Что такое "арифметика"? Как правильно пишется данное слово. Понятие и трактовка.
арифметика искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была связана с техникой счета. Под "арифметикой" во многих странах обычно имеется ввиду именно эта последняя область, которая несомненно является старейшей отраслью математики. По-видимому, наибольшую трудность у древних вычислителей вызывала работа с дробями. Об этом можно судить по папирусу Ахмеса (называемому также папирусом Ринда), древнеегипетскому сочинению по математике, датируемому примерно 1650 до н.э. Все дроби, упоминаемые в папирусе, за исключением 2/3, имеют числители, равные 1. Трудность обращения с дробями заметна и при изучении древневавилонских клинописных табличек. И древние египтяне, и вавилоняне, по-видимому, производили вычисления с помощью некоторой разновидности абака. Наука о числах получила у древних греков существенное развитие начиная с Пифагора, около 530 до н.э. Что же касается непосредственно техники вычисления, то в этой области греками было сделано гораздо меньше. Жившие позднее римляне, напротив, практически не внесли никакого вклада в науку о числе, зато исходя из нужд быстро развивавшихся производства и торговли усовершенствовали абак как счетное устройство. О зарождении индийской арифметики известно очень мало. До нас дошли лишь некоторые более поздние работы о теории и практике операций с числами, написанные уже после того, как индийская позиционная система была усовершенствована посредством включения в нее нуля. Когда в точности это произошло, нам достоверно неизвестно, но именно тогда были заложены основы для наших наиболее распространенных арифметических алгоритмов (см. также ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ). Индийская система счисления и первые арифметические алгоритмы были заимствованы арабами. Самый ранний из дошедших до нас арабских учебников арифметики был написан аль-Хорезми около 825. В нем широко используются и объясняются индийские цифры. Позднее этот учебник был переведен на латынь и оказал значительное влияние на Западную Европу. Искаженный вариант имени аль-Хорезми дошел до нас в слове "алгоризм", которое при дальнейшем смешении с греческим словом аритмос превратилось в термин "алгоритм". Индо-арабская арифметика стала известна в Западной Европе в основном благодаря сочинению Л.Фибоначчи Книга абака (Liber abaci, 1202). Метод абацистов предлагал упрощения, подобные использованию нашей позиционной системы, во всяком случае для сложения и умножения. Абацистов сменили алгоритмики, которые использовали нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня. Один из первых учебников арифметики, автор которого нам неизвестен, вышел в Тревизо (Италия) в 1478. В нем речь шла о расчетах при совершении торговых сделок. Этот учебник стал предшественником многих появившихся впоследствии учебников арифметики. До начала 17 в. в Европе было опубликовано более трехсот таких учебников. Арифметические алгоритмы за это время были существенно усовершенствованы. В 16-17 вв. появились символы арифметических операций, такие как =, +, -, *, "корень" и /. Принято считать, что десятичные дроби изобрел в 1585 С.Стевин, логарифмы - Дж. Непер в 1614, логарифмическую линейку - У. Оутред в 1622. Современные аналоговые и цифровые вычислительные устройства были изобретены в середине 20 в. См. также МАТЕМАТИКА; МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ; ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ; РЯДЫ. Механизация арифметических вычислений. С развитием общества росла и потребность в более быстрых и точных вычислениях. Эта потребность вызвала к жизни четыре замечательных изобретения: индо-арабские числовые обозначения, десятичные дроби, логарифмы и современные вычислительные машины. На самом деле простейшие счетные устройства существовали до появления современной арифметики, ибо в древности элементарные арифметические операции производились на абаке (в России с этой целью использовались счеты). Простейшим современным вычислительным устройством можно считать логарифмическую линейку, представляющую собой две скользящие одна вдоль другой логарифмические шкалы, что позволяет производить умножение и деление, суммируя и вычитая отрезки шкал. Изобретателем первой механической суммирующей машины принято считать Б.Паскаля (1642). Позднее в том же столетии Г. Лейбниц (1671) в Германии и С. Морленд (1673) в Англии изобрели машины для выполнения умножения. Эти машины стали предшественницами настольных вычислительных устройств (арифмометров) 20 в., позволявших быстро и точно производить операции сложения, вычитания, умножения и деления. В 1812 английский математик Ч. Бэббидж приступил к созданию проекта машины для вычисления математических таблиц. Хотя работа над проектом продолжалась долгие годы, она так и осталась незавершенной. Тем не менее проект Бэббиджа послужил стимулом к созданию современных электронных вычислительных машин, первые образцы которых появились около 1944. Быстродействие этих машин поражало воображение: с их помощью за минуты или часы удавалось решить задачи, ранее требовавшие многих лет непрерывных вычислений даже с применением арифмометров. Суть дела можно пояснить на примере конкретной арифметической задачи, например, вычисления числа p (отношения длины окружности к ее диаметру). Первые систематические попытки вычисления p встречаются у Архимеда (ок. 240 до н.э.). Используя весьма несовершенную систему счисления, он после долгих трудов сумел вычислить p с точностью, эквивалентной в нашей современной системе счисления двум знакам после запятой. Используя метод Архимеда, Л.ван Цейлен (1540-1610), посвятив этому значительную часть жизни, сумел вычислить p с точностью 35 знаков после запятой. В 1873 после пятнадцати лет работы У.Шенкс получил значение p с 707 знаками, но позднее выяснилось, что начиная с 528-го знака в его вычисления вкрались ошибки. В 1958 компьютер фирмы ИБМ вычислил за 40 секунд 707 знаков числа p и, продолжая далее вычисления, получил за 100 минут 10000 знаков. См. также КОМПЬЮТЕР; ЧИСЛО ПИ. Целые положительные числа. Основой наших представлений о числах являются интуитивные понятия множества, соответствия между множествами и бесконечной последовательности различимых знаков или звуков. Знакомая всем нам последовательность символов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... есть не что иное, как бесконечная последовательность различимых знаков и бесконечная последовательность различимых звуков (или слов) "один", "два", "три", "четыре", "пять", "шесть", "семь", "восемь", "девять", "десять", "одиннадцать", "двенадцать", ..., соответствующих определенным символам. Любое множество, все элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторого начального сегмента нашей бесконечной последовательности символов, называется конечным множеством. При этом на число элементов множества указывает последний символ сегмента. Например, множество предметов, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с начальным сегментом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, является конечным множеством, содержащим 8 ("восемь") элементов. Символ 8 указывает на "число" предметов в исходном множестве. Это число есть символ, или ярлык, приписываемый данному множеству. Этот же ярлык приписывается всем тем и только тем множествам, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с данным множеством. Однозначное определение ярлыка для любого заданного конечного множества называется "пересчитыванием" элементов данного множества, а сами ярлыки получили название натуральных или целых положительных чисел (см. также ЧИСЛО; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ). Пусть A и B - два конечных множества, не имеющие общих элементов, и пусть A содержит n элементов, а B содержит m элементов. Тогда множество S, состоящее из всех элементов множеств A и B, взятых вместе, является конечным множеством, содержащим, скажем, s элементов. Например, если А состоит из элементов {a, b, c}, множество В - из элементов {x, y}, то множество S = A + B и состоит из элементов {a, b, c, x, y}. Число s называется суммой чисел n и m, и мы записываем это так: s = n + m. В этой записи числа n и m называются слагаемыми, операция нахождения суммы - сложением. Символ операции "+" читается как "плюс". Множество P, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первый элемент выбран из множества A, а второй - из множества B, является конечным множеством, содержащим, скажем, p элементов. Например, если, как и прежде, A = {a, b, c}, B = {x, y}, то P = AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)}. Число p называется произведением чисел a и b, и мы записываем это так: p = a*b или p = a*b. Числа a и b в произведении называются множителями, операция нахождения произведения - умножением. Символ операции ґ читается как "умноженное на". Можно показать, что из этих определений следуют приводимые ниже фундаментальные законы сложения и умножения целых чисел: - закон коммутативности сложения: a + b = b + a; - закон ассоциативности сложения: a + (b + c) = (a + b) + c; - закон коммутативности умножения: a*b = b*a; - закон ассоциативности умножения: a*(b*c) = (a*b)*c; - закон дистрибутивности: aґ(b + c)= (a*b) + (a*c). Если a и b - два положительных целых числа и если существует положительное целое число c, такое, что a = b + c, то мы говорим, что a больше b (это записывается так: a > b), или что b меньше a (это записывается так: b b, либо a
С одной стороны это очень простой вопрос. С другой, школьники, да и многие взрослые, часто путают арифметику и математику и толком не знают в чем же разница между этими двумя предметами. Математика — это наиболее обширное понятие, которое включает в себя любые действия с числами. Арифметика же лишь один из разделов математики. К арифметике относятся знакомство с цифрами, простой счет и операции с числами. Раньше в школах уроки назывались именно арифметикой и лишь со временем стали носить название математика, которая плавно перетекает в алгебру. По сути алгебра начинается тогда, когда в примерах появляются неизвестные числа и вместо них используются буквы. То есть по-простому операции с x
и y
.
Термин «арифметика»
произошел от греческого слова «arithmos»
, что означает «число». В 14-15 веках данный термин переводился в Англии не совсем верно — «the metric art», что по сути означало «метрическое искусство», подходящее больше для геометрии, нежели простого счета и несложных действий с числами.
Одна из причин, почему в школах не используется понятие «арифметика» заключается в том, что даже на уроках в начальных классах помимо цифр изучают также геометрические формы и единицы измерения (сантиметр, метр и т.д.), а это уже выходит за пределы обычного счета. Тем не менее, обучение ментальной арифметике происходит в жизни ребенка в какой-то степени само собой, в процессе знакомства с окружающим миром. Термин «ментальная арифметика» означает умение считать в уме. Согласитесь, каждый из нас в какой-то момент жизни учится этому и не только благодаря школьным урокам.
Сегодня есть целые методики для развития у детей навыков скоростного счета в уме. Например, особенно популярно древнее Абакус обучение, в основе которого лежит умение считать на специальных счетах (отличаются от обычных с десятками). Abacus в переводе с английского и есть «счеты» , потому и название методики звучит так же. Японцы же эту методику называют Соробан обучение, т.к. на их языке «счеты» называются именно «soroban».
В арифметике используются четыре элементарные операции — сложение, вычитание, умножение и деление. Причем неважно целые числа используются в примере или же десятичные и дроби. Знакомить ребенка с цифрами можно еще с раннего детства, причем делать это непринужденно и в игре. В этом родителям поможет не только воображение, но и множество специальных развивающих материалов, найти которые можно в любом магазине.
По современным требованиям к первому классу ребенок должен уже считать минимум в пределе десяти (а лучше до 20), а также осуществлять со знакомыми цифрами основные операции — складывать их и вычитать. Важно также, чтобы ребенок мог сравнивать, какое из чисел больше, какое меньше, а какие числа равны. Таким образом, можно сказать, что именно арифметику ребенок должен знать еще до поступления в школу.
Такие требования предъявляются не только в России, но и во всем мире, т.к. темп жизни ускоряется, а объем знаний ежедневно увеличивается. То, что достаточно было знать в школьной программе еще 20-30 лет назад, сегодня занимает не более 50% преподаваемой учителями информации. Как бы там ни было, арифметика всегда останется основой основ для изучения цифр и счета, а также первоначальным уровнем математики, без которого невозможно изучить более сложные задания и умения.
Арифметикой называется тот раздел математики, предметом изучения которого являются числа, их свойства и отношения.
Ее название имеет греческое происхождение: на языке древней Эллады слово «аритмос » (его еще произносят как «арифмос ») означает «число ».
Арифметика изучает правила вычислений и простейшие свойства чисел. В том ее разделе, который называется теория чисел (или высшая арифметика), изучаются свойства отдельных целых чисел.
Арифметика самым тесным образом связана с теорией чисел, алгеброй и геометрией, и является одной из главных математических наук, а также самой древней из них.
Основными предметами арифметики являются действия над числами, их свойства, а также числовые множества. Кроме того, в арифметике изучаются такие вопросы, как происхождение и развитие понятия чисел, измерения и техника счета.
Действия над числами, являющиеся предметом изучения арифметики, – это сложение, вычитание, деление и умножение. К ним также можно отнести и такие операции, как извлечение корня, возведение в степень и решение различных численных уравнений.
Кроме того, исторически сложилось так, что к арифметическим действиям относят, помимо умножения, удвоение; помимо деления, деление с остатком и на два; счет; вычисление суммы геометрической и арифметической прогрессий. При этом все арифметические действия имеют собственную иерархию, в которой высшую ступень занимает извлечение корней и возведение в степень, более низкую – умножение и деление, и далее – сложение и вычитание.
Следует заметить, что те измерения и математические расчеты, которые находят широкое практическое применение (например, проценты, пропорции и т.п.) относятся к так называемой низшей арифметике, а понятие числа и его логический анализ – к арифметике теоретической.
Арифметика находится в очень тесной связи с алгеброй, основным предметом изучения которой являются различные операции с числами, не учитывающие их свойства и особенности. При этом извлечение корней и возведение в степень представляют собой техническую часть алгебры.
Поскольку в повседневной жизни арифметика используется практически повсеместно, то определенные познания в этой науке необходимы абсолютно всем. На протяжении жизни такие операции, как счет, вычисление объемов, площадей, скорости, временных промежутков и протяженностей приходится выполнять очень часто.
Для освоения любой профессии необходимо владеть основными арифметическими знаниями, и особенно это касается тех специальностей, которые связаны с экономикой, техникой и естественными науками.
Арифметика
(греч. arithmetika, от arithmys - число)
наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение производить действия с числами необходимы для практической и культурной деятельности человека. Поэтому А. является элементом дошкольного воспитания детей и обязательным предметом школьной программы. С помощью натуральных чисел конструируются многие математические понятия (например, основное понятие математического анализа - действительное число). В связи с этим А. является одной из основных математических наук. Когда делается упор на логический анализ понятия числа (См. Число), то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. А. тесно связана с алгеброй (См. Алгебра), в которой, в частности, изучаются действия над числами без учёта их индивидуальных свойств. Индивидуальные свойства целых чисел составляют предмет чисел теории (См. Чисел теория).
Историческая справка.
Возникнув в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений, А. развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, которые предъявляли к ней другие науки. О возникновении счёта и о начальных стадиях образования арифметических понятий судят обычно по наблюдениям, относящимся к процессу счёта у первобытных народов, и, косвенным образом, путём изучения следов аналогичных стадий, сохранившихся в языках культурных народов и наблюдающихся при усвоении этих понятий детьми. Эти данные говорят о том, что развитие тех элементов мыслительной деятельности, которые лежат в основе процесса счёта, проходит ряд промежуточных этапов. К ним относятся: умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счёту совокупности предметов; умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и вместе с тем равноправные при счёте (пользование именованной «единицей» счёта); умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств, вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз навсегда упорядоченной совокупности объектов, т. е. совокупности объектов, расположенных в определённой последовательности. Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счёте предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлечённого понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметических понятий. Сначала счёт оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, за пределами которого количественные различия осознаются смутно и характеризуются словами, являющимися синонимами слова «много»; при этом орудием счёта служат зарубки на дереве («бирочный» счёт), счётные камешки, чётки, пальцы рук и т.п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, например: «глаза» - как синоним числительного «два», кисть руки («пясть») - как синоним и фактическая основа числительного «пять», и т.п. Словесный порядковый счёт (раз, два, три и т.д.), прямую зависимость которого от пальцевого счёта (последовательное произнесение названий пальцев, частей рук) в некоторых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счётом групп, содержащих определённое число предметов. Это число образует основание соответствующей системы счисления, обычно, в результате счёта по пальцам двух рук, равное 10. Встречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 «quatre-vingt» = 4 × 20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых сношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно обнаруживали тенденцию к единообразию у общавшихся между собой племён и народностей; это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в наст. время системы нумерации (счисления (См. Счисление)), принципа поместного (поразрядного) значения цифр и способов выполнения арифметических действий. По-видимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имён числительных в различных языках: например, два - dva (санскр.), δυο (греч.), duo (лат.), two (англ.). Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметических знаний в эпоху древних цивилизаций являются письменные документы Др. Египта (Папирусы математические), написанные приблизительно за 2 тыс. лет до н. э. Это - сборники задач с указанием их решений, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами, без каких бы то ни было пояснений теоретического характера. Решение некоторых задач в этом сборнике производится, по существу, с помощью составления и решения уравнений; встречаются также арифметические и геометрические прогрессии. О довольно высоком уровне арифметической культуры вавилонян за 2-3 тыс. лет до н. э. позволяют судить Клинописные математические тексты . Письменная нумерация вавилонян в клинописных текстах представляет собой своеобразное соединение десятичной системы (для чисел, меньших 60) с шестидесятиричной, с разрядными единицами 60, 60 2 и т.д. Наиболее существенным показателем высокого уровня А. является употребление шестидесятиричных дробей с распространением на них той же системы нумерации, аналогично современным десятичным дробям. Техника выполнения арифметических действий у вавилонян, в теоретическом отношении аналогичная обычным приёмам в десятичной системе, осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, по-видимому, учебные пособия, находятся, кроме того, и соответствующие таблицы обратных чисел (двузначные и трёхзначные, т. е. с точностью до 1 / 60 2 и 1 / 60 3), применявшихся при делении. У древних греков практическая сторона А. не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для производства сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что древнегреческие астрономы предпочитали пользоваться шестидесятиричной системой). С другой стороны, древнегреческие математики положили начало теоретической разработке А. в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин и - в неявной форме - также и теории иррациональных чисел. В «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) имеются сохранившие своё значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (см. Евклида алгоритм), доказательство несуществования рационального числа, квадрат которого равен 2 (иррациональность числа √2), и изложенная в геометрической форме теория пропорций. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (См. Совершенные числа) (Евклид), о пифагоровых числах (См. Пифагоровы числа),
а также - уже в более позднюю эпоху - алгоритм для выделения простых чисел (Эратосфена решето) и решение ряда неопределённых уравнений 2-й и более высоких степеней (Диофант). Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл «Псаммит» Архимеда (3 в. до н. э.), в котором доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Сочинения Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин: извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, например Римляне не продвинули вперёд технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (Римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел. Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, более древних, культур; однако чрезвычайно важные этапы в развитии А. связываются с культурой Индии, оказавшей влияние как на страны Передней Азии и Европы, так и на страны Вост. Азии (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметического содержания, наиболее существенная заслуга индийцев - введение позиционной системы счисления (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметических действий. Учёные средневекового Востока не только сохранили в переводах наследие древнегреческих математиков, но и содействовали распространению и дальнейшему развитию достижений индийцев. Методы выполнения арифметических действий, в значительной части ещё далёкие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с 10 в. н. э. стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию. Сравнительно медленный прогресс А. в средние века сменяется к началу 17 в. быстрым усовершенствованием приёмов вычисления в связи с возросшими практическими запросами к технике вычислений (задачи мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчёты и т.п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся ещё индийцами (при извлечении квадратных корней) и неоднократно обращавшие на себя внимание и европейских учёных, применялись сначала в неявной форме в тригонометрических таблицах (в форме целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т.д. при радиусе, принятом за 10 5). Впервые (1427) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши .
Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевин а в 1585 и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 в. Дж. Непер ом.
В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму. В России до начала 17 в. применялась нумерация, сходная с греческой; хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации, доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметических руководств начала 18 в. наибольшее значение имела высоко оцененная М. В. Ломоносовым «Арифметика» Л. Ф. Магницкого (См. Магницкий) (1703). В ней содержится следующее определение А.: «Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее, и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное, и изложенное». Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в т. ч. и десятичными) и соответствующими задачами в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практических сведений, относящихся к коммерческим расчётам и задачам навигации. Изложение А. приобретает уже более или менее современный вид у Л. Эйлер а и его учеников. Теоретические вопросы арифметики.
Теоретическая разработка вопросов, касающихся учения о числе и учения об измерении величин, не может быть оторвана от развития математики в целом: решающие этапы её связаны с моментами, определявшими в равной мере и развитие алгебры, геометрии и анализа. Наиболее важным надо считать создание общего учения о Величина х, соответствующего абстрактного учения о числе (См. Число) (целом, рациональном и иррациональном) и буквенного аппарата алгебры. Фундаментальное значение А. как науки, достаточной для изучения непрерывных величин различного рода, было осознано лишь к концу 17 в. в связи со включением в А. понятия иррационального числа, определяемого последовательностью рациональных приближений. Немаловажную роль при этом сыграли аппарат десятичных дробей и применение логарифмов, расширивших область осуществляемых с требуемой точностью операций над действительными числами (иррациональными наравне с рациональными).
Построение Грасмана было завершено в дальнейшем работами Дж. Пеано ,
в которых отчётливо выделена система основных (не определяемых через другие понятия) понятий, именно: понятие натурального числа, понятие следования одного числа непосредственно за другим в натуральном ряде и понятие начального члена натурального ряда (за который можно принять 0 или 1). Эти понятия связаны между собой пятью аксиомами, которые можно рассматривать как аксиоматическое определение указанных основных понятий. Аксиомы Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число а
следует за натуральным числом b
и за натуральным числом с
, то b
и с
тождественны; 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n
, вытекает, что оно верно для следующего за п
натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел. Эта аксиома - аксиома полной индукции - даёт возможность в дальнейшем пользоваться грасмановскими определениями действий и доказывать общие свойства натуральных чисел. Эти построения, дающие решение задачи обоснования формальных положений А., оставляют в стороне вопрос о логической структуре А. натуральных чисел в более широком смысле слова, с включением тех операций, которые определяют собой приложения А. как в рамках самой математики, так и в практической жизни. Анализ этой стороны вопроса, выяснив содержание понятия количественного числа, вместе с тем показал, что вопрос об обосновании А. тесно связан с более общими принципиальными проблемами методологического анализа математических дисциплин. Если простейшие предложения А., относящиеся к элементарному счёту объектов и являющиеся обобщением многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие логической схемы, то А. как математическая дисциплина, изучающая бесконечную совокупность натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из неё общих предложений. Лит.:
Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем. т. 3 изд., т. 1, М.-Л., 1935; Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939; Беллюстин В. К., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940; Гребенча М. К., Арифметика, 2 изд., М., 1952; Берман Г. Н., Число и наука о ней, 3 изд., М., 1960; Дептяан И. Я., История арифметики, 2 изд., М., 1965; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в Древнем мире, 2 изд., М., 1967. И. В. Арнольд.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Синонимы :Смотреть что такое "Арифметика" в других словарях:
- (от греч. arithmos число, и toche искусство). Наука, имеющая своим предметом числа. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АРИФМЕТИКА от греч. arithmos, число, и techne, искусство. Наука о числах.… … Словарь иностранных слов русского языка
Арифметика – самый основной, базовый раздел математики. Возникновению она обязана потребностям людей в счете.
Ментальная арифметика
Что называется ментальной арифметикой? Ментальная арифметика – это метод обучения быстрому счету, пришедший из древности.
В настоящее время, в отличии от предыдущего, преподаватели стараются не только обучить детей скорости счета, но и стараются развить мышление.
Сам процесс обучения строится на использовании и развитии обоих полушарий мозга. Главное – уметь их использовать вместе, потому что они дополняют друг друга.
Действительно, левое полушарие отвечает за логику, речь и рациональность, а правое – за воображение.
В программу обучения входит обучение работы и использование такого инструмента, как абакус .
Абакус – главный инструмент в изучении ментальной арифметики, потому что ученики учатся работать с ними, перебирать костяшки и осознавать суть счета. Со временем абакус стает вашим воображением, а обучаемые представляют их, опираются на эти знания и решают примеры.
Отзывы о данных методах обучения весьма положительные. Есть один минус – обучение платное, а его позволить могут не все. Поэтому путь гения зависит от материального положения.
Математика и арифметика
Математика и арифметика тесно связанные понятия, а вернее арифметика – раздел математики , работающий с числами и вычислениями (действиями с числами).
Арифметика – основной раздел, а значит и основа математики. Основа математики – важнейшие понятия и операции, составляющие базу, на которой строятся все последующие знания. В число главных операций входят: сложение , вычитание , умножение , деление .
Арифметика, как правило, изучается в школе с самого начала обучения, то есть. с первого класса. Дети осваивают базу математики.
Сложение – это арифметическое действие, в процессе которого складываются два числа, а их результатом будет новое – третье.
a + b = c .
Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого из первого числа вычитается второе число, а итогом будет третье.
Формула сложения выражается так: a - b = c .
Умножение – это действие, в итоге которого находится сумма одинаковых слагаемых.
Формула такого действия имеет вид: a1+a2+…+an=n*a .
Деление – это разбивание на равные части какого-либо числа или переменной.
Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.
Обучение арифметике
Обучение арифметике производится в стенах школы. С первого класса дети начинают изучение базового и главного раздела математики – арифметики.
Сложение чисел
Арифметика 5 класс
В пятом классе школьник начинают изучение таких тем как: дробные числа, смешанные числа. Информацию про операции с этими числами вы можете найти в наших статьях по соответствующим операциям.
Дробное число – это отношение двух чисел друг к другу или же числителя к знаменателю. Дробное число можно заменить операцией деления. Например, ¼ = 1:4.
Смешанное число – это дробное число, только с выделенной целой частью. Целая часть выделяется при условии, что числитель больше знаменателя. Например, была дробь: 5/4, ее можно преобразовать, путем выделения целой части: 1целая и ¼.
Примеры для тренировки:
Задание №1 :
Задание №2 :
Арифметика 6 класс
В 6ом классе появляется тема преобразования дробей в строчную запись. Что это значит? Например, дана дробь ½, она будет равна 0,5. ¼ = 0.25.
Примеры могут составляться в таком стиле: 0.25+0.73+12/31.
Примеры для тренировки:
Задание №1 :
Задание №2 :
Игры для развития устного счета и скорости счета
Существуют прекрасные игры, способствующие развитию счета, помогающие развивать математические способности и математическое мышление, устный счет и скорость счета! Можно играть и развиваться! Вам интересно? Прочтите краткие статьи об играх и обязательно попробуйте себя.
Игра «Быстрый счет»
Игра «быстрый счет» поможет вам ускорить устный счет. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ да или нет на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.
Игра «Математические сравнения»
Игра «Математические сравнения» потребует от вас сравнения двух чисел на время. То есть вам предстоит выбрать как можно быстрее одно из двух чисел. Помните, что время ограничено, а чем больше вы ответите верно, тем лучше будут развиваться ваши математические способности! Попробуем?
Игра «Быстрое сложение»
Игра «Быстрое сложение» - отличный тренажер быстрого счета. Суть игры: дано поле 4x4, то есть. 16 чисел, а над полем семнадцатое число. Ваша цель: при помощи шестнадцати чисел составить 17, пользуясь операцией сложения. Например, над полем у вас написано число 28, то в поле вам надо найти 2 таких числа, которые в сумме дадут число 28. Вы готовы попробовать свои силы? Тогда вперед, тренироваться!
Развитие феноменального устного счета
Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.
Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.
Скорочтение за 30 дней
Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.
Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет
Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.