Построение разверток тел вращения. Построение развертки конуса Развертка боковой поверхности конуса

При изготовлении развёрток на металле используется метровая линейка, чертилка, циркуль по металлу, комплект лекал, молоток и керно , для отметки узловых точек.

Длина окружности считается по формуле:

Или

Где:
- радиус окружности,
- диаметр окружности,
- длина окружности,
- Число Пи (),
Как правило, для вычисления используется значение () до второго знака (3,14), но в некоторых случаях, этого может быть недостаточно.

Усечённый конус с доступной вершиной: Конус, при построении которого можно определить положение вершины.
Усечённый конус с недоступной вершиной: Конус, при построении которого положение вершины определить затруднительно, в виду её удалённости.
Триангуляция: способ построения разверток поверхностей неразвертывающихся, конических, общего вида и с ребром возврата.
Следует помнить: Независимо от того, является рассматриваемая поверхность развертываемой или неразвертываемой, графически может быть построена только приближенная развертка. Это объясняется тем, что в процессе снятия и откладывания размеров и выполнения других графических операций неизбежны погрешности, обусловливаемые конструктивными особенностями чертежных инструментов, физическими возможностями глаза и погрешностями от замены дуг хордами и углов на поверхности плоскими углами. Приближенные развертки кривых не-развертывающихся поверхностей, кроме графических погрешностей, содержат погрешности, полученные за счет несовпадения элементов таких поверхностей с плоскими аппроксимирующими элементами. Поэтому для получения поверхности из такой развертки, кроме изгибания, необходимо произвести частичное растяжение и сжатие отдельных ее участков. Приближенные развертки при тщательном выполнении обладают точностью, достаточной для практических целей.

Представленный в статье материал, подразумевает, что вы имеете представление об основах черчения , умеете делить окружность, находить центр отрезка при помощи циркуля, снимать/переносить размеры циркулем, пользоваться лекалами, и соответствующим справочным материалом. Потому, объяснение многих моментов в статье опущено.

Построение развёртки цилиндра

Цилиндр

Тело вращения с наиболее простой развёрткой, имеющей форму прямоугольника, где две параллельные стороны соответствуют высоте цилиндра, а две другие параллельные стороны - длине окружности оснований цилиндра.

Усечённый цилиндр (рыбина)

Усечённый цилиндр

Подготовка:

Для создания развёртки, начертим четырёхугольник ACDE в натуральную величину (см.чертёж).
Проведём перпендикуляр BD , из плоскости AC в точку D , отсекая от построения прямую часть цилиндра ABDE , которую можно достроить по мере надобности.
Из центра плоскости CD (точка O ) проведём дугу, радиусом в половину плоскости CD , и разделим её на 6 частей. Из получившихся точек O , проведём перпендикулярные прямые к плоскости CD . Из точек на плоскости CD , проведём прямые, перпендикулярные к плоскости BD .

Построение:

Отрезок BC переносим, и превращаем в вертикаль. Из точки B , вертикали BC , проводим луч, перпендикулярный вертикали BC .
Циркулем снимаем размер C-O 1 B , точку 1 . Снимаем размер B 1 -C 1 1 .
Циркулем снимаем размер O 1 -O 2 , и откладываем на луче, из точки 1 , точку 2 . Снимаем размер B 2 -C 2 , и откладываем перпендикуляр из точки 2 .
Повторять, пока не будет отложена точка D .
Получившиеся вертикали, из точки C , вертикали BC , до точки D - соединить лекальной кривой.
Вторая половина развёртки зеркальна.

Подобным образом строятся любые цилиндрические срезы.
Примечание: Почему "Рыбина" - если продолжить построение развёртки, при этом половину построить от точки D , а вторую в обратную сторону от вертикали BC , то получившийся рисунок, будет похож на рыбку, или рыбий хвост.

Построение развёртки конуса

Конус

Развёртка конуса может быть выполнена двумя способами. (См. чертёж)

Если известен размер стороны конуса, из точки O , циркулем чертится дуга, радиусом равным стороне конуса. На дуге откладываются две точки (A 1 и B 1 О .
Строится конус в натуральную величину, из точки O , в точку A , ставится циркуль, и проводится дуга, проходящая через точки A и B . На дуге откладываются две точки (A 1 и B 1 ), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О .

Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.
Конус со смещёной вершиной строиться так же, как усечённый конус со смещёнными основаниями.

Построить окружность основания конуса в виде сверху, в натуральную величину. Разделить окружность на 12 или более равных частей, и отложить их на прямой поочерёдно.

Конус с прямоугольным (многогранным) основанием.

Конуса с многогранным основанием

В случае, если конус имеет ровное, радиальное, основание: (При построении окружности на виде с верху, путём установки циркуля в центр, и очерчивания окружности по произвольной вершине - все вершины основания укладываются на дугу окружности. ) Построить конус, по аналогии с развёрткой обычного конуса (основание строить по окружности, от вида сверху). Отложить дугу из точки O . В произвольной части дуги поставить точку A 1 , и поочерёдно отложить все грани основания на дугу. Конечная точка последней грани будет B 1 .
Во всех иных случаях конус строится по принципу триангуляции (см. далее ).

Усечённый конус с доступной вершиной

Усечённый конус

Построить усечённый конус ABCD в натуральную величину (См. чертёж).
Стороны AD и BC продожить, до появления точки пересечения O . Из точки пересечения O , провести дуги, с радиусом OB и OC .
На дуге OC , отложить длину окружности DC . На дуге OB , отложить длину окружности AB . Полученные точки соединить отрезками L 1 и L 2 .
Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.

Как отложить длину окружности на дуге:

При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.
При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.

Примечание: Совсем не обязательно, что отрезки L 1 и L 2 , если их продолжить, будут сходится в точке O . Если быть до конца честным, то сойтись они должны, но с учётом поправок на погрешности инструмента, материала и глазомера - точка пересечения может оказаться чуть ниже или выше вершины, что не является ошибкой.

Усечённый конус с переходом с круга на квадрат

Конус с переходом с круга на квадрат

Подготовка:
Построить усечённый конус ABCD в натуральную величину (см. чертёж), построить вид сверху ABB 1 A 1 . Окружность поделить на равные части (в приведённом примере показано деление одной четверти). Точки AA 1 -AA 4 соединить отрезками с точкой A . Провести ось O , из центра которой провести перпендикуляр O-O 1 , высотой равной высоте конуса.
Ниже, первичные размеры снимаются с вида сверху.
Построение:

Снять размер AD и построить произвольную вертикаль AA 0 -AA 1 . Снять размер AA 0 -A , и поставить «примерную точку», сделав отмашку циркулем. Снять размер A-AA 1 , и на оси O , из точки O O 1 AA 1 , до предполагаемой точки A . Соединить отрезками точки AA 0 -A-AA 1 .
Снять размер AA 1 -AA 2 , из точки AA 1 поставить «примерную точку», сделав отмашку циркулем. Снять размер A-AA 2 , и на оси O , из точки O , отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O 1 . Сделать отмашку циркулем из точки A , до предполагаемой точки AA 2 . Провести отрезок A-AA 2 . Повторить, пока не будет отложен отрезок A-AA 4 .
Снять размер A-AA 5 , из точки A поставить «примерную точку» AA 5 . Снять размер AA 4 -AA 5 , и на оси O , из точки O , отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O 1 . Сделать отмашку циркулем из точки AA 4 , до предполагаемой точки AA 5 . Провести отрезок AA 4 -AA 5 .

Подобным образом построить остальные сегменты.
Примечание: Если конус имеет доступную вершину, и КВАДРАТНОЕ основание - то построение можно провести по принципу усечённого конуса с доступной вершиной , а основание - конуса с прямоугольным (многогранным) основанием . Точность будет ниже, но построение существенно проще.

Вместо слова «выкройка» иногда употребляют «развертка», однако этот термин неоднозначен: например, разверткой называют инструмент для увеличения диаметра отверстия, и в электронной технике существует понятие развертки. Поэтому, хоть я и обязан употребить слова «развертка конуса», чтобы поисковики и по ним находили эту статью, но пользоваться буду словом «выкройка».

Построение выкройки для конуса — дело нехитрое. Рассмотрим два случая: для полного конуса и для усеченного. На картинке (кликните, чтобы увеличить) показаны эскизы таких конусов и их выкроек. (Сразу замечу, что речь здесь пойдет только о прямых конусах с круглым основанием. Конусы с овальным основанием и наклонные конусы рассмотрим в следующих статьях).

1. Полный конус

Обозначения:

Параметры выкройки рассчитываются по формулам:
;
;
где .

2. Усеченный конус

Обозначения:

Формулы для вычисления параметров выкройки:
;
;
;
где .
Заметим, что эти формулы подойдут и для полного конуса, если мы подставим в них .

Иногда при построении конуса принципиальным является значение угла при его вершине (или при мнимой вершине, если конус усеченный). Самый простой пример — когда нужно, чтобы один конус плотно входил в другой. Обозначим этот угол буквой (см. картинку).
В этом случае мы можем его использовать вместо одного из трех входных значений: , или . Почему «вместо «, а не «вместе «? Потому что для построения конуса достаточно трех параметров, а значение четвертого вычисляется через значения трех остальных. Почему именно трех, а не двух и не четырех — вопрос, выходящий за рамки этой статьи. Таинственный голос мне подсказывает, что это как-то связано с трехмерностью объекта «конус». (Сравните с двумя исходными параметрами двухмерного объекта «сегмент круга», по которым мы вычисляли все остальные его параметры в статье .)

Ниже приведены формулы, по которым определяется четвертый параметр конуса, когда заданы три.

4. Методы построения выкройки

Вычислить значения на калькуляторе и построить выкройку на бумаге (или сразу на металле) при помощи циркуля, линейки и транспортира.
Занести формулы и исходные данные в электронную таблицу (например, Microsoft Exel). Полученный результат использовать для построения выкройки при помощи графического редактора (например, CorelDRAW).
использовать мою программу , которая нарисует на экране и выведет на печать выкройку для конуса с заданными параметрами. Эту выкройку можно сохранить в виде векторного файла и импортировать в CorelDRAW.

5. Не параллельные основания

Что касается усеченных конусов, то программа Cones пока строит выкройки для конусов, имеющих только параллельные основания.
Для тех, кто ищет способ построения выкройки усеченного конуса с не параллельными основаниями, привожу ссылку, предоставленную одним из посетителей сайта:
Усеченный конус с не параллельными основаниями.

16.1. Чертежи разверток поверхностей призм и цилиндров .

Для изготовления ограждений станков, вентиляционных труб и некоторых других изделий вырезают из листового материала их развертки.

Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух оснований - многоугольников.

Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани - равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. 139. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а - два вида; б - развертка поверхностей

Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.

Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая - длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.

Рис. 140. Построение чертежа развертки поверхностей цилиндра: а - два вида; б - развертка поверхностей

16.2. Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды .

Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, 6).

Рис. 141. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а - два вида; б - развертка поверхностей

Построения выполняются так:

Проводят осевую линию и из точки s" на ней описывают радиусом, равным длине s"a" образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса.
Точку s" соединяют с концевыми точками дуги.
К полученной фигуре - сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.

Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.

Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D - диаметр окружности основания, L -длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.

Рис. 142. Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а - два вида; б - развертка поверхностей

Чертеж развертки поверхностей пирамиды строят так (рис. 142, б):
Из произвольной точки О описывают дугу радиуса L, равного длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяют прямыми с точкой О. Затем пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Обратите внимание, как оформляют чертежи разверток. Над изображением выносят специальный знак. От линий сгиба, которые проводят штрихпунктирнои с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба».

Как построить чертеж развертки поверхностей цилиндра?
Какие надписи наносят на чертежах разверток поверхностей предметов?

Вам понадобится

Карандаш Линейка угольник циркуль транспортир Формулы вычисления угла по длине дуги и радиусу Формулы вычисления сторон геомтрических фигур

Инструкция

На листе бумаги постройте основание нужного геометрического тела. Если вам даны паралеллепипед или , измерьте длину и ширину основания и начертите на листе бумаги прямоугольник с соответствующими параметрами. Для построения развертки а или цилиндра вам необходимо радиус окружности основания. Если она не задана в условии, измерьте и вычислите радиус.

Рассмотрите паралеллепипед. Вы увидите, что все его грани расположены под углом к основанию, но параметры этих граней разные. Измерьте высоту геометрического тела и с помощью угольника начертите два перпендикуляра к длине основания. Отложите на них высоту паралеллепипеда. Концы получившихся отрезков соедините прямой. То же самое сделайте с противоположной стороны исходного .

От точек пересечения сторон исходного прямоугольника проведите перпендикуляры и к его ширине. Отложите на этих прямых высоту паралеллепипеда и соедините полученные точки прямой. То же самое сделайте и с другой стороны.

От внешнего края любого из новых прамоугольников, длина которого совпадает с длиной основания, постройте верхнюю грань паралеллепипеда. Для этого из точек пересечеения линий длины и ширины, расположенных на внешней стороне, проведите перпендикуляры. Отложите на них ширину основания и соедините точки прямой.

Для построения развертки конуса через центр окружности основания проведите радиус через любую точку окружности и продолжите его. Измерьте расстояние от основания до вершины конуса. Отложите это расстояние от точки пересечения радиуса и окружности. Отметьте точку вершины боковой поверхности. По радиусу боковой поверхности и длине дуги, которая равняется длине окружности основания, вычислите угол развертки и отложите его от уже проведенное через вершину основания прямой. С помощью циркуля соедините найденную ранее точку пересечения радиуса и окружности с этой новой точкой. Развертка конуса готова.

Для построения развертки пирамиды измерьте высоты ее сторон. Для этого найдите середину каждой стороны основания и измерьте длину перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды к этой точке. Начертив на листе основание пирамиды, найдите середины сторон и проведите к этим точкам перпендикуляры. Соредините полученные точки с точками пересечения сторон пирамиды.

Развертка цилиндра представляет собой две окружности и расположенный между ними прямоугольник, длина которого равна длине окружности, а высота - высоте цилиндра.

Развертка поверхности конуса - это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Алгоритм построения

Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников . Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

Пример

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S 0 A 0 B 0 . Длины его сторон S 0 A 0 и S 0 B 0 равны образующей l конической поверхности. Величина A 0 B 0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S 0 A 0 B 0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S 0 A 0 =l, после чего из точек S 0 и A 0 проводим окружности радиусом S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B 0 с точками A 0 и S 0 .

Грани S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Алгоритм

Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’ 1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π 2 . Соответственно, S’’5’’ 1 – натуральная величина S5.
Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S 0 1 0 6 0 длина S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Алгоритм

Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
Находим положение точек A 0 , B 0 , C 0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S 0 A 0 =S’’A’’, S 0 B 0 =S’’B’’ 1 , S 0 C 0 =S’’C’’ 1 .
Соединяем точки A 0 , B 0 , C 0 плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.