5 นิยามของฟังก์ชันอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร, จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?ในบทนี้ เราจะเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน แต่ก่อนที่จะศึกษาหน้านี้ เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาเกี่ยวกับระเบียบวิธีวิจัยเสียก่อน สูตรคณิตศาสตร์โรงเรียนสุดฮอต. สามารถเปิดหรือดาวน์โหลดคู่มืออ้างอิงได้จากหน้า สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง. จากที่นั่นเราต้องการ ตารางอนุพันธ์จะดีกว่าถ้าพิมพ์ คุณมักจะต้องอ้างอิงถึงมัน ไม่ใช่แค่ตอนนี้แต่ต้องออฟไลน์ด้วย

มี? มาเริ่มกันเลย. ฉันมีสองข่าวสำหรับคุณ: ดีและดีมาก ข่าวดีก็คือ: เพื่อที่จะเรียนรู้วิธีการค้นหาอนุพันธ์ ไม่จำเป็นต้องรู้และเข้าใจว่าอนุพันธ์คืออะไร นอกจากนี้ คำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางคณิตศาสตร์ กายภาพ และเรขาคณิตของอนุพันธ์นั้นเหมาะสมกว่าที่จะแยกแยะในภายหลัง เนื่องจากในความคิดของฉันในการศึกษาเชิงคุณภาพของทฤษฎีนั้น จำเป็นต้องมีการศึกษาหัวข้ออื่นๆ จำนวนหนึ่ง เช่นเดียวกับประสบการณ์จริงบางอย่าง
และตอนนี้งานของเราคือทำให้เชี่ยวชาญอนุพันธ์เหล่านี้ในทางเทคนิค ข่าวดีก็คือ การเรียนรู้ที่จะทำอนุพันธ์นั้นไม่ยาก มีอัลกอริธึมที่ค่อนข้างชัดเจนสำหรับการแก้ปัญหา (และอธิบาย) งานนี้ ปริพันธ์หรือลิมิต เช่น ยากกว่าที่จะเชี่ยวชาญ

ฉันแนะนำลำดับการศึกษาหัวข้อต่อไปนี้ตอบ: อันดับแรก บทความนี้ จากนั้นคุณต้องอ่านบทเรียนที่สำคัญที่สุด อนุพันธ์ของฟังก์ชันประสม. คลาสพื้นฐานสองคลาสนี้จะช่วยให้คุณพัฒนาทักษะตั้งแต่เริ่มต้น นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะทำความคุ้นเคยกับอนุพันธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นในบทความ อนุพันธ์ที่ซับซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม. ถ้าแท่งสูงไป อ่านข้อนี้ก่อน ปัญหาทั่วไปที่ง่ายที่สุดกับอนุพันธ์. นอกจากเนื้อหาใหม่แล้ว บทเรียนยังครอบคลุมอนุพันธ์ประเภทอื่นๆ ที่เรียบง่ายกว่า และมีโอกาสที่ดีที่จะปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของคุณ นอกจากนี้ ในงานควบคุม มักจะมีงานในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยายหรือแบบพาราเมตริก นอกจากนี้ยังมีบทช่วยสอนสำหรับสิ่งนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายและแบบพาราเมตริก.

ฉันจะลองในรูปแบบที่เข้าถึงได้ทีละขั้นตอนเพื่อสอนวิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ข้อมูลทั้งหมดถูกนำเสนออย่างละเอียดด้วยคำพูดง่ายๆ

อันที่จริง มาดูตัวอย่างกัน:

ตัวอย่างที่ 1

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้:

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุด โปรดดูในตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหาและวิเคราะห์ว่าเกิดอะไรขึ้น? และสิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น: เรามีฟังก์ชัน ซึ่งเป็นผลมาจากการแก้ปัญหา กลายเป็นฟังก์ชัน .

ค่อนข้างง่าย, ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณต้องเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันอื่นตามกฎเกณฑ์ที่กำหนด. ดูตารางอนุพันธ์อีกครั้ง - มีฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันอื่น ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งจะเปลี่ยนเป็นตัวมันเอง การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง .

สัญกรณ์: อนุพันธ์แสดงโดย หรือ

ความสนใจ สำคัญ!ลืมใส่จังหวะ (ถ้าจำเป็น) หรือวาดจังหวะพิเศษ (ที่ไม่จำเป็น) - ข้อผิดพลาดใหญ่!ฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันคือสองฟังก์ชันที่แตกต่างกัน!

กลับไปที่ตารางอนุพันธ์ของเรากัน จากตารางนี้เป็นที่พึงปรารถนา จำ: กฎการสร้างความแตกต่างและอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง โดยเฉพาะ:

อนุพันธ์ของค่าคงที่:
โดยที่จำนวนคงที่;

อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง:
, โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: , , .

ทำไมต้องจำ ความรู้นี้เป็นความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอนุพันธ์ และถ้าคุณตอบคำถามของอาจารย์ไม่ได้ว่า "อนุพันธ์ของตัวเลขคืออะไร" แสดงว่าการเรียนในมหาวิทยาลัยของคุณอาจจะจบลงเพื่อคุณ (โดยส่วนตัวแล้วฉันรู้ 2 กรณีในชีวิตจริง) นอกจากนี้ สูตรเหล่านี้เป็นสูตรทั่วไปที่เราต้องใช้เกือบทุกครั้งที่พบอนุพันธ์

ในความเป็นจริง ตัวอย่างตารางอย่างง่ายนั้นหายาก โดยปกติเมื่อค้นหาอนุพันธ์ กฎการสร้างความแตกต่างจะถูกใช้ก่อน แล้วจึงใช้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

เรื่องนี้เราหันไปพิจารณา กฎความแตกต่าง:

1) จำนวนคงที่สามารถ (และควร) นำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์

โดยที่จำนวนคงที่ (ค่าคงที่)

ตัวอย่าง 2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราดูตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์ของโคไซน์อยู่ที่นั่น แต่เรามี .

ได้เวลาใช้กฎแล้ว เราเอาตัวประกอบคงที่ที่อยู่นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ออกมา:

และตอนนี้เราเปลี่ยนโคไซน์ตามตาราง:

เป็นที่พึงปรารถนาที่จะ "หวี" ผลลัพธ์เล็กน้อย - ใส่เครื่องหมายลบในตอนแรกในขณะเดียวกันก็กำจัดวงเล็บ:

2) อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราตัดสินใจ อย่างที่คุณอาจสังเกตเห็นแล้ว การกระทำแรกที่ดำเนินการเสมอเมื่อค้นหาอนุพันธ์คือเราใส่นิพจน์ทั้งหมดไว้ในวงเล็บและใส่เครื่องหมายขีดที่ด้านบนขวา:

เราใช้กฎข้อที่สอง:

โปรดทราบว่าสำหรับการสร้างความแตกต่าง รากทั้งหมด องศาจะต้องแสดงเป็น และหากอยู่ในตัวส่วน ให้เลื่อนขึ้น วิธีการทำนี้จะกล่าวถึงในเอกสารระเบียบวิธีของฉัน

ตอนนี้เราจำกฎข้อแรกของการแยกความแตกต่างได้ - เรานำปัจจัยคงที่ (ตัวเลข) ออกนอกเครื่องหมายของอนุพันธ์:

โดยปกติ ระหว่างการแก้ปัญหา กฎสองข้อนี้จะถูกนำไปใช้พร้อมกัน (เพื่อไม่ให้เขียนนิพจน์แบบยาวใหม่อีกครั้ง)

ฟังก์ชันทั้งหมดภายใต้จังหวะเป็นฟังก์ชันตารางเบื้องต้น โดยใช้ตารางที่เราดำเนินการแปลง:

คุณสามารถปล่อยให้ทุกอย่างอยู่ในรูปแบบนี้เนื่องจากไม่มีจังหวะอีกต่อไปและพบอนุพันธ์แล้ว อย่างไรก็ตาม นิพจน์เช่นนี้มักจะทำให้ง่ายขึ้น:

ขอแนะนำให้แสดงระดับของสปีชีส์ทั้งหมดอีกครั้งในฐานะราก ควรรีเซ็ตองศาที่มีตัวบ่งชี้เชิงลบเป็นตัวส่วน แม้ว่าคุณจะไม่สามารถทำได้ แต่จะไม่ผิด

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน) ผู้สนใจสามารถใช้บริการ หลักสูตรเข้มข้นในรูปแบบ pdf ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างยิ่งหากคุณมีเวลาเหลือน้อยมาก

3) อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน

ดูเหมือนว่าโดยการเปรียบเทียบสูตรแนะนำตัวเอง .... แต่ที่น่าประหลาดใจคือ:

กฎที่ไม่ธรรมดานี้ (เช่นเดียวกับคนอื่น ๆ )ตามมาจาก คำจำกัดความของอนุพันธ์. แต่เราจะรอกับทฤษฎีในตอนนี้ - ตอนนี้การเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาสำคัญกว่า:

ตัวอย่างที่ 5

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่เรามีผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ
ขั้นแรกเราใช้กฎแปลก ๆ ของเรา จากนั้นเราแปลงฟังก์ชันตามตารางอนุพันธ์:

ยาก? ไม่แพงเลยแม้แต่กับกาน้ำชา

ตัวอย่างที่ 6

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้ประกอบด้วยผลรวมและผลคูณของสองฟังก์ชัน - ไตรนามกำลังสองและลอการิทึม เราจำได้จากโรงเรียนว่าการคูณและการหารมีความสำคัญเหนือกว่าการบวกและการลบ

มันเหมือนกันที่นี่ แรกเราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

สำหรับวงเล็บเราใช้กฎสองข้อแรก:

จากการใช้กฎการแยกความแตกต่างภายใต้สโตรก เราจึงเหลือเพียงฟังก์ชันพื้นฐานเท่านั้น ตามตารางอนุพันธ์ เราเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันอื่น:

พร้อม.

ด้วยประสบการณ์บางอย่างในการค้นหาอนุพันธ์ ดูเหมือนไม่จำเป็นต้องอธิบายอนุพันธ์อย่างง่ายในรายละเอียดดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วมักจะได้รับการแก้ไขด้วยวาจาและจะถูกบันทึกไว้ทันทีว่า .

ตัวอย่าง 7

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างการแก้ปัญหาตนเอง (เฉลยท้ายบทเรียน)

4) อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นส่วนตัว

ฟักได้เปิดบนเพดาน ไม่ต้องกลัว มันเป็นความผิดพลาด
และนี่คือความจริงอันโหดร้าย:

ตัวอย่างที่ 8

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สิ่งที่ไม่ได้อยู่ที่นี่ - ผลรวม, ผลต่าง, ผลิตภัณฑ์, เศษส่วน .... ฉันควรเริ่มด้วยอะไรดี! มีข้อสงสัย ไม่มีข้อสงสัย แต่ ถึงอย่างไรขั้นแรก ให้วาดวงเล็บแล้วลากเส้นที่มุมขวาบน:

ทีนี้มาดูนิพจน์ในวงเล็บ เราจะทำให้มันง่ายขึ้นได้อย่างไร ในกรณีนี้ เราสังเกตเห็นปัจจัยหนึ่ง ซึ่งตามกฎข้อแรก แนะนำให้เอามันออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์

อนุพันธ์

การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (ดิฟเฟอเรนเชียล) เป็นงานทั่วไปในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น สำหรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย (ระดับประถมศึกษา) นี่เป็นเรื่องที่ค่อนข้างง่าย เนื่องจากตารางอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันเบื้องต้นได้รับการรวบรวมมาเป็นเวลานานและเข้าถึงได้ง่าย อย่างไรก็ตาม การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย และมักต้องใช้ความพยายามและเวลาอย่างมาก

ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์

บริการออนไลน์ของเราช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณที่ยาวและไร้ความหมายและ ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์ในช่วงเวลาหนึ่ง ยิ่งกว่านั้นการใช้บริการของเราบนเว็บไซต์ www.site,คุณสามารถคำนวณ อนุพันธ์ออนไลน์ทั้งจากฟังก์ชันพื้นฐานและจากฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากซึ่งไม่มีวิธีวิเคราะห์ ข้อได้เปรียบหลักของเว็บไซต์ของเราเมื่อเทียบกับที่อื่นคือ: 1) ไม่มีข้อกำหนดที่เข้มงวดสำหรับวิธีการป้อนฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เพื่อคำนวณอนุพันธ์ (เช่น เมื่อป้อนฟังก์ชัน sine x คุณสามารถป้อนเป็น sin x หรือ sin ได้ (x) หรือบาป [x] เป็นต้น) ง.); 2) การคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์เกิดขึ้นทันทีในโหมด ออนไลน์และแน่นอน ฟรี; 3) เราอนุญาตให้ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คำสั่งใด ๆการเปลี่ยนลำดับของอนุพันธ์นั้นง่ายและเข้าใจได้ง่ายมาก 4) เราอนุญาตให้คุณค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เกือบทุกชนิดทางออนไลน์ แม้จะซับซ้อนมาก และไม่สามารถเข้าถึงบริการอื่นๆ ได้ คำตอบที่ให้นั้นแม่นยำเสมอและต้องไม่มีข้อผิดพลาด

การใช้เซิร์ฟเวอร์ของเราจะช่วยให้คุณ 1) คำนวณอนุพันธ์ออนไลน์สำหรับคุณ ช่วยให้คุณไม่ต้องคำนวณนานและน่าเบื่อ ซึ่งในระหว่างนั้นคุณอาจทำผิดพลาดหรือพิมพ์ผิด 2) หากคุณคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง เราจะให้โอกาสคุณเปรียบเทียบผลลัพธ์กับการคำนวณของบริการของเรา และตรวจสอบให้แน่ใจว่าโซลูชันนั้นถูกต้องหรือพบข้อผิดพลาดที่แอบแฝง 3) ใช้บริการของเราแทนการใช้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ ซึ่งมักต้องใช้เวลาในการค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการ

ทั้งหมดที่คุณต้องการเพื่อ ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์คือการใช้บริการของเราบน

ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (x ยกกำลัง a) พิจารณาอนุพันธ์ของรากจาก x สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสั่งสูง ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: ฟังก์ชันกำลังและราก สูตร และกราฟ
พล็อตฟังก์ชั่นพลังงาน

สูตรพื้นฐาน

อนุพันธ์ของ x ยกกำลัง a คูณ x ยกกำลัง a ลบ 1:
(1) .

อนุพันธ์ของรากที่ n ของ x กำลัง m คือ:
(2) .

ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

กรณี x > 0

พิจารณาฟังก์ชันกำลังของตัวแปร x พร้อมเลขชี้กำลัง a :
(3) .
a คือจำนวนจริงตามอำเภอใจ พิจารณากรณีนี้ก่อน

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์โดยใช้:
;
.
ที่นี่ .

สูตร (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของรากของดีกรี n ของ x ถึงดีกรี m

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันที่เป็นรูทของรูปแบบต่อไปนี้:
(4) .

ในการหาอนุพันธ์ เราแปลงรูทเป็นฟังก์ชันกำลัง:
.
เทียบกับสูตร (3) เราจะเห็นว่า
.
แล้ว
.

ตามสูตร (1) เราพบอนุพันธ์:
(1) ;
;
(2) .

ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องจำสูตร (2) จะสะดวกกว่ามากในการแปลงรากเป็นฟังก์ชันกำลังก่อน แล้วจึงค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (1) (ดูตัวอย่างที่ท้ายหน้า)

กรณี x = 0

ถ้า ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าของตัวแปร x = . ด้วย 0 . ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) สำหรับ x = 0 . ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.

แทนที่ x = 0 :
.
ในกรณีนี้ โดยอนุพันธ์ เราหมายถึงขีดจำกัดทางขวามือซึ่ง

ดังนั้นเราจึงพบว่า:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าที่ , .
ที่ , .
ที่ , .
ผลลัพธ์นี้ยังได้มาจากสูตร (1):
(1) .
ดังนั้น สูตร (1) จึงใช้ได้กับ x = 0 .

กรณี x< 0

พิจารณาฟังก์ชัน (3) อีกครั้ง:
(3) .
สำหรับค่าคงที่ a บางค่า ค่าคงที่ a จะถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย กล่าวคือ ให้ เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้:
,
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม

ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะถูกกำหนดให้กับค่าลบของตัวแปร x ด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 3 และ ม = 1 เรามีรากที่สามของ x :
.
มันยังถูกกำหนดสำหรับค่าลบของ x .

ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (3) สำหรับ และ สำหรับค่าตรรกยะของค่าคงที่ a ซึ่งกำหนดไว้ ในการดำเนินการนี้ เราแสดง x ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
แล้ว ,
.
เราพบอนุพันธ์โดยนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์แล้วนำกฎการดิฟเฟอเรนติเอชันของฟังก์ชันเชิงซ้อนมาใช้:

.
ที่นี่ . แต่
.
ตั้งแต่นั้นมา
.
แล้ว
.
นั่นคือสูตร (1) ใช้ได้กับ:
(1) .

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันกำลัง
(3) .
เราพบอนุพันธ์อันดับ 1 แล้ว:
.

การนำค่าคงที่ a ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์ของคำสั่งที่สามและสี่:
;

.

จากนี้ไปเป็นที่ชัดเจนว่า อนุพันธ์ของคำสั่งที่ n โดยพลการมีรูปแบบดังนี้
.

สังเกตว่า ถ้า a เป็นจำนวนธรรมชาติ, , แล้วอนุพันธ์อันดับที่ n เป็นค่าคงที่:
.
จากนั้นอนุพันธ์ที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:
,
ที่ .

ตัวอย่างอนุพันธ์

ตัวอย่าง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

มาแปลงรากเป็นพลังกันเถอะ:
;
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
.

เราพบอนุพันธ์ของดีกรี:
;
.
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์:
.

กระบวนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่า ความแตกต่างต้องพบอนุพันธ์ในปัญหาจำนวนหนึ่งในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น เมื่อค้นหาจุดสุดขั้วและจุดเปลี่ยนผันของกราฟฟังก์ชัน

จะหาได้อย่างไร?

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานและนำกฎพื้นฐานของดิฟเฟอเรนติเอชันมาใช้:

1. นำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. อนุพันธ์ของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชัน: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. อนุพันธ์ของเศษส่วน : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสม : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

ตัวอย่างโซลูชัน

ตัวอย่างที่ 1

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

วิธีการแก้

อนุพันธ์ของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม/ผลต่างของอนุพันธ์: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ การใช้กฎอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง $ (x^p)" = px^(p-1) $ เรามี: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ นอกจากนี้ยังพิจารณาว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ ถ้าคุณแก้ปัญหาไม่ได้ก็ ส่งเธอกับเรา เราจะจัดเตรียมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะทำความคุ้นเคยกับความคืบหน้าของการคำนวณและรวบรวมข้อมูลได้ นี้จะช่วยให้คุณได้รับเครดิตจากครูในเวลาที่เหมาะสม!

ตอบ

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$