Poďme vyriešiť problém. Máme dva typy cookies. Niektoré sú čokoládové a niektoré obyčajné. Čokoládových kúskov je 48, jednoduchých 36. Z týchto keksíkov je potrebné vyrobiť maximálny možný počet darčekov a treba ich použiť všetky.
Najprv si zapíšme všetkých deliteľov každého z týchto dvoch čísel, keďže obe tieto čísla musia byť deliteľné počtom darov.
Dostaneme
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Nájdime medzi deliteľmi tie spoločné, ktoré má prvé aj druhé číslo.
Spoločné deliče budú: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Najväčší spoločný deliteľ zo všetkých je 12. Toto číslo sa nazýva najväčší spoločný deliteľ 36 a 48.
Na základe výsledku môžeme usúdiť, že zo všetkých cookies je možné vyrobiť 12 darčekov. Jeden takýto darček bude obsahovať 4 čokoládové sušienky a 3 bežné sušienky.
Nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa
- Najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú dve čísla a a b bezo zvyšku deliteľné, sa nazýva najväčší spoločný deliteľ týchto čísel.
Niekedy sa na skrátenie záznamu používa skratka GCD.
Niektoré dvojice čísel majú jedničku ako najväčšieho spoločného deliteľa. Takéto čísla sa nazývajú coprime čísla. Napríklad čísla 24 a 35. Majte GCD =1.
Ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa
Aby ste našli najväčšieho spoločného deliteľa, nie je potrebné vypisovať všetkých deliteľov týchto čísel.
Môžete to urobiť inak. Najprv započítajte obe čísla do prvočísel.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Teraz z faktorov, ktoré sú zahrnuté v rozšírení prvého čísla, vymažeme všetky tie, ktoré nie sú zahrnuté v rozšírení druhého čísla. V našom prípade ide o dve dvojky.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Zostávajú faktory 2, 2 a 3. Ich súčin je 12. Toto číslo bude najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36.
Toto pravidlo možno rozšíriť na prípady troch, štyroch atď. čísla.
Všeobecná schéma na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa
- 1. Rozložte čísla na prvočísla.
- 2. Z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia iných čísel.
- 3. Vypočítajte súčin zostávajúcich faktorov.
Hľadanie najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel možno zredukovať na postupné hľadanie gcd dvoch čísel. Spomenuli sme to pri štúdiu vlastností GCD. Tam sme sformulovali a dokázali vetu: najväčší spoločný deliteľ viacerých čísel a 1 , a 2 , ..., k sa rovná číslu d k, ktorý sa nachádza v sekvenčnom výpočte GCD(ai,a2)=d2, GCD(d2,a3)=d3, GCD(d3,a4)=d4, …,GCD(dk-1, ak)=dk.
Pozrime sa, ako vyzerá proces hľadania GCD niekoľkých čísel, keď zvážime riešenie príkladu.
Príklad.
Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa štyroch čísel 78 , 294 , 570 a 36 .
rozhodnutie.
V tomto príklade a 1 = 78, a2=294, a 3 \u003d 570, a4=36.
Najprv pomocou Euklidovho algoritmu určíme najväčšieho spoločného deliteľa d2 prvé dve čísla 78 a 294 . Pri delení dostaneme rovnosť 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6 a 18=6 3. teda d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.
Teraz poďme počítať d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Opäť použijeme Euklidov algoritmus: 570 = 6 95, teda, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.
Zostáva vypočítať d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Ako 36 deleno 6 , potom d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
Takže najväčší spoločný deliteľ štyroch daných čísel je d4=6, t.j. gcd(78, 294, 570, 36) = 6.
odpoveď:
gcd(78, 294, 570, 36) = 6.
Rozloženie čísel na prvočísla tiež umožňuje vypočítať GCD troch alebo viacerých čísel. V tomto prípade najväčší spoločný deliteľ nájdeme ako súčin všetkých spoločných prvočísel daných čísel.
Príklad.
Vypočítajte GCD čísel z predchádzajúceho príkladu pomocou ich prvočíselných rozkladov.
rozhodnutie.
Poďme si čísla rozložiť 78 , 294 , 570 a 36 do hlavných faktorov, dostaneme 78 = 2 3 13,294 = 2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36 = 2 2 3 3. Spoločné prvočísla všetkých daných štyroch čísel sú čísla 2 a 3 . teda GCD(78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.
odpoveď:
gcd(78, 294, 570, 36) = 6.
Začiatok stránky
Nájdenie gcd záporných čísel
Ak jedno, niekoľko alebo všetky čísla, ktorých najväčší deliteľ sa má nájsť, sú záporné čísla, potom sa ich gcd rovná najväčšiemu spoločnému deliteľovi modulov týchto čísel. Dôvodom sú opačné čísla a a -a majú rovnakých deliteľov, o ktorých sme hovorili pri štúdiu vlastností deliteľnosti.
Príklad.
Nájdite gcd záporných celých čísel −231 a −140 .
rozhodnutie.
Absolútna hodnota čísla −231 rovná sa 231 a modul čísla −140 rovná sa 140 a gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). Euklidov algoritmus nám dáva nasledujúce rovnosti: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 a 42=7 6. teda gcd(231, 140)=7. Potom požadovaný najväčší spoločný deliteľ záporných čísel −231 a −140 rovná sa 7 .
odpoveď:
GCD(-231,-140)=7.
Príklad.
Určte gcd troch čísel −585 , 81 a −189 .
rozhodnutie.
Pri hľadaní najväčšieho spoločného deliteľa môžu byť záporné čísla nahradené ich absolútnymi hodnotami, tj. gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). Rozšírenia čísel 585 , 81 a 189 do prvočiniteľov sú, resp 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3 a 189=3 3 3 7. Spoločné prvočísla týchto troch čísel sú 3 a 3 . Potom GCD(585, 81, 189) = 3 3 = 9, teda, gcd (-585, 81, -189) = 9.
odpoveď:
gcd (-585, 81, -189) = 9.
35. Korene polynómu. Bezoutova veta. (33 a viac)
36. Viacnásobné korene, kritérium násobnosti koreňa.
Pokračujme v diskusii o najmenšom spoločnom násobku, ktorú sme začali v časti LCM - Najmenší spoločný násobok, definícia, príklady. V tejto téme zvážime spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, analyzujeme otázku, ako nájsť LCM so záporným číslom.
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd
Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako definovať LCM prostredníctvom GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.
Definícia 1
Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Príklad 1
Je potrebné nájsť LCM čísel 126 a 70.
rozhodnutie
Vezmime si a = 126 , b = 70 . Dosaďte hodnoty vo vzorci na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Nájde GCD čísel 70 a 126. Na to potrebujeme Euklidov algoritmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , teda gcd (126 , 70) = 14 .
Vypočítajme LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.
odpoveď: LCM (126, 70) = 630.
Príklad 2
Nájdite číslo 68 a 34.
rozhodnutie
GCD je v tomto prípade ľahké nájsť, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajte najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
odpoveď: LCM(68,34) = 68.
V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, potom sa LCM týchto čísel bude rovnať prvému číslu.
Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory
Teraz sa pozrime na spôsob, ako nájsť LCM, ktorý je založený na rozklade čísel na prvočísla.
Definícia 2
Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:
- tvoríme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
- z ich získaných produktov vylúčime všetky hlavné faktory;
- produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.
Tento spôsob hľadania najmenšieho spoločného násobku je založený na rovnosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozširovaní týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa GCD dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.
Príklad 3
Máme dve čísla 75 a 210 . Môžeme ich vypočítať takto: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Ak vytvoríte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.
Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin v nasledujúcom tvare: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.
Príklad 4
Nájdite LCM čísel 441 a 700 , rozklad oboch čísel na prvočíselné faktory.
rozhodnutie
Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .
Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozšírení týchto čísel, bude vyzerať takto: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto číslo je 7. Vylučujeme ho zo všeobecného produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
odpoveď: LCM (441, 700) = 44100.
Uveďme ešte jednu formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.
Definícia 3
Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:
- Rozložme obe čísla na prvočísla:
- doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
- dostaneme súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.
Príklad 5
Vráťme sa k číslam 75 a 210 , pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3 , 5 a 5 číslo 75 doplniť chýbajúce faktory 2 a 7 čísla 210. Dostaneme: 2 3 5 5 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.
Príklad 6
Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.
rozhodnutie
Rozložme čísla z podmienky na prvočísla: 84 = 2 2 3 7 a 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajte k súčinu faktorov 2 , 2 , 3 a 7
čísla 84 chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a
3
čísla 648 . Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.
odpoveď: LCM (84, 648) = 4536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: dôsledne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.
Veta 1
Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k z týchto čísel sa zistí sekvenčný výpočet m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (m k − 1, ak) .
Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta aplikovať na konkrétne problémy.
Príklad 7
Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140 , 9 , 54 a 250 .
rozhodnutie
Predstavme si notáciu: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Použime euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Získame: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Preto m 2 = 1 260.
Teraz vypočítajme podľa rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . V priebehu výpočtov dostaneme m 3 = 3 780.
Zostáva nám vypočítať m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Získame m 4 \u003d 94 500.
LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.
odpoveď: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť pracné. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.
Definícia 4
Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:
- rozložiť všetky čísla na prvočísla;
- k súčinu faktorov prvého čísla doplňte chýbajúce faktory súčinu druhého čísla;
- k produktu získanému v predchádzajúcej fáze pridáme chýbajúce faktory tretieho čísla atď.;
- výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.
Príklad 8
Je potrebné nájsť LCM piatich čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
rozhodnutie
Rozložme všetkých päť čísel na prvočiniteľa: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.
Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.
Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Obrátime sa na číslo 48, zo súčinu prvočiniteľov, z ktorých vezmeme 2 a 2. Potom pridáme jednoduchý faktor 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je najmenší spoločný násobok z piatich pôvodných čísel.
odpoveď: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel
Aby sa našiel najmenší spoločný násobok záporných čísel, tieto čísla musia byť najskôr nahradené číslami s opačným znamienkom a potom by sa mali výpočty vykonať pomocou vyššie uvedených algoritmov.
Príklad 9
LCM(54,-34) = LCM(54,34) a LCM(-622,-46,-54,-888) = LCM(622,46,54,888).
Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak sa prijme, že a a − a- opačné čísla
potom množina násobkov a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.
Príklad 10
Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 a − 45 .
rozhodnutie
Zmeňme čísla − 145 a − 45 na ich opačné čísla 145 a 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou Euklidovho algoritmu.
Dostaneme, že LCM čísel − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .
odpoveď: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Nájsť najmenší spoločný násobok(NOC) a najväčší spoločný deliteľ(gcd) z dvoch čísel použite náš online kalkulačka ohm:
Zadajte čísla: a
NOC:
GCD:
Definujte
Stačí zadať čísla a získať výsledok.
Ako nájsť LCM dvoch čísel
Najmenší spoločný násobok (LCM) dvoch alebo viacerých čísel je najmenšie číslo, ktoré možno deliť každým z týchto čísel bezo zvyšku.
Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) dvoch čísel, môžete použiť nasledujúci algoritmus (stupeň 5):
- Obe čísla (najväčšie číslo ako prvé).
- Porovnajte faktory väčšieho čísla s faktormi menšieho čísla. Vyberte všetky faktory menšieho čísla, ktoré väčšie číslo nemá.
- Pridajme vybrané faktory menšieho čísla k faktorom väčšieho.
- LCM nájdeme vynásobením série faktorov získaných v odseku 3.
Príklad
Napríklad definujeme LCM čísel 8 a 22 .
1) Rozdeľme to na hlavné faktory:
2) Vyberme všetky faktory 8, ktoré nie sú v 22:
8 = 2⋅2 ⋅2
3) Pridajme vybrané multiplikátory 8 k multiplikátorom 22:
LCM (8; 22) = 211 2 · 2
4) Vypočítame LCM:
NOC (8; 22)= 2 11 2 2 = 88
Ako nájsť GCD dvoch čísel
Najväčší spoločný deliteľ (GCD) dvoch alebo viacerých čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, ktorým možno tieto čísla bezo zvyšku deliť.
Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) dvoch čísel, musíte ich najskôr rozdeliť do prvočísel. Potom musíte zdôrazniť spoločné faktory, ktoré majú prvé aj druhé číslo. Vynásobíme ich - to bude GCD. Ak chcete lepšie pochopiť algoritmus, zvážte príklad:
Príklad
Napríklad definujme GCD čísel 20 a 30 .
20 = 2 ⋅2⋅5
30 = 2 ⋅3⋅5
GCD(20;30) = 2⋅5 = 10
Nazýva sa najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku najväčší spoločný deliteľ tieto čísla. Označte GCD(a, b).
Uvažujme o nájdení GCD na príklade dvoch prirodzené čísla 18 a 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 a 432
Rozložme čísla na prvočísla:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Vymažte z prvého čísla, ktorého faktory nie sú v druhom a treťom čísle, dostaneme:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
V dôsledku GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Nájdenie GCD pomocou Euklidovho algoritmu
Druhý spôsob, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa pomocou Euklidov algoritmus. Euklidov algoritmus je najviac efektívnym spôsobom nález GCD, pomocou neho musíte neustále hľadať zvyšok delenia čísel a aplikovať opakujúci sa vzorec.
Opakujúci sa vzorec pre GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kde a mod b je zvyšok po delení a číslom b.
Euklidov algoritmus
Príklad Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 7920 a 594
Poďme nájsť GCD( 7920 , 594 ) pomocou Euklidovho algoritmu vypočítame zvyšok delenia pomocou kalkulačky.
- 7920 mod 594 = 7920 – 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
V dôsledku toho dostaneme GCD( 7920 , 594 ) = 198
Najmenší spoločný násobok
Aby ste našli spoločného menovateľa pri sčítaní a odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi, musíte vedieť a vedieť vypočítať najmenší spoločný násobok(NOC).
Násobok čísla „a“ je číslo, ktoré je samo deliteľné číslom „a“ bezo zvyšku.
Čísla, ktoré sú násobkami 8 (to znamená, že tieto čísla budú bezo zvyšku delené 8): sú to čísla 16, 24, 32 ...
Násobky 9: 18, 27, 36, 45…
Existuje nekonečne veľa násobkov daného čísla a, na rozdiel od deliteľov toho istého čísla. Deliče - konečné číslo.
Spoločný násobok dvoch prirodzených čísel je číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné oboma týmito číslami..
Najmenší spoločný násobok(LCM) dvoch alebo viacerých prirodzených čísel je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je samo deliteľné každým z týchto čísel.
Ako nájsť NOC
LCM je možné nájsť a zapísať dvoma spôsobmi.
Prvý spôsob, ako nájsť LCM
Táto metóda sa zvyčajne používa pre malé čísla.
- Násobky pre každé z čísel zapisujeme do riadku, kým nevznikne násobok, ktorý je pre obe čísla rovnaký.
- Označuje sa násobok „a“. veľké písmeno"DO".
Príklad. Nájdite LCM 6 a 8.
Druhý spôsob, ako nájsť LCM
Táto metóda je vhodná na nájdenie LCM pre tri alebo viac čísel.
Počet rovnakých faktorov v rozšíreniach čísel môže byť rôzny.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Odpoveď: LCM (24, 60) = 120
Nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) môžete formalizovať aj takto. Poďme nájsť LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Ako môžete vidieť z rozšírenia čísel, všetky faktory 12 sú zahrnuté v expanzii 24 (najväčšie z čísel), takže do LCM pridáme iba jednu 2 z rozšírenia čísla 16.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Odpoveď: LCM (12, 16, 24) = 48
Špeciálne prípady nájdenia NOC
Napríklad LCM(60; 15) = 60
Keďže prvočísla nemajú spoločných prvočíselných deliteľov, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel.
Na našej webovej stránke môžete tiež použiť špeciálnu kalkulačku na vyhľadanie najmenej spoločného násobku online na kontrolu vašich výpočtov.
Ak je prirodzené číslo deliteľné iba 1 a samo sebou, potom sa nazýva prvočíslo.
Akékoľvek prirodzené číslo je vždy deliteľné 1 a samo sebou.
Číslo 2 je najmenšie prvočíslo. Toto je jediné párne prvočíslo, ostatné prvočísla sú nepárne.
Existuje veľa prvočísel a prvé z nich je číslo 2. Neexistuje však žiadne posledné prvočíslo. V časti „Na štúdium“ si môžete stiahnuť tabuľku prvočísel do 997.
Ale mnohé prirodzené čísla sú rovnomerne deliteľné inými prirodzenými číslami.
- číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
- rozložiť deliteľa čísel na prvočísla;
Čísla, ktorými je číslo rovnomerne deliteľné (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliteľmi čísla.
Deliteľ prirodzeného čísla a je také prirodzené číslo, ktoré bezo zvyšku delí dané číslo „a“.
Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva faktory, sa nazýva zložené číslo.
Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločných deliteľov. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12.
Spoločný deliteľ dvoch daných čísel „a“ a „b“ je číslo, ktorým sa obe dané čísla „a“ a „b“ bezo zvyšku delia.
Najväčší spoločný deliteľ(GCD) dvoch daných čísel „a“ a „b“ je najväčšie číslo, ktorým sú obe čísla „a“ a „b“ deliteľné bezo zvyšku.
Stručne povedané, najväčší spoločný deliteľ čísel "a" a "b" je zapísaný nasledovne:
Príklad: gcd (12; 36) = 12 .
Deliče čísel v zázname riešenia sa označujú veľkým písmenom „D“.
Čísla 7 a 9 majú iba jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú coprime čísla.
Coprime čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Ich GCD je 1.
Ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa
Na nájdenie gcd dvoch alebo viacerých prirodzených čísel potrebujete:
Výpočty sa pohodlne píšu pomocou zvislej čiary. Vľavo od riadku najskôr zapíšte dividendu, vpravo deliteľ. Ďalej do ľavého stĺpca zapíšeme hodnoty private.
Poďme si to hneď vysvetliť na príklade. Rozložme čísla 28 a 64 na prvočísla.
- Podčiarknite rovnaké prvočísla v oboch číslach.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Nájdeme súčin identických prvočiniteľov a zapíšeme odpoveď;
GCD (28; 64) = 22 = 4
Odpoveď: GCD (28; 64) = 4
Umiestnenie GCD môžete usporiadať dvoma spôsobmi: v stĺpci (ako bolo uvedené vyššie) alebo „v riadku“.
Prvý spôsob zápisu GCD
Nájdite GCD 48 a 36.
GCD (48; 36) = 223 = 12
Druhý spôsob zápisu GCD
Teraz napíšme riešenie vyhľadávania GCD do riadku. Nájdite GCD 10 a 15.
Na našej informačnej stránke môžete tiež nájsť najväčšieho spoločného deliteľa online pomocou pomocného programu na kontrolu vašich výpočtov.
Hľadanie najmenšieho spoločného násobku, metódy, príklady hľadania LCM.
Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku pod názvom LCM - Least Common Multiple, definícia, príklady, vzťah medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) a Osobitná pozornosť Poďme sa pozrieť na príklady. Najprv ukážme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel z hľadiska GCD týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd
Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúci vzťah medzi LCM a GCD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Zvážte príklady nájdenia LCM podľa vyššie uvedeného vzorca.
Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70 .
V tomto príklade a=126, b=70. Využime spojenie LCM s GCD, ktoré je vyjadrené vzorcom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme vypočítať LCM týchto čísel podľa napísaného vzorca.
Nájdite gcd(126, 70) pomocou Euklidovho algoritmu: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4, teda gcd(126, 70)=14.
Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Čo je LCM(68, 34)?
Keďže 68 je rovnomerne deliteľné 34 , potom gcd(68, 34)=34 . Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla a a b: ak je číslo a deliteľné b , potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a .
Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory
Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak vytvoríme súčin všetkých prvočiniteľov týchto čísel, potom z tohto súčinu vylúčime všetky spoločné prvočísla, ktoré sú prítomné v rozšíreniach týchto čísel, potom sa výsledný súčin bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku týchto čísel.
Vyhlásené pravidlo pre nájdenie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . V skutočnosti sa súčin čísel a a b rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanzii čísel a a b. Na druhej strane, gcd(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel a a b (čo je popísané v časti o nájdení gcd pomocou rozkladu čísel na prvočísla ).
Vezmime si príklad. Nech vieme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Zostavte súčin všetkých faktorov týchto expanzií: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz z tohto produktu vylúčime všetky faktory, ktoré sú prítomné tak v rozšírení čísla 75, ako aj v rozšírení čísla 210 (takými faktormi sú 3 a 5), potom bude produkt mať tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku 75 a 210 , teda LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Po rozklade čísel 441 a 700 na prvočísla nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.
Rozložme čísla 441 a 700 na prvočísla: 
Dostaneme 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .
Teraz urobme súčin všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách týchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Takže LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
LCM(441, 700) = 44100.
Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak k faktorom z rozšírenia čísla a pripočítame chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.
Vezmime si napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich expanzie na prvočísla sú nasledovné: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2 3 5 5 7, ktorého hodnota je LCM(75 , 210).
Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.
Najprv získame rozklad čísel 84 a 648 na prvočísla. Vyzerajú ako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a 3 z rozšírenia čísla 648 , dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7 , čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok čísel 84 a 648 je teda 4 536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si príslušnú vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.
Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme v sekvenčnom výpočte m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , ..., mk=LCM(mk-1, ak).
Zvážte aplikáciu tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.
Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.
Najprv nájdeme m2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) . Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , teda gcd( 140, 9) = 1, teda LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9:1 = 1260. To znamená, m2 = 1 260.
Teraz nájdeme m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) . Vypočítajme to pomocou GCD(1 260, 54) , ktorý je tiež určený euklidovským algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1260,54)=18, odkiaľ LCM(1260,54)= 1260 54:gcd(1260, 54)= 1260 54:18=3780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.
Zostáva nájsť m4 = LCM (m3, a4) = LCM (3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3 780, 250) pomocou Euklidovho algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Preto gcd(3 780, 250)=10, teda LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.
Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250) = 94500.
V mnohých prípadoch sa najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pohodlne nájde použitím prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým činiteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k získaným faktorom atď.
Uvažujme o príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou rozkladu čísel na prvočísla.
Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Najprv získame rozklady týchto čísel na prvočiniteľa: 84=2 2 3 7 , 6=2 3, 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 je prvočíslo, zhoduje sa s jeho rozkladom na prvočiniteľa) a 143=1113.
Aby ste našli LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2 , 2 , 3 a 7) musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6 . Rozšírenie čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozšírení prvého čísla 84 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48 , dostaneme množinu faktorov 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V ďalšom kroku nie je potrebné pridávať faktory do tejto sady, pretože 7 je v nej už obsiahnutých. Nakoniec k faktorom 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143 . Dostaneme súčin 2 2 2 2 3 7 11 13 , čo sa rovná 48 048 .
Preto LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048.
LCM(84,6,48,7,143)=48048.
Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel
Niekedy existujú úlohy, v ktorých musíte nájsť najmenší spoločný násobok čísel, medzi ktorými je jedno, niekoľko alebo všetky čísla záporné. V týchto prípadoch musia byť všetky záporné čísla nahradené ich opačnými číslami, po ktorých by sa malo nájsť LCM kladných čísel. Toto je spôsob, ako nájsť LCM záporných čísel. Napríklad LCM(54, -34)=LCM(54, 34) a LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888).
Môžeme to urobiť, pretože množina násobkov a je rovnaká ako množina násobkov −a (a a −a sú opačné čísla). Nech je b nejaký násobok a , potom b je deliteľné a a koncept deliteľnosti tvrdí existenciu takého celého čísla q, že b=a q . Ale bude platiť aj rovnosť b=(−a)·(−q), čo na základe rovnakého konceptu deliteľnosti znamená, že b je deliteľné −a , teda b je násobkom −a . Platí aj opačné tvrdenie: ak b je nejaký násobok −a , potom b je tiež násobok a .
Nájdite najmenší spoločný násobok záporných čísel −145 a −45.
Nahraďte záporné čísla −145 a −45 ich opačnými číslami 145 a 45 . Máme LCM(-145, -45)=LCM(145, 45) . Po určení gcd(145, 45)=5 (napríklad pomocou Euklidovho algoritmu) vypočítame LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Najmenší spoločný násobok záporných celých čísel −145 a −45 je teda 1 305 .
www.cleverstudents.ru
Pokračujeme v štúdiu divízie. AT túto lekciu Budeme uvažovať o pojmoch ako napr GCD a NOC.
GCD je najväčší spoločný deliteľ.
NOC je najmenší spoločný násobok.
Téma je dosť nudná, ale je potrebné ju pochopiť. Bez pochopenia tejto témy nebudete vedieť efektívne pracovať so zlomkami, ktoré sú v matematike skutočnou prekážkou.
Najväčší spoločný deliteľ
Definícia. Najväčší spoločný deliteľ čísel a a b a a b rozdelené bezo zvyšku.
Aby sme túto definíciu dobre pochopili, dosadíme namiesto premenných a a b akékoľvek dve čísla, napríklad namiesto premennej a nahraďte číslo 12 a namiesto premennej bčíslo 9. Teraz si skúsme prečítať túto definíciu:
Najväčší spoločný deliteľ čísel 12 a 9 je najväčšie číslo, ktorým 12 a 9 rozdelené bezo zvyšku.
Z definície je zrejmé, že hovoríme o spoločnom deliteľovi čísel 12 a 9, pričom tento deliteľ je najväčší zo všetkých existujúcich deliteľov. Tento najväčší spoločný deliteľ (gcd) sa musí nájsť.
Na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel sa používajú tri metódy. Prvý spôsob je dosť časovo náročný, ale umožňuje dobre pochopiť podstatu témy a cítiť celý jej význam.
Druhá a tretia metóda sú pomerne jednoduché a umožňujú rýchlo nájsť GCD. Zvážime všetky tri spôsoby. A čo aplikovať v praxi - vyberiete si.
Prvým spôsobom je nájsť všetkých možných deliteľov dvoch čísel a vybrať z nich najväčšie. Zoberme si túto metódu v nasledujúcom príklade: Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 12 a 9.
Najprv nájdeme všetkých možných deliteľov čísla 12. Aby sme to urobili, rozdelíme 12 na všetkých deliteľov v rozsahu od 1 do 12. Ak nám deliteľ umožňuje bezo zvyšku deliť 12, potom ho zvýrazníme modrou farbou a v zátvorkách uveďte príslušné vysvetlenie.
12: 1 = 12
(12 delené 1 bez zvyšku, takže 1 je deliteľ 12)
12: 2 = 6
(12 delené 2 bez zvyšku, takže 2 je deliteľ 12)
12: 3 = 4
(12 delené 3 bez zvyšku, takže 3 je deliteľ 12)
12: 4 = 3
(12 delené 4 bez zvyšku, takže 4 je deliteľ 12)
12:5 = 2 (zostávajú 2)
(12 nie je delené 5 bez zvyšku, takže 5 nie je deliteľom 12)
12: 6 = 2
(12 delené 6 bez zvyšku, takže 6 je deliteľ 12)
12: 7 = 1 (zostáva 5)
(12 nie je delené 7 bez zvyšku, takže 7 nie je deliteľom 12)
12: 8 = 1 (zostávajú 4)
(12 nie je bez zvyšku delené 8, takže 8 nie je deliteľom 12)
12:9 = 1 (zostávajú 3)
(12 nie je delené 9 bez zvyšku, takže 9 nie je deliteľom 12)
12: 10 = 1 (zostávajú 2)
(12 nie je delené 10 bez zvyšku, takže 10 nie je deliteľom 12)
12:11 = 1 (zostáva 1)
(12 nie je delené 11 bez zvyšku, takže 11 nie je deliteľom 12)
12: 12 = 1
(12 delené 12 bez zvyšku, takže 12 je deliteľ 12)
Teraz nájdime deliteľa čísla 9. Ak to chcete urobiť, skontrolujte všetkých deliteľov od 1 do 9
9: 1 = 9
(9 delené 1 bez zvyšku, takže 1 je deliteľom 9)
9: 2 = 4 (zostáva 1)
(9 sa nedelí 2 bez zvyšku, takže 2 nie je deliteľom 9)
9: 3 = 3
(9 delené 3 bez zvyšku, takže 3 je deliteľ 9)
9: 4 = 2 (zostáva 1)
(9 nie je delené 4 bez zvyšku, takže 4 nie je deliteľom 9)
9:5 = 1 (zostávajú 4)
(9 nie je delené 5 bez zvyšku, takže 5 nie je deliteľom 9)
9: 6 = 1 (zostávajú 3)
(9 sa nedelí 6 bezo zvyšku, takže 6 nie je deliteľom 9)
9:7 = 1 (zostávajú 2)
(9 nie je delené 7 bez zvyšku, takže 7 nie je deliteľom 9)
9:8 = 1 (zostáva 1)
(9 sa nedelí 8 bez zvyšku, takže 8 nie je deliteľom 9)
9: 9 = 1
(9 delené 9 bez zvyšku, takže 9 je deliteľom 9)
Teraz zapíšte deliteľa oboch čísel. Čísla zvýraznené modrou farbou sú deliče. Poďme si ich vypísať:
Po zapísaní deliteľov môžete okamžite určiť, ktorý z nich je najväčší a najbežnejší.
Podľa definície je najväčší spoločný deliteľ 12 a 9 číslo, ktorým sú 12 a 9 rovnomerne deliteľné. Najväčším a spoločným deliteľom čísel 12 a 9 je číslo 3
Číslo 12 aj číslo 9 sú bezo zvyšku deliteľné tromi:
Takže gcd (12 a 9) = 3
Druhý spôsob, ako nájsť GCD
Teraz zvážte druhý spôsob, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa. Podstatou tejto metódy je rozložiť obe čísla na prvočísla a vynásobiť tie spoločné.
Príklad 1. Nájdite GCD čísel 24 a 18
Najprv vynásobme obe čísla prvočíselnými faktormi:
Teraz znásobíme ich spoločné faktory. Aby nedošlo k zámene, spoločné faktory môžu byť podčiarknuté.
Pozeráme sa na rozklad čísla 24. Jeho prvým činiteľom je 2. Hľadáme rovnaký činiteľ pri rozklade čísla 18 a vidíme, že tam tiež je. Podčiarkujeme obe dve:
Opäť sa pozrieme na rozklad čísla 24. Jeho druhý faktor je tiež 2. Hľadáme rovnaký faktor pri rozklade čísla 18 a vidíme, že tam už druhýkrát nie je. Potom už nič nezvýrazňujeme.
Ďalšie dve v rozšírení čísla 24 chýbajú aj v rozšírení čísla 18.
Prejdeme k poslednému faktoru rozkladu čísla 24. Toto je faktor 3. Hľadáme rovnaký faktor pri rozklade čísla 18 a vidíme, že tam tiež je. Zdôrazňujeme obe tri:
Takže spoločné faktory čísel 24 a 18 sú faktory 2 a 3. Ak chcete získať GCD, tieto faktory sa musia vynásobiť:
Takže gcd (24 a 18) = 6
Tretí spôsob, ako nájsť GCD
Teraz zvážte tretí spôsob, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa. Podstata tejto metódy spočíva v tom, že čísla, v ktorých sa má hľadať najväčší spoločný deliteľ, sa rozložia na prvočísla. Potom sa z rozkladu prvého čísla vymažú faktory, ktoré nie sú zahrnuté v rozklade druhého čísla. Zostávajúce čísla v prvom rozšírení sa vynásobia a získajú GCD.
Napríklad nájdime GCD pre čísla 28 a 16 týmto spôsobom. Najprv tieto čísla rozložíme na hlavné faktory:
Máme dve rozšírenia: a
Teraz z rozšírenia prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa sedem. Odstránime ho z prvého rozšírenia:
Teraz vynásobíme zostávajúce faktory a získame GCD:
Číslo 4 je najväčším spoločným deliteľom čísel 28 a 16. Obe tieto čísla sú bezo zvyšku deliteľné 4:
Príklad 2 Nájdite GCD čísel 100 a 40
Vypočítaním čísla 100
Vypočítaním čísla 40
Máme dve rozšírenia:
Teraz z rozšírenia prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa jednu päťku (je len jedna päťka). Vymažeme ho z prvého rozkladu
Vynásobte zostávajúce čísla:
Dostali sme odpoveď 20. Číslo 20 je teda najväčší spoločný deliteľ čísel 100 a 40. Tieto dve čísla sú bezo zvyšku deliteľné 20:
GCD (100 a 40) = 20.
Príklad 3 Nájdite gcd čísel 72 a 128
Po vylúčení čísla 72
Po vylúčení čísla 128
2×2×2×2×2×2×2
Teraz z rozšírenia prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa dve trojičky (vôbec žiadne). Odstránime ich z prvého rozšírenia:
Dostali sme odpoveď 8. Číslo 8 je teda najväčší spoločný deliteľ čísel 72 a 128. Tieto dve čísla sú bezo zvyšku deliteľné 8:
GCD (72 a 128) = 8
Hľadanie GCD pre viacero čísel
Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, v ktorých sa má hľadať najväčší spoločný deliteľ, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel.
Napríklad nájdime GCD pre čísla 18, 24 a 36
Zohľadnenie čísla 18
Zohľadnenie čísla 24
Zohľadnenie čísla 36
Máme tri rozšírenia:
Teraz vyberieme a podčiarkneme spoločné faktory v týchto číslach. Spoločné faktory musia byť zahrnuté vo všetkých troch číslach:
Vidíme, že spoločné faktory pre čísla 18, 24 a 36 sú faktory 2 a 3. Vynásobením týchto faktorov dostaneme GCD, ktoré hľadáme:
Dostali sme odpoveď 6. Číslo 6 je teda najväčší spoločný deliteľ čísel 18, 24 a 36. Tieto tri čísla sú bezo zvyšku deliteľné šiestimi:
GCD (18, 24 a 36) = 6
Príklad 2 Nájdite gcd pre čísla 12, 24, 36 a 42
Rozložme každé číslo na faktor. Potom nájdeme súčin spoločných faktorov týchto čísel.
Zohľadnenie čísla 12
Zohľadnenie čísla 42
Máme štyri rozšírenia:
Teraz vyberieme a podčiarkneme spoločné faktory v týchto číslach. Spoločné faktory musia byť zahrnuté vo všetkých štyroch číslach:
Vidíme, že spoločné faktory pre čísla 12, 24, 36 a 42 sú faktory 2 a 3. Vynásobením týchto faktorov dostaneme GCD, ktoré hľadáme:
Dostali sme odpoveď 6. Číslo 6 je teda najväčší spoločný deliteľ čísel 12, 24, 36 a 42. Tieto čísla sú bezo zvyšku deliteľné šiestimi:
gcd(12, 24, 36 a 42) = 6
Z predchádzajúcej lekcie vieme, že ak sa nejaké číslo vydelí druhým bezo zvyšku, nazýva sa to násobok tohto čísla.
Ukazuje sa, že násobok môže byť spoločný viacerým číslam. A teraz nás bude zaujímať násobok dvoch čísel, pričom by mal byť čo najmenší.
Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel a a b- a a b a a číslo b.
Definícia obsahuje dve premenné a a b. Za tieto premenné dosaďte ľubovoľné dve čísla. Napríklad namiesto premennej a nahraďte číslo 9 a namiesto premennej b dosadíme číslo 12. Teraz si skúsme prečítať definíciu:
Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 9 a 12 - je najmenšie číslo, ktoré je násobkom 9 a 12 . Inými slovami, je to také malé číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom 9 a na čísle 12 .
Z definície je zrejmé, že LCM je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 9 a 12. Toto LCM je potrebné nájsť.
Existujú dva spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok (LCM). Prvý spôsob je, že si môžete zapísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z týchto násobkov vybrať také číslo, ktoré bude spoločné pre čísla aj malé. Aplikujme túto metódu.
Najprv nájdime prvé násobky čísla 9. Ak chcete nájsť násobky čísla 9, musíte túto deviatku postupne vynásobiť číslami od 1 do 9. Odpovede, ktoré dostanete, budú násobky čísla 9. Takže , Začnime. Násobky budú zvýraznené červenou farbou:
Teraz nájdeme násobky pre číslo 12. Aby sme to dosiahli, vynásobíme 12 postupne všetkými číslami 1 až 12.