เวกเตอร์ใดเรียกว่าผลคูณของเวกเตอร์ที่กำหนดด้วยตัวเลข ผลคูณของเวกเตอร์ตามจำนวน

เมื่อศึกษาสาขาต่างๆ ของฟิสิกส์ กลศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ทางเทคนิค มีปริมาณที่กำหนดโดยการตั้งค่าตัวเลขอย่างสมบูรณ์ ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า สเกลาร์หรือเรียกสั้นๆ ว่า สเกลาร์.

ปริมาณสเกลาร์ ได้แก่ ความยาว พื้นที่ ปริมาตร มวล อุณหภูมิของร่างกาย เป็นต้น นอกจากปริมาณสเกลาร์แล้ว ยังมีปริมาณในปัญหาต่างๆ อีกด้วย ซึ่งนอกจากค่าตัวเลขแล้ว ยังจำเป็นต้องรู้ทิศทางอีกด้วย . ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า เวกเตอร์. ตัวอย่างทางกายภาพของปริมาณเวกเตอร์คือการกระจัดของจุดวัสดุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ ความเร็วและความเร่งของจุดนี้ ตลอดจนแรงที่กระทำต่อมัน

ปริมาณเวกเตอร์แสดงโดยใช้เวกเตอร์

คำจำกัดความของเวกเตอร์. เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวที่แน่นอน

เวกเตอร์มีลักษณะเฉพาะสองจุด จุดหนึ่งคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ อีกจุดหนึ่งคือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ถ้าเราแทนจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ด้วยจุด แต่ , และจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คือจุด ที่ จากนั้นเวกเตอร์นั้นจะถูกแทนด้วย เวกเตอร์สามารถแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็กตัวเดียวโดยมีแถบอยู่ด้านบน (เช่น )

ในเชิงกราฟิก เวกเตอร์จะแสดงด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีลูกศรอยู่ที่ส่วนท้าย

จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เรียกว่า จุดใช้งานถ้าชี้ แต่เป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ , แล้วเราจะบอกว่าเวกเตอร์ติดอยู่กับจุด แต่.

เวกเตอร์มีลักษณะเฉพาะด้วยปริมาณสองค่า: ความยาวและทิศทาง

ความยาวเวกเตอร์ – ระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้น A และจุดสิ้นสุด B อีกชื่อหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์คือโมดูลัสของเวกเตอร์ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ . โมดูลัสของเวกเตอร์แสดงอยู่ เวกเตอร์ , ที่มีความยาวเท่ากับ 1 เรียกว่าเวกเตอร์หน่วย นั่นคือเงื่อนไขของเวกเตอร์หน่วย

เวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์เรียกว่าเวกเตอร์ null (แสดงด้วย ) เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ศูนย์มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเหมือนกัน เวกเตอร์ว่างไม่มีทิศทางที่แน่นอน

ความหมายของเวกเตอร์คอลลิเนียร์. เวกเตอร์และอยู่บนเส้นเดียวกันหรือบนเส้นคู่ขนานเรียกว่า collinear .

โปรดทราบว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถมีความยาวและทิศทางต่างกันได้

ความหมายของเวกเตอร์ที่เท่ากันเวกเตอร์สองตัวและเรียกว่าเท่ากันถ้าเป็นแนวร่วม มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน

ในกรณีนี้พวกเขาเขียน:

ความคิดเห็น. ตามคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ที่เวกเตอร์สามารถถ่ายโอนแบบขนานโดยการวางจุดกำเนิดไว้ที่จุดใดก็ได้ในอวกาศ (โดยเฉพาะระนาบ)

เวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมดถือว่าเท่ากัน

นิยามของเวกเตอร์ตรงข้ามเวกเตอร์สองตัวและเรียกว่าตรงกันข้ามถ้าเป็นแนวร่วม มีความยาวเท่ากันแต่มีทิศตรงกันข้าม

ในกรณีนี้พวกเขาเขียน:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกับเวกเตอร์จะแสดงเป็น

เพื่อการแสดงกฎธรรมชาติที่ถูกต้องในฟิสิกส์ จำเป็นต้องมีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม

ในเรขาคณิตและฟิสิกส์ มีปริมาณที่กำหนดทั้งค่าตัวเลขและทิศทาง

ขอแนะนำให้แสดงเป็นส่วนกำกับหรือ เวกเตอร์.

ติดต่อกับ

ค่าดังกล่าวมีจุดเริ่มต้น (แสดงด้วยจุด) และจุดสิ้นสุดซึ่งระบุด้วยลูกศร ความยาวของส่วนเรียกว่า (ความยาว)

• ความเร็ว;
• การเร่งความเร็ว;
• ชีพจร;
• ความแข็งแกร่ง;
• ช่วงเวลา;
• ความแข็งแกร่ง;
• ย้าย;
• ความแรงของสนาม ฯลฯ

พิกัดเครื่องบิน

มากำหนดส่วนบนระนาบจากจุด A (x1, y1) ไปยังจุด B (x2, y2) พิกัด a (a1, a2) คือตัวเลข a1=x2-x1, a2=y2-y1

โมดูลคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

เวกเตอร์ศูนย์มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด พิกัดและความยาวเป็น 0

ผลรวมของเวกเตอร์

มีอยู่ กฎหลายข้อในการคำนวณจำนวนเงิน

• กฎสามเหลี่ยม
• กฎรูปหลายเหลี่ยม
• กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กฎการบวกเวกเตอร์สามารถอธิบายได้โดยใช้ปัญหาจากไดนามิกและกลไก พิจารณาการเพิ่มเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยมโดยใช้ตัวอย่างของแรงที่กระทำต่อวัตถุจุดและการกระจัดของวัตถุในอวกาศอย่างต่อเนื่อง

สมมุติว่าร่างกายเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B ก่อน จากนั้นจากจุด B ไปยังจุด C การกระจัดขั้นสุดท้ายคือส่วนที่กำกับจากจุดเริ่มต้น A ไปยังจุดสิ้นสุด C

ผลลัพธ์ของการกระจัดสองครั้งหรือผลรวม s = s1+ s2 วิธีการดังกล่าวเรียกว่า กฎสามเหลี่ยม.

ลูกศรเรียงกันเป็นลูกโซ่ถ้าจำเป็นให้ทำการถ่ายโอนแบบขนาน ส่วนทั้งหมดปิดลำดับ จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับการเริ่มต้นของครั้งแรก จุดสิ้นสุด - กับการสิ้นสุดของครั้งสุดท้าย ในตำราต่างประเทศ วิธีนี้เรียกว่า "หางต่อหัว".

พิกัดของผลลัพธ์ c = a + b เท่ากับผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเงื่อนไข c (a1+ b1, a2+ b2)

ผลรวมของเวกเตอร์ขนาน (คอลิเนียร์) ถูกกำหนดโดยกฎสามเหลี่ยมเช่นกัน

หากส่วนเริ่มต้นสองส่วนตั้งฉากกัน ผลลัพธ์ของการบวกคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่สร้างขึ้นบนส่วนเหล่านั้น ความยาวของผลรวมคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตัวอย่าง:

• ความเร็วของร่างกายโยนในแนวนอน ตั้งฉากการเร่งความเร็วการตกอย่างอิสระ
• ด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนที่สม่ำเสมอ ความเร็วเชิงเส้นของวัตถุจะตั้งฉากกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง

การบวกเวกเตอร์สามตัวขึ้นไปผลิตตาม กฎรูปหลายเหลี่ยม, "หางต่อหัว"

สมมุติว่ากำลัง F1 และ F2 ถูกนำไปใช้กับเนื้อหาจุด

ประสบการณ์พิสูจน์ว่าผลรวมของแรงเหล่านี้เทียบเท่ากับการกระทำของแรงหนึ่งที่พุ่งไปตามแนวทแยงมุมตามสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนแรงเหล่านี้ แรงลัพธ์นี้เท่ากับผลรวมของพวกมัน F \u003d F1 + F 2 วิธีการบวกข้างต้นเรียกว่า กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ความยาวในกรณีนี้คำนวณโดยสูตร

โดยที่ θ คือมุมระหว่างด้าน

กฎรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถใช้แทนกันได้ ในวิชาฟิสิกส์ กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานมักใช้มากกว่า เนื่องจากปริมาณของแรง ความเร็ว และความเร่งที่กำหนดมักจะใช้กับวัตถุจุดหนึ่ง ในระบบพิกัด 3 มิติ กฎของกล่องจะมีผลบังคับใช้

องค์ประกอบพีชคณิต

1. การเพิ่มเป็นการดำเนินการแบบไบนารี: คุณสามารถเพิ่มได้ครั้งละหนึ่งคู่เท่านั้น
2. การสับเปลี่ยน: ผลรวมจากการเปลี่ยนเงื่อนไขไม่เปลี่ยนแปลง a + b = b + a สิ่งนี้ชัดเจนจากกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน: เส้นทแยงมุมจะเท่ากันเสมอ
3. สมาคม: ผลรวมของจำนวนเวกเตอร์ตามอำเภอใจไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของการบวก (a + b) + c = a + (b + c)
4. การบวกด้วยเวกเตอร์ศูนย์จะไม่เปลี่ยนทิศทางหรือความยาว: a +0= a
5. สำหรับแต่ละเวกเตอร์จะมี ตรงข้าม. ผลรวมของพวกมันเท่ากับศูนย์ a +(-a)=0 และความยาวเท่ากัน

การคูณด้วยสเกลาร์

ผลของการคูณด้วยสเกลาร์คือเวกเตอร์

พิกัดผลิตภัณฑ์ได้มาจากการคูณด้วยพิกัดที่สอดคล้องกันของแหล่งกำเนิดด้วยสเกลาร์

สเกลาร์คือค่าตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ มากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง

ตัวอย่างของสเกลาร์ในฟิสิกส์:

• น้ำหนัก;
• เวลา;
• ค่าใช้จ่าย;
• ความยาว;
• สี่เหลี่ยม;
• ปริมาณ;
• ความหนาแน่น;
• อุณหภูมิ;
• พลังงาน.

ตัวอย่าง:

งานเป็นผลคูณสเกลาร์ของแรงและการกระจัด A = Fs

เมทริกซ์ขนาด m คูณ n

เมทริกซ์ ขนาด m คูณ n คือชุดของจำนวนจริง mn หรือองค์ประกอบของโครงสร้างอื่น (พหุนาม ฟังก์ชัน ฯลฯ) ซึ่งเขียนในรูปของตารางสี่เหลี่ยม ซึ่งประกอบด้วย m แถวและ n คอลัมน์ และนำมาเป็นรูปกลมหรือสี่เหลี่ยม หรือ วงเล็บคู่ตรง ในกรณีนี้ ตัวเลขเองเรียกว่า องค์ประกอบของเมทริกซ์ และแต่ละองค์ประกอบถูกกำหนดตัวเลขสองตัว - หมายเลขแถวและหมายเลขคอลัมน์ เรียกว่า เมทริกซ์ n ต่อ n สี่เหลี่ยม เมทริกซ์ของลำดับที่ n เช่น จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์ สามเหลี่ยม - เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ เรียกว่า เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่า เส้นทแยงมุม ถ้าองค์ประกอบนอกแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ สเกลาร์ เมทริกซ์ - เมทริกซ์แนวทแยงที่มีองค์ประกอบแนวทแยงหลักเท่ากัน กรณีพิเศษของเมทริกซ์สเกลาร์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ที่มีรายการแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับ 1 เรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และแสดงด้วยสัญลักษณ์ I หรือ E เมทริกซ์ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า โมฆะ เมทริกซ์และแสดงด้วยสัญลักษณ์ O

การคูณเมทริกซ์ A ด้วยจำนวน λ (สัญลักษณ์: λ อา) คือการสร้างเมทริกซ์ บีซึ่งได้รับองค์ประกอบจากการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ อาโดยจำนวนนี้ นั่นคือ แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ บีเท่ากับ

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวน

1. 1*A = เอ; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

การบวกเมทริกซ์ อา + บี คือการดำเนินการหาเมทริกซ์ ค, องค์ประกอบทั้งหมดที่เท่ากับผลรวมคู่ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันทั้งหมดของเมทริกซ์ อาและ บี, นั่นคือ, แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ คเท่ากับ

คุณสมบัติการเพิ่มเมทริกซ์

5. การสับเปลี่ยน) a+b=b+a

6. ความสัมพันธ์

7.การบวกด้วยเมทริกซ์ศูนย์

8. การดำรงอยู่ของเมทริกซ์ตรงข้าม (เหมือนกัน แต่ทุกที่ลบหน้าตัวเลขแต่ละตัว)

การคูณเมทริกซ์ - มีการดำเนินการคำนวณเมทริกซ์ คองค์ประกอบที่เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบในแถวที่สอดคล้องกันของปัจจัยแรกและคอลัมน์ที่สอง

จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ อาต้องตรงกับจำนวนแถวในเมทริกซ์ บี. ถ้าเมทริกซ์ อามีมิติ , บี- แล้วมิติของผลิตภัณฑ์ AB = คมี.

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์

1. ความสัมพันธ์ (ดูด้านบน)

2. สินค้าไม่สามารถสับเปลี่ยนได้

3. ผลคูณสามารถเปลี่ยนได้ในกรณีของการคูณด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์

4. ความยุติธรรมของกฎหมายว่าด้วยการจำหน่าย A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่หนึ่งและลำดับที่ n

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์คือพหุนามในองค์ประกอบของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส (นั่นคือ หนึ่งที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากับ

นิยามโดยการขยายแถวแรก

สำหรับเมทริกซ์ลำดับแรก ดีเทอร์มิแนนต์เป็นองค์ประกอบเดียวของเมทริกซ์นี้:

สำหรับเมทริกซ์ ดีเทอร์มีแนนต์ถูกกำหนดเป็น

สำหรับเมทริกซ์ ดีเทอร์มีแนนต์ถูกกำหนดแบบวนซ้ำ:

ที่เป็นส่วนย่อยเพิ่มเติมขององค์ประกอบ เอ 1เจ. สูตรนี้เรียกว่า การขยายสตริง.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สูตรสำหรับคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์คือ:

= เอ 11 เอ 22 เอ 33 − เอ 11 เอ 23 เอ 32 − เอ 12 เอ 21 เอ 33 + เอ 12 เอ 23 เอ 31 + เอ 13 เอ 21 เอ 32 − เอ 13 เอ 22 เอ 31

คุณสมบัติรอบคัดเลือก

เมื่อเพิ่มการรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ (คอลัมน์) เข้ากับแถวใดๆ (คอลัมน์) ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง

§ หากเมทริกซ์สองแถว (คอลัมน์) ตรงกัน ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเท่ากับศูนย์

§ ถ้าสองแถว (หรือหลายคอลัมน์) ของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับเส้นตรง ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเท่ากับศูนย์

§ หากคุณจัดเรียงเมทริกซ์สองแถว (คอลัมน์) ใหม่ ดีเทอร์มีแนนต์จะถูกคูณด้วย (-1)

§ ตัวประกอบร่วมขององค์ประกอบของชุดดีเทอร์มีแนนต์ใดๆ สามารถลบออกจากเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์ได้

§ หากเมทริกซ์อย่างน้อยหนึ่งแถว (คอลัมน์) เป็นศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์จะเป็นศูนย์

§ ผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบทั้งหมดของสตริงใดๆ และการเติมเต็มเชิงพีชคณิตของพวกมันจะเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์

§ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมใดๆ และการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอนุกรมคู่ขนานเท่ากับศูนย์

§ ดีเทอร์มีแนนต์ของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์กำลังสองในลำดับเดียวกัน เท่ากับผลคูณของดีเทอร์มีแนนต์ของพวกมัน (ดูสูตร Binet-Cauchy ด้วย)

§ การใช้สัญกรณ์ดัชนี ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 สามารถกำหนดได้โดยใช้สัญลักษณ์ Levi-Civita จากความสัมพันธ์:

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน เป็นเมทริกซ์แบบนั้น เอ -1เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์เดิม อาให้เมทริกซ์เอกลักษณ์ อี:

Conv. การดำรงอยู่:

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อมันไม่ใช่เอกพจน์ กล่าวคือ ดีเทอร์มีแนนต์ของมันไม่เท่ากับศูนย์ สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่กำลังสองและเมทริกซ์ที่เสื่อมสภาพ ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

สูตรการหา

หากเมทริกซ์กลับด้านได้ เพื่อค้นหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ คุณสามารถใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

ก) การใช้เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต

ซี ทู- เมทริกซ์ย้ายของการเพิ่มพีชคณิต

เมทริกซ์ผลลัพธ์ อา-1 และจะเป็นผกผัน ความซับซ้อนของอัลกอริทึมขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ O det และเท่ากับ O(n²) O det

กล่าวอีกนัยหนึ่งเมทริกซ์ผกผันเท่ากับหนึ่งหารด้วยดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมและคูณด้วยเมทริกซ์การย้ายตำแหน่งของการบวกเกี่ยวกับพีชคณิต (เราคูณผู้เยาว์ด้วย (-1) กับระดับของสถานที่ที่มันครอบครอง) องค์ประกอบของเมทริกซ์ดั้งเดิม

4. ระบบสมการเชิงเส้น โซลูชันระบบ ความสม่ำเสมอและความไม่ลงรอยกันของระบบ วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น n ตัวพร้อมตัวแปร n ตัว ทฤษฎีบทของเครมเมอร์

ระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย นไม่รู้จัก(หรือ, ระบบเชิงเส้น) ในพีชคณิตเชิงเส้นเป็นระบบสมการของรูปแบบ

(1)

ที่นี่ x 1 , x 2 , …, x นไม่ทราบแน่ชัด เอ 11 , เอ 12 , …, amn- ค่าสัมประสิทธิ์ระบบ - และ ข 1 , ข 2 , … ข m- สมาชิกอิสระ - ถือว่าเป็นที่รู้จัก ดัชนีสัมประสิทธิ์ ( ไอจ) ระบบแสดงถึงตัวเลขของสมการ ( ผม) และไม่ทราบ ( เจ) ซึ่งสัมประสิทธิ์นี้ยืนตามลำดับ

ระบบ (1) เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันหากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ( ข 1 = ข 2 = … = ข m= 0) มิฉะนั้น - ต่างกัน.

ระบบ (1) เรียกว่า สี่เหลี่ยมถ้าตัวเลข มสมการจะเท่ากับจำนวน นไม่ทราบ

วิธีการแก้ระบบ (1) - set นตัวเลข ค 1 , ค 2 , …, ค น, ดังนั้นการทดแทนของแต่ละคน ฉ ฉันแทน x ฉันเป็นระบบ (1) เปลี่ยนสมการทั้งหมดเป็นตัวระบุ

ระบบ (1) เรียกว่า ข้อต่อหากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อและ เข้ากันไม่ได้ถ้ามันไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ระบบร่วมของแบบฟอร์ม (1) อาจมีวิธีแก้ปัญหาตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป

โซลูชั่น ค 1 (1) , ค 2 (1) , …, ค น(1) และ ค 1 (2) , ค 2 (2) , …, ค น(2) ระบบร่วมตามแบบ (1) เรียกว่า หลากหลายหากมีการละเมิดความเท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งอย่าง:

ค 1 (1) = ค 1 (2) , ค 2 (1) = ค 2 (2) , …, ค น (1) = ค น (2) .

รูปแบบเมทริกซ์

ระบบสมการเชิงเส้นสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้

อาx = บี.

หากกำหนดคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระให้กับเมทริกซ์ A ทางด้านขวา เมทริกซ์ผลลัพธ์จะเรียกว่าเมทริกซ์แบบขยาย

วิธีการโดยตรง

วิธีการของแครมเมอร์ (กฎของแครมเมอร์)- วิธีการแก้ระบบกำลังสองของสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วยดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์หลัก (ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสมการดังกล่าว คำตอบยังมีอยู่และไม่ซ้ำกัน) ตั้งชื่อตาม Gabriel Cramer (1704–1752) ผู้คิดค้นวิธีการนี้

คำอธิบายของวิธีการ

สำหรับระบบ นสมการเชิงเส้นด้วย นไม่รู้จัก (เหนือฟิลด์กำหนดเอง)

ด้วยดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ระบบ Δ แตกต่างจากศูนย์ คำตอบจะถูกเขียนเป็น

(คอลัมน์ที่ i-th ของเมทริกซ์ระบบถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ)
ในอีกรูปแบบหนึ่ง กฎของแครมเมอร์ถูกกำหนดขึ้นดังนี้: สำหรับสัมประสิทธิ์ใดๆ c 1 , c 2 , ..., c n ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

ในรูปแบบนี้ สูตรของ Cramer นั้นใช้ได้โดยไม่มีข้อสันนิษฐานว่า Δ แตกต่างจากศูนย์ ไม่จำเป็นที่สัมประสิทธิ์ของระบบจะเป็นองค์ประกอบของวงแหวนอินทิกรัล (ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบสามารถเป็นตัวหารศูนย์ในวงแหวนได้ ของสัมประสิทธิ์) เราสามารถสมมติได้ว่าเซตใดเซตหนึ่ง ข 1 ,ข 2 ,...,ข นและ x 1 ,x 2 ,...,x น, หรือชุด ค 1 ,ค 2 ,...,ค นไม่ประกอบด้วยองค์ประกอบของวงแหวนสัมประสิทธิ์ของระบบ แต่เป็นโมดูลบางส่วนเหนือวงแหวนนี้

5. คำสั่งย่อย k-th อันดับเมทริกซ์ การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์ ทฤษฎีบท Kronecker-Capelli เกี่ยวกับเงื่อนไขความเข้ากันได้สำหรับระบบสมการเชิงเส้น วิธีการกำจัดตัวแปร (Gauss) สำหรับระบบสมการเชิงเส้น

ส่วนน้อย เมทริกซ์ อาเป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับ k(ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าลำดับของผู้เยาว์รายนี้) ซึ่งมีองค์ประกอบอยู่ในเมทริกซ์ อาที่จุดตัดของแถวที่มีตัวเลขและคอลัมน์ที่มีตัวเลข

อันดับ ระบบแถวเมทริกซ์ (คอลัมน์) อากับ มเส้นและ นคอลัมน์คือจำนวนสูงสุดของแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ (คอลัมน์)

หลายแถว (คอลัมน์) เรียกว่าอิสระเชิงเส้น ถ้าไม่มีแถวใดแถวหนึ่งสามารถแสดงเป็นเส้นตรงในแง่ของแถวอื่นๆ ได้ อันดับของระบบแถวจะเท่ากับอันดับของระบบคอลัมน์เสมอ และตัวเลขนี้เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์

Kronecker - ทฤษฎีบทคาเปลลี (เกณฑ์ความเข้ากันได้สำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น) -

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย (ด้วยเงื่อนไขอิสระ) และระบบมีคำตอบเฉพาะถ้าอันดับเท่ากับตัวเลข ของสิ่งที่ไม่รู้จัก และชุดคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดหากอันดับน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก

วิธีเกาส์ - วิธีการแบบคลาสสิกสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) นี่เป็นวิธีการกำจัดตัวแปรแบบต่อเนื่อง เมื่อระบบของสมการลดขนาดลงเป็นระบบเทียบเท่าของรูปแบบขั้นบันได (หรือสามเหลี่ยม) โดยใช้การแปลงเบื้องต้น ซึ่งตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดจะพบตามลำดับโดยเริ่มจาก ตัวแปรสุดท้าย (ตามตัวเลข)

6. ส่วนกำกับและเวกเตอร์ แนวคิดเบื้องต้นของพีชคณิตเวกเตอร์ ผลรวมของเวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เงื่อนไขการประสานงานของเวกเตอร์ สมบัติของการดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

ปฏิบัติการเกี่ยวกับเวกเตอร์

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

การดำเนินการเพิ่มเติมของเวกเตอร์เรขาคณิตสามารถกำหนดได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับสถานการณ์และประเภทของเวกเตอร์ที่พิจารณา:

เวกเตอร์สองตัว ยู, วีและเวกเตอร์ของผลรวมของมัน

กฎสามเหลี่ยม. ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวและตามกฎสามเหลี่ยม เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะถูกถ่ายโอนขนานกันเพื่อให้จุดเริ่มต้นของหนึ่งในนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของอีกตัวหนึ่ง จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะได้รับจากด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น และจุดเริ่มต้นจะตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน. ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวและตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะถูกถ่ายโอนขนานกันเพื่อให้จุดเริ่มต้นตรงกัน จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะได้รับจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นจากแหล่งกำเนิดทั่วไป

และโมดูลัส (ความยาว) ของเวกเตอร์ผลรวม ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทโคไซน์โดยที่มุมระหว่างเวกเตอร์เมื่อจุดเริ่มต้นของอันหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของอีกอันหนึ่ง สูตรนี้ยังใช้อยู่ในขณะนี้ - มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ออกมาจากจุดหนึ่ง

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ศิลปะเวกเตอร์ vector to vector เรียกว่า vector ที่ตรงตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

คุณสมบัติของเวกเตอร์ C

§ ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และไซน์ของมุม φ ระหว่างพวกมัน

§ เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ

§ ทิศทางของเวกเตอร์ C ถูกกำหนดโดยกฎ Gimlet

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

1. เมื่อปัจจัยถูกจัดเรียงใหม่ ผลคูณของเวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย (การต่อต้านการสลับกัน) เช่น

2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติสัมพันธ์กับปัจจัยสเกลาร์ นั่นคือ

3. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการกระจาย:

ระบบพื้นฐานและพิกัดบนเครื่องบินและในอวกาศ การสลายตัวของเวกเตอร์ในรูปของฐาน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนบนระนาบและในอวกาศ พิกัดเวกเตอร์และจุดบนเครื่องบินและในอวกาศ การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด

พื้นฐาน (กรีกโบราณ βασις ฐาน) - ชุดของเวกเตอร์ดังกล่าวในปริภูมิเวกเตอร์ที่เวกเตอร์ใดๆ ของสเปซนี้สามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากชุดนี้ - พื้นฐานเวกเตอร์.

มักจะสะดวกที่จะเลือกความยาว (บรรทัดฐาน) ของเวกเตอร์พื้นฐานแต่ละตัวให้เป็นหน่วย เรียกว่า พื้นฐาน ทำให้เป็นมาตรฐาน.

การแสดงเวกเตอร์พื้นที่เฉพาะ (ใดๆ) เป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน (ผลรวมของเวกเตอร์พื้นฐานโดยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข) ตัวอย่างเช่น

หรือใช้เครื่องหมายของผลรวม Σ:

เรียกว่า การขยายตัวของเวกเตอร์นี้ในฐานนี้

พิกัดเวกเตอร์และจุดบนเครื่องบินและในอวกาศ

พิกัดของจุด A ตามแกน x เป็นตัวเลขที่เท่ากันในค่าสัมบูรณ์กับความยาวของส่วน OAx: ค่าบวกหากจุด A อยู่บนแกน x บวก และค่าลบหากอยู่บนครึ่งแกนเชิงลบ

เวกเตอร์หน่วยหรือเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งและชี้ไปตามแกนพิกัดใดๆ

แล้ว ฉายภาพเวกเตอร์ AB บนแกน l คือความแตกต่าง x1 - x2 ระหว่างพิกัดของการฉายภาพจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์บนแกนนี้

8.โคไซน์ความยาวและทิศทางของเวกเตอร์ ความสัมพันธ์ระหว่างโคไซน์ทิศทาง เวกเตอร์เวกเตอร์ พิกัดคือผลรวมของเวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

ความยาวของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยสูตร

ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยมุม α, β, γ ที่เกิดขึ้นจากแกนพิกัด Ox, Oy, Oz โคไซน์ของมุมเหล่านี้ (ที่เรียกว่า โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ ) คำนวณโดยสูตร:

เวกเตอร์หน่วยหรือ ort (เวกเตอร์หน่วยของช่องว่างเวกเตอร์ปกติ) เป็นเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน (ความยาว) เท่ากับหนึ่ง

เวกเตอร์หน่วย , collinear กับหนึ่งที่กำหนด (เวกเตอร์ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน) ถูกกำหนดโดยสูตร

เวกเตอร์หน่วยมักถูกเลือกให้เป็นเวกเตอร์พื้นฐาน เนื่องจากจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ฐานดังกล่าวเรียกว่า ทำให้เป็นมาตรฐาน. หากเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากด้วย ฐานดังกล่าวจะเรียกว่าฐานปกติออร์โธปกติ

พิกัด collinear

พิกัด เท่ากัน

พิกัด ผลรวมเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวตอบสนองความสัมพันธ์:

พิกัด collinearเวกเตอร์ตอบสนองความสัมพันธ์:

พิกัด เท่ากันเวกเตอร์ตอบสนองความสัมพันธ์:

ผลรวมเวกเตอร์สองเวกเตอร์:

ผลรวมของเวกเตอร์หลายตัว:

ผลคูณของเวกเตอร์ตามตัวเลข:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ การประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ข้าม เงื่อนไขของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ คุณสมบัติเชิงพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม การแสดงออกของผลคูณในแง่ของพิกัดของปัจจัย

ผลคูณของเวกเตอร์และเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่ง:

1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b นั่นคือ c^a และ c^b;

2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ a และ b ด้านข้าง (ดูรูปที่ 17) เช่น

3.เวกเตอร์ a, b และ c เป็นสามทางขวา

การประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิต:

การสร้าง collinearity ของเวกเตอร์

การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับสามเหลี่ยม

ตามคำจำกัดความของผลคูณของเวกเตอร์ เอและข |a xb | =|a| * |b |sing เช่น S คู่ = |a x b |. และด้วยเหตุนี้ DS \u003d 1/2 | a x b |.

การหาโมเมนต์แรงที่จุดใดจุดหนึ่ง

รู้จากฟิสิกส์ว่า โมเมนต์ของแรงFเทียบกับจุด อู๋เรียกว่าเวกเตอร์ เอ็ม,ที่ผ่านจุด อู๋และ:

1) ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ, เอ, บี;

2) ตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงและแขน

3) สร้างทริปเปิ้ลที่ถูกต้องด้วยเวกเตอร์ OA และ AB

ดังนั้น M=OA x F

การหาความเร็วเชิงเส้นของการหมุน

ความเร็ว v ของจุด M ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม w รอบแกนคงที่ถูกกำหนดโดยสูตรออยเลอร์ v \u003d w x r โดยที่ r \u003d OM โดยที่ O เป็นจุดคงที่บางจุดของแกน (ดูรูปที่ . 21).

เงื่อนไขของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ - เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการ collinearity ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และเวกเตอร์คือการดำรงอยู่ของตัวเลขที่ตอบสนองความเท่าเทียมกัน

คุณสมบัติเชิงพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม

ผลคูณผสมของเวกเตอร์ไม่เปลี่ยนแปลงด้วยการเรียงสับเปลี่ยนของแฟคเตอร์แบบวงกลม และเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นด้านตรงข้ามเมื่อแฟคเตอร์ทั้งสองมีการแลกเปลี่ยนกัน โดยที่ยังคงโมดูลัสของมันไว้

เครื่องหมาย " " ของการคูณเวกเตอร์ภายในผลคูณแบบผสมสามารถวางไว้ระหว่างปัจจัยใดก็ได้

ผลิตภัณฑ์ผสมมีการแจกจ่ายตามปัจจัยใดๆ ของผลิตภัณฑ์: (เช่น) ถ้า แล้ว

การแสดงออกข้ามผลิตภัณฑ์ในแง่ของพิกัด

ระบบพิกัดขวา

ระบบพิกัดซ้าย

12.ผลคูณผสมของเวกเตอร์ ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม เงื่อนไขสำหรับ coplanarity ของเวกเตอร์ คุณสมบัติเชิงพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม การแสดงออกของผลิตภัณฑ์ผสมในแง่ของพิกัดของปัจจัย

ผสมผลคูณของเวกเตอร์สามตัวที่เรียงลำดับ (a,b,c) คือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์แรกโดยผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่สองคูณสาม

คุณสมบัติเชิงพีชคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

การต่อต้านการกลายพันธุ์

สัมพันธ์กับการคูณด้วยสเกลาร์

การกระจายโดยการเพิ่ม

เอกลักษณ์ของจาโคบี วิ่งใน R3 และพักใน R7

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์พื้นฐานพบตามคำจำกัดความ

บทสรุป

พิกัดของทั้งเวกเตอร์กำกับเส้นและพิกัดของจุดที่เป็นของเส้นนั้นอยู่ที่ไหน

เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงบนระนาบ สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดและตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด สมการทั่วไปของเส้นตรง สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชัน การจัดเรียงเส้นตรงสองเส้นร่วมกันบนระนาบ

ปกติเวกเตอร์ของเส้นตรงคือเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับเส้นนี้

- สมการของเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

อา + อู๋ + C = 0- สมการทั่วไปของเส้นตรง.

สมการเส้นตรง y=kx+b

เรียกว่า สมการเส้นตรงที่มีความชันและสัมประสิทธิ์ k เรียกว่าความชันของเส้นที่กำหนด

ทฤษฎีบท. ในสมการเส้นตรงที่มีความชัน y=kx+b

สัมประสิทธิ์เชิงมุม k เท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน x:

การจัดการร่วมกัน:

คือสมการทั่วไปของเส้นสองเส้นบนระนาบพิกัด Oxy แล้ว

1) ถ้า แล้วเส้นและตรง;

2) ถ้า แล้ว เส้นและขนาน;

3) if แล้วเส้นตัดกัน

การพิสูจน์ . เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับความสอดคล้องของเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนด:

ดังนั้น ถ้า แล้ว และกำกับ ตัด.

ถ้า จากนั้น , , และสมการของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ:

หรือ , เช่น. ตรง การแข่งขัน. โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน มิฉะนั้น สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการทั่วไปจะเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

หากเส้นไม่ตรงและไม่ตัดกัน คดีก็จะยังคงอยู่ กล่าวคือ ตรง ขนานกัน.

สมการของเส้นตรงในเซ็กเมนต์

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ah + Vy + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ ที่ไหน

ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์คือสัมประสิทธิ์ เอคือพิกัดของจุดตัดของเส้นกับแกน x และ ข- พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกน Oy

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ Ax + Wy + C = 0 หารด้วยตัวเลขที่เรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราจะได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

สมการปกติของเส้นตรง

ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ μ ? จาก< 0.

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดกำเนิดไปยังเส้นตรง และ φ คือมุมที่เกิดขึ้นจากแนวตั้งฉากนี้กับทิศทางบวกของแกน Ox

C ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ ได้ ตัวอย่างเช่น เส้นตรงที่ขนานกับแกนหรือการส่งผ่านจุดกำเนิด

17. วงรี. สมการ Canonical ของวงรี คุณสมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างวงรี เงื่อนไขพิเศษ

วงรี - ตำแหน่งของจุด เอ็มระนาบแบบยุคลิดซึ่งผลรวมของระยะทางถึงสองจุดที่กำหนด F 1 และ F 2 (เรียกว่า foci) มีค่าคงที่และมากกว่าระยะห่างระหว่าง foci นั่นคือ | F 1 เอ็ม | + | F 2 เอ็ม | = 2เอ, และ | F 1 F 2 | < 2เอ.

สมการ Canonical

สำหรับวงรีใด ๆ คุณสามารถค้นหาระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่วงรีจะอธิบายโดยสมการ (สมการบัญญัติของวงรี):

มันอธิบายวงรีที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดซึ่งมีแกนตรงกับแกนพิกัด

อาคารตอบ: 1) การใช้เข็มทิศ

2) สองเทคนิคและด้ายยืด

3) Ellipsograph (เครื่องมือวัด Ellipsograph ประกอบด้วยตัวเลื่อนสองตัวที่สามารถเคลื่อนที่ไปตามร่องหรือเส้นบอกแนวตั้งฉากสองเส้น ตัวเลื่อนจะยึดติดกับแกนโดยใช้บานพับ และอยู่ในระยะคงที่จากกันและกันตามแนวแกน ตัวเลื่อนจะเคลื่อนที่ไปข้างหน้าและ ย้อนกลับ - แต่ละอันตามแนวร่องของมันเอง - และปลายไม้เรียวอธิบายวงรีในระนาบ ครึ่งวงกลมของวงรี a และ b คือระยะทางจากปลายก้านถึงบานพับบนตัวเลื่อน โดยปกติ ระยะทาง a และ b สามารถเปลี่ยนแปลงได้ และด้วยเหตุนี้จึงเปลี่ยนรูปร่างและขนาดของวงรีที่อธิบายไว้)

ความเยื้องศูนย์กลางเป็นลักษณะการยืดตัวของวงรี ยิ่งความเยื้องศูนย์เข้าใกล้ศูนย์มากเท่าไหร่ วงรีก็จะยิ่งดูเหมือนวงกลมมากขึ้นเท่านั้น และในทางกลับกัน ยิ่งความเยื้องศูนย์เข้าใกล้หนึ่งมากเท่าไหร่ก็ยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น

พารามิเตอร์โฟกัส

สมการ Canonical

18.ไฮเปอร์โบลา สมการ Canonical ของไฮเปอร์โบลา คุณสมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างไฮเพอร์โบลา เงื่อนไขพิเศษ

ไฮเพอร์โบลา(กรีกโบราณ ὑπερβολή จากภาษากรีก βαλειν - "โยน", ὑπερ - "เหนือ") - ตำแหน่งของจุด เอ็มระนาบแบบยุคลิดซึ่งค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างในระยะทางจาก เอ็มมากถึงสองคะแนนที่เลือก F 1 และ F 2 (เรียกว่าโฟกัส) ตลอดเวลา อย่างแม่นยำมากขึ้น,

และ | F 1 F 2 | > 2เอ > 0.

อัตราส่วน

สำหรับลักษณะของไฮเปอร์โบลาที่กำหนดไว้ข้างต้น จะเป็นไปตามความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

2. ไดเรกทริกซ์ของไฮเปอร์โบลาแสดงด้วยเส้นความหนาสองเท่าและระบุด้วย ดี 1 และ ดี 2. ความเยื้องศูนย์ ε เท่ากับอัตราส่วนของระยะทางจุด พีบนไฮเปอร์โบลาไปยังโฟกัสและไปยังไดเรกทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง (แสดงเป็นสีเขียว) จุดยอดของไฮเพอร์โบลาแสดงเป็น ± เอ. พารามิเตอร์ไฮเปอร์โบลาหมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

เอ- ระยะทางจากศูนย์กลาง คสู่จุดสูงสุดแต่ละจุด
ข- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดยอดแต่ละจุดถึงเส้นกำกับ
ค- ระยะทางจากศูนย์กลาง คก่อนกลอุบายใด ๆ F 1 และ F 2 ,
θ - มุมที่เกิดจากเส้นกำกับแต่ละเส้นและแกนที่ลากระหว่างจุดยอด

คุณสมบัติ

§ สำหรับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนไฮเปอร์โบลา อัตราส่วนของระยะทางจากจุดนี้ไปยังโฟกัสไปยังระยะห่างจากจุดเดียวกันไปยังไดเรกทริกซ์คือค่าคงที่

§ ไฮเพอร์โบลามีความสมมาตรแบบกระจกเกี่ยวกับแกนจริงและแกนจินตภาพ เช่นเดียวกับสมมาตรในการหมุนเมื่อหมุนผ่านมุม 180 องศารอบจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา

§ ไฮเปอร์โบลาแต่ละอันมี ผันไฮเปอร์โบลาซึ่งแกนจริงและแกนจินตภาพจะสับเปลี่ยนกัน แต่เส้นกำกับยังคงเหมือนเดิม สิ่งนี้สอดคล้องกับการแทนที่ เอและ ขทับกันในสูตรที่อธิบายไฮเปอร์โบลา ไฮเพอร์โบลาคอนจูเกตไม่ได้เป็นผลมาจากการหมุน 90° ของไฮเปอร์โบลาเริ่มต้น ไฮเปอร์โบลาทั้งสองมีรูปร่างต่างกัน

19. พาราโบลา. สมการบัญญัติของพาราโบลา คุณสมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างพาราโบลา เงื่อนไขพิเศษ

พาราโบลา คือโลคัสของจุดที่ห่างจากเส้นที่กำหนดเท่ากัน (เรียกว่าไดเร็กทริกซ์ของพาราโบลา) และจุดที่กำหนด (เรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา)

สมการมาตรฐานของพาราโบลาในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคือ:

(หรือถ้าแกนจะกลับด้าน)

คุณสมบัติ

§ 1พาราโบลาเป็นเส้นโค้งของลำดับที่สอง

§ 2มีแกนสมมาตรเรียกว่า แกนพาราโบลา. แกนเคลื่อนผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์

§ 3 คุณสมบัติทางแสงลำแสงที่ขนานกับแกนของพาราโบลาที่สะท้อนในพาราโบลาจะถูกรวบรวมไว้ที่โฟกัส ในทางกลับกัน แสงจากแหล่งกำเนิดที่อยู่ในโฟกัสจะถูกสะท้อนด้วยพาราโบลาเป็นลำแสงที่ขนานกับแกนของมัน

§ 4สำหรับพาราโบลา จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0.25; 0)

สำหรับพาราโบลา โฟกัสจะอยู่ที่จุด (0; f)

§ 5 หากจุดโฟกัสของพาราโบลาสะท้อนถึงเส้นสัมผัส ภาพของพาราโบลาจะอยู่ที่ไดเรกทริกซ์

§ 6A พาราโบลาคือแอนติโพเดราของเส้นตรง

§ พาราโบลาทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน ระยะห่างระหว่างโฟกัสและไดเรกทริกซ์กำหนดมาตราส่วน

§ 7 เมื่อพาราโบลาหมุนรอบแกนสมมาตร จะได้พาราโบลาวงรี

ไดเรกทริกซ์ของพาราโบลา

รัศมีโฟกัส

20.เวกเตอร์ปกติของระนาบ สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดนั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด สมการทั่วไปของระนาบ กรณีพิเศษของสมการทั่วไปของระนาบ สมการเวกเตอร์ของระนาบ การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบินสองลำ

เครื่องบินเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต ในการอธิบายเรขาคณิตอย่างเป็นระบบ แนวความคิดของระนาบมักจะถือเป็นหนึ่งในแนวคิดเบื้องต้น ซึ่งถูกกำหนดโดยอ้อมจากสัจพจน์ของเรขาคณิตเท่านั้น

สมการระนาบเทียบกับจุดและเวกเตอร์ปกติ
ในรูปแบบเวกเตอร์

ในพิกัด

มุมระหว่างระนาบ

กรณีเฉพาะของสมการทั่วไปของระนาบ