การยกกำลัง กฎ ตัวอย่าง ระดับของจำนวนงานสำหรับการแก้ปัญหาอิสระคืออะไร

ถ้าเราไม่ใส่ใจแปดดีกรี เราเห็นอะไรที่นี่? มาดูโปรแกรม ป.7 กันครับ แล้วจำได้ไหม? นี่คือสูตรคูณแบบย่อ คือ ผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:

เราพิจารณาตัวส่วนอย่างระมัดระวัง ดูเหมือนปัจจัยตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น ลำดับเงื่อนไขไม่ถูกต้อง ถ้าสลับกันก็ใช้กฎได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก ดีกรีคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

เงื่อนไขมีการเปลี่ยนแปลงสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ "ปรากฏการณ์" นี้ใช้กับนิพจน์ใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างอิสระ

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนในเวลาเดียวกัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ทั้งหมดเราตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติ ตรงกันข้าม (นั่นคือ ใช้กับเครื่องหมาย "") และตัวเลข

จำนวนเต็มบวกและไม่แตกต่างจากธรรมชาติแล้วทุกอย่างดูเหมือนในหัวข้อก่อนหน้า

ทีนี้มาดูเคสใหม่กัน เริ่มต้นด้วยตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใด ๆ ยกกำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคย เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น

พิจารณาพลังบางอย่างที่มีฐาน ใช้ตัวอย่างเช่นและคูณด้วย:

เราคูณจำนวนนั้นด้วย, ได้เหมือนเดิม -. ต้องคูณด้วยจำนวนใดจึงจะไม่เปลี่ยนแปลง ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

มาทำซ้ำกฎกัน:

เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ที่นั่นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในแง่หนึ่ง มันต้องเท่ากับระดับใดๆ ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองเท่าไหร่ คุณก็จะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ ในระดับศูนย์ มันจะต้องเท่ากัน แล้วความจริงของเรื่องนี้คืออะไร? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจที่จะไม่มีส่วนร่วมและปฏิเสธที่จะยกกำลังศูนย์ให้เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่เพียงแต่สามารถหารด้วยศูนย์ แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

ไปกันเลยดีกว่า นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่าดีกรีลบคืออะไร ลองทำเหมือนครั้งที่แล้ว: เราคูณจำนวนปกติด้วยดีกรีลบเหมือนกัน:

จากที่นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงความต้องการ:

ตอนนี้เราขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับตามอำเภอใจ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนยกกำลังลบคือการผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานไม่สามารถเป็นโมฆะได้:(เพราะไม่สามารถแบ่งได้)

มาสรุปกัน:

I. นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง: .

สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบคือการผกผันของจำนวนเดียวกันกับกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

รู้ รู้ ตัวเลขมันน่ากลัว แต่ตอนสอบ อะไรก็ต้องพร้อม! แก้ตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ และคุณจะได้เรียนรู้วิธีการจัดการกับมันอย่างง่ายดายในข้อสอบ!

ลองขยายวงกลมของตัวเลข "เหมาะสม" เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ตอนนี้พิจารณา สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดที่เรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม ยิ่งกว่านั้น

ให้เข้าใจว่าคืออะไร "เศษส่วนองศา"ลองพิจารณาเศษส่วน:

ลองยกทั้งสองข้างของสมการยกกำลังกัน:

ตอนนี้จำกฎ "ระดับปริญญา":

ต้องยกกำลังอะไรถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของดีกรีที่ th

ให้ฉันเตือนคุณ: รากของกำลัง th ของจำนวน () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากัน

นั่นคือ รากของดีกรี th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า. เห็นได้ชัดว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายได้: .

ตอนนี้เพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นง่ายมากเมื่อใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

จำกฎนี้: ตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังคู่เป็นจำนวนบวก นั่นคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของดีกรีคู่ออกจากจำนวนลบ!

และนี่หมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนด้วยตัวส่วนคู่ได้ นั่นคือนิพจน์ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงเป็นเศษส่วนอื่นๆ เช่น เศษส่วน หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง และนี่เป็นเพียงสองระเบียนที่แตกต่างกันในจำนวนเดียวกัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: หนึ่งครั้ง จากนั้นคุณสามารถจดบันทึกได้ แต่ทันทีที่เราเขียนตัวบ่งชี้ด้วยวิธีที่ต่างออกไป เราก็ประสบปัญหาอีกครั้ง (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว พิจารณา เฉพาะเลขฐานบวกที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นถ้า:

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

ยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ที่มีราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างการฝึก

การวิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

1. อย่าลืมคุณสมบัติปกติขององศา:

2. . . ที่นี่เราจำได้ว่าเราลืมที่จะเรียนรู้ตารางองศา:

หลังจากทั้งหมด - นี่หรือ พบวิธีแก้ปัญหาโดยอัตโนมัติ:

ตอนนี้ - ยากที่สุด ตอนนี้เราจะวิเคราะห์ องศากับเลขชี้กำลังอตรรกยะ.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับองศาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (กล่าวคือ จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ จำนวนเต็ม และมีเหตุผล ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายด้วยคำศัพท์ที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ศูนย์พลังงาน- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้งนั่นคือมันยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "การเตรียมของ" ตัวเลข” คือตัวเลข;

...เลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" บางอย่างเกิดขึ้นนั่นคือตัวเลขไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อีกอย่าง วิทยาศาสตร์มักใช้ดีกรีกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน นั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าว คุณจะมีโอกาสทำความเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้วิธีแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์โซลูชัน:

1. มาเริ่มกันที่กฎเกณฑ์ปกติแล้วสำหรับการเพิ่มระดับปริญญา:

ทีนี้มาดูสกอร์ เขาทำให้คุณนึกถึงอะไรไหม? เราจำสูตรการคูณโดยย่อของผลต่างของกำลังสอง:

ในกรณีนี้,

ปรากฎว่า:

ตอบ: .

2. เรานำเศษส่วนที่เป็นเลขชี้กำลังมาในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองธรรมดา เราได้รับตัวอย่างเช่น:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับสูง

ความหมายของปริญญา

ดีกรีเป็นนิพจน์ของแบบฟอร์ม: โดยที่:

• — ฐานของปริญญา;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองด้วย:

กำลังไฟฟ้าพร้อมเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

ถ้าเลขชี้กำลังคือ จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การแข็งตัวของอวัยวะเพศ สู่ศูนย์อำนาจ:

นิพจน์ไม่มีกำหนดแน่นอน เพราะในแง่หนึ่ง นี่คือระดับใด ๆ และในทางกลับกัน ตัวเลขใด ๆ ถึงดีกรี th ก็คือนี่

ถ้าเลขชี้กำลังคือ จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะไม่สามารถแบ่งได้)

อีกครั้งเกี่ยวกับค่าว่าง: นิพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ในกรณี ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติองศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันว่า คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กัน

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

ตามคำจำกัดความ:

ดังนั้น ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ จะได้ผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

แต่ตามนิยาม นี่คือกำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

คิวอีดี

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้ : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

วิธีการแก้ : สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องอยู่บนพื้นฐานเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมองศากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เฉพาะผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ!

ฉันไม่ควรเขียนสิ่งนั้นไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เรามาพิจารณานิยามของดีกรีกัน:

ลองจัดเรียงใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์คูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ตามคำจำกัดความ นี่คือกำลัง -th ของตัวเลข:

อันที่จริงสิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่า "การยึดตัวบ่งชี้" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด :!

เรามาจำสูตรคูณย่อกัน: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นั่นไม่เป็นความจริงเลย

พลังที่มีฐานลบ

ถึงตอนนี้เราได้คุยกันแต่สิ่งที่ควรเป็น ดัชนีระดับ. แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? เป็นองศาจาก เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจจะเป็น เลขอะไรก็ได้ .

ที่จริงแล้ว เราสามารถคูณจำนวนใดๆ ต่อกันได้ ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ หรือแม้แต่คู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมาย (" " หรือ "") ใดจะมีองศาของจำนวนบวกและลบ

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขจะเป็นบวกหรือลบ? แต่? ?

ประการแรก ทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกกันกี่จำนวน ผลลัพธ์จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย ท้ายที่สุด เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: "ลบคูณลบให้บวก" นั่นคือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และอื่นๆ ใน ad infinitum: ทุกครั้งที่มีการคูณ เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป คุณสามารถกำหนดกฎง่ายๆ เหล่านี้ได้:

1. สม่ำเสมอองศา, - หมายเลข เชิงบวก.
2. ตัวเลขติดลบเพิ่มขึ้นเป็น แปลกองศา, - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ เป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใด ๆ เท่ากับศูนย์

กำหนดด้วยตัวคุณเองว่านิพจน์ต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการหรือไม่ นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลัง แล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างไม่ได้น่ากลัวอย่างที่คิด: ไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เหมือนกันใช่หรือไม่? ไม่แน่นอนตั้งแต่ (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าคุณจำได้ จะเห็นได้ชัดว่าซึ่งหมายความว่าฐานน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นค่าลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของดีกรี:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วแบ่งมันออกเป็นคู่ ๆ และรับ:

ก่อนวิเคราะห์กฎข้อสุดท้าย เรามาลองแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณค่าของนิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราไม่ใส่ใจแปดดีกรี เราเห็นอะไรที่นี่? มาดูโปรแกรม ป.7 กันครับ แล้วจำได้ไหม? นี่คือสูตรคูณแบบย่อ คือ ผลต่างของกำลังสอง!

เราได้รับ:

เราพิจารณาตัวส่วนอย่างระมัดระวัง ดูเหมือนปัจจัยตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น ลำดับเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกันก็สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่จะทำเช่นนี้ได้อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก ดีกรีคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

ถ้าคุณคูณมันด้วย ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม แต่ตอนนี้ดูเหมือนว่านี้:

เงื่อนไขมีการเปลี่ยนแปลงสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ "ปรากฏการณ์" นี้ใช้กับนิพจน์ใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างอิสระ แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนในเวลาเดียวกัน!ไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนเพียงหนึ่งที่น่ารังเกียจลบให้เรา!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งสูตร:

ดังนั้นกฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอนตามปกติ: มาขยายแนวคิดของระดับและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกัน จะมีกี่ตัวอักษร? คูณด้วยตัวคูณ - หน้าตาเป็นอย่างไร? นี่ไม่ใช่อะไรนอกจากคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ทั้งหมดกลายเป็นตัวคูณ นั่นคือตามคำจำกัดความกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับค่าเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่นี่เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้น - ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ จำนวนเต็ม และมีเหตุผล ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายด้วยคำศัพท์ที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังธรรมชาติคือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง ตัวเลขถึงศูนย์เท่ากับจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งเดียว นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นเองยังไม่ปรากฏ - ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "การเตรียมตัวเลข" บางอย่างคือตัวเลข ระดับที่มีจำนวนเต็มลบ - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" นั่นคือตัวเลขไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นการยากมากที่จะจินตนาการถึงปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่จินตนาการถึงพื้นที่ 4 มิติได้ยาก) ค่อนข้างจะเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดของระดับไปยังพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

อีกอย่าง วิทยาศาสตร์มักใช้ดีกรีกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน นั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียน เราไม่คิดถึงปัญหาดังกล่าว คุณจะมีโอกาสทำความเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเห็นเลขชี้กำลังอตรรกยะ? เรากำลังพยายามอย่างเต็มที่เพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

1. จำความแตกต่างของสูตรกำลังสอง ตอบ: .
2. เรานำเศษส่วนมาอยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทศนิยมทั้งสองหรือทศนิยมทั้งสอง เราได้รับตัวอย่างเช่น: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ส่วนสรุปและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่านิพจน์ของแบบฟอร์ม: โดยที่:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

องศา เลขชี้กำลังซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่นจำนวนเต็มและบวก)

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ตัวบ่งชี้ที่เป็นตัวเลขติดลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติองศา

คุณสมบัติขององศา

• ตัวเลขติดลบเพิ่มขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา, - หมายเลข เชิงบวก.
• ตัวเลขติดลบเพิ่มขึ้นเป็น แปลกองศา, - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกยกกำลังใด ๆ เป็นจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับพลังใด ๆ
• เลขยกกำลังศูนย์ใดๆ มีค่าเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำ...

คุณชอบบทความอย่างไร? แจ้งให้เราทราบในความคิดเห็นด้านล่างหากคุณชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติด้านพลังงาน

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีกับการสอบของคุณ!

สูตรพลังใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อน ในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น น-กำลังของตัวเลข เอเมื่อไร:

การดำเนินงานที่มีองศา

1. การคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้รวมกัน:

เป็นn = a m + n .

2. ในการแบ่งองศาที่มีฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกลบ:

3. ดีกรีของผลคูณของปัจจัยตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป เท่ากับผลคูณของดีกรีของปัจจัยเหล่านี้:

(abc…) n = a n b n c n …

4. ดีกรีของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของดีกรีของเงินปันผลและตัวหาร:

(a/b) n = a n / b n .

5. การเพิ่มกำลังเป็นยกกำลังเลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

(น) น = น น .

แต่ละสูตรข้างต้นจะถูกต้องในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

การดำเนินการกับราก

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายตัวเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อทำการรูทเป็นพาวเวอร์ มันก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มจำนวนรูทเป็นพาวเวอร์นี้:

4. หากเราเพิ่มระดับของรากใน นครั้งเดียวและในขณะเดียวกันก็ยกให้เป็น น th เป็นจำนวนรูท ดังนั้นค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5. ถ้าเราลดระดับของรากใน นรูตในเวลาเดียวกัน นองศาจากจำนวนราก ค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังติดลบระดับของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งหารด้วยระดับของตัวเลขเดียวกันโดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นบวก:

สูตร เป็น:a n = a m - nสามารถใช้ได้ไม่เฉพาะสำหรับ ม> นแต่ยังอยู่ที่ ม< น.

ตัวอย่างเช่น. เอ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

เพื่อสูตร เป็น:a n = a m - nกลายเป็นความเป็นธรรมที่ ม=นคุณต้องมีระดับศูนย์

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ยกกำลังของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ เท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อเพิ่มจำนวนจริง เอในระดับหนึ่ง m/n, คุณต้องแยกรูท นองศาของ มพลังของเลขนี้ เอ.

เราหาระดับของตัวเลขโดยทั่วไปแล้ว ตอนนี้เราต้องเข้าใจวิธีการคำนวณอย่างถูกต้องนั่นคือ ยกตัวเลขขึ้นสู่อำนาจ ในเอกสารนี้ เราจะวิเคราะห์กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณดีกรีในกรณีของเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ธรรมชาติ เศษส่วน ตรรกยะ และอตรรกยะ คำจำกัดความทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่าง

แนวคิดของการยกกำลัง

เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความ 1

การยกกำลังคือการคำนวณหาค่ากำลังของจำนวนหนึ่ง

นั่นคือ คำว่า "การคำนวณค่าดีกรี" และ "การยกกำลัง" หมายถึงสิ่งเดียวกัน ดังนั้น ถ้าภารกิจคือ "เพิ่มจำนวน 0, 5 ยกกำลังที่ห้า" ควรเข้าใจสิ่งนี้ว่าเป็น "การคำนวณค่าของกำลัง (0 , 5) 5

ตอนนี้เราให้กฎพื้นฐานที่ต้องปฏิบัติตามในการคำนวณดังกล่าว

จำได้ว่ากำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติคืออะไร สำหรับเลขยกกำลังที่มีฐาน a และเลขชี้กำลัง n นี่จะเป็นผลคูณของปัจจัยที่ n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ a สามารถเขียนได้ดังนี้:

ในการคำนวณค่าของดีกรี คุณต้องดำเนินการคูณ กล่าวคือ คูณฐานของดีกรีตามจำนวนครั้งที่ระบุ แนวคิดของระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาตินั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการทวีคูณอย่างรวดเร็ว ให้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข: เพิ่ม - 2 ยกกำลัง 4

วิธีการแก้

โดยใช้คำจำกัดความข้างต้น เราเขียน: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . ต่อไปเราเพียงแค่ต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้และรับ 16 .

ลองมาดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้กัน

ตัวอย่าง 2

คำนวณค่า 3 2 7 2

วิธีการแก้

รายการนี้สามารถเขียนใหม่เป็น 3 2 7 · 3 2 7 ก่อนหน้านี้เราได้ศึกษาวิธีการคูณจำนวนคละที่กล่าวถึงในเงื่อนไขอย่างถูกต้อง

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้และรับคำตอบ: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

หากงานระบุว่าจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนอตรรกยะให้เป็นกำลังธรรมชาติ เราจะต้องปัดเศษฐานเป็นตัวเลขก่อนเพื่อให้เราได้คำตอบของความแม่นยำที่ต้องการ ลองมาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 3

ทำการยกกำลังสองของจำนวน π .

วิธีการแก้

ให้ปัดขึ้นเป็นร้อยก่อน จากนั้น π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596 ถ้า π ≈ 3 . 14159 แล้วเราจะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281

สังเกตว่าในทางปฏิบัติความจำเป็นในการคำนวณกำลังของจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้นค่อนข้างน้อย จากนั้นเราสามารถเขียนคำตอบเป็นกำลัง (ln 6) 3 หรือแปลงถ้าเป็นไปได้: 5 7 = 125 5

แยกกัน ควรระบุว่ากำลังแรกของตัวเลขคืออะไร ที่นี่คุณสามารถระลึกได้ว่าตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังแรกจะยังคงอยู่:

สิ่งนี้ชัดเจนจากบันทึก .

ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวุฒิการศึกษา

ตัวอย่างที่ 4

ดังนั้น (− 9) 1 = − 9 และ 7 3 ยกกำลังแรกยังคงเท่ากับ 7 3

เพื่อความสะดวก เราจะวิเคราะห์สามกรณีแยกกัน: ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเป็นศูนย์ และถ้าเป็นจำนวนเต็มลบ

ในกรณีแรก มันเหมือนกับการเพิ่มกำลังธรรมชาติ เพราะจำนวนเต็มบวกอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ เราได้อธิบายวิธีการทำงานกับองศาดังกล่าวข้างต้นแล้ว

ตอนนี้เรามาดูวิธีการเพิ่มกำลังศูนย์อย่างถูกต้อง ด้วยฐานที่ไม่ใช่ศูนย์ การคำนวณนี้จะสร้างเอาต์พุตเป็น 1 เสมอ เราได้อธิบายไปแล้วก่อนหน้านี้ว่ากำลัง 0 ของ a สามารถกำหนดสำหรับจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0 และ a 0 = 1 ได้

ตัวอย่างที่ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ไม่ได้กำหนดไว้

เราจะเหลือเพียงกรณีของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ เราได้คุยกันไปแล้วว่าองศาดังกล่าวสามารถเขียนเป็นเศษส่วน 1 a z โดยที่ a เป็นจำนวนใดๆ และ z เป็นจำนวนเต็มลบ เราเห็นว่าตัวส่วนของเศษส่วนนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่าดีกรีปกติที่มีจำนวนเต็มบวก และเราได้เรียนรู้วิธีคำนวณแล้ว มายกตัวอย่างงานกัน

ตัวอย่างที่ 6

ยก 2 ยกกำลัง -3

วิธีการแก้

โดยใช้คำจำกัดความข้างต้น เราเขียน: 2 - 3 = 1 2 3

เราคำนวณตัวส่วนของเศษส่วนนี้และรับ 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8

แล้วคำตอบก็คือ: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

ตัวอย่าง 7

ยก 1, 43 ยกกำลัง -2

วิธีการแก้

จัดรูปแบบใหม่: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

เราคำนวณกำลังสองในตัวส่วน: 1.43 1.43 ทศนิยมสามารถคูณด้วยวิธีนี้:

เป็นผลให้เราได้รับ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . เรายังคงเขียนผลลัพธ์นี้ในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดาซึ่งจำเป็นต้องคูณด้วย 10,000 (ดูเนื้อหาเกี่ยวกับการแปลงเศษส่วน)

คำตอบ: (1, 43) - 2 = 10000 20449

กรณีแยกกันกำลังเพิ่มตัวเลขเป็นลบยกกำลังแรก ค่าของระดับดังกล่าวเท่ากับตัวเลขตรงข้ามกับค่าเดิมของฐาน: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอย่าง: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

วิธีเพิ่มจำนวนเป็นยกกำลังเศษส่วน

ในการดำเนินการดังกล่าว เราจำเป็นต้องจำคำจำกัดความพื้นฐานของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน: a m n \u003d a m n สำหรับค่าบวก a จำนวนเต็ม m และ n ธรรมชาติ

คำจำกัดความ 2

ดังนั้น การคำนวณดีกรีเศษส่วนต้องดำเนินการในสองขั้นตอน: การเพิ่มกำลังเป็นจำนวนเต็มและการหารากของดีกรีที่ n

เรามีความเท่าเทียมกัน a m n = a m n ซึ่งเมื่อพิจารณาถึงคุณสมบัติของรากแล้ว มักจะใช้ในการแก้ปัญหาในรูปแบบ a m n = a n m ซึ่งหมายความว่าหากเราเพิ่มจำนวน a เป็นยกกำลังเศษส่วน m / n ก่อนอื่นเราจะแยกรากของดีกรีที่ n ออกจาก a จากนั้นเราจะเพิ่มผลลัพธ์เป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม m

ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณ 8 - 2 3 .

วิธีการแก้

วิธีที่ 1 ตามคำจำกัดความพื้นฐาน เราสามารถแสดงสิ่งนี้เป็น: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

ทีนี้ลองคำนวณดีกรีใต้รูทแล้วแยกรูทที่สามออกจากผลลัพธ์: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

วิธีที่ 2 ลองแปลงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

หลังจากนั้นเราแยกราก 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 และยกกำลังสองผลลัพธ์: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

เราเห็นว่าการแก้ปัญหาเหมือนกัน คุณสามารถใช้วิธีใดก็ได้ที่คุณชอบ

มีหลายกรณีที่ระดับมีตัวบ่งชี้ที่แสดงเป็นจำนวนคละหรือเศษทศนิยม เพื่อความสะดวกในการคำนวณ ควรแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดาแล้วนับตามที่ระบุไว้ข้างต้น

ตัวอย่าง 10

เพิ่ม 44.89 ยกกำลัง 2.5

วิธีการแก้

ลองแปลงค่าของตัวบ่งชี้เป็นเศษส่วนธรรมดา: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2

และตอนนี้เราทำการกระทำทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นตามลำดับ: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

คำตอบ: 13501, 25107.

หากมีตัวเลขจำนวนมากในตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน การคำนวณเลขชี้กำลังดังกล่าวด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะเป็นงานที่ค่อนข้างยาก โดยปกติแล้วจะต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

แยกจากกัน เราอาศัยดีกรีที่มีฐานศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน นิพจน์ของรูปแบบ 0 m n สามารถให้ความหมายดังต่อไปนี้: ถ้า m n > 0 แล้ว 0 m n = 0 m n = 0 ; ถ้า m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

วิธีเพิ่มจำนวนเป็นกำลังอตรรกยะ

ความจำเป็นในการคำนวณค่าของระดับในตัวบ่งชี้ที่มีจำนวนอตรรกยะนั้นไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ในทางปฏิบัติ งานมักจะจำกัดอยู่ที่การคำนวณค่าโดยประมาณ โดยปกติแล้วจะคำนวณบนคอมพิวเตอร์เนื่องจากความซับซ้อนของการคำนวณดังกล่าว ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงรายละเอียดนี้ เราจะระบุเฉพาะข้อกำหนดหลักเท่านั้น

หากเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของดีกรี a ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว a เราจะใช้ค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังแล้วนับจากนั้น ผลลัพธ์จะเป็นคำตอบโดยประมาณ ยิ่งการประมาณทศนิยมแม่นยำมากเท่าใด คำตอบก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น มาแสดงด้วยตัวอย่าง:

ตัวอย่าง 11

คำนวณค่าประมาณ 2 ยกกำลัง 1.174367....

วิธีการแก้

เราจำกัดตัวเองไว้ที่การประมาณทศนิยม a n = 1 , 17 ลองทำการคำนวณโดยใช้ตัวเลขนี้: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . ตัวอย่างเช่น หากเราใช้ค่าประมาณ a n = 1 , 1743 คำตอบก็จะแม่นยำขึ้นเล็กน้อย: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราเข้าใจ คุณสมบัติระดับด้วยตัวชี้วัดธรรมชาติและศูนย์ องศาที่มีตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลและคุณสมบัติของพวกเขาจะกล่าวถึงในบทเรียนสำหรับเกรด 8

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้คุณลดความซับซ้อนในการคำนวณในตัวอย่างเลขชี้กำลัง

อสังหาริมทรัพย์ #1
ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ

จดจำ!

เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลงและเลขชี้กำลังจะถูกเพิ่ม

a m a n \u003d a m + n โดยที่ " a"- ตัวเลขใดๆ และ" m", " n"- จำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังส่งผลต่อผลิตภัณฑ์ของพลังสามอย่างหรือมากกว่า

• ลดความซับซ้อนของนิพจน์
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• นำเสนอเป็นปริญญา
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• นำเสนอเป็นปริญญา
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

สำคัญ!

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุ เป็นเพียงเกี่ยวกับการคูณยกกำลังด้วย เหตุผลเดียวกัน . ใช้ไม่ได้กับการบวกของพวกเขา

คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 สิ่งนี้เข้าใจได้ถ้า
คำนวณ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243

อสังหาริมทรัพย์ #2
องศาเอกชน

จดจำ!

เมื่อหารกำลังด้วยเลขฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

ตัวอย่าง. แก้สมการ. เราใช้คุณสมบัติขององศาบางส่วน
3 8: เสื้อ = 3 4

T = 3 8 − 4

คำตอบ: t = 3 4 = 81

การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 ช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของนิพจน์และคำนวณได้อย่างง่ายดาย

• ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
  4 5 ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4 ม. + 3 = 4 5 ม. + 6 + ม. + 2: 4 4 ม. + 3 = 4 6 ม. + 8 − 4 ม. − 3 = 4 2 ม. + 5
• ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติระดับ
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  สำคัญ!

  โปรดทราบว่าทรัพย์สิน 2 เกี่ยวข้องกับการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกันเท่านั้น

  คุณไม่สามารถแทนที่ความแตกต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 สิ่งนี้เข้าใจได้ถ้าเราพิจารณา (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , และ 4 1 = 4

  ระวัง!

  ทรัพย์สิน #3
  การยกกำลัง

  จดจำ!

  เมื่อเพิ่มกำลังเป็นกำลัง ฐานของกำลังจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ

  (a n) m \u003d a n m โดยที่ "a" เป็นตัวเลขใดๆ และ "m", "n" เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ

  
  

  คุณสมบัติ 4
  ระดับผลิตภัณฑ์

  จดจำ!

  เมื่อยกผลิตภัณฑ์ขึ้นเป็นกำลัง ปัจจัยแต่ละอย่างจะเพิ่มเป็นกำลัง ผลลัพธ์จะถูกคูณ

  (a b) n \u003d a n b n โดยที่ "a", "b" เป็นจำนวนตรรกยะใดๆ "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

  • ตัวอย่างที่ 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • ตัวอย่าง 2
    (−x 2 y) 6 = ((-1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  สำคัญ!

  โปรดทราบว่าคุณสมบัติหมายเลข 4 เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นๆ ขององศา จะถูกนำไปใช้ในลำดับที่กลับกัน

  (a n b n)= (a b) n

  นั่นคือ ในการคูณยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณสามารถคูณฐานและปล่อยให้เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง

  • ตัวอย่าง. คำนวณ.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
  • ตัวอย่าง. คำนวณ.
    0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

  ในตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ อาจมีบางกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารด้วยกำลังที่มีฐานต่างกันและเลขชี้กำลังต่างกัน ในกรณีนี้ เราขอแนะนำให้คุณดำเนินการดังต่อไปนี้

  ตัวอย่างเช่น, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  ตัวอย่างการยกกำลังของเศษส่วนทศนิยม

  4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = สี่

  คุณสมบัติ 5
  กำลังของผลหาร (เศษส่วน)

  จดจำ!

  ในการยกผลหารเป็นยกกำลัง คุณสามารถเพิ่มเงินปันผลและตัวหารแยกจากยกกำลังนี้ แล้วหารผลลัพธ์แรกด้วยตัวที่สอง

  (a: b) n \u003d a n: b n โดยที่ "a", "b" คือจำนวนตรรกยะใดๆ b ≠ 0, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

  • ตัวอย่าง. แสดงนิพจน์เป็นกำลังบางส่วน
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  เราเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงเรื่องการเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังในรายละเอียดในหน้าถัดไป

เป้าหมายหลัก

เพื่อให้นักเรียนคุ้นเคยกับคุณสมบัติขององศาด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและสอนให้ดำเนินการกับองศา

หัวข้อ "ปริญญาและคุณสมบัติของมัน"รวมสามคำถาม:

• การกำหนดระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ
• การคูณและการแบ่งอำนาจ
• การยกกำลังของผลิตภัณฑ์และระดับ

คำถามทดสอบ

1. กำหนดนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติมากกว่า 1 ยกตัวอย่าง
2. กำหนดคำจำกัดความของระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ 1 ให้ตัวอย่าง
3. ลำดับของการดำเนินการเมื่อประเมินค่าของนิพจน์ที่มีอำนาจคืออะไร?
4. กำหนดคุณสมบัติหลักของปริญญา ยกตัวอย่าง.
5. กำหนดกฎสำหรับการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ยกตัวอย่าง.
6. กำหนดกฎการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกัน ยกตัวอย่าง.
7. กำหนดกฎสำหรับการยกกำลังของผลิตภัณฑ์ ยกตัวอย่าง. พิสูจน์ตัวตน (ab) n = a n b n .
8. กำหนดกฎเกณฑ์ในการยกระดับอำนาจ ยกตัวอย่าง. พิสูจน์ตัวตน (a m) n = a m n .

ความหมายของปริญญา

องศาของจำนวน เอด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ นมากกว่า 1 เรียกว่าผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ เอ. องศาของจำนวน เอด้วยเลขชี้กำลัง 1 ตัวเลขนั้นเรียกว่า เอ.

ปริญญาพร้อมฐาน เอและอินดิเคเตอร์ นถูกเขียนเช่นนี้: หนึ่ง. มันอ่านว่า " เอถึงขนาด น”; “ พลังที่ n ของตัวเลข เอ ”.

ตามคำจำกัดความของระดับ:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

การหาค่าของดีกรีเรียกว่า การยกกำลัง .

1. ตัวอย่างของการยกกำลัง:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. ค้นหาค่านิพจน์:

ก) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

ตัวเลือกที่ 1

ก) 0.3 0.3 0.3

ค) ข ข ข ข ข ข ข

ง) (-x) (-x) (-x) (-x)

จ) (ab) (ab) (ab)

2. ยกกำลังสองตัวเลข:

3. ลูกบาศก์ตัวเลข:

4. ค้นหาค่านิพจน์:

ค) -1 4 + (-2) 3

ง) -4 3 + (-3) 2

จ) 100 - 5 2 4

การคูณของอำนาจ

สำหรับตัวเลข a และตัวเลขใดๆ m และ n ใดๆ ก็ตาม จะเป็นดังนี้:

a m a n = a m + n .

การพิสูจน์:

กฎ : เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะเท่าเดิม และเลขชี้กำลังจะถูกเพิ่ม

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

ก) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

ง) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

จ) 0.01 0.1 3 = 0.1 2 0.1 3 = 0.1 5

ก) 2 3 2 = 2 4 = 16

ข) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

ตัวเลือกที่ 1

1. ปัจจุบันเป็นปริญญา:

ก) x 3 x 4 จ) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

ค) y 4 y h) 7 4 49

d) a 8 i) 16 2 7

จ) 2 3 2 4 เจ) 0.3 3 0.09

2. แสดงเป็นดีกรีแล้วหาค่าในตาราง:

ก) 2 2 2 3 ค) 8 2 5

ข) 3 4 3 2 ง) 27 243

กององศา.

สำหรับตัวเลข a0 ใดๆ และจำนวนธรรมชาติโดยอำเภอใจ m และ n ที่ m>n มีดังต่อไปนี้:

a m: a n = a m - n

การพิสูจน์:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

ตามคำจำกัดความของเอกชน:

a m: a n \u003d a m - n.

กฎ: เมื่อหารกำลังด้วยเลขฐานเดียวกัน ฐานจะเหลือเท่าเดิม และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

คำนิยาม: ดีกรีของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์เท่ากับหนึ่ง:

เพราะ n: n = 1 สำหรับ a0

ก) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5: 1 = s 5

ก) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1,000

ใน)

ช)

จ)

ตัวเลือกที่ 1

1. แสดงผลหารเป็นกำลัง:

2. ค้นหาค่าของนิพจน์:

การเพิ่มพลังให้กับผลิตภัณฑ์

สำหรับ a และ b และจำนวนธรรมชาติโดยพลการ n:

(ab) n = a n b n

การพิสูจน์:

ตามนิยามของดีกรี

(ab) n =

การจัดกลุ่มปัจจัย a และปัจจัย b แยกกัน เราได้รับ:

=

คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วของระดับของผลิตภัณฑ์ขยายไปถึงระดับของผลิตภัณฑ์ที่มีสามปัจจัยขึ้นไป

ตัวอย่างเช่น:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d น .

กฎ: เมื่อยกผลิตภัณฑ์ขึ้นเป็นกำลัง แต่ละปัจจัยจะถูกยกขึ้นเป็นกำลังนี้และผลลัพธ์จะถูกคูณ

1. เพิ่มพลัง:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

ค) (3 ก) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

ง) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

จ) (-0.2 x y) 2 \u003d (-0.2) 2 x 2 y 2 \u003d 0.04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ก) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

ค) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

ง) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1

จ)

ตัวเลือกที่ 1

1. เพิ่มพลัง:

ข) (2 ค) 4

จ) (-0.1 x y) 3

2. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ข) (5 7 20) 2

การยกกำลัง

สำหรับจำนวนใดๆ a และจำนวนธรรมชาติโดยพลการ m และ n:

(a m) n = a m n

การพิสูจน์:

ตามนิยามของดีกรี

(ม.) n =

กฎ: เมื่อเพิ่มกำลังเป็นกำลัง ฐานจะเท่าเดิม และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ.

1. เพิ่มพลัง:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

ง) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

ก)

ข)

ตัวเลือกที่ 1

1. เพิ่มพลัง:

ก) (ก 4) 2 ข) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) 4 (ก 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

ค) (x 2) 4 (x 4) 3

ง) (y y 9) 2

3. ค้นหาความหมายของนิพจน์:

แอปพลิเคชัน

ความหมายของปริญญา

ตัวเลือก 2

1st เขียนผลิตภัณฑ์ในรูปแบบของปริญญา:

ก) 0.4 0.4 0.4

ค) a a a a a a a a a

ง) (-y) (-y) (-y) (-y)

จ) (bc) (bc) (bc)

2. ยกกำลังสองตัวเลข:

3. ลูกบาศก์ตัวเลข:

4. ค้นหาค่านิพจน์:

ค) -1 3 + (-2) 4

ง) -6 2 + (-3) 2

จ) 4 5 2 – 100

ตัวเลือก 3

1. เขียนผลิตภัณฑ์เป็นระดับ:

ก) 0.5 0.5 0.5

ค) ค ค ค ค ค ค ค ค ค

ง) (-x) (-x) (-x) (-x)

จ) (ab) (ab) (ab)

2. แสดงในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของตัวเลข: 100; 0.49; .

3. ลูกบาศก์ตัวเลข:

4. ค้นหาค่านิพจน์:

ค) -1 5 + (-3) 2

ง) -5 3 + (-4) 2

จ) 5 4 2 - 100

ตัวเลือก 4

1. เขียนผลิตภัณฑ์เป็นระดับ:

ก) 0.7 0.7 0.7

ค) x x x x x x

ง) (-а) (-а) (-а)

จ) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. ยกกำลังสองตัวเลข:

3. ลูกบาศก์ตัวเลข:

4. ค้นหาค่านิพจน์:

ค) -1 4 + (-3) 3

ง) -3 4 + (-5) 2

จ) 100 - 3 2 5

การคูณของอำนาจ

ตัวเลือก 2

1. ปัจจุบันเป็นปริญญา:

ก) x 4 x 5 จ) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

ค) y 5 y h) 4 3 16

d) a 7 i) 4 2 5

จ) 2 2 2 5 เจ) 0.2 3 0.04

2. แสดงเป็นดีกรีแล้วหาค่าในตาราง:

ก) 3 2 3 3 ค) 16 2 3

ข) 2 4 2 5 ง) 9 81

ตัวเลือก 3

1. ปัจจุบันเป็นปริญญา:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 ก.) 3 5 9

ค) ข 6 ข ชม.) 5 3 25

ง) y 8 i) 49 7 4

จ) 2 3 2 6 เจ) 0.3 4 0.27

2. แสดงเป็นดีกรีแล้วหาค่าในตาราง:

ก) 3 3 3 4 ค) 27 3 4

ข) 2 4 2 6 ง) 16 64

ตัวเลือก 4

1. ปัจจุบันเป็นปริญญา:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 ก.) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

ง) x x 10 ผม) 36 6 3

จ) 2 4 2 5 เจ) 0.2 2 0.008

2. แสดงเป็นดีกรีแล้วหาค่าในตาราง:

ก) 2 6 2 3 ค) 64 2 4

ข) 3 5 3 2 ง) 81 27

กององศา.

ตัวเลือก 2

1. แสดงผลหารเป็นกำลัง:

2. ค้นหาค่าของนิพจน์: