คุณสมบัติขององศา สูตร การพิสูจน์ ตัวอย่าง การพัฒนาบทเรียน "ระดับด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ" การทำซ้ำคุณสมบัติของระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ

หลังจากกำหนดระดับของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึง คุณสมบัติระดับ. ในบทความนี้ เราจะให้คุณสมบัติพื้นฐานของดีกรีของตัวเลข โดยแตะเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่นี่เราจะให้การพิสูจน์คุณสมบัติทั้งหมดของระดับ และยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้เมื่อแก้ตัวอย่างอย่างไร

การนำทางหน้า

คุณสมบัติขององศาพร้อมตัวบ่งชี้ธรรมชาติ

โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ดีกรีของ n คือผลคูณของแฟคเตอร์ n ตัว ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a ตามคำจำกัดความนี้และการใช้ คุณสมบัติการคูณจำนวนจริงเราสามารถขอรับและพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ:

คุณสมบัติหลักของ ดีกรี a m ·a n =a m+n ลักษณะทั่วไปของมัน ;
คุณสมบัติของอำนาจบางส่วนกับ เหตุผลเดียวกัน a m: a n = a m−n ;
คุณสมบัติระดับผลิตภัณฑ์ (a b) n =a n b n , ส่วนขยาย ;
คุณสมบัติเชาวน์ในชนิด (a:b) n =a n:b n ;
การยกกำลัง (a m) n =a m n , ลักษณะทั่วไปของมัน (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
การเปรียบเทียบระดับกับศูนย์:
- ถ้า a>0 แล้ว a n >0 สำหรับธรรมชาติ n ใดๆ ;
- ถ้า a=0 แล้ว a n =0 ;
- ถ้า<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ถ้า a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
ถ้า a และ b เป็นจำนวนบวกและ a
ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น m>n แล้วที่ 0 0 อสมการ a m >a n เป็นจริง

เราทราบทันทีว่าความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมดคือ เหมือนกันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดและสามารถเปลี่ยนชิ้นส่วนด้านขวาและด้านซ้ายได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติหลักของเศษส่วน a m a n = a m + n with การลดความซับซ้อนของนิพจน์มักใช้ในรูปแบบ a m+n = a m a n .

ทีนี้มาดูรายละเอียดกันทีละอย่างกัน

เริ่มกันที่คุณสมบัติของผลคูณสองกำลังที่มีฐานเท่ากันซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติหลักของปริญญา: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริง

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติหลักของปริญญา โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ผลคูณของกำลังที่มีฐานเดียวกันของรูปแบบ a m ·a n สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณ นิพจน์ผลลัพธ์สามารถเขียนเป็น และผลคูณนี้คือพลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m+n นั่นคือ a m+n นี้เสร็จสิ้นการพิสูจน์

ให้เรายกตัวอย่างที่ยืนยันคุณสมบัติหลักของปริญญา ลองหาองศาที่มีฐานเท่ากัน 2 และกำลังธรรมชาติ 2 และ 3 ตามคุณสมบัติหลักของดีกรี เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . ตรวจสอบความถูกต้องซึ่งเราคำนวณค่าของนิพจน์ 2 2 ·2 3 และ 2 5 . ทำการยกกำลังเรามี 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32และ 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32 เนื่องจากได้ค่าที่เท่ากันดังนั้นความเท่าเทียมกัน 2 2 2 3 \u003d 2 5 นั้นถูกต้องและเป็นการยืนยันคุณสมบัติหลักของระดับ

คุณสมบัติหลักของดีกรีตามคุณสมบัติของการคูณสามารถสรุปให้เป็นผลคูณของกำลังสามหรือมากกว่าที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ดังนั้นสำหรับจำนวนใด ๆ k ของจำนวนธรรมชาติ n 1 , n 2 , …, n k ความเท่าเทียมกัน a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

ตัวอย่างเช่น, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

คุณสามารถไปยังคุณสมบัติถัดไปขององศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ - คุณสมบัติของอำนาจบางส่วนที่มีฐานเดียวกัน: สำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ a และจำนวนธรรมชาติโดยอำเภอใจ m และ n เป็นไปตามเงื่อนไข m>n ความเท่าเทียมกัน a m:a n =a m−n เป็นจริง

ก่อนทำการพิสูจน์คุณสมบัตินี้ ให้เราพูดถึงความหมายของเงื่อนไขเพิ่มเติมในสูตร เงื่อนไข a≠0 จำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ เนื่องจาก 0 n =0 และเมื่อเราคุ้นเคยกับการหารแล้ว เราตกลงกันว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์ เงื่อนไข m>n ถูกนำมาใช้เพื่อที่เราจะไม่ไปไกลกว่าเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อันที่จริง สำหรับ m>n เลขชี้กำลัง a m−n เป็นจำนวนธรรมชาติ มิฉะนั้น มันจะเป็นศูนย์ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m−n ) หรือจำนวนลบ (ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ m
การพิสูจน์. คุณสมบัติหลักของเศษส่วนทำให้เราเขียนความเท่าเทียมกันได้ a m−n a n =a (m−n)+n =a m. จากความเท่าเทียมกันที่ได้รับ a m−n ·a n =a m และจากนั้น a m−n คือผลหารของกำลังของ m และ a n สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติของอำนาจบางส่วนที่มีฐานเดียวกัน

ลองมาดูตัวอย่างกัน ลองหาสององศาที่มีฐานเดียวกัน π และเลขชี้กำลังธรรมชาติ 5 และ 2 คุณสมบัติของดีกรีที่พิจารณาจะสอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน π 5: π 2 = π 5−3 = π 3

ตอนนี้พิจารณา คุณสมบัติระดับผลิตภัณฑ์: ดีกรีธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ของจำนวนจริงสองตัวใดๆ a และ b เท่ากับผลคูณขององศา a n และ b n นั่นคือ (a b) n =a n b n

โดยแท้จริงแล้ว โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ เราได้ . ผลิตภัณฑ์สุดท้าย ตามคุณสมบัติของการคูณ สามารถเขียนใหม่เป็น ซึ่งเท่ากับ a n b n

นี่คือตัวอย่าง: .

คุณสมบัตินี้ขยายไปถึงระดับของผลิตภัณฑ์ที่มีสามปัจจัยขึ้นไป นั่นคือคุณสมบัติพลังงานธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัย k เขียนเป็น (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

เพื่อความชัดเจน เราแสดงคุณสมบัตินี้พร้อมตัวอย่าง สำหรับผลคูณของปัจจัยสามตัวยกกำลัง 7 เรามี

ทรัพย์สินต่อไปคือ ทรัพย์สินทางธรรมชาติ: ผลหารของจำนวนจริง a และ b , b≠0 ยกกำลังธรรมชาติ n เท่ากับผลหารของยกกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a:b) n =a n:b n

สามารถดำเนินการพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า ดังนั้น (a:b) n b n =((a:b) b) n =a nและความเท่าเทียมกัน (a:b) n b n =a n หมายความว่า (a:b) n คือผลหารของ a n หารด้วย b n

ลองเขียนคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวอย่างของตัวเลขเฉพาะ: .

มาออกเสียงกันเถอะ คุณสมบัติการยกกำลัง: สำหรับจำนวนจริงใดๆ a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n พลังของ a m กำลัง n เท่ากับกำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลัง m·n นั่นคือ (a m) n =a m·n

ตัวอย่างเช่น (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

การพิสูจน์คุณสมบัติอำนาจในระดับหนึ่งคือความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: .

คุณสมบัติที่พิจารณาสามารถขยายไปถึงระดับภายในระดับภายในระดับและอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r และ s ความเท่าเทียมกัน . เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น นี่คือตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

มันยังคงอาศัยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

เราเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์คุณสมบัติการเปรียบเทียบของศูนย์และกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

อันดับแรก ลองหาเหตุผลว่า a n >0 สำหรับ a>0 ใดๆ

ผลคูณของจำนวนบวกสองจำนวนเป็นจำนวนบวก ตามมาจากนิยามของการคูณ ข้อเท็จจริงนี้และคุณสมบัติของการคูณทำให้เราสามารถยืนยันได้ว่าผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวกด้วย และกำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n คือตามนิยามแล้ว ผลคูณของตัวประกอบ n ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ a อาร์กิวเมนต์เหล่านี้ทำให้เรายืนยันว่าสำหรับฐานบวกใดๆ ดีกรีของ n เป็นจำนวนบวก โดยอาศัยคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้ว 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 และ .

เห็นได้ชัดว่าสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ ที่มี a=0 ระดับของ n จะเป็นศูนย์ แน่นอน 0 n =0·0·…·0=0 . ตัวอย่างเช่น 0 3 =0 และ 0 762 =0

มาต่อกันที่ฐานลบกัน

เริ่มจากกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ แสดงว่าเป็น 2 ม โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว . สำหรับแต่ละผลิตภัณฑ์ของแบบฟอร์ม a·a เท่ากับผลคูณของโมดูลของตัวเลข a และ a จึงเป็นจำนวนบวก ดังนั้นผลิตภัณฑ์ก็จะเป็นบวกเช่นกัน และองศาเอ 2ม. นี่คือตัวอย่าง: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 และ .

สุดท้าย เมื่อฐานของ a เป็นจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ 2 m-1 แล้ว . ผลิตภัณฑ์ทั้งหมด a·a เป็นจำนวนบวก ผลคูณของจำนวนบวกเหล่านี้เป็นบวกด้วย และการคูณด้วยจำนวนลบที่เหลือจะทำให้เกิดจำนวนลบ เนื่องจากคุณสมบัตินี้ (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

เราหันไปหาคุณสมบัติของการเปรียบเทียบดีกรีกับเลขชี้กำลังธรรมชาติเดียวกัน ซึ่งมีสูตรดังนี้: ของสององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเหมือนกัน n น้อยกว่าค่าที่มีฐานน้อยกว่า และมากกว่าค่าที่มีฐานมากกว่า มาพิสูจน์กัน

อสมการ a n คุณสมบัติของอสมการความไม่เท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์ในรูปแบบ a n (2,2) 7 และ .

มันยังคงพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ มากำหนดสูตรกัน จากสององศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและฐานบวกที่เหมือนกันน้อยกว่าหนึ่ง ระดับจะมากกว่า ตัวบ่งชี้ที่น้อยกว่า และสององศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและฐานเดียวกันมากกว่าหนึ่ง ระดับที่ตัวบ่งชี้มากกว่านั้นมากกว่า เราหันไปหาหลักฐานของทรัพย์สินนี้

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ 0 0 เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น m>n ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้นที่ 0
ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของทรัพย์สิน ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ a>1, a m >a n เป็นจริง ความแตกต่าง a m −a n หลังจากถอด n ออกจากวงเล็บแล้วจะมีรูปแบบ a n ·(a m−n −1) ผลคูณนี้เป็นค่าบวก เนื่องจากสำหรับ a>1 ดีกรีของ n เป็นจำนวนบวก และผลต่าง a m−n -1 เป็นจำนวนบวก เนื่องจาก m−n>0 เนื่องจากเงื่อนไขตั้งต้น และสำหรับ a>1 ระดับของ m−n มากกว่า 1 ดังนั้น a m − a n >0 และ a m >a n ซึ่งจะต้องพิสูจน์ คุณสมบัตินี้แสดงโดยอสมการ 3 7 >3 2

คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นตัวเลขธรรมชาติ ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจึงตรงกับคุณสมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ซึ่งแสดงไว้และพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า

ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ เช่นเดียวกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ เรากำหนดในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติซึ่งแสดงโดยความเท่าเทียมกันยังคงใช้ได้ ดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้จึงใช้ได้สำหรับทั้งเลขชี้กำลังศูนย์และเลขชี้กำลังลบ ในขณะที่แน่นอน ฐานของดีกรีไม่เป็นศูนย์

ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงและไม่ใช่ศูนย์ a และ b รวมทั้งจำนวนเต็ม m และ n ใดๆ สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม:

a m a n \u003d a m + n;

a m: a n = a m−n ;

(a b) n = a n b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n = a m n ;

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนบวก และ a bn;

ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มและ m>n แล้วที่ 0 1 ความไม่เท่าเทียมกัน a m >a n ถูกเติมเต็ม

สำหรับ a=0 ยกกำลัง a m และ a n จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อทั้ง m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ จำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติที่เพิ่งเขียนก็ใช้ได้สำหรับกรณีที่ a=0 และตัวเลข m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

ไม่ยากเลยที่จะพิสูจน์คุณสมบัติแต่ละอย่าง เท่านี้ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและเลขจำนวนเต็ม รวมทั้งคุณสมบัติของการกระทำด้วยจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น มาพิสูจน์ว่าสมบัติกำลังถือได้ทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มไม่บวก ในการทำเช่นนี้ เราต้องแสดงให้เห็นว่าถ้า p เป็นศูนย์หรือจำนวนธรรมชาติ และ q เป็นศูนย์หรือจำนวนธรรมชาติ ความเท่าเทียมกัน (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) และ (a−p)−q =a (−p) (−q). มาทำกัน

สำหรับ p และ q ที่เป็นบวก ความเท่าเทียมกัน (a p) q =a p·q ได้รับการพิสูจน์แล้วในหัวข้อย่อยก่อนหน้านี้ ถ้า p=0 เราก็มี (a 0) q =1 q =1 และ a 0 q =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) q =a 0 q ในทำนองเดียวกัน ถ้า q=0 แล้ว (a p) 0 =1 และ a p 0 =a 0 =1 ดังนั้น (a p) 0 =a p 0 ถ้าทั้ง p=0 และ q=0 แล้ว (a 0) 0 =1 0 =1 และ a 0 0 =a 0 =1 เหตุใด (a 0) 0 =a 0 0

ให้เราพิสูจน์ว่า (a −p) q =a (−p) q โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังลบ แล้ว . โดยคุณสมบัติของผลหารในระดับดีกรี เรามี . ตั้งแต่ 1 p =1·1·…·1=1 และ แล้ว . นิพจน์สุดท้าย ตามคำจำกัดความ พลังของรูปแบบ a −(p q) ซึ่งโดยอาศัยกฎการคูณ สามารถเขียนเป็น (−p) q ได้

ในทำนองเดียวกัน .

และ .

ด้วยหลักการเดียวกันนี้ คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งเขียนในรูปของความเท่าเทียมกัน

ในตอนท้ายของคุณสมบัติที่เขียนลงไป มันคุ้มค่าที่จะพิจารณาการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน a −n >b −n ซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มลบ −n และค่าบวก a และ b ใด ๆ ที่เงื่อนไข a . เนื่องจากโดยเงื่อนไข a 0 . ผลคูณ a n ·b n ยังเป็นค่าบวก เนื่องจากเป็นผลคูณของจำนวนบวก a n และ b n จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะเป็นบวกเป็นผลหารของจำนวนบวก b n - a n และ a n b n ดังนั้น a −n >b −n จึงต้องพิสูจน์

คุณสมบัติสุดท้ายขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับคุณสมบัติที่คล้ายคลึงขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

คุณสมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนโดยการขยายคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนมีคุณสมบัติเหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม กล่าวคือ:

การพิสูจน์คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วน บนและตามคุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม มาพิสูจน์กัน

โดยนิยามของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน และ แล้ว . คุณสมบัติ รากเลขคณิตให้เราเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ นอกจากนี้ โดยใช้คุณสมบัติดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม เราได้รับ ดังนั้นโดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เราได้ และเลขชี้กำลังของดีกรีที่ได้รับสามารถแปลงได้ดังนี้: . นี้เสร็จสิ้นการพิสูจน์

คุณสมบัติที่สองของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

ความเท่าเทียมกันที่เหลือได้รับการพิสูจน์โดยหลักการที่คล้ายกัน:

เราหันไปหาหลักฐานของทรัพย์สินต่อไป ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ a และ b ที่เป็นบวก a บีพี เราเขียนจำนวนตรรกยะ p เป็น m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เงื่อนไข p<0 и p>0 ในกรณีนี้จะเท่ากับเงื่อนไข m<0 и m>0 ตามลำดับ สำหรับ m>0 และ a
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ m<0 имеем a m >b m มาจากไหน นั่นคือและ a p >b p

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติรายการสุดท้าย ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q , p>q สำหรับ 0 0 – อสมการ a p >a q . เราสามารถลดจำนวนตรรกยะ p และ q ให้เป็นตัวส่วนร่วมได้เสมอ ลองหาเศษส่วนธรรมดามา โดยที่ m 1 และ m 2 เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ในกรณีนี้ เงื่อนไข p>q จะสอดคล้องกับเงื่อนไข m 1 >m 2 ซึ่งตามมาจาก จากนั้นโดยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบกำลังกับฐานเดียวกันและเลขชี้กำลังธรรมชาติที่ 0 1 – อสมการ a m 1 >a m 2 . ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ในแง่ของคุณสมบัติของรากสามารถเขียนใหม่ได้ตามลำดับเช่น และ . และคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทำให้เราส่งผ่านไปยังอสมการและตามลำดับได้ จากนี้เราได้ข้อสรุปสุดท้าย: สำหรับ p>q และ 0 0 – อสมการ a p >a q .

คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

จากการนิยามดีกรีที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ สามารถสรุปได้ว่ามีคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นสำหรับ a>0 , b>0 และจำนวนอตรรกยะ p และ q ใด ๆ สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ:

a p a q = a p + q ;

a p:a q = a p−q ;

(a b) p = a p b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q = a p q ;

สำหรับจำนวนบวกใด ๆ a และ b , a 0 ความไม่เท่าเทียมกัน a p ข พี ;

สำหรับจำนวนอตรรกยะ p และ q , p>q ที่ 0 0 – อสมการ a p >a q .

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง p และ q สำหรับ a>0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน

บรรณานุกรม.

Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. ตำราคณิตศาสตร์ Zh สำหรับ 5 เซลล์ สถาบันการศึกษา.

Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราสำหรับ 7 เซลล์ สถาบันการศึกษา.

Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับ 8 เซลล์ สถาบันการศึกษา.

Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับ 9 เซลล์ สถาบันการศึกษา.

Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป

Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

แผนที่เทคโนโลยีของบทเรียน

เกรด 7 บทเรียน #38

หัวข้อ: องศากับตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ
1. จัดให้มีการทำซ้ำการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบความรู้ในหัวข้อรวมและปรับปรุงทักษะของการแปลงนิพจน์ที่ง่ายที่สุดที่มีองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติสร้างเงื่อนไขสำหรับการตรวจสอบการดูดซึมความรู้และทักษะ
2. เพื่อสนับสนุนการพัฒนาทักษะในการใช้วิธีการทั่วไป การเปรียบเทียบ เน้นสิ่งสำคัญ ส่งเสริมการศึกษาที่น่าสนใจในการถ่ายทอดความรู้ไปยังสถานการณ์ใหม่ การพัฒนาขอบเขตทางคณิตศาสตร์ คำพูด ความสนใจและความจำ การพัฒนาของ กิจกรรมการศึกษาและความรู้ความเข้าใจ

3. เพื่อส่งเสริมการศึกษาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์, กิจกรรม, องค์กร, เพื่อปลูกฝังทักษะของการควบคุมซึ่งกันและกันและการควบคุมตนเองของกิจกรรมของพวกเขา, การก่อตัวของแรงจูงใจในเชิงบวกสำหรับการเรียนรู้, วัฒนธรรมของการสื่อสาร

แนวคิดพื้นฐานของบทเรียน

ดีกรี, ฐานของดีกรี, เลขชี้กำลัง, คุณสมบัติของดีกรี, ผลคูณของดีกรี, การแบ่งองศา, การเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง

ผลลัพธ์ตามแผน

พวกเขาจะได้เรียนรู้การทำงานโดยใช้แนวคิดของ Degree เข้าใจความหมายของการเขียนตัวเลขเป็นดีกรี ดำเนินการแปลงนิพจน์อย่างง่ายที่มีองศาด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

พวกเขาจะมีโอกาสเรียนรู้วิธีการแปลงนิพจน์จำนวนเต็มที่มีดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

ทักษะไอเทม UUD

UUD ส่วนบุคคล:

ความสามารถในการประเมินตนเองตามเกณฑ์ความสำเร็จของกิจกรรมการศึกษา

UUD ทางปัญญา:

ความสามารถในการนำทางในระบบความรู้และทักษะ: แยกแยะสิ่งใหม่จากสิ่งที่รู้จักกันแล้วด้วยความช่วยเหลือของครู ค้นหาคำตอบของคำถามโดยใช้ข้อมูลที่เรียนรู้ในบทเรียน

ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบของสื่อการศึกษา, ดำเนินการกับบันทึกสัญลักษณ์ของระดับ, ทดแทน, ทำซ้ำจากหน่วยความจำข้อมูลที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการศึกษา

เรื่อง UUD:

ใช้คุณสมบัติระดับกับการแปลงนิพจน์ที่มีอำนาจด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

ระเบียบข้อบังคับ UUD:
ความสามารถในการกำหนดและกำหนดเป้าหมายในบทเรียนด้วยความช่วยเหลือของครู ประเมินงานของคุณในชั้นเรียนเพื่อฝึกการควบคุมซึ่งกันและกันและการควบคุมตนเองในการปฏิบัติงาน

การสื่อสาร UUD:
สามารถกำหนดความคิดด้วยวาจาและเป็นลายลักษณ์อักษร ฟังและเข้าใจคำพูดของผู้อื่นได้

Meta-หัวเรื่องความสัมพันธ์

ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ การแพทย์ ชีวิตประจำวัน

ประเภทบทเรียน

การทำซ้ำ ลักษณะทั่วไป และการประยุกต์ใช้ความรู้และทักษะ

รูปแบบการทำงานและวิธีการทำงาน

หน้าผาก, ห้องอบไอน้ำ, บุคคล. คำอธิบาย - ภาพประกอบ วาจา สถานการณ์ปัญหา การประชุมเชิงปฏิบัติการ การตรวจสอบร่วมกัน การควบคุม

การสนับสนุนทรัพยากร

ส่วนประกอบของสื่อการสอน หนังสือเรียน Makarycheva โปรเจ็กเตอร์ จอภาพ คอมพิวเตอร์ การนำเสนอ งานที่มอบหมายให้นักเรียน ใบประเมินตนเอง

เทคโนโลยีที่ใช้ในการอบรม

เทคโนโลยีการอ่านความหมาย การเรียนรู้โดยใช้ปัญหา วิธีการเฉพาะบุคคลและความแตกต่าง ICT
จูงใจนักเรียนให้ทำงาน ระดมความสนใจ
สวัสดีตอนบ่าย สวัสดีตอนบ่ายเพื่อนร่วมงานที่รัก! ฉันทักทายทุกคนที่รวมตัวกันในบทเรียนเปิดของวันนี้ ฉันต้องการขอให้คุณทำงานในบทเรียนที่ประสบผลสำเร็จ พิจารณาคำตอบของคำถามที่ถามอย่างรอบคอบ ใช้เวลาของคุณ อย่าขัดจังหวะ เคารพเพื่อนร่วมชั้นของคุณและคำตอบของพวกเขา และขอให้ทุกท่านได้เกรดดีๆ เท่านั้น ขอให้โชคดีกับคุณ!

รวมอยู่ในจังหวะธุรกิจของบทเรียน

พวกเขาตรวจสอบความพร้อมของทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับการทำงานในบทเรียน ความแม่นยำของตำแหน่งของวัตถุ ความสามารถในการจัดระเบียบตัวเองปรับแต่งในการทำงาน

2. การทำให้ความรู้พื้นฐานเป็นจริงและการเข้าสู่หัวข้อของบทเรียน

3. งานช่องปาก

พวกคุณแต่ละคนมีแผ่นคะแนนอยู่บนโต๊ะทำงานของคุณคุณจะประเมินงานของคุณในบทเรียนวันนี้ในบทเรียน คุณได้รับโอกาสให้ได้รับไม่เพียงแค่หนึ่ง แต่สองคะแนน: สำหรับงานในบทเรียนและสำหรับงานอิสระ
คำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนของคุณจะถูกจัดประเภทเป็น "+" ด้วย แต่ฉันจะใส่เครื่องหมายนี้ในอีกคอลัมน์หนึ่ง

บนหน้าจอ คุณจะเห็นปริศนาที่เข้ารหัสคีย์เวิร์ดของบทเรียนวันนี้ แก้ปัญหาพวกเขา (สไลด์ 1)

ระดับ

การทำซ้ำ

ลักษณะทั่วไป

พวกคุณเดาปริศนาได้อย่างถูกต้อง คำเหล่านี้คือดีกรี การซ้ำซ้อน และลักษณะทั่วไป และตอนนี้โดยใช้คำที่คาดเดา - คำใบ้ กำหนดหัวข้อของบทเรียนวันนี้

อย่างถูกต้อง เปิดสมุดบันทึกและจดจำนวนและหัวข้อของบทเรียน "การทำซ้ำและการวางนัยทั่วไปในหัวข้อ "คุณสมบัติของระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ" (สไลด์ 2)

เราได้กำหนดหัวข้อของบทเรียนแล้ว แต่คุณคิดอย่างไร เราจะทำอย่างไรในบทเรียน เราจะตั้งเป้าหมายอะไรให้ตัวเอง (สไลด์ 3)

ทำซ้ำและสรุปความรู้ของเราในหัวข้อนี้ เติมช่องว่าง เตรียมพร้อมสำหรับการศึกษาหัวข้อถัดไป "Monominals"

คุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติมักถูกใช้เมื่อค้นหาค่าของนิพจน์เมื่อแปลงนิพจน์ ความเร็วของการคำนวณและการแปลงที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาตินั้นถูกกำหนดโดยการแนะนำ USE

ดังนั้นวันนี้เราจะทบทวนและสรุปความรู้และทักษะของคุณในหัวข้อนี้ คุณต้องแก้ปัญหาจำนวนหนึ่งและจำการจัดกลุ่มคุณสมบัติและคำจำกัดความของระดับด้วยวาจาด้วยวาจาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ

Epigraph บทเรียนจากคำพูดของนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ MV Lomonosov “ ให้ใครบางคนพยายามลบองศาจากคณิตศาสตร์และเขาจะเห็นว่าหากไม่มีพวกเขาคุณจะไม่ไปไกล”

(สไลด์ 4)

คุณคิดว่านักวิทยาศาสตร์ถูกต้องหรือไม่?

ทำไมเราต้องมีปริญญา?

พวกเขาใช้กันอย่างแพร่หลายที่ไหน? (ในทางฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ การแพทย์)

ใช่แล้ว มาลองอีกครั้ง ปริญญาคืออะไร?

a and . ชื่ออะไรนในบันทึกปริญญา?

องศาทำอะไรได้บ้าง? (สไลด์ 5-11)

และตอนนี้เรามาสรุปกัน คุณมีแผ่นงานบนโต๊ะทำงานของคุณหรือไม่? .

1. ด้านซ้ายคือจุดเริ่มต้นของคำจำกัดความ ด้านขวาคือจุดสิ้นสุดของคำจำกัดความ เชื่อมโยงข้อความสั่งที่ถูกต้องด้วยบรรทัด (สไลด์ 12)
เชื่อมต่อส่วนที่เกี่ยวข้องของคำจำกัดความด้วยเส้น
ก) เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน...

1) ระดับฐาน

ข) เมื่อแบ่งกำลังด้วยฐานเดียวกัน ....

2) เลขชี้กำลัง

c) หมายเลข a เรียกว่า

3) ผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ a

ง) เมื่อเพิ่มพลังให้เป็นพลัง...

4) ... ฐานยังคงเหมือนเดิมและตัวบ่งชี้รวมกัน

จ) กำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n มากกว่า 1 เรียกว่า

5) ... ฐานยังคงเหมือนเดิมและตัวบ่งชี้จะถูกคูณ

จ)ตัวเลขนเรียกว่า

6) องศา

กรัม)นิพจน์ นเรียกว่า

7) ... ฐานยังคงเหมือนเดิมและตัวบ่งชี้จะถูกลบออก

2. ตอนนี้ แลกเปลี่ยนเอกสารกับเพื่อนร่วมโต๊ะของคุณ ประเมินงานของเขา และให้คะแนนเขา ใส่คะแนนนี้ในใบบันทึกคะแนนของคุณ

ตอนนี้ ให้ตรวจสอบว่าคุณทำงานเสร็จถูกต้องหรือไม่

เดาปริศนาระบุคำ - คำใบ้

พวกเขากำลังพยายามกำหนดหัวข้อของบทเรียน

เขียนวันที่และหัวข้อของบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ

ตอบคำถาม

พวกเขาทำงานเป็นคู่ อ่านงานจำไว้

เชื่อมต่อบางส่วนของคำจำกัดความ

พวกเขาแลกเปลี่ยนโน้ตบุ๊ก

ทำการตรวจสอบผลลัพธ์ร่วมกันทำเครื่องหมายเพื่อนบ้านบนโต๊ะ ..

4. นาทีพลศึกษา

ยกมือขึ้นและสั่น -

นี่คือต้นไม้ในป่า

มืองอแปรงสั่น -

ลมพัดใบไม้.

ที่ด้านข้างของมือโบกมือเบา ๆ -

นกบินไปทางใต้

ขณะที่พวกเขานั่งลงแสดงอย่างเงียบ ๆ -

พับมือแบบนี้!

ทำกิจกรรมควบคู่ไปกับครู

5. การถ่ายโอนความรู้ที่ได้รับ การประยุกต์ใช้หลักในเงื่อนไขใหม่หรือที่เปลี่ยนแปลง เพื่อสร้างทักษะ

1. ฉันเสนองานต่อไปนี้ให้คุณ: คุณมีการ์ดอยู่บนโต๊ะทำงานของคุณ คุณต้องทำงานให้เสร็จ เช่น เขียนคำตอบเป็นดีกรีโดยใช้ฐาน c แล้วคุณจะได้ทราบนามสกุลและชื่อจริงของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ผู้แนะนำสัญกรณ์องศาที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในปัจจุบัน (สไลด์ 14)
5
กับ 8 : กับ 6

(กับ 4 ) 3 กับ

(กับ 4 ) 3

กับ 4 กับ 5 กับ 0

กับ 5 กับ 3 : กับ 6

กับ 16 : กับ 8

กับ 14 กับ 8

10.

(กับ 3 ) 5

คำตอบ: เรเน่ เดส์การตส์.

เรื่องราวเกี่ยวกับชีวประวัติของ Rene Descartes (สไลด์ 15 - 17)

พวกเรามาทำภารกิจต่อไปกันเถอะ

2. เกี่ยวกับ พิจารณาว่าคำตอบใดถูกต้องและเท็จ (สไลด์ 18 - 19)

ตั้งค่าคำตอบจริงเป็น 1 คำตอบเท็จเป็น 0
หลังจากได้รับชุดเลขและศูนย์ที่สั่งซื้อแล้วคุณจะพบคำตอบที่ถูกต้องและกำหนดชื่อและนามสกุลของผู้หญิงรัสเซียคนแรก - นักคณิตศาสตร์

เอ) x 2 x 3 =x 5

ข) ส 3 ส 5 ส 8 = ส 16

ใน) x 7 : x 4 = x 28

ช) (ค+ d) 8 : ( ค+ d) 7 = ค+ d

จ) (x 5 ) 6 = x 30

เลือกชื่อของเธอจากชื่อผู้หญิงที่มีชื่อเสียงสี่ชื่อ ซึ่งแต่ละชื่อตรงกับชุดของเลขศูนย์และเลขศูนย์:

เอด้า ออกัสตา เลิฟเลซ - 11001
โซฟี เจอร์แมง - 10101
Ekaterina Dashkova - 11101
โซเฟีย โควาเลฟสกายา - 11011

จากชีวประวัติของ Sofia Kovalevskaya (สไลด์ 20)

ปฏิบัติงานกำหนดนามสกุลและชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

ฟังและดูสไลด์

พวกเขาทำเครื่องหมายคำตอบที่ถูกต้องและไม่ถูกต้อง จดรหัสผลลัพธ์ซึ่งกำหนดชื่อของผู้หญิงรัสเซียคนแรก - นักคณิตศาสตร์

6. การควบคุมและประเมินความรู้ การปฏิบัติงานอิสระของนักเรียนภายใต้การดูแลของครู

และตอนนี้คุณต้องทำงานตรวจสอบ ก่อนที่คุณจะเป็นการ์ดที่มีงานสีต่างกัน สีสอดคล้องกับระดับความยากของงาน (โดย "3" โดย "4" โดย "5") เลือกงานสำหรับเกรดที่คุณจะทำและเริ่มทำงาน (สไลด์ 21)

บน "3"

1. แสดงผลิตภัณฑ์เป็นพลัง:

ก) ; ข) ;

ใน) ; ช) .

2. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

( ม 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( ม 3 ) 2 ; ( เอ x ) y

บน "4"

1. นำเสนอสินค้าเป็นปริญญา

ก) x 5 X 8 ; บู 2 ที่ 9 ; ใน2 6 2 4 ; ช)ม 2 ม 5 ม 4 ;

จ)x 6 ∙ x 3 ∙ x 7 ; ฉ) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. แสดงผลหารเป็นกำลัง:

ก)x 8 : x 4 ; ข) (–0.5) 10 : (–0,5) 8 ;

ค) x 5 : X 3 ; ง) 10 : ยู 10 ; D2 6 : 2 4 ; จ) ;

ถึง "5"

1.ทำตามขั้นตอน:

ก) ก 4 · เอ · เอ 3 ข) (7 X ) 2 ค) ร · R 2 · R 0

ง) กับ · กับ 3 · ค) t · t 4 · ( t 2 ) 2 · t 0

จ) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 กรัม) -X 3 · (– X ) 4

ชม) (R 2 ) 4 : R 5 ผม)(3 4 ) 2 (3 2 ) 3 : 3 11

2. ลดความซับซ้อน:

ก) x 3 ( x 2 ) 5 ค) ( เอ 2 ) 3 ( เอ 4 ) 2

ข) ( เอ 3 ) 2 เอ 5 กรัม) ( x 2 ) 5 ( x 5 )

งานอิสระ

ทำงานที่ได้รับมอบหมายในสมุดบันทึก

7. สรุปบทเรียน

สรุปข้อมูลที่ได้รับในบทเรียนตรวจงาน คัดเกรด. การระบุปัญหาที่พบในบทเรียน

8. การสะท้อนกลับ

เกิดอะไรขึ้นกับแนวคิดของการศึกษาระดับปริญญาในXVIIศตวรรษ คุณและฉันสามารถทำนายได้ด้วยตัวเอง ในการทำเช่นนี้ พยายามตอบคำถาม: เป็นไปได้ไหมที่จะเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นกำลังลบหรือเศษส่วน? แต่นี่เป็นหัวข้อของการศึกษาในอนาคตของเรา

เกรดของบทเรียน

ฉันต้องการจบบทเรียนของเราด้วยคำอุปมาต่อไปนี้

คำอุปมา นักปราชญ์คนหนึ่งกำลังเดินอยู่ และมีคนสามคนกำลังเดินเข้ามาหาเขา ซึ่งกำลังบรรทุกเกวียนที่มีหินสำหรับก่อสร้างภายใต้แสงแดดอันร้อนระอุ ปราชญ์หยุดและถามคำถามแต่ละคน เขาถามคนแรก: "คุณทำอะไรทั้งวัน?" และเขาตอบด้วยรอยยิ้มว่าเขาแบกหินต้องสาปมาทั้งวัน ปราชญ์ถามคนที่สอง: "คุณทำอะไรมาทั้งวัน" และเขาตอบว่า: "และฉันก็ทำงานของฉันอย่างมีสติ" และคนที่สามยิ้ม ใบหน้าของเขาเปล่งประกายด้วยความปิติยินดี: “และฉันมีส่วนร่วมในการก่อสร้างวัด!”

พวกตอบคุณทำอะไรในบทเรียนวันนี้? เพียงแค่ทำในใบประเมินตนเอง วงกลมข้อความในแต่ละคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องกับคุณ

ในใบประเมินตนเอง คุณต้องขีดเส้นใต้วลีที่แสดงลักษณะงานของนักเรียนในบทเรียนในสามส่วน

บทเรียนของเราจบลงแล้ว ขอบคุณทุกคนสำหรับการทำงานหนักในชั้นเรียน!

ตอบคำถาม

ประเมินผลงานของคุณในชั้นเรียน

ทำเครื่องหมายบนวลีการ์ดที่แสดงลักษณะงานของพวกเขาในบทเรียน

บทเรียนในหัวข้อ: "ระดับและคุณสมบัติของมัน"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

สรุปความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ "ปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ"
เพื่อให้บรรลุจากความเข้าใจอย่างมีสติของนักเรียนเกี่ยวกับคำจำกัดความของระดับคุณสมบัติความสามารถในการนำไปใช้
เพื่อสอนวิธีการใช้ความรู้ ทักษะ สำหรับงานที่มีความซับซ้อนต่างๆ
สร้างเงื่อนไขสำหรับการสำแดงความเป็นอิสระความอุตสาหะกิจกรรมทางจิตปลูกฝังความรักในวิชาคณิตศาสตร์

อุปกรณ์ : เจาะการ์ด, ไพ่, ทดสอบ, ตาราง.

บทเรียนนี้ออกแบบมาเพื่อจัดระบบและสรุปความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับคุณสมบัติของปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ เนื้อหาของบทเรียนก่อให้เกิดความรู้ทางคณิตศาสตร์ในเด็กและพัฒนาความสนใจในเรื่องนั้น ขอบเขตอันไกลโพ้นในด้านประวัติศาสตร์

ขั้นตอนการทำงาน.

ข้อความเกี่ยวกับหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน.

วันนี้เรามีบทเรียนทั่วไปในหัวข้อ "ดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติและคุณสมบัติของมัน"

งานของบทเรียนของเราคือทำซ้ำเนื้อหาทั้งหมดที่ครอบคลุมและเตรียมพร้อมสำหรับการทดสอบ

ตรวจการบ้าน.

(เป้าหมาย: เพื่อทดสอบความชำนาญของการยกกำลัง ผลิตภัณฑ์ และองศา)

№ 238(b) หมายเลข 220 (a; d) หมายเลข 216.

ด้านหลังกระดานมี 2 คนพร้อมการ์ดแต่ละใบ
4 ∙ a 15 a 12 ∙ a 4 12: 4 a 18: 9 (ก 2) 5 (ก 4) 8 (a2 ข 3) 6 (а 6 bв 4) 3 0 a 0
งานปาก.

(เป้าหมาย: เพื่อย้ำประเด็นสำคัญที่เสริมกำลังอัลกอริธึมสำหรับการคูณและหารยกกำลัง การยกกำลัง)

กำหนดนิยามของดีกรีของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ
เริ่มปฏิบัติ.

∙ a 3; เป็น 4: เป็น 2; (a 6) 2 ; (2а 3) 3 ; และ 0 .
สมการนี้มีค่าเท่ากับ x เท่าไร?

5 6 ∙5 x \u003d 5 10 10 x: 10 2 \u003d 10 (ก 4) x \u003d a 8 (ก x b 2) = a 35 b 10
กำหนดเครื่องหมายของนิพจน์โดยไม่ต้องคำนวณ

(-3) 5 , -19 2 , -(-15) 2 , (-8) 6 , - (-17) 7
ลดความซับซ้อน

ก)
; ข) (ก 4) 6: (ก 3) 3
ระดมสมอง

(เป้า : ตรวจสอบความรู้พื้นฐานของนักศึกษา คุณสมบัติของปริญญา)

ทำงานกับบัตรเจาะ เพื่อความรวดเร็ว
6: 4; 10:a 3 (ก 2) 2 ; (ก 3) 3 ; (ก 4) 5 ; (อ 0) 2 .
(2а 2) 2 ; (-2a 3) 3 ; (3а 4) 2 ; (-2a 2 ข) 4 .
ออกกำลังกาย: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ (เราทำงานเป็นคู่, คลาสแก้งาน a, b, c, เราตรวจสอบโดยรวม)

(เป้าหมาย: หาคุณสมบัติของปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ)

ก)
; ข)
; ใน)

6. คำนวณ:

ก)
(รวมกัน )

ข)
(ด้วยตัวเอง )

ใน)
(ด้วยตัวเอง )

ช)
(รวมกัน )

จ)
(ด้วยตัวเอง ).

7 . ตรวจสอบตัวเอง!

(เป้าหมาย: การพัฒนาองค์ประกอบของกิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียนและความสามารถในการควบคุมการกระทำของพวกเขา)

ทำงานกับแบบทดสอบนักเรียน 2 คนบนกระดานดำแบบทดสอบตนเอง

เข้าใจแล้ว.

คำนวณนิพจน์

║ - ใน.
ลดความซับซ้อนของนิพจน์

คำนวณ.

คำนวณนิพจน์

D / s บ้านถึง / r (บนการ์ด)
สรุปบทเรียนการให้คะแนน

(เป้าหมาย: เพื่อให้นักเรียนสามารถเห็นผลงานของตนเองได้ พัฒนาความสนใจทางปัญญา)

ใครเป็นคนแรกที่เริ่มเรียนปริญญา?
วิธีการเลี้ยง n ?

จนถึงระดับที่ n เราเอตั้งตรง

เราต้องคูณ n ครั้งหนึ่ง

ถ้า n หนึ่ง - ไม่เคย

ถ้ามากก็คูณบน,

ย้ำนะคะ n ครั้ง

3) เราสามารถเพิ่มจำนวนเป็น ปริญญา ว. เร็วมาก?

ถ้าคุณใช้เครื่องคิดเลข

หมายเลข รับเพียงครั้งเดียว

แล้วเครื่องหมายของ "การคูณ" - ครั้งเดียวด้วย

จะกดป้าย "เปิดออก" หลายครั้ง

เท่าไร n ไม่มีหน่วยจะแสดงให้เราเห็น

และคำตอบก็พร้อม โดยไม่ต้องใช้ปากกาโรงเรียนสม่ำเสมอ .

4) ระบุคุณสมบัติของระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ

เกรดสำหรับบทเรียนจะถูกกำหนดหลังจากตรวจสอบงานด้วยบัตรเจาะพร้อมการทดสอบโดยคำนึงถึงคำตอบของนักเรียนที่ตอบระหว่างบทเรียน

วันนี้คุณทำได้ดีแล้ว ขอบคุณ

วรรณกรรม:

1.A.G. Mordkovich พีชคณิต-7 class.

2.วัสดุการสอน - เกรด 7

3.A.G. การทดสอบ Mordkovich - เกรด 7

ก่อนหน้านี้เราได้พูดถึงว่ากำลังของตัวเลขคืออะไร มีคุณสมบัติบางอย่างที่เป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหา: มันคือพวกเขาและเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เราจะวิเคราะห์ในบทความนี้ เราจะสาธิตด้วยตัวอย่างว่าสามารถพิสูจน์และนำไปใช้จริงได้อย่างไรในทางปฏิบัติ

ขอให้เราระลึกถึงแนวคิดของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติที่เราได้กำหนดไว้ก่อนหน้านี้: นี่คือผลคูณของปัจจัยจำนวน n ซึ่งแต่ละค่าเท่ากับ a เราต้องจำวิธีการคูณจำนวนจริงอย่างถูกต้องด้วย ทั้งหมดนี้จะช่วยให้เราสามารถกำหนดคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ:
คำจำกัดความ 1
1. คุณสมบัติหลักของดีกรี: a m a n = a m + n

สามารถสรุปเป็น: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k

2. คุณสมบัติทางหารสำหรับกำลังที่มีฐานเหมือนกัน: a m: a n = a m − n

3. คุณสมบัติระดับผลิตภัณฑ์: (a b) n = a n b n

ความเท่าเทียมกันสามารถขยายเป็น: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. คุณสมบัติของดีกรีธรรมชาติ: (a: b) n = a n: b n

5. เรายกกำลังให้กำลัง: (a m) n = a m n ,

สามารถสรุปเป็น: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. เปรียบเทียบองศากับศูนย์:

ถ้า a > 0 ดังนั้นสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ a n จะมากกว่าศูนย์

มีค่าเท่ากับ 0 และ n จะเท่ากับศูนย์ด้วย

สำหรับ< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;

สำหรับ< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. ความเท่าเทียมกัน n a n จะเป็นจริงโดยที่ m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ m มากกว่า n และ a มากกว่าศูนย์และไม่น้อยกว่าหนึ่ง

เป็นผลให้เราได้รับความเท่าเทียมกันหลายประการ หากคุณปฏิบัติตามเงื่อนไขทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น เงื่อนไขจะเหมือนกันทุกประการ สำหรับแต่ละความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับคุณสมบัติหลัก คุณสามารถสลับส่วนขวาและซ้าย: a m · a n = a m + n - เหมือนกับ a m + n = a m · a n ในรูปแบบนี้ มักใช้เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์

1. เริ่มจากคุณสมบัติหลักของดีกรี: ความเท่าเทียมกัน a m · a n = a m + n จะเป็นจริงสำหรับ m และ n ธรรมชาติใดๆ และจำนวนจริง a จะพิสูจน์ข้อความนี้ได้อย่างไร?

คำจำกัดความพื้นฐานของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติจะทำให้เราสามารถแปลงความเท่าเทียมกันเป็นผลคูณของปัจจัยต่างๆ เราจะได้รายการดังนี้

สามารถย่อให้สั้นลงได้ (จำคุณสมบัติพื้นฐานของการคูณ) เป็นผลให้เราได้ดีกรีของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m + n ดังนั้น m + n ซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติหลักของระดับได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลองมาดูตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมเพื่อพิสูจน์สิ่งนี้
ตัวอย่างที่ 1
เราก็มีเลขยกกำลังสองตัวที่มีฐาน 2 ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติคือ 2 และ 3 ตามลำดับ เราได้ความเท่าเทียมกัน: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 ลองคำนวณค่าเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้

มาดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นกัน: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 และ 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

เป็นผลให้เราได้รับ: 2 2 2 3 = 2 5 . คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณ เราจึงสามารถสรุปคุณสมบัติโดยกำหนดมันให้อยู่ในรูปของยกกำลังสามตัวขึ้นไป ซึ่งเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ และฐานเท่ากัน หากเราระบุจำนวนตัวเลขธรรมชาติ n 1, n 2 ฯลฯ ด้วยตัวอักษร k เราจะได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
ตัวอย่าง 2

2. ต่อไป เราต้องพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติเชาวน์และมีอยู่ในกำลังที่มีฐานเดียวกัน นี่คือความเท่าเทียมกัน a m: a n = a m − n ซึ่งใช้ได้กับ m และ n (และ m ตามธรรมชาติ) มากกว่า n)) และจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ a

ในการเริ่มต้น ให้เราอธิบายว่าความหมายของเงื่อนไขที่ระบุไว้ในสูตรคืออะไร ถ้าเราหาค่าเท่ากับศูนย์ ในที่สุดเราจะได้การหารด้วยศูนย์ ซึ่งไม่สามารถทำได้ (หลังจากทั้งหมด 0 n = 0) เงื่อนไขที่ว่าจำนวน m ต้องมากกว่า n เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้เราสามารถอยู่ภายในเลขชี้กำลังธรรมชาติ: โดยการลบ n ออกจาก m เราได้จำนวนธรรมชาติ หากไม่ตรงตามเงื่อนไข เราจะได้ตัวเลขติดลบหรือศูนย์ และอีกครั้ง เราจะไปไกลกว่าการศึกษาระดับปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

ตอนนี้เราไปต่อที่การพิสูจน์ได้แล้ว จากการศึกษาก่อนหน้านี้ เราจำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนและกำหนดความเท่าเทียมกันได้ดังนี้

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

จากนั้นเราสามารถอนุมานได้ว่า: a m − n a n = a m

จำการเชื่อมต่อระหว่างการหารและการคูณ จากนั้น a m − n คือผลหารของยกกำลัง a m และ a n นี่คือข้อพิสูจน์ของคุณสมบัติระดับที่สอง
ตัวอย่างที่ 3
แทนที่ตัวเลขเฉพาะเพื่อความชัดเจนในตัวบ่งชี้ และแสดงฐานของดีกรี π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. ต่อไป เราจะวิเคราะห์คุณสมบัติของระดับของผลิตภัณฑ์: (a · b) n = a n · b n สำหรับจำนวนจริง a และ b และธรรมชาติ n

ตามคำจำกัดความพื้นฐานของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ เราสามารถกำหนดความเท่าเทียมกันใหม่ได้ดังนี้

จำคุณสมบัติของการคูณเราเขียน: . มันมีความหมายเหมือนกับ a n · b n
ตัวอย่างที่ 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

หากเรามีตัวประกอบตั้งแต่สามตัวขึ้นไป คุณสมบัตินี้จะใช้กับกรณีนี้ด้วย เราแนะนำสัญกรณ์ k สำหรับจำนวนปัจจัยและเขียน:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
ตัวอย่างที่ 5
ด้วยตัวเลขเฉพาะ เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องดังต่อไปนี้ (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a

4. หลังจากนั้น เราจะพยายามพิสูจน์คุณสมบัติเชาวน์: (a: b) n = a n: b n สำหรับจำนวนจริง a และ b ถ้า b ไม่เท่ากับ 0 และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

เพื่อเป็นหลักฐาน เราสามารถใช้คุณสมบัติดีกรีก่อนหน้าได้ ถ้า (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n และ (a: b) n b n = a n จะตามมาว่า (a: b) n คือผลหารของการหาร a n ด้วย b n
ตัวอย่างที่ 6
ลองนับตัวอย่าง: 3 1 2: - 0 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

ตัวอย่าง 7
มาเริ่มกันทันทีด้วยตัวอย่าง: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

และตอนนี้เราได้กำหนดห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันที่จะพิสูจน์ให้เราเห็นถึงความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน:

ถ้าเรามีดีกรีเป็นดีกรีในตัวอย่าง คุณสมบัตินี้ก็เป็นจริงสำหรับพวกมันเช่นกัน หากเรามีจำนวนธรรมชาติ p, q, r, s มันจะเป็นจริง:

a p q y s = a p q y s
ตัวอย่างที่ 8
มาเพิ่มความเฉพาะเจาะจงกัน: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. คุณสมบัติอื่นขององศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติที่เราต้องพิสูจน์คือคุณสมบัติการเปรียบเทียบ

อันดับแรก ลองเปรียบเทียบเลขชี้กำลังกับศูนย์ ทำไม n > 0 โดยที่ a มากกว่า 0

ถ้าเราคูณจำนวนบวกหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง เราก็จะได้จำนวนบวกเช่นกัน เมื่อทราบข้อเท็จจริงนี้ เราสามารถพูดได้ว่าสิ่งนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนของปัจจัย - ผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวก และดีกรีคืออะไร ถ้าไม่ใช่ผลลัพธ์ของการคูณตัวเลข? จากนั้นสำหรับเลขยกกำลัง a n ใดๆ ที่มีฐานบวกและเลขชี้กำลังธรรมชาติ นี่จะเป็นจริง
ตัวอย่างที่ 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 และ 34 9 13 51 > 0

เห็นได้ชัดว่ากำลังที่มีฐานเท่ากับศูนย์นั้นเป็นศูนย์ พลังใด ๆ ที่เราเพิ่มเป็นศูนย์ มันจะยังคงเป็นศูนย์
ตัวอย่าง 10
0 3 = 0 และ 0 762 = 0

หากฐานของดีกรีเป็นจำนวนลบ การพิสูจน์ก็ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เนื่องจากแนวคิดของเลขชี้กำลังคู่ / คี่มีความสำคัญ เริ่มจากกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นคู่และแทนด้วย 2 · m โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ

จำวิธีการคูณจำนวนลบอย่างถูกต้อง: ผลิตภัณฑ์ a · a เท่ากับผลคูณของโมดูล ดังนั้น มันจะเป็นจำนวนบวก แล้ว และดีกรี a 2 · m ก็เป็นบวกเช่นกัน
ตัวอย่าง 11
ตัวอย่างเช่น (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 และ - 2 9 6 > 0

เกิดอะไรขึ้นถ้าเลขชี้กำลังที่มีฐานลบเป็นเลขคี่? ลองแทนมัน 2 · m − 1 .

แล้ว

ผลิตภัณฑ์ทั้งหมด a · a ตามคุณสมบัติของการคูณ เป็นค่าบวก และผลิตภัณฑ์ของมันก็เช่นกัน แต่ถ้าเราคูณมันด้วยจำนวนที่เหลืออยู่ a ผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นลบ

จากนั้นเราได้รับ: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

จะพิสูจน์ได้อย่างไร?

หนึ่ง< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a (0 , 75) 124

8. มันยังคงอยู่สำหรับเราที่จะพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย: ถ้าเรามีสององศา ฐานที่เท่ากันและเป็นบวก และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วหนึ่งในนั้นมีค่ามากกว่า เลขชี้กำลังน้อยกว่า และสององศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและฐานเดียวกันมากกว่าหนึ่ง ระดับที่ตัวบ่งชี้มากกว่านั้นมากกว่า

มาพิสูจน์คำยืนยันเหล่านี้กัน

ก่อนอื่นเราต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่า m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

เรานำ n ออกจากวงเล็บ หลังจากนั้นผลต่างจะอยู่ในรูปแบบ a n · (am − n − 1) ผลลัพธ์จะเป็นค่าลบ (เนื่องจากผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกกับค่าลบหนึ่งเป็นค่าลบ) ตามเงื่อนไขตั้งต้น m − n > 0 แล้ว a m − n − 1 เป็นลบ และปัจจัยแรกเป็นบวก เช่นเดียวกับกำลังธรรมชาติใดๆ ที่มีฐานเป็นบวก

ปรากฎว่า a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

มันยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของคำสั่งที่กำหนดข้างต้น: a m > a เป็นจริงสำหรับ m > n และ a > 1 เราระบุความแตกต่างและนำ n ออกจากวงเล็บ: (a m - n - 1) . พลังของ n ที่มีค่ามากกว่าหนึ่งจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก และผลต่างจะกลายเป็นบวกเนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น และสำหรับ a > 1 ระดับของ m − n มากกว่า 1 ปรากฎว่า a m − a n > 0 และ a m > a n ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องพิสูจน์
ตัวอย่างที่ 13
ตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: 3 7 > 3 2

คุณสมบัติพื้นฐานขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

สำหรับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก คุณสมบัติจะคล้ายคลึงกัน เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นไปตามธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันทั้งหมดที่พิสูจน์ข้างต้นนั้นใช้ได้สำหรับค่าเหล่านี้เช่นกัน นอกจากนี้ยังเหมาะสำหรับกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ (โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของดีกรีนั้นไม่ใช่ศูนย์)

ดังนั้น สมบัติของกำลังจึงเหมือนกันสำหรับฐานใดๆ a และ b (โดยมีเงื่อนไขว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนจริงและไม่เท่ากับ 0) และเลขชี้กำลังใดๆ m และ n (หากเป็นจำนวนเต็ม) เราเขียนสั้น ๆ ในรูปแบบของสูตร:
คำจำกัดความ 2
1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (น) n = a m n

6. นb − n ที่มีจำนวนเต็มบวก n , บวก a และ b , an และ 0< a < 1 , при a >1 ม. > น.

หากฐานของดีกรีเท่ากับศูนย์ ดังนั้นรายการ a m และ a n จะสมเหตุสมผลในกรณีของ m และ n ที่เป็นค่าธรรมชาติและเป็นบวก ด้วยเหตุนี้ เราจึงพบว่าสูตรข้างต้นเหมาะสำหรับกรณีที่มีดีกรีที่มีฐานเป็นศูนย์ หากตรงตามเงื่อนไขอื่นๆ ทั้งหมด

การพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้ในกรณีนี้เป็นเรื่องง่าย เราจะต้องจำว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและเลขจำนวนเต็มคืออะไร เช่นเดียวกับคุณสมบัติของการกระทำที่มีจำนวนจริง

ให้เราวิเคราะห์คุณสมบัติของดีกรีในระดับหนึ่งและพิสูจน์ว่าเป็นจริงสำหรับทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก เราเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) และ (a - p) − q = a (− พี) (−q)

เงื่อนไข: p = 0 หรือจำนวนธรรมชาติ; q - ในทำนองเดียวกัน

หากค่าของ p และ q มากกว่า 0 เราจะได้ (a p) q = a p · q เราได้พิสูจน์ความเท่าเทียมกันที่คล้ายคลึงกันมาก่อนแล้ว ถ้า p = 0 แล้ว:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

ดังนั้น (a 0) q = a 0 q

สำหรับ q = 0 ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการ:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

ผลลัพธ์: (a p) 0 = a p 0

หากตัวบ่งชี้ทั้งสองเป็นศูนย์ ดังนั้น (a 0) 0 = 1 0 = 1 และ a 0 0 = a 0 = 1 จากนั้น (a 0) 0 = a 0 0

จำคุณสมบัติของผลหารในกำลังที่พิสูจน์ข้างต้นแล้วเขียนว่า:

1 a p q = 1 q a p q

ถ้า 1 p = 1 1 … 1 = 1 และ a p q = a p q แล้ว 1 q a p q = 1 a p q

เราสามารถแปลงสัญกรณ์นี้โดยอาศัยกฎการคูณพื้นฐานเป็น (− p) · q

นอกจากนี้: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q)

และ (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

คุณสมบัติที่เหลือของระดับสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันโดยเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันที่มีอยู่ เราจะไม่พูดถึงรายละเอียดนี้ เราจะระบุเฉพาะจุดที่ยากลำบากเท่านั้น

การพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย: จำได้ว่า a − n > b − n เป็นจริงสำหรับค่าจำนวนเต็มลบของ n และค่าบวก a และ b โดยที่ a น้อยกว่า b

จากนั้นสามารถแปลงความไม่เท่าเทียมกันได้ดังนี้:

1 n > 1 b n

เราเขียนส่วนซ้ายและขวาเป็นความแตกต่างและทำการแปลงที่จำเป็น:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

จำได้ว่าในเงื่อนไข a น้อยกว่า b ดังนั้น ตามนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ: - a n 0 .

a n · b n กลายเป็นจำนวนบวกเพราะตัวประกอบเป็นบวก เป็นผลให้เรามีเศษส่วน b n - a n a n · b n ซึ่งในท้ายที่สุดก็ให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวกเช่นกัน ดังนั้น 1 a n > 1 b n จึงเกิด a − n > b − n ซึ่งเราต้องพิสูจน์

คุณสมบัติสุดท้ายขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันกับคุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

คุณสมบัติพื้นฐานขององศาพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

ในบทความที่แล้ว เราได้พูดถึงว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเหตุเป็นผล (เศษส่วน) คืออะไร คุณสมบัติของพวกมันเหมือนกับของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม มาเขียนกัน:
คำจำกัดความ 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 สำหรับ a > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 สำหรับ a ≥ 0 (กำลังคุณสมบัติผลิตภัณฑ์ ที่มีฐานเดียวกัน)

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 ถ้า a > 0 (คุณสมบัติผลหาร)

3. a b m n = a m n b m n สำหรับ a > 0 และ b > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 สำหรับ a ≥ 0 และ (หรือ) b ≥ 0 (คุณสมบัติผลิตภัณฑ์ในระดับเศษส่วน)

4. a: b m n \u003d a m n: b m n สำหรับ a > 0 และ b > 0 และถ้า m n > 0 แล้วสำหรับ a ≥ 0 และ b > 0 (คุณสมบัติของผลหารเป็นองศาเศษส่วน)

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 สำหรับ a > 0 และถ้า m 1 n 1 > 0 และ m 2 n 2 > 0 สำหรับ a ≥ 0 (คุณสมบัติองศาใน องศา)

6.ap0; ถ้า p< 0 - a p >b p (คุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังที่เท่ากัน)

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q ที่ 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

เพื่อพิสูจน์ข้อกำหนดเหล่านี้ เราต้องจำไว้ว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนคืออะไร คุณสมบัติของรากเลขคณิตของดีกรีที่ n คืออะไร และคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคืออะไร มาดูทรัพย์สินแต่ละอย่างกัน

จากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน เราจะได้:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 และ a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2 ดังนั้น a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

คุณสมบัติของรูทจะช่วยให้เราได้รับความเท่าเทียมกัน:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

จากนี้เราได้รับ: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

มาแปลงร่างกันเถอะ:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

เลขชี้กำลังสามารถเขียนได้ดังนี้:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

นี่คือข้อพิสูจน์ คุณสมบัติที่สองได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันทุกประการ ลองเขียนห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

หลักฐานความเท่าเทียมกันที่เหลือ:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

คุณสมบัติถัดไป: ลองพิสูจน์ว่าสำหรับค่าใด ๆ ของ a และ b ที่มากกว่า 0 ถ้า a น้อยกว่า b a p จะถูกดำเนินการbp

ลองแทนจำนวนตรรกยะ p เป็น m n . ในกรณีนี้ m เป็นจำนวนเต็ม n เป็นจำนวนธรรมชาติ จากนั้นเงื่อนไข p< 0 и p >0 จะถูกขยายเป็น m< 0 и m >0 . สำหรับ m > 0 และ a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

เราใช้คุณสมบัติของรากและได้มา: a m nb m เราได้ a m n > b m n ดังนั้น a m n > b m n และ a p > b p

มันยังคงอยู่สำหรับเราที่จะพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q , p > q ที่ 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 จะเป็นจริง a p > a q

จำนวนตรรกยะ p และ q สามารถลดลงเป็นตัวส่วนร่วมและรับเศษส่วน m 1 n และ m 2 n

โดยที่ m 1 และ m 2 เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ถ้า p > q แล้ว m 1 > m 2 (โดยคำนึงถึงกฎการเปรียบเทียบเศษส่วน) จากนั้นที่0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – อสมการ 1 ม. > 2 ม.

สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

ม. 1 น< a m 2 n a m 1 n >ม.2 น

จากนั้นคุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงและได้ผลลัพธ์:

ม. 1 น< a m 2 n a m 1 n >ม.2 น

เพื่อสรุป: สำหรับ p > q และ 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

คุณสมบัติพื้นฐานขององศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ

คุณสมบัติทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นว่าดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะสามารถขยายไปถึงระดับดังกล่าวได้ ตามมาจากคำจำกัดความที่เราให้ไว้ในบทความก่อนหน้านี้ ให้เรากำหนดคุณสมบัติเหล่านี้โดยสังเขป (เงื่อนไข: a > 0 , b > 0 , ตัวบ่งชี้ p และ q เป็นจำนวนอตรรกยะ):
คำจำกัดความ 4
1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.apbp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 แล้ว a p > a q

ดังนั้น ยกกำลังทั้งหมดที่เลขชี้กำลัง p และ q เป็นจำนวนจริง โดยที่ a > 0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

พีชคณิต ป.7

ครูคณิตศาสตร์

สาขา MBOUTSOSH №1

ในหมู่บ้าน Poletaevo Zueva I.P.

Poletaevo 2016

เรื่อง: « คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ»

เป้าหมาย

การทำซ้ำการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบของเนื้อหาที่ศึกษาในหัวข้อ "คุณสมบัติของระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ"

การตรวจสอบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ

การนำความรู้ที่ได้รับไปใช้ปฏิบัติงานต่างๆ

งาน

เรื่อง :

ทำซ้ำ สรุป และจัดระบบความรู้ในหัวข้อ สร้างเงื่อนไขสำหรับการควบคุม (การควบคุมซึ่งกันและกัน) ของการดูดซึมความรู้และทักษะดำเนินการสร้างแรงจูงใจให้นักเรียนศึกษาวิชาต่อไป

หัวข้อ:

พัฒนารูปแบบการคิดในการปฏิบัติงาน เพื่อส่งเสริมการเรียนรู้ทักษะการสื่อสารของนักศึกษาเมื่อทำงานร่วมกัน กระตุ้นความคิดสร้างสรรค์ พีเพื่อดำเนินการพัฒนาความสามารถบางอย่างของนักเรียนซึ่งจะนำไปสู่การขัดเกลาทางสังคมอย่างมีประสิทธิภาพทักษะการศึกษาด้วยตนเองและการศึกษาด้วยตนเอง

ส่วนตัว:

ให้ความรู้วัฒนธรรมส่งเสริมการก่อตัวของคุณสมบัติส่วนบุคคลมุ่งเป้าไปที่ความเมตตากรุณาทัศนคติต่อกันและกันผู้คนชีวิต เพื่อปลูกฝังความคิดริเริ่มและความเป็นอิสระในกิจกรรม นำไปสู่ความเข้าใจในความจำเป็นของหัวข้อที่อยู่ระหว่างการศึกษาเพื่อเตรียมการรับรองขั้นสุดท้ายของรัฐให้ประสบผลสำเร็จ

ประเภทบทเรียน

บทเรียนทั่วไปและการจัดระบบซุน.

อุปกรณ์: คอมพิวเตอร์, โปรเจ็กเตอร์,จอฉายภาพ,กระดาน, เอกสารแจก.

ซอฟต์แวร์: ระบบปฏิบัติการ Windows 7: MS Office 2550 (ใบสมัครที่จำเป็น -พาวเวอร์พอยท์)

ขั้นตอนการเตรียมการ:

การนำเสนอ "คุณสมบัติของปริญญาพร้อมตัวบ่งชี้ธรรมชาติ";

เอกสารแจก;

แผ่นคะแนน

โครงสร้าง

เวลาจัด. การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน - 3 นาที

การทำให้เป็นจริงการจัดระบบความรู้พื้นฐาน - 8 นาที

ส่วนปฏิบัติ - 28 นาที

ลักษณะทั่วไป บทสรุป -3 นาที

การบ้าน - 1 นาที

รีเฟลคชั่น - 2 นาที.

ไอเดียบทเรียน

ตรวจสอบวิธีการที่น่าสนใจและมีประสิทธิภาพ ZUN ของนักเรียนในหัวข้อนี้

การจัดบทเรียน บทเรียนจัดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เด็กทำงานเป็นคู่โดยอิสระครูทำหน้าที่เป็นที่ปรึกษาและผู้สังเกตการณ์

ระหว่างเรียน

เวลาจัดงาน:

สวัสดีทุกคน! วันนี้เรามีเกมบทเรียนที่ไม่ธรรมดา พวกคุณแต่ละคนจะได้รับโอกาสที่ดีในการพิสูจน์ตัวเอง แสดงความรู้ของคุณ บางทีในระหว่างบทเรียน คุณจะค้นพบความสามารถที่ซ่อนอยู่ในตัวเองซึ่งจะเป็นประโยชน์กับคุณในอนาคต

คุณแต่ละคนมีแผ่นทดสอบและการ์ดสำหรับทำงานให้เสร็จ ใช้แผ่นทดสอบในมือของคุณ คุณต้องการมันเพื่อประเมินความรู้ของคุณในระหว่างบทเรียน ลงชื่อเลย

ดังนั้นฉันขอเชิญคุณเข้าสู่บทเรียน!

พวกดูที่หน้าจอและฟังบทกวี

สไลด์ #1

คูณหาร

ปลุกพลังสู่พลัง...

เราคุ้นเคยกับคุณสมบัติเหล่านี้

และก็ไม่ใช่เรื่องใหม่อีกต่อไป

กฎง่ายๆ 5 ข้อนี้

ทุกคนในชั้นตอบหมดแล้ว

แต่ถ้าคุณลืมคุณสมบัติ

พิจารณาตัวอย่างที่คุณไม่ได้แก้!

และเพื่อที่จะอยู่ได้โดยไม่มีปัญหาที่โรงเรียน

ฉันจะให้คำแนะนำที่ดีแก่คุณ:

คุณต้องการที่จะลืมกฎ?

เพียงแค่พยายามที่จะเรียนรู้!

ตอบคำถาม:

1) มีการกล่าวถึงการกระทำอะไรบ้าง?

2) คุณคิดว่าเราจะพูดถึงอะไรในวันนี้ในบทเรียน

ดังนั้นหัวข้อของบทเรียนของเราคือ:

"คุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ" (สไลด์ 3).

การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ในบทเรียนเราจะทำซ้ำ สรุป และนำเนื้อหาที่ศึกษามาในระบบในหัวข้อ "คุณสมบัติของระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ"

มาดูวิธีการคูณหารยกกำลังด้วยฐานเดียวกันพร้อมยกกำลังให้เป็นกำลังกัน

อัพเดทองค์ความรู้เบื้องต้น การจัดระบบของวัสดุทางทฤษฎี

1) งานช่องปาก

มาทำงานทางวาจากันเถอะ

1) กำหนดคุณสมบัติของดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติ

2) กรอกข้อมูลในช่องว่าง: (สไลด์ 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) ค่าของนิพจน์คืออะไร:(สไลด์ 5-9)

m ∙ a n; (a m+n ) a m : a n (a m-n ) ; (ม ) น ; 1; และ 0 .

2) ตรวจสอบส่วนทฤษฎี (ไพ่ #1)

ตอนนี้หยิบบัตรหมายเลข 1 และเติมลงในช่องว่าง

1) หากตัวบ่งชี้เป็นเลขคู่ ค่าของดีกรีจะเป็น _______________ เสมอ

2) หากตัวบ่งชี้เป็นเลขคี่ ค่าของดีกรีจะตรงกับเครื่องหมาย ____

3) ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ a n k = n + k
เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน คุณต้องใช้ฐาน ____________ และเลขชี้กำลัง ________

4) ปริญญาส่วนตัว a n : a k = a n - k
เมื่อแบ่งกำลังด้วยฐานเดียวกัน คุณต้องใช้ฐาน _____ และจากตัวบ่งชี้การจ่ายเงินปันผล __________________________________________

5) ยกระดับสู่อำนาจ ( a n ) k = a nk
เมื่อเพิ่มกำลังเป็นกำลัง ฐานคือ _______ และเลขชี้กำลังคือ ______

ตรวจสอบคำตอบ (สไลด์ 10-13)

ส่วนสำคัญ

3) และตอนนี้เราเปิดสมุดบันทึกจดหมายเลข 28.01 14g งานชั้นเรียน

เกม "Clapperboard" » (สไลด์ 14)

ทำงานที่ได้รับมอบหมายในสมุดบันทึกของคุณเอง

ทำดังต่อไปนี้: ก)X11 ∙х∙х2 ข)X14 : X5 ค) (a4 ) 3 ง) (-สำหรับ)2 .

เปรียบเทียบค่าของนิพจน์ด้วยศูนย์: a) (- 5)7 , ข)(-6)18 ,

ที่ 4)11 . ( -4) 8 ช)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 จ)-(- 4)8 .

คำนวณค่าของนิพจน์:

a) -1 ∙ 3 2 , b) (-1 ∙ 3) 2 c) 1 ∙ (-3) 2 , d) - (2 ∙ 3) 2 , e) 1 2 ∙ (-3) 2

เราตรวจสอบหากคำตอบไม่ถูกต้องเราปรบมือหนึ่งครั้ง

คำนวณจำนวนคะแนนและใส่ลงในใบบันทึกคะแนน

4) และตอนนี้เราจะทำยิมนาสติกเพื่อดวงตาคลายความตึงเครียดและเราจะทำงานต่อไป เราตรวจสอบการเคลื่อนไหวของวัตถุอย่างระมัดระวัง

เริ่ม! (สไลด์ 15,16,17,18)

5) และตอนนี้ไปที่งานประเภทต่อไปของเรา (บัตร2)

เขียนคำตอบของคุณเป็นพลังพร้อมฐาน กับ และคุณจะได้เรียนรู้ชื่อและนามสกุลของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ที่เป็นคนแรกที่แนะนำแนวคิดเกี่ยวกับระดับของตัวเลข

เดาชื่อของนักวิทยาศาสตร์นักคณิตศาสตร์

1.

กับ 5 ∙C 3

6.

กับ 7 : กับ 5

2.

กับ 8 : กับ 6

7.

(กับ 4 ) 3 ∙C

3,

(กับ 4 ) 3

8.

กับ 4 ∙ กับ 5 ∙ C 0

4.

กับ 5 ∙C 3 : กับ 6

9.

กับ 16 : กับ 8

5.

กับ 14 ∙ C 8

10.

(กับ 3 ) 5

อู๋ คำตอบ: RENE DECARTES

R

W

เอ็ม

ยู

ถึง

ชม

แต่

ตู่

อี

ดี

กับ 8

กับ 5

กับ 1

กับ 40

กับ 13

กับ 12

กับ 9

กับ 15

กับ 2

กับ 22

และตอนนี้เรามาฟังข้อความของนักเรียนเรื่อง "Rene Descartes" กัน

Rene Descartes เกิดเมื่อวันที่ 21 มีนาคม ค.ศ. 1596 ในเมืองเล็ก ๆ ของ La Gaie ใน Touraine ครอบครัว Descartes เป็นของขุนนางข้าราชการผู้ต่ำต้อย Rene ใช้เวลาในวัยเด็กของเขาใน Touraine เดส์การตส์จบการศึกษาจากโรงเรียนในปี ค.ศ. 1612 เขาใช้เวลาแปดปีครึ่งที่นั่น เดส์การตไม่พบสถานที่ในชีวิตในทันที ขุนนางโดยกำเนิด หลังจากสำเร็จการศึกษาจากวิทยาลัยใน La Fleche เขากระโจนเข้าสู่ชีวิตทางสังคมของปารีส จากนั้นจึงละทิ้งทุกสิ่งทุกอย่างเพื่อเห็นแก่วิทยาศาสตร์ Descartes ให้คณิตศาสตร์เป็นสถานที่พิเศษในระบบของเขา เขาถือว่าหลักการของการสร้างความจริงเป็นแบบอย่างสำหรับวิทยาศาสตร์อื่นๆ ข้อดีที่สำคัญของ Descartes คือการแนะนำการกำหนดที่สะดวกสบายที่รอดตายมาจนถึงทุกวันนี้: ตัวอักษรละติน x, y, z สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก; a, c, c - สำหรับสัมประสิทธิ์สำหรับองศา ความสนใจของเดส์การตไม่ได้จำกัดอยู่แค่คณิตศาสตร์ แต่รวมถึงกลศาสตร์ ทัศนศาสตร์ และชีววิทยา ในปี ค.ศ. 1649 เดส์การตส์ หลังจากลังเลอยู่นาน ได้ย้ายไปสวีเดน การตัดสินใจครั้งนี้กลายเป็นผลเสียต่อสุขภาพของเขา หกเดือนต่อมา เดส์การตส์เสียชีวิตด้วยโรคปอดบวม

6) ทำงานที่คณะกรรมการ:

1. แก้สมการ

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 \u003d 49

B) (t 7 ∙ t 17 ) : (t 0 ∙ t 21 )= -125

2.คำนวณค่าของนิพจน์:

(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0

ก) ที่ x=-1

b) ที่ x=2 อย่างอิสระ

7) นำไพ่ใบที่ 3 มาไว้ในมือ ทำแบบทดสอบ

ตัวเลือก 1

ตัวเลือกที่ 2

1. ทำการแบ่งอำนาจ2 17 : 2 5

2 12

2 45

2. เขียนในรูปของดีกรี (x + y) (x + y) \u003d

x 2 + y 2

(x+y) 2

2(x+y)

3. แทนที่ * องศาเพื่อให้ความเท่าเทียมกัน a 5 · * =a 15

10

3

(a 7) 5 ?

ก) 12

ข) ก 5

ค) 35

3 = 8 15

8 12

6. หาค่าของเศษส่วน

1. ทำการหารด้วยอำนาจของ 9 9 : 9 7

9 16

9 63

2. เขียนในรูปของปริญญา (x-y) (x-y) \u003d ...

x 2 -y 2

(x-y) 2

2(x-y)

3. แทนที่ * ระดับเพื่อให้ความเท่าเทียมกันข 9 · * = ข 18

ข 17

ข 1 1

4. ค่าของนิพจน์คืออะไร(มี 6) 4 ?

ก) จาก 10

b) จาก 6

ค) ตั้งแต่ 24

5. จากตัวเลือกที่เสนอให้เลือกตัวเลือกที่สามารถแทนที่ * อย่างเท่าเทียมกัน (*) 3 = 5 24

5 21

6. หาค่าของเศษส่วน

ตรวจสอบงานของกันและกันและให้คะแนนเพื่อนร่วมงานของคุณในใบเกรด

1 ตัวเลือก

เอ

ข

ข

กับ

ข

3

ตัวเลือก 2

เอ

ข

กับ

กับ

เอ

4

งานเพิ่มเติมสำหรับผู้เรียนที่เข้มแข็ง

แต่ละงานจะถูกประเมินแยกกัน

ค้นหาค่าของนิพจน์:

8) และตอนนี้เรามาดูประสิทธิภาพของบทเรียนของเรา ( สไลด์ 19)

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ทำงานให้เสร็จ ขีดฆ่าตัวอักษรที่ตรงกับคำตอบ

AOWSTLCCRCHGNMO

ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

1.

С 4 ∙ С 3

5.

(กับ 2 ) 3 ∙ กับ 5

2.

(C 5 ) 3

6.

กับ 6 ∙ กับ 5 : กับ 10

3.

จาก 11 : จาก 6

7.

(กับ 4 ) 3 ∙C 2

4.

C 5 ∙C 5 : C

รหัส: แต่ -ตั้งแต่7 ที่-ตั้งแต่ 15 จี -กับ และ -ตั้งแต่ 30 ถึง -ตั้งแต่ 9 ม -ตั้งแต่14 ชม -ตั้งแต่13 โอ -ตั้งแต่ 12 อาร์ -ตั้งแต่ 11 กับ -ตั้งแต่ 5 ที -จาก8 ชม -ตั้งแต่ 3

ได้คำอะไรมา? คำตอบ: ยอดเยี่ยม! (สไลด์ 20)

สรุป ประเมิน ทำเครื่องหมาย (สไลด์ 21)

สรุปบทเรียนของเราว่าเราทำซ้ำได้สำเร็จอย่างไรความรู้ทั่วไปและเป็นระบบในหัวข้อ "คุณสมบัติของระดับที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ"

เราใช้แผ่นทดสอบและคำนวณจำนวนคะแนนทั้งหมดแล้วเขียนลงในบรรทัดของเกรดสุดท้าย

ลุกขึ้นยืนได้ 29-32 คะแนน : คะแนนดีเยี่ยม

25-28 คะแนน: คะแนน - ดี

20-24 คะแนน : พอใจ

ฉันจะตรวจสอบความถูกต้องของงานบนการ์ดอีกครั้ง ตรวจสอบผลลัพธ์ของคุณด้วยคะแนนที่กำหนดไว้ในใบทดสอบ จะใส่เกรดลงในวารสาร

และสำหรับงานเชิงรุกในบทเรียนการประเมิน:

ฉันขอให้คุณประเมินงานของคุณในบทเรียน ทำเครื่องหมายบนแผ่นอารมณ์

แผ่นทดสอบ

นามสกุลชื่อจริง

ระดับ

1. ส่วนทฤษฎี

2. เกม "Clapperboard"

3. ทดสอบ

4. "รหัส"

ส่วนเพิ่มเติม

เกรดสุดท้าย:

การประเมินอารมณ์

เกี่ยวกับตัวฉัน

เกี่ยวกับบทเรียน

พอใจ

ไม่พอใจ

การบ้าน (สไลด์ 22)

สร้างปริศนาอักษรไขว้ด้วยคำสำคัญ DEGREE ในบทต่อไป เราจะมาดูผลงานที่น่าสนใจที่สุดกัน

№ 567

รายการแหล่งที่ใช้

ตำรา "พีชคณิตเกรด 7"

บทกวี. http://yandex.ru/yandsearch

ไม่. ชูร์คอฟ. วัฒนธรรม บทเรียนสมัยใหม่. มอสโก: สำนักงานสอนภาษารัสเซีย, 1997

เอ.วี. เปตรอฟ พื้นฐานระเบียบวิธีและระเบียบวิธีของการศึกษาคอมพิวเตอร์เพื่อพัฒนาบุคลิกภาพ โวลโกกราด "เปลี่ยน", 2544

เช่น. เบลกิ้น. สถานการณ์ความสำเร็จ วิธีการสร้างมัน ม.: "การตรัสรู้", 1991

วิทยาการคอมพิวเตอร์และการศึกษา№3 รูปแบบการคิดเชิงปฏิบัติการ พ.ศ. 2546