Приложение интеграла к решению прикладных задач
Вычисление площади
Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью О х и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:
Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.
Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.
y = x 2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O y вверх на одну единицу (рисунок 1).
Рисунок 1. График функции y = x 2 + 1
Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.
 |
Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O y вниз на одну единицу (рисунок 2).
Рисунок 2. График функции y = x 2 – 1
Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.
Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x 2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.
Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.
Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:
Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.
Получим 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откуда 
.
Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).
Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4
Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.
Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x 1 = 2, x 2 = 4.
На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M 1 N M 2), ограниченный данными линиями.
Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле 
.
Применительно к данному условию, получим интеграл: 
2 Вычисление объёма тела вращения
Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси О х, вычисляется по формуле:
При вращении вокруг оси О y формула имеет вид:
Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси О х.
Решение. Построим рисунок (рисунок 4).
Рисунок 4. График функции y =
Искомый объём равен 
Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси O y .
Решение. Имеем:
Вопросы для повторения
Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций , чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:
Пример 10
.
И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа . При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы , гиперболы , графики других функций.
В нашей задаче: прямая
определяет ось , прямые
параллельны оси и парабола
симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек: 
Искомую фигуру желательно штриховать:
Второй этап
состоит в том, чтобы правильно составить
и правильно вычислить
определённый интеграл. На отрезке график функции расположен над осью
, поэтому искомая площадь:
Ответ :
После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.
И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и осью
Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :
Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.
Решение
: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:
и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:
Если криволинейная трапеция расположена не выше
оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае: 
Ответ : – ну что же, очень и очень похоже на правду.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:
Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение
: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования
. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:
таким образом:
Достоинство аналитического способа состоит в его точности , а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».
С прямой всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:
Выполним чертеж:
А теперь рабочая формула:
если на отрезке некоторая непрерывная
функция больше либо равна
непрерывной
функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ .
В нашем примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из нужно вычесть
Завершение решения может выглядеть так:
На отрезке : , по соответствующей формуле:
Ответ :
Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы 
. Поскольку ось задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу либо
А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения
Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:
Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги
В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры , именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:
Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение
: выполним бесхитростный чертёж,
хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом
(внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.
Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:
1) на отрезке над осью расположен график прямой ;
2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .
Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:
Ответ :
И познавательный пример для самостоятельного решения:
Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и координатными осями.
Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:
На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, аркко тангенс зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.
Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.
Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования
– так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье
я рассмотрел пример с параболой и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:
и находим его корни:
– нижний предел интегрирования
, – верхний предел
.
После того, как чертёж построен , анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.
Составляем определённый интеграл
или несколько интегралов по формуле 
, все основные вариации мы разобрали выше.
Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.
Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате
,
а также курсы по другим темам можно найти .
Также вы можете – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.
Определение.
Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).
Определенный интеграл ʃ а b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.
То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл ʃ а b f(x)dx.
Таким образом, S(G) = ʃ а b f(x)dx.
В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ а b f(x)dx.
Пример 1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 ; у = 1; х = 2.
Решение.
Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.
Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.
Используя формулу S = ʃ а b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:
{у = х 3 ,
{у = 1.
Таким образом, имеем х 1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.
Итак, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).
Ответ: 11/4 кв. ед.
Пример 2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.
Решение.
Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции
у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.
Искомая площадь равна S = ʃ а b (√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:
{у = √х,
{у = 2.
Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.
Итак, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).
Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.
Пример 3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 – 4х; у = 0; х ≥ 0.
Решение.
Построим график функции у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.
Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у min = -16/(3√3) ≈ -3.
Определим точки пересечения графика с осями координат:
если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;
если у = 0, то х 3 – 4х = 0 или х(х 2 – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).
Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.
Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.
Так как функция у = х 3 – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Имеем: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, откуда S = 4 кв. ед.
Ответ: S = 4 кв. ед.
Пример 4.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х 2 – 2х + 1, прямыми х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х 0 = 2.
Решение.
Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х 2 – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.
Так как производная y’ = 4x – 2, то при х 0 = 2 получим k = y’(2) = 6.
Найдем ординату точки касания: у 0 = 2 · 2 2 – 2 · 2 + 1 = 5.
Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.
Построим фигуру, ограниченную линиями:
у = 2х 2 – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение 2х 2 – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).
Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.
Имеем: S О A В D = S OABC – S ADBC .
Найдем координаты точки D из условия:
6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Площадь треугольника DBC найдем по формуле S ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. ед.).
Окончательно получим: S О A В D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).
Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.
Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями . Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G
. Вот полученные формулы:
для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x)
на отрезке
,
для непрерывной и неположительной функции y=f(x)
на отрезке
.
Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.
В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y) , и подробно разберем решение характерных примеров.
Навигация по странице.
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y) .
Теорема.
Пусть функции и определены и непрерывны на отрезке
, причем для любого значения x
из
. Тогда площадь фигуры G
, ограниченной линиями
x=a
, x=b
, и вычисляется по формуле 
.
Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c
, y=d
, и : 
.
Доказательство.
Покажем справедливость формулы для трех случаев:
В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G
и криволинейной трапеции равна площади фигуры . Следовательно,
Поэтому, . Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла .
Аналогично, во втором случае справедливо равенство . Вот графическая иллюстрация:
В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем . Проиллюстрируем это:
Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox .
Обозначим точки пересечения . Эти точки разбивают отрезок
на n
частей , где . Фигуру G
можно представить объединением фигур 
. Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как
Следовательно,
Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.
Графическая иллюстрация общего случая.
Таким образом, формула доказана.
Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y) .
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y) .
Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: ; и .
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямыми , x=1
, x=4
.
Решение.
Построим эти линии на плоскости.
Всюду на отрезке
график параболы выше прямой . Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница :
Немного усложним пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7
. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.
Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x
и полу параболы . Эту абсциссу найдем из равенства:
Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2 .
Обратите внимание.
В нашем примере и по чертежу видно, что линии и y=x пересекаются в точке (2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.
Очевидно, график функции y=x
расположен выше графика функции на интервале
. Применяем формулу для вычисления площади:
Еще усложним задание.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и 
.
Решение.
Построим график обратной пропорциональности и параболы .
Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения и .
При отличных от нуля значениях x
равенство 
эквивалентно уравнению третьей степени 
с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу чтобы вспомнить алгоритм его решения.
Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: .
Разделив выражение 
на двучлен x-1
, имеем:
Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения 
:
Теперь из чертежа стало видно, что фигура G
заключена выше синей и ниже красной линии на интервале 
. Таким образом, искомая площадь будет равна
Рассмотрим еще один характерный пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
и осью абсцисс.
Решение.
Сделаем чертеж.
Это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции 
можно получить из графика отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.
Найдем точки пересечения всех линий.
Ось абсцисс имеет уравнение y=0 .
Графики функций и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения .
Графики функций и y=0
пересекаются в точке (2;0)
, так как x=2
является единственным корнем уравнения 
.
Графики функций и пересекаются в точке (1;1)
, так как x=1
является единственным корнем уравнения 
. Это утверждение не совсем очевидно, но - функция строго возрастающая, а - строго убывающая, поэтому, уравнение имеет не более одного корня.
Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида 
. То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y
, а черной линией .
Определим точки пересечения линий.
Начнем с графиков функций и :
Найдем точку пересечения графиков функций и :
Осталось найти точку пересечения прямых и :
Как видите, значения совпадают.
Подведем итог.
Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле
Пример 9.
Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
и осью .
Решение
. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: 
, откуда , ; следовательно, , .
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (6)
В случае, если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .
Рис. 5
Решение
. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим , . Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве возьмем x , а в качестве – . Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.); 
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
|
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (рис. 9), то ее площадь находится по формуле
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
. (9)
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 11).
Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем
.
Рис. 10
Рис. 11
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис. 12), определяется по формуле
. (10)
|
Рис. 12
Пример 14 . Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х 2 = 4у , у = 4, х = 0 (рис. 13).
Решение . В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:
Рис. 13
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 14).
Рис. 14
Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
. (11)
Пример 15
. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых 
.
Решение
. Из условия задачи имеем 
. По формуле (11) получаем:
.
4. Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия определённого интеграла предполага-лось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и являются конечными;
б) подынтегральная функция ограничена на отрезке .
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным .
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала . Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
;г) 
= [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = 
[замена:
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .