มาแก้ปัญหากันเถอะ เรามีคุกกี้สองประเภท บางส่วนเป็นช็อกโกแลตและบางส่วนเป็นแบบธรรมดา มีช็อกโกแลต 48 ชิ้น และแบบธรรมดา 36 ชิ้น จำเป็นต้องสร้างของขวัญจากคุกกี้เหล่านี้ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และต้องใช้ทั้งหมด
อันดับแรก ให้เขียนตัวหารทั้งหมดของตัวเลขสองตัวนี้ เนื่องจากตัวเลขทั้งสองนี้ต้องหารด้วยจำนวนของขวัญลงตัว
เราได้รับ
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
ลองหาตัวหารร่วมที่มีทั้งจำนวนแรกและตัวที่สอง
ตัวหารร่วมจะเป็น: 1, 2, 3, 4, 6, 12
ตัวหารร่วมมากของทั้งหมดคือ 12 จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารร่วมมากของ 36 และ 48
จากผลลัพธ์ที่ได้ เราสามารถสรุปได้ว่าของขวัญ 12 ชิ้นสามารถสร้างได้จากคุกกี้ทั้งหมด ของขวัญชิ้นหนึ่งจะประกอบด้วยคุกกี้ช็อกโกแลต 4 ชิ้นและคุกกี้ปกติ 3 ชิ้น
การหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
- จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยที่ตัวเลขสองตัว a และ b หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือเรียกว่าตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านี้
บางครั้ง ตัวย่อ GCD ใช้เพื่อย่อรายการ
ตัวเลขบางคู่มีหนึ่งตัวเป็นตัวหารร่วมมากของพวกมัน ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า ตัวเลข coprimeตัวอย่างเช่น หมายเลข 24 และ 35 มี GCD =1
วิธีหาตัวหารร่วมมาก
ในการหาตัวหารร่วมมาก ไม่จำเป็นต้องเขียนตัวหารทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้
คุณสามารถทำอย่างอื่นได้ ขั้นแรก แยกตัวประกอบตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
ตอนนี้ จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขแรก เราจะลบปัจจัยทั้งหมดที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง ในกรณีของเรา นี่คือสองผีสาง
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
ตัวประกอบ 2, 2 และ 3 ยังคงอยู่ ผลคูณคือ 12 ตัวเลขนี้จะเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 48 และ 36
กฎนี้สามารถขยายไปถึงกรณีของสาม สี่ และอื่นๆ ตัวเลข
แบบแผนทั่วไปสำหรับการหาตัวหารร่วมมากมากที่สุด
- 1. แบ่งตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
- 2. จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขเหล่านี้ ให้ขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขอื่น
- 3. คำนวณผลคูณของปัจจัยที่เหลือ
การหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไปสามารถถูกย่อให้เหลือเป็นการหา gcd ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ เรากล่าวถึงสิ่งนี้เมื่อศึกษาคุณสมบัติของ GCD ที่นั่นเราได้กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบท: ตัวหารร่วมมากของจำนวนหลายตัว a 1 , 2 , …, ก เท่ากับจำนวน dkซึ่งพบได้ในการคำนวณตามลำดับ GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , k)=d k.
เรามาดูกันว่ากระบวนการหา GCD ของตัวเลขหลายตัวเป็นอย่างไรโดยพิจารณาจากตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
หาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสี่ตัว 78 , 294 , 570 และ 36 .
การตัดสินใจ.
ในตัวอย่างนี้ a 1 =78, a2=294, 3 \u003d 570, a4=36.
ขั้นแรก โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เรากำหนดตัวหารร่วมมากสุด d2สองตัวเลขแรก 78 และ 294 . เมื่อแบ่งเราจะได้ความเท่าเทียมกัน 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6และ 18=6 3. ดังนั้น, d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.
ทีนี้มาคำนวณกัน d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). ลองใช้อัลกอริทึมของ Euclid อีกครั้ง: 570=6 95, เพราะฉะนั้น, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.
มันยังคงคำนวณ d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). เนื่องจาก 36 แบ่งโดย 6 , แล้ว d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
ตัวหารร่วมมากของจำนวนที่กำหนดทั้งสี่คือ d4=6, เช่น, gcd(78, 294, 570, 36)=6.
ตอบ:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
การแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะยังทำให้คุณสามารถคำนวณ GCD ของตัวเลขสามตัวขึ้นไปได้ ในกรณีนี้ จะพบว่าตัวหารร่วมมากเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด
ตัวอย่าง.
คำนวณ GCD ของตัวเลขจากตัวอย่างก่อนหน้าโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ
การตัดสินใจ.
มาย่อยสลายตัวเลข 78 , 294 , 570 และ 36 เป็นปัจจัยสำคัญ เราจะได้ 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. ตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขทั้งสี่ตัวที่ให้มาคือตัวเลข 2 และ 3 . เพราะฉะนั้น, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.
ตอบ:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
ด้านบนของหน้า
การหา gcd ของจำนวนลบ
หากจำนวนหนึ่ง หลายตัว หรือทั้งหมดที่มีตัวหารมากที่สุดเป็นจำนวนลบ gcd ของพวกมันจะเท่ากับตัวหารร่วมมากของโมดูลของตัวเลขเหล่านี้ เนื่องจากเป็นตัวเลขตรงข้าม เอและ -aมีตัวหารเหมือนกันซึ่งเราพูดถึงเมื่อศึกษาคุณสมบัติของการหาร
ตัวอย่าง.
หา gcd ของจำนวนเต็มลบ −231 และ −140 .
การตัดสินใจ.
ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข −231 เท่ากับ 231 , และโมดูลัสของจำนวน −140 เท่ากับ 140 , และ gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). อัลกอริทึมของ Euclid ทำให้เรามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7และ 42=7 6. เพราะฉะนั้น, gcd(231, 140)=7. แล้วตัวหารร่วมมากที่ต้องการของจำนวนลบ −231 และ −140 เท่ากับ 7 .
ตอบ:
GCD(−231,−140)=7.
ตัวอย่าง.
กำหนด gcd ของตัวเลขสามตัว −585 , 81 และ −189 .
การตัดสินใจ.
เมื่อหาตัวหารร่วมมากที่มากที่สุด จำนวนลบสามารถแทนที่ด้วยค่าสัมบูรณ์ นั่นคือ gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). การขยายจำนวน 585 , 81 และ 189 ตัวประกอบสำคัญคือ ตามลำดับ ของรูปแบบ 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3และ 189=3 3 3 7. ตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขทั้งสามนี้คือ 3 และ 3 . แล้ว GCD(585, 81, 189)=3 3=9, เพราะฉะนั้น, gcd(−585, 81, −189)=9.
ตอบ:
gcd(−585, 81, −189)=9.
35. รากของพหุนาม ทฤษฎีบทของเบโซต์ (33 ขึ้นไป)
36. หลายราก เกณฑ์หลายหลากของราก
มาพูดคุยกันต่อเกี่ยวกับตัวคูณร่วมน้อยที่เราเริ่มต้นในส่วน LCM - ตัวคูณร่วมน้อย คำจำกัดความ ตัวอย่าง ในหัวข้อนี้ เราจะดูวิธีหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป เราจะวิเคราะห์คำถามว่าจะหา LCM ของจำนวนลบได้อย่างไร
การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd
เราได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยกับตัวหารร่วมมากแล้ว ตอนนี้ มาเรียนรู้วิธีกำหนด LCM ผ่าน GCD กัน อันดับแรก เรามาหาวิธีหาจำนวนบวกกันก่อน
คำจำกัดความ 1
คุณสามารถหาตัวคูณร่วมน้อยได้โดยใช้ตัวหารร่วมมากโดยใช้สูตร LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b)
ตัวอย่างที่ 1
จำเป็นต้องหาค่า LCM ของตัวเลข 126 และ 70
การตัดสินใจ
ลองหา a = 126 , b = 70 . แทนค่าในสูตรเพื่อคำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้ตัวหารร่วมมาก LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
ค้นหา GCD ของตัวเลข 70 และ 126 สำหรับสิ่งนี้เราต้องการอัลกอริทึมแบบยุคลิด: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 ดังนั้น gcd (126 , 70) = 14 .
มาคำนวณ LCM กัน: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630
ตอบ: LCM (126, 70) = 630.
ตัวอย่าง 2
ค้นหานกของตัวเลข 68 และ 34
การตัดสินใจ
GCD ในกรณีนี้หาได้ง่ายเนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัว คำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้สูตร: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68
ตอบ: LCM(68, 34) = 68.
ในตัวอย่างนี้ เราใช้กฎในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าตัวเลขตัวแรกหารด้วยตัวที่สองลงตัว LCM ของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับตัวเลขตัวแรก
การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบสำคัญ
ตอนนี้เรามาดูวิธีหาค่า LCM ซึ่งอิงจากการย่อยสลายของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
คำจำกัดความ 2
ในการหาตัวคูณร่วมน้อย เราต้องทำตามขั้นตอนง่ายๆ ดังนี้
- เราประกอบกันเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขทั้งหมดที่เราต้องหา LCM
- เราแยกปัจจัยเฉพาะทั้งหมดออกจากผลิตภัณฑ์ที่ได้รับ
- ผลิตภัณฑ์ที่ได้รับหลังจากกำจัดปัจจัยเฉพาะทั่วไปจะเท่ากับ LCM ของตัวเลขที่ระบุ
วิธีการหาตัวคูณร่วมน้อยนี้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) ถ้าคุณดูที่สูตร มันจะชัดเจน: ผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายของตัวเลขสองตัวนี้ ในกรณีนี้ GCD ของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการแยกตัวประกอบของตัวเลขสองตัวนี้
ตัวอย่างที่ 3
เรามีเลขสองตัว 75 และ 210 . เราสามารถแยกตัวประกอบออกมาได้ดังนี้: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. หากคุณสร้างผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลขดั้งเดิมสองตัว คุณจะได้: 2 3 3 5 5 5 7.
หากไม่รวมปัจจัยร่วมของทั้งตัวเลข 3 และ 5 เราจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบต่อไปนี้: 2 3 5 5 7 = 1050. สินค้านี้จะเป็น LCM ของเราสำหรับหมายเลข 75 และ 210
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหา LCM ของตัวเลข 441 และ 700 โดยแยกตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ
การตัดสินใจ
มาหาตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่ให้มาในเงื่อนไขกัน:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
เราได้ตัวเลขสองสาย: 441 = 3 3 7 7 และ 700 = 2 2 5 5 7 .
ผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในการขยายตัวเลขเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. มาหาปัจจัยร่วมกัน หมายเลขนี้คือ 7 เราแยกออกจากผลิตภัณฑ์ทั่วไป: 2 2 3 3 5 5 7 7. ปรากฎว่า NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
ตอบ: LCM (441 , 700) = 44 100 .
ให้เราเพิ่มการกำหนดวิธีการหา LCM อีกวิธีหนึ่งโดยแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
คำจำกัดความ 3
ก่อนหน้านี้ เราไม่รวมจากจำนวนรวมของปัจจัยร่วมของทั้งสองตัวเลข ตอนนี้เราจะทำอย่างอื่น:
- มาแยกตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:
- บวกกับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนแรกกับตัวประกอบที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง
- เราได้รับผลิตภัณฑ์ซึ่งจะเป็น LCM ที่ต้องการของตัวเลขสองตัว
ตัวอย่างที่ 5
กลับไปที่ตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งเราได้ค้นหา LCM แล้วในหนึ่งในตัวอย่างก่อนหน้านี้ แบ่งพวกเขาออกเป็นปัจจัยง่ายๆ: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. เป็นผลคูณของปัจจัย 3 , 5 และ 5 เลข 75 บวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 7 เลขที่ 210 . เราได้รับ: 2 3 5 5 7 .นี่คือ LCM ของตัวเลข 75 และ 210
ตัวอย่างที่ 6
จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของตัวเลข 84 และ 648
การตัดสินใจ
ลองแยกตัวเลขจากเงื่อนไขเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84 = 2 2 3 7และ 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. บวกกับผลคูณของตัวประกอบ 2 , 2 , 3 และ 7
ตัวเลข 84 ขาดปัจจัย 2 , 3 , 3 และ
3
หมายเลข 648 . เราได้รับสินค้า 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648
ตอบ: LCM (84, 648) = 4536
การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป
ไม่ว่าเราจะจัดการกับตัวเลขจำนวนเท่าใด อัลกอริธึมของการกระทำของเราจะเหมือนกันเสมอ: เราจะค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวอย่างสม่ำเสมอ มีทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้
ทฤษฎีบท 1
สมมติว่าเรามีจำนวนเต็ม a 1 , 2 , … , ก. NOC m kของตัวเลขเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k)
ตอนนี้เรามาดูกันว่าทฤษฎีบทสามารถนำไปใช้กับปัญหาเฉพาะได้อย่างไร
ตัวอย่าง 7
คุณต้องคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัว 140 , 9 , 54 และ 250 .
การตัดสินใจ
มาแนะนำสัญกรณ์: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250
เริ่มต้นด้วยการคำนวณ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดในการคำนวณ GCD ของตัวเลข 140 และ 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 เราได้รับ: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260 ดังนั้น ม. 2 = 1 260 .
ทีนี้มาคำนวณโดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) ในระหว่างการคำนวณ เราได้ m 3 = 3 780
เรายังคงคำนวณ m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . เราดำเนินการตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราได้ ม. 4 \u003d 94 500
LCM ของตัวเลขสี่ตัวจากเงื่อนไขตัวอย่างคือ 94500
ตอบ: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.
อย่างที่คุณเห็น การคำนวณนั้นง่ายแต่ค่อนข้างลำบาก คุณสามารถไปทางอื่นเพื่อประหยัดเวลา
คำจำกัดความ 4
เราขอเสนออัลกอริทึมของการดำเนินการต่อไปนี้แก่คุณ:
- แยกจำนวนทั้งหมดออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
- บวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากผลคูณของจำนวนที่สอง
- เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปของตัวเลขที่สามให้กับผลิตภัณฑ์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า ฯลฯ
- ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งหมดจากเงื่อนไข
ตัวอย่างที่ 8
จำเป็นต้องหา LCM ของตัวเลขห้าตัว 84 , 6 , 48 , 7 , 143
การตัดสินใจ
มาแยกตัวเลขทั้งห้าตัวเป็นตัวประกอบสำคัญ: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 จำนวนเฉพาะซึ่งเป็นเลข 7 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ ตัวเลขดังกล่าวเกิดขึ้นพร้อมกับการสลายตัวของพวกมันเป็นปัจจัยเฉพาะ
ทีนี้ ลองหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ 2, 2, 3 และ 7 ของจำนวน 84 แล้วบวกตัวประกอบที่หายไปของจำนวนที่สองเข้าไป เราได้แยกเลข 6 ออกเป็น 2 และ 3 แล้ว ปัจจัยเหล่านี้มีอยู่แล้วในผลคูณของตัวเลขแรก ดังนั้นเราจึงละเว้น
เรายังคงเพิ่มตัวคูณที่ขาดหายไปต่อไป เราเปลี่ยนเป็นตัวเลข 48 จากผลคูณของตัวประกอบเฉพาะซึ่งเราใช้ 2 และ 2 จากนั้นเราบวกตัวประกอบอย่างง่ายของ 7 จากจำนวนที่สี่และตัวประกอบของ 11 และ 13 ของตัวที่ห้า เราได้: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 นี่เป็นผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเดิมห้าจำนวน
ตอบ: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048
การหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ
ในการค้นหาจำนวนลบที่เป็นจำนวนเต็มร่วมน้อย อันดับแรกต้องแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายตรงข้าม จากนั้นจึงทำการคำนวณตามอัลกอริธึมข้างต้น
ตัวอย่างที่ 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) และ LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888)
การกระทำดังกล่าวจะกระทำได้เพราะว่าหากเป็นที่ยอมรับว่า เอและ −- ตัวเลขตรงข้าม
แล้วเซตของทวีคูณ เอประจวบกับเซตของจำนวนทวีคูณ −.
ตัวอย่าง 10
มีความจำเป็นต้องคำนวณ LCM ของจำนวนลบ − 145 และ − 45 .
การตัดสินใจ
มาเปลี่ยนเลขกันเถอะ − 145 และ − 45 ไปเป็นเลขตรงข้ามกัน 145 และ 45 . ตอนนี้โดยใช้อัลกอริทึม เราคำนวณ LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 โดยก่อนหน้านี้ได้กำหนด GCD โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด
เราได้ LCM ของตัวเลข − 145 และ − 45 เท่ากับ 1 305 .
ตอบ: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
การค้นหา ตัวคูณร่วมน้อย(NOC) และ ตัวหารร่วมมากสุด(gcd) ของตัวเลขสองตัวใช้ของเรา เครื่องคิดเลขออนไลน์โอห์ม:
ใส่ตัวเลข: และ
NOC:
จีซีดี:
กำหนด
เพียงแค่ใส่ตัวเลขและได้ผลลัพธ์
วิธีหา LCM ของตัวเลขสองตัว
ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)ของตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไปเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่สามารถหารด้วยตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
ในการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขสองตัว คุณสามารถใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้ (ระดับ 5):
- ทั้งสองตัวเลข (จำนวนที่มากที่สุดก่อน)
- เปรียบเทียบตัวประกอบของจำนวนที่มากกว่ากับตัวประกอบของจำนวนที่น้อยกว่า เลือกตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนที่น้อยกว่าที่ไม่มีตัวที่มากกว่า
- ลองบวกตัวประกอบที่เลือกของจำนวนที่น้อยกว่าเข้ากับตัวประกอบของจำนวนที่มากกว่ากัน
- เราพบ LCM โดยการคูณชุดของปัจจัยที่ได้รับในย่อหน้าที่ 3
ตัวอย่าง
ตัวอย่างเช่น เรากำหนด LCM ของตัวเลข 8 และ 22 .
1) แบ่งมันออกเป็นปัจจัยสำคัญ:
2) ให้เลือกตัวประกอบทั้งหมดของ 8 ซึ่งไม่อยู่ใน 22:
8 = 2⋅2 ⋅2
3) มาบวกตัวคูณที่เลือกของ 8 เข้ากับตัวคูณของ 22:
LCM (8; 22) = 2 11 2 · 2
4) เราคำนวณ LCM:
NOC (8; 22)= 2 11 2 2 = 88
วิธีหา GCD ของตัวเลขสองตัว
ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD)ของตัวเลขสองตัวหรือมากกว่านั้นเป็นจำนวนเต็มธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยที่ตัวเลขเหล่านี้สามารถหารโดยไม่มีเศษเหลือได้
ในการหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลขสองตัว ก่อนอื่นคุณต้องแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นคุณต้องเน้นปัจจัยทั่วไปที่มีทั้งตัวเลขตัวแรกและตัวที่สอง เราคูณมัน - นี่จะเป็น GCD เพื่อให้เข้าใจอัลกอริทึมได้ดีขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่าง:
ตัวอย่าง
ตัวอย่างเช่น ลองกำหนด GCD ของตัวเลข 20 และ 30 .
20 = 2 ⋅2⋅5
30 = 2 ⋅3⋅5
จีซีดี(20,30) = 2⋅5 = 10
จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยที่ตัวเลข a และ b หารโดยไม่มีเศษเรียกว่า ตัวหารร่วมมากตัวเลขเหล่านี้ แสดงถึง GCD (a, b)
ลองพิจารณาหา GCD ในตัวอย่างของ two ตัวเลขธรรมชาติ 18 และ 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 และ 432
มาแยกตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
ลบออกจากหมายเลขแรกปัจจัยที่ไม่ได้อยู่ในตัวเลขที่สองและสามเราได้รับ:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
อันเป็นผลมาจาก GCD( 324 , 111 , 432 )=3
การหา GCD ด้วย Euclid's Algorithm
วิธีที่สองในการหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ อัลกอริทึมของยุคลิด. อัลกอริทึมของยุคลิดคือที่สุด วิธีที่มีประสิทธิภาพหา GCDเมื่อใช้คุณจะต้องค้นหาส่วนที่เหลือของการหารตัวเลขและนำไปใช้อย่างต่อเนื่อง สูตรกำเริบ.
สูตรกำเริบสำหรับจีซีดี gcd(a, b)=gcd(b, ตัวดัดแปลง b)โดยที่ mod b คือเศษที่เหลือของการหาร a ด้วย b
อัลกอริทึมของยุคลิด
ตัวอย่าง ค้นหาตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข 7920 และ 594
มาหา GCD( 7920 , 594 ) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เราจะคำนวณส่วนที่เหลือของการหารโดยใช้เครื่องคิดเลข
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 สมัย 198 = 594 - 3 × 198 = 0
เป็นผลให้เราได้รับ GCD( 7920 , 594 ) = 198
ตัวคูณร่วมน้อย
ในการหาตัวส่วนร่วมเมื่อบวกและลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณจำเป็นต้องรู้และสามารถคำนวณได้ ตัวคูณร่วมน้อย(นพ.).
ผลคูณของจำนวน "a" คือจำนวนที่หารด้วยตัวเลข "a" ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 8 (นั่นคือตัวเลขเหล่านี้จะถูกหารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ): นี่คือตัวเลข 16, 24, 32 ...
ทวีคูณของ 9: 18, 27, 36, 45…
มีจำนวนทวีคูณของจำนวนที่กำหนดเป็นอนันต์ ตรงกันข้ามกับตัวหารของจำนวนเดียวกัน ตัวหาร - จำนวนจำกัด
ผลคูณร่วมของจำนวนเต็มสองตัวคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนเหล่านี้ลงตัว.
ตัวคูณร่วมน้อย(LCM) ของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองตัวขึ้นไปเป็นจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดที่หารด้วยจำนวนเหล่านี้แต่ละตัวลงตัวลงตัว
วิธีค้นหา NOC
LCM สามารถค้นหาและเขียนได้สองวิธี
วิธีแรกในการค้นหา LCM
วิธีนี้มักใช้สำหรับตัวเลขขนาดเล็ก
- เราเขียนตัวคูณสำหรับตัวเลขแต่ละตัวในบรรทัดจนกว่าจะมีตัวคูณที่เหมือนกันสำหรับตัวเลขทั้งสอง
- ตัวคูณของ "a" จะถูกแทนด้วย ตัวพิมพ์ใหญ่"ถึง".
ตัวอย่าง. ค้นหา LCM 6 และ 8
วิธีที่สองในการค้นหา LCM
วิธีนี้สะดวกที่จะใช้เพื่อค้นหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป
จำนวนปัจจัยที่เหมือนกันในการขยายตัวเลขอาจแตกต่างกัน
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
คำตอบ: LCM (24, 60) = 120
คุณยังสามารถกำหนดรูปแบบการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ได้ดังนี้ มาหา LCM (12, 16, 24) กันเถอะ
24 = 2 2 2 3
ดังที่คุณเห็นจากการขยายจำนวน ตัวประกอบทั้งหมดของ 12 รวมอยู่ในการขยาย 24 (ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด) ดังนั้นเราจึงเพิ่ม 2 ตัวจากการขยายหมายเลข 16 ไปที่ LCM เพียงตัวเดียว
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
คำตอบ: LCM (12, 16, 24) = 48
กรณีพิเศษในการค้นหา NOCs
ตัวอย่างเช่น LCM(60, 15) = 60
เนื่องจากจำนวนโคไพรม์ไม่มีตัวหารเฉพาะร่วม ตัวคูณร่วมน้อยของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้
บนเว็บไซต์ของเรา คุณยังสามารถใช้เครื่องคิดเลขพิเศษเพื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยทางออนไลน์เพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณ
หากจำนวนธรรมชาติหารด้วย 1 ลงตัวเท่านั้น จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ
จำนวนธรรมชาติใดๆ หารด้วย 1 กับตัวเองเสมอ
เลข 2 เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด นี่เป็นจำนวนเฉพาะคู่เท่านั้น ส่วนจำนวนเฉพาะที่เหลือเป็นเลขคี่
มีจำนวนเฉพาะจำนวนมาก และจำนวนแรกในจำนวนนั้นคือเลข 2 อย่างไรก็ตาม ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย ในส่วน "เพื่อการศึกษา" คุณสามารถดาวน์โหลดตารางจำนวนเฉพาะได้ถึง 997
แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากหารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ลงตัว
- หมายเลข 12 หารด้วย 1 ลงตัว 2 คูณ 3 คูณ 4 คูณ 6 คูณ 12 ลงตัว
- 36 หารด้วย 1 ลงตัว 2 คูณ 3 คูณ 4 หาร 6 หาร 12 ลงตัว 18 คูณ 36
- แบ่งตัวหารของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
ตัวเลขที่ตัวเลขหารลงตัว (สำหรับ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่าตัวหารของตัวเลข
ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ a เป็นจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวนที่กำหนด "a" โดยไม่มีเศษเหลือ
จำนวนธรรมชาติที่มีตัวประกอบมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ
โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวหารร่วม เหล่านี้คือตัวเลข: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 12
ตัวหารร่วมของตัวเลขสองตัวที่กำหนด "a" และ "b" คือจำนวนที่ทั้งตัวเลข "a" และ "b" ที่ระบุ ถูกหารโดยไม่เหลือเศษ
ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด(GCD) ของตัวเลขสองตัวที่กำหนด "a" และ "b" เป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดโดยที่ทั้งตัวเลข "a" และ "b" จะถูกหารโดยไม่มีเศษเหลือ
โดยสังเขป ตัวหารร่วมมากของตัวเลข "a" และ "b" เขียนดังนี้:
ตัวอย่าง: gcd (12; 36) = 12 .
ตัวหารของตัวเลขในบันทึกการแก้ปัญหาจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "D"
ตัวเลข 7 และ 9 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว - ตัวเลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า coprime หมายเลข.
Coprime หมายเลขเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว - เลข 1 GCD ของพวกเขาคือ 1
วิธีหาตัวหารร่วมมาก
ในการหา gcd ของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป คุณต้องมี:
การคำนวณจะเขียนสะดวกโดยใช้แถบแนวตั้ง ทางด้านซ้ายของบรรทัด ให้เขียนเงินปันผลก่อน ทางด้านขวา - ตัวหาร เพิ่มเติมในคอลัมน์ด้านซ้ายเราเขียนค่าส่วนตัว
มาอธิบายกันทันทีด้วยตัวอย่าง ลองแยกตัวประกอบตัวเลข 28 และ 64 เป็นตัวประกอบเฉพาะกัน
- ขีดเส้นใต้ตัวประกอบเฉพาะตัวเดียวกันในตัวเลขทั้งสอง
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
เราพบผลคูณของปัจจัยเฉพาะที่เหมือนกันและเขียนคำตอบลงไป
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
คำตอบ: GCD (28; 64) = 4
คุณสามารถจัดเรียงตำแหน่งของ GCD ได้สองวิธี: ในคอลัมน์ (ตามที่ทำด้านบน) หรือ "ในบรรทัด"
วิธีแรกในการเขียน GCD
ค้นหา GCD 48 และ 36
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
วิธีที่สองในการเขียน GCD
ตอนนี้ มาเขียนโซลูชันการค้นหา GCD ในบรรทัดกัน ค้นหา GCD 10 และ 15
บนไซต์ข้อมูลของเรา คุณยังสามารถค้นหาตัวหารร่วมมากทางออนไลน์ได้ด้วยความช่วยเหลือของโปรแกรมผู้ช่วยเพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณ
การหาตัวคูณร่วมน้อย วิธีการ ตัวอย่างการค้นหา LCM
เนื้อหาที่นำเสนอด้านล่างนี้เป็นความต่อเนื่องทางตรรกะของทฤษฎีจากบทความภายใต้หัวข้อ LCM - Least Common Multiple, คำจำกัดความ, ตัวอย่าง, ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD เราจะพูดถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM), และ ความสนใจเป็นพิเศษลองมาดูตัวอย่างกัน ก่อนอื่นให้เราแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวในแง่ของ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป ให้ลองหาตัวคูณร่วมน้อยโดยแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ หลังจากนั้น เราจะเน้นไปที่การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป และให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของตัวเลขติดลบด้วย
การนำทางหน้า
การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd
วิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยโดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณสามารถคำนวณผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนผ่านตัวหารร่วมมากที่ทราบ สูตรที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). พิจารณาตัวอย่างการหา LCM ตามสูตรข้างต้น
หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งสอง 126 และ 70
ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 ลองใช้ลิงก์ของ LCM กับ GCD ซึ่งแสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) นั่นคือ อันดับแรก เราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 หลังจากนั้น เราสามารถคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้ตามสูตรที่เขียนได้
ค้นหา gcd(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 ดังนั้น gcd(126, 70)=14
ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่จำเป็น: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630
LCM คืออะไร (68, 34) ?
เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัวจึง gcd(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68
โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้เหมาะกับกฎต่อไปนี้ในการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าตัวเลข a หารด้วย b ลงตัว ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ a
การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบสำคัญ
อีกวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยพิจารณาจากจำนวนแฟคตอริ่งเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากเราสร้างผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ หลังจากนั้นเราแยกปัจจัยเฉพาะร่วมทั้งหมดที่มีอยู่ในการขยายจำนวนเหล่านี้ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลคูณที่ได้จะเท่ากับผลคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้
กฎที่ประกาศในการค้นหา LCM ตามมาจากความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) ผลคูณของจำนวน a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายจำนวน a และ b ในทางกลับกัน gcd(a, b) เท่ากับผลคูณของปัจจัยเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการขยายตัวเลข a และ b (ซึ่งอธิบายไว้ในส่วนการหา gcd โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ ).
ลองมาดูตัวอย่างกัน ให้เรารู้ว่า 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . เขียนผลคูณของการขยายเหล่านี้: 2 3 3 5 5 5 7 . ตอนนี้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ทั้งในการขยายหมายเลข 75 และในการขยายหมายเลข 210 (ปัจจัยดังกล่าวคือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2 3 5 5 7 . ค่าของผลิตภัณฑ์นี้เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของ 75 และ 210 นั่นคือ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050
หลังจากแยกตัวประกอบตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้ว ให้หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้
มาแยกตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบสำคัญกัน: 
เราได้ 441=3 3 7 7 และ 700=2 2 5 5 7 .
ตอนนี้ เรามาสร้างผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้กัน: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยดังกล่าวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ดังนั้น LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100
LCM(441, 700)= 44 100 .
กฎสำหรับการค้นหา LCM โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะสามารถกำหนดได้แตกต่างกันเล็กน้อย หากเราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของตัวเลข b ไปยังตัวประกอบจากการขยายจำนวน a ค่าของผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข a และ b
ตัวอย่างเช่น ลองหาตัวเลขเดียวกันทั้งหมด 75 และ 210 การขยายออกเป็นปัจจัยเฉพาะดังนี้ 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 สำหรับตัวประกอบ 3, 5 และ 5 จากการขยายตัวของจำนวน 75 เราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการขยายตัวของหมายเลข 210 เราจะได้ผลคูณ 2 3 5 5 7 ค่าของซึ่งเป็น LCM(75 , 210) .
หาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648
ขั้นแรกเราได้รับการสลายตัวของตัวเลข 84 และ 648 เป็นปัจจัยเฉพาะ พวกเขาดูเหมือน 84=2 2 3 7 และ 648=2 2 2 3 3 3 3 สำหรับปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 จากการขยายตัวของหมายเลข 84 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 , 3 , 3 และ 3 จากการขยายตัวของหมายเลข 648 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 , ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของตัวเลข 84 และ 648 คือ 4,536
การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป
ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถพบได้โดยการหา LCM ของตัวเลขสองตัวอย่างต่อเนื่อง จำทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกัน ซึ่งให้วิธีการหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป
ให้จำนวนเต็มบวก a 1 , a 2 , … , a k ให้มา, ตัวคูณร่วมน้อย m k ของตัวเลขเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k-1 , a k) .
พิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้กับตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัว
ค้นหา LCM ของตัวเลขสี่ตัว 140 , 9 , 54 และ 250
อันดับแรก เราพบ ม. 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . ในการทำเช่นนี้โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเรากำหนด gcd(140, 9) เรามี 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 ดังนั้น gcd( 140, 9)=1 ดังนั้น LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . นั่นคือ ม. 2 =1 260 .
ตอนนี้เราพบ m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . ลองคำนวณผ่าน gcd(1 260, 54) ซึ่งกำหนดโดยอัลกอริทึมแบบยุคลิดด้วย: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 จากนั้น gcd(1 260, 54)=18 ดังนั้น LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 นั่นคือ ม. 3 \u003d 3 780
ยังคงพบ m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . ในการทำเช่นนี้ เราพบ GCD(3 780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 ดังนั้น gcd(3 780, 250)=10 ดังนั้น LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 นั่นคือ ม. 4 \u003d 94 500
ดังนั้นผลคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่จำนวนเดิมคือ 94,500
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
ในหลายกรณี จะพบตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปได้อย่างสะดวกโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้ ควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัวจะเท่ากับผลคูณ ซึ่งประกอบด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของจำนวนที่สอง บวกตัวประกอบทั้งหมดจากการบวกขยายของตัวเลขแรก ตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของ ตัวเลขที่สามจะถูกเพิ่มเข้ากับตัวประกอบที่ได้รับและอื่นๆ
ลองพิจารณาตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกตัวประกอบของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขห้าตัว 84 , 6 , 48 , 7 , 143
ขั้นแรก เราได้รับการสลายตัวของตัวเลขเหล่านี้เป็นปัจจัยเฉพาะ: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 เป็นจำนวนเฉพาะ มันเกิดขึ้นพร้อมกับการสลายตัวของปัจจัยสำคัญ) และ 143=11 13 .
ในการหาค่า LCM ของตัวเลขเหล่านี้ สำหรับตัวประกอบของเลขตัวแรก 84 (คือ 2 , 2 , 3 และ 7) คุณต้องบวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของเลขตัวที่สอง 6 การขยายตัวของหมายเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไปเนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการขยายตัวของหมายเลขแรก 84 . นอกจากตัวประกอบ 2, 2, 3 และ 7 แล้ว เราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของตัวเลขที่สาม 48 เรายังได้ชุดของตัวประกอบ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 ไม่จำเป็นต้องเพิ่มปัจจัยในชุดนี้ในขั้นตอนต่อไป เนื่องจาก 7 มีอยู่แล้วในชุดนี้ สุดท้ายนี้ ปัจจัย 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 11 และ 13 จากการขยายตัวของจำนวน 143 . ได้ผลลัพธ์ 2 2 2 2 3 7 11 13 ซึ่งเท่ากับ 48 048
ดังนั้น LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
การหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ
บางครั้งมีงานบางอย่างที่คุณต้องค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ซึ่งหนึ่งในจำนวนนั้น หลายตัวหรือทั้งหมดเป็นค่าลบ ในกรณีเหล่านี้ ตัวเลขติดลบทั้งหมดจะต้องแทนที่ด้วยตัวเลขตรงข้าม หลังจากนั้นจึงควรหา LCM ของจำนวนบวก นี่คือวิธีการหา LCM ของจำนวนลบ ตัวอย่างเช่น LCM(54, −34)=LCM(54, 34) และ LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888)
เราสามารถทำได้เพราะเซตของทวีคูณของ a เหมือนกับเซตของทวีคูณของ −a (a และ −a เป็นจำนวนที่ตรงข้ามกัน) ที่จริงแล้ว ให้ b เป็นจำนวนเต็มของ a แล้ว b หารด้วย a ลงตัว และแนวคิดเรื่องการหารลงตัวยืนยันการมีอยู่ของจำนวนเต็ม q ที่ b=a q นั้น แต่ความเท่าเทียมกัน b=(−a)·(−q) จะเป็นจริงด้วย ซึ่งโดยอาศัยแนวคิดเรื่องการแบ่งแยกที่เหมือนกัน หมายความว่า b หารด้วย −a ลงตัว นั่นคือ b เป็นผลคูณของ −a คำสั่ง converse ก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า b เป็นจำนวนทวีคูณของ −a แล้ว b ก็เป็นผลคูณของ a ด้วย
หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ −145 และ −45
ลองแทนที่จำนวนลบ −145 และ −45 ด้วยตัวเลขตรงข้าม 145 และ 45 เรามี LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) เมื่อพิจารณาแล้ว gcd(145, 45)=5 (เช่น การใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด) เราคำนวณ LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มลบ −145 และ −45 คือ 1,305
www.cleverstudents.ru
เราเรียนต่อแผนก ที่ บทเรียนนี้เราจะพิจารณาแนวคิดเช่น GCDและ NOC.
GCDเป็นตัวหารร่วมมาก
NOCเป็นตัวคูณร่วมน้อย
หัวข้อค่อนข้างน่าเบื่อ แต่จำเป็นต้องเข้าใจ หากไม่เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะไม่สามารถทำงานกับเศษส่วนได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งเป็นอุปสรรคสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์
ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
คำนิยาม. ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข เอและ ข เอและ ขแบ่งโดยไม่เหลือเศษ.
เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้ดี เราจึงเปลี่ยนแทนตัวแปร เอและ ขตัวเลขสองตัวใด ๆ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็นตัวแปร เอแทนที่ตัวเลข 12 และแทนที่ตัวแปร ขหมายเลข 9 ทีนี้ลองอ่านคำจำกัดความนี้:
ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข 12 และ 9 เป็นจำนวนที่มากที่สุดโดยที่ 12 และ 9 แบ่งโดยไม่เหลือเศษ.
จากคำจำกัดความที่เรากำลังพูดถึงตัวหารร่วมของตัวเลข 12 และ 9 นั้นชัดเจน และตัวหารนี้เป็นตัวหารที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาตัวหารที่มีอยู่ทั้งหมด ต้องพบตัวหารร่วมมากนี้ (gcd)
ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนสองจำนวน จะใช้สามวิธี วิธีแรกค่อนข้างใช้เวลานาน แต่ช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของหัวข้อได้ดีและเข้าใจความหมายทั้งหมด
วิธีที่สองและสามค่อนข้างง่าย และทำให้สามารถค้นหา GCD ได้อย่างรวดเร็ว เราจะพิจารณาทั้งสามวิธี และสิ่งที่จะใช้ในทางปฏิบัติ - คุณเลือก
วิธีแรกคือการหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขสองตัวและเลือกตัวที่ใหญ่ที่สุด ลองพิจารณาวิธีนี้ในตัวอย่างต่อไปนี้: หาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12 และ 9.
อันดับแรก เราหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเลข 12 ในการทำเช่นนี้ เราแบ่ง 12 เป็นตัวหารทั้งหมดในช่วง 1 ถึง 12 หากตัวหารอนุญาตให้เราหาร 12 โดยไม่มีเศษ เราจะเน้นเป็นสีน้ำเงินและ ให้คำอธิบายที่เหมาะสมในวงเล็บ
12: 1 = 12
(12 หารด้วย 1 ไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12: 2 = 6
(12 หารด้วย 2 ไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 2 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12: 3 = 4
(12 หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 3 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12: 4 = 3
(12 หารด้วย 4 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 4 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12:5 = 2 (2 เหลือ)
(12 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 5 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 6 = 2
(12 หารด้วย 6 ไม่มีเศษ ดังนั้น 6 จึงเป็นตัวหารของ 12)
12: 7 = 1 (เหลือ 5)
(12 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 7 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 8 = 1 (เหลือ 4 ตัว)
(12 ไม่หารด้วย 8 ไม่มีเศษ ดังนั้น 8 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12:9 = 1 (เหลือ 3 ตัว)
(12 ไม่หารด้วย 9 ไม่มีเศษ ดังนั้น 9 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 10 = 1 (2 เหลือ)
(12 ไม่หารด้วย 10 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 10 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12:11 = 1 (1 เหลือ)
(12 ไม่หารด้วย 11 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 11 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)
12: 12 = 1
(12 หารด้วย 12 ไม่มีเศษ ดังนั้น 12 จึงเป็นตัวหารของ 12)
ทีนี้ มาหาตัวหารของเลข 9 กัน โดยตรวจสอบตัวหารทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 9
9: 1 = 9
(9 หารด้วย 1 ไม่มีเศษ ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวหารของ 9)
9: 2 = 4 (1 เหลือ)
(9 ไม่หารด้วย 2 ไม่มีเศษ ดังนั้น 2 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9: 3 = 3
(9 หารด้วย 3 ไม่มีเศษ ดังนั้น 3 จึงเป็นตัวหารของ 9)
9: 4 = 2 (1 เหลือ)
(9 หารด้วย 4 ไม่ได้โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 4 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9:5 = 1 (เหลือ 4 ตัว)
(9 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 5 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9: 6 = 1 (เหลือ 3 ตัว)
(9 หารด้วย 6 ไม่ได้โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 6 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9:7 = 1 (2 เหลือ)
(9 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 7 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9:8 = 1 (1 เหลือ)
(9 ไม่หารด้วย 8 ไม่มีเศษ ดังนั้น 8 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)
9: 9 = 1
(9 หารด้วย 9 ไม่มีเศษ ดังนั้น 9 จึงเป็นตัวหารของ 9)
ตอนนี้เขียนตัวหารของตัวเลขทั้งสอง ตัวเลขที่เน้นสีน้ำเงินเป็นตัวหาร ลองเขียนออกมา:
เมื่อเขียนตัวหารแล้ว คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าตัวใดตัวที่ใหญ่ที่สุดและตัวหารร่วมมากที่สุด
ตามคำจำกัดความ ตัวหารร่วมมากของ 12 และ 9 คือจำนวนที่ 12 และ 9 หารลงตัว ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12 และ 9 คือเลข 3
ทั้งเลข 12 และเลข 9 หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:
ดังนั้น gcd (12 และ 9) = 3
วิธีที่สองในการค้นหา GCD
ลองพิจารณาวิธีที่สองในการหาตัวหารร่วมมาก สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแยกจำนวนทั้งสองออกเป็นปัจจัยเฉพาะและคูณจำนวนสามัญ
ตัวอย่างที่ 1. ค้นหา GCD ของตัวเลข 24 และ 18
อันดับแรก ให้แยกตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:
ตอนนี้เราคูณปัจจัยร่วมของพวกมันแล้ว เพื่อไม่ให้สับสน สามารถขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปได้
เราดูที่การสลายตัวของหมายเลข 24 ปัจจัยแรกคือ 2 เรากำลังมองหาปัจจัยเดียวกันในการสลายตัวของหมายเลข 18 และเห็นว่าอยู่ที่นั่นด้วย เราขีดเส้นใต้ทั้งสอง:
เราดูที่การสลายตัวของหมายเลข 24 อีกครั้ง ตัวประกอบที่สองของมันคือ 2 เช่นกัน เรากำลังมองหาปัจจัยเดียวกันในการสลายตัวของหมายเลข 18 และเห็นว่าไม่มีเป็นครั้งที่สอง แล้วเราไม่เน้นอะไรเลย
สองตัวถัดไปในการขยายหมายเลข 24 ก็หายไปในการขยายหมายเลข 18 ด้วย
เราส่งต่อไปยังปัจจัยสุดท้ายในการสลายตัวของหมายเลข 24 นี่คือปัจจัย 3 เรากำลังมองหาปัจจัยเดียวกันในการสลายตัวของหมายเลข 18 และเห็นว่าอยู่ที่นั่นด้วย เราเน้นทั้งสาม:
ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของตัวเลข 24 และ 18 คือตัวประกอบ 2 และ 3 เพื่อให้ได้ GCD ปัจจัยเหล่านี้จะต้องคูณ:
ดังนั้น gcd (24 และ 18) = 6
วิธีที่สามในการค้นหา GCD
ลองพิจารณาวิธีที่สามในการหาตัวหารร่วมมาก แก่นแท้ของวิธีนี้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขที่จะค้นหาตัวหารร่วมมากจะแบ่งออกเป็นปัจจัยเฉพาะ จากนั้น จากการสลายตัวของหมายเลขแรก ปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของหมายเลขที่สองจะถูกลบออก ตัวเลขที่เหลือในการขยายครั้งแรกจะถูกคูณและรับ GCD
ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD ของตัวเลข 28 และ 16 ด้วยวิธีนี้ ก่อนอื่น เราแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
เรามีส่วนขยายสองรายการ: และ
จากการขยายจำนวนแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายจำนวนที่สองไม่รวมเจ็ด เราจะลบมันออกจากส่วนขยายแรก:
ตอนนี้เราคูณปัจจัยที่เหลือและรับ GCD:
หมายเลข 4 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 28 และ 16 ตัวเลขทั้งสองนี้หารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:
ตัวอย่าง 2ค้นหา GCD ของตัวเลข 100 และ 40
แยกตัวประกอบจำนวน 100
แยกตัวประกอบตัวเลข40
เรามีการขยายสองส่วน:
จากการขยายจำนวนแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายจำนวนที่สองไม่รวมหนึ่งห้า (มีเพียงหนึ่งในห้า) เราลบออกจากการสลายตัวครั้งแรก
คูณตัวเลขที่เหลือ:
เราได้รับคำตอบว่า 20 ดังนั้นจำนวน 20 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 100 และ 40 ตัวเลขสองตัวนี้หารด้วย 20 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:
GCD (100 และ 40) = 20
ตัวอย่างที่ 3ค้นหา gcd ของตัวเลข 72 และ 128
แยกตัวประกอบตัวเลข 72
แยกตัวประกอบตัวเลข128
2×2×2×2×2×2×2
จากการขยายจำนวนแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายจำนวนที่สองไม่รวมแฝดสอง (ไม่มีเลย) เราลบออกจากการสลายตัวครั้งแรก:
เราได้รับคำตอบ 8 ดังนั้นหมายเลข 8 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 72 และ 128 ตัวเลขสองตัวนี้หารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:
GCD (72 และ 128) = 8
การหา GCD สำหรับตัวเลขหลายตัว
ตัวหารร่วมมากสามารถพบได้สำหรับตัวเลขหลายตัว ไม่ใช่แค่สองตัว สำหรับสิ่งนี้ ตัวเลขที่จะหาตัวหารร่วมมากที่สุดจะถูกแยกย่อยไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นจึงหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขเหล่านี้
ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD ของตัวเลข 18, 24 และ 36
แยกตัวประกอบตัวเลข 18
แยกตัวประกอบตัวเลข 24
แยกตัวประกอบตัวเลข 36
เรามีส่วนขยายสามรายการ:
ตอนนี้เราเลือกและขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปในตัวเลขเหล่านี้ ปัจจัยทั่วไปจะต้องรวมอยู่ในตัวเลขทั้งสาม:
เราเห็นว่าตัวประกอบร่วมของตัวเลข 18, 24 และ 36 คือตัวประกอบ 2 และ 3 โดยการคูณปัจจัยเหล่านี้ เราจะได้รับ GCD ที่เราต้องการ:
เราได้รับคำตอบ 6 ดังนั้นหมายเลข 6 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 18, 24 และ 36 ตัวเลขทั้งสามนี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:
GCD (18, 24 และ 36) = 6
ตัวอย่าง 2ค้นหา gcd สำหรับตัวเลข 12, 24, 36 และ 42
แยกตัวประกอบแต่ละจำนวนกัน จากนั้นเราจะหาผลคูณของตัวประกอบร่วมของตัวเลขเหล่านี้
แยกตัวประกอบตัวเลข 12
แยกตัวประกอบตัวเลข 42
เรามีส่วนขยายสี่รายการ:
ตอนนี้เราเลือกและขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปในตัวเลขเหล่านี้ ปัจจัยทั่วไปจะต้องรวมอยู่ในตัวเลขทั้งสี่:
เราเห็นว่าปัจจัยร่วมของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 คือตัวประกอบ 2 และ 3 เมื่อนำปัจจัยเหล่านี้มาคูณกันแล้ว เราจะได้ GCD ที่เราต้องการ:
เราได้คำตอบ 6 ดังนั้นเลข 6 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 ตัวเลขเหล่านี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:
gcd(12, 24, 36 และ 42) = 6
จากบทเรียนที่แล้ว เรารู้ว่าถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งโดยไม่เหลือเศษ จะเรียกว่าจำนวนทวีคูณของจำนวนนี้
ปรากฎว่าตัวคูณสามารถใช้ร่วมกับตัวเลขหลายตัวได้ และตอนนี้เราจะสนใจจำนวนทวีคูณของตัวเลขสองตัวในขณะที่มันควรจะเล็กที่สุด
คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข เอและ ข- เอและ ข เอและหมายเลข ข.
คำจำกัดความประกอบด้วยสองตัวแปร เอและ ข. ลองแทนที่ตัวเลขสองตัวใดๆ สำหรับตัวแปรเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็นตัวแปร เอแทนเลข 9 แทนตัวแปร ขมาแทนเลข 12 กันดีกว่า ทีนี้ลองอ่านคำจำกัดความกัน:
ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข 9 และ 12 - เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นทวีคูณของ 9 และ 12 . กล่าวอีกนัยหนึ่งมันเป็นจำนวนน้อยที่หารโดยไม่เหลือเศษ 9 และบนหมายเลข 12 .
จากคำจำกัดความที่ชัดเจนคือ LCM เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 9 และ 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ จำเป็นต้องหา LCM นี้
มีสองวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) วิธีแรกคือคุณสามารถเขียนผลคูณแรกของตัวเลขสองตัว และเลือกจากตัวคูณเหล่านี้ ซึ่งเป็นตัวเลขที่ใช้ได้กับทั้งตัวเลขและตัวพิมพ์เล็ก ลองใช้วิธีนี้กัน
ก่อนอื่น ให้หาผลคูณแรกของเลข 9 กัน ในการหาผลคูณของ 9 คุณต้องคูณเก้านี้ด้วยตัวเลขจาก 1 ถึง 9 กัน คำตอบที่คุณได้รับจะเป็นผลคูณของเลข 9 ดังนั้น , เริ่มกันเลย. ทวีคูณจะถูกเน้นด้วยสีแดง:
ตอนนี้เราพบตัวคูณสำหรับหมายเลข 12 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราคูณ 12 ด้วยตัวเลข 1 ถึง 12 ทั้งหมดตามลำดับ