Rovnica s jednou neznámou, ktorá po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných pojmov nadobudne tvar
ax + b = 0, kde a a b sú ľubovoľné čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou neznámou. Dnes zistíme, ako vyriešiť tieto lineárne rovnice.
Napríklad všetky rovnice:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineárne.
Hodnota neznámej, ktorá mení rovnicu na skutočnú rovnosť, sa nazýva rozhodnutie alebo koreň rovnice .
Napríklad, ak v rovnici 3x + 7 \u003d 13 nahradíme číslo 2 namiesto neznámeho x, potom dostaneme správnu rovnosť 3 2 + 7 \u003d 13. To znamená, že hodnota x \u003d 2 je riešením alebo koreň rovnice.
A hodnota x \u003d 3 nezmení rovnicu 3x + 7 \u003d 13 na skutočnú rovnosť, pretože 3 2 + 7 ≠ 13. Preto hodnota x \u003d 3 nie je riešením ani koreňom rovnice.
Riešenie ľubovoľných lineárnych rovníc sa redukuje na riešenie rovníc tvaru
ax + b = 0.
Voľný člen prenesieme z ľavej strany rovnice na pravú, pričom znamienko pred b zmeníme na opačné, dostaneme
Ak a ≠ 0, potom x = – b/a .
Príklad 1 Riešte rovnicu 3x + 2 =11.
Prenesieme 2 z ľavej strany rovnice na pravú, pričom zmeníme znamienko pred 2 na opačnú, dostaneme
3x \u003d 11 – 2.
Tak urobme odčítanie
3x = 9.
Ak chcete nájsť x, musíte rozdeliť produkt známym faktorom, tj.
x = 9:3.
Takže hodnota x = 3 je riešením alebo koreňom rovnice.
Odpoveď: x = 3.
Ak a = 0 a b = 0, potom dostaneme rovnicu 0x \u003d 0. Táto rovnica má nekonečne veľa riešení, keďže pri vynásobení ľubovoľného čísla 0 dostaneme 0, ale b je tiež 0. Riešením tejto rovnice je ľubovoľné číslo.
Príklad 2 Vyriešte rovnicu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Rozšírime zátvorky:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Tu sú podobní členovia:
0x = 0.
Odpoveď: x je ľubovoľné číslo.
Ak a = 0 a b ≠ 0, potom dostaneme rovnicu 0x = - b. Táto rovnica nemá riešenia, pretože vynásobením ľubovoľného čísla 0 dostaneme 0, ale b ≠ 0.
Príklad 3 Vyriešte rovnicu x + 8 = x + 5.
Zoskupme termíny obsahujúce neznáme na ľavej strane a voľné termíny na pravej strane:
x - x \u003d 5 - 8.
Tu sú podobní členovia:
0x = - 3.
Odpoveď: žiadne riešenia.
Na postava 1 je znázornená schéma riešenia lineárnej rovnice
Poďme skladať všeobecná schéma riešenia rovníc s jednou premennou. Zvážte riešenie z príkladu 4.
Príklad 4 Poďme vyriešiť rovnicu
1) Vynásobte všetky členy rovnice najmenším spoločným násobkom menovateľov, ktorý sa rovná 12.
2) Po zmenšení dostaneme
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Na oddelenie členov obsahujúcich neznámych a voľných členov otvorte zátvorky:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) V jednej časti zoskupujeme výrazy obsahujúce neznáme a v druhej - voľné výrazy:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Tu sú podobní členovia:
- 22x = - 154.
6) Deliť - 22 , Dostaneme
x = 7.
Ako vidíte, koreň rovnice je sedem.
Vo všeobecnosti také rovnice je možné riešiť nasledovne:
a) priviesť rovnicu do celočíselného tvaru;
b) otvorené zátvorky;
c) zoskupiť členy obsahujúce neznámu v jednej časti rovnice a voľné členy v druhej;
d) priviesť podobných členov;
e) vyriešte rovnicu v tvare aх = b, ktorá bola získaná po získaní rovnakých členov.
Táto schéma sa však nevyžaduje pre každú rovnicu. Pri riešení mnohých ďalších jednoduché rovnice musíte začať nie od prvého, ale od druhého ( Príklad. 2), tretí ( Príklad. trinásť) a dokonca aj od piatej fázy, ako v príklade 5.
Príklad 5 Riešte rovnicu 2x = 1/4.
Nájdeme neznáme x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Zvážte riešenie niektorých lineárnych rovníc, s ktorými sa stretnete na hlavnej štátnej skúške.
Príklad 6 Vyriešte rovnicu 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Odpoveď: - 0,125
Príklad 7 Vyriešte rovnicu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Odpoveď: 2.3
Príklad 8 Vyriešte rovnicu
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Príklad 9 Nájdite f(6), ak f (x + 2) = 3 7
rozhodnutie
Keďže potrebujeme nájsť f(6) a vieme f (x + 2),
potom x + 2 = 6.
Riešime lineárnu rovnicu x + 2 = 6,
dostaneme x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Ak x = 4, potom
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
odpoveď: 27.
Ak máte stále otázky, je tu túžba zaoberať sa riešením rovníc dôkladnejšie. Rád vám pomôžem!
TutorOnline tiež odporúča pozrieť si nový video tutoriál od našej lektorky Olgy Alexandrovny, ktorý vám pomôže pochopiť lineárne rovnice a ďalšie.
blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.
V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sú riešené pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.
Na začiatok definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá z nich by sa mala nazývať najjednoduchšia?
Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba v prvom stupni.
Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:
Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:
- Otvorené zátvorky, ak existujú;
- Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú stranu;
- Umiestnite podobné výrazy naľavo a napravo od znamienka rovnosti;
- Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$ .
Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy sa po všetkých týchto machináciách koeficient premennej $x$ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:
- Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Napríklad, keď dostanete niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je nenulové číslo. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
- Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.
A teraz sa pozrime, ako to celé funguje na príklade reálnych problémov.
Príklady riešenia rovníc
Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.
Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:
- Najprv musíte otvoriť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
- Potom prineste podobné
- Nakoniec izolujte premennú, t.j. všetko, čo je s premennou spojené – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – sa prenesie na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, sa prenesie na druhú stranu.
Potom musíte spravidla priniesť podobnú na každej strane výslednej rovnosti a potom zostáva len rozdeliť koeficientom v "x" a dostaneme konečnú odpoveď.
Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Zvyčajne sa chyby robia buď pri otváraní zátvoriek, alebo pri počítaní „plusov“ a „mínusov“.
Navyše sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo tak, že riešením je celá číselná os, t.j. ľubovoľné číslo. Tieto jemnosti budeme analyzovať v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, s väčšinou jednoduché úlohy.
Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc
Na začiatok mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:
- Ak existujú, rozbaľte zátvorky.
- Samostatné premenné, t.j. všetko, čo obsahuje „x“, sa prenesie na jednu stranu a bez „x“ na druhú.
- Uvádzame podobné pojmy.
- Všetko vydelíme koeficientom pri „x“.
Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje, má určité jemnosti a triky a teraz sa s nimi zoznámime.
Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc
Úloha č.1
V prvom kroku sme povinní otvoriť zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Pozor: hovoríme len o jednotlivých termínoch. Píšme:
Naľavo a napravo uvádzame podobné výrazy, ale už to tu bolo urobené. Preto pristúpime k štvrtému kroku: rozdelenie faktorom:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tu sme dostali odpoveď.
Úloha č. 2
V tejto úlohe môžeme pozorovať zátvorky, tak ich rozviňme:
Naľavo aj napravo vidíme približne rovnakú konštrukciu, ale konajme podľa algoritmu, t.j. sekvestračné premenné:
Tu sú niektoré ako:
Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.
Úloha č. 3
Tretia lineárna rovnica je už zaujímavejšia:
\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]
Zátvoriek je tu niekoľko, ale nie sú ničím znásobené, len majú pred sebou rôzne znaky. Poďme si ich rozobrať:
Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Poďme počítať:
Vykonáme posledný krok - všetko vydelíme koeficientom v "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc
Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:
- Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
- Aj keď sú korene, môže sa medzi nich dostať nula – na tom nie je nič zlé.
Nula je rovnaké číslo ako ostatné, nemali by ste to nejako rozlišovať alebo predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.
Ďalšia vlastnosť súvisí s rozširovaním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znaky na opak. A potom ho môžeme otvoriť podľa štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.
Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto konanie považuje za samozrejmosť.
Riešenie zložitých lineárnych rovníc
Prejdime k zložitejším rovniciam. Teraz sa konštrukcie skomplikujú a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by ste sa toho však báť, pretože ak podľa zámeru autora vyriešime lineárnu rovnicu, v procese transformácie sa nevyhnutne zredukujú všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.
Príklad č. 1
Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:
Teraz sa pozrime na súkromie:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Tu sú niektoré ako:
Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže v odpovedi píšeme takto:
\[\odroda \]
alebo bez koreňov.
Príklad č. 2
Vykonávame rovnaké kroky. Prvý krok:
Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:
Tu sú niektoré ako:
Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:
\[\varnothing\],
alebo bez koreňov.
Nuansy riešenia
Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemôže byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, v oboch jednoducho nie sú žiadne korene.
Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich otvárať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:
Pred otvorením je potrebné všetko vynásobiť „x“. Poznámka: násobte každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva pojmy - respektíve dva pojmy a je znásobené.
A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien možno zátvorku otvoriť z toho pohľadu, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie hotové, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko dole iba mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.
To isté urobíme s druhou rovnicou:
Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sled elementárnych transformácií, kde neschopnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché úkony vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a učia sa takéto jednoduché rovnice riešiť znova.
Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti zdokonalíte k automatizácii. Už nemusíte zakaždým vykonávať toľko premien, všetko napíšete do jedného riadku. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať samostatne.
Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc
To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.
Úloha č.1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Vynásobme všetky prvky v prvej časti:
Urobme si ústup:
Tu sú niektoré ako:
Urobme posledný krok:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa anihilovali, čím je rovnica presne lineárna, nie štvorcová.
Úloha č. 2
\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]
Urobme prvý krok opatrne: vynásobte každý prvok v prvej zátvorke každým prvkom v druhej. Celkovo by sa po transformáciách mali získať štyri nové výrazy:
A teraz opatrne vykonajte násobenie v každom výraze:
Presuňme výrazy s "x" doľava a bez - doprava:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Tu sú podobné výrazy:
Dostali sme definitívnu odpoveď.
Nuansy riešenia
Najdôležitejšia poznámka k týmto dvom rovniciam je táto: akonáhle začneme násobiť zátvorky, v ktorých je viac ako jeden člen, potom sa to robí podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom z druhého; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. Výsledkom sú štyri termíny.
Na algebraickom súčte
Posledným príkladom by som chcel žiakom pripomenúť, čo je to algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: od jednej odpočítame sedem. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Tento algebraický súčet sa líši od bežného aritmetického súčtu.
Akonáhle sa vám pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia začnú objavovať konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať v algebre problémy pri práci s polynómami a rovnicami.
Na záver sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a aby sme ich vyriešili, budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.
Riešenie rovníc zlomkom
Na vyriešenie takýchto úloh bude potrebné pridať do nášho algoritmu ešte jeden krok. Najprv však pripomeniem náš algoritmus:
- Otvorené zátvorky.
- Samostatné premenné.
- Prineste podobné.
- Rozdeliť faktorom.
Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus, pri všetkej svojej účinnosti, nie je úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme v oboch rovniciach zlomok vľavo a vpravo.
Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred prvou akciou aj po nej, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus teda bude nasledovný:
- Zbavte sa zlomkov.
- Otvorené zátvorky.
- Samostatné premenné.
- Prineste podobné.
- Rozdeliť faktorom.
Čo znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo je to možné urobiť aj po, aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky z hľadiska menovateľa číselné, t.j. všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe časti rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.
Príklad č. 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Píšme:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Teraz to otvoríme:
Vykonávame vylúčenie premennej:
Vykonávame redukciu podobných výrazov:
\[-4x=-1\left| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Dostali sme konečné riešenie, prejdeme k druhej rovnici.
Príklad č. 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problém je vyriešený.
To je vlastne všetko, čo som vám dnes chcel povedať.
Kľúčové body
Hlavné zistenia sú nasledovné:
- Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
- Možnosť otvárania zátvoriek.
- Nebojte sa, ak máte niekde kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa v procese ďalších transformácií znížia.
- Korene v lineárnych rovniciach, dokonca aj tie najjednoduchšie, sú troch typov: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň, neexistujú žiadne korene.
Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás oveľa viac zaujímavých vecí!
Jedna z najdôležitejších zručností v prijatie do 5. ročníka je schopnosť riešiť jednoduché rovnice. Od 5. ročníka nie je tak ďaleko od Základná škola, potom nie je toľko druhov rovníc, ktoré študent dokáže vyriešiť. Predstavíme vám všetky hlavné typy rovníc, ktoré musíte vedieť vyriešiť, ak chcete prihlásiť sa na fyzikálnu a matematickú školu.
1 typ: "cibuľový"
Toto sú rovnice, s ktorými sa takmer určite stretnete prijatie na akúkoľvek školu alebo krúžok 5. ročníka ako samostatná úloha. Je ľahké ich odlíšiť od ostatných: obsahujú premennú iba raz. Napríklad, alebo.
Sú vyriešené veľmi jednoducho: stačí sa "dostať" do neznáma, postupne "odstrániť" všetko prebytočné, čo ho obklopuje - ako keby ste ošúpali cibuľu - odtiaľ názov. Na jeho vyriešenie si postačí zapamätať si pár pravidiel z druhej triedy. Poďme si ich všetky vymenovať:
Doplnenie
- termín1 + termín2 = súčet
- termín1 = súčet - termín2
- termín2 = súčet - termín1
Odčítanie
- minuend - subtrahend = rozdiel
- minuend = subtrahend + rozdiel
- subtrahend = minuend - rozdiel
Násobenie
- multiplikátor1 * multiplikátor2 = súčin
- multiplikátor1 = súčin: multiplikátor2
- multiplikátor2 = súčin: multiplikátor1
divízie
- dividenda: deliteľ = podiel
- dividenda = deliteľ * kvocient
- deliteľ = dividenda: kvocient
Pozrime sa na príklad, ako tieto pravidlá aplikovať.
Všimnite si, že zdieľame 
na a dostaneme . V tejto situácii poznáme deliteľa a kvocientu. Ak chcete nájsť dividendu, musíte vynásobiť deliteľa podielom:
Trochu sme sa priblížili k sebe. Teraz to vidíme 
pridané a získané. Ak teda chcete nájsť jeden z výrazov, musíte od súčtu odčítať známy výraz:
A ešte jedna "vrstva" je odstránená z neznáma! Teraz vidíme situáciu so známou hodnotou súčinu () a jedným známym multiplikátorom ().
Teraz je situácia "znížená - odpočítaná = rozdiel"
A posledným krokom je známy produkt () a jeden z faktorov () 
2 typ: rovnice so zátvorkami
Rovnice tohto typu sa najčastejšie nachádzajú v úlohách - 90% všetkých úloh pre prijatie do triedy 5. Na rozdiel od "cibuľové rovnice" premenná sa tu môže vyskytovať viackrát, takže nie je možné ju vyriešiť metódami z predchádzajúceho odseku. Typické rovnice: alebo
Hlavným problémom je správne otvorenie zátvoriek. Keď sa nám to podarí urobiť správne, mali by sme priniesť podobné výrazy (čísla k číslam, premenné k premenným) a potom dostaneme najjednoduchšie "cibuľová rovnica" ktoré vieme vyriešiť. Ale najprv to.
Rozšírenie držiaka. Dáme niekoľko pravidiel, ktoré by sa mali v tomto prípade použiť. Ako však ukazuje prax, študent začne správne otvárať zátvorky až po 70 - 80 vyriešených problémoch. Základné pravidlo je toto: akýkoľvek faktor mimo zátvoriek sa musí vynásobiť každým výrazom v zátvorkách. A mínus pred zátvorkou zmení znamienko všetkých výrazov, ktoré sú vo vnútri. Takže základné pravidlá zverejňovania: 
Prinášať podobné. Všetko je tu oveľa jednoduchšie: prenosom výrazov cez znamienko rovnosti musíte zabezpečiť, aby na jednej strane existovali iba pojmy s neznámym a na druhej strane iba čísla. Základné pravidlo je toto: každý prenesený výraz zmení svoje znamienko – ak bol s, stane sa s a naopak. Po úspešnom prenose je potrebné spočítať celkový počet neznámych, konečný počet na druhej strane rovnosti ako premenné a vyriešiť jednoduchý "cibuľová rovnica".
Zátvorky sa používajú na označenie poradia, v ktorom sa operácie vykonávajú v číselnom a doslovné výrazy, ako aj vo výrazoch s premennými. Je vhodné prejsť z výrazu so zátvorkami na identicky rovnaký výraz bez zátvoriek. Táto technika sa nazýva otvorenie zátvoriek.
Rozbaliť zátvorky znamená zbaviť výraz týchto zátvoriek.
Osobitnú pozornosť si zasluhuje ďalší bod, ktorý sa týka zvláštností riešení písania pri otváraní zátvoriek. Počiatočný výraz so zátvorkami a výsledok získaný po otvorení zátvoriek môžeme zapísať ako rovnosť. Napríklad po otvorení zátvoriek namiesto výrazu
3−(5−7) dostaneme výraz 3−5+7. Oba tieto výrazy môžeme zapísať ako rovnosť 3−(5−7)=3−5+7.
A ešte jeden dôležitý bod. V matematike je na redukciu zápisov zvykom nepísať znamienko plus, ak je prvé vo výraze alebo v zátvorkách. Napríklad, ak sčítame dve kladné čísla, napríklad sedem a tri, napíšeme nie +7 + 3, ale jednoducho 7 + 3, napriek tomu, že sedem je tiež kladné číslo. Podobne, ak vidíte napríklad výraz (5 + x) - vedzte, že pred zátvorkou je plus, ktoré sa nepíše, a pred zátvorkou je plus + (+5 + x) päť.
Pravidlo rozšírenia zátvoriek na pridanie
Pri otváraní zátvoriek, ak je pred zátvorkami plus, potom sa toto plus vynecháva spolu so zátvorkami.
Príklad. Otvorte zátvorky vo výraze 2 + (7 + 3) Pred zátvorkami plus sa potom znaky pred číslami v zátvorkách nemenia.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Pravidlo pre rozširovanie zátvoriek pri odčítaní
Ak je pred zátvorkami mínus, potom sa toto mínus vynechá spolu so zátvorkami, ale výrazy, ktoré boli v zátvorkách, zmenia svoje znamienko na opačné. Neprítomnosť znamienka pred prvým výrazom v zátvorke znamená znamienko +.
Príklad. Otvorené zátvorky vo výraze 2 − (7 + 3)
Pred zátvorkami je mínus, takže musíte zmeniť znamienka pred číslami zo zátvoriek. Pred číslom 7 nie je v zátvorke žiadne znamienko, čo znamená, že sedmička je kladná, predpokladá sa, že znamienko + je pred ňou.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Pri otváraní zátvoriek odstránime z príkladu mínus, ktorý bol pred zátvorkami, a samotné zátvorky 2 − (+ 7 + 3) a zmeníme znamienka, ktoré boli v zátvorkách, na opačné.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Rozširujúce zátvorky pri násobení
Ak je pred zátvorkami znak násobenia, potom sa každé číslo v zátvorkách vynásobí koeficientom pred zátvorkami. Súčasne vynásobením mínus mínusom získate plus a vynásobením mínus plusom, ako keď vynásobíte plus mínusom, mínus.
Zátvorky v produktoch sa teda rozširujú v súlade s distribučnou vlastnosťou násobenia.
Príklad. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Pri násobení zátvorky zátvorkou sa každý člen prvej zátvorky násobí každým členom druhej zátvorky.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
V skutočnosti si netreba pamätať všetky pravidlá, stačí si zapamätať len jedno, toto: c(a−b)=ca−cb. prečo? Pretože ak namiesto c dosadíme jednotku, dostaneme pravidlo (a−b)=a−b. A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo −(a−b)=−a+b. No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.
Pri delení rozbaľte zátvorky
Ak je za zátvorkou znamienko delenia, tak každé číslo v zátvorke je deliteľné deliteľom za zátvorkou a naopak.
Príklad. (9 + 6) : 3 = 9 : 3 + 6 : 3
Ako rozšíriť vnorené zátvorky
Ak výraz obsahuje vnorené zátvorky, potom sa rozbalia v poradí, počnúc externými alebo internými.
Zároveň pri otváraní jednej zo zátvoriek je dôležité nedotýkať sa ostatných zátvoriek, len ich prepísať tak, ako sú.
Príklad. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Nie všetky rovnice obsahujúce zátvorky sa riešia rovnakým spôsobom. Samozrejme, najčastejšie potrebujú otvárať zátvorky a dávať podobné výrazy (spôsoby otvárania zátvoriek sa však líšia). Niekedy však nie je potrebné otvárať zátvorky. Zoberme si všetky tieto prípady s konkrétnymi príkladmi:
- 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
- 2x - 3 (x + 5) = -12.
- (x + 1) (7x - 21) = 0.
Riešenie rovníc cez otvorenie zátvoriek
Tento spôsob riešenia rovníc je najbežnejší, no aj pri všetkej svojej zjavnej univerzálnosti sa delí na poddruhy v závislosti od spôsobu otvárania zátvoriek.
1) Riešenie rovnice 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
V tejto rovnici sú pred zátvorkami znamienka mínus a plus. Ak chcete otvoriť zátvorky v prvom prípade, keď im predchádza znamienko mínus, všetky znamienka v zátvorkách by sa mali obrátiť. Pred druhým párom zátvoriek je znamienko plus, ktoré neovplyvní znamienka v zátvorkách, takže ich možno jednoducho vynechať. Dostaneme:
5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.
Členy s x prenesieme na ľavú stranu rovnice a zvyšok na pravú (znaky prenesených členov sa zmenia na opak):
5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.
Tu sú podobné výrazy:
Ak chcete nájsť neznámy faktor x, vydeľte súčin 18 známym faktorom 6:
x \u003d 18/6 \u003d 3.
2) Riešenie rovnice 2x - 3(x + 5) = -12.
V tejto rovnici tiež musíte najskôr otvoriť zátvorky, ale s použitím distribučnej vlastnosti: ak chcete vynásobiť -3 súčtom (x + 5), mali by ste vynásobiť -3 každým výrazom v zátvorkách a pridať výsledné produkty:
2x - 3x - 15 = -12
x = 3 / (-1) = 3.
Riešenie rovníc bez otvárania zátvoriek
Tretia rovnica (x + 1) (7x - 21) \u003d 0 sa dá vyriešiť aj otvorením zátvoriek, ale v takýchto prípadoch je oveľa jednoduchšie použiť vlastnosť násobenia: súčin je nula, keď je jeden z faktorov nula . znamená:
x + 1 = 0 alebo 7x - 21 = 0.