ทำไมพูดกางเกงพีทาโกรัส กางเกงพีทาโกรัส

สถาปนิกชาวโรมัน Vitruvius ได้แยกแยะทฤษฎีบทพีทาโกรัส "จากการค้นพบมากมายที่ให้บริการแก่การพัฒนาชีวิตมนุษย์" และเรียกร้องให้ได้รับการปฏิบัติด้วยความเคารพอย่างสูงสุด มันอยู่ในศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช อี ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 16-17 นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันผู้โด่งดัง Johannes Kepler เรียกมันว่าเป็นหนึ่งในสมบัติล้ำค่าของเรขาคณิต เทียบได้กับการวัดทองคำ ไม่น่าเป็นไปได้ที่คณิตศาสตร์ทั้งหมดจะมีข้อความที่หนักแน่นและมีความสำคัญมากกว่า เพราะในแง่ของจำนวนการใช้งานทางวิทยาศาสตร์และในทางปฏิบัติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นไม่เท่ากัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

วิทยาศาสตร์กับชีวิต // ภาพประกอบ

ภาพประกอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากบทความเรื่องเสาวัด (จีน ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล) และหลักฐานที่สร้างขึ้นใหม่บนพื้นฐานดังกล่าว

วิทยาศาสตร์กับชีวิต // ภาพประกอบ

เอส. เพอร์กินส์. พีทาโกรัส.

วาดเพื่อหาหลักฐานที่เป็นไปได้ของพีทาโกรัส

"โมเสกแห่งพีทาโกรัส" และการแบ่งอัน-ไนริซีของสามสี่เหลี่ยมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ป. เดอ ฮอช. นายหญิงและแม่บ้านในลานบ้าน ประมาณ 1660

I. โอเทอร์เวลต์. นักดนตรีพเนจรที่ประตูบ้านอันมั่งคั่ง 1665.

กางเกงพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นที่รู้จักมากที่สุดและมีชื่อเสียงมากที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย ในทางเรขาคณิต มันถูกใช้อย่างแท้จริงในทุกขั้นตอน แม้จะมีความเรียบง่ายของสูตร แต่ทฤษฎีบทนี้ก็ไม่ชัดเจน: ดูที่ สามเหลี่ยมมุมฉากกับด้าน a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

ตัวเลขที่แสดงในรูปที่ 1 และ 2 คล้ายกับเครื่องประดับสี่เหลี่ยมที่ง่ายที่สุดและชิ้นส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเป็นรูปแบบทางเรขาคณิตที่รู้จักกันแต่โบราณกาล พวกเขาสามารถครอบคลุมเครื่องบินได้อย่างสมบูรณ์ นักคณิตศาสตร์จะเรียกสิ่งที่ปกคลุมเครื่องบินที่มีรูปหลายเหลี่ยมว่าปาร์เก้หรือการปูกระเบื้อง พีทาโกรัสมาอยู่ที่นี่ทำไม? ปรากฎว่าเขาเป็นคนแรกที่แก้ปัญหาไม้ปาร์เก้ธรรมดาซึ่งเริ่มศึกษาการปูกระเบื้องของพื้นผิวต่างๆ ดังนั้นพีทาโกรัสจึงแสดงให้เห็นว่ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากันเพียงสามประเภทเท่านั้นที่สามารถครอบคลุมระนาบรอบจุดที่ไม่มีช่องว่างได้: สามเหลี่ยมหกรูป สี่เหลี่ยมสี่สี่เหลี่ยม และรูปหกเหลี่ยมสามรูป

4000 ปีต่อมา

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสย้อนกลับไปในสมัยโบราณ การกล่าวถึงนี้มีอยู่ในตำรารูปลิ่มของชาวบาบิโลนในสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี (ศตวรรษที่สิบแปดก่อนคริสต์ศักราช) นั่นคือ 1200 ปีก่อนการเกิดของพีธากอรัส ทฤษฎีบทนี้ถูกนำมาใช้เป็นกฎสำเร็จรูปในหลายปัญหา วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามด้านข้าง เป็นไปได้ว่าความสัมพันธ์ a 2 + b 2 = c 2 สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากตามอำเภอใจนั้นได้รับโดยชาวบาบิโลนเพียงแค่ "การสรุป" ความเท่าเทียมกัน a 2 + a 2 = c 2 . แต่นี่เป็นข้อแก้ตัวสำหรับพวกเขา - สำหรับเรขาคณิตเชิงปฏิบัติของสมัยก่อนซึ่งลดเหลือเพียงการวัดและการคำนวณ ไม่จำเป็นต้องให้เหตุผลที่เข้มงวด

เกือบ 4000 ปีต่อมา เรากำลังเผชิญกับทฤษฎีบทที่ทำลายสถิติในแง่ของจำนวนการพิสูจน์ที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม การสะสมของพวกเขาเป็นประเพณีที่ยาวนาน จุดสูงสุดของความสนใจในทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกิดขึ้นในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 - ต้นศตวรรษที่ 20 และถ้าคอลเลกชันแรกมีหลักฐานไม่เกินสองหรือสามโหลจากนั้นเมื่อสิ้นสุดศตวรรษที่ 19 จำนวนของพวกเขาก็เข้าใกล้ 100 และหลังจากนั้นอีกครึ่งศตวรรษก็เกิน 360 และสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงที่รวบรวมจากต่างๆ แหล่งที่มา ผู้ซึ่งไม่ได้ใช้วิธีแก้ปัญหาของงานอมตะนี้ ตั้งแต่นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและผู้เผยแพร่วิทยาศาสตร์ ไปจนถึงสมาชิกรัฐสภาและเด็กนักเรียน และสิ่งที่น่าทึ่งก็คือในความคิดริเริ่มและความเรียบง่ายของการแก้ปัญหา มือสมัครเล่นอื่น ๆ ก็ไม่ด้อยกว่ามืออาชีพ!

ข้อพิสูจน์ที่เก่าแก่ที่สุดของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ปรากฎแก่เราคือ 2300 ปี หนึ่งในนั้น - สัจพจน์ที่เข้มงวด - เป็นของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Euclid ที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 4-3 ก่อนคริสต์ศักราช อี ในเล่มที่ 1 ขององค์ประกอบ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกระบุว่าเป็นข้อเสนอ 47 หลักฐานที่มองเห็นได้และสวยงามที่สุดสร้างขึ้นจากการวาด "กางเกงพีทาโกรัส" ใหม่ พวกเขาดูเหมือนปริศนาตัวต่อที่แยบยล แต่ทำให้ตัวเลขเคลื่อนไหวอย่างถูกต้อง - และพวกเขาจะเปิดเผยความลับของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงให้คุณทราบ

นี่คือข้อพิสูจน์อันสง่างามที่ได้จากภาพวาดจากบทความจีนโบราณเล่มหนึ่ง (รูปที่ 3) และการเชื่อมโยงกับปัญหาการเพิ่มพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสองเท่าจะชัดเจนในทันที

นี่เป็นข้อพิสูจน์ว่ากุยโดวัย 7 ขวบ วีรบุรุษผู้มีดวงตาสดใสของเรื่องสั้น “อาร์คิมิดีสน้อย” ของนักเขียนชาวอังกฤษ อัลดัส ฮักซ์ลีย์ พยายามอธิบายให้เพื่อนตัวน้อยของเขาฟัง เป็นเรื่องแปลกที่ผู้บรรยายที่สังเกตภาพนี้สังเกตเห็นความเรียบง่ายและการโน้มน้าวใจของหลักฐาน ดังนั้นจึงถือว่า ... พีธากอรัสเอง แต่ตัวละครหลักของเรื่องราวที่น่าอัศจรรย์โดย Evgeny Veltistov "Electronics - เด็กชายจากกระเป๋าเดินทาง" รู้ 25 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสรวมทั้งที่ได้รับจาก Euclid; จริงอยู่เขาเรียกมันว่าง่ายที่สุดอย่างผิด ๆ ถึงแม้ว่าในความเป็นจริงในรุ่นเริ่มต้นที่ทันสมัยจะมีหน้าครึ่ง!

นักคณิตศาสตร์คนแรก

พีทาโกรัสแห่งซามอส (570-495 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งมีชื่อเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทที่น่าทึ่งมาอย่างยาวนาน เรียกได้ว่าเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรก มันมาจากเขาที่คณิตศาสตร์เริ่มต้นเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนซึ่งความรู้ใหม่ใด ๆ ไม่ได้เป็นผลมาจากการแสดงภาพและกฎที่เรียนรู้จากประสบการณ์ แต่เป็นผลมาจากการใช้เหตุผลเชิงตรรกะและข้อสรุป นี่เป็นวิธีเดียวที่จะสร้างความจริงของโจทย์ทางคณิตศาสตร์ได้ทันทีและทุกประการ ก่อนปีทาโกรัสวิธีการนิรนัยถูกใช้โดยนักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Thales of Miletus ซึ่งอาศัยอยู่ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 7-6 ก่อนคริสต์ศักราช อี เขาแสดงแนวคิดของการพิสูจน์ แต่นำมาใช้อย่างไม่เป็นระบบ คัดเลือก ตามกฎแล้ว กับข้อความทางเรขาคณิตที่ชัดเจนเช่น "เส้นผ่านศูนย์กลางแบ่งครึ่งวงกลม" พีทาโกรัสไปไกลกว่านั้นมาก เป็นที่เชื่อกันว่าเขาได้แนะนำคำจำกัดความ สัจพจน์ และวิธีการพิสูจน์เบื้องต้น และยังได้สร้างหลักสูตรเรขาคณิตแบบแรก ซึ่งเป็นที่รู้จักของชาวกรีกโบราณภายใต้ชื่อ "ประเพณีพีทาโกรัส" และเขายืนอยู่ที่จุดกำเนิดของทฤษฎีจำนวนและสเตอริโอเมทรี

ข้อดีที่สำคัญอีกประการหนึ่งของพีทาโกรัสคือรากฐานของโรงเรียนนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงซึ่งกำหนดการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้ในกรีกโบราณมานานกว่าศตวรรษ คำว่า "คณิตศาสตร์" เองก็เกี่ยวข้องกับชื่อของเขาเช่นกัน (จากคำภาษากรีก μαθημa - การสอน วิทยาศาสตร์) ซึ่งรวมเอาสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องสี่สาขาที่สร้างโดยพีธากอรัสและพรรคพวกของเขา - พีทาโกรัส - ระบบความรู้: เรขาคณิต เลขคณิต ดาราศาสตร์ และ ฮาร์โมนิก

เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกความสำเร็จของพีทาโกรัสออกจากความสำเร็จของนักเรียนของเขา: ตามธรรมเนียมแล้ว พวกเขานำแนวคิดและการค้นพบของตนเองมาประกอบกับครูของตน ชาวพีทาโกรัสยุคแรกไม่ได้ทิ้งงานเขียนใด ๆ พวกเขาส่งข้อมูลทั้งหมดให้กันด้วยวาจา ดังนั้น 2500 ปีต่อมา นักประวัติศาสตร์จึงไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากต้องสร้างความรู้ที่สูญหายขึ้นใหม่ตามการถอดความของผู้เขียนคนอื่นๆ ในภายหลัง ให้เราให้เครดิตกับชาวกรีก: แม้ว่าพวกเขาจะล้อมรอบชื่อพีทาโกรัสด้วยตำนานมากมาย แต่พวกเขาไม่ได้ระบุถึงสิ่งใดที่เขาไม่สามารถค้นพบหรือพัฒนาเป็นทฤษฎีได้ และทฤษฎีบทที่มีชื่อของเขาก็ไม่มีข้อยกเว้น

หลักฐานง่ายๆ แบบนี้

ไม่มีใครรู้ว่าปีทาโกรัสเองค้นพบอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือยืมความรู้นี้ ผู้เขียนโบราณอ้างว่าตัวเขาเองและชอบที่จะเล่าตำนานว่าพีธากอรัสเสียสละวัวเพื่อเป็นเกียรติแก่การค้นพบของเขาได้อย่างไร นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่มีแนวโน้มที่จะเชื่อว่าเขาเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้โดยทำความคุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลน เราไม่รู้ด้วยว่าพีทาโกรัสกำหนดทฤษฎีบทในรูปแบบใด: ตามธรรมเนียมในปัจจุบัน จตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา หรือในเชิงเรขาคณิต ในจิตวิญญาณของคนโบราณ สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้น บนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับผลรวมของกำลังสองที่สร้างจากรองเท้าสเก็ตของเขา

เป็นที่เชื่อกันว่าพีทาโกรัสเป็นผู้ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทครั้งแรกที่มีชื่อของเขา ไม่รอดแน่นอน ตามเวอร์ชั่นหนึ่ง พีทาโกรัสสามารถใช้หลักคำสอนเรื่องสัดส่วนที่พัฒนาขึ้นในโรงเรียนของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันขึ้นอยู่กับทฤษฎีความคล้ายคลึงกันซึ่งใช้เหตุผลเป็นหลัก ลองวาดความสูงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก c ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a กับ b เราได้สามเหลี่ยมที่คล้ายกันสามรูป รวมทั้งอันเดิมด้วย ด้านตามลำดับของพวกมันเป็นสัดส่วน a: c = m: a และ b: c = n: b ดังนั้น a 2 = c · m และ b 2 = c · n จากนั้น a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (รูปที่ 4)

นี่เป็นเพียงการสร้างใหม่ที่นำเสนอโดยนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์คนหนึ่ง แต่คุณเห็นไหมว่าการพิสูจน์นั้นค่อนข้างง่าย: ใช้เวลาเพียงไม่กี่บรรทัด คุณไม่จำเป็นต้องสร้างให้เสร็จ ก่อร่างใหม่ คำนวณอะไรเลย ... มันเป็น ไม่น่าแปลกใจที่มันถูกค้นพบมากกว่าหนึ่งครั้ง มันมีอยู่ใน "การปฏิบัติของเรขาคณิต" โดย Leonardo of Pisa (1220) และยังคงได้รับในตำราเรียน

หลักฐานดังกล่าวไม่ได้ขัดแย้งกับความคิดของชาวพีทาโกรัสเกี่ยวกับการเทียบได้: ในขั้นต้นพวกเขาเชื่อว่าอัตราส่วนของความยาวของสองส่วนใด ๆ และด้วยเหตุนี้พื้นที่ของตัวเลขที่เป็นเส้นตรงสามารถแสดงโดยใช้ตัวเลขธรรมชาติ พวกเขาไม่ได้พิจารณาตัวเลขอื่นใด ไม่อนุญาตให้ใช้เศษส่วน แทนที่ด้วยอัตราส่วน 1: 2, 2: 3 เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ที่น่าแปลกก็คือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นเหตุให้ชาวพีทาโกรัสค้นพบความเทียบไม่ได้ของเส้นทแยงมุม ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและด้านข้าง ความพยายามทั้งหมดในการแทนค่าความยาวของเส้นทแยงมุมนี้ - สำหรับหน่วยกำลังสอง เท่ากับ √2 - ไม่ได้นำไปสู่สิ่งใด กลายเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าปัญหาไม่สามารถแก้ไขได้ ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์มีวิธีพิสูจน์ - พิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง โดยวิธีการที่มันยังประกอบกับพีทาโกรัส

การมีอยู่ของความสัมพันธ์ที่ไม่ได้แสดงออกด้วยจำนวนธรรมชาติทำให้ความคิดมากมายของชาวพีทาโกรัสสิ้นสุดลง เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขที่พวกเขารู้ไม่เพียงพอต่อการแก้ปัญหาง่ายๆ หรือแม้แต่เรขาคณิตทั้งหมด! การค้นพบนี้เป็นจุดเปลี่ยนในการพัฒนาคณิตศาสตร์กรีก ซึ่งเป็นปัญหาหลัก ประการแรก มันนำไปสู่การพัฒนาหลักคำสอนเรื่องปริมาณที่เทียบไม่ได้ - ความไร้เหตุผล จากนั้นจึงขยายแนวคิดเรื่องจำนวน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือประวัติศาสตร์เก่าแก่หลายศตวรรษของการศึกษาเซตของจำนวนจริงเริ่มต้นกับเขา

โมเสกของพีทาโกรัส

ถ้าคุณคลุมเครื่องบินด้วยสี่เหลี่ยมที่มีสองขนาดต่างกัน ล้อมรอบสี่เหลี่ยมเล็กๆ แต่ละอันด้วยสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่สี่อัน คุณจะได้ไม้ปาร์เก้โมเสกพีทาโกรัส รูปแบบดังกล่าวมีพื้นหินประดับยาวซึ่งชวนให้นึกถึงการพิสูจน์โบราณของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (จึงเป็นชื่อ) โดยการจัดตารางสี่เหลี่ยมบนไม้ปาร์เก้ในรูปแบบต่างๆ เราสามารถรับพาร์ติชั่นของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น หากคุณจัดเรียงตารางเพื่อให้โหนดทั้งหมดตรงกับจุดยอดด้านขวาบนของสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ชิ้นส่วนของภาพวาดจะปรากฏขึ้นเพื่อเป็นหลักฐานของนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียยุคกลาง an-Nairizi ซึ่งเขาวางไว้ในความคิดเห็นของ Euclid " หลักการ". มันง่ายที่จะเห็นว่าผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และขนาดเล็กซึ่งเป็นองค์ประกอบเริ่มต้นของปาร์เก้นั้นเท่ากับพื้นที่ของตารางหนึ่งตารางที่ซ้อนทับบนนั้น และนี่หมายความว่าพาร์ติชั่นที่ระบุเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการวางไม้ปาร์เก้: โดยการเชื่อมต่อรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นผลลัพธ์เป็นสี่เหลี่ยมดังแสดงในรูป คุณสามารถเติมระนาบทั้งหมดด้วยพวกมันโดยไม่มีช่องว่างและคาบเกี่ยวกัน

สิ่งหนึ่งที่คุณมั่นใจได้ร้อยเปอร์เซ็นต์ว่าเมื่อถามว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร ผู้ใหญ่คนใดจะตอบอย่างกล้าหาญว่า "ผลรวมของกำลังสองของส่วนขา" ทฤษฎีบทนี้ฝังแน่นอยู่ในจิตใจของผู้มีการศึกษาทุกคน แต่พอเพียงขอให้ใครสักคนพิสูจน์มัน แล้วความยากลำบากก็อาจเกิดขึ้นได้ ดังนั้น ให้จำและพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน

ภาพรวมโดยย่อของชีวประวัติ

เกือบทุกคนคุ้นเคยกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างชีวประวัติของผู้สร้างจึงไม่เป็นที่นิยม เราจะแก้ไขมัน ดังนั้น ก่อนที่จะศึกษาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณต้องทำความคุ้นเคยกับบุคลิกภาพของเขาโดยสังเขป

พีธากอรัส - นักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ นักคิด ตั้งแต่วันนี้ เป็นเรื่องยากมากที่จะแยกแยะชีวประวัติของเขาออกจากตำนานที่พัฒนาขึ้นในความทรงจำของชายผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ แต่จากงานเขียนของผู้ติดตามของเขา Pythagoras of Samos เกิดที่เกาะ Samos พ่อของเขาเป็นช่างตัดหินธรรมดา แต่แม่ของเขามาจากตระกูลผู้สูงศักดิ์

ตามตำนานเล่าว่าการกำเนิดของพีทาโกรัสนั้นถูกทำนายโดยผู้หญิงคนหนึ่งชื่อพีเธีย ซึ่งตั้งชื่อตามเด็กชายคนนั้นเพื่อเป็นเกียรติแก่เด็กชาย ตามคำทำนายของเธอ เด็กชายที่เกิดมาจะต้องนำประโยชน์และความดีมากมายมาสู่มวลมนุษยชาติ ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาทำจริงๆ

กำเนิดทฤษฎีบท

ในวัยหนุ่มของเขา พีธากอรัสย้ายไปอียิปต์เพื่อพบกับปราชญ์ชาวอียิปต์ที่มีชื่อเสียงที่นั่น หลังจากพบกับพวกเขา เขาเข้ารับการศึกษา ซึ่งเขาได้เรียนรู้ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ของปรัชญา คณิตศาสตร์ และการแพทย์ของอียิปต์

อาจเป็นไปได้ว่าในอียิปต์นั้นพีทาโกรัสได้รับแรงบันดาลใจจากความยิ่งใหญ่และความงามของปิรามิดและสร้างทฤษฎีที่ยิ่งใหญ่ของเขา สิ่งนี้อาจทำให้ผู้อ่านตกใจ แต่นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่เชื่อว่าพีทาโกรัสไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเขา แต่เขาเพียงถ่ายทอดความรู้ของเขาให้กับผู้ติดตามของเขา ซึ่งภายหลังเสร็จสิ้นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมด

อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันไม่มีใครรู้จักเทคนิคเดียวในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่มีหลายวิธีในครั้งเดียว วันนี้เราสามารถเดาได้เพียงว่าชาวกรีกโบราณทำการคำนวณอย่างไร ดังนั้นที่นี่เราจะพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ก่อนที่คุณจะเริ่มการคำนวณใดๆ คุณต้องคิดก่อนว่าทฤษฎีใดที่จะพิสูจน์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสฟังดังนี้: "ในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเป็น 90 o ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก"

มี 15 วิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทั้งหมด นี่เป็นตัวเลขที่ค่อนข้างใหญ่ดังนั้นเรามาดูสิ่งที่ได้รับความนิยมมากที่สุดกัน

วิธีที่หนึ่ง

มากำหนดสิ่งที่เรามีกันก่อน ข้อมูลนี้จะนำไปใช้กับวิธีอื่นในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ดังนั้นคุณควรจำสัญกรณ์ที่มีอยู่ทั้งหมดทันที

สมมติให้สามเหลี่ยมมุมฉากมีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ c วิธีแรกในการพิสูจน์ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าต้องดึงสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องวาดส่วนที่เท่ากับขาในความยาวของขา a และในทางกลับกัน มันจึงควรกลายเป็นสองด้านเท่ากันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เหลือเพียงการวาดเส้นคู่ขนานสองเส้นและสี่เหลี่ยมก็พร้อม

ภายในผลลัพธ์ที่ได้ คุณต้องวาดสี่เหลี่ยมอีกอันที่มีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมเดิม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จากจุดยอด ac และ sv คุณต้องวาดส่วนคู่ขนานสองส่วนเท่ากับ c ดังนั้นเราจึงได้ด้านสามด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนึ่งในนั้นคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากดั้งเดิม มันยังคงเป็นเพียงการวาดส่วนที่สี่

จากตัวเลขผลลัพธ์ เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกคือ (a + b) 2 หากคุณมองเข้าไปในรูป คุณจะเห็นว่านอกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในแล้ว ยังมีสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป พื้นที่แต่ละแห่งคือ 0.5 av.

ดังนั้น พื้นที่คือ: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

ดังนั้น (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

และด้วยเหตุนี้ด้วย 2 \u003d a 2 + ใน2

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีที่สอง: สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สูตรนี้สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้มาจากข้อความจากหมวดเรขาคณิตเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน มันบอกว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม 90 o

ข้อมูลเบื้องต้นยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นเรามาเริ่มกันเลยด้วยการพิสูจน์กัน ให้เราวาดแผ่น CD ส่วนตั้งฉากกับด้าน AB จากข้อความข้างต้น ขาของสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

ในการตอบคำถามว่าจะพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างไร ต้องวางการพิสูจน์โดยการยกกำลังสองอสมการทั้งสองออก

AC 2 \u003d AB * HELL และ SV 2 \u003d AB * DV

ตอนนี้เราต้องบวกความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV) โดยที่ AD + DV \u003d AB

ปรากฎว่า:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

และดังนั้นจึง:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีแก้ปัญหาแบบต่างๆ ต้องใช้แนวทางที่หลากหลายในการแก้ปัญหานี้ อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง

วิธีการคำนวณแบบอื่น

คำอธิบายของวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแบบต่างๆ อาจไม่พูดอะไร จนกว่าคุณจะเริ่มฝึกฝนด้วยตัวเอง หลายวิธีไม่เพียงเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการสร้างตัวเลขใหม่จากสามเหลี่ยมเดิมด้วย

ในกรณีนี้ จำเป็นต้องกรอก VSD สามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันจากขาเครื่องบิน ดังนั้น จึงมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขาร่วม BC

เมื่อรู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายคลึงกันมีอัตราส่วนเท่ากับกำลังสองของขนาดเชิงเส้นที่คล้ายคลึงกัน ดังนั้น:

S avs * s 2 - S avd * ใน 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (จาก 2 ถึง 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

จาก 2 ถึง 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + ใน2

เนื่องจากตัวเลือกนี้ไม่ค่อยเหมาะกับวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในระดับ 8 ด้วยวิธีต่างๆ คุณจึงใช้เทคนิคต่อไปนี้ได้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความคิดเห็น

นักประวัติศาสตร์เชื่อว่าวิธีนี้ถูกใช้ครั้งแรกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทในกรีกโบราณ เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด เนื่องจากไม่ต้องมีการคำนวณใดๆ เลย หากคุณวาดภาพอย่างถูกต้อง หลักฐานของข้อความที่ว่า a 2 + b 2 \u003d c 2 จะมองเห็นได้ชัดเจน

เงื่อนไขสำหรับวิธีนี้จะแตกต่างจากวิธีก่อนหน้าเล็กน้อย เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท สมมติว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เป็นหน้าจั่ว

เราหาด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ววาดด้านทั้งสามของมัน นอกจากนี้ จำเป็นต้องวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้ คุณจะได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่รูปข้างในนั้น

สำหรับขา AB และ CB คุณต้องวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวาดเส้นทแยงหนึ่งเส้นในแต่ละส่วน เราวาดบรรทัดแรกจากจุดสุดยอด A ส่วนที่สอง - จาก C

ตอนนี้คุณต้องดูภาพวาดที่ได้อย่างระมัดระวัง เนื่องจากมีสามเหลี่ยมสี่รูปบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เท่ากับอันเดิมและสองรูปที่ขา นี่จึงระบุถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้

อย่างไรก็ตาม ต้องขอบคุณวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ the วลีที่มีชื่อเสียง: "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทุกทาง"

พิสูจน์โดย J. Garfield

James Garfield เป็นประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา นอกจากจะทิ้งร่องรอยไว้บนประวัติศาสตร์ในฐานะผู้ปกครองแห่งสหรัฐอเมริกาแล้ว เขายังเป็นผู้มีพรสวรรค์ในการเรียนรู้ด้วยตนเองอีกด้วย

ในตอนเริ่มต้นอาชีพของเขา เขาเป็นครูธรรมดาในโรงเรียนพื้นบ้านแห่งหนึ่ง แต่ในไม่ช้าก็กลายเป็นผู้อำนวยการของหนึ่งในผู้สูงกว่า สถาบันการศึกษา. ความปรารถนาที่จะพัฒนาตนเองและทำให้เขาสามารถเสนอทฤษฎีใหม่ของการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทและตัวอย่างของการแก้ปัญหามีดังนี้

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปบนแผ่นกระดาษเพื่อให้ขาของหนึ่งในนั้นเป็นส่วนต่อของส่วนที่สอง จุดยอดของสามเหลี่ยมเหล่านี้ต้องเชื่อมต่อกันจึงจะมีสี่เหลี่ยมคางหมู

ดังที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง

S=a+b/2 * (a+b)

หากเราพิจารณาผลลัพธ์ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสามเหลี่ยมสามรูป พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะเป็นดังนี้:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

ตอนนี้เราต้องทำให้นิพจน์ดั้งเดิมทั้งสองเท่ากัน

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + ใน2

สามารถเขียนเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้มากกว่าหนึ่งเล่มและจะพิสูจน์ได้อย่างไร คู่มือการเรียน. แต่มันสมเหตุสมผลหรือไม่เมื่อความรู้นี้ไม่สามารถนำไปปฏิบัติได้?

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ

น่าเสียดายที่หลักสูตรของโรงเรียนสมัยใหม่มีไว้สำหรับการใช้ทฤษฎีบทนี้ในปัญหาทางเรขาคณิตเท่านั้น ในไม่ช้าผู้สำเร็จการศึกษาจะออกจากโรงเรียนโดยไม่รู้ว่าพวกเขาจะนำความรู้และทักษะไปปฏิบัติได้อย่างไร

อันที่จริง ทุกคนสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวันได้ และไม่เพียง แต่ในกิจกรรมทางวิชาชีพเท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานบ้านทั่วไปด้วย ลองพิจารณาหลายกรณีที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์มีความจำเป็นอย่างยิ่ง

ความเชื่อมโยงของทฤษฎีบทและดาราศาสตร์

ดูเหมือนว่าดาวและสามเหลี่ยมสามารถเชื่อมต่อกันบนกระดาษได้อย่างไร อันที่จริง ดาราศาสตร์เป็นสาขาวิทยาศาสตร์ที่มีการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างแพร่หลาย

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการเคลื่อนที่ของลำแสงในอวกาศ เรารู้ว่าแสงเดินทางทั้งสองทิศทางด้วยความเร็วเท่ากัน เราเรียกเส้นโคจร AB ที่รังสีแสงเคลื่อนที่ไป l. และใช้เวลาครึ่งหนึ่งในการเดินแสงจากจุด A ไปยังจุด B เรียกว่า t. และความเร็วของลำแสง - ค. ปรากฎว่า: c*t=l

หากคุณดูลำแสงเดียวกันนี้จากระนาบอื่น เช่น จากยานอวกาศที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v จากนั้นเมื่อสังเกตวัตถุดังกล่าว ความเร็วของมันจะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้ แม้แต่องค์ประกอบที่อยู่นิ่งก็จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ไปในทิศทางตรงกันข้าม

สมมุติว่าการ์ตูนกำลังแล่นไปทางขวา จากนั้นจุด A และ B ซึ่งระหว่างที่รังสีวิ่งจะเคลื่อนที่ไปทางซ้าย นอกจากนี้ เมื่อลำแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B จุด A มีเวลาเคลื่อนที่และด้วยเหตุนี้ แสงก็มาถึงจุดใหม่ C แล้ว หากต้องการหาระยะทางครึ่งหนึ่งที่จุด A เลื่อนไป คุณต้องคูณ ความเร็วของซับโดยครึ่งหนึ่งของเวลาการเดินทางของลำแสง (t ")

และเพื่อค้นหาว่ารังสีของแสงสามารถเดินทางได้ไกลแค่ไหนในช่วงเวลานี้ คุณต้องกำหนดเส้นทางครึ่งทางของต้นบีชใหม่และได้นิพจน์ต่อไปนี้:

หากเราจินตนาการว่าจุดไฟ C และ B เช่นเดียวกับสเปซไลเนอร์คือจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนจากจุด A ถึงไลเนอร์จะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณสามารถค้นหาระยะทางที่รังสีของแสงสามารถเดินทางได้

แน่นอนว่า ตัวอย่างนี้ไม่ได้ประสบความสำเร็จมากที่สุด เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คนที่โชคดีพอที่จะลองใช้งานจริง ดังนั้นเราจึงพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้ทางโลกมากขึ้น

ช่วงการส่งสัญญาณมือถือ

ชีวิตสมัยใหม่ไม่สามารถจินตนาการได้อีกต่อไปหากไม่มีสมาร์ทโฟน แต่จะมีประโยชน์มากแค่ไหนหากพวกเขาไม่สามารถเชื่อมต่อสมาชิกผ่านการสื่อสารผ่านมือถือได้!

คุณภาพของการสื่อสารเคลื่อนที่โดยตรงขึ้นอยู่กับความสูงที่เสาอากาศของผู้ให้บริการมือถือตั้งอยู่ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อคำนวณว่าโทรศัพท์สามารถรับสัญญาณได้ไกลจากเสาเคลื่อนที่แค่ไหน

สมมติว่าคุณต้องหาความสูงโดยประมาณของหอคอยที่อยู่นิ่ง เพื่อให้สามารถแพร่สัญญาณภายในรัศมี 200 กิโลเมตรได้

AB (ความสูงของหอคอย) = x;

BC (รัศมีการส่งสัญญาณ) = 200 กม.;

OS (รัศมี โลก) = 6380 กม.;

OB=OA+ABOB=r+x

เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบว่าความสูงขั้นต่ำของหอคอยควรอยู่ที่ 2.3 กิโลเมตร

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวัน

น่าแปลกที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์แม้ในชีวิตประจำวัน เช่น การกำหนดความสูงของตู้เสื้อผ้า เป็นต้น เมื่อมองแวบแรก ไม่จำเป็นต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนเช่นนี้ เพราะคุณสามารถวัดค่าด้วยตลับเมตรได้อย่างง่ายดาย แต่หลายคนแปลกใจว่าเหตุใดจึงเกิดปัญหาบางอย่างขึ้นระหว่างกระบวนการประกอบ หากการวัดทั้งหมดทำมากกว่าความแม่นยำ

ความจริงก็คือตู้เสื้อผ้าถูกประกอบในแนวนอนแล้วยกขึ้นและติดตั้งกับผนัง ดังนั้นผนังด้านข้างของตู้ในกระบวนการยกโครงสร้างต้องผ่านทั้งความสูงและแนวทแยงมุมของห้องอย่างอิสระ

สมมติว่ามีตู้เสื้อผ้าที่มีความลึก 800 มม. ระยะห่างจากพื้นถึงเพดาน - 2600 มม. ผู้ผลิตเฟอร์นิเจอร์ที่มีประสบการณ์จะบอกว่าความสูงของตู้ควรน้อยกว่าความสูงของห้อง 126 มม. แต่ทำไม 126 มม. กันแน่? มาดูตัวอย่างกัน

ด้วยขนาดในอุดมคติของตู้ เรามาตรวจสอบการทำงานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 มม. - ทุกอย่างมาบรรจบกัน

สมมุติว่าความสูงของตู้ไม่ใช่ 2474 มม. แต่เป็น 2505 มม. แล้ว:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 มม.

ดังนั้นตู้นี้จึงไม่เหมาะกับการติดตั้งในห้องนี้ เนื่องจากเมื่อยกขึ้นไปยังตำแหน่งแนวตั้ง อาจเกิดความเสียหายต่อร่างกายได้

บางที เมื่อพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยนักวิทยาศาสตร์หลายๆ คน เราสามารถสรุปได้ว่ามันเป็นมากกว่าความจริง ตอนนี้คุณสามารถใช้ข้อมูลที่ได้รับในชีวิตประจำวันของคุณและต้องแน่ใจว่าการคำนวณทั้งหมดจะไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังถูกต้องอีกด้วย

กางเกงพีทาโกรัส ชื่อการ์ตูนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากความจริงที่ว่าสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและแยกจากกันไปในทิศทางที่แตกต่างกันคล้ายกับการตัดกางเกง ฉันชอบเรขาคณิต ... และตอนสอบเข้ามหาวิทยาลัยฉันยังได้รับคำชมจาก Chumakov ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่อธิบายคุณสมบัติของเส้นคู่ขนานและกางเกงพีทาโกรัสที่ไม่มีกระดานดำ วาดมือขึ้นไปในอากาศ(N. Pirogov. ไดอารี่ของหมอเก่า).

พจนานุกรมวลีของรัสเซีย ภาษาวรรณกรรม. - ม.: Astrel, AST. เอ. ไอ. เฟโดรอฟ 2551 .

ดูว่า "กางเกงพีทาโกรัส" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

กางเกง - รับคูปองส่วนลด SuperStep ที่ใช้งานได้ที่ Akademika หรือซื้อกางเกงราคาถูกพร้อมการจัดส่งฟรีที่ SuperStep

กางเกงพีทาโกรัส- ... Wikipedia

กางเกงพีทาโกรัส- จาร์ก โรงเรียน รถรับส่ง. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก บีทีเอส 835... พจนานุกรมคำพูดภาษารัสเซียขนาดใหญ่

กางเกงพีทาโกรัส- ชื่อที่น่าเล่นสำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งกำหนดอัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งดูเหมือนกางเกงในภาพวาด ... พจนานุกรมสำนวนมากมาย

กางเกงพีทาโกรัส (ประดิษฐ์)- ฝรั่ง: เกี่ยวกับผู้มีพรสวรรค์ Cf. นี่คือความแน่นอนของปราชญ์ ในสมัยโบราณเขาอาจจะคิดค้นกางเกงพีทาโกรัส ... ซอลตีคอฟ ตัวอักษรผสม. กางเกงพีทาโกรัส (geom.): ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของขา (การสอน ... ... พจนานุกรมวลีเชิงอธิบายขนาดใหญ่ของ Michelson

กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน- ทราบจำนวนปุ่มแล้ว ทำไมกระเจี๊ยวถึงคับแคบ? (คร่าวๆ) เกี่ยวกับกางเกงและอวัยวะเพศชาย กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ จำเป็นต้องลบและแสดง 1) เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส 2) เกี่ยวกับกางเกงขากว้าง ... คำพูดสด พจนานุกรมสำนวนภาษาพูด

ประดิษฐ์กางเกงพีทาโกรัส- กางเกงพีทาโกรัส (ประดิษฐ์) ฝรั่ง เกี่ยวกับคนที่มีพรสวรรค์ พุธ นี่คือปราชญ์ที่ไม่ต้องสงสัย ในสมัยโบราณเขาอาจจะคิดค้นกางเกงพีทาโกรัส ... ซอลตีคอฟ ตัวอักษรผสม. กางเกงพีทาโกรัส (geom.): ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉาก ... ... พจนานุกรมวลีเชิงอธิบายขนาดใหญ่ของ Michelson (ตัวสะกดดั้งเดิม)

กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง- ล้อเล่นของทฤษฎีบทพีทาโกรัส; ล้อเล่นเรื่องกางเกงขาบานของบัดดี้ด้วย... พจนานุกรมวลีพื้นบ้าน

[adj.] หยาบคาย...

กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน (ทราบจำนวนปุ่มแล้วปิดทำไม / เพื่อพิสูจน์ จำเป็นต้องถอดและแสดง)- adj. หยาบคาย ... พจนานุกรมอธิบายหน่วยวลีและคำพูดที่ทันสมัย

กางเกงขายาว- คำนาม pl. ใช้ คอมพ์ บ่อยสัณฐานวิทยา: pl. อะไร? กางเกง (ไม่) อะไรนะ? กางเกงเพื่ออะไร กางเกง (ดู) อะไรนะ? กางเกงอะไร? กางเกงอะไร? เกี่ยวกับกางเกง 1. กางเกงเป็นเสื้อผ้าที่มีสองขาสั้นหรือยาวและครอบคลุม ส่วนล่าง… … พจนานุกรมของ Dmitriev

หนังสือ

• กางเกงพีทาโกรัส, . ในหนังสือเล่มนี้ คุณจะได้พบกับจินตนาการและการผจญภัย ปาฏิหาริย์และนิยาย ทั้งตลกและเศร้า ธรรมดาและลึกลับ... และอะไรอีกที่จำเป็นสำหรับการอ่านเพื่อความบันเทิง? สิ่งสำคัญคือการเป็น...

คำอธิบายของการนำเสนอในแต่ละสไลด์:

1 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

โรงเรียนมัธยม MBOU Bondarskaya โครงการนักเรียนในหัวข้อ: "พีทาโกรัสและทฤษฎีบทของเขา" จัดทำโดย: Ektov Konstantin นักเรียนเกรด 7 A หัวหน้า: Dolotova Nadezhda Ivanovna ครูคณิตศาสตร์ 2558

2 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

3 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

คำอธิบายประกอบ เรขาคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ที่น่าสนใจมาก มันมีทฤษฎีบทมากมายที่ไม่เหมือนกัน แต่บางครั้งก็จำเป็น ฉันสนใจทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาก น่าเสียดายที่ข้อความที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งที่เราผ่านเฉพาะในเกรดแปดเท่านั้น ฉันตัดสินใจเปิดม่านความลับและสำรวจทฤษฎีบทพีทาโกรัส

4 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

5 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

6 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ภารกิจ เพื่อศึกษาชีวประวัติของพีทาโกรัส สำรวจประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นและการพิสูจน์ทฤษฎีบท ค้นหาว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ในงานศิลปะอย่างไร ค้นหาปัญหาทางประวัติศาสตร์ที่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทำความคุ้นเคยกับทัศนคติของเด็กในช่วงเวลาต่าง ๆ ต่อทฤษฎีบทนี้ สร้างโครงการ

7 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ความคืบหน้าการวิจัย ชีวประวัติของพีทาโกรัส บัญญัติและคำพังเพยของพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ประวัติของทฤษฎีบท ทำไม "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง"? การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแบบต่างๆ โดยนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ การประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แบบสำรวจความคิดเห็น บทสรุป.

8 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

พีทาโกรัส - เขาคือใคร? พีทาโกรัสแห่งซามอส (580 - 500 ปีก่อนคริสตกาล) นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาในอุดมคติของชาวกรีกโบราณ เกิดที่เกาะซามอส ได้รับการศึกษาที่ดี ตามตำนานเล่าว่าพีทาโกรัสเพื่อทำความคุ้นเคยกับภูมิปัญญาของนักวิทยาศาสตร์ตะวันออกได้ไปอียิปต์และอาศัยอยู่ที่นั่นเป็นเวลา 22 ปี หลังจากเชี่ยวชาญวิทยาศาสตร์ของชาวอียิปต์ทั้งหมดรวมถึงคณิตศาสตร์แล้วเขาย้ายไปบาบิโลนซึ่งเขาอาศัยอยู่เป็นเวลา 12 ปีและทำความคุ้นเคยกับความรู้ทางวิทยาศาสตร์ของนักบวชชาวบาบิโลน ประเพณีแอตทริบิวต์พีทาโกรัสไปเยือนอินเดีย เป็นไปได้มากเนื่องจาก Ionia และอินเดียมีความสัมพันธ์ทางการค้า เมื่อกลับไปบ้านเกิดของเขา (ค. 530 ปีก่อนคริสตกาล) พีธากอรัสพยายามจัดระเบียบโรงเรียนปรัชญาของเขา อย่างไรก็ตาม ด้วยเหตุผลที่ไม่ทราบสาเหตุ ในไม่ช้าเขาก็ออกจาก Samos และตั้งรกรากใน Croton (อาณานิคมของกรีกในภาคเหนือของอิตาลี) ที่นี่ Pythagoras สามารถจัดระเบียบโรงเรียนของตัวเองซึ่งเปิดดำเนินการมาเกือบสามสิบปี โรงเรียนของพีทาโกรัสหรือที่เรียกว่าสหภาพพีทาโกรัสเป็นโรงเรียนปรัชญาพรรคการเมืองและภราดรภาพทางศาสนา สถานะของสหภาพพีทาโกรัสนั้นรุนแรงมาก ในมุมมองเชิงปรัชญาของเขา พีธากอรัสเป็นนักอุดมคติ ผู้ปกป้องผลประโยชน์ของชนชั้นสูงที่เป็นทาส บางทีนี่อาจเป็นเหตุผลที่ทำให้เขาออกจาก Samos เนื่องจากผู้สนับสนุนมุมมองประชาธิปไตยมีอิทธิพลอย่างมากใน Ionia ในเรื่องสาธารณะโดย "คำสั่ง" ชาวพีทาโกรัสเข้าใจกฎของขุนนาง พวกเขาประณามประชาธิปไตยกรีกโบราณ ปรัชญาพีทาโกรัสเป็นความพยายามในขั้นต้นที่จะพิสูจน์ความชอบธรรมของการครอบงำของขุนนางที่เป็นเจ้าของทาส ปลายศตวรรษที่ 5 BC อี คลื่นของขบวนการประชาธิปไตยได้แผ่ซ่านไปทั่วกรีซและอาณานิคม ประชาธิปไตยชนะใน Croton Pythagoras ออกจาก Croton กับเหล่าสาวกและไปที่ Tarentum แล้วไปที่ Metapont การมาถึงของชาวพีทาโกรัสที่ Metapont ใกล้เคียงกับการระบาดของการจลาจลที่ได้รับความนิยมที่นั่น ในการปะทะกันในตอนกลางคืน ปีทาโกรัสอายุเกือบเก้าสิบปีเสียชีวิต โรงเรียนของเขาหยุดอยู่ สาวกของพีทาโกรัสซึ่งหนีการกดขี่ข่มเหง ตั้งรกรากอยู่ทั่วกรีซและอาณานิคม เพื่อหารายได้เลี้ยงชีพ พวกเขาจัดโรงเรียนที่พวกเขาสอนหลักเลขคณิตและเรขาคณิต ข้อมูลเกี่ยวกับความสำเร็จของพวกเขามีอยู่ในงานเขียนของนักวิทยาศาสตร์ในภายหลัง - เพลโต, อริสโตเติล ฯลฯ

9 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

บัญญัติและคำพังเพยของความคิดของพีทาโกรัสอยู่เหนือสิ่งอื่นใดระหว่างผู้คนบนโลก อย่านั่งบนวัดเมล็ดพืช (เช่น อย่าอยู่อย่างเกียจคร้าน) เมื่อจากไปอย่าหันหลังกลับ (คือก่อนตายอย่ายึดติดกับชีวิต) อย่าไปตามถนนที่พลุกพล่าน (นั่นคือไม่ปฏิบัติตามความคิดเห็นของฝูงชน แต่ให้เป็นไปตามความคิดเห็นของคนไม่กี่คนที่เข้าใจ) อย่าให้นกนางแอ่นอยู่ในบ้าน (เช่น ห้ามรับแขกที่พูดจาไม่สุภาพและไม่ควบคุมภาษา) อยู่กับคนที่รับภาระอย่าอยู่กับคนที่ทิ้งภาระ (นั่นคือสนับสนุนให้คนไม่เกียจคร้าน แต่ให้ทำงานด้วยคุณธรรม) ในสนามแห่งชีวิต เหมือนผู้หว่าน เดินด้วยก้าวที่สม่ำเสมอและมั่นคง ปิตุภูมิที่แท้จริงคือที่ที่มีศีลธรรมอันดี อย่าเป็นสมาชิกของสังคมแห่งการเรียนรู้ คนที่ฉลาดที่สุด สร้างสังคม กลายเป็นสามัญชน บูชาเลข น้ำหนัก และตวง เป็นบุตรแห่งความเท่าเทียมกันอย่างสง่างาม วัดความต้องการของคุณ ชั่งน้ำหนักความคิดของคุณ นับคำพูดของคุณ ไม่ต้องแปลกใจเลย ความประหลาดใจทำให้เกิดพระเจ้า

10 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

คำชี้แจงของทฤษฎีบท ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา

11 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

หลักฐานของทฤษฎีบท ในขณะนี้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก แน่นอนว่าทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดของพวกเขา: พิสูจน์โดยวิธีพื้นที่, พิสูจน์จริงและแปลกใหม่

12 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ให้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c ลองพิสูจน์ว่า c² = a² + b² ต่อสามเหลี่ยมให้เป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีด้าน a + b กัน พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้คือ (a + b)² ในทางกลับกัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากันสี่รูป แต่ละ S มีค่าเท่ากับ ½ a b และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² ดังนั้น (a + b)² = 2 a b + c² ดังนั้น c² = a² + b² c c c c c a b

13 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีความน่าสนใจ แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะเกี่ยวข้องกับชื่อของพีทาโกรัส แต่ก็เป็นที่รู้จักมานานก่อนหน้าเขา ในตำราของชาวบาบิโลน ทฤษฎีบทนี้เกิดขึ้น 1200 ปีก่อนพีทาโกรัส เป็นไปได้ว่าในเวลานั้นพวกเขายังไม่ทราบหลักฐาน และความสัมพันธ์ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขานั้นถูกสร้างขึ้นโดยสังเกตจากการวัด เห็นได้ชัดว่าพีทาโกรัสพบข้อพิสูจน์ของความสัมพันธ์นี้ มีการเก็บรักษาตำนานโบราณไว้ว่าเพื่อเป็นเกียรติแก่การค้นพบของเขา พีทาโกรัสได้ถวายวัวกระทิงแด่พระเจ้า และตามคำให้การอื่นๆ แม้แต่วัวร้อยตัวก็ตาม ตลอดหลายศตวรรษต่อมา มีการพบข้อพิสูจน์อื่นๆ มากมายเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ปัจจุบันมีมากกว่าร้อยแบบ แต่ทฤษฎีบทที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือการสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนด

14 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ทฤษฎีบทในประเทศจีนโบราณ "ถ้ามุมฉากถูกย่อยสลายเป็นส่วน ๆ แล้วเส้นที่เชื่อมปลายด้านข้างจะเป็น 5 เมื่อฐานเป็น 3 และสูงเป็น 4"

15 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ทฤษฎีบทใน อียิปต์โบราณคันทอร์ (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3 ² + 4 ² = 5² เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์เมื่อประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในช่วงเวลาของ King Amenemhat (ตามปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำบอกเล่าของต้นเสียง ฮาร์พีดอนแนปต์หรือ "สตริงเนอร์" สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5

16 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

เกี่ยวกับทฤษฎีบทในบาบิโลเนีย “ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกคนแรก เช่น เทลส์ พีธากอรัส และพีทาโกรัส ไม่ใช่การค้นพบคณิตศาสตร์ แต่เป็นการจัดระบบและการพิสูจน์ ในมือของพวกเขา สูตรการคำนวณตามแนวคิดที่คลุมเครือได้กลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน

17 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ทำไม "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง"? เป็นเวลาสองพันปีแล้ว หลักฐานที่พบบ่อยที่สุดของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือหลักฐานของยุคลิด มันถูกวางไว้ในหนังสือ "จุดเริ่มต้น" ที่มีชื่อเสียงของเขา ยูคลิดลดความสูง CH จากจุดยอดของมุมฉากเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และพิสูจน์ว่าความต่อเนื่องของมันแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ทำเสร็จแล้วบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม พื้นที่นั้นเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เกี่ยวข้องกันที่สร้างบนขา ภาพวาดที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เรียกติดตลกว่า "กางเกงพีทาโกรัส" เป็นเวลานานเขาถือว่าเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์

18 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

ทัศนคติของเด็กในสมัยโบราณต่อการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้รับการพิจารณาโดยนักเรียนในยุคกลางว่าเป็นเรื่องยากมาก นักเรียนอ่อนแอที่จำทฤษฎีบทด้วยหัวใจโดยไม่เข้าใจจึงเรียกว่า "ลา" ไม่สามารถเอาชนะทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งทำหน้าที่เหมือนสะพานที่ผ่านไม่ได้ เนื่องจากภาพวาดที่มาพร้อมกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส นักเรียนจึงเรียกมันว่า "กังหันลม" ซึ่งแต่งบทกวีเช่น "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน" และวาดภาพล้อเลียน

19 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

การพิสูจน์ทฤษฎีบท การพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีบทได้มาจากกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว อันที่จริง แค่ดูการปูกระเบื้องของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว เพื่อดูว่าทฤษฎีบทเป็นจริง ตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยม ABC: สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC มีสามเหลี่ยมตั้งต้น 4 รูป และสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาประกอบด้วยสองรูป

20 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

"เก้าอี้เจ้าสาว" ในรูป สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาจะวางเรียงกันเป็นขั้นเป็นตอน ตัวเลขนี้ซึ่งเกิดขึ้นในหลักฐานย้อนหลังไม่เกินศตวรรษที่ 9 ซีอี e. ชาวฮินดูเรียกว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว"

21 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

การประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันโดยทั่วไปว่าความสำเร็จของการพัฒนาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีหลายๆ ด้านขึ้นอยู่กับการพัฒนาสาขาวิชาคณิตศาสตร์ในด้านต่างๆ เงื่อนไขที่สำคัญในการเพิ่มประสิทธิภาพการผลิตคือการนำวิธีการทางคณิตศาสตร์มาใช้อย่างกว้างขวางในเทคโนโลยีและเศรษฐกิจของประเทศ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างวิธีการวิจัยเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณรูปแบบใหม่ที่มีประสิทธิภาพซึ่งช่วยแก้ปัญหาที่นำมาปฏิบัติได้

22 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในการก่อสร้าง ในอาคารสไตล์โกธิกและโรมาเนสก์ ส่วนบนของหน้าต่างจะถูกแบ่งด้วยซี่โครงหิน ซึ่งไม่เพียงแต่มีบทบาทในการประดับประดาเท่านั้น แต่ยังมีส่วนทำให้หน้าต่างแข็งแรงอีกด้วย

23 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

24 สไลด์

คำอธิบายของสไลด์:

งานประวัติศาสตร์ ในการซ่อมเสา คุณต้องติดตั้งสายเคเบิล 4 เส้น ควรยึดปลายด้านหนึ่งของสายเคเบิลแต่ละเส้นไว้ที่ความสูง 12 ม. ปลายอีกด้านหนึ่งอยู่ห่างจากเสา 5 ม. เชือกยาว 50 ม. พอจะยึดเสาได้หรือไม่?

ศักยภาพของความคิดสร้างสรรค์มักจะมาจากมนุษยศาสตร์ เหลือไว้แต่การวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์ตามธรรมชาติ แนวทางปฏิบัติ และภาษาที่ใช้อธิบายสูตรและตัวเลข คณิตศาสตร์ไม่สามารถจัดเป็นวิชามนุษยศาสตร์ได้ แต่หากไม่มีความคิดสร้างสรรค์ใน "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" คุณจะไม่ไปไกล - ผู้คนรู้จักเรื่องนี้มาเป็นเวลานาน ตั้งแต่สมัยพีทาโกรัสเป็นต้น.

น่าเสียดายที่หนังสือเรียนในโรงเรียนมักไม่ได้อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์ ไม่เพียงแต่จะยัดเยียดทฤษฎีบท สัจพจน์ และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและรู้สึกถึงหลักการพื้นฐานของมัน และในขณะเดียวกัน พยายามปลดปล่อยความคิดของคุณจากความคิดที่ซ้ำซากจำเจและความจริงเบื้องต้น - มีเพียงในเงื่อนไขดังกล่าวเท่านั้นที่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ทั้งหมดถือกำเนิดขึ้น

การค้นพบดังกล่าวรวมถึงสิ่งที่เรารู้จักในชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัสในปัจจุบัน ด้วยความช่วยเหลือ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงทำได้ แต่ควรสนุกด้วย และการผจญภัยครั้งนี้ไม่เพียงแค่เหมาะสำหรับเด็กเนิร์ดแว่นหนาเท่านั้น แต่สำหรับทุกคนที่มีจิตใจเข้มแข็งและมีจิตวิญญาณที่เข้มแข็ง

จากประวัติของปัญหา

พูดอย่างเคร่งครัดแม้ว่าทฤษฎีบทจะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้ค้นพบมัน สามเหลี่ยมมุมฉากและคุณสมบัติพิเศษได้รับการศึกษามาก่อนแล้ว มีมุมมองสองขั้วในประเด็นนี้ ตามเวอร์ชั่นหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่พบหลักฐานที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบท หลักฐานอื่นไม่ได้เป็นของผลงานของพีทาโกรัส

วันนี้คุณไม่สามารถตรวจสอบได้อีกต่อไปว่าใครถูกและใครผิด เป็นที่ทราบกันเพียงว่าหลักฐานของพีทาโกรัสหากมีอยู่จริงก็ไม่รอด อย่างไรก็ตาม มีข้อเสนอแนะว่าข้อพิสูจน์ที่มีชื่อเสียงจากองค์ประกอบของยุคลิดอาจเป็นของพีทาโกรัส และยุคลิดได้บันทึกไว้เท่านั้น

ทุกวันนี้ยังทราบกันว่าปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีอยู่ในแหล่งอียิปต์ตั้งแต่สมัยฟาโรห์อาเมเนมเฮตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนตั้งแต่รัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบีในบทความอินเดียโบราณ Sulva Sutra และงานจีนโบราณ Zhou -บีสวนจิน.

อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ครอบงำจิตใจของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ หลักฐานต่าง ๆ ประมาณ 367 ชิ้นที่มีอยู่ในปัจจุบันใช้เป็นหลักฐานยืนยัน ไม่มีทฤษฎีบทอื่นใดที่สามารถแข่งขันกับมันได้ในแง่นี้ ผู้เขียนหลักฐานที่โดดเด่น ได้แก่ Leonardo da Vinci และ James Garfield ประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา ทั้งหมดนี้พูดถึงความสำคัญอย่างยิ่งของทฤษฎีบทนี้สำหรับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทส่วนใหญ่ของเรขาคณิตได้มาจากทฤษฎีนี้หรือเชื่อมโยงกับมันไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตำราเรียนส่วนใหญ่ให้การพิสูจน์พีชคณิต แต่สาระสำคัญของทฤษฎีบทอยู่ในเรขาคณิต ดังนั้นก่อนอื่น ให้พิจารณาการพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้

หลักฐาน 1

ให้มากที่สุด หลักฐานง่ายๆทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องกำหนดเงื่อนไขในอุดมคติ: ให้สามเหลี่ยมไม่เพียงแต่เป็นมุมฉากเท่านั้น แต่ยังต้องมีหน้าจั่วด้วย มีเหตุผลที่จะเชื่อว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่นักคณิตศาสตร์โบราณพิจารณา

คำแถลง "สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาของมัน"สามารถแสดงด้วยภาพวาดต่อไปนี้:

ดูที่สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ABC: บนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่รูปที่เท่ากับ ABC ดั้งเดิม และบนขา AB และ BC ที่สร้างขึ้นบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ละอันมีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสองรูป

อย่างไรก็ตาม ภาพวาดนี้เป็นพื้นฐานของเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยและการ์ตูนมากมายที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส บางทีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทุกทาง":

หลักฐาน2

วิธีนี้ผสมผสานพีชคณิตและเรขาคณิต และสามารถมองได้ว่าเป็นข้อพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ Bhaskari ของอินเดียโบราณ

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน a, b และ c(รูปที่ 1). จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมสองช่องที่มีด้านเท่ากับผลรวมของความยาวของขาทั้งสองข้าง - (a+ข). ในแต่ละช่องสี่เหลี่ยม ให้สร้างสิ่งปลูกสร้างดังในรูปที่ 2 และ 3

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ให้สร้างสี่รูปสามเหลี่ยมเดียวกันดังในรูปที่ 1 เป็นผลให้ได้สี่เหลี่ยมสองอัน: อันหนึ่งมีด้าน a อันที่สองมีด้าน ข.

ในจตุรัสที่สอง สามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่รูปสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เราสร้างด้วยด้าน c ในรูปที่ 3 สามารถตรวจสอบได้โดยง่ายโดยการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมในรูปที่ 2 ตามสูตร และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในรูปที่ 3 โดยการลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากันสี่รูปที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากพื้นที่สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ที่มีด้าน (a+ข).

วางทั้งหมดนี้ลง เรามี: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. ขยายวงเล็บ ทำการคำนวณเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นทั้งหมดแล้วรับสิ่งนั้น a 2 + b 2 = a 2 + b 2. พร้อมกันนั้นพื้นที่ที่จารึกไว้ในรูปที่ 3 สามารถคำนวณกำลังสองโดยใช้สูตรดั้งเดิม S=c2. เหล่านั้น. a2+b2=c2คุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว

หลักฐาน 3

การพิสูจน์แบบอินเดียโบราณแบบเดียวกันนี้อธิบายไว้ในศตวรรษที่ 12 ในบทความเรื่อง “มงกุฎแห่งความรู้” (“สิทธันตา ชิโรมานี”) และในฐานะที่เป็นข้อโต้แย้งหลัก ผู้เขียนใช้คำอุทธรณ์ที่กล่าวถึงความสามารถทางคณิตศาสตร์และอำนาจในการสังเกตของนักเรียนและ ผู้ติดตาม: “ดูสิ!”.

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น:

ภายในสี่เหลี่ยม ให้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปตามที่ระบุในภาพวาด ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ ซึ่งก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากเช่นกัน กับ. เรียกขาของสามเหลี่ยม เอและ ข. ตามภาพวาด ด้านของจตุรัสชั้นในคือ (a-b).

ใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส S=c2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอก และในขณะเดียวกันก็คำนวณค่าเดียวกันโดยบวกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อัน: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

คุณสามารถใช้ทั้งสองตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อให้แน่ใจว่าจะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน และนั่นให้สิทธิ์คุณเขียนลงไปว่า c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา คุณจะได้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2=a2+b2. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ 4

หลักฐานจีนโบราณที่น่าสงสัยนี้เรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" - เนื่องจากรูปร่างที่เหมือนเก้าอี้ซึ่งเป็นผลมาจากโครงสร้างทั้งหมด:

มันใช้ภาพวาดที่เราได้เห็นแล้วในรูปที่ 3 ในการพิสูจน์ที่สอง และจตุรัสด้านในที่มีด้าน c ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับในหลักฐานอินเดียโบราณที่ให้ไว้ข้างต้น

หากคุณตัดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวสองรูปออกจากรูปที่ 1 ให้โอนไปยังด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยด้าน c แล้วแนบด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมสีม่วง คุณจะได้รูปที่เรียกว่า “เจ้าสาว” เก้าอี้” (รูปที่ 2). เพื่อความชัดเจน คุณสามารถทำเช่นเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม คุณจะเห็นว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" ประกอบขึ้นจากสี่เหลี่ยมสองอัน: อันเล็กที่มีด้าน ขและใหญ่ด้วยด้าน เอ.

สิ่งก่อสร้างเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวจีนโบราณและเราติดตามมาสรุปได้ว่า c2=a2+b2.

พิสูจน์ 5

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาคำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามเรขาคณิต เรียกว่าวิธีการ์ฟิลด์

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC. เราต้องพิสูจน์ว่า BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

การทำเช่นนี้ต่อขา ACและสร้างกลุ่ม ซีดีซึ่งเท่ากับขา AB. ตั้งฉากล่าง ADส่วนของเส้น ED. กลุ่ม EDและ ACมีค่าเท่ากัน เชื่อมต่อจุด อีและ ที่, เช่นเดียวกับ อีและ กับและรับภาพวาดตามภาพด้านล่าง:

ในการพิสูจน์หอคอย เราใช้วิธีที่เราได้ทดสอบไปแล้วอีกครั้ง: เราพบพื้นที่ของตัวเลขผลลัพธ์ในสองวิธีและจัดนิพจน์ให้เท่ากัน

หาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม เตียงสามารถทำได้โดยการเพิ่มพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสามที่สร้างมันขึ้นมา และหนึ่งในนั้น ERU, ไม่ได้เป็นเพียงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ยังมีหน้าจั่วด้วย อย่าลืมว่า AB=CD, AC=EDและ BC=CE- สิ่งนี้จะช่วยให้เราลดความซับซ้อนของการบันทึกและไม่โอเวอร์โหลด ดังนั้น, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ในขณะเดียวกันก็เห็นได้ชัดว่า เตียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร: SABED=(DE+AB)*1/2AD. สำหรับการคำนวณของเรา จะสะดวกและชัดเจนกว่าในการแสดงกลุ่ม ADเป็นผลรวมของเซ็กเมนต์ ACและ ซีดี.

ลองเขียนทั้งสองวิธีในการคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างกัน: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). เราใช้ความเท่าเทียมกันของเซ็กเมนต์ที่เรารู้จักแล้วและได้อธิบายไว้ข้างต้นเพื่อทำให้ด้านขวาของสัญกรณ์ง่ายขึ้น: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. และตอนนี้เราเปิดวงเล็บและเปลี่ยนความเท่าเทียมกัน: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. หลังจากแปลงร่างเสร็จแล้ว เราก็ได้สิ่งที่ต้องการอย่างแท้จริง: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังไม่สมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ ตัวเลขเชิงซ้อน สมการอนุพันธ์ สเตอริโอเมทรี ฯลฯ และแม้แต่นักฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น ถ้าของเหลวถูกเทลงในปริมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมที่ใกล้เคียงกับที่แสดงในรูปวาด การเทของเหลวสามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของพื้นที่และทฤษฎีบทได้เอง

คำสองสามคำเกี่ยวกับแฝดสามพีทาโกรัส

ประเด็นนี้มีน้อยหรือไม่มีการศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียน ในขณะเดียวกันก็น่าสนใจมากและมี สำคัญมากในเรขาคณิต พีทาโกรัสทริเปิลส์ใช้เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมาย แนวคิดนี้สามารถเป็นประโยชน์กับคุณในการศึกษาต่อ

แล้วแฝดแฝดพีทาโกรัสคืออะไร? เรียกว่าจำนวนธรรมชาติ รวมกันเป็นสาม ผลรวมของกำลังสองของสองตัวนั้น เท่ากับจำนวนที่สามยกกำลังสอง

ทริปเปิ้ลพีทาโกรัสสามารถเป็น:

• ดั้งเดิม (ตัวเลขทั้งสามนั้นค่อนข้างเฉพาะ);
• non-primitive (ถ้าแต่ละเลขของ triple คูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้ triple ใหม่ที่ไม่ใช่ primitive)

ก่อนยุคของเรา ชาวอียิปต์โบราณรู้สึกทึ่งกับจำนวนแฝดพีทาโกรัส ในงานพวกเขาพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3.4 และ 5 หน่วย อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านเท่ากับตัวเลขจากสามพีทาโกรัสจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยปริยาย

ตัวอย่างของพีทาโกรัสสามเท่า: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) เป็นต้น

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่เพียงแต่พบการประยุกต์ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง ดาราศาสตร์ และแม้แต่วรรณกรรมด้วย

ประการแรกเกี่ยวกับการก่อสร้าง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาระดับความซับซ้อนต่างกัน ตัวอย่างเช่น ดูที่หน้าต่างโรมาเนสก์:

กำหนดความกว้างของหน้าต่างเป็น ขจากนั้นรัศมีของครึ่งวงกลมใหญ่สามารถแสดงเป็น Rและแสดงออกผ่าน ข: R=b/2. รัศมีของครึ่งวงกลมเล็กยังสามารถแสดงในรูปของ ข: r=b/4. ในปัญหานี้ เราสนใจรัศมีของวงในของหน้าต่าง (เรียกมันว่า พี).

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์ในการคำนวณ R. ในการทำเช่นนี้ เราใช้สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งระบุด้วยเส้นประในภาพ ด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยรัศมีสองอัน: b/4+p. ขาข้างหนึ่งเป็นรัศมี ข/4, อื่น b/2-p. โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราเขียนว่า (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. ต่อไปเราเปิดวงเล็บและรับ b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. ลองแปลงนิพจน์นี้เป็น bp/2=b 2 /4-bp. จากนั้นเราแบ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็น ขเราให้สิ่งที่คล้ายกันเพื่อรับ 3/2*p=b/4. และในที่สุดเราก็พบว่า p=b/6- ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทเพื่อคำนวณความยาวของจันทันสำหรับหลังคาจั่ว กำหนดว่าต้องใช้เสาเคลื่อนที่สูงแค่ไหนเพื่อให้สัญญาณถึงการตั้งถิ่นฐาน และติดตั้งต้นคริสต์มาสอย่างสม่ำเสมอในจัตุรัสกลางเมือง อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้อยู่แค่ในหน้าหนังสือเรียนเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในชีวิตจริงอีกด้วย

เท่าที่วรรณกรรมมีความเกี่ยวข้อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักเขียนตั้งแต่สมัยโบราณและยังคงทำเช่นนั้นในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่สิบเก้าได้รับแรงบันดาลใจจากเธอให้เขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่จางหายไปในไม่ช้า
แต่ฉายแสงแล้วไม่น่าจะกระจาย
และเช่นเดียวกับเมื่อหลายพันปีก่อน
จะไม่ก่อให้เกิดความสงสัยและข้อโต้แย้ง

ฉลาดที่สุดเมื่อสัมผัสถูกตา
แสงแห่งความจริง ขอบคุณพระเจ้า
และวัวร้อยตัวถูกแทงโกหก -
ของกำนัลคืนจากพีทาโกรัสผู้โชคดี

ตั้งแต่นั้นมา วัวก็คำรามอย่างสิ้นหวัง:
ปลุกเร้าเผ่ากระทิงตลอดไป
เหตุการณ์ที่กล่าวถึงในที่นี้

พวกเขาคิดว่ามันถึงเวลาแล้ว
และพวกเขาจะเสียสละอีกครั้ง
ทฤษฎีบทที่ดีบางอย่าง

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 นักเขียนชาวโซเวียต Yevgeny Veltistov ในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ของเขาได้อุทิศทั้งบทเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และครึ่งบทของเรื่องราวเกี่ยวกับโลกสองมิติที่อาจเกิดขึ้นได้หากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและแม้แต่ศาสนาสำหรับโลกเดียว มันจะง่ายกว่ามากที่จะอยู่ในนั้น แต่ก็น่าเบื่อกว่ามาก: ตัวอย่างเช่นไม่มีใครเข้าใจความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ “The Adventures of Electronics” ผู้เขียนบอกผ่านปากของครูคณิตศาสตร์ ธาราทาราว่า “สิ่งสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์คือการเคลื่อนไหวของความคิด ความคิดใหม่ๆ” ความคิดที่สร้างสรรค์นี้ทำให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ได้มีหลักฐานที่หลากหลายมากมายนัก ช่วยให้ก้าวไปไกลกว่าปกติ และมองสิ่งคุ้นเคยในรูปแบบใหม่

บทสรุป

บทความนี้จัดทำขึ้นเพื่อให้คุณสามารถมองข้ามหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์และเรียนรู้ไม่เพียงแค่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ให้ไว้ในหนังสือเรียน "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) และ "Geometry 7 -11" (A.V. Pogorelov) แต่ยังมีวิธีที่น่าสนใจอื่น ๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และดูตัวอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถนำมาใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างไร

ประการแรก ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณสามารถเรียกร้องคะแนนที่สูงขึ้นในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ - ข้อมูลในวิชานี้จากแหล่งอื่น ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างสูงเสมอ

ประการที่สอง เราต้องการช่วยให้คุณเข้าใจถึงความน่าสนใจของคณิตศาสตร์ เพื่อให้มั่นใจโดยตัวอย่างเฉพาะว่ามีที่สำหรับสร้างสรรค์อยู่เสมอ เราหวังว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้คุณค้นคว้าและค้นพบที่น่าตื่นเต้นในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ ด้วยตนเอง

บอกเราในความคิดเห็นหากคุณพบหลักฐานที่นำเสนอในบทความที่น่าสนใจ คุณพบว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์ในการศึกษาของคุณหรือไม่? แจ้งให้เราทราบว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ - เรายินดีที่จะหารือเกี่ยวกับเรื่องนี้กับคุณ

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา