Приведенные к настоящему моменту в открытом банке задач ЕГЭ по математике (mathege.ru), решение которых основано на одной лишь формуле, представляющей собой классическое определение вероятности.
Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1.
В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?
Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат - исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. "Мы вытащили какой-то шар" - тоже результат. "Мы вытащили синий шар" - результат. "Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров" - такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.
Решение.
Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета"
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, - то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75
Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти - невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» - для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)
Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы , ), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы , ) – принцип остается тем же.
Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. ( , ) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.
Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?
Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4
Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы , , , ):
Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.
Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5
Немного отличается прототип . Остались задачи про монеты () и игральные кости (), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.
Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.
Пример 4.
Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро)
Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.
Пример 5.
А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25
Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5
В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·...·2=2 N .
Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125
То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.
Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?
Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5
Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)
Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта.
Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08
Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».
1.Указать верное определение.Суммой двух событий называется:
а) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновменно;
б) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе;+
- Указать верное определение.Произведением двух событий называется:
а) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновременно;+
б) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе;
в) Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит другое.
- Указать верное определение.Вероятностью события называется:
а) Произведение числа исходов, благоприятствующих появлению события на общее число исходов;
б) Сумма числа исходов, благоприятствующих появлению события и общего числа исходов;
в) Отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события к общему числу исходов;+
- Указать верное утверждение. Вероятность невозможного события:
б) равна нулю;+
в) равна единице;
- Указать верное утверждение. Вероятность достоверного события:
а) больше нуля и меньше единицы;
б) равна нулю;
в) равна единице;+
- Указать верное свойство. Вероятность случайного события:
а) больше нуля и меньше единицы;+
б) равна нулю;
в) равна единице;
- Указать правильное утверждение:
а) Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий;
б) Вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий;
в) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;+
- Указать правильное утверждение:
а) Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий;
б) Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий;+
в) Вероятность произведения несовместных событий равна произведению вероятностей этих событий;
- Указать верное определение.Событие это:
а) Элементарный исход;
б) Пространство элементарных исходов;
в) Подмножество множества элементарных исходов.+
- Указать правильный ответ. Какие события называются гипотезами?.
а) любые попарно несовместные события;
б) попарно несовместные события, объединение которых образует достоверное событие;+
в) пространство элементарных событий.
- Указать правильный ответ Формулы Байеса определяют:
а) априорную вероятность гипотезы,
б) апостериорную вероятность гипотезы,
в) вероятность гипотезы.+
- Указать верное свойство. Функция распределения случайной величины Х является:
а) невозрастающей; б) неубывающей; +в) произвольного вида.
- Указать верное
а) независимых+; б) зависимых; в) всех.
- Указать верное свойство. Равенство справедливо для случайных величин:
а) независимых;+ б) зависимых; в) всех.
- Указать правильное заключение.Из того, что корреляционный момент для двух случайных величин Х и Y равен нулю следует:
а) отсутствует функциональная зависимость между Х и Y;
б) величины Х и Y независимы;+
в) отсутствует линейная корреляция между Х и Y;
- Указать правильный ответ. Дискретную случайную величину задают:
а) указывая её вероятности;
б) указывая её закон распределения;+
в) поставив каждому элементарному исходу в соответствие
действительное число.
- Указать верное определение. Математическое ожидание случайной величины — это:
а) начальный момент первого порядка;+
б) центральный момент первого порядка;
в) произвольный момент первого порядка.
- Указать верное определение. Дисперсия случайной величины- это:
а) начальный момент второго порядка;
б) центральный момент второго порядка;+
в) произвольный момент второго порядка.
- Указать верную формулу. Формула для вычисления среднего квадратического отклонения случайной величины:
а) +; б) ; в) .
- Указать верное определение. Мода распределения –это:
а) значение случайной величины при котором вероятность равняется 0,5;
б) значение случайной величины при котором либо вероятность, либо функция плотности достигают максимального значения;+
в) значение случайной величины при котором вероятность равняется 0.
- Указать верную формулу. Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:
- Указатьверную формулу. Плотность нормального распределения случайной величины определяется по формуле:
- Указать правильный ответ Математическое ожидание случайной величины распределенной по нормальному закону распределения, равно:
- Указать правильный ответ. Математическое ожидание случайной величины распределенной по показательному закону распределения, равно:
- Указать правильный ответ.Дисперсия случайной величины распределенной по показательному закону распределения, равна:
- Указатьверную формулу. Для равномерного распределения математическое ожидание определяется по формуле:
- Указать верную формулу. Для равномерного распределения дисперсия определяется по формуле:
- Указать неверное утверждение. Свойства выборочной дисперсии:
а) если все варианты увеличить в одно и тоже число раз, то и дисперсия увеличится в такое же число раз.
б) дисперсия постоянной равняется нулю.
в) если все варианты увеличить на одно и тоже число, то выборочная дисперсия не изменится.+
- Указать верное утверждение. Оценкой параметров называют:
а) Представление наблюдений в качестве независимых случайных величин имеющих один и тот же закон распределения.
б) совокупность результатов наблюдений;
в) всякую функцию результатов наблюдения.+
- Указать верное утверждение. Оценки параметров распределений обладают свойством:
а) несмещенности;+
б) значимости;
в) важности.
- Указать неверное утверждение.
а) Метод максимального правдоподобия используется для получения оценок;
б) Выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии;
в) В качестве статистических оценок параметров используются несмещённые, несостоятельные, эффективные оценки.+
- Указать неверное утверждение. Для функции распределения двумерной случайной величины справедливы свойства:
а) ; б) ; в) +.
- Указатьневерное утверждение:
а) По многомерной функции распределения всегда можно найти одномерные (маргинальные) распределения отдельных компонент.
б) По одномерным (маргинальным) распределениям отдельных компонент всегда можно найти многомерную функцию распределения.
в) По многомерной функции плотности всегда можно найти одномерные (маргинальные) плотности распределения отдельных компонент.
- Указать правильное утверждение. Дисперсия разности двух случайных величин определяется по формуле:
а); б)+; в) .
- Указать неверное утверждение. Формула вычисления совместной плотности:
- Указать неверное утверждение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если:
а) Закон распределения случайной величины X не зависит от того, какое значение приняла случайная величина Y.
в) коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y равен нулю.
- Указать правильный ответ. Формула является:
а) аналогом формулы Байеса для непрерывных случайных величин;
б) аналогом формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин;+
в) аналогом формулы произведения вероятностей независимых событий для непрерывных случайных величин.
- Указать неверное определение:
а) Начальным моментом порядка двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения на, т.е.
б) Центральным моментом порядка двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения центрированных на, т.е.)
в) Корреляционным моментом двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения на, т.е. +
- Указать правильный ответ. Дисперсия случайной величины распределенной по нормальному закону распределения, равна:
- Указатьневерное утверждение. Простейшими задачами математической статистики являются:
а) выборка и группировка статистических данных, полученных в результате эксперимента;
б) определение параметров распределения, вид которого заранее известен;+
в) получение оценки вероятности изучаемого события.
Основные понятия по теме:
1. Испытание, элементарный исход, исход испытания, событие.
2. Достоверное событие, невозможное событие, случайное событие.
3. Совместные события, несовместные события, равносильные события, равновозможные события, единственно возможные события.
4. Полная группа событий, противоположные события.
5. Элементарное событие, составное событие.
6. Сумма нескольких событий, произведение нескольких событий. Их геометрическая интерпретация
1. В задаче « Производится два выстрела по мишени. Найти вероятность того, что мишень будет поражена один раз» испытанием является:
1)* производится два выстрела по мишени;
2) мишень будет поражена один раз;
3) мишень будет поражена два раза.
2. Бросают монету. Событие: А – «выпадет герб». Cобытие – «выпадет цифра» является:
1) случайным;
2) достоверным;
3) невозможным;
4)* противоположным.
3. Подбрасывается игральный кубик. Обозначим события: А - «выпадение 6 очков», В - «выпадение 4 очков», D - «выпадение 2 очков», С - «выпадение четного числа очков». Тогда событие С равно
1)
;
2)
;
3)*
;
4)
.
4. Студент должен сдать два экзамена. Событие А - « студент сдал первый экзамен», событие В - «студент сдал второй экзамен», событие С - «студент сдал оба экзамена». Тогда событие С равно
1)*
;
2)
;
3)
;
4)
.
5. Из букв слова «ЗАДАЧА» наугад выбирается одна буква. Событие - «выбрана буква К» является
1) случайным;
2) достоверным;
3)* невозможным;
4) противоположным.
6. Из букв слова «МИР» наугад выбирается одна буква. Событие - «выбрана буква М» является
1)* случайным;
2) достоверным;
3) невозможным.
7. Событие - «из урны, содержащей только белые шары, извлекают белый шар» является
1) случайным;
2)* достоверным;
3) невозможным.
8. Два студента сдают экзамен. События: А - «экзамен сдаст первый студент», В - «экзамен сдаст второй студент» являются
1) несовместными;
2) достоверными;
3) невозможными;
4)*совместными.
9. События называют несовместными, если
4)* наступление одного исключает возможность появления другого.
10. События называют единственно возможными, если
1) наступление одного не исключает возможность появления другого;
2) при осуществлении комплекса условий каждое из них имеет равную возможность наступить;
3)* при испытании обязательно наступит хотя бы одно из них;
Тема 2. Классическое определение вероятности
Основные понятия по теме:
1. Вероятность события, классическое определение вероятности случайного события.
2. Исход, благоприятствующий событию.
3. Геометрическое определение вероятности.
4. Относительная частота события.
5. Статистическое определение вероятности.
6. Свойства вероятности.
7. Способы подсчета числа элементарных исходов: перестановки, сочетания, размещения.
Применение всех этих понятий на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. События называют равновозможными, если
1) они несовместны;
2)* при осуществлении комплекса условий каждое из них имеет равную возможность наступить;
3) при испытании обязательно наступит хотя бы одно из них;
4) наступление одного исключает возможность появления другого.
2. Испытание - «бросают две монеты». Событие - «хотя бы на одной из монет выпадет герб». Число элементарных исходов, благоприятствующих данному событию равно:
4) четыре.
3. Испытание - «бросают две монеты». Событие - «на одной из монет выпадет герб». Число всех элементарных, равновозможных, единственно возможных, несовместных исходов равно:
4)* четыре.
4. В урне 12 шаров, ничем, кроме цвета, не отличающихся. Среди этих шаров 5 черных и 7 белых. Событие - «случайным образом извлекают белый шар». Для этого события число благоприятствующих исходов равно:
5. В урне 12 шаров, ничем, кроме цвета, не отличающихся. Среди этих шаров 5 черных и 7 белых. Событие - «случайным образом извлекают белый шар». Для этого события число всех исходов равно:
6. Вероятность события принимает любое значение из промежутка:
3)
;
4)
;
5)*
.
7. Абонент забыл две последних цифры телефонного номера и, зная, лишь, что они различны, набрал их наудачу. Сколькими способами он это может сделать?
1)
;
2)*
;
Задание
Вариант демо
1. и - независимые события. Тогда справедливо следующее утверждение: а) они являются взаимоисключающими событиями
б) 
г) 
д) 
2. , , - вероятности событий , , 0 " style="margin-left:55.05pt;border-collapse:collapse;border:none">
3. Вероятности событий и https://pandia.ru/text/78/195/images/image012_30.gif" width="105" height="28 src=">.gif" width="55" height="24"> есть:
а) 1,25 б)0,3886 в)0,25 г)0,8614
д) нет правильного ответа
4. Докажите равенство с помощью таблиц истинности или покажите, что оно неверно.
Раздел 2. Вероятности объединения и пересечения событий, условная вероятность, формулы полной вероятности и Байеса.
Задание : выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
Вариант демо
1. Бросаем одновременно две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков не больше 6?
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) нет правильного ответа
2. Каждая буква слова «РЕМЕСЛО» написана на отдельной карточке, затем карточки перемешаны. Вынимаем три карточки наугад. Какова вероятность получить слово «ЛЕС»?
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) нет правильного ответа
3. Среди студентов второго курса 50% ни разу не пропускали занятия, 40% пропускали занятия не более 5 дней за семестр и 10% пропускали занятия 6 и более дней. Среди студентов, не пропускавших занятия, 40% получили высший балл, среди тех, кто пропустил не больше 5 дней – 30% и среди оставшихся – 10% получили высший балл. Студент получил на экзамене высший балл. Найти вероятность того, что он пропускал занятия более 6 дней.
а) https://pandia.ru/text/78/195/images/image024_14.gif" width="17 height=53" height="53">; в) ; г) ; д) нет правильного ответа
Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики.
Раздел 3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики.
Задание : выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
Вариант демо
1 . Дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами
распределения
Случайная величина Z = X+Y. Найти вероятность 
а) 0.7; б) 0.84; в) 0.65; г) 0.78; д) нет правильного ответа
2. X, Y, Z – независимые дискретные случайные величины. Величина X распределена по биномиальному закону с параметрами n=20 и p=0.1. Величина Y распределена по геометрическому закону с параметром p=0.4. Величина Z распределена по закону Пуассона с параметром =2. Найти дисперсию случайной величины U= 3X+4Y-2Z
а) 16.4 б) 68.2; в) 97.3; г) 84.2; д) нет правильного ответа
3. Двумерный случайный вектор (X, Y) задан законом распределения
Событие , событие 
. Какова вероятность события А+В?
а) 0.62; б) 0.44; в) 0.72; г) 0.58; д) нет правильного ответа
Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики.
Раздел 4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.
Задание : выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
Вариант демо
1. Независимые непрерывные случайные величины X и Y равномерно распределены на отрезках: X на https://pandia.ru/text/78/195/images/image032_6.gif" width="32" height="23">.
Случайная величина Z = 3X +3Y +2. Найти D(Z)
а) 47.75; б) 45.75; в) 15.25; г) 17.25; д) нет правильного ответа
2 ..gif" width="97" height="23">
а) 0.5; б) 1; в) 0; г) 0.75; д) нет правильного ответа
3. Непрерывная случайная величина X задана своей плотностью вероятности https://pandia.ru/text/78/195/images/image036_7.gif" width="99" height="23 src=">.
а) 0.125; б) 0.875; в)0.625; г) 0.5; д) нет правильного ответа
4. Случайная величина X распределена нормально с параметрами 8 и 3. Найти
а) 0.212; б) 0.1295; в)0.3413; г) 0.625; д) нет правильного ответа
Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики.
Раздел 5. Введение в математическую статистику.
Задание : выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
Вариант демо
1. Предлагаются следующие оценки математического ожидания https://pandia.ru/text/78/195/images/image041_6.gif" width="98" height="22">:
А) https://pandia.ru/text/78/195/images/image043_5.gif" width="205" height="40">
В) https://pandia.ru/text/78/195/images/image045_4.gif" width="205" height="40">
Д) 0 " style="margin-left:69.2pt;border-collapse:collapse;border:none">
2. Дисперсия каждого измерения в предыдущей задаче есть . Тогда наиболее эффективной из полученных в первой задаче несмещенных оценок будет оценка
3. На основании результатов независимых наблюдений случайной величины X, подчиняющейся закону Пуассона, построить методом моментов оценку неизвестного параметра 425 " style="width:318.65pt;margin-left:154.25pt;border-collapse:collapse; border:none">
а) 2.77; б) 2.90; в) 0.34; г) 0.682; д) нет правильного ответа
4. Полуширина 90% доверительного интервала, построенного для оценки неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины X для объема выборки n=120, выборочного среднего https://pandia.ru/text/78/195/images/image052_3.gif" width="19" height="16">=5, есть
а) 0.89; б) 0.49 ; в) 0.75; г) 0.98; д) нет правильного ответа
Матрица проверки – тест демо
Раздел 1 | ||||||
А - | Б + | В - | Г - | Д + |
||
Раздел 2 | ||||||
Раздел 3. | ||||||
Раздел 4 | ||||||
Раздел 5 | ||||||
ВАРИАНТ 1
1.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
2.В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
3.В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 34 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
6. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Германии будет выступать после группы из Франции и после группы из России? Результат округлите до сотых.
7. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?
8. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.
9. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
10. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Таможенное дело», нужно набрать не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 79 баллов по математике, равна 0,9, по русскому языку — 0,7, по иностранному языку — 0,8 и по обществознанию — 0,9.
ВАРИАНТ 2
1. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход РРР (все три раза выпадает решка).
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 55 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 33 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?
6. Биатлонист 9 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние шесть промахнулся. Результат округлите до сотых.
7. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30 этих стекол, вторая - 70. Первая фабрика выпускает 4 бракованных стекол, а вторая - 1. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
8. В сборнике билетов по химии всего 25 билетов, в 6 из них встречается вопрос по углеводородам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по углеводородам.
9. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Менеджмент», нужно набрать не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Т. получит не менее 69 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку — 0,5 и по обществознанию — 0,6.
Найдите вероятность того, что Т. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей.
10. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
ВАРИАНТ 3
1. В чемпионате по гимнастике участвуют 60 спортсменок: 14 из Венгрии, 25 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.
2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.
3. Чтобы поступить в институт на специальность «Международные отношения», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Социология», нужно набрать не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент В. получит не менее 68 баллов по математике, равна 0,7, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку — 0,6 и по обществознанию — 0,7.
Найдите вероятность того, что В. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей.
4. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
5. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 52 до 67 делится на 4?
6. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
7. Сева, Слава, Аня, Андрей, Миша, Игорь, Надя и Карина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
8. На семинар приехали 5 ученых из Испании, 4 из Дании и 7 из Голландии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым окажется доклад ученого из Дании.
9. В сборнике билетов по философии всего 25 билетов, в 8 из них встречается вопрос по Пифагору. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по Пифагору.
10. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
ВАРИАНТ 4
1. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Вьетнама и после группы из Швеции? Результат округлите до сотых.
2. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,58. Вероятность того, что Т. верно решит больше 7 задач, равна 0,64. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 8 задач.
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 60 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
4. В кармане у Саши было четыре конфеты — «Мишка», «Взлётная», «Белочка» и «Грильяж», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Взлётная».
5. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
6. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.
7. Биатлонист 10 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 7 раз попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых.
8. На семинар приехали 5 ученых из Швейцарии, 7 из Польши и 2 из Великобритании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что тринадцатым окажется доклад ученого из Польши.
9. Чтобы поступить в институт на специальность «Международное право», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Социология», нужно набрать не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 68 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,5 и по обществознанию — 0,7.
Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей.
10. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.