ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ - ทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ (2020) ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมแหลม

ตรีโกณมิติเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติและการนำไปใช้ในเรขาคณิต การพัฒนาตรีโกณมิติเริ่มขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ในช่วงยุคกลาง นักวิทยาศาสตร์จากตะวันออกกลางและอินเดียมีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้

บทความนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความของตรีโกณมิติ กล่าวถึงคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มีการอธิบายและอธิบายความหมายในบริบทของเรขาคณิต

เริ่มแรก นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งมีอาร์กิวเมนต์เป็นมุม ถูกแสดงผ่านอัตราส่วนของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ไซน์ของมุม (sin α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนี้กับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุม (cos α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุม (t g α) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์ของมุม (c t g α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม

คำจำกัดความเหล่านี้มีไว้สำหรับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก!

ให้ภาพประกอบ

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุมฉาก C ไซน์ของมุม A เท่ากับอัตราส่วนของขา BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ทำให้สามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ได้จากความยาวที่ทราบของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

สำคัญที่ต้องจำ!

ช่วงของค่าไซน์และโคไซน์: ตั้งแต่ -1 ถึง 1 กล่าวคือ ไซน์และโคไซน์ใช้ค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1 ช่วงของค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ ค่าเหล่านี้ ฟังก์ชันสามารถรับค่าใดก็ได้

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นอ้างถึงมุมแหลม ในตรีโกณมิติแนะนำแนวคิดของมุมของการหมุนซึ่งค่าซึ่งไม่เหมือนกับมุมแหลมไม่ได้ถูก จำกัด โดยเฟรมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา มุมของการหมุนเป็นองศาหรือเรเดียนแสดงด้วยจำนวนจริงใด ๆ จาก - ∞ ถึง + ∞

ในบริบทนี้ เราสามารถกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมของขนาดใดก็ได้ ลองนึกภาพวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

จุดเริ่มต้น A ที่มีพิกัด (1, 0) หมุนรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วยด้วยมุม α และไปที่จุด A 1 คำจำกัดความจะได้รับผ่านพิกัดของจุด A 1 (x, y)

ไซน์ (บาป) ของมุมการหมุน

ไซน์ของมุมการหมุน α คือพิกัดของจุด A 1 (x, y) ซินα = y

โคไซน์ (cos) ของมุมการหมุน

โคไซน์ของมุมการหมุน α คือ abscissa ของจุด A 1 (x, y) cos α = x

แทนเจนต์ (tg) ของมุมการหมุน

แทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 (x, y) ต่อ abscissa t ก. α = y x

โคแทนเจนต์ (ctg) ของมุมการหมุน

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 (x, y) ต่อพิกัด c t ก. α = x y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ นี่เป็นเหตุผลเพราะสามารถกำหนด abscissa และพิกัดของจุดหลังการหมุนได้ที่มุมใดก็ได้ สถานการณ์จะแตกต่างกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ไม่ได้กำหนดแทนเจนต์เมื่อจุดหลังการหมุนไปที่จุดที่ไม่มี abscissa (0 , 1) และ (0 , - 1) ในกรณีเช่นนี้ นิพจน์สำหรับแทนเจนต์ t g α = y x นั้นไม่สมเหตุสมผลเลย เพราะมันประกอบด้วยการหารด้วยศูนย์ สถานการณ์คล้ายกับโคแทนเจนต์ ความแตกต่างคือไม่มีการกำหนดโคแทนเจนต์ในกรณีที่พิกัดของจุดหายไป

สำคัญที่ต้องจำ!

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ α

แทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

โคแทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เมื่อแก้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ อย่าพูดว่า "ไซน์ของมุมการหมุน α" คำว่า "มุมของการหมุน" นั้นถูกละไว้อย่างง่าย ๆ ซึ่งหมายความว่าจากบริบทมีความชัดเจนอยู่แล้วว่าอะไรคือความเสี่ยง

ตัวเลข

แล้วคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวนหนึ่ง ไม่ใช่มุมของการหมุนล่ะ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของจำนวน

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน tเรียกตัวเลขซึ่งเท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ตามลำดับใน tเรเดียน.

ตัวอย่างเช่น ไซน์ของ 10 π เท่ากับไซน์ของมุมการหมุนที่ 10 π rad

มีแนวทางอื่นในการนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวนหนึ่ง ลองพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม

จำนวนจริงใดๆ tจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยสอดคล้องกับจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดในแง่ของพิกัดของจุดนี้

จุดเริ่มต้นบนวงกลมคือจุด A ที่มีพิกัด (1 , 0)

จำนวนบวก t

จำนวนลบ tสอดคล้องกับจุดที่จุดเริ่มต้นจะเคลื่อนที่หากเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาไปรอบ ๆ วงกลมและผ่านเส้นทาง t

เมื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขกับจุดบนวงกลมแล้ว เราดำเนินการตามนิยามของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ไซน์ (บาป) ของจำนวน t

ไซน์ของจำนวน t- กำหนดจุดของวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที บาป t = y

โคไซน์ (cos) ของ t

โคไซน์ของจำนวน t- abscissa ของจุดของวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที cos เสื้อ = x

แทนเจนต์ (tg) ของ t

แทนเจนต์ของตัวเลข t- อัตราส่วนของพิกัดต่อ abscissa ของจุดของวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที t g t = y x = บาป t cos t

คำจำกัดความหลังมีความสอดคล้องและไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในตอนต้นของหัวข้อนี้ ชี้บนวงกลมที่ตรงกับตัวเลข t, ตรงกับจุดที่จุดเริ่มต้นผ่านหลังจากเลี้ยวผ่านมุม tเรเดียน.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

แต่ละค่าของมุม α สอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ เช่นเดียวกับทุกมุม α ที่ไม่ใช่ α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) สอดคล้องกับค่าหนึ่งของแทนเจนต์ โคแทนเจนต์ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ถูกกำหนดไว้สำหรับ α ทั้งหมด ยกเว้น α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z)

เราสามารถพูดได้ว่า sin α , cos α , t g α , c t g α เป็นฟังก์ชันของมุม alpha หรือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ว่าเป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งเชิงตัวเลข ทุกจำนวนจริง tสอดคล้องกับค่าเฉพาะของไซน์หรือโคไซน์ของตัวเลข t. ตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ π 2 + π · k , k ∈ Z สอดคล้องกับค่าของแทนเจนต์ โคแทนเจนต์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกันสำหรับตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น π · k , k ∈ Z

ฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

โดยปกติแล้วจะมีความชัดเจนจากบริบทที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์ตัวเลข) ที่เรากำลังเผชิญอยู่

กลับไปที่ข้อมูลที่จุดเริ่มต้นคำจำกัดความและมุมอัลฟาซึ่งอยู่ในช่วง 0 ถึง 90 องศา นิยามตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สอดคล้องกับคำจำกัดความทางเรขาคณิตที่กำหนดโดยอัตราส่วนของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก เอามาโชว์กัน

ใช้วงกลมหนึ่งหน่วยที่มีศูนย์กลางที่ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ลองหมุนจุดเริ่มต้น A (1, 0) ด้วยมุมสูงสุด 90 องศาแล้ววาดจากจุดผลลัพธ์ A 1 (x, y) ตั้งฉากกับแกน x ในผลลัพธ์สามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A 1 O H เท่ากับมุมการหมุน α ความยาวของขา O H เท่ากับ abscissa ของจุด A 1 (x, y) . ความยาวของขาตรงข้ามมุมเท่ากับพิกัดของจุด A 1 (x, y) และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับหนึ่ง เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย

ตามคำจำกัดความจากเรขาคณิต ไซน์ของมุม α เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

บาป α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

ซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความของไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านอัตราส่วนกว้างยาวนั้นเทียบเท่ากับคำจำกัดความของไซน์ของมุมของการหมุน α โดยที่อัลฟาอยู่ในช่วง 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน ความสอดคล้องของคำจำกัดความสามารถแสดงได้สำหรับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในชีวิตเรามักจะต้องเผชิญกับปัญหาคณิตศาสตร์ ที่โรงเรียน ที่มหาวิทยาลัย แล้วช่วยลูกทำการบ้าน ผู้คนในวิชาชีพบางอาชีพจะพบกับวิชาคณิตศาสตร์ทุกวัน ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการจดจำหรือจำกฎทางคณิตศาสตร์ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์หนึ่งในนั้น: การหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร

ก่อนอื่น ให้จำไว้ว่าสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปเรขาคณิตของสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมุมหนึ่งของรูปนี้คือ 90 องศา ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา และด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

การหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

มีหลายวิธีในการค้นหาความยาวของขา ฉันต้องการพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากกับขา เราก็สามารถหาความยาวของขาที่ไม่รู้จักได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดูเหมือนว่า: "กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา" สูตร: c²=a²+b² โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b คือขา เราแปลงสูตรและรับ: a²=c²-b²

ตัวอย่าง. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5 ซม. และขาคือ 3 ซม. เราแปลงสูตร: c²=a²+b² → a²=c²-b² ต่อไป เราตัดสินใจ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; ก=√16; ก=4 (ซม.)

ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติเพื่อหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นอกจากนี้ยังสามารถหาขาที่ไม่รู้จักได้หากรู้ด้านอื่นและมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีสี่ตัวเลือกในการค้นหาขาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: โดยไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ ในการแก้ปัญหา ตารางด้านล่างนี้จะช่วยเราได้ ลองพิจารณาตัวเลือกเหล่านี้

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ไซน์

ไซน์ของมุม (sin) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: sin \u003d a / c โดยที่ a คือขาตรงข้ามมุมที่กำหนดและ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อไป เราแปลงสูตรและรับ: a=sin*c

ตัวอย่าง. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. และมุม A คือ 30 องศา จากตาราง เราคำนวณไซน์ของมุม A เท่ากับ 1/2 จากนั้น ใช้สูตรที่แปลงแล้ว เราแก้สมการ: a=sin∠A*c; ก=1/2*10; ก=5 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้โคไซน์

โคไซน์ของมุม (cos) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: cos \u003d b / c โดยที่ b คือขาที่อยู่ติดกับมุมที่กำหนดและ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ลองแปลงสูตรและรับ: b=cos*c

ตัวอย่าง. มุม A คือ 60 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. จากตาราง เราคำนวณโคไซน์ของมุม A เท่ากับ 1/2 ต่อไป เราจะแก้: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้แทนเจนต์

แทนเจนต์ของมุม (tg) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน สูตร: tg \u003d a / b โดยที่ a คือขาตรงข้ามกับมุม และ b อยู่ติดกัน ลองแปลงสูตรและรับ: a=tg*b

ตัวอย่าง. มุม A คือ 45 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. จากตาราง เราคำนวณแทนเจนต์ของมุม A ซึ่งเท่ากับ Solve: a=tg∠A*b; ก=1*10; ก=10 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้โคแทนเจนต์

โคแทนเจนต์ของมุม (ctg) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม สูตร: ctg \u003d b / a โดยที่ b คือขาที่อยู่ติดกับมุมและอยู่ตรงข้าม กล่าวอีกนัยหนึ่ง โคแทนเจนต์คือ "แทนเจนต์กลับหัว" เราได้รับ: b=ctg*a.

ตัวอย่าง. มุม A คือ 30 องศา ขาตรงข้ามคือ 5 ซม. ตามตาราง แทนเจนต์ของมุม A คือ √3 คำนวณ: b=ctg∠A*a; ข=√3*5; b=5√3 (ซม.)

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาขาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว อย่างที่คุณเห็นมันไม่ยากเลย สิ่งสำคัญคือการจำสูตร

เมื่อรู้ขาข้างหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณจะพบขาที่สองและด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ความสัมพันธ์เกี่ยวกับตรีโกณมิติ - ไซน์และแทนเจนต์ของมุมที่รู้จัก เนื่องจากอัตราส่วนของขาตรงข้ามมุมกับด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับไซน์ของมุมนี้ ดังนั้น ในการหาด้านตรงข้ามมุมฉาก ขาจะต้องหารด้วยไซน์ของมุม a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

ขาที่สองสามารถพบได้จากแทนเจนต์ของมุมที่รู้จัก เป็นอัตราส่วนของขาที่ทราบต่อแทนเจนต์ a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

ในการคำนวณมุมที่ไม่รู้จักในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องลบมุม α ออกจาก 90 องศา β=90°-α

เส้นรอบวงและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านขาและมุมตรงข้ามกับมันสามารถแสดงได้โดยการแทนที่นิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับขาที่สองและด้านตรงข้ามมุมฉากในสูตร P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 แทน⁡α)

คุณยังสามารถคำนวณความสูงได้โดยใช้ความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติ แต่มีอยู่แล้วในสามเหลี่ยมมุมฉากภายในที่มีด้าน a ซึ่งมันก่อตัวขึ้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องมีด้าน a เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว คูณด้วยไซน์ของมุม β หรือโคไซน์ของ α เนื่องจากตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ พวกมันเท่ากัน (รูปที่ 79.2) h=a cos⁡α

ค่ามัธยฐานของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากหรือขาที่ทราบ a หารด้วยสองไซน์ α ในการหาค่ามัธยฐานของขา เรานำสูตรมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับด้านและมุมที่ทราบ (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 แทน^2⁡ α+1))/(2 แทน⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 บาป^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α บาป^2⁡α))/2=(a√( 3 บาป^2⁡α+แทน^2⁡α))/(2 แทน⁡α บาป⁡α)

เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่งของมุมฉากในสามเหลี่ยมเป็นผลคูณของสองด้านและรากของสอง หารด้วยผลรวมของด้านเหล่านี้ แทนที่ขาข้างหนึ่งด้วยอัตราส่วนของขาที่ทราบต่อแทนเจนต์ เราได้รับดังต่อไปนี้ การแสดงออก. ในทำนองเดียวกัน โดยการแทนที่อัตราส่วนลงในสูตรที่สองและสาม เราสามารถคำนวณเส้นแบ่งครึ่งของมุม α และ β ได้ (fig.79.4) l_с=(a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b) +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c))))/(b+c)=(a/แทน⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c))))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α))))/(a sin⁡α+a)

เส้นกลางขนานไปกับด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม ขณะที่สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันอีกอันที่มีมุมเท่ากัน โดยทุกด้านจะมีขนาดครึ่งหนึ่งของเส้นเดิม จากสิ่งนี้ เส้นตรงกลางสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ โดยรู้เฉพาะส่วนขาและมุมที่ตรงกันข้ามกับเส้นนั้น (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 บาป⁡α)

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้นั้นเท่ากับความแตกต่างระหว่างขาและด้านตรงข้ามมุมฉากหารด้วยสอง และในการหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ คุณต้องหารด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยสอง เราแทนที่ขาที่สองและด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยอัตราส่วนของขา a ต่อไซน์และแทนเจนต์ตามลำดับ (รูปที่ 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

หนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เด็กนักเรียนสามารถรับมือกับปัญหาที่ใหญ่ที่สุดคือตรีโกณมิติ ไม่น่าแปลกใจเลย: เพื่อที่จะเชี่ยวชาญด้านความรู้นี้อย่างอิสระ คุณต้องมีความคิดเชิงพื้นที่ ความสามารถในการค้นหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์โดยใช้สูตร ลดความซับซ้อนของนิพจน์ และสามารถใช้ตัวเลข pi ในการคำนวณได้ นอกจากนี้ คุณต้องใช้ตรีโกณมิติในการพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ และต้องใช้หน่วยความจำทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแล้ว หรือความสามารถในการอนุมานโซ่ตรวนเชิงตรรกะที่ซับซ้อน

ที่มาของตรีโกณมิติ

ความคุ้นเคยกับวิทยาศาสตร์นี้ควรเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม แต่ก่อนอื่น คุณต้องคิดก่อนว่าตรีโกณมิติทำอะไรโดยทั่วไป

ในอดีต สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ การมีมุม 90 องศาทำให้สามารถดำเนินการต่าง ๆ ที่อนุญาตให้กำหนดค่าของพารามิเตอร์ทั้งหมดของรูปที่พิจารณาโดยใช้สองด้านและหนึ่งมุมหรือสองมุมและด้านเดียว ในอดีต ผู้คนสังเกตเห็นรูปแบบนี้และเริ่มใช้มันอย่างแข็งขันในการก่อสร้างอาคาร การนำทาง ดาราศาสตร์ และแม้แต่งานศิลปะ

ระยะแรก

ในขั้นต้น ผู้คนพูดถึงความสัมพันธ์ของมุมและด้านโดยเฉพาะในตัวอย่างของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนั้นจึงค้นพบสูตรพิเศษที่ทำให้สามารถขยายขอบเขตการใช้งานในชีวิตประจำวันของคณิตศาสตร์หมวดนี้

การศึกษาตรีโกณมิติที่โรงเรียนในวันนี้เริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก หลังจากนั้น ความรู้ที่ได้รับจะถูกนำไปใช้โดยนักเรียนในวิชาฟิสิกส์และการแก้สมการตรีโกณมิติที่เป็นนามธรรม ซึ่งเริ่มทำงานในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย

ตรีโกณมิติทรงกลม

ต่อมา เมื่อวิทยาศาสตร์ไปถึงการพัฒนาในระดับต่อไป สูตรที่มีไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์เริ่มถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตทรงกลม โดยใช้กฎที่แตกต่างกัน และผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมมักจะมากกว่า 180 องศาเสมอ ส่วนนี้ไม่มีการศึกษาที่โรงเรียน แต่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน อย่างน้อยก็เพราะพื้นผิวโลกและพื้นผิวของดาวเคราะห์ดวงอื่นมีลักษณะนูน ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายบนพื้นผิวใดๆ จะ "มีรูปทรงโค้ง" ใน พื้นที่สามมิติ

ใช้โลกและด้าย ติดด้ายกับจุดสองจุดใดๆ ในโลกเพื่อให้ตึง ให้ความสนใจ - ได้รับรูปร่างของส่วนโค้ง ด้วยรูปแบบดังกล่าวที่เรขาคณิตทรงกลมซึ่งใช้ใน geodesy ดาราศาสตร์และสาขาทฤษฎีและประยุกต์อื่น ๆ ข้อตกลง

สามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อได้เรียนรู้เล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการใช้ตรีโกณมิติแล้ว ให้กลับไปที่ตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์คืออะไร การคำนวณใดที่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ และต้องใช้สูตรใด

ขั้นตอนแรกคือการทำความเข้าใจแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก อย่างแรก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุม 90 องศา เธอเป็นคนที่ยาวที่สุด เราจำได้ว่า ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค่าตัวเลขเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น ถ้าสองด้านยาว 3 และ 4 เซนติเมตรตามลำดับ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาว 5 เซนติเมตร อย่างไรก็ตาม ชาวอียิปต์โบราณรู้เรื่องนี้เมื่อสี่พันห้าพันปีก่อน

อีกสองด้านที่เหลือที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา นอกจากนี้ เราต้องจำไว้ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคือ 180 องศา

คำนิยาม

สุดท้าย ด้วยความเข้าใจอย่างถ่องแท้ของฐานเรขาคณิต เราสามารถเปลี่ยนนิยามของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมได้

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (กล่าวคือ ด้านตรงข้ามมุมที่ต้องการ) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

จำไว้ว่าทั้งไซน์และโคไซน์ไม่สามารถมากกว่าหนึ่งได้! ทำไม เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นค่าเริ่มต้นที่ยาวที่สุด ไม่ว่าขาจะยาวแค่ไหน ขาจะสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ ดังนั้น หากคุณได้ไซน์หรือโคไซน์ที่มีค่ามากกว่า 1 ในคำตอบของปัญหา ให้มองหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการใช้เหตุผล คำตอบนี้ผิดอย่างชัดเจน

สุดท้าย แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ผลลัพธ์เดียวกันจะให้การหารไซน์ด้วยโคไซน์ ดู: ตามสูตร เราหารความยาวของด้านด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก หลังจากนั้นเราหารด้วยความยาวของด้านที่สองแล้วคูณด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นเราจึงได้อัตราส่วนเดียวกับในนิยามแทนเจนต์

โคแทนเจนต์ตามลำดับคืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับมุมกับด้านตรงข้าม เราได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยหารหน่วยด้วยแทนเจนต์

ดังนั้น เราได้พิจารณาคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ และเราสามารถจัดการกับสูตรได้

สูตรที่ง่ายที่สุด

ในตรีโกณมิติ เราทำไม่ได้หากไม่มีสูตร - จะหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ได้อย่างไรหากไม่มีพวกมัน และนี่คือสิ่งที่จำเป็นในการแก้ปัญหา

สูตรแรกที่คุณต้องรู้เมื่อเริ่มศึกษาตรีโกณมิติกล่าวว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่ง สูตรนี้เป็นผลโดยตรงของทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่จะช่วยประหยัดเวลาหากคุณต้องการทราบค่าของมุม ไม่ใช่ด้าน

นักเรียนหลายคนจำสูตรที่สองไม่ได้ ซึ่งเป็นที่นิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาในโรงเรียน: ผลรวมของหนึ่งกับกำลังสองของแทนเจนต์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่งหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ของมุม พิจารณาให้ละเอียดยิ่งขึ้น: ท้ายที่สุด นี่เป็นข้อความเดียวกับในสูตรแรก เฉพาะทั้งสองด้านของเอกลักษณ์เท่านั้นที่ถูกหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ ปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายทำให้ไม่สามารถจดจำสูตรตรีโกณมิติได้อย่างสมบูรณ์ ข้อควรจำ: การรู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร กฎการแปลงและสูตรพื้นฐานสองสามสูตร คุณสามารถรับสูตรที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งจำเป็นบนกระดาษแผ่นหนึ่งได้อย่างอิสระ

สูตรมุมคู่และการเพิ่มอาร์กิวเมนต์

อีกสองสูตรที่คุณต้องเรียนรู้เกี่ยวข้องกับค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและความแตกต่างของมุม จะแสดงในรูปด้านล่าง โปรดทราบว่าในกรณีแรก ไซน์และโคไซน์จะถูกคูณทั้งสองครั้ง และในกรณีที่สอง ผลคูณของไซน์และโคไซน์จะถูกเพิ่มเข้าไป

นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์แบบมุมคู่ พวกมันได้มาจากอันที่แล้วทั้งหมด - ในทางปฏิบัติ พยายามหามันด้วยตัวเอง โดยหามุมของอัลฟ่าเท่ากับมุมของเบตา

สุดท้าย โปรดทราบว่าสูตรมุมคู่สามารถแปลงเพื่อลดระดับของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์อัลฟา

ทฤษฎีบท

สองทฤษฎีบทหลักในตรีโกณมิติพื้นฐานคือทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทเหล่านี้ คุณสามารถเข้าใจวิธีการหาไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ได้อย่างง่ายดาย ดังนั้น พื้นที่ของรูปและขนาดของแต่ละด้าน เป็นต้น

ทฤษฎีบทไซน์ระบุว่าจากการหารความยาวของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้วยค่าของมุมตรงข้าม เราได้จำนวนเท่ากัน ยิ่งกว่านั้น ตัวเลขนี้จะเท่ากับรัศมีสองรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ นั่นคือ วงกลมที่มีจุดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมที่ให้มา

ทฤษฎีบทโคไซน์สรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยฉายลงบนสามเหลี่ยมใดๆ ปรากฎว่าจากผลรวมของกำลังสองของทั้งสองด้าน ลบผลคูณคูณด้วยโคไซน์คู่ของมุมที่อยู่ติดกัน - ค่าที่ได้จะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงกลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์

ผิดพลาดเพราะไม่ตั้งใจ

แม้จะรู้ว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร ก็ยังง่ายที่จะทำผิดพลาดอันเนื่องมาจากการไม่ใส่ใจหรือข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ง่ายที่สุด เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดลองทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

อันดับแรก คุณไม่ควรแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมจนกว่าจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย - คุณสามารถปล่อยให้คำตอบเป็นเศษส่วนธรรมดา เว้นแต่เงื่อนไขจะระบุไว้เป็นอย่างอื่น การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นความผิดพลาด แต่ควรจำไว้ว่าในแต่ละขั้นตอนของงาน รากใหม่อาจปรากฏขึ้น ซึ่งตามความคิดของผู้เขียนควรลดลง ในกรณีนี้ คุณจะเสียเวลากับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าต่างๆ เช่น รูทของสามหรือสอง เพราะมันเกิดขึ้นในงานทุกขั้นตอน เช่นเดียวกับการปัดเศษตัวเลข "น่าเกลียด"

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าทฤษฎีบทโคไซน์ใช้กับสามเหลี่ยมใดๆ แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! หากคุณลืมลบผลคูณของด้านคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างกันโดยไม่ได้ตั้งใจ คุณจะไม่เพียงแค่ได้ผลลัพธ์ที่ผิดทั้งหมด แต่ยังแสดงให้เห็นถึงความเข้าใจผิดทั้งหมดเกี่ยวกับตัวแบบอีกด้วย นี้เลวร้ายยิ่งกว่าความผิดพลาดประมาท

ประการที่สาม อย่าสับสนค่าของมุม 30 และ 60 องศาสำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ จำค่าเหล่านี้ไว้ เพราะไซน์ของ 30 องศา เท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน มันง่ายที่จะผสมเข้าด้วยกันซึ่งเป็นผลมาจากการที่คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

แอปพลิเคชัน

นักเรียนหลายคนไม่รีบร้อนที่จะเริ่มเรียนตรีโกณมิติเพราะพวกเขาไม่เข้าใจความหมายที่ประยุกต์ใช้ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์สำหรับวิศวกรหรือนักดาราศาสตร์คืออะไร? สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่ทำให้คุณสามารถคำนวณระยะทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกล ทำนายการตกของอุกกาบาต ส่งยานสำรวจไปยังดาวเคราะห์ดวงอื่นได้ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างอาคาร ออกแบบรถยนต์ คำนวณน้ำหนักบนพื้นผิวหรือวิถีของวัตถุ และนี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุด! ท้ายที่สุดแล้วตรีโกณมิติในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งถูกใช้ทุกที่ตั้งแต่ดนตรีไปจนถึงการแพทย์

ในที่สุด

คุณก็คือไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ คุณสามารถใช้มันในการคำนวณและแก้ปัญหาของโรงเรียนได้สำเร็จ

สาระสำคัญทั้งหมดของตรีโกณมิติทำให้ต้องคำนวณพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักจากพารามิเตอร์ที่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม มีพารามิเตอร์ทั้งหมดหกตัว: ความยาวของสามด้านและขนาดของสามมุม ความแตกต่างทั้งหมดในงานอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่ามีการให้ข้อมูลอินพุตที่แตกต่างกัน

วิธีหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์จากความยาวของขาหรือด้านตรงข้ามมุมฉากที่ทราบ ตอนนี้คุณรู้แล้ว เนื่องจากคำศัพท์เหล่านี้ไม่ได้มีความหมายอะไรมากไปกว่าอัตราส่วน และอัตราส่วนก็คือเศษส่วน เป้าหมายหลักของปัญหาตรีโกณมิติคือการหารากของสมการธรรมดาหรือระบบสมการ และที่นี่คุณจะได้รับความช่วยเหลือจากคณิตศาสตร์ในโรงเรียนทั่วไป

ไซนัสมุมแหลม α ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วน ตรงข้ามสายสวนไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันแสดงดังนี้: บาป α.

โคไซน์มุมแหลม α ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันแสดงดังนี้: cos α

แทนเจนต์มุมแหลม α คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน
มันแสดงดังต่อไปนี้: tg α

โคแทนเจนต์มุมแหลม α คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม
ถูกกำหนดดังนี้: ctg α.

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

กฎ:

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

(α - มุมแหลมตรงข้ามขา ข และติดกับขา เอ . ด้านข้าง กับ - ด้านตรงข้ามมุมฉาก β - มุมแหลมที่สอง)

ข บาปα = - ค	บาป 2 α + cos 2 α = 1
เอ cosα = - ค	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
ข tgα = - เอ	1 1 + ctg 2 α = -- บาป2α
เอ ctgα = - ข	1 1 1 + -- = -- tg 2 α บาป 2 α
บาป tgα = -- cosα

เมื่อมุมแหลมเพิ่มขึ้นบาปและtg α เพิ่มขึ้นและcos α ลดลง

สำหรับมุมแหลมใดๆ α:

บาป (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = บาป α

ตัวอย่างอธิบาย:

ให้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
AB = 6,
BC = 3,
มุม A = 30º

จงหาไซน์ของมุม A และโคไซน์ของมุม B

การตัดสินใจ .

1) อันดับแรก เราพบค่าของมุม B ทุกอย่างง่ายที่นี่ เนื่องจากในสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของมุมแหลมคือ 90º จากนั้นมุม B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º

2) คำนวณ sin A. เรารู้ว่าไซน์เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม A ขาตรงข้ามคือด้าน BC ดังนั้น:

BC 3 1
บาป A = -- = - = -
AB 6 2

3) ตอนนี้เราคำนวณ cos B เรารู้ว่าโคไซน์เท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม B ขาที่อยู่ติดกันคือด้านเดียวกัน BC ซึ่งหมายความว่าเราต้องแบ่ง BC เป็น AB อีกครั้ง นั่นคือ ทำแบบเดียวกันกับเมื่อคำนวณไซน์ของมุม A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

ผลลัพธ์คือ:
บาป A = cos B = 1/2

บาป 30º = cos 60º = 1/2

จากนี้ไปในสามเหลี่ยมมุมฉาก ไซน์ของมุมแหลมหนึ่งมุมจะเท่ากับโคไซน์ของมุมแหลมอีกมุมหนึ่ง - และในทางกลับกัน นี่คือสิ่งที่ทั้งสองสูตรของเราหมายถึง:
บาป (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = บาป α

มาลองดูกันอีกครั้ง:

1) ให้ α = 60º การแทนค่าของ α ลงในสูตรไซน์ เราได้:
บาป (90º - 60º) = cos 60º
บาป 30º = cos 60º

2) ให้ α = 30º การแทนค่าของ α ลงในสูตรโคไซน์ เราได้:
cos (90° - 30º) = บาป 30º
cos 60° = บาป 30º

(สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับตรีโกณมิติ ดูส่วนพีชคณิต)