Le ta zgjidhim problemin. Kemi dy lloje biskotash. Disa janë çokollatë dhe disa janë të thjeshta. Janë 48 copa çokollatë dhe 36 të thjeshta.Duhet të bëni sa më shumë dhurata nga këto biskota dhe duhet të përdoren të gjitha.
Së pari, le të shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e secilit prej këtyre dy numrave, pasi që të dy këta numra duhet të jenë të pjesëtueshëm me numrin e dhuratave.
marrim
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Le të gjejmë ndër pjesëtuesit të përbashkëtat që kanë edhe numri i parë edhe numri i dytë.
Pjesëtuesit e zakonshëm do të jenë: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët nga të gjithë është 12. Ky numër quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i 36 dhe 48.
Bazuar në rezultatin, mund të konkludojmë se 12 dhurata mund të bëhen nga të gjitha biskotat. Një dhuratë e tillë do të përmbajë 4 biskota me çokollatë dhe 3 biskota të zakonshme.
Gjetja e pjesëtuesit më të madh të përbashkët
- Numri më i madh natyror me të cilin pjesëtohen dy numra a dhe b pa mbetje quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave.
Ndonjëherë shkurtesa GCD përdoret për të shkurtuar hyrjen.
Disa çifte numrash kanë një pjesëtues më të madh të përbashkët. Numra të tillë quhen numrat koprim. Për shembull, numrat 24 dhe 35. Keni GCD =1.
Si të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët
Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët, nuk është e nevojshme të shkruhen të gjithë pjesëtuesit e këtyre numrave.
Ju mund të bëni ndryshe. Së pari, faktorizoni të dy numrat në faktorë të thjeshtë.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Tani, nga faktorët që përfshihen në zgjerimin e numrit të parë, fshijmë të gjithë ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë. Në rastin tonë, këto janë dy deuce.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Mbeten faktorët 2, 2 dhe 3. Prodhimi i tyre është 12. Ky numër do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 48 dhe 36.
Ky rregull mund të shtrihet në rastin e tre, katër, e kështu me radhë. numrat.
Skema e përgjithshme për gjetjen e pjesëtuesit më të madh të përbashkët
- 1. Zbërthen numrat në faktorë të thjeshtë.
- 2. Nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej këtyre numrave, kryqëzoni ata që nuk përfshihen në zgjerimin e numrave të tjerë.
- 3. Njehsoni prodhimin e faktorëve të mbetur.
Gjetja e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të tre ose më shumë numrave mund të reduktohet në gjetjen e njëpasnjëshme të gcd-së së dy numrave. Ne e përmendëm këtë kur studiojmë vetitë e GCD. Aty formuluam dhe vërtetuam teoremën: pjesëtuesi më i madh i përbashkët i disa numrave a 1, a 2, …, a k është e barabartë me numrin dk, e cila gjendet në llogaritjen sekuenciale GCD(a 1, a 2)=d 2, GCD(d 2, a 3)=d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4, …,GCD(d k-1, a k)=d k.
Le të shohim se si duket procesi i gjetjes së GCD të disa numrave duke marrë parasysh zgjidhjen e shembullit.
Shembull.
Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të katër numrave 78 , 294 , 570 dhe 36 .
Vendimi.
Në këtë shembull a 1 = 78, a2=294, a 3 \u003d 570, a4=36.
Së pari, duke përdorur algoritmin e Euklidit, ne përcaktojmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët d2 dy numrat e parë 78 dhe 294 . Kur pjesëtojmë, marrim barazitë 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6 dhe 18=6 3. Kështu, d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.
Tani le të llogarisim d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Le të përdorim përsëri algoritmin e Euklidit: 570=6 95, prandaj, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.
Mbetet për të llogaritur d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Si 36 i ndarë nga 6 , pastaj d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
Pra, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i katër numrave të dhënë është d4=6, d.m.th. gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Përgjigje:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Zbërthimi i numrave në faktorë të thjeshtë ju lejon gjithashtu të llogaritni GCD-në e tre ose më shumë numrave. Në këtë rast, pjesëtuesi më i madh i përbashkët gjendet si prodhim i të gjithë faktorëve të thjeshtë të thjeshtë të numrave të dhënë.
Shembull.
Llogaritni GCD-në e numrave nga shembulli i mëparshëm duke përdorur faktorizimin e thjeshtë.
Vendimi.
Le t'i zbërthejmë numrat 78 , 294 , 570 dhe 36 në faktorët kryesorë, marrim 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. Faktorët kryesorë të përbashkët të të katër numrave të dhënë janë numrat 2 dhe 3 . Prandaj, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.
Përgjigje:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Në krye të faqes
Gjetja e gcd-së së numrave negativë
Nëse një, disa ose të gjithë numrat, pjesëtuesi më i madh i të cilëve duhet gjetur janë numra negativë, atëherë gcd-ja e tyre është e barabartë me pjesëtuesin më të madh të përbashkët të moduleve të këtyre numrave. Kjo për shkak se numrat e kundërt a dhe -a kanë pjesëtues të njëjtë, për të cilët diskutuam gjatë studimit të vetive të pjesëtueshmërisë.
Shembull.
Gjeni gcd-në e numrave të plotë negativë −231 dhe −140 .
Vendimi.
Vlera absolute e një numri −231 barazohet 231 , dhe moduli i numrit −140 barazohet 140 , dhe gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). Algoritmi i Euklidit na jep barazitë e mëposhtme: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 dhe 42=7 6. Prandaj, gcd(231, 140)=7. Pastaj pjesëtuesi më i madh i dëshiruar i numrave negativë −231 dhe −140 barazohet 7 .
Përgjigje:
GCD(−231,−140)=7.
Shembull.
Përcaktoni gcd-në e tre numrave −585 , 81 dhe −189 .
Vendimi.
Kur gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët, numrat negativë mund të zëvendësohen me vlerat e tyre absolute, d.m.th. gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). Zgjerimet e numrave 585 , 81 dhe 189 në faktorët kryesorë janë përkatësisht të formës 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3 dhe 189=3 3 3 7. Faktorët kryesorë të përbashkët të këtyre tre numrave janë 3 dhe 3 . Pastaj GCD(585, 81, 189)=3 3=9, prandaj, gcd(−585, 81, −189)=9.
Përgjigje:
gcd(−585, 81, −189)=9.
35. Rrënjët e një polinomi. Teorema e Bezout. (33 e lart)
36. Rrënjët e shumëfishta, kriteri i shumëzimit të rrënjës.
Le të vazhdojmë diskutimin rreth shumëfishit më të vogël të përbashkët që filluam në seksionin LCM - Shumëfishi më i Parë i Përbashkët, Përkufizimi, Shembuj. Në këtë temë, ne do të shqyrtojmë mënyrat për të gjetur LCM për tre numra ose më shumë, do të analizojmë pyetjen se si të gjejmë LCM të një numri negativ.
Llogaritja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) përmes gcd
Ne kemi vendosur tashmë marrëdhënien midis shumëfishit më të vogël të përbashkët dhe pjesëtuesit më të madh të përbashkët. Tani le të mësojmë se si të përcaktojmë LCM përmes GCD. Së pari, le të kuptojmë se si ta bëjmë këtë për numrat pozitivë.
Përkufizimi 1
Mund të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët përmes pjesëtuesit më të madh të përbashkët duke përdorur formulën LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Shembulli 1
Është e nevojshme të gjendet LCM e numrave 126 dhe 70.
Vendimi
Le të marrim a = 126 , b = 70 . Zëvendësoni vlerat në formulën për llogaritjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët përmes pjesëtuesit më të madh të përbashkët LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Gjen GCD-në e numrave 70 dhe 126. Për këtë na duhet algoritmi Euklidit: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , pra gcd (126 , 70) = 14 .
Le të llogarisim LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Përgjigje: LCM (126, 70) = 630.
Shembulli 2
Gjeni nok të numrave 68 dhe 34.
Vendimi
GCD në këtë rast është e lehtë për t'u gjetur, pasi 68 pjesëtohet me 34. Llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët duke përdorur formulën: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Përgjigje: LCM(68, 34) = 68.
Në këtë shembull, ne kemi përdorur rregullin për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave të plotë pozitiv a dhe b: nëse numri i parë është i pjesëtueshëm me të dytin, atëherë LCM e këtyre numrave do të jetë e barabartë me numrin e parë.
Gjetja e LCM me faktorizimin e numrave në faktorët kryesorë
Tani le të shohim një mënyrë për të gjetur LCM, e cila bazohet në zbërthimin e numrave në faktorë të thjeshtë.
Përkufizimi 2
Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, duhet të kryejmë një numër hapash të thjeshtë:
- ne krijojmë prodhimin e të gjithë faktorëve të thjeshtë të numrave për të cilët duhet të gjejmë LCM;
- ne përjashtojmë të gjithë faktorët kryesorë nga produktet e tyre të marra;
- produkti i përftuar pas eliminimit të faktorëve të thjeshtë të zakonshëm do të jetë i barabartë me LCM të numrave të dhënë.
Kjo mënyrë e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët bazohet në barazinë LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Nëse shikoni formulën, bëhet e qartë: prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve që përfshihen në zgjerimin e këtyre dy numrave. Në këtë rast, GCD e dy numrave është e barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të thjeshtë që janë njëkohësisht të pranishëm në faktorizimet e këtyre dy numrave.
Shembulli 3
Kemi dy numra 75 dhe 210. Ne mund t'i konsiderojmë ato si kjo: 75 = 3 5 5 dhe 210 = 2 3 5 7. Nëse bëni produktin e të gjithë faktorëve të dy numrave origjinalë, merrni: 2 3 3 5 5 5 7.
Nëse përjashtojmë faktorët e përbashkët për të dy numrat 3 dhe 5, marrim një produkt të formës së mëposhtme: 2 3 5 5 7 = 1050. Ky produkt do të jetë LCM-ja jonë për numrat 75 dhe 210.
Shembulli 4
Gjeni LCM-në e numrave 441 dhe 700 , duke i zbërthyer të dy numrat në faktorë të thjeshtë.
Vendimi
Le të gjejmë të gjithë faktorët kryesorë të numrave të dhënë në kusht:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Marrim dy zinxhirë numrash: 441 = 3 3 7 7 dhe 700 = 2 2 5 5 7 .
Produkti i të gjithë faktorëve që morën pjesë në zgjerimin e këtyre numrave do të duket kështu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Le të gjejmë faktorët e përbashkët. Ky numër është 7. Ne e përjashtojmë atë nga produkti i përgjithshëm: 2 2 3 3 5 5 7 7. Rezulton se KOKSH (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Përgjigje: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Le të japim një formulim më shumë të metodës për gjetjen e LCM duke zbërthyer numrat në faktorë të thjeshtë.
Përkufizimi 3
Më parë, ne përjashtuam nga numri i përgjithshëm i faktorëve të përbashkët për të dy numrat. Tani do ta bëjmë ndryshe:
- Le t'i zbërthejmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë:
- shtoj në prodhimin e faktorëve të thjeshtë të numrit të parë faktorët që mungojnë të numrit të dytë;
- marrim produktin, i cili do të jetë LCM e dëshiruar e dy numrave.
Shembulli 5
Le të kthehemi te numrat 75 dhe 210, për të cilët kemi kërkuar tashmë për LCM në një nga shembujt e mëparshëm. Le t'i ndajmë ato në faktorë të thjeshtë: 75 = 3 5 5 dhe 210 = 2 3 5 7. Në produktin e faktorëve 3, 5 dhe 5 numri 75 shtoni faktorët që mungojnë 2 dhe 7 numrat 210 . Ne marrim: 2 3 5 5 7 . Kjo është LCM e numrave 75 dhe 210.
Shembulli 6
Është e nevojshme të llogaritet LCM e numrave 84 dhe 648.
Vendimi
Le t'i zbërthejmë numrat nga kushti në faktorë të thjeshtë: 84 = 2 2 3 7 dhe 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. Shtoni në prodhimin e faktorëve 2 , 2 , 3 dhe 7
numrat 84 faktorët që mungojnë 2 , 3 , 3 dhe
3
numrat 648 . Ne marrim produktin 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ky është shumëfishi më i vogël i zakonshëm i 84 dhe 648.
Përgjigje: LCM (84, 648) = 4536.
Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave
Pavarësisht se me sa numra kemi të bëjmë, algoritmi i veprimeve tona do të jetë gjithmonë i njëjtë: ne do të gjejmë në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave. Ekziston një teoremë për këtë rast.
Teorema 1
Supozoni se kemi numra të plotë a 1, a 2, …, a k. NOC m k i këtyre numrave gjendet në llogaritjen sekuenciale m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Tani le të shohim se si mund të zbatohet teorema për probleme specifike.
Shembulli 7
Duhet të llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët të katër numrave 140 , 9 , 54 dhe 250 .
Vendimi
Le të prezantojmë shënimin: një 1 \u003d 140, një 2 \u003d 9, një 3 \u003d 54, një 4 \u003d 250.
Le të fillojmë duke llogaritur m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Le të përdorim algoritmin Euklidian për të llogaritur GCD-në e numrave 140 dhe 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Marrim: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Prandaj, m 2 = 1 260 .
Tani le të llogarisim sipas të njëjtit algoritëm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Gjatë llogaritjeve, marrim m 3 = 3 780.
Na mbetet të llogarisim m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ne veprojmë sipas të njëjtit algoritëm. Ne marrim m 4 \u003d 94 500.
LCM e katër numrave nga kushti i shembullit është 94500.
Përgjigje: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.
Siç mund ta shihni, llogaritjet janë të thjeshta, por mjaft të mundimshme. Për të kursyer kohë, mund të shkoni në anën tjetër.
Përkufizimi 4
Ne ju ofrojmë algoritmin e mëposhtëm të veprimeve:
- zbërthejë të gjithë numrat në faktorë të thjeshtë;
- prodhimit të faktorëve të numrit të parë, shtoni faktorët që mungojnë nga prodhimi i numrit të dytë;
- shtoni faktorët që mungojnë të numrit të tretë në produktin e marrë në fazën e mëparshme, etj.;
- produkti që rezulton do të jetë shumëfishi më i vogël i përbashkët i të gjithë numrave nga kushti.
Shembulli 8
Është e nevojshme të gjendet LCM e pesë numrave 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Vendimi
Le t'i zbërthejmë të pesë numrat në faktorë të thjeshtë: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Numrat e thjeshtë, që është numri 7, nuk mund të faktorizohen në faktorë të thjeshtë. Numra të tillë përkojnë me zbërthimin e tyre në faktorë të thjeshtë.
Tani le të marrim prodhimin e faktorëve të thjeshtë 2, 2, 3 dhe 7 të numrit 84 dhe t'u shtojmë atyre faktorët që mungojnë të numrit të dytë. Ne kemi zbërthyer numrin 6 në 2 dhe 3. Këta faktorë janë tashmë në produktin e numrit të parë. Prandaj, ne i anashkalojmë ato.
Vazhdojmë të shtojmë shumëzuesit që mungojnë. Ne i drejtohemi numrit 48, nga prodhimi i faktorëve kryesorë nga të cilët marrim 2 dhe 2. Pastaj shtojmë një faktor të thjeshtë 7 nga numri i katërt dhe faktorët 11 dhe 13 të të pestës. Ne marrim: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ky është shumëfishi më i vogël i përbashkët i pesë numrave origjinalë.
Përgjigje: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave negativë
Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave negativë, këta numra duhet së pari të zëvendësohen me numra me shenjën e kundërt dhe më pas të kryhen llogaritjet duke përdorur algoritmet e mësipërme.
Shembulli 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) dhe LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Veprimet e tilla lejohen për faktin se nëse pranohet se a dhe − a- numra të kundërt
atëherë bashkësia e shumëfishave a përkon me bashkësinë e shumëfishave të një numri − a.
Shembulli 10
Është e nevojshme të llogaritet LCM e numrave negativë − 145 dhe − 45 .
Vendimi
Le të ndryshojmë numrat − 145 dhe − 45 me numrat e tyre të kundërt 145 dhe 45 . Tani, duke përdorur algoritmin, ne llogarisim LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, pasi kemi përcaktuar më parë GCD duke përdorur algoritmin Euklidi.
Marrim se LCM e numrave − 145 dhe − 45 barazohet 1 305 .
Përgjigje: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Per te gjetur shumëfishi më pak i zakonshëm(NOC) dhe pjesëtuesi më i madh i përbashkët(gcd) e dy numrave përdorin tonë kalkulator online ohm:
Futni numrat: dhe
NOC:
GCD:
Përcaktoni
Thjesht futni numrat dhe merrni rezultatin.
Si të gjeni LCM-në e dy numrave
Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i dy ose më shumë numrave është numri më i vogël që mund të pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave pa mbetje.
Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të dy numrave, mund të përdorni algoritmin e mëposhtëm (klasa 5):
- Të dy numrat (numri më i madh në fillim).
- Krahasoni faktorët e numrit më të madh me faktorët e numrit më të vogël. Zgjidhni të gjithë faktorët e numrit më të vogël që nuk i ka më i madhi.
- Le t'i shtojmë faktorët e zgjedhur të numrit më të vogël me faktorët e atij më të madh.
- Ne gjejmë LCM duke shumëzuar serinë e faktorëve të marrë në paragrafin 3.
Shembull
Për shembull, ne përcaktojmë LCM-në e numrave 8 dhe 22 .
1) Le ta ndajmë atë në faktorët kryesorë:
2) Le të zgjedhim të gjithë faktorët e 8, të cilët nuk janë në 22:
8 = 2⋅2 ⋅2
3) Le të shtojmë shumëzuesit e zgjedhur të 8 në shumëzuesit e 22:
LCM (8; 22) = 2 11 2 · 2
4) Ne llogarisim LCM:
NOC (8; 22)= 2 11 2 2 = 88
Si të gjeni GCD-në e dy numrave
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) i dy ose më shumë numrave është numri i plotë natyror më i madh me të cilin këta numra mund të ndahen pa mbetje.
Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) të dy numrave, së pari duhet t'i faktorizoni në faktorë të thjeshtë. Atëherë duhet të nënvizoni faktorët e përbashkët që kanë si numri i parë ashtu edhe i dyti. Ne i shumëzojmë ato - kjo do të jetë GCD. Për të kuptuar më mirë algoritmin, merrni parasysh një shembull:
Shembull
Për shembull, le të përcaktojmë GCD-në e numrave 20 dhe 30 .
20 = 2 ⋅2⋅5
30 = 2 ⋅3⋅5
GCD (20,30) = 2⋅5 = 10
Quhet numri më i madh natyror me të cilin numrat a dhe b pjesëtohen pa mbetje pjesëtuesi më i madh i përbashkët këta numra. Shënoni GCD(a, b).
Le të shqyrtojmë gjetjen e GCD në shembullin e dy numrat natyrorë 18 dhe 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 dhe 432
Le t'i zbërthejmë numrat në faktorët kryesorë:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Fshij nga numri i parë, faktorët e të cilit nuk janë në numrin e dytë dhe të tretë, marrim:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Si rezultat i GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Gjetja e GCD me Algoritmin e Euklidit
Mënyra e dytë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët duke përdorur Algoritmi i Euklidit. Algoritmi i Euklidit është më i madhi mënyrë efektive gjetjen GCD, duke e përdorur atë ju duhet të gjeni vazhdimisht pjesën e mbetur të ndarjes së numrave dhe të aplikoni formula e përsëritur.
Formula e përsëritur për GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), ku një mod b është pjesa e mbetur e pjesëtimit të a me b.
Algoritmi i Euklidit
Shembull Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 7920 dhe 594
Le të gjejmë GCD ( 7920 , 594 ) duke përdorur algoritmin e Euklidit, ne do të llogarisim pjesën e mbetur të pjesëtimit duke përdorur një kalkulator.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Si rezultat, marrim GCD( 7920 , 594 ) = 198
Shumëfishi më pak i zakonshëm
Për të gjetur një emërues të përbashkët gjatë mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me emërues të ndryshëm, duhet të dini dhe të jeni në gjendje të llogaritni shumëfishi më pak i zakonshëm(NOC).
Një shumëfish i numrit "a" është një numër që në vetvete është i pjesëtueshëm me numrin "a" pa mbetje.
Numrat që janë shumëfish të 8 (d.m.th., këta numra do të ndahen me 8 pa mbetje): këta janë numrat 16, 24, 32 ...
Shumëfishat e 9: 18, 27, 36, 45…
Ka pafundësisht shumëfisha të një numri të caktuar a, në ndryshim nga pjesëtuesit e të njëjtit numër. Pjesëtuesit - një numër i kufizuar.
Një shumëfish i përbashkët i dy numrave natyrorë është një numër që pjesëtohet në mënyrë të barabartë me të dy këta numra..
Shumëfishi më pak i zakonshëm(LCM) i dy ose më shumë numrave natyrorë është numri më i vogël natyror që është në vetvete i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave.
Si të gjeni NOC
LCM mund të gjendet dhe shkruhet në dy mënyra.
Mënyra e parë për të gjetur LCM
Kjo metodë përdoret zakonisht për numra të vegjël.
- Ne shkruajmë shumëfishat për secilin nga numrat në një rresht derisa të ketë një shumëfish që është i njëjtë për të dy numrat.
- Një shumëfish i "a" shënohet shkronje e madhe"TO".
Shembull. Gjeni LCM 6 dhe 8.
Mënyra e dytë për të gjetur LCM
Kjo metodë është e përshtatshme për t'u përdorur për të gjetur LCM për tre ose më shumë numra.
Numri i faktorëve identikë në zgjerimet e numrave mund të jetë i ndryshëm.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Përgjigje: LCM (24, 60) = 120
Ju gjithashtu mund të zyrtarizoni gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) si më poshtë. Le të gjejmë LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Siç mund të shohim nga zgjerimi i numrave, të gjithë faktorët e 12 përfshihen në zgjerimin e 24 (më i madhi i numrave), kështu që ne i shtojmë vetëm një 2 nga zgjerimi i numrit 16 në LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Përgjigje: LCM (12, 16, 24) = 48
Raste të veçanta të gjetjes së NOC-ve
Për shembull, LCM(60, 15) = 60
Meqenëse numrat e përbashkët nuk kanë pjesëtues të thjeshtë të përbashkët, shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është i barabartë me produktin e këtyre numrave.
Në faqen tonë, ju gjithashtu mund të përdorni një kalkulator të veçantë për të gjetur shumëfishin më pak të zakonshëm në internet për të kontrolluar llogaritjet tuaja.
Nëse një numër natyror plotpjesëtohet vetëm me 1 dhe me vetveten, atëherë ai quhet i thjeshtë.
Çdo numër natyror është gjithmonë i pjesëtueshëm me 1 dhe me vetveten.
Numri 2 është numri më i vogël i thjeshtë. Ky është i vetmi numër i thjeshtë çift, pjesa tjetër e numrave të thjeshtë janë tek.
Ka shumë numra të thjeshtë, dhe i pari prej tyre është numri 2. Megjithatë, nuk ka numër të fundit kryesor. Në seksionin "Për studim", mund të shkarkoni një tabelë me numra të thjeshtë deri në 997.
Por shumë numra natyrorë janë të pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me numra të tjerë natyrorë.
- numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;
- 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.
- të zbërthejë pjesëtuesit e numrave në faktorë të thjeshtë;
Numrat me të cilët numri pjesëtohet në mënyrë të barabartë (për 12 këto janë 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtues të numrit.
Pjesëtuesi i një numri natyror a është një numër i tillë natyror që e pjesëton numrin e dhënë "a" pa mbetje.
Një numër natyror që ka më shumë se dy faktorë quhet numër i përbërë.
Vini re se numrat 12 dhe 36 kanë pjesëtues të përbashkët. Këta janë numrat: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12.
Pjesëtuesi i përbashkët i dy numrave të dhënë "a" dhe "b" është numri me të cilin të dy numrat e dhënë "a" dhe "b" ndahen pa mbetje.
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët(GCD) i dy numrave të dhënë "a" dhe "b" është numri më i madh me të cilin të dy numrat "a" dhe "b" janë të pjesëtueshëm pa mbetje.
Shkurtimisht, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave "a" dhe "b" shkruhet si më poshtë:
Shembull: gcd (12; 36) = 12 .
Pjesëtuesit e numrave në rekordin e zgjidhjes shënohen me shkronjën e madhe "D".
Numrat 7 dhe 9 kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Numra të tillë quhen numrat koprim.
Numrat e dyfishtë janë numra natyrorë që kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. GCD e tyre është 1.
Si të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët
Për të gjetur gcd-në e dy ose më shumë numrave natyrorë ju nevojiten:
Llogaritjet shkruhen me lehtësi duke përdorur një shirit vertikal. Në të majtë të rreshtit, së pari shkruani dividentin, në të djathtë - pjesëtuesin. Më tej në kolonën e majtë shkruajmë vlerat e privates.
Le të shpjegojmë menjëherë me një shembull. Le të faktorizojmë numrat 28 dhe 64 në faktorë të thjeshtë.
- Nënvizoni të njëjtët faktorë të thjeshtë në të dy numrat.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Gjejmë produktin e faktorëve të thjeshtë identikë dhe shkruajmë përgjigjen;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Përgjigje: GCD (28; 64) = 4
Ju mund të rregulloni vendndodhjen e GCD në dy mënyra: në një kolonë (siç u bë më lart) ose "në një rresht".
Mënyra e parë për të shkruar GCD
Gjeni GCD 48 dhe 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Mënyra e dytë për të shkruar GCD
Tani le të shkruajmë zgjidhjen e kërkimit GCD në një rresht. Gjeni GCD 10 dhe 15.
Në faqen tonë të informacionit, ju gjithashtu mund të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët në internet duke përdorur programin ndihmës për të kontrolluar llogaritjet tuaja.
Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët, metodat, shembujt e gjetjes së LCM.
Materiali i paraqitur më poshtë është një vazhdim logjik i teorisë nga artikulli nën titullin LCM - Shumëfishi më pak i zakonshëm, përkufizimi, shembuj, marrëdhëniet midis LCM dhe GCD. Këtu do të flasim për gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM), dhe Vëmendje e veçantë Le t'i hedhim një sy shembujve. Le të tregojmë fillimisht se si llogaritet LCM e dy numrave në terma të GCD të këtyre numrave. Më pas, merrni parasysh gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në gjetjen e LCM të tre ose më shumë numrave, dhe gjithashtu do t'i kushtojmë vëmendje llogaritjes së LCM të numrave negativë.
Navigimi i faqes.
Llogaritja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) përmes gcd
Një mënyrë për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në marrëdhënien midis LCM dhe GCD. Marrëdhënia ekzistuese midis LCM dhe GCD ju lejon të llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të plotë pozitivë përmes pjesëtuesit të përbashkët më të madh të njohur. Formula përkatëse ka formën LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Konsideroni shembuj të gjetjes së LCM sipas formulës së mësipërme.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave 126 dhe 70.
Në këtë shembull a=126 , b=70 . Le të përdorim lidhjen e LCM me GCD, e cila shprehet me formulën LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Domethënë, së pari duhet të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 70 dhe 126, pas së cilës mund të llogarisim LCM-në e këtyre numrave sipas formulës së shkruar.
Gjeni gcd(126, 70) duke përdorur algoritmin e Euklidit: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4, pra gcd(126, 70)=14.
Tani gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të kërkuar: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Çfarë është LCM(68, 34)?
Meqenëse 68 pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 34, atëherë gcd(68, 34)=34. Tani llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Vini re se shembulli i mëparshëm i përshtatet rregullit të mëposhtëm për gjetjen e LCM për numrat e plotë pozitivë a dhe b: nëse numri a është i pjesëtueshëm me b, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është a.
Gjetja e LCM me faktorizimin e numrave në faktorët kryesorë
Një mënyrë tjetër për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë. Nëse bëjmë një prodhim të të gjithë faktorëve të thjeshtë të këtyre numrave, pas së cilës përjashtojmë nga ky prodhim të gjithë faktorët e thjeshtë të zakonshëm që janë të pranishëm në zgjerimet e këtyre numrave, atëherë prodhimi që rezulton do të jetë i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.
Rregulli i shpallur për gjetjen e LCM rrjedh nga barazia LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Në të vërtetë, prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me prodhimin e të gjithë faktorëve të përfshirë në zgjerimin e numrave a dhe b. Nga ana tjetër, gcd(a, b) është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të thjeshtë që janë njëkohësisht të pranishëm në zgjerimet e numrave a dhe b (i cili përshkruhet në seksionin për gjetjen e gcd duke përdorur zbërthimin e numrave në faktorë të thjeshtë ).
Le të marrim një shembull. Le të dimë se 75=3 5 5 dhe 210=2 3 5 7 . Përbëni prodhimin e të gjithë faktorëve të këtyre zgjerimeve: 2 3 3 5 5 5 7 . Tani përjashtojmë nga ky produkt të gjithë faktorët që janë të pranishëm si në zgjerimin e numrit 75 ashtu edhe në zgjerimin e numrit 210 (faktorë të tillë janë 3 dhe 5), atëherë produkti do të marrë formën 2 3 5 5 7 . Vlera e këtij produkti është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të 75 dhe 210, pra LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Pas faktorizimit të numrave 441 dhe 700 në faktorë të thjeshtë, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.
Le t'i zbërthejmë numrat 441 dhe 700 në faktorë të thjeshtë: 
Marrim 441=3 3 7 7 dhe 700=2 2 5 5 7 .
Tani le të bëjmë një produkt të të gjithë faktorëve të përfshirë në zgjerimin e këtyre numrave: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Le të përjashtojmë nga ky produkt të gjithë faktorët që janë njëkohësisht të pranishëm në të dy zgjerimet (ka vetëm një faktor i tillë - ky është numri 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Pra LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Rregulli për gjetjen e LCM duke përdorur zbërthimin e numrave në faktorë të thjeshtë mund të formulohet pak më ndryshe. Nëse i shtojmë faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit b me faktorët nga zgjerimi i numrit a, atëherë vlera e prodhimit që rezulton do të jetë e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave a dhe b.
Për shembull, le të marrim të gjithë numrat e njëjtë 75 dhe 210, zgjerimet e tyre në faktorë të thjeshtë janë si më poshtë: 75=3 5 5 dhe 210=2 3 5 7 . Faktorëve 3, 5 dhe 5 nga zbërthimi i numrit 75, u shtojmë faktorët 2 dhe 7 që mungojnë nga zbërthimi i numrit 210, fitojmë prodhimin 2 3 5 5 7 , vlera e të cilit është LCM(75 , 210).
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 84 dhe 648.
Fillimisht marrim zbërthimin e numrave 84 dhe 648 në faktorë të thjeshtë. Ato duken si 84=2 2 3 7 dhe 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorëve 2 , 2 , 3 dhe 7 nga zbërthimi i numrit 84 u shtojmë faktorët 2 , 3 , 3 dhe 3 që mungojnë nga zbërthimi i numrit 648 , fitojmë prodhimin 2 2 2 3 3 3 3 7 , që është e barabartë me 4 536 . Kështu, shumëfishi më i vogël i përbashkët i dëshiruar i numrave 84 dhe 648 është 4,536.
Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave
Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave mund të gjendet duke gjetur në mënyrë të njëpasnjëshme LCM-në e dy numrave. Kujtoni teoremën përkatëse, e cila jep një mënyrë për të gjetur LCM të tre ose më shumë numrave.
Le të jepen numrat e plotë pozitiv a 1 , a 2 , …, a k, shumëfishi më i vogël i përbashkët m k i këtyre numrave gjendet në llogaritjen vijuese m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Shqyrtoni zbatimin e kësaj teoreme në shembullin e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët të katër numrave.
Gjeni LCM të katër numrave 140 , 9 , 54 dhe 250 .
Së pari gjejmë m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Për ta bërë këtë, duke përdorur algoritmin Euklidian, përcaktojmë gcd(140, 9) , kemi 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , pra, gcd( 140, 9)=1, prej nga LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Domethënë m 2 =1 260 .
Tani gjejmë m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Le ta llogarisim përmes GCD(1 260, 54) , i cili përcaktohet edhe nga algoritmi Euklidian: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Pastaj gcd(1 260, 54)=18, prej nga LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Kjo është, m 3 \u003d 3 780.
Mbetet për të gjetur m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Për ta bërë këtë, gjejmë GCD(3 780, 250) duke përdorur algoritmin e Euklidit: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prandaj, gcd(3 780, 250)=10, pra LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Kjo është, m 4 \u003d 94 500.
Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i katër numrave origjinalë është 94,500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
Në shumë raste, shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave gjendet lehtësisht duke përdorur faktorizimin e thjeshtë të numrave të dhënë. Në këtë rast, duhet të ndiqet rregulli i mëposhtëm. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave është i barabartë me produktin, i cili përbëhet si më poshtë: faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë u shtohen të gjithë faktorëve nga zgjerimi i numrit të parë, faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numri i tretë u shtohet faktorëve të përftuar, e kështu me radhë.
Shqyrtoni një shembull të gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët duke përdorur zbërthimin e numrave në faktorë të thjeshtë.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të pesë numrave 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Së pari, marrim zbërthimin e këtyre numrave në faktorë të thjeshtë: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 është një numër i thjeshtë, përkon me zbërthimin e tij në faktorë të thjeshtë) dhe 143=11 13 .
Për të gjetur LCM-në e këtyre numrave, faktorëve të numrit të parë 84 (ata janë 2, 2, 3 dhe 7) duhet të shtoni faktorët që mungojnë nga zbërthimi i numrit të dytë 6. Zgjerimi i numrit 6 nuk përmban faktorë që mungojnë, pasi edhe 2 edhe 3 janë tashmë të pranishëm në zgjerimin e numrit të parë 84 . Më tej faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 shtojmë faktorët që mungojnë 2 dhe 2 nga zgjerimi i numrit të tretë 48, marrim një grup faktorësh 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7. Nuk ka nevojë të shtoni faktorë në këtë grup në hapin tjetër, pasi 7 është tashmë i përfshirë në të. Së fundi, faktorëve 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dhe 7 u shtojmë faktorët që mungojnë 11 dhe 13 nga zgjerimi i numrit 143 . Marrim produktin 2 2 2 2 3 7 11 13, i cili është i barabartë me 48 048.
Prandaj, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave negativë
Ndonjëherë ka detyra në të cilat ju duhet të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave, ndër të cilët një, disa ose të gjithë numrat janë negativë. Në këto raste, të gjithë numrat negativë duhet të zëvendësohen me numrat e tyre të kundërt, pas së cilës duhet të gjendet LCM e numrave pozitivë. Kjo është mënyra për të gjetur LCM të numrave negativë. Për shembull, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) dhe LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Ne mund ta bëjmë këtë sepse bashkësia e shumëfishave të a është e njëjtë me bashkësinë e shumëfishave të −a (a dhe −a janë numra të kundërt). Në të vërtetë, le të jetë b një shumëfish i a-së, atëherë b është i pjesëtueshëm me a, dhe koncepti i pjesëtueshmërisë pohon ekzistencën e një numri të tillë të plotë q që b=a q . Por barazia b=(−a)·(−q) do të jetë gjithashtu e vërtetë, e cila, në bazë të të njëjtit koncept të pjesëtueshmërisë, do të thotë se b është i pjesëtueshëm me −a, domethënë, b është një shumëfish i −a. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse b është një shumëfish i −a, atëherë b është gjithashtu një shumëfish i a.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave negativë −145 dhe −45.
Le të zëvendësojmë numrat negativë −145 dhe −45 me numrat e tyre të kundërt 145 dhe 45. Kemi LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Pasi kemi përcaktuar gcd(145, 45)=5 (për shembull, duke përdorur algoritmin Euklid), ne llogarisim LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Kështu, shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të plotë negativ −145 dhe −45 është 1,305.
www.cleverstudents.ru
Ne vazhdojmë të studiojmë ndarjen. AT këtë mësim Ne do të shqyrtojmë koncepte të tilla si GCD dhe NOC.
GCDështë pjesëtuesi më i madh i përbashkët.
NOCështë shumëfishi më i vogël i përbashkët.
Tema është mjaft e mërzitshme, por duhet kuptuar. Pa e kuptuar këtë temë, nuk do të mund të punoni efektivisht me thyesat, të cilat janë një pengesë e vërtetë në matematikë.
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët
Përkufizimi. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a dhe b a dhe b ndahet pa mbetje.
Për të kuptuar mirë këtë përkufizim, ne zëvendësojmë në vend të variablave a dhe bçdo dy numra, për shembull, në vend të një ndryshoreje a zëvendësoni numrin 12, dhe në vend të ndryshores b numri 9. Tani le të përpiqemi të lexojmë këtë përkufizim:
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 12 dhe 9 është numri më i madh me të cilin 12 dhe 9 ndahet pa mbetje.
Nga përkufizimi është e qartë se ne po flasim për një pjesëtues të përbashkët të numrave 12 dhe 9, dhe ky pjesëtues është më i madhi nga të gjithë pjesëtuesit ekzistues. Duhet të gjendet ky pjesëtues më i madh i përbashkët (gcd).
Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave, përdoren tre metoda. Metoda e parë kërkon mjaft kohë, por ju lejon të kuptoni mirë thelbin e temës dhe të ndjeni të gjithë kuptimin e saj.
Metodat e dyta dhe të treta janë mjaft të thjeshta dhe bëjnë të mundur gjetjen e shpejtë të GCD. Ne do të shqyrtojmë të tre metodat. Dhe çfarë të aplikoni në praktikë - ju zgjidhni.
Mënyra e parë është të gjeni të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të dy numrave dhe të zgjidhni më të madhin prej tyre. Le ta shqyrtojmë këtë metodë në shembullin e mëposhtëm: gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 12 dhe 9.
Së pari, gjejmë të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të numrit 12. Për ta bërë këtë, ne ndajmë 12 në të gjithë pjesëtuesit në rangun nga 1 deri në 12. Nëse pjesëtuesi na lejon të ndajmë 12 pa mbetje, atëherë do ta theksojmë me blu dhe bëni një shpjegim të përshtatshëm në kllapa.
12: 1 = 12
(12 pjesëtohet me 1 pa mbetje, pra 1 është pjesëtues i 12)
12: 2 = 6
(12 pjesëtohet me 2 pa mbetje, pra 2 është pjesëtues i 12)
12: 3 = 4
(12 pjesëtohet me 3 pa mbetje, pra 3 është pjesëtues i 12)
12: 4 = 3
(12 pjesëtohet me 4 pa mbetje, pra 4 është pjesëtues i 12)
12:5 = 2 (2 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 5 pa mbetje, pra 5 nuk është pjesëtues i 12)
12: 6 = 2
(12 pjesëtohet me 6 pa mbetje, pra 6 është pjesëtues i 12)
12: 7 = 1 (5 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 7 pa mbetje, pra 7 nuk është pjesëtues i 12)
12: 8 = 1 (4 të mbetur)
(12 nuk pjesëtohet me 8 pa mbetje, pra 8 nuk është pjesëtues i 12)
12:9 = 1 (3 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 9 pa mbetje, pra 9 nuk është pjesëtues i 12)
12: 10 = 1 (2 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 10 pa mbetje, pra 10 nuk është pjesëtues i 12)
12:11 = 1 (1 mbetur)
(12 nuk pjesëtohet me 11 pa mbetje, pra 11 nuk është pjesëtues i 12)
12: 12 = 1
(12 pjesëtohet me 12 pa mbetje, pra 12 është pjesëtues i 12)
Tani le të gjejmë pjesëtuesit e numrit 9. Për ta bërë këtë, kontrolloni të gjithë pjesëtuesit nga 1 në 9
9: 1 = 9
(9 pjesëtuar me 1 pa mbetje, pra 1 është pjesëtues i 9)
9: 2 = 4 (1 mbetur)
(9 nuk pjesëtohet me 2 pa mbetje, pra 2 nuk është pjesëtues i 9-ës)
9: 3 = 3
(9 pjesëtuar me 3 pa mbetje, pra 3 është pjesëtues i 9)
9: 4 = 2 (1 mbetur)
(9 nuk ndahet me 4 pa mbetje, pra 4 nuk është pjesëtues i 9-ës)
9:5 = 1 (4 të mbetur)
(9 nuk pjesëtohet me 5 pa mbetje, pra 5 nuk është pjesëtues i 9-ës)
9: 6 = 1 (3 të mbetura)
(9 nuk pjesëtohet me 6 pa mbetje, kështu që 6 nuk është pjesëtues i 9-ës)
9:7 = 1 (2 të mbetura)
(9 nuk pjesëtohet me 7 pa mbetje, pra 7 nuk është pjesëtues i 9-ës)
9:8 = 1 (1 mbetur)
(9 nuk pjesëtohet me 8 pa mbetje, pra 8 nuk është pjesëtues i 9-ës)
9: 9 = 1
(9 pjesëtuar me 9 pa mbetje, pra 9 është pjesëtues i 9)
Tani shkruani pjesëtuesit e të dy numrave. Numrat e theksuar me blu janë pjesëtuesit. Le t'i shkruajmë ato:
Pasi të keni shkruar pjesëtuesit, mund të përcaktoni menjëherë se cili është më i madhi dhe më i zakonshmi.
Sipas përkufizimit, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i 12 dhe 9 është numri me të cilin 12 dhe 9 pjesëtohen në mënyrë të barabartë. Pjesëtuesi më i madh dhe i përbashkët i numrave 12 dhe 9 është numri 3
Si numri 12 ashtu edhe numri 9 pjesëtohen me 3 pa mbetje:
Pra, gcd (12 dhe 9) = 3
Mënyra e dytë për të gjetur GCD
Tani merrni parasysh mënyrën e dytë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Thelbi i kësaj metode është zbërthimi i të dy numrave në faktorë të thjeshtë dhe shumëzimi i atyre të zakonshëm.
Shembulli 1. Gjeni GCD të numrave 24 dhe 18
Së pari, le të faktorizojmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë:
Tani ne shumëzojmë faktorët e tyre të përbashkët. Për të mos u ngatërruar, mund të nënvizohen faktorët e përbashkët.
Shikojmë zbërthimin e numrit 24. Faktori i parë i tij është 2. Po të njëjtin faktor kërkojmë në zbërthimin e numrit 18 dhe shohim që është edhe ai. I nënvizojmë të dyja:
Përsëri shikojmë zbërthimin e numrit 24. Faktori i dytë i tij është gjithashtu 2. Po kërkojmë të njëjtin faktor në zbërthimin e numrit 18 dhe shohim që nuk është aty për herë të dytë. Atëherë nuk theksojmë asgjë.
Dy të tjerat në zgjerimin e numrit 24 mungojnë edhe në zgjerimin e numrit 18.
Kalojmë te faktori i fundit në zbërthimin e numrit 24. Ky është faktori 3. Po të njëjtin faktor kërkojmë edhe në zbërthimin e numrit 18 dhe shohim që është edhe aty. Theksojmë të dyja të treja:
Pra, faktorët e përbashkët të numrave 24 dhe 18 janë faktorët 2 dhe 3. Për të marrë GCD, këta faktorë duhet të shumëzohen:
Pra, gcd (24 dhe 18) = 6
Mënyra e tretë për të gjetur GCD
Tani merrni parasysh mënyrën e tretë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Thelbi i kësaj metode qëndron në faktin se numrat që duhen kërkuar për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë. Më pas, nga zbërthimi i numrit të parë, fshihen faktorët që nuk përfshihen në zbërthimin e numrit të dytë. Numrat e mbetur në zgjerimin e parë shumëzohen dhe marrin GCD.
Për shembull, le të gjejmë GCD për numrat 28 dhe 16 në këtë mënyrë. Para së gjithash, ne i zbërthejmë këta numra në faktorët kryesorë:
Ne morëm dy zgjerime: dhe
Tani, nga zgjerimi i numrit të parë, fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin shtatë. Ne do ta fshijmë atë nga zgjerimi i parë:
Tani ne shumëzojmë faktorët e mbetur dhe marrim GCD:
Numri 4 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 28 dhe 16. Të dy këta numra janë të pjesëtueshëm me 4 pa mbetje:
Shembulli 2 Gjeni GCD të numrave 100 dhe 40
Duke marrë parasysh numrin 100
Duke marrë parasysh numrin 40
Kemi dy zgjerime:
Tani, nga zgjerimi i numrit të parë, fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin një pesë (ka vetëm një pesë). E fshijmë nga zbërthimi i parë
Shumëzoni numrat e mbetur:
Morëm përgjigjen 20. Pra, numri 20 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 100 dhe 40. Këta dy numra pjesëtohen me 20 pa mbetje:
GCD (100 dhe 40) = 20.
Shembulli 3 Gjeni gcd-në e numrave 72 dhe 128
Duke marrë parasysh numrin 72
Duke marrë parasysh numrin 128
2×2×2×2×2×2×2
Tani, nga zgjerimi i numrit të parë, fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin dy treshe (nuk ka fare). Ne i fshijmë ato nga zgjerimi i parë:
Morëm përgjigjen 8. Pra, numri 8 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 72 dhe 128. Këta dy numra janë të pjesëtueshëm me 8 pa mbetje:
GCD (72 dhe 128) = 8
Gjetja e GCD për numra të shumëfishtë
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët mund të gjendet për disa numra, dhe jo vetëm për dy. Për këtë, numrat që kërkohen për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë, pastaj gjendet prodhimi i faktorëve të thjeshtë të përbashkët të këtyre numrave.
Për shembull, le të gjejmë GCD për numrat 18, 24 dhe 36
Faktorizimi i numrit 18
Faktorizimi i numrit 24
Faktorizimi i numrit 36
Ne morëm tre zgjerime:
Tani zgjedhim dhe nënvizojmë faktorët e përbashkët në këta numra. Faktorët e përbashkët duhet të përfshihen në të tre numrat:
Ne shohim se faktorët e përbashkët për numrat 18, 24 dhe 36 janë faktorët 2 dhe 3. Duke shumëzuar këta faktorë, marrim GCD që kërkojmë:
Morëm përgjigjen 6. Pra, numri 6 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 18, 24 dhe 36. Këta tre numra pjesëtohen me 6 pa mbetje:
GCD (18, 24 dhe 36) = 6
Shembulli 2 Gjeni gcd për numrat 12, 24, 36 dhe 42
Le të faktorizojmë çdo numër. Pastaj gjejmë prodhimin e faktorëve të përbashkët të këtyre numrave.
Faktorizimi i numrit 12
Faktorimi i numrit 42
Ne morëm katër zgjerime:
Tani zgjedhim dhe nënvizojmë faktorët e përbashkët në këta numra. Faktorët e përbashkët duhet të përfshihen në të katër numrat:
Ne shohim se faktorët e përbashkët për numrat 12, 24, 36 dhe 42 janë faktorët 2 dhe 3. Duke shumëzuar këta faktorë, marrim GCD që kërkojmë:
Morëm përgjigjen 6. Pra, numri 6 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 12, 24, 36 dhe 42. Këta numra pjesëtohen me 6 pa mbetje:
gcd(12, 24, 36 dhe 42) = 6
Nga mësimi i mëparshëm, ne e dimë se nëse një numër pjesëtohet me një tjetër pa mbetje, ai quhet shumëfish i këtij numri.
Rezulton se një shumëfish mund të jetë i përbashkët për disa numra. Dhe tani do të na interesojë një shumëfish i dy numrave, ndërsa ai duhet të jetë sa më i vogël.
Përkufizimi. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave a dhe b- a dhe b a dhe numri b.
Përkufizimi përmban dy variabla a dhe b. Le të zëvendësojmë çdo dy numra për këto ndryshore. Për shembull, në vend të një ndryshoreje a zëvendësoni numrin 9, dhe në vend të ndryshores b le të zëvendësojmë numrin 12. Tani le të përpiqemi të lexojmë përkufizimin:
Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave 9 dhe 12 - është numri më i vogël që është shumëfish i 9 dhe 12 . Me fjalë të tjera, është një numër kaq i vogël që pjesëtohet pa mbetje me numrin 9 dhe në numrin 12 .
Është e qartë nga përkufizimi se LCM është numri më i vogël që pjesëtohet pa mbetje me 9 dhe 12. Kjo LCM kërkohet të gjendet.
Ka dy mënyra për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM). Mënyra e parë është që ju mund të shkruani shumëfishat e parë të dy numrave, dhe më pas të zgjidhni midis këtyre shumëfishave një numër të tillë që do të jetë i përbashkët për të dy numrat dhe i vogël. Le të zbatojmë këtë metodë.
Fillimisht, le të gjejmë shumëfishat e parë për numrin 9. Për të gjetur shumëfishat për 9, duhet ta shumëzoni këtë nëntë me numrat nga 1 në 9 me radhë. Përgjigjet që merrni do të jenë shumëfisha të numrit 9. Pra, le të fillojmë. Shumëfishat do të theksohen me të kuqe:
Tani gjejmë shumëfisha për numrin 12. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë 12 me të gjithë numrat 1 deri në 12 me radhë.