที่สองด้วยพิกัด y ของจุดที่สาม เราทำซ้ำขั้นตอนนี้สำหรับจุดยอดทั้งหมด ผลลัพธ์สามารถกำหนดได้โดยสูตรต่อไปนี้: A tri

สูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมไม่สมมาตร

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) โดยที่ xi และ yi หมายถึงพิกัดที่สอดคล้องกัน สูตรนี้สามารถหาได้โดยการเปิดวงเล็บในสูตรทั่วไปสำหรับกรณี n = 3 โดยใช้สูตรนี้ คุณจะพบว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของ 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16 ซึ่งให้ 3 จำนวนตัวแปรในสูตรขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น สูตรสำหรับพื้นที่รูปห้าเหลี่ยมจะใช้ตัวแปรสูงสุด x5 และ y5: A pent = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A สำหรับตัวแปรควอด - ตัวแปรสูงสุด x4 และ y4: รูปสี่เหลี่ยม

1.1 การคำนวณพื้นที่ในสมัยโบราณ

1.2 แนวทางต่าง ๆ ในการศึกษาแนวคิดของ "พื้นที่", "รูปหลายเหลี่ยม", "พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม"

1.2.1 แนวคิดของพื้นที่ คุณสมบัติของพื้นที่

1.2.2 แนวคิดของรูปหลายเหลี่ยม

1.2.3 แนวคิดของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ความหมายเชิงพรรณนา

1.3 สูตรต่างๆ สำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม

1.4 ที่มาของสูตรพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม

1.4.1 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สูตรนกกระสา

1.4.2 พื้นที่สี่เหลี่ยม

1.4.3 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

1.4.4 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม

1.4.5 สูตรสากล

1.4.6 พื้นที่ของ n-gon

1.4.7 การคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมจากพิกัดของจุดยอด

1.4.8 เลือกสูตร

1.5 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกี่ยวกับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

1.6 ความสมมูลของสามเหลี่ยม ทฤษฎีบท Bogliai-Gervin

1.7 อัตราส่วนพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

1.8 ตัวเลขที่มีพื้นที่มากที่สุด

1.8.1 สี่เหลี่ยมคางหมูหรือสี่เหลี่ยม

1.8.2 คุณสมบัติเด่นของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

1.8.3 แปลงรูปทรงต่างๆ

1.8.4 สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุด

บทที่ 2 ลักษณะระเบียบวิธีการศึกษาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมในชั้นเรียนคณิตศาสตร์

2.1 การวางแผนเฉพาะเรื่องและลักษณะการสอนในชั้นเรียนพร้อมการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก

2.2 วิธีการสอน

2.3 ผลงานทดลอง

บทสรุป

วรรณกรรม

บทนำ

หัวข้อ "พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม" เป็นส่วนสำคัญของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนซึ่งค่อนข้างเป็นธรรมชาติ แท้จริงแล้วในอดีตการเกิดขึ้นของเรขาคณิตนั้นสัมพันธ์กับความจำเป็นในการเปรียบเทียบแปลงที่ดินในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ในขณะเดียวกัน ควรสังเกตว่าโอกาสทางการศึกษาสำหรับการเปิดเผยหัวข้อนี้ในโรงเรียนมัธยมศึกษายังห่างไกลจากการใช้งานอย่างเต็มที่

งานหลักของการสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนคือเพื่อให้แน่ใจว่าการเรียนรู้อย่างเข้มแข็งและมีสติของระบบความรู้และทักษะทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับสมาชิกทุกคนในสังคมสมัยใหม่ในชีวิตประจำวันและในการทำงาน เพียงพอที่จะศึกษาสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องและศึกษาต่อ

นอกเหนือจากการแก้ปัญหาของงานหลักแล้ว การศึกษาเชิงลึกของคณิตศาสตร์ยังช่วยให้เกิดความสนใจอย่างต่อเนื่องในวิชาของนักเรียน การระบุและการพัฒนาความสามารถทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา การปฐมนิเทศต่อวิชาชีพที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อย่างมีนัยสำคัญ และการเตรียมตัวเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัย

งานรับรองคุณสมบัติรวมถึงเนื้อหาของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนการศึกษาทั่วไปและคำถามเพิ่มเติมจำนวนหนึ่งที่อยู่ติดกันโดยตรงกับหลักสูตรนี้และทำให้ลึกลงไปในแนวความคิดหลัก

การรวมคำถามเพิ่มเติมมีจุดประสงค์สองประการที่สัมพันธ์กัน ในอีกด้านหนึ่ง นี่คือการสร้างร่วมกับส่วนหลักของหลักสูตร ของฐานเพื่อตอบสนองความสนใจและพัฒนาความสามารถของนักเรียนที่มีใจชอบในวิชาคณิตศาสตร์ ในทางกลับกัน การเติมเต็มช่องว่างที่มีความหมายใน หลักสูตรหลักโดยให้เนื้อหาของการศึกษาเชิงลึกถึงคุณธรรมที่จำเป็น

งานที่คัดเลือกประกอบด้วย บทนำ สองบท บทสรุป และวรรณกรรมที่อ้างถึง บทแรกกล่าวถึงพื้นฐานทางทฤษฎีของการศึกษาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม และบทที่สองกล่าวถึงคุณลักษณะเชิงระเบียบวิธีของการศึกษาพื้นที่โดยตรง

บทที่ 1

1.1การคำนวณพื้นที่ในสมัยโบราณ

พื้นฐานของความรู้ทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับการวัดพื้นที่จะหายไปในส่วนลึกของพันปี

ย้อนกลับไปเมื่อ 4-5 พันปีที่แล้ว ชาวบาบิโลนสามารถกำหนดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมคางหมูในหน่วยตารางได้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสทำหน้าที่เป็นมาตรฐานสำหรับการวัดพื้นที่มาอย่างยาวนาน เนื่องจากมีคุณสมบัติที่โดดเด่นหลายประการ ได้แก่ ด้านเท่ากัน มุมเท่ากันและมุมฉาก ความสมมาตร และความสมบูรณ์ของรูปแบบทั่วไป สี่เหลี่ยมสร้างได้ง่าย หรือคุณสามารถเติมระนาบโดยไม่มีช่องว่าง

ในสมัยโบราณของจีน วัดพื้นที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เมื่อช่างก่ออิฐกำหนดพื้นที่ของผนังบ้านสี่เหลี่ยมพวกเขาจะคูณความสูงและความกว้างของผนัง นี่คือคำจำกัดความที่ยอมรับในเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกัน ทั้งสองข้างนี้ต้องแสดงในหน่วยเชิงเส้นเดียวกัน ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่แสดงในหน่วยสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกัน สมมติว่าถ้าวัดความสูงและความกว้างของผนังเป็นเดซิเมตร ผลคูณของการวัดทั้งสองจะแสดงเป็นตารางเดซิเมตร และหากพื้นที่ของแต่ละหน้า แปลงเป็นตารางเดซิเมตร ผลลัพธ์ที่ได้จะระบุจำนวนกระเบื้องที่จำเป็นสำหรับการเผชิญหน้า ต่อไปนี้จากข้อความที่อ้างอิงถึงการวัดพื้นที่: พื้นที่ของตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขที่ไม่ตัดกันจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของพวกเขา

ชาวอียิปต์โบราณเมื่อ 4,000 ปีก่อนใช้เทคนิคเดียวกับที่เราทำในการวัดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม และสี่เหลี่ยมคางหมู: ฐานของรูปสามเหลี่ยมถูกหารด้วยครึ่งหนึ่งแล้วคูณด้วยความสูง สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู ผลรวมของด้านขนานกันจะถูกหารด้วยครึ่งหนึ่งแล้วคูณด้วยความสูง เป็นต้น เพื่อคำนวณพื้นที่

สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 1.1) ใช้สูตร (1.1)

เหล่านั้น. คูณครึ่งผลบวกของด้านตรงข้าม

สูตรนี้เห็นได้ชัดว่าไม่ถูกต้องสำหรับรูปสี่เหลี่ยมใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จากนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมดจะเท่ากัน ในขณะเดียวกัน เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นขึ้นอยู่กับขนาดของมุมที่จุดยอด สูตรนี้ใช้ได้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้น ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสามารถประมาณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมุมอยู่ใกล้ขวา

เพื่อกำหนดพื้นที่

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (รูปที่ 1.2) ซึ่งชาวอียิปต์ใช้สูตรโดยประมาณ:

(1.2) ภาพที่ 1.2 ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในกรณีนี้คือยิ่งเล็ก ยิ่งความแตกต่างระหว่างด้านข้างและความสูงของสามเหลี่ยมเล็กลง กล่าวคือ ยิ่งยอด (และ) ถึงฐานของความสูงใกล้กันมาก นั่นคือเหตุผลที่สูตรโดยประมาณ (1.2) ใช้ได้กับสามเหลี่ยมที่มีมุมจุดยอดค่อนข้างเล็กเท่านั้น

แต่ชาวกรีกโบราณรู้วิธีค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมอย่างถูกต้องแล้ว ในองค์ประกอบของเขา Euclid ไม่ได้ใช้คำว่า "พื้นที่" เนื่องจากคำว่า "รูป" เขาเข้าใจส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นปิดอย่างใดอย่างหนึ่ง ยูคลิดไม่ได้แสดงผลการวัดพื้นที่เป็นตัวเลข แต่เปรียบเทียบพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ กัน

เช่นเดียวกับนักวิทยาศาสตร์ในสมัยโบราณ Euclid จัดการกับการเปลี่ยนแปลงของตัวเลขบางตัวเป็นตัวเลขอื่นซึ่งมีขนาดเท่ากัน พื้นที่ของรูปประกอบจะไม่เปลี่ยนแปลงหากส่วนต่างๆ ของมันถูกจัดเรียงต่างกัน แต่ไม่มีการข้าม ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ตามสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม เพื่อค้นหาสูตรสำหรับพื้นที่ของตัวเลขอื่น ๆ ดังนั้น สามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ ซึ่งคุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันได้ จากโครงสร้างนี้ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการวาดใหม่เช่นนี้ พวกเขาพบว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐานและความสูง พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง

เมื่อช่างก่ออิฐต้องปูกระเบื้องผนังที่มีรูปแบบซับซ้อน พวกเขาสามารถกำหนดพื้นที่ของผนังได้โดยการนับจำนวนกระเบื้องที่เข้าสู่การปูกระเบื้อง แน่นอนว่ากระเบื้องบางชิ้นจะต้องบิ่นเพื่อให้ขอบของแผ่นหุ้มตรงกับขอบผนัง จำนวนกระเบื้องทั้งหมดที่เข้าสู่งานประเมินพื้นที่ผนังที่มีส่วนเกินจำนวนกระเบื้องที่ไม่แตก - โดยมีข้อเสีย เมื่อขนาดของเซลล์ลดลง ปริมาณของเสียจะลดลง และพื้นที่ของผนังซึ่งพิจารณาจากจำนวนกระเบื้องจะถูกคำนวณอย่างแม่นยำมากขึ้น

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกสายหนึ่ง - นักสารานุกรมซึ่งผลงานส่วนใหญ่ถูกนำไปใช้ในธรรมชาติคือนกกระสาแห่งอเล็กซานเดรียซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 1 น. อี ในฐานะที่เป็นวิศวกรที่โดดเด่น เขาก็ถูกเรียกว่า "Heron the Mechanic" ในงาน Dioptrics ของเขา Heron อธิบายถึงเครื่องจักรต่างๆ และเครื่องมือวัดเชิงปฏิบัติ

หนังสือของ Heron เล่มหนึ่งได้รับการตั้งชื่อโดยเขาว่า "Geometrics" และเป็นชุดของสูตรและปัญหาที่เกี่ยวข้อง ประกอบด้วยตัวอย่างการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม และสามเหลี่ยม นกกระสาเขียนเกี่ยวกับการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมตามแนวด้านข้าง: “ยกตัวอย่างเช่น ด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมีความยาว 13 เส้นที่วัดได้ สายที่สอง 14 และเส้นที่สาม 15. ในการหาพื้นที่ ให้ทำดังนี้ . เพิ่ม 13, 14 และ 15; คุณได้ 42. ครึ่งหนึ่งคือ 21. ลบจากสามด้านนี้ทีละตัว; แรกลบ 13 - มันจะยังคงเป็น 8 จากนั้น 14 - มันจะยังคงเป็น 7 และสุดท้าย 15 - มันจะยังคงอยู่ 6 ตอนนี้คูณพวกเขา: 21 คูณ 8 จะให้ 168 รับ 7 ครั้ง - คุณได้ 1176 และอีก 6 รายการ ครั้ง - คุณได้ 7056 จากนี้ สแควร์รูทจะเป็น 84 นี่คือจำนวนสายวัดที่จะอยู่ในพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม