Основы кристаллографии. Что такое кристаллография Номенклатура простых форм

Рис. 1. Совершенная спайность каменной соли

При знакомстве с минералами невольно бросается в глаза присущая многим из них способность принимать правильные наружные очертания - образовывать кристаллы, т. е. тела, ограниченные рядом плоскостей. В связи с этим постоянно пользуется кристаллографическими терминами и понятиями. Поэтому краткие сведения по кристаллографии должны предшествовать систематическому знакомству с минералогией.

СВОЙСТВА КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ВЕЩЕСТВА

Все однородные тела по характеру распределения в них физических свойств могут быть разделены на две большие группы: тела аморфные и кристаллические.

В аморфных телах все физические свойства статистически одинаковы во всевозможных направлениях.

Такие тела носят название изотропных (равносвойственных).

К аморфным телам относятся жидкости, газы, а из твердых тел - стекла, стекловидные сплавы, а также затвердевшие коллоиды (гели).

В телах кристаллических многие физические свойства связаны с определенным направлением: они одинаковы в направлениях параллельных и неодинаковы, вообще говоря, в направлениях не параллельных.

Такой характер свойств называется анизотропией, а , обладающие подобными свойствами, анизотропными (неравносвойственными).

К телам кристаллическим принадлежит большинство твердых тел и, в частности, громадное большинство минералов.

К числу физических свойств всякого твердого тела относится и сила сцепления между отдельными частицами, слагающими тело. Это физическое свойство в кристаллической среде изменяется с изменением направления. Например, в кристаллах каменной соли (рис. 1), встречающихся в форме более или менее правильных кубов, это сцепление будет наименьшим перпендикулярно к граням куба. Поэтому кусок каменной соли при ударе будет раскалываться с наибольшей легкостью по определенному направлению -параллельно грани куба, а кусок аморфного вещества, например стекла, такой же формы будет раскалыватьсяодинаково легко но любому направлению.

Свойство минерала раскалываться по определенному, заранее известному направлению, с образованием поверхности раскола в виде гладкой, блестящей плоскости, называется спайностью (см. ниже «Физические свойства минералов»). Оно присуще в различной степени многим минералам.

При выделении из пересыщенного раствора та же сила междучастичного притяжения вызывает отложение из раствора в определенных направлениях; перпендикулярно к каждому из этих направлений образуется плоскость, которая по мере оседания на нее новых порций будет отодвигаться от центра растущего кристалла параллельно самой себе. Рис 1. Совершенная спайность купность таких плоскостей при каменной соли даёт кристаллу свойственную ему правильную многогранную форму.

Если приток вещества к растущему кристаллу будет происходить неравномерно с разных сторон, что обычно и наблюдается в естественных условиях, в частности, если кристалл в своем росте будет стеснен присутствием соседних кристаллов, отложение вещества будет происходить также неравномерно, и кристалл получит сплющенную или удлиненную форму, или займет только свободное пространство, которое находится между ранее образовавшимися кристаллами. Нужно сказать, что чаше всего так и бывает, и правильные, равномерно образованные кристаллы для многих минералов являются редкостью.

При всем этом, однако, направления плоскостей каждого кристалла остаются неизменными, а следовательно, двугранные углы между соответственными (равнозначными) плоскостями на различных кристаллах одного вещества и одного строения должны представлять величины постоянные (рис.2).

Это - первый основной закон кристаллографии, известный под названием закона постоянства двугранных углов, был впервые подмечен Кеплером и высказан в общей форме датским ученым Н. Стено в 1669 г. В 1749 г. М. В. впервые связал закон постоянства углов с внутренним строением кристалла на примере селитры.

Наконец, еще 30 лет спустя французский кристаллограф Ж. Ромэ-Делиль, после двадцатилетней работы по измерению углов в кристаллах, подтвердил общность этого закона и впервые сформулировал его.

Рис. 2. Кристаллы кварца

Эта закономерность, выведенная Стено-Ломоносовым-Ромэ-Делилем, легла в основу всего научного исследования кристаллов того времени и послужила отправным пунктом для дальнейшего развития науки о кристаллах. Если представить себе грани кристалла передвинутыми параллельно самим себе так, чтобы равно значные грани передвинулись на одинаковое расстояние от центра, полученные многогранники примут ту идеальную форму, которая была бы достигнута растущим кристаллом в случае идеальных, т. е. не усложненных внешними воздействиями, условий.

ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ

Симметрия. При кажущейся простоте и обыденности понятие симметрии довольно сложно. В наиболее простом определении симметрия есть правильность (закономерность) в расположении одинаковых частей фигуры. Эта правильность выражается: 1) в закономерной повторяемости частей при вращении фигуры, причем последняя при поворотах как бы совмещается сама с собою; 2) в зеркальном равенстве частей фигуры, когда одни части ее представляются как бы зеркальным отражением других.

Все эти закономерности сделаются значительно понятнее после ознакомления с элементами симметрии.

Рассматривая хорошо образованные кристаллы или кристаллографические модели, легко установить те закономерности, которые наблюдаются в распределении в кристаллах одинаковых плоскостей и равных углов. Эти закономерности сводятся к присутствию в кристаллах следующих элементов симметрии (по отдельности или в определенных сочетаниях): 1) плоскостей симметрии, 2) осей симметрии и 3) центра симметрии.

Рис. 3. Плоскость симметрии

1. Воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две равные части, относящиеся друг к другу, как предмет к своему изображению в зеркале (или как правая рука к левой), называется плоскостью симметрии и обозначается буквой Р (рис. 3 - плоскость) АВ).

2. Направление, при повороте вокруг которого всегда на один и тот же угол все части кристалла симметрично повторяются п раз, называется простой или поворотной осью симметрии (рис. 4 и 5). Число п, показывающее сколько раз наблюдается повторение частей при полном (на 360°) обороте кристалла вокруг оси, называется порядком или значностью оси симметрии.

На основании теоретических соображений легко доказать, что п - всегда число целое и что в кристаллах могут существовать только оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го порядка.

Рис. 4. Ось симметрии 3-го порядка

Ось симметрии обозначается буквою L или G, а порядок оси симметрии - показателем, поставленным справа вверху. Так L 3 обозначает ось симметрии 3-го порядка; L 6 - ось симметрии 6-го порядка и т. д. Если в кристалле присутствует несколько осей или плоскостей симметрии, то число их обозначается коэффициентом, который ставится перед соответствующей буквой. Так, 4L 3 3L 2 6Р обозначает, что в кристалле присутствует четыре оси симметрии 3-го порядка, три оси симметрии 2-го порядка и 6 плоскостей симметрии.

Кроме простых осей симметрии, возможны и сложные оси. В случае так называемой зеркально-поворотной оси, совмещение многогранника всеми его частями с исходным положением происходит не в результате только одного вращения на какой-то угол а, но и одновременного с этим отражения в воображаемой перпендикулярной плоскости. Ось сложной симметрии обозначается также буквой L, но только показатель оси ставится внизу, например, L4. Исследование показывает, что кристаллические многогранники могут иметь сложные оси 2, 4 и 6 наименований или порядков, т. е. L 2 , L 4 и L 6 .

Рис. 5. Многогранник с осью симметрии 2-го порядка

Такого же характера симметрию можно осуществить при помощи инверсионной оси. В этом случае симметрическая операция заключается в сочетании поворота вокруг оси на угол в 90 или 60° и повторения через центр симметрии.

Процесс указанной симметрической операции можно иллюстрировать следующим примером: пусть имеется четырехгранник (тетраэдр), у которого ребра АВ и CD взаимно перпендикулярны (рис. 6). При повороте тетраэдра на 180° вокруг оси L i4 , вся фигура совмещается с первоначальным положением, т. е. ось L i4 , есть ось симметрии второго порядка (L 2). На самом деле фигура более симметрична, так как поворот, около той же оси на 90°

и последующее перемещение точки А согласно центру симметрии переведет ее в точку D . Таким же образом, точка В совместится с Точкой С. Вся фигура окажется совмещенной со своим первоначальным положением. Такую операцию совмещения каждый раз можно проводить при повороте фигуры вокруг оси L i4 на 90°, но при обязательном повторении через центр симметрии. Избранное направление оси L i4 и будет направлением инверсионной оси 4-го порядка (L i4 = G i4 ).

Рис. 6. Многогранник с четверной инверсионной осью симметрии (Li4)

Применение инверсионных осей в некоторых случаях более удобно и наглядно, чем пользование зеркально-поворотными осями. Их можно обозначать и как G i3 ; G i4 ; G i6 ; или как L i3 ;L i4 ; L i6

Точка внутри кристалла, на равном расстоянии от которой в противоположных направлениях находятся равные, параллельные и в общем обратно расположенные грани, называется центром симметрии или центром обратного равенства и обозначается буквой с (рис. 7). Очень легко доказывается, что с =L i2

т. е., что центр обратного равенства появляется в кристаллах, ко торые имеют ось сложной симметрии 2 -го порядка. Следует так-же заметить, что оси сложной симметрии в то же время являются осями простой симметрии вдвое меньшего наименования, т.е. возможны обозначения L 2 i4 ;L 3 i6 . Однако обратного заключения делать нельзя, так как не каждая ось простой симметрии обязательно будет являться осью сложной симметрии вдвое большего наименования.

Русский ученый А. В. Гадолин в 1869 г. доказал, что в кристаллах могут существовать только 32 комбинации (сочетания) вышеперечисленных элементов симметрии, называемые кристал лографическими классами или видами симметрии. Все они констатированы в природных или искусственных кристаллах.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ОСИ. ПАРАМЕТРЫ И ИНДЕКСЫ

При описании кристалла, кроме указания элементов симметрии, приходится определять положение в пространстве отдельных его граней. Для этого пользуются обычными приемами аналитической геометрии, учитывая в то же время и особенности природных кристаллических многогранников.

Рис. 7. Кристалл, имеющий центр симметрии

Внутри кристалла проводят кристаллографические оси, пересекающиеся в центре и в большинстве случаев совпадающие с элементами симметрии (осями, плоскостями кристалла или перпендикулярами к ним). При рациональном выборе кристаллографических осей грани кристалла, имеющие один и тот же вид и физические свойства, получают одинаковое численное значение, а самые оси будут идти параллельно наблюдаемым или возможным ребрам кристалла. В большинстве случаев ограничиваются тремя осями I, II и III, реже приходится проводить четыре оси - I, II, III и IV.

В случае трех осей одна ось направлена к наблюдателю и обозначается знаком I (рис. 8), другая ось направлена слева направо и обозначается знаком II и, наконец, третья ось направляется вертикально и обозначается знаком III.

В некоторых руководствах I ось называется X, II ось - Y, а III ось - Z. При наличии четырех осей I ось соответствует оси А II ось -оси Y, III ось -оси U и IV ось -оси Z.

Концы осей, направленные к наблюдателю, вправо и вверх, положительны, а направленные от наблюдателя влево и вниз - отрицательны.

Рис. 8. Грани кристалла на координатных осях

Пусть плоскость Р (рис. 8) отсекает на кристаллографических осях отрезки a, b и с. Так как кристаллические многогранники определяются только гранными углами и наклоном каждой плоскости, а не размерами плоскостей, то можно, перемешая любую плоскость параллельно самой себе, увеличивать и уменьшать размеры многогранника (что и происходит при росте кристаллов). Поэтому для обозначения положения плоскости Р не требуется знать абсолютные величины отрезков a, b и с, а только их отношение а: b: с. Всякая другая плоскость того же кристалла обозначится в общем случае а’ : b’: с’ или а»: b»: с».

Положим, что а’-та; b’ = nb; с’ = рс; а» = т’a; b» = п’b; с» = р’с, т. е. длины отрезков по кристаллографическим осям для этих плоскостей выразим в числах, кратных длинам отрезков но кристаллографическим осям плоскости Р, называемой исходной или единичной. Величины т, п, р, т’,п’, р’ называются числовыми параметрами соответствующей плоскости.

В кристаллических многогранниках числовые параметры представляют собой числа простые и рациональные.

Это свойство кристаллов было открыто в 1784 г. французским ученым Аюи и носит название «Закон рациональности параметров».

Рис. 9. Элементарный параллелепипед и единичная грань

Обычно параметры равны 1, 2, 3, 4; чем больше числа, которыми выражаются параметры, тем реже встречаются соответствующие грани.

Если выбрать кристаллографические оси так, чтобы они проходили элементарный па раллельно ребрам кристалла, то отрезки погрань этим осям, которые отсекает исходная грань кристалла (грань Р) , определяют основную ячейку данного кристаллического вещества.

При этом надо иметь в виду, что для кристаллов с низкой симметрией нередко приходится принимать косоугольную систему кристаллографических осей. В этом случае необходимо указывать величины углов между кристаллографическими осями, обозначая их через а (альфа), р (бета) и у (гамма). При этом я называется угол между III и II осями, р -угол между III и I (так называемый угол моноклинности), ат - угол между I иII осями (рис.9).

На рис. 8 исходная плоскость Р отсекает на соответствующих осях отрезки а,b и с или им кратные.

Всякая другая плоскость должна отсечь по I оси отрезок, кратный а, по II оси - кратный b и по III оси - кратный с.

Так плоскость Р будет отсекать отрезки а, 2b и 2с, а плоскость Р» - отрезки 2а, 4b и Зс и т. д. Коэффициенты при а, 6 и с, представляющие собой параметры, могут быть только рациональными величинами.

Величины а, b и с или их отношения являются характерными константами для данного кристалла и называются осевыми единицами.

Обозначения плоскостей по отрезкам на кристаллографических осях в общем виде господствовали в науке до последней четверти XIX в., но затем уступили место другим.

В настоящее время для обозначения положения граней кристалла пользуются способом Миллера, как представляющим наибольшие удобства при кристаллографических вычислениях, хотя на первый взгляд он кажется несколько сложным и искусственным.

Как указано выше, исходная или «единичная» плоскость определит собой осевые единицы, а, зная параметры т:n:р всякой другой плоскости, можно определить и положение этой последней. Для кристаллографических вычислений выгоднее характеризовать положение какой-либо грани не прямым отношением отрезков, сделанных ею на кристаллографических осях кристалла к отрезкам «единичной» грани, а обратным отношением, т. е. делить величину отрезка, делаемого единичной гранью, на отрезок, делаемый определяемой гранью.

Очевидно, что полученные отношения также будут выражаться целыми числами, обозначаемыми в общем случае через буквы h, k и l . Таким образом, положение всякой грани может быть выражено однозначно через три величины h, k и l , отношение между которыми обратно отношениям длин отрезков, делаемых гранью на трех кристаллографических осях, причем по каждой оси, в общем случае, должны быть взяты те отрезки (единичные отрезки), которые делает единичная грань на соответствующих осях. Если взять за кристаллографические оси направления, которые совпадают с осями симметрии или нормалями к плоскостям симметрии или, если нет таких элементов симметрии, - с ребрами кристалла, то характеристики граней могут быть выражены простыми и целыми числами, при этом все грани одной формы будут выражены сходным образом.

Величины h, к и l называются индексами грани, а совокупности их - символом грани. Символ грани принято обозначать написанными подряд индексами без всяких знаков препинания и заключать их в круглые скобки (hbl). При этом индекс h относится к I оси, индекс k ко II и индекс l к III. Очевидно, что величины индекса обратны величине отрезка, делаемого гранью на оси. Если грань параллельна кристаллографической оси, то соответствующий индекс равен нулю. Если все три индекса могут быть сокращены на одну и ту же величину,

то такое сокращение необходимо сделать, помня, что индексы всегда простые и целые числа.

Символ грани, если он выражен числами, например (210) читается: два, один, нуль. Если грань делает отрезок на отрицательном направлении оси, то над соответствующим индексом ставится знак минус, например (010). Читается этот символ так: нуль, минус один, нуль.

Рис. 10 Кристаллы полевого шпата

Закон постоянства углов
В природных условиях кристаллы не всегда развиваются в благоприятных условиях и имеют такие идеальные формы, как показано на приводимых рисунках.
Очень часто кристаллы имеют неполностью развившиеся формы, с недоразвитыми элементами ограничения (гранями, ребрами, углами). Нередко в кристаллах одного и того же минерала величина и форма граней могут значительно меняться (рис. 9-11). Часто в почвах и горных породах встречаются не целые кристаллы, а лишь их обломки. Однако, как показали измерения, углы между соответствующими гранями (и ребрами) кристаллов различных форм одного и того же минерала всегда остаются постоянными .

В этом заключается один из основных законов кристаллографии- закон постоянства углов.
Чем же объясняется такое постоянство углов. Это явление связано с тем, что все кристаллы одного и того же имеют одинаковую структуру, т. е. тождественны по своему внутреннему строению. Закон справедлив для одинаковых физико-химических условий, в которых находятся измеряемые кристаллы, т. е. при одинаковых температурах, давлении и др. Резкое изменение углов в кристаллах может наступать при полиморфном превращении (см. гл. III).

Рис. 11. Три кристалла кварца с различным развитием соответствующих граней

Закон постоянства углов впервые упоминается рядом ученых: И. Кеплером, Э. Бартолином, X. Гюйгенсом, А. Левенгуком. Этот закон был выражен в общей форме в 1669 г. датским ученым Н. Стенопом. В 1749 г. впервые связал закон постоянства углов с внутренним строением селитры. И, наконец, в 1772 г. французским минералогом Ромэ де Лилем этот закон был сформулирован для всех кристаллов.

На рис. 10 показаны два кристалла полевого шпата различной формы. Углы между соответствующими гранями а и б двух кристаллов равны между собой (они обозначены буквой греческого алфавита а). На рис. 11 угол между гранями т и r разных по внешней форме кристаллов кварца равен 38° 13′. Из сказанного ясно, насколько велико значение измерения двугранных углов кристаллов для точной диагностики минерала.

Рис. 12. 13. Измерение гранного угла кристалла с помощью прикладного гониометра.
Принципиальная схема отражательного гониометра

Измерение гранных углов кристаллов. Гониометры

Для измерения двугранных углов кристаллов пользуются специальными приборами, называемыми гониометрами (греч. «гонос» - угол). Наиболее простым гониометром, употребляемым для приблизительных измерений, является так называемый прикладной гониометр, или гониометр Каранжо (рис. 12). Для более точных измерений используют отражательный гониометр (рис.13).

Измерение углов при помощи отражательного гониометра производится следующим образом: луч света, отражаясь от грани кристалла, улавливается глазом наблюдателя; поворачивая кристалл, фиксируют отражение луча света от второй грани на шкале круга гониометра, отсчитывают угол между двумя отблесками, а следовательно, и между двумя гранями кристалла.
Измерение двугранного угла будет верным, если грани кристалла, от которых происходит отражение луча света, параллельны оси вращения гониометра. Чтобы это условие всегда соблюдалось, измерение производят на двукружном или теодолитном гониометре, имеющем два круга вращения: кристалл может поворачиваться одновременно вокруг двух осей - горизонтальной и вертикальной.

Рис. 14. Теодолитный гониометр Е. С. Федоров

Теодолитный гониометр изобретен в конце XIX в. русским кристаллографом Федоровым и независимо от него немецким ученым В. Гольдшмидтом. Общий вид двухружного гониометра показан на рис. 14.

Кристаллохимический анализ Е. С. Федорова

Метод гониометрического определения кристаллического и в известной степени его внутреннего строения по внешним формам кристаллов позволили Федорову ввести в практику диагностики минералов кристаллохими ч е с к и й анализ.
Открытие закона постоянства углов позволило измерением гранных углов кристаллов и сравнением данных измерения с имеющимися табличными величинами устанавливать принадлежность исследуемого кристалла к определенному веществу. Федоров провел большую работу по систематизации огромного литературного материала по измерению кристаллов. Использовав его, а также собственные измерения кристаллов, Федоров написал монографию «Царство кристаллов» (1920).

Рис. 15. Схема соотношения углов в кристалле при его измерении

Ученики и последователи Федорова - советский кристаллограф А. К. Болдырев, английский ученый Т. Баркер (1881-1931) значительно упростили методы определения кристаллов. В настоящее «время кристаллохимический анализ сводится к измерению на гониометре необходимых углов и к определению вещества по справочным таблицам.
При гониометрическом измерении кристаллов непосредственному определению подлежит внутренний угол между гранями (рис. 15, ∠β). Однако в сводных таблицах с измеренными углами различных веществ всегда приводится угол, составленный нормалями к соответствующим граням (рис. 15, ∠α). Поэтому после измерения следует произвести несложные вычисления по формуле α= 180°-β (α=α1, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и по справочнику определить название минерала.

Симметрия в кристаллах

О существовании симметрии в природе мы узнаем с раннего детства. Крылья бабочки и стрекозы, лепестки и листья различных цветов и растений, снежинки и убеждают нас в том, что в природе существует симметрия.
Симметричными называются тела, состоящие из одинаковых, симметричных частей, которые могут совмещаться. Так, если бабочка сложит крылья, они у нее полностью совместятся. Плоскость, которая разделит бабочку на две части, будет плоскостью симметрии. Если на место этой плоскости поставить зеркало, в нем мы увидим симметричное отражение другого крыла бабочки. Так и плоскость симметрии обладает свойством зеркальности - по обе стороны этой плоскости мы видим симметричные, зеркально-равные половинки тела.

Рис. 16. Плоскость симметрии (Р) в кристалле каменной соли

В результате изучения кристаллических форм минералов выяснено, что и в неживой природе, в мире кристаллов, существует симметрия. В отличие от симметрии в живой природе она называется кристаллической симметрией.
Кристаллической симметрией называется правильная повторяемость элементов ограничения (ребер, граней, углов) и других свойств кристаллов по определенным направлениям.
Наиболее отчетливо симметрия кристаллов обнаруживается в их геометрической форме. Закономерное повторение геометрических форм можно заметить, если: 1) рассечь кристалл плоскостью; 2) вращать его вокруг определенной оси; 3) сопоставить расположение элементов ограничения кристалла относительно точки, лежащей внутри его.

Плоскость симметрии кристаллов

Рассечем кристалл каменной соли на две половины (рис. 16). Проведенная плоскость разделила кристалл на симметричные части. Такая плоскость называется плоскостью симметрии.

Рис. 17 Плоскости симметрии в кубе

Плоскостью симметрии кристаллического многогранника называется плоскость, по обе стороны которой располагаются одинаковые элементы ограничения и повторяются одинаковые свойства кристалла.
Плоскость симметрии обладает свойством зеркальности: каждая из частей кристалла, рассеченного плоскостью симметрии, совмещается с другой, т. е. является как бы ее зеркальным изображением. В различных кристаллах можно провести разное количество плоскостей симметрии. Например, в кубе имеется девять плоскостей симметрии (рис. 17), в гексагональной или шестигранной призме - семь плоскостей симметрии - три плоскости пройдут через противоположные ребра (рис. 18, плоскости а), три плоскости через середины противоположных граней (параллельных продольной оси многогранника -на рис. 18, плоскости b) и одна плоскость -перпендикулярно ей (рис 18 плос

Плоскость симметрии обозначается заглавной буквой латинского алфавита Р, а коэффициент, стоящий перед ней, показывает количество плоскостей симметрии в многограннике. Таким образом, для куба можно записать 9Р, т. е. девять плоскостей симметрии, а для гексагональной призмы - 7 Р.

Рис. 18. Плоскости симметрии в гексагональной призме (слева) и схема расположения осей симметрии (в плане,
справа)

Ось симметрии

В кристаллических многогранниках можно найти оси, при вращении вокруг которых кристалл будет совмещаться со своим первоначальным положением при повороте на определенный угол. Такие оси называются осями симметрии.
Ось симметрии кристаллического многогранника - это линия, при вращении вокруг которой правильно повторяются одинаковые элементы ограничения и другие свойства кристалла.
Оси симметрии обозначаются заглавной латинской буквой L. При вращении кристалла вокруг оси симметрии элементы ограничения и другие свойства кристалла будут повторяться определенное количество раз.

Если при повороте кристалла на 360° многогранник совмещается со своим исходным положением дважды, имеют дело с осью симметрии второго порядка, при четырех- и шестикратном совмещениях - соответственно с осями четвертого и шестого порядков. Оси симметрии обозначаются: L 2 - ось симметрии второго порядка; L 3 - ось симметрии третьего порядка; L 4 - ось симметрии четвертого порядка; L 6 - ось симметрии шестого порядка.

Порядком оси называется количество совмещений кристалла с первоначальным положением при повороте на 360°.

В связи с однородностью кристаллического строения и благодаря закономерностям в распределении частиц внутри кристаллов, в кристаллографии доказывается возможность существования только вышеперечисленных

осей симметрии. Ось симметрии первого порядка в расчет не принимается, так как она совпадает с любым направлением каждой фигуры. В кристаллическом многограннике может быть несколько осей симметрии различных порядков. Коэффициент, стоящий перед символом оси симметрии, показывает количество осей симметрии того или иного порядка. Так, b кубе три оси симметрии четвертого порядка 3L4 (через середины противоположных граней); четыре оси третьего порядка - 4L3 (проводятся через противоположные вершины трехгранных углов) и шесть осей второго порядка 6L2 (через середины противоположных ребер) (рис 19).

В гексагональной призме можно провести одну ось шестого порядка и 6 осей второго порядка (рис. 18 и 20). В кристаллах наряду с обычными осями симметрии, охарактеризованными ранее, выделяют так называемые инверсионные оси.
Инверсионной осью кристалла называется линия, при вращении вокруг которой на некоторый определенный угол и последующим отражением в центральной точке многогранника (как в центре симметрии) совмещаются одинаковые элементы ограничения .

Рис. 20 Оси симметрии шестого и второго порядков (L 6 6L 2) и плоскости симметрия (7Р) в гексагональной призме

Инверсионная ось обозначается символом На моделях кристаллов, где обычно приходится определять инверсионные оси, центр симметрии отсутствует. Доказана возможность существования инверсионных осей следующих порядков: первого L i1 , второго L i2 , третьего
L i3 , четвертого L i4 , шестого L i6 . Практически приходится иметь дело лишь с инверсионными осями четвертого и шестого порядков (рис.21).
Иногда инверсионные оси обозначаются цифрой, стоящей справа внизу от символа оси. Так, инверсионная ось второго порядка обозначается символом третьего - L 3 , четвертого L 4 шестого L 6 .
Инверсионная ось представляет собой как бы совокупность простой оси симметрии и центра инверсии (симметрии). На приводимой схеме (рис. 21) показаны две инверсионные оси Li и L i4 . Разберем оба случая нахождения данных осей в моделях. В тригональной призме (рис. 21,I) прямая LL - ось третьего порядка L 3 . В же время она одновременно является инверсионной осью шестого порядка. Так, при повороте на 60° вокруг оси любых частей многогранника и последующего отражения их в центральной точке фигура совмещается сама с собой. Иными словами, поворот ребра АВ этой призмы на 60° вокруг LL приводит его в положение А 1 В 1 , отражение ребра A 1 B 1 через центр совмещает его с DF.
В тетрагональном тетраэдре (рис. 21,II) все грани состоят из четырех совершенно одинаковых равнобедренных треугольников. Ось LL - ось второго порядка L 2 При повороте вокруг нее на 180° многогранник совмещается с первоначальным положением, а грань АВС переходит на место АВD. В же время ось L2 является и инверсионной осью четвёртого порядка. Если повернуть грань АВС на 90° вокруг оси LL, то она займёт положение А 1 В 1 С 1 . При отражении А 1 В 1 С 1 в центральной точке фигуры грань совместится с положением BCD (точка А1 совпадает с С, В 1 — с D и С 1 — с В). Проделав такую же операцию со всеми частями тетраэдра, заметим, что он совмещается сам с собой. При повороте тетраэдра на 360° получим четыре таких совмещения. Следовательно, LL - инверсионная ось четвертого порядка.

Центр симметрии

В кристаллических многогранниках, кроме плоскостей и осей симметрии, может быть также и центр симметрии (инверсии).
Центром симметрии (инверсии) кристаллического многогранника называется точка, лежащая внутри кристал-ла, в диаметрально противоположных направлениях от которой располагаются одинаковые элементы ограничения и другие свойства многогранника.
Центр симметрии обозначается буквой С латинского алфавита. При наличии центра симметрии в кристалле каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная (обратно параллельная) первой. В кристалла» не может быть более одного центра симметрии. В кристаллах любая линия, проходящая через центр симметрии, делится пополам.
Центр симметрии легко найти в кубе, октаэдре в гексагональной призме, так как он находится в этих много-гранниках в точке пересечения осей и плоскостей симметрии.
Разобранные элементы, встречаемые в кристаллических многогранниках, плоскости, оси, центр симметрии — называются элементами симметрии.

Таблица 1 32 вида симметрии кристаллов Виды симметрии
	примитивный	центральный	планальный	аксиальный	планаксиальный	инверсионно-примитивный	инверсионно-планальный
Триклинная
Моноклинная			р		L 2 PC
Ромбическая			L 2 2P	3L 2	3L 2 3PC
Тригональная		L 3 C	L 3 3P	L 3 3L 2	L 3 3L 2 3PC
Тетрагональная		L 4 PC	L 4 4P	L 4 4P 2	L 4 4L 2 5PC	19** L i4 =L 2	L i4 (=L2)2L 2 x2P
Гексагональная	L 6

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ Кристаллография – наука о кристаллах, их внешней форме, внутреннем строении, физических свойствах, о процессах их образования в земной коре, космосе и закономерностях развития Земли в целом. У любого материального объекта существуют различные симметрийные уровни структурной организации. Минерал, как природный объект, не исключение, а наоборот, он является одним из главных материальных объектов земной коры, обладающий всеми свойствами кристаллического вещества, на примере которого были изучены и выведены все основные законы симметрии кристалловмногогранников. Кристаллами называются твёрдые тела с упорядоченным внутренним строением, обладающие трёхмерно-периодической пространственной атомной структурой и имеющие вследствие этого, при определённых условиях образования, форму многогранников.

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ Дисциплина фундаментального характера, обязательная для студентов всех естественных специальностей (физиков, химиков, геологов). 1. 2. 3. Основная литература Егоров-Тисменко Е. М. Кристаллография и кристаллохимия. М. : Изд-во МГУ, 2006. 460 с. М. П. Шаскольская. Кристаллография. М. : Высшая школа, 1976. 391 с. Г. М. Попов, И. И. Шафрановский. Кристаллография. М. : Высшая школа, 1972. 346 с.

Кристаллография как наука Кристаллография – наука о кристаллах и кристаллическом состоянии материи вообще. Слово «кристалл» греческого происхождения и означает «лед» , «горный хрусталь» . Кристаллография изучает свойства кристаллов, их строение, рост и растворение, применение, искусственное получение и т. д. Кристаллами называют твердые тела, в которых материальные частицы расположены закономерно в виде узлов пространственной решетки

Связь кристаллографии с другими науками Кристаллография Геометрия Живопись Архитектура Физика Минералогия Петрография Металлография Механика Электроакустика Радиотехника Химия Геохимия Биология

Значение кристаллографии Теоретическое значение – познание наиболее общих закономерностей строения материи, в частности земной коры Практическое значение – промышленное выращивание кристаллов (монокристалльная промышленность)

Понятие о структуре кристаллов Под структурой кристаллов понимается закономерное расположение материальных частиц (атомов, молекул, ионов) внутри кристаллохимического вещества. Для описания порядка расположения частиц в пространстве их начали отождествлять с точками. Из такого подхода постепенно сформировалось представление о пространственной или кристаллической решетке кристаллов минералов. Ломоносов, Гаюи, Браве, Федоров заложили основы геометрической теории строения кристаллов. Пространственная решетка – это бесконечное трёхмерное периодическое образование, элементами которого являются узлы, ряды, плоские сетки, элементарные ячейки. Главная особенность кристаллохимических структур – закономерная повторяемость в пространстве узлов, рядов и плоских сеток.

Узлы пространственной решетки называется точки, в которых располагаются материальные частицы кристаллического вешества – атомы, ионы, молекулы, радикалы. Ряды пространственной решетки – совокупность узлов лежащих вдоль прямой и периодически повторяющиеся через равные промежутки Плоская сетка пространственной решетки – совокупность узлов, расположенных в одной плоскости и находящиеся в вершинах равных параллелограммов, ориентированных параллельно и сложные по целым сторонам. Элементарная ячейка пространственной решетки – называется минимальный по объему параллелипипед образованный системой 3 -х взаимопересекающихся плоских сеток.

14 типов решеток Бравэ В 1855 г. О. Бравэ вывел 14 пространственных решеток, рознящихся по формам элементарных ячеек и симметрии. Они представляют из себя закономерное повторение узлов пространственной решетки. Эти 14 решеток группируются по сингониям Любая пространственная решетка может быть представлена в виде параллелипипедов повторяемости, которые перемещаясь в пространстве в направлении его ребер и на их величину формируют бесконечную пространственную решетку. Параллелипипеды повторяемости (элементарные ячейки решеток Бравэ) выбирая по следующим условиям: 1. сингония выбранного параллелипипеда 2. число равных ребер и углов между ребрами параллелипипеда должны быть максимальными 3. при наличии прямых углов между ребрами параллелипипеда их число должно быть наибольшим 4. при соблюдении первых 3 -х условий объем параллелипипеда должны быть наименьшим. При выборе элементарной ячейки пользуются уже известными правилами установки кристаллов; Ребра ячейки – это кратчайшее расстояние вдоль координатных осей между углами решетки. Для характеристики внешней формы элементарной ячейки используются величины ребер ячейки а, в, с и углы между этими

Кубическая – форма элементарной ячейки соответствует кубу. Гексагональная – гексагональная призма с пинакоидом. Тригональная – ромбоэдр. Тетрагональная – тетрагональная призма с пинакоидом. Ромбическая – кирпичик. Моноклинальная – параллелепипед с одним косым углом и 2 -мя другими прямыми. Триклинная – косоугольный параллелепипед с неравными ребрами. В соответствии с расположенными дополнительных узлов решетки в различных частях ячеек, все решетки подразделяются на: Примитивную (Р); Базоцентрированную (С); Объемноцентрированную (У); Гранецентрированную (F);

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ Элементы ограничения многогранников Многогранником называется объемное геологическое тело, отделенное от окружающего пространства элементами ограничения. Элементами ограничения называют геометрические образы, отделяющие многогранник от окружающего пространства. К элементам ограничения многогранника относятся грани, ребра, вершины, двугранные и многогранные углы. Грани – это плоские поверхности, ограничивающие многогранник от внешней среды. Рёбра – это прямые линии, по которым пересекаются грани. Вершины – это точки, в которых пресекаются ребра. Двугранные углы – это углы между двумя соседними гранями. Иначе, это углы при ребрах. Многогранные углы – это углы между несколькими гранями, сходящимися в одной вершине. Иначе, это углы при вершинах.

Среди многогранных углов различают правильные и неправильные. Если при соединении концов ребер, исходящих из вершины многогранного угла, получается правильная геометрическая фигура (правильный треугольник, прямоугольник, ромб, квадрат, правильный шестиугольник и их производные), то образуется правильный многогранный угол. Если при этой же операции получается неправильная геометрическая фигура (неправильный многоугольник), то такой многогранный угол называется неправильным Различают следующие правильные многогранные углы. 1. Тригональный – при соединении концов ребер, исходящих из его вершины, образуется правильный треугольник (тригон): 2. Ромбический 1 -го рода – соединение концов ребер, исходящих из его вершины, дает фигуру в форме ромба; 3. Ромбический 2 -го рода – фигура, получаемая при соединении концов ребер, исходящих из его вершины, – прямоугольник: 4. Тетрагональный – при соединении концов ребер, исходящих из его вершины, образуется квадрат (тетрагон):

5. Гексагональный – соединение концов ребер, исходящих из его вершины, дает правильный шестиугольник (гексагон): Данные пять правильных многогранных углов называются основными. Кроме того, из тригонального, тетрагонального и гексагонального углов путем их удвоения образуются следующие три производных правильных многогранных угла. 1. Дитригональный – образуется путем удвоения граней, составляющих тригональный угол (дитригон): 2. Дитетрагоналный – образуется при удвоении числа граней тетрагонального угла (дитетрагон): 3. Дигексагональный – образуется путем удвоения числа граней, ограничивающих гексагональный угол (дигексагон):

Во всех производных правильных многогранных углах двугранные углы равны через один, а все стороны фигуры, образованной при соединении концов ребер, исходящих из вершины, равны. Таким образом, существует всего 8 правильных многогранных углов. Все остальные многогранные углы являются неправильными. Их возможно бесконечное количество. Между элементами ограничения многогранников существует математическая зависимость, характеризуемая формулой Эйлера. Декарта: Г (грани) + В (вершины) = Р (ребра) + 2. Например, в кубе 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер. Отсюда: 6+8=12+2. 2. Элементы симметрии многогранников Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы (точка, линия, плоскость и их сочетания), с помощью которых мысленно можно совместить в пространстве равные грани кристалла (многогранника). При этом под симметрией кристалла понимается закономерное повторение в пространстве равных его граней, а также вершин и ребер. Различают три основных элемента симметрии кристаллов – центр симметрии, плоскость симметрии и оси симметрии.

Центром симметрии называется воображаемая точка внутри кристалла, равноудаленная от его элементов ограничения (т. е. противоположных вершин, середин ребер и граней). Центр симметрии является точкой пересечения диагоналей правильной фигуры (куба, параллелепипеда). Центр симметрии обозначается буквой С, а по международной системе Германа-Могена – I. Центр симметрии в кристалле может быть только один. Однако имеются кристаллы, в которых центр симметрии вообще отсутствует. При решении вопроса о том, имеется ли центр симметрии в Вашем кристалле, необходимо руководствоваться следующим правилом: «При наличии центра симметрии в кристалле каждой его грани соответствует равная и противоположная ей грань» . На практических занятиях с лабораторными моделями наличие или отсутствие центра симметрии в кристалле устанавливается следующим образом. Кладем кристалл какой-либо его гранью на плоскость стола. Проверяем, присутствует ли сверху равная и параллельная ей грань. Повторяем ту же операцию для каждой грани кристалла. Если каждой грани кристалла отвечает сверху равная и параллельная ей грань, то центр симметрии в кристалле присутствует. Если хотя бы для одной грани кристалла не найдется сверху равной и параллельной ей грани, то – центра симметрии в кристалле нет

Плоскостью симметрии (обозначается буквой Р, по международной символике – m) называется воображаемая плоскость, проходящая через геометрический центр кристалла и разделяющая его на две зеркально равные половины. Кристаллы, обладающие плоскостью симметрии, обладают двумя свойствами. Во-первых, две его половины, разделенные плоскостью симметрии, равны по объему; во-вторых, они равны, как отражения в зеркале. Для проверки зеркального равенства половин кристалла необходимо из каждой его вершины провести воображаемые перпендикуляр к плоскости и продолжить его на то же расстояние от плоскости. Если каждой вершине соответствует с противоположной стороны кристалла зеркально отраженная ей вершина, то плоскость симметрии в кристалле присутствует. При определении плоскостей симметрии на лабораторных моделях кристалл ставится в фиксированное положение и затем мысленно рассекается на равные половины. Проверяется зеркальное равенство полученных половин. Считаем, сколько раз мы можем мысленно рассечь кристалл на две зеркально равные части. Помните, что кристалл при этом должен быть неподвижен! Число плоскостей симметрии в кристаллах варьирует от 0 до 9. Например, в прямоугольном параллелепипеде находим три плоскости симметрии, то есть 3 Р.

Осью симметрии называется воображаемая линия, проходящая через геометрический центр кристалла, при повороте вокруг которой кристалл несколько раз повторяет свой внешний вид в пространстве, то есть самосовмещается. Это означает, что после поворота на некоторый угол на место одних граней кристалла становятся другие, равные им грани. Основной характеристикой оси симметрии является наименьший угол поворота, при котором кристалл первый раз «повторяется» в пространстве. Этот угол называется элементарным углом поворота оси и обозначается α. Например: Элементарный угол поворота любой оси обязательно содержится целое число раз в 360°, то есть (целое число), где n – порядок оси. Таким образом, порядком оси называется целое число, показывающее, сколько раз элементарный угол поворота данной оси содержится в 360°. Иначе, порядок оси – это число «повторений» кристалла в пространстве при полном его повороте вокруг данной оси. Оси симметрии обозначаются буквой L. Порядок оси обозначается маленькой цифрой справа внизу: например, L 2. В кристаллах возможны следующие оси симметрии и соответствующие им элементарные углы поворота.

n α Обозначение Отечественное L 1 Международное 1 1 360° 2 180° L 2 2 3 120° L 3 3 4 90° L 4 4 6 60° L 6 6

Осей симметрии и первого порядка в любом кристалле бесконечное количество. Поэтому на практике они не определяются. Осей симметрии 5 -го и любого порядка выше 6 -го в кристаллах вообще не существует. Эта особенность кристаллов практикуется в качестве закона симметрии кристаллов. Закон симметрии кристаллов объясняется специфичностью их внутреннего строения, а именно – наличием пространственной решетки, которая не допускает возможность осей 5 -го, 7 -го, 8 -го и так далее порядков. В кристалле может быть несколько осей одного и того же порядка. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствуют три оси второго порядка, то есть 3 L 2. В кубе присутствуют 3 оси четвертого порядка, 4 оси третьего порядка и 6 осей второго порядка. Оси симметрии наивысшего порядка в кристалле называют главными. Для нахождения осей симметрии на моделях во время лабораторных занятий действуют в следующем порядке. Кристалл берется кончиками пальцев одной руки за его противоположные точки (вершины, середины ребер или граней). Воображаемая ось ставится перед собой вертикально. Запоминаем какой-либо характерный внешний вид кристалла. Затем кристалл вращаем другой рукой вокруг воображаемой оси до тех пор, пока его первоначальный внешний вид не «повторится» в пространстве. Считаем, сколько раз кристалл «повторяется» в пространстве при полном повороте вокруг данной оси. Это и будет ее порядок. Аналогичным образом проверяем все другие теоретически возможные направления прохождения оси симметрии в кристалле.

Сочетание всех элементов симметрии кристалла, записанное условными обозначениями, называется его формулой симметрии. В формуле симметрии сначала перечисляются оси симметрии, затем плоскости симметрии и последним показывается наличие центра симметрии. Между обозначениями не ставится точек или запятых. Например, формула симметрии прямоугольного параллелепипеда: 3 L 33 PC; куба – 3 L 44 L 36 L 29 PC.

3. Виды симметрии кристаллов Видами симметрии называются возможные в кристаллах сочетания элементов симметрии. Каждому виду симметрии соответствует определенная формула симметрии. Всего для кристаллов теоретически доказано наличие 32 видов симметрии. Таким образом, всего существует 32 формулы симметрии кристаллов. Все виды симметрии объединяются в 7 ступеней симметрии с учетом наличия характерных элементов симметрии. Примитивная – объединяются виды симметрии, представленные только одиночными осями симметрии разного порядка, например: L 3, L 4, L 6. Центральная – помимо одиночных осей симметрии, присутствует центр симметрии; кроме того, в присутствии четных осей симметрии появляется еще плоскость симметрии, например: L 3 С, L 4 PC, L 6 PC. Планальная (план – плоскость, греч.) – присутствуют одиночная ось и плоскости симметрии: L 22 P, L 44 P. Аксиальная (аксис – ось, греч.) – присутствуют только оси симметрии: 3 L 2, L 33 L 2, L 66 L 2. Планаксиальная – присутствуют оси, плоскости и центр симметрии: 3 L 23 PC, L 44 L 25 PC. Инверсионно-примитивная – наличие единственной инверсионной оси симметрии: Li 4, Li 6. Инверсионно-планальная – наличие, помимо инверсионной оси, простых осей и плоскостей симметрии: Li 44 L 22 P, Li 63 L 23 P. В каждую ступень симметрии объединяется разное количество видов симметрии: от 2 до 7.

Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одноименной 4. Сингонии главной осью симметрии и одинаковым общим уровнем симметрии. Син – сходный, гониа – угол, дословно: сингония – сходноугольность (греч.). Переход от одной сингонии к другой сопровождается повышением степени симметрии кристаллов. Всего выделяют 7 сингоний. В порядке последовательного повышения степени симметрии кристаллов они располагаются следующим образом. Триклинная сингония (клин – угол, наклон, по-гречески) получила название с учетом той особенности кристаллов, что между всеми гранями углы всегда косые. Кроме С, других элементов симметрии нет. Моноклинная (монос – один, по-гречески) – в одном направлении между гранями кристаллов угол всегда косой. В кристаллах могут присутствовать L 2, P и С. Ни один из элементов симметрии не повторяется хотя бы дважды. Ромбическая – получила название по характерному поперечному сечению кристаллов (вспомните углы ромбические 1 -го и 2 -го рода). Тригональная – названа по характерному поперечному сечению (треугольник) и многогранным углам (тригональный, дитригональный). Обязательно присутствует одна L 3. Тетрагональная – характерны поперечное сечение в форме квадрата и многогранные углы – тетрагональный и дитетрагональный. Обязательно присутствует L 4 или Li 4. Гексагональная – сечение в форме правильного шестиугольника, многогранные углы – гексагональный и дигексагональный. обязательно присутствие одной L 6 или Li 6. Кубическая – типична кубическая форма кристаллов. Характерно сочетание элементов симметрии 4 L 3.

Сингонии объединяются в 3 категории: низшую, среднюю и высшую. В низшую категорию объединяются триклинная, моноклинная и ромбическая сингонии. В среднюю категорию входят тригональная, тетрагональная и гексагональная сингонии. Характерна одна главная ось симметрии. К высшей категории относится одна кубическая сингония. В отличие от предыдущих категорий, для нее характерно несколько главных осей симметрии.

5. Понятие о простой форме, комбинации и габитусе На практических занятиях с лабораторными моделями в качестве простой формы рассматривается совокупность равных граней кристалла. Если все грани кристалла одинаковы, то он в целом является простой формой. Наоборот, если все грани кристалла не равны по форме и геометрическим очертаниям, то каждая из его граней является отдельной простой формой. Таким образом, в кристалле будет столько простых форм, сколько у него геометрических типов граней, учитывая также их размеры. Например, в прямоугольном параллелепипеде 3 типа граней. Типы граней в прямоугольном параллелепипеде Следовательно, он состоит из 3 простых форм. Каждая из них в свою очередь, состоит из 2 равных параллельных граней. Названия простым формам даются в зависимости от числа граней и их взаимного расположения. Существует всего 47 простых форм, каждая из которых

Для определения простых форм на практических занятиях необходимо равные между собой грани мысленно продолжить до их взаимного пересечения. Полученная при этом воображаемая фигура и будет искомой простой формой. Среди простых форм различают два вида: открытые и закрытые. Грани открытой простой формы не замыкают пространство со всех сторон. Наоборот, грани закрытой простой формы при их взаимном продолжении в пространстве со всех сторон закроют какую-то его часть. Сочетания простых форм, образующих кристаллы, называются сложными формами, или комбинациями. В комбинации будет столько простых форм, сколько в ней типов граней. Одна открытая простая форма никогда не сможет образовать кристалл, она может встречаться только в комбинации с другими простыми формами. Комбинаций в природе бесконечное количество. Под габитусом кристалла понимается преобладающая по площади граней простая форма. Название габитуса совпадает с названием простой формы, но дается как определение (например, простая форма – куб, габитус – кубический). Если ни одна из простых по площади граней не преобладает (или трудно это оценить), габитус называется смешанным, или комбинированным.

6. Порядок разбора моделей кристаллов При изучении моделей кристаллов на практических занятиях дается характеристика следующих данных: 1) формула симметрии кристалла; 2) сингония; 3) вид симметрии; 4) простые формы; 5) габитус.

Кристаллография Кристаллография – одна из фундаментальных наук Земле, занимается изучением процесса образования, внешней форме, внутренним строением и физическими свойствами кристаллов. В последнее время это наука вышла далеко за свои пределы и занимается изучением закономерностей развития Земли, ее формы и процессах, происходящих в глубинах геосфер.

Кристаллы блещут симметрией. Е. С. Федоров Классическое определение кристалла (от греч. «кристаллос» лед), однородное твердое тело, способное в определенных условиях самооограняться. Разберем это определение подробнее…

Пространственная решетка Пространственная решетка – геометрический образ, отражающий трехмерную периодичность в распределения атомов в структуре кристалла

Термин симметрия Кристаллография, как любая вполне самостоятельная наука имеет свой метод – МЕТОД СИММЕТРИИ. Симметрией от греч. «симметриа» соразмерность), как предполагают, ввел в обиход Пифагор, обозначив им ПРОСТРАНСТВЕННУЮ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ В РАСПОЛОЖЕНИИ ОДИНАКОВЫХ ФИГУР ИЛИ ИХ ЧАСТЕЙ. Симметрия – закономерность, повторяемость фигур или их частей, в пространстве!! В переносном смысле симметрия синоним гармонии, красоты и совершенства!

Симметрия и человечество К понятию симметрии с трепетом относились с древнейших времен. ВЧ Китае – круг самая совершенная фигура, жилище богов – тоже круг. В христианстве связь с понятием Триединства (Бог Отец, Бог Сын, Бог Святой Дух). В Дроевнем Египте – «Всевидящее Око»

Симметрия в геологии Литология – рябь на песке Палеонтология – благодаря ориентации одной плоскости симметрии от другой можно отличить брахиопод от двустворчатых моллюсков. . Плоскости симметрии в подводных хребтах (на дне Мирового океана). Объяснение понятие спрединга

Симметрия в живом веществе Самое главное! Большинство биологических объектов – зеркальная симметрия. Иногда наблюдается ось симметрии пятого порядка L 5, нет в кристаллах!!! По предположению Н. В. Белова чтобы они не могли «окаменеть» т. к. в кристаллическом веществе оси пятого порядка отсутсвуют.

Понятия, остро необходимые при описании моделей кристаллов в учебной символике Браве Элементы симметрии - геометрические образы (плоскости, прямые, линии или точки) с помощью которых задаются или осуществляются симметричные преобразования (операции симметрии) Плоскость симметрии Ось симметрии Центр симметрии

Ось симметрии Поворотные оси симметрии – прямые, при повороте которых на определенных угол фигура (или кристалл) совмещается сама с собой. Наименьший угол поворота, вокруг такой оси называется элементарным углом поворота. Величина этого угла определяет порядок оси симметрии (360 делить на значение этого угла). Обозначается в учебной символике как Ln, где n порядок оси симметриии: L 2 L 3 L 4 L 6

Важно Обращаю Ваше внимание, что в кристаллографических многогранниках порядок осей ограничен числами 1, 2, 3, 4, 6. Т. е. в кристаллах невозможны оси симметрии 5 ого и выше 6 ого порядков. Кто сможет придумать убедительное доказательсво этого факта – получит швейцарскую шоколадку прямо на занятии!

К доказательству этого факта 1. «Пространственно -решетчатое» доказательсво 2. По Николаю Васильевичу Белову

Зеркальная плоскость симметрии Зеркальная плоскость симметрии задает операцию отражения при которой правая часть фигуры (фигура), отражаясь в плоскости как в «двустороннем зеркале» совмещается с левой ее частью (фигурой). Обозначается она буквой P.

Центр симметрии (точка симметрии) Это как бы «зеркальная точка» в которой правая фигура не только переходит в левую, но и как бы переворачивается. Точка инверсии в этом случае играет словно роль линзы фотоаппарата, и связанные ею фигуры соотносятся как предмет и его изображение на пленке фотопленке. Обозначается буквой C

Кристаллографические системы (сингонии) Классы симметрии с единым координатным репером объединяются в семейство, называемое сингонией или системой (от греч. Син. «сходно» и «гония» - угол. Все тридцать два класса симметрии кристаллов делятся на три категории в каждую из которых входит одна или несколько сингоний. Это триклинная, моноклиная, ромбическая, гексагональная, (частный случай тригональная), тетрагональная и кубическая сингония. Разберем их подробнее по категориям.

Гексагональная сингония. Средняя категория a=b≠c, α=β=90˚, γ=120 ˚ «гекса» - шесть Присутствие L 6 основной признак

А теперь давайте потренируемся описывать кристаллы в символике Браве НУЖНО НАЙТИ И ЗАПИСАТЬ ЕГО ПОЛНУЮ ФОРМУЛУ В УЧЕБНОЙ СИМВОЛИКЕ БРАВЕ И НАЗВАТЬ СИНГОНИЮ К КОТОРОЙ ОН ОТНОСИТСЯ Смотрим на высший ПОРЯДОК оси в формуле. Кроме кубической сингонии 4 L 3 – признак КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ L 6 – признак ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ ПОДСИНГОНИИ L 4 – ПРИЗНГАК ТЕТРАГОНАЛЬНОЙ СИНГ. L 3 – ПРИЗНАК ТРИГОНАЛЬНОЙ СИНГОНИИ L 2, 3 L 2 – ПРИЗНАК РОМБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ L 2 – ПРИЗНАК МОНОКЛИННОЙ СИНГОНИИ Либо L БЕСК. ПОРЯДКА, либо всего лишь C – ПРИЗНАК ТРИКЛИННОЙ СИНГОНИИ

На следующем занятии Еще раз потренируемся описывать модели кристаллов. Научимся определять основные простые формы по шпаргалке и поговорим о вопросах, которые могу возникнуть перед Вами прохождении кабинета кристаллографии на олимпиаде плюс поговорим о зависимости формы кристаллов (на примере кварца и кальцита) от условий их образования Подумать к следующему занятию. Какую форму будет иметь кристалл, выращенный в космосе!!!

Материалы
электронной техники
Лекция 2
к.т.н., доц. Марончук И.И.

Основы кристаллографии

ВВЕДЕНИЕ
Большинство современных конструкционных материалов, в том числе
и композиционных - это кристаллические вещества. Кристалл
представляет собой совокупность правильно расположенных атомов,
образующих закономерную структуру, возникшую самопроизвольно из
окружающей его неупорядоченной среды.
Причиной, вызывающей симметричное расположение атомов является
стремление кристалла к минимуму свободной энергии.
Кристаллизация (возникновение порядка из хаоса, то есть из раствора,
пара) происходит с такой же неизбежностью, как, например, процесс
падения тел. В свою очередь минимум свободной энергии достигается
при наименьшей доле поверхностных атомов в структуре, поэтому
внешним проявлением правильного внутреннего атомного строения
кристаллических тел является огранение кристаллов.
В 1669 г. датский ученый Н. Стенон обнаружил закон постоянства углов:
углы между соответствующими гранями кристалла постоянны и
характерны для данного вещества. Любое твердое тело состоит из
взаимодействующих частиц. Этими частицами, в зависимости от
природы вещества, могут быть отдельные атомы, группы атомов,
молекулы, ионы и т.п. Соответственно связь между ними бывает:
атомная (ковалентная), молекулярная (связь Ван – дер – Вальса), ионная
(полярная) и металлическая.

В современной кристаллографии можно выделить четыре
направления, которые в известной мере связаны одно с
другим:
- геометрическую кристаллографию, изучающую различные
формы кристаллов и законы их симметрии;
- структурную кристаллографию и кристаллохимию,
которые изучают пространственное расположение атомов в
кристаллах и зависимость его от химического состава и
условий образования кристаллов;
- кристаллофизику, изучающую влияние внутреннего
строения кристаллов на их физические свойства;
- физико-химическую кристаллографию, которая изучает
вопросы образования искусственных кристаллов.

АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТОК
Понятие о пространственной решетке и элементарной
ячейке
При изучении вопроса кристаллического строения тел
прежде всего необходимо иметь четкое представление о
терминах: «пространственная решетка» и «элементарная
ячейка». Эти понятия используются не только в
кристаллографии, но и в целом ряде смежных наук для
описания того, как расположены в пространстве
материальные частицы в кристаллических телах.
Как известно, в кристаллических телах, в отличие oт
аморфных, материальные частицы (атомы, молекулы,
ионы) располагаются в определенном порядке, на
определенном расстоянии друг от друга.

Пространственная решетка - это схема, которая показывает
расположение материальных частиц в пространстве.
Пространственная решетка (рис.) фактически состоит из
множества
одинаковых
параллелепипедов,
которые
целиком, без промежутков, заполняют пространство.
Материальные частицы обычно располагаются в узлах
решетки - точках пересечения ее ребер.
Пространственная решетка

Элементарная ячейка - это
наименьший
параллелепипед, с
помощью которого можно
построить всю
пространственную решетку
путем непрерывных
параллельных переносов
(трансляций) в трех
направлениях пространства.
Вид элементарной ячейки
представлен на рис.
Три вектора a, b, c являющиеся ребрами элементарной ячейки,
называют векторами трансляции. Их абсолютная величина (a,
b, c) - это периоды решетки, или осевые единицы. Вводят в
рассмотрение и углы между векторами трансляций - α (между
векторами b, c), β (между a, c) и γ (между a, b). Таким
образом, элементарную ячейку определяют шесть величин: три
значения периодов (а, в, c) и три значения углов между ними
(α, β, γ).

Правила выбора элементарной ячейки
При изучении представлений об элементарной ячейке следует
обратить внимание на то, что величину и направление
трансляций в пространственной решетке можно выбрать поразному, поэтому форма и размеры элементарной ячейки
будут различны.
На рис. рассмотрен двумерный случай. Показана плоская
сетка решетки и разные способы выбора плоской
элементарной ячейки.
Способы выбора
элементарной ячейки

В середине XIX в. французский кристаллограф О. Браве
предложил следующие условия выбора элементарной
ячейки:
1) симметрия элементарной ячейки должна соответствовать
симметрии пространственной решетки;
2) число равных ребер и равных углов между ребрами
должно быть максимальным;
3) при наличии прямых углов между ребрами их число
должно быть максимальным;
4) при соблюдении этих трех условий объем
элементарной ячейки должен быть минимальным.
На основании этих правил Браве доказал, что существует
только 14 типов элементарных ячеек, которые получили
название трансляционных, поскольку строятся они путем
трансляции - переноса. Эти решетки отличаются друг от
друга величиной и направлением трансляций, а отсюда
вытекает различие в форме элементарной ячейки и в числе
узлов с материальными частицами.

Примитивные и сложные элементарные ячейки
По числу узлов с материальными частицами элементарные
ячейки подразделяется на примитивные и сложные. В
примитивных ячейках Браве материальные частицы находятся
только в вершинах, в сложных - в вершинах и дополнительно
внутри или на поверхности ячейки.
К числу сложных ячеек относятся объемноцентрированная I ,
гранецентрированная F и базоцентрированная С. На рис.
показаны элементарные ячейки Браве.
Элементарные ячейки Браве: а – примитивная, б –
базоцентрированная, в – объемноцентрированная, г –
гранецентрированная

В объемноцентрированной ячейке имеется дополнительный узел в
центре ячейки, принадлежащий только данной ячейке, поэтому
здесь имеется два узла (1/8х8+1 = 2).
В гранецентрированной ячейке узлы с материальными частицами
находятся, кроме вершин ячейки, еще в центрах всех шести граней.
Такие узлы принадлежат одновременно двум ячейкам: данной и
другой, смежной с ней. На долю данной ячейки каждый из таких
узлов принадлежит 1/2 часть. Поэтому в гранецентрированной
ячейке будет четыре узла (1/8х8+1/2х6 = 4).
Аналогично в базоцентрированной ячейке находятся 2 узла
(1/8х8+1/2х2 = 2) с материальными частицами. Основные сведения
об элементарных ячейках Браве приведены ниже в табл. 1.1.
Примитивная ячейка Браве содержит трансляции a,b,c только
вдоль координатных осей. В объемноцентрированной ячейке
добавляется еще трансляция вдоль пространственной диагонали -
к узлу, расположенному в центре ячейки. В гранецентрированной,
кроме осевых трансляций a,b,c имеются дополнительная
трансляция вдоль диагоналей граней, а в базоцентрированной -
вдоль диагонали грани, перпендикулярной оси Z.

Таблица 1.1
Основные сведения о примитивных и сложных ячейках Браве
Базис
Тип решетки Браве
Число Основные
узлов трансляции
Примитивная Р
1
a,b,c
Объемноцентрированн 2
ая I
a,b,c,(a+b+c)/2
[]
Гранецентрированная
F
a,b,c,(a+b)/2,(a+c)/2,
(b+c)/2
[]
a,b,c,(a+b)/2
[]
4
Базоцентрированная С 2
Под базисом понимают совокупность координат
минимального числа узлов, выраженную в осевых
единицах, трансляцией которых можно получить всю
пространственную решетку. Базис записывается в сдвоенных
квадратных скобках. Координаты базиса для различных
типов ячеек Браве приведены в табл.1.1.

Элементарные ячейки Браве
В зависимости от формы все ячейки Браве распределяются между
семью кристаллическими системами (сингониями). Слово
«сингонИя» означает сходноугольность (от греч. σύν - «согласно,
вместе, рядом», и γωνία - «угол»). Каждой сингонии соответствуют
определенные элементы симметрии. В табл. указаны соотношения
между периодами решетки а, в, с и осевыми углами α, β, γ для
каждой сингонии
Сингонии
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тетрагональная
Гексагональная
Соотношения между
периодами решетки и углами
а ≠ в ≠ с, α ≠ β ≠ γ ≠ 90º
а ≠ в ≠ с, α = γ =90º ≠ β
а ≠ в ≠ с, α = β = γ =90º
а = в ≠ с, α = β = γ =90º
а = в ≠ с, α = β =90º, γ =120º
Ромбоэдрическая
Кубическая
а =в = с,
а = в = с,
α = β =γ ≠ 90º
α = β = γ = 90º

На рис. представлены все
четырнадцать типов
элементарных ячеек Браве,
распределенные по сингониям.
Гексагональная ячейка Браве
представляет собой
базоцентрированную
шестигранную призму. Однако
очень часто ее изображают
иначе - в виде четырехгранной
призмы с ромбом в основании,
которая представляет одну из
трех призм, составляющих
шестигранную (на рис. она
представлена сплошными
линиями). Такое изображение
проще и удобнее, хотя связано с
нарушением принципа
соответствия симметрии
(первый принцип выбора
элементарной ячейки по Браве).

Для ромбоэдрической сингонии
элементарной ячейкой,
удовлетворяющим условиям
Браве, является примитивный
ромбоэдр R, у которого а=в=с и
α=β=γ≠ 90º. Наряду с R- ячейкой
для описания ромбоэдрических
структур пользуются и
гексагональной ячейкой,
поскольку ромбоэдрическую
ячейку всегда можно свести к
гексагональной (рис.) и
представить ее как три
примитивные гексагональные
ячейки. В связи с этим в
литературе ромбоэдрическую
сингонию иногда отдельно не
Три примитивные
рассматривают, представляя, ее
гексагональные ячейки,
как разновидность
эквивалентные ромбоэдрической
гексагональной.

Принято сингонии с одинаковыми соотношениями между
осевыми единицами объединять в одну категории. Поэтому
триклинную, моноклинную и ромбическую сингонии
объединяют в низшую категорию (а≠в≠с), тетрагональную,
гексагональную (и производную от нее ромбоэдрическую) – в
среднюю (а=в≠с), к высшей категории (а=в=с) относится
кубическая сингония.
Понятие о координационном числе
В сложных ячейках материальные частицы уложены более
плотно, чем в примитивных, более полно заполняют объем
ячейки, больше связаны друг с другом. Для характеристики
этого вводят понятие о координационном числе.
Под координационным числом данного атома понимают число
ближайших соседних атомов. Если речь идет о
координационном числе иона, то подразумевается число
ближайших к нему ионов противоположного знака. Чем больше
координационное число, тем с большим числом атомов или
ионов связан данный, тем больше места занято частицами, тем
компактнее решетка.

Пространственные решетки металлов
Наиболее распространенные среди металлов пространственные
решетки относительно просты. Они большей частью совпадают
с трансляционными решетками Браве: кубической
объемноцентрированной и гранецентрированной. В узлах этих
решеток располагаются атомы металлов. В решетке
объемноцентрированного куба (ОЦК - решетки) каждый атом
окружен восемью ближайшими соседями, и координационное
число КЧ = 8. Решетку ОЦК имеют металлы: -Fe, Li, Na, K, V,
Cr, Ta, W, Mo, Nb и др.
В решетке гранецентрированного куба (ГЦК - решетки) КЧ = 12:
любой атом, расположенный в вершине ячейки имеет
двенадцать ближайших соседей, которыми является атомы,
находящиеся в центрах граней. Решетку ГЦК имеют металлы:
Al, Ni, Cu, Pd, Ag, Ir, Pt, Pb и др.
Наряду с этими двумя, среди металлов (Be, Mg, Sc, -Ti, -Co,
Zn, Y, Zr, Re, Os, Tl, Cd и др.) встречается еще гексагональная
компактная. Эта решетка не является трансляционной решеткой
Браве, так как простыми трансляциями ее нельзя описать.

На рис. представлена элементарная ячейка гексагональной
компактной решетки. Элементарная ячейка гексагональной
компактной решетки представляет собой шестигранную
призму, однако чаще всего ее изображают в виде
четырехгранной призмы, основанием которой является ромб
(a=b) c углом γ = 120°. Атомы (рис.б) расположены в вершинах
и в центре одной из двух трехгранных призм, образующих
элементарную ячейку. Ячейке принадлежат два атома: 1/8х8 + 1
=2, ее базис [].
Отношение высоты элементарной ячейки c к расстоянию a, т.е.
c/a, равно 1,633; сами же периоды c и a для разных веществ
различны.
Гексагональная
компактная решетка:
а – шестигранная
призма, б –
четырехгранная
призма.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ
Кристаллографические индексы плоскости
В кристаллографии часто приходится описывать взаимное
расположение отдельных плоскостей кристалла, его
направлений, для чего удобно пользоваться
кристаллографическими индексами. Кристаллографические
индексы дают представление о расположении плоскости
или направления относительно системы координат. При
этом не имеет значения, прямоугольная или косоугольная
система координат, одинаковые или разные масштабные
отрезки по координатным осям. Представим себе ряд
параллельных плоскостей, проходящих через одинаковые
узлы пространственной решетки. Эти плоскости
расположены на одинаковом расстоянии друг от друга и
составляют семейство параллельных плоскостей. Они
одинаково ориентированы в пространстве и потому
характеризуются одинаковыми индексами.

Выберем из этого семейства какую-либо плоскость и
введем в рассмотрение отрезки, которые плоскость
отсекает по координатным осям (координатные оси x,
y, z обычно совмещают с ребрами элементарной
ячейки, масштаб по каждой оси равняется
соответствующей осевой единице - периоду a, или b,
или c). Величины отрезков выражают в осевых
единицах.
Кристаллографические индексы плоскости (индексы
Миллера) - это три наименьших целых числа,
которые обратно пропорциональны числу осевых
единиц, отсекаемых плоскостью на координатных
осях.
Индексы плоскости обозначаются буквами h, k, l,
записываются подряд и заключаются в круглые
скобки-(hkl).

Индексами (hkl) характеризуются все плоскости семейства
параллельных плоскостей. Этот символ означает, что
семейство параллельных плоскостей рассекает осевую
единицу вдоль оси x на h частей, вдоль оси y на k
частей и вдоль оси z на l частей.
При этом плоскость ближайшая к началу координат,
отсекает на координатных осях отрезки 1/h (по оси x),
1/k (по оси y), 1/l (по оси z).
Порядок нахождения кристаллографических индексов
плоскости.
1.Находим отрезки, отсекаемые плоскостью на
координатных осях, измеряя их в осевых единицах.
2. Берем обратные значения этих величин.
3. Приводим отношение полученных чисел к отношению
трех наименьших целых чисел.
4. Полученные три числа заключаем в круглые скобки.

Пример. Найти индексы плоскости, которая отсекает на
координатных осях следующие отрезки: 1/2; 1/4; 1/4.
Поскольку длины отрезков выражены в осевых единицах,
имеем 1/h=1/2; 1/k=1/4; 1/l=1/4.
Находим обратные значения и берем их отношение
h: k: l = 2: 4: 4.
Сократив на два, приведем отношение полученных величин
к отношению трех целых наименьших чисел: h: k: l = 1: 2:
2. Индексы плоскости записываем в круглых скобках
подряд, без запятых - (122). Они читаются порознь -
"один, два, два".
Если плоскость пересекает кристаллографическую ось в
отрицательном направлении, над соответствующим
индексом сверху ставится знак "минус". Если плоскость
параллельна какой-либо координатной оси, то в символе
плоскости индекс, соответствующий этой оси, равен нулю.
Например, символ (hko) означает, что плоскость
пересекается с осью z в бесконечности и индекс плоскости
по этой оси будет 1/∞ = 0.

Плоскости, отсекающие на каждой оси по равному числу
осевых единиц, обозначаются как (111). В кубической
сингонии их называют плоскостями октаэдра, т. к. система
этих плоскостей, равноотстоящих от начала координат,
образует восьмигранник – октаэдр рис.
Октаэдр

Плоскости, отсекающие по двум осям равное число осевых
единиц и параллельные третьей оси (например, оси z)
обозначаются (110). В кубической сингонии подобные
плоскости называют плоскостями ромбического додекаэдра,
так
как
система
плоскостей
типа
(110)
образует
двенадцатигранник (додека – двенадцать), каждая грань
которого – ромб рис.
Ромбический
додекаэдр

Плоскости, пересекающие одну ось и параллельные двум
другим (например, осям y и z), обозначают - (100) и
называют в кубической сингонии плоскостями куба, то есть
система подобных плоскостей образует куб.
При решений различных задач, связанных с построением в
элементарной ячейке плоскостей, систему координат
целесообразно выбрать так, чтобы искомая плоскость
располагалась в заданной элементарной ячейке. Например,
при построении плоскости (211) в кубической ячейке начало
координат удобно перенести из узла О в узел О’ .
Плоскость куба (211)

Иногда индексы плоскости записывают в фигурных скобках
{hkl}.Эта запись означает символ совокупности идентичных
плоскостей. Такие плоскости проходят через одинаковые узлы
в пространственной решетке, симметрично расположены в
пространстве
и
характеризуются
одинаковым
межплоскостным расстоянием.
Плоскости октаэдра в кубической сингонии принадлежат к
одной совокупности {111}, они представляют грани октаэдра и
имеют следующие индексы: {111} →(111), (111), (111), (111),
(111), (111), (111), (111).
Символы всех плоскостей совокупности находят путем
перестановки местами и изменения знаков отдельных
индексов.
Для плоскостей ромбического додекаэдра обозначение
совокупности: {110} → (110), (110), (110),
(110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011).

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ УЗЛА
Кристаллографические индексы узла - это его
координаты, взятые в долях осевых единиц и записанные в
сдвоенных квадратных скобках. При этом координата,
соответствующая оси x, обозначается в общем виде буквой
u, для оси y – v, для оси z - w. Символ узла имеет вид
[]. Символы некоторых узлов в элементарной ячейке
показаны на рис.
Некоторые узлы в
элементарной ячейке
(Иногда узел обозначают
как [])

Кристаллографические индексы направления
В кристалле, где все параллельные направления
идентичны друг другу, направление, проходящее через
начало координат, характеризует все данное семейство
параллельных направлений.
Положение
в
пространстве
направления,
проходящего через начало координат, определяется
координатами любого узла, лежащего на этом
направлении.
Координаты
любого
узла,
принадлежащего
направлению, выраженные в долях осевых единиц и
приведенные к отношению трех целых наименьших
чисел,
и
есть
кристаллографические
индексы
направления. Они обозначаются целыми числам u, v, w
и записываются слитно в квадратных скобках .

Порядок нахождения индексов направления
1. Из семейства параллельных направлений выбрать
такое, которое проходит через начало координат, или
перенести данное направление параллельно самому
себе в начало координат, или перенести начало
координат в узел, лежащий на данном направлении.
2. Найти координаты любого узла, принадлежащего
данному направлению, выразив их в осевых единицах.
3. Взять отношение координат узла и привести его к
отношению трех целых наименьших чисел.
4. Полученные три числа заключить в квадратные
скобки.
Важнейшие направления в кубической решетке и их
индексы представлены на рис.

Некоторые направления в кубической решетке

ПОНЯТИЕ О КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ И ПОЛЯРНОМ
КОМПЛЕКСЕ
Метод кристаллографических проекций основан на
одной из характерных особенностей кристаллов - законе
постоянства углов: углы между определенными гранями и
ребрами кристалла всегда постоянны.
Так, когда кристалл растет, меняются размеры граней, их
форма, но углы остаются неизменными. Поэтому в
кристалле можно перенести все ребра и грани параллельно
самим себе в одну точку пространства; угловые
соотношения при этом сохраняется.
Такая
совокупность
плоскостей
и
направлений,
параллельных плоскостям и направлениям в кристалле и
проходящая через одну точку, получила название
кристаллического комплекса, а сама точка называется
центром
комплекса.
При
построении
кристаллографических проекций кристалл всегда заменяют
кристаллическим комплексом.

Чаще рассматривают не кристаллический комплекс, а
полярный (обратный).
Полярный комплекс, получают из кристаллического
(прямого) путем замены плоскостей нормалями к ним, а
направлений - перпендикулярными к ним плоскостями.
а
б
Куб (а), его кристаллический (б) и
полярный комплекс (в)
в

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ
(СИММЕТРИЯ КОНТИНУУМА)
ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИИ
Кристаллы существуют в природе в виде кристаллических
многогранников. Кристаллы разных веществ отличаются друг
от друга по своим формам. Каменная соль - это кубики;
горный хрусталь - шестигранные призмы, заостренные на
концах; алмаз - чаще всего правильные восьмигранники
(октаэдры); кристаллы граната - двенадцатигранники (рис.).
Такие кристаллы обладают симметрией.

Характерной
особенностью
кристаллов
является
анизотропия их свойств: в различных направлениях они
разные, но в параллельных направлениях одинаковы, а
также одинаковы и в симметричных направлениях.
Не всегда кристаллы имеют форму правильных
многогранников.
В реальных условиях роста, при
затруднении в свободном росте симметричные грани могут
развиваться неравномерно и правильная внешняя форма
может не получиться, однако правильное внутреннее
строение при этом полностью сохраняется, а также
сохраняется симметрия физических свойств.
Греческое слово "симметрия" означает соразмерность.
Симметричная фигура состоит из равных, одинаковых
частей. Под симметрией понимают свойство тел или
геометрических фигур совмещать отдельные части друг с
другом при некоторых симметрических преобразованиях.
Геометрические образы, с помощью которых задаются и
осуществляются симметрические преобразования, называют
элементами симметрии.

Рассматривая симметрию внешней огранки кристалла,
кристаллическую
среду
представляют
себе
как
непрерывную, сплошную, так называемый континуум (в
переводе с латинского на русский - означает непрерывный,
сплошной). Все точки такой среде совершенно одинаковы.
Элементы симметрии континуума описывают внешнюю
форму кристаллического многогранника, поэтому их еще
называют макроскопическими элементами симметрии.
Фактически
же
кристаллическая
среда
является
дискретной. Кристаллы состоят из отдельных частиц
(атомов, ионов, молекул), которые расположены в
пространстве
в
виде
бесконечно
простирающихся
пространственных решеток. Симметрия в расположении
этих частиц сложнее и богаче, чем симметрия внешних
форм кристаллических многогранников. Поэтому наряду с
континуумом
рассматривается
и
дисконтинуум
-
дискретная, реальная структура материальных частиц со
своими элементами симметрии, получившими название
микроскопических элементов симметрии.

Элементы симметрии
В
кристаллических
многогранниках
встречаются
простые
элементы
симметрии
(центр
симметрии,
плоскость симметрии, поворотная ось) и сложный элемент
симметрии (инверсионная ось).
Центр симметрии (или центр инверсии) - особая точка
внутри фигуры, при отражении в которой любая точка
фигуры имеет эквивалентную себе, то есть обе точки
(например, пара вершин) расположены на одной прямой,
проходящей через центр симметрии, и равноудалены от
него. При наличии центра симметрии каждая грань
пространственной
фигуры
имеет
параллельную
и
противоположно направленную грань, каждому ребру
соответствует равноудаленное, равное, параллельное, но
противоположно направленное ребро. Поэтому центр
симметрии представляет собой как бы зеркальную точку.

Плоскость симметрии - это такая плоскость, которая
делит фигуру на две части, расположенные друг
относительно друга как предмет и его зеркальное отражение,
то есть на две зеркально равные части Обозначения
плоскости симметрии – Р (старое) и m (международное).
Графически плоскость симметрии обозначается сплошной
линией. У фигуры может быть одна или несколько
плоскостей симметрии, и все они пересекаются друг с
другом. В кубе имеется девять плоскостей симметрии.

Поворотная ось - это такая прямая, при повороте вокруг
которой на некоторый определенный угол фигура
совмещается сама с собой. Величина угла поворота
определяет порядок поворотной оси n, который
показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой
при полном обороте вокруг этой оси (на 360°):
В изолированных геометрических фигурах возможны
оси симметрии любых порядков, но в кристаллических
многогранниках порядок оси ограничен, он может иметь
только следующие значения: n= 1, 2, 3, 4, 6. В
кристаллических
многогранниках
невозможны
оси
симметрии пятого и выше шестого порядков. Это вытекает
из принципа непрерывности кристаллической среды.
Обозначения осей симметрии: старые - Ln (L1, L2, L3, L4, L6)
и
международные
арабскими
цифрами,
соответствующими порядку поворотной оси (1, 2, 3, 4, 6).

Графически
поворотные
многоугольниками:
оси
изображаются

Понятие о классе симметрии
Каждый кристаллический многогранник обладает набором
элементов симметрии. Сочетаясь друг с другом, элементы
симметрии кристалла обязательно пересекаются, и при этом
возможно появление новых элементов симметрии.
В кристаллографии доказываются следующие теоремы
сложения элементов симметрии:
1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии есть ось
симметрии, для которой угол поворота вдвое больше угла
между плоскостями.
2. Через точку пересечения двух осей симметрии проходит
третья ось симметрии.
3. В
точке
пересечения
плоскости
симметрии
с
перпендикулярной к ней осью симметрии четного порядка
возникает центр симметрии.
4. Число осей второго порядка, перпендикулярных главной
оси симметрии высшего порядка (третьего, четвертого,
шестого), равно порядку главной оси.

5. Число плоскостей симметрии, пересекающихся по
главной оси высшего порядка, равно порядку этой оси.
Число сочетаний элементов симметрии друг с другом
в кристаллах строго ограничено. Все возможные
сочетания элементов симметрии в кристаллах выводятся
строго математически, принимая во внимание теоремы
сложения элементов симметрии.
Полный набор элементов симметрии, присущих
данному кристаллу, называется его классом симметрии.
Строгий математический вывод показывает, что все
возможные
для
кристаллических
многогранников
сочетания
элементов
симметрии
исчерпываются
тридцатью двумя классами симметрии.

Связь между пространственной решеткой и элементами
симметрии
Наличие тех или иных элементов симметрии определяет
геометрию
пространственной
решетки,
накладывая
определенные
условия
на
взаимное
расположение
координатных осей и равенство осевых единиц.
Существуют общие правила выбора координатных осей,
учитывающие набор элементов симметрии кристалла.
1. Координатные оси совмещают с особыми или единичными
направлениями,
неповторяющимися
в
кристалле
поворотными или инверсионными осями, для которых
порядок оси больше единицы, и нормалями к плоскости
симметрии.
2. Если в кристалле только одно особое направление, с ним
совмещают одну из координатных осей, обычно ось Z. Две
другие оси располагают в плоскости, перпендикулярной
особому направлению параллельно ребрам кристалла.
3. При отсутствии особых направлений координатные оси
выбирают параллельно трем не лежащим в одной плоскости
ребрам кристалла.

Исходя из этих правил, можно получить все семь
кристаллических систем, или сингоний. Они отличаются
друг от друга соотношением масштабных единиц а, b, c и
осевыми углами, . Три возможности: а b c, а=b c, а=b=c
позволяют
распределить
все
кристаллографические
координатные системы (сингонии) по трем категориям низшей, средней и высшей.
Каждая категория характеризуется наличием определенных
элементов симметрии. Так, у кристаллов низшей категории
нет осей высшего порядка, то есть осей 3, 4 и 6, а могут быть
оси второго порядка, плоскости и центр симметрии.
У кристаллов средней категории имеется ось высшего
порядка, а также могут быть оси второго порядка, плоскости
симметрии, центр симметрии.
Самые симметричные кристаллы относятся к высшей
категории. У них имеется несколько осей высшего порядка
(третьего и четвертого), могут быть оси второго порядка,
плоскости и центр симметрии. Однако отсутствуют оси
шестого порядка.

Понятие о симметрии дисконтинуума и пространственной
группе
Наличие
32
классов
симметрии
кристаллических
многогранников показывает, что все многообразие внешних
форм кристалла подчиняется законам симметрии.
Симметрия внутренней структуру кристаллов, расположения
частиц (атомов, ионов, молекул) внутри кристаллов должна
быть сложнее, поскольку внешняя форма кристаллов
ограничена, а кристаллическая решетка простирается
бесконечно во все стороны пространства.
Законы расположения частиц в кристаллах были
установлены великим русским кристаллографом Е. С.
Федоровым в 1891 г. Им было найдено 230 способов
расположения частиц в пространственной решетке - 230
пространственных групп симметрии.

Элементы симметрии пространственных решеток
Помимо описанных выше элементов симметрии (центр
симметрии,
плоскость
симметрии,
поворотные
и
инверсионные оси), в дискретной среде возможны и другие
элементы
симметрии,
связанные
с
бесконечностью
пространственной решетки и периодической повторяемостью
в расположении частиц.
Рассмотрим новые виды симметрии, присущие только
дисконтинууму. Их три: трансляция, плоскость скользящего
отражения и винтовая ось.
Трансляция - это перенос всех частиц по параллельным
направлениям в одну и ту же сторону на одинаковую
величину.
Трансляция является простым элементом симметрии,
присущим каждой пространственной решетке.

Комбинация трансляции с плоскостью симметрии
приводит к появлению плоскости скользящего отражения,
сочетание трансляции с поворотной осью создает
винтовую ось.
Плоскость скользящего отражения, или плоскость
скольжения - это такая плоскость, при отражении в
которой как в зеркале с последующей трансляцией вдоль
направления, лежащего в данной плоскости, на величину,
равную половине периода идентичности для данного
направления, совмещаются все точки тела. Под периодом
идентичности, как и ранее, будем понимать расстояние
между точками вдоль какого-то направления (например,
периоды а, b, с в элементарной ячейке - это периоды
идентичности вдоль координатных осей X, Y, Z).

Винтовая ось - это прямая, поворот вокруг которой на
некоторый
угол,
соответствующий
порядку
оси,
с
последующей трансляцией вдоль оси на величину, кратную
периоду идентичности t, совмещает точки тела.
Обозначение винтовой оси в общем виде nS ,где n
характеризует порядок поворотной оси (n=1, 2, 3, 4, 6), а
St/n- величину трансляции вдоль оси. При этом S S=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Итак, для винтовой оси второго порядка
трансляция составляет t/2, для винтовой оси третьего
порядка наименьший перенос t/3.
Обозначение винтовой оси второго порядка будет 21.
Совмещение частиц произойдет после поворота вокруг оси
на 180° с последующей трансляцией вдоль направления,
параллельного оси, на t/2.
Обозначение винтовой оси третьего порядка будет 31.
Однако возможны оси с переносом, кратным наименьшему.
Поэтому возможна винтовая ось 32 с трансляцией 2t/3.

Оси 31 и 32 означают поворот вокруг оси на 120° по
часовой стрелке с последующим переносом. Эти винтовые
оси называются правыми. Если же поворот производить
против часовой стрелки, то центровые оси симметрии
называются левыми. При этом действие оси 31 правой
тождественно действию оси 32 левой и 32 правой - 31
левой.
Так же могут рассматриваться винтовые оси симметрии
четвертого и шестого порядков: оси 41 и 43 оси 61 и 65, 62
и 64. могут быть правам и левыми. Действие осей 21, 42 и
63 не зависит от выбора направления вращения вокруг оси.
Поэтому
они
являются
нейтральными.
Условные
обозначения винтовых осей симметрии:

Обозначение пространственной группы симметрии
Символ пространственной группы содержит полную
информацию о симметрии кристаллической структуры. На
первом месте в символе пространственной группы ставится
буква, характеризующая тип решетки Браве: Р примитивная,
С
базоцентрированная,
I
обьемноцентрированная, F - гранецентрированная. В
ромбоэдрической сингонии на первом месте ставят букву R.
Далее следуют одно, два или три числа или буквы,
указывающие
элементы
симметрии
в
главных
направлениях, аналогично тому, как это делается при
составлении обозначения класса симметрии.
Если в структуре в каком-нибудь из главных направлений
одновременно располагаются и плоскости симметрии и
оси симметрии, предпочтение отдается плоскостям
симметрии, и в символ пространственной группы
записываются плоскости симметрии.

При наличии нескольких осей предпочтение отдается
простым осям - поворотным и инверсионным, поскольку их
симметрия является более высокой, чем симметрия
винтовых осей.
Имея символ пространственной группы, легко можно
определить тип решетки Браве, сингонию ячейки, элементы
симметрии в главных направлениях. Так, пространственная
группа P42/mnm (Федоровские группы дитетрагональнодипирамидального
вида
симметрии,
135
группа)
характеризует примитивную ячейку Браве в тетрагональной
сингонии (винтовая ось четвертого порядка 42 определяет
тетрагональную сингонию).
В главных направлениях расположены следующие
элементы симметрии. С направлением - оси Z
совпадает винтовая ось 42 ,которая перпендикулярна
симметрии m. В направлениях и (оси Х и Y)
расположена плоскость скользящего отражения типа n, в
направлении проходит плоскость симметрии m.

Дефекты в строении кристаллических тел
Дефекты тел делят на динамические
(временные) и статические (постоянные).
1. Динамические дефекты возникают при
механических, тепловых, электромагнитных
воздействиях на кристалл.
К ним относятся фононы – временные искажения
регулярности решетки, вызванные тепловым
движением атомов.
2. Статические дефекты
Различают точечные и протяженные несовершенства
структуры тел.

Точечные дефекты: незанятые узлы решетки
(вакансии); смещения атома из узла в междоузлие;
внедрения в решетку чужеродного атома или иона.
Протяженные дефекты: дислокации (краевая и
винтовая), поры, трещины, границы зерен,
микровключения другой фазы. Часть дефектов показана
на рисунке.

Основные свойства
материалов

К основным свойствам относятся: механические, тепловые,
электрические, магнитные и технологические, а также их
сопротивление коррозии.
Механические свойства материалов характеризуют возможность их
использования в изделиях, эксплуатируемых при воздействии
механи-ческих нагрузок. Основными показателями таких свойств
служат параметры прочности и твердость. Они зависят не только от
природы мате-риалов, но и от формы, размеров и состояния
поверхности образцов, а также режимов испытаний, прежде всего,
от скорости нагружения, температуры, воздействия сред и других
факторов.
Прочность – свойство материалов сопротивляться разрушению, а
также необратимому изменению формы образца под действием
внешних нагрузок.
Предел прочности – напряжение, соответствующее максимальному
(в момент разрушения образца) значению нагрузки. Отношение
наибольшей силы, действующей на образец, к исходной площади
его поперечного сечения называют разрушающим напряжением и
обозначают σв.

Деформирование – изменение относительного расположения частиц в
материале. Наиболее простые его виды – растяжение, сжатие, изгиб,
кручение, сдвиг. Деформация – изменение формы и размеров образца в
результате деформирования.
Параметры деформирования – относительное удлинение ε = (l– l0)/l0 (где
l0 и l – длина образца исходная и после деформирования), угол сдвига –
изменение прямого угла между лучами, исходящими из одной точки в
образце, при его деформировании. Деформацию называют упругой, если
она исчезает после снятия нагрузки, или пластической, если она не
исчезает (необратима). Пластическими свойствами материалов при
малых деформациях часто пренебрегают.
Предел упругости – напряжение, при котором остаточные деформации (т.
е. деформации, обнаруживаемые при разгрузке образца) достигают
значения, установленного техническими условиями. Обычно допуск на
остаточную деформацию составляет 10–3 ÷10–2 %. Предел упругости σу
ограничивает область упругих деформаций материала.
Понятие о модуле как о характеристике упругости материалов возникло
при рассмотрении идеально упругих тел, деформация которых линейно
зависит от напряжения. При простом растяжении (сжатии)
σ = Еε
где Е – модуль Юнга, или модуль продольной упругости, который
характеризует сопротивление материалов упругой деформации (растяжению, сжатию); ε − относительная деформация.

При сдвиге в материале по направлению сдвига и по нормали к нему
действуют только касательные напряжения
где G – модуль сдвига, характеризующий упругость материала при
изменении формы образца, объем которого остается постоянным; γ − угол
сдвига.
При всестороннем сжатии в материале по всем направлениям действует
нормальное напряжение
где К − модуль объемной упругости, который характеризует
сопротивление материала изменению объема образца, не
сопровождающемуся изменением его формы; ∆ – относительное
объемное сжатие.
Постоянной величиной, характеризующей упругость материалов при
одноосном растяжении, является коэффициент Пуассона:
где ε′ – относительное поперечное сжатие; ε – относительное
продольное удлинение образца.

Твердость является механической характеристикой материалов,
комплексно отражающей их прочность, пластичность, а также
свойства поверхностного слоя образцов. Она выражается
сопротивлением материала местному пластическому
деформированию, возникающему при внедрении в образец более
твердого тела – индентора. Вдавливание индентора в образец с
последующим измерением размеров отпечатка является основным
технологическим приемом при оценке твердости материалов. В
зависимости от особенностей приложения нагрузки, конструкции
инденторов и определения чисел твердости различают методы
Бринелля, Роквелла, Виккерса, Шора. При измерении
микротвердости по ГОСТ 9450–76 на поверхности образца
остаются отпечатки незначительной глубины, поэтому такой
метод используют, когда образцы выполнены в виде фольги,
пленок, покрытий малой толщины. Метод определения
пластической твердости заключается во вдавливании в образец
сферического наконечника путем последовательного приложения
различных нагрузок.

Коррозия – физико-химический процесс изменения свойств, повреждения
структуры и разрушения материалов вследствие перехода их компонентов в
химические соединения с компонентами окружающей среды. Под
коррозионным повреждением понимают любой дефект структуры
материала, возникший в результате коррозии. Если механические
воздействия ускоряют коррозию материалов, а коррозия облегчает их
механическое разрушение, имеет место коррозионно-механическое
повреждение материалов. Потери материалов из-за коррозии и затраты на
защиту от нее машин и оборудования непрерывно увеличиваются
вследствие активизации производственной деятельности человека и
загрязнения окружающей среды отходами производства.
Наиболее часто сопротивление материалов коррозии характеризуют с
помощью параметра коррозионной стойкости – величины, обратной
технической скорости коррозии материала в данной коррозионной системе.
Условность этой характеристики заключается в том, что она относится не к
материалу, а к коррозионной системе. Коррозионную стойкость материала
нельзя изменить, не изменив других параметров коррозионной системы.
Противокоррозионная защита – это модифицирование коррозионной
системы, ведущее к снижению скорости коррозии материала.

Температурные характеристики.
Жаростойкость – свойство материалов сохранять или незначительно
изменять механические параметры при высоких температурах. Свойство
металлов противостоять коррозионному воздействию газов при высоких
температурах называют жароупорностью. В качестве характеристики
жаростойкости легкоплавких материалов используют температуру
размягчения.
Жаропрочность – свойство материалов длительное время сопротивляться
деформированию и разрушению при высоких температурах. Это
важнейшая характеристика материалов, эксплуатируемых при
температурах Т > 0,3 Тпл. Такие условия имеют место в двигателях
внутреннего сгорания, паросиловых установках, газовых турбинах,
металлургических печах и др.
При низких температурах (в технике – от 0 до –269 °С) увеличивается
статическая и циклическая прочность материалов, снижаются их
пластичность и вязкость, повышается склонность к хрупкому разрушению.
Хладноломкость – возрастание хрупкости материалов при понижении
температуры. Склонность материала к хрупкому разрушению определяют
по результатам ударных испытаний образцов с надрезом при понижении
температуры.

Тепловое расширение материалов регистрируют по изменению размеров
и формы образцов при изменении температуры. У газов оно обусловлено
увеличением кинетической энергии частиц при нагревании, у жидкостей
и твердых материалов связано с несимметричностью тепловых
колебаний атомов, благодаря чему межатомные расстояния с ростом
температуры увеличиваются.
Количественно тепловое расширение материалов характеризуют
температурным коэффициентом объемного расширения:
а твердых материалов – и температурным коэффициентом линейного
расширения (ТКЛР):
– изменения линейного размера, объема образцов и
температуры (соответственно).
Индекс ξ служит для обозначения условий теплового расширения (обычно –
при постоянном давлении).
Экспериментально αV и αl определяют методами дилатометрии, изучающей
зависимость изменения размеров тел при воздействии внешних факторов.
Специальные измерительные приборы – дилатометры – различаются
устройством датчиков и чувствительностью систем регистрации размеров
образцов.

Теплоемкость – отношение количества теплоты, полученной телом при
бесконечно малом изменении его состояния в каком-либо процессе, к
вызванному последним приращению температуры:
По признакам термодинамического процесса, в котором определяют
теплоемкость материала, различают теплоемкость при постоянном объеме
и при постоянном давлении. В процессе нагревания при постоянном
давлении (изобарный процесс) часть теплоты расходуется на расширение
образца, а часть – на увеличение внутренней энергии материала. Теплота,
сообщенная тому же образцу при постоянном объеме (изохорный процесс),
расходуется только на увеличение внутренней энергии материала.
Удельная теплоемкость, Дж/(кг·К)], – отношение теплоемкости к массе
тела. Различают удельную теплоемкость при постоянном давлении (ср) и
при постоянном объеме (сv). Отношение теплоемкости к количеству
вещества называют молярной теплоемкостью (сm), Дж/(моль⋅К). Для всех
веществ ср > сv, для разреженных (близких к идеальным) газов сmp – сmv =
R (где R = 8,314 Дж/(моль⋅К) – универсальная газовая постоянная).

Теплопроводность – перенос энергии от более нагретых участков тела к
менее нагретым в результате теплового движения и взаимодействия
микрочастиц. Эта величина характеризует самопроизвольное
выравнивание температуры твердых тел.
Для изотропных материалов справедлив закон Фурье, согласно которому
вектор плотности теплового потока q пропорционален и противоположен
по направлению градиенту температуры Т:
где λ – коэффициент теплопроводности [Вт/(м·К)], зависящий от
агрегатного состояния, атомно-молекулярного строения, структуры,
температуры и других параметров материала.
Коэффициент температуропроводности (м2/с) является мерой
теплоизоляционных свойств материала:
где ρ – плотность; ср – удельная теплоемкость материала при
постоянном давлении.

Технологические свойства материалов характеризуют податливость
материалов технологическим воздействиям при переработке в изделия. Знание
этих свойств позволяет обоснованно и рационально проектировать и
осуществлять технологические процессы изготовления изделий. Основными
технологическими характеристиками материалов являются обрабатываемость
резанием и давлением, литейные параметры, свариваемость, склонность к
деформации и короблению при тепловой обработке и др.
Обрабатываемость резанием характеризуют следующими показателями:
качеством обработки материалов − шероховатостью обработанной поверхности
и точностью размеров образца, стойкостью инструмента, сопротивлением
резанию − скоростью и силой резания, видом стружко-образования. Значения
показателей определяют при обтачивании образцов и сравнивают с
параметрами материала, принятого за эталон.
Обрабатываемость давлением определяют в процессе технологических
испытаний материалов на пластическую деформацию. Методы оценки
обрабатываемости давлением зависят от вида материалов и технологии их
переработки. Например, технологические испытания металлов на изгиб
проводят, изгибая образцы до заданного угла. Считают, что образец выдержал
испытания, если в нем не появилось излома, расслоений, надрывов, трещин.
Листы и ленты испытывают на выдавливание с помощью специального
пресса. В образце формируют сферическую лунку, прекращая вытяжку в момент
достижения текучести материала. Результат определяют по наибольшей
глубине лунки в неразрушенных образцах.

Обрабатываемость давлением порошковых материалов характеризуют их
текучестью, уплотняемостью и формуемостью. Метод определения
текучести основан на регистрации времени истечения навески порошка в
процессе его самопроизвольного просыпания через калиброванное
отверстие воронки. От этого параметра зависит скорость заполнения
порошковыми материалами форм для обработки давлением.
Уплотняемость порошка характеризуют зависимостью объема навески
порошка от давления − диаграммой прессования. Формуемость − свойство
порошкового материала сохранять форму, полученную в процессе
прессования.
Литейные характеристики материалов − совокупность технологических
показателей, характеризующих формирование отливок путем заливки
расплавленных материалов в литейную форму. Жидкотекучесть −
свойство расплавленного материала заполнять литейную форму, зависит
от вязкости расплава, температур расплава и литейной формы, степени
смачивания расплавом стенок формы и т. д. Ее оценивают по длине
заполнения расплавом прямолинейного или спирального канала в
специальной литейной форме. Усадка литейная − уменьшение объема
расплава при переходе из жидкого состояния в твердое. Практически
усадку определяют как отношение соответствующих линейных размеров
формы и отливки в виде безразмерного коэффициента усадки,
индивидуального для каждого материала.

Свариваемость − свойство материала образовывать
сварное соединение, работоспособность которого
соответствует качеству основного материала,
подвергнутого сварке. О свариваемости судят по
результатам испытания сварных образцов и
характеристикам основного материала в зоне сварного
шва. Установлены правила определения следующих
показателей свариваемости металлов: механических
свойств сварных соединений, допускаемых режимов
дуговой сварки и наплавки, качества сварных
соединений и сварных швов, длительной прочности
сварных соединений.