เพื่อหาขาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? พื้นฐานของเรขาคณิต

ใช้เครื่องคิดเลข สกัด รากที่สองจากผลต่างของด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสองและส่วนขาที่ทราบแล้ว ก็กำลังสองเช่นกัน ขาเรียกว่าด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ติดกับมุมฉาก นิพจน์นี้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งระบุว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

ก่อนที่เราจะดูวิธีต่างๆ ในการหาขาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองมาสังเกตกันก่อน ตรวจสอบว่ากรณีใดในรายการที่สอดคล้องกับสภาพปัญหาของคุณและให้ทำตามย่อหน้าที่เกี่ยวข้อง ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับกรณีนี้ ค้นหาปริมาณในรูปสามเหลี่ยมภายใต้การพิจารณาที่คุณรู้จัก ใช้นิพจน์ต่อไปนี้เพื่อคำนวณขา: a=sqrt(c^2-b^2) หากคุณทราบค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากและขาอีกข้างหนึ่ง

ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้จะกล่าวถึงโดยละเอียดในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ของตรีโกณมิติ ในการใช้สมการนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ความยาวของสองด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำนวณความยาวของขาข้างหนึ่ง ถ้าทราบขนาดของด้านตรงข้ามมุมฉากและอีกข้างหนึ่ง ถ้าโจทย์กำหนดด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประชิดอันใดอันหนึ่ง มุมแหลม, ใช้ตาราง Bradys

สามเหลี่ยมด้านในจะคล้ายกับด้านนอก เนื่องจากเส้นมัธยฐานขนานกับขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก และเท่ากับครึ่งหนึ่งตามลำดับ เนื่องจากไม่ทราบด้านตรงข้ามมุมฉาก หากต้องการหาเส้นกึ่งกลาง M_c คุณต้องแทนที่รากที่สองจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก มันอยู่ตรงข้ามมุมฉาก ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากสามารถพบได้หลายวิธี หากทราบความยาวของขาทั้งสองข้าง ขนาดของมันจะคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของกำลังสองของขาทั้งสองข้างจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อรู้ว่าผลรวมของมุมทั้งหมดเท่ากับ 180 ° เราลบมุมฉากกับมุมที่ทราบแล้ว

เมื่อคำนวณพารามิเตอร์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับค่าที่ทราบและแก้ปัญหาโดยใช้สูตรที่ง่ายที่สุด ก่อนอื่น ให้จำไว้ว่าสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร สามเหลี่ยมมุมฉากคือ รูปทรงเรขาคณิตของสามส่วนที่เชื่อมจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมุมหนึ่งของรูปนี้คือ 90 องศา มีหลายวิธีในการค้นหาความยาวของขา

สูตร: c²=a²+b² โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b คือขา

ถ้าเรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากกับขา เราก็สามารถหาความยาวของขาที่ไม่รู้จักได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดูเหมือนว่า: "กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา" มีสี่ตัวเลือกในการค้นหาขาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: โดยไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ ไซน์ของมุม (sin) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: sin \u003d a / c โดยที่ a คือขาตรงข้ามมุมที่กำหนดและ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

คุณสมบัติที่ผิดปกติของสามเหลี่ยมมุมฉากถูกค้นพบโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Pythagoras ซึ่งค้นพบว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมดังกล่าวเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

ระดับความสูงคือเส้นตั้งฉากจากจุดยอดใดๆ ของสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้าม (หรือส่วนต่อขยาย สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมป้าน) ความสูงของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าออร์โธเซ็นเตอร์ หากเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามอำเภอใจ แสดงว่ามีข้อมูลไม่เพียงพอ

นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ที่จะทราบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมทั่วไปส่วนใหญ่ 30, 45, 60, 90, 180 องศา ถ้าเงื่อนไขกำหนดขนาดของขา ให้หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ในชีวิตเรามักจะต้องจัดการกับปัญหาคณิตศาสตร์ ที่โรงเรียน ที่มหาวิทยาลัย แล้วช่วยลูกด้วย การบ้าน.

ต่อไป เราแปลงสูตรและรับ: a=sin*c

ในการแก้ปัญหา ตารางด้านล่างนี้จะช่วยเราได้ ลองพิจารณาตัวเลือกเหล่านี้ กรณีพิเศษที่น่าสนใจคือเมื่อมุมแหลมมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับ 30 องศา

ผู้คนในวิชาชีพบางอาชีพจะพบกับวิชาคณิตศาสตร์ทุกวัน

นอกจากนี้ยังสามารถหาขาที่ไม่รู้จักได้หากรู้ด้านอื่นและมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก หาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นอกจากนี้ยังสามารถหาด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากได้โดยใช้สูตรต่างๆ ขึ้นอยู่กับจำนวนตัวแปรที่ทราบ

ในชีวิตเรามักจะต้องเผชิญกับปัญหาคณิตศาสตร์ ที่โรงเรียน ที่มหาวิทยาลัย แล้วช่วยลูกทำการบ้าน ผู้คนในวิชาชีพบางอาชีพจะพบกับวิชาคณิตศาสตร์ทุกวัน ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการจดจำหรือจำกฎทางคณิตศาสตร์ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์หนึ่งในนั้น: การหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร

ก่อนอื่น ให้จำไว้ว่าสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปเรขาคณิตของสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมุมหนึ่งของรูปนี้คือ 90 องศา ด้านที่เป็นมุมฉากเรียกว่าขา และด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

การหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

มีหลายวิธีในการค้นหาความยาวของขา ฉันต้องการพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากกับขา เราก็สามารถหาความยาวของขาที่ไม่รู้จักได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดูเหมือนว่า: "กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา" สูตร: c²=a²+b² โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b คือขา เราแปลงสูตรและรับ: a²=c²-b²

ตัวอย่าง. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5 ซม. และขาคือ 3 ซม. เราแปลงสูตร: c²=a²+b² → a²=c²-b² ต่อไป เราตัดสินใจ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; ก=√16; ก=4 (ซม.)

ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติเพื่อหาขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นอกจากนี้ยังสามารถหาขาที่ไม่รู้จักได้หากรู้ด้านอื่นและมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีสี่ตัวเลือกในการค้นหาขาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: โดยไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ในการแก้ปัญหา ตารางด้านล่างนี้จะช่วยเราได้ ลองพิจารณาตัวเลือกเหล่านี้

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ไซน์

ไซน์ของมุม (sin) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: sin \u003d a / c โดยที่ a คือขาตรงข้ามมุมที่กำหนด และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อไป เราแปลงสูตรและรับ: a=sin*c

ตัวอย่าง. ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. และมุม A คือ 30 องศา จากตาราง เราคำนวณไซน์ของมุม A เท่ากับ 1/2 จากนั้น ใช้สูตรที่แปลงแล้ว เราแก้สมการ: a=sin∠A*c; ก=1/2*10; ก=5 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้โคไซน์

โคไซน์ของมุม (cos) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก สูตร: cos \u003d b / c โดยที่ b คือขาที่อยู่ติดกับมุมที่กำหนดและ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ลองแปลงสูตรและรับ: b=cos*c

ตัวอย่าง. มุม A คือ 60 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. จากตาราง เราคำนวณโคไซน์ของมุม A เท่ากับ 1/2 ต่อไป เราแก้: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้แทนเจนต์

แทนเจนต์ของมุม (tg) คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน สูตร: tg \u003d a / b โดยที่ a คือขาตรงข้ามกับมุม และ b อยู่ติดกัน ลองแปลงสูตรและรับ: a=tg*b

ตัวอย่าง. มุม A คือ 45 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 10 ซม. จากตาราง เราคำนวณแทนเจนต์ของมุม A ซึ่งเท่ากับ Solve: a=tg∠A*b; ก=1*10; ก=10 (ซม.)

หาขาของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้โคแทนเจนต์

โคแทนเจนต์ของมุม (ctg) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม สูตร: ctg \u003d b / a โดยที่ b คือขาที่อยู่ติดกับมุมและอยู่ตรงข้าม กล่าวอีกนัยหนึ่ง โคแทนเจนต์คือ "แทนเจนต์กลับหัว" เราได้รับ: b=ctg*a.

ตัวอย่าง. มุม A คือ 30 องศา ขาตรงข้ามคือ 5 ซม. ตามตาราง แทนเจนต์ของมุม A คือ √3 คำนวณ: b=ctg∠A*a; ข=√3*5; b=5√3 (ซม.)

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาขาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว อย่างที่คุณเห็นมันไม่ยากเลย สิ่งสำคัญคือการจำสูตร

สามเหลี่ยมมุมฉากมีการพึ่งพาจำนวนมาก ทำให้เป็นวัตถุที่น่าสนใจสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตประเภทต่างๆ ปัญหาที่พบบ่อยที่สุดประการหนึ่งคือการหาด้านตรงข้ามมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก กล่าวคือ มุม 90 องศา ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้นที่สามารถแสดงออกได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านมิติด้านข้าง ในรูปสามเหลี่ยมโดยพลการจะต้องสร้างเพิ่มเติม
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงสองในสามส่วนตรงกับด้านข้างเรียกว่าขา ด้านที่สามเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ความสูงที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเพียงส่วนเดียวในสามเหลี่ยมประเภทนี้ที่ต้องการโครงสร้างเพิ่มเติม

ข้าว. 1. ประเภทของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมมุมฉากต้องไม่มีมุมป้าน เช่นเดียวกับการมีอยู่ของมุมฉากที่สองนั้นเป็นไปไม่ได้ ในกรณีนี้ เอกลักษณ์ของผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมซึ่งเท่ากับ 180 องศาเสมอจะถูกละเมิด

ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมโดยตรง ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่ามากกว่าขาใดๆ เสมอ แต่จะน้อยกว่าผลรวมของขาเสมอ นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมไม่เท่ากัน

ทฤษฎีบทบอกว่าในรูปสามเหลี่ยม ไม่มีด้านใดมากกว่าผลบวกของอีกสองด้าน นอกจากนี้ยังมีสูตรที่สองหรือส่วนที่สองของทฤษฎีบท: ในรูปสามเหลี่ยมมุมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่าและในทางกลับกัน

ข้าว. 2. สามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมฉากคือมุมที่ใหญ่ เนื่องจากไม่มีมุมฉากที่สองหรือมุมป้านด้วยเหตุผลที่กล่าวไปแล้ว ซึ่งหมายความว่าด้านที่ยาวที่สุดจะอยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเสมอ

ดูเหมือนเข้าใจยากว่าทำไมสามเหลี่ยมมุมฉากจึงสมควรได้รับชื่อแยกจากกันในแต่ละด้าน อันที่จริง ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ด้านข้างก็มีชื่อของมันเองเช่นกัน: ด้านข้างและฐาน แต่สำหรับขาและด้านตรงข้ามมุมฉากที่ครูชอบใส่ไพ่ยิปซีเป็นพิเศษ ทำไม ในอีกด้านหนึ่ง นี่เป็นการยกย่องความทรงจำของชาวกรีกโบราณ ผู้ประดิษฐ์คณิตศาสตร์ พวกเขาเป็นผู้ศึกษารูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทิ้งชั้นข้อมูลทั้งหมดไว้เพื่อสร้าง วิทยาศาสตร์สมัยใหม่. ในทางกลับกัน การมีอยู่ของชื่อเหล่านี้ทำให้การกำหนดทฤษฎีบทและอัตลักษณ์ตรีโกณมิติง่ายขึ้นอย่างมาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หากครูถามเกี่ยวกับสูตรด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้วยความน่าจะเป็น 90% เขาหมายถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทกล่าวว่า ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

ข้าว. 3. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ให้ความสนใจกับความชัดเจนและรัดกุมของการกำหนดทฤษฎีบท ความเรียบง่ายดังกล่าวไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้แนวคิดของด้านตรงข้ามมุมฉากและขา

ทฤษฎีบทมีสูตรดังต่อไปนี้:

$c^2=b^2+a^2$ – โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b คือขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

เราคุยกันว่าสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร เราได้เรียนรู้ว่าทำไมพวกเขาถึงมากับชื่อของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก เราพบคุณสมบัติบางอย่างของด้านตรงข้ามมุมฉาก และให้สูตรสำหรับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส

แบบทดสอบหัวข้อ

การให้คะแนนบทความ

คะแนนเฉลี่ย: 4.6. คะแนนที่ได้รับทั้งหมด: 213

เมื่อรู้ขาข้างหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณจะพบขาที่สองและด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ความสัมพันธ์เกี่ยวกับตรีโกณมิติ - ไซน์และแทนเจนต์ของมุมที่รู้จัก เนื่องจากอัตราส่วนของขาตรงข้ามมุมกับด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับไซน์ของมุมนี้ ดังนั้น ในการหาด้านตรงข้ามมุมฉาก ขาจะต้องหารด้วยไซน์ของมุม a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

ขาที่สองสามารถพบได้จากแทนเจนต์ของมุมที่รู้จัก เป็นอัตราส่วนของขาที่ทราบต่อแทนเจนต์ a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

ในการคำนวณมุมที่ไม่รู้จักในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องลบมุม α ออกจาก 90 องศา β=90°-α

เส้นรอบวงและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านขาและมุมตรงข้ามกับมันสามารถแสดงได้โดยการแทนที่นิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับขาที่สองและด้านตรงข้ามมุมฉากในสูตร P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 แทน⁡α)

คุณยังสามารถคำนวณความสูงได้โดยใช้ความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติ แต่มีอยู่แล้วในสามเหลี่ยมมุมฉากภายในที่มีด้าน a ซึ่งมันก่อตัวขึ้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องมีด้าน a เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว คูณด้วยไซน์ของมุม β หรือโคไซน์ของ α เนื่องจากตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ พวกมันเท่ากัน (รูปที่ 79.2) h=a cos⁡α

ค่ามัธยฐานของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากหรือขาที่ทราบ a หารด้วยสองไซน์ α ในการหาค่ามัธยฐานของขา เรานำสูตรมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับด้านและมุมที่ทราบ (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 แทน^2⁡ α+1))/(2 แทน⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 บาป^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α บาป^2⁡α))/2=(a√( 3 บาป^2⁡α+แทน^2⁡α))/(2 แทน⁡α บาป⁡α)

เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่งของมุมฉากในสามเหลี่ยมเป็นผลคูณของสองด้านและรากของสอง หารด้วยผลรวมของด้านเหล่านี้ แทนที่ขาข้างหนึ่งด้วยอัตราส่วนของขาที่ทราบต่อแทนเจนต์ เราได้รับดังต่อไปนี้ การแสดงออก. ในทำนองเดียวกัน โดยการแทนที่อัตราส่วนลงในสูตรที่สองและสาม เราสามารถคำนวณเส้นแบ่งครึ่งของมุม α และ β ได้ (fig.79.4) l_с=(a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b) +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c))))/(b+c)=(a/แทน⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c))))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α))))/(a sin⁡α+a)

เส้นกลางขนานไปกับด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม ขณะที่สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันอีกอันที่มีมุมเท่ากัน โดยทุกด้านจะมีขนาดครึ่งหนึ่งของเส้นเดิม จากสิ่งนี้ เส้นตรงกลางสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ โดยรู้เฉพาะส่วนขาและมุมที่อยู่ตรงข้ามกับเส้นนั้น (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 บาป⁡α)

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้นั้นเท่ากับความแตกต่างระหว่างขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก หารด้วยสอง และในการหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ คุณต้องหารด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยสอง เราแทนที่ขาที่สองและด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยอัตราส่วนของขา a ต่อไซน์และแทนเจนต์ตามลำดับ (รูปที่ 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

สามเหลี่ยมแทน เลขเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยสามส่วนที่เชื่อมสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน จุดที่เป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าจุดของมัน และส่วนต่างๆ จะอยู่เคียงข้างกัน

ขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยม (สี่เหลี่ยม ขาวดำ ฯลฯ) คุณสามารถคำนวณด้านข้างของสามเหลี่ยมได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ป้อนและเงื่อนไขของปัญหา

การนำทางอย่างรวดเร็วสำหรับบทความ

ในการคำนวณด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น จะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยให้กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

หากเราติดป้ายขาด้วย "a" และ "b" และด้านตรงข้ามมุมฉากด้วย "c" คุณจะพบหน้าต่างๆ ด้วยสูตรต่อไปนี้:

ถ้าทราบมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก (a และ b) ด้านของสามเหลี่ยมนั้นหาได้จากสูตรต่อไปนี้:

สามเหลี่ยมครอบตัด

สามเหลี่ยมเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งทั้งสองข้างเท่ากัน

วิธีหาด้านตรงข้ามมุมฉากในสองขา

หากตัวอักษร "a" เหมือนกับหน้าเดียวกัน "b" เป็นฐาน "b" คือมุมตรงข้ามฐาน "a" คือมุมที่อยู่ติดกัน สามารถใช้สูตรต่อไปนี้ในการคำนวณหน้า:

สองมุมและด้านข้าง

หากรู้หนึ่งหน้า (c) และสองมุม (a และ b) ของสามเหลี่ยมใดๆ สูตรไซน์จะถูกนำมาใช้ในการคำนวณหน้าที่เหลือ:

คุณต้องหาค่าที่สาม y = 180 - (a + b) เพราะ

ผลรวมของมุมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมคือ 180°;

สองด้านและมุม

หากทราบด้านสองด้านของสามเหลี่ยม (a และ b) และมุมระหว่าง (y) ทั้งสองข้าง ทฤษฎีบทโคไซน์สามารถใช้คำนวณด้านที่สามได้

วิธีการกำหนดเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมสามเหลี่ยมคือรูปสามเหลี่ยม อันหนึ่งเป็น 90 องศา และอีกสองรูปเป็นรูปเฉียบพลัน การคำนวณ ปริมณฑลเช่น สามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับปริมาณข้อมูลที่ทราบเกี่ยวกับมัน

คุณจะต้องการมัน

• ขึ้นอยู่กับโอกาส ทักษะที่ 2 จากทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยม รวมถึงมุมที่แหลมคมด้านใดด้านหนึ่ง

คำแนะนำ

แรกวิธีที่ 1. ถ้ารู้ทั้งสามหน้า สามเหลี่ยม. จากนั้นไม่ว่าจะตั้งฉากหรือไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมปริมณฑลคำนวณเป็น: P = A + B + C ถ้าเป็นไปได้ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก; a และ b คือขา

ที่สองวิธีที่ 2

ถ้าสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีเพียงสองด้าน ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: P = v (a2 + b2) + a + b หรือ P = v (c2 - b2) + b + c

ที่สามวิธีที่ 3 ให้ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น c และมุมแหลม? จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะเป็นไปได้ที่จะหาเส้นรอบวงในลักษณะนี้: P = (1 + บาป?

ที่สี่วิธีที่ 4 พวกเขาบอกว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความยาวของขาข้างหนึ่งเท่ากับ a และในทางกลับกัน มีมุมแหลม แล้วคำนวณ ปริมณฑลนี้ สามเหลี่ยมจะดำเนินการตามสูตร: P = a * (1 / tg?

1 / ลูก? + 1)

ที่ห้าวิธีที่ 5.

สามเหลี่ยมคำนวณออนไลน์

ปล่อยให้ขาของเรานำและรวมไว้ด้วยแล้วช่วงจะถูกคำนวณดังนี้: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

วิดีโอที่คล้ายกัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ใดๆ ระบุความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมจริง ขณะนี้มี 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้

คำแนะนำ

แรกสูตรคลาสสิกของทฤษฎีบทพีทาโกรัสฟังดังนี้: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

ในการหาด้านตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉากของ Catets สองอัน คุณต้องหันไปหาความยาวของขากำลังสอง ประกอบเข้าด้วยกัน แล้วหาสแควร์รูทของผลรวม ในการกำหนดเดิมของคำกล่าวของเขา ตลาดจะขึ้นอยู่กับด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของ 2 สี่เหลี่ยมที่สร้างโดย Catete อย่างไรก็ตาม สูตรพีชคณิตสมัยใหม่ไม่จำเป็นต้องมีการนำเสนอโดเมน

ที่สองตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขายาว 7 ซม. และ 8 ซม.

จากนั้น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ R + S = 49 + 64 = 113 ซม. ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับสแควร์รูทของ 113

มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ผลที่ได้คือจำนวนที่ไม่สมเหตุสมผล

ที่สามถ้าสามเหลี่ยมคือขา 3 กับ 4 แล้วด้านตรงข้ามมุมฉาก = 25 = 5 เมื่อคุณหาสแควร์รูท คุณจะได้ ตัวเลขธรรมชาติ. ตัวเลข 3, 4, 5 ก่อตัวเป็นสามพีกาโกรัส เนื่องจากพวกมันตอบสนองความสัมพันธ์ x? +ใช่? = Z ซึ่งเป็นธรรมชาติ

ตัวอย่างอื่นๆ ของแฝดแฝดพีทาโกรัสคือ 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

ที่สี่ในกรณีนี้ ถ้าขาเท่ากัน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะกลายเป็นสมการดึกดำบรรพ์ ตัวอย่างเช่น ให้มือนั้นเท่ากับจำนวน A และด้านตรงข้ามมุมฉากถูกกำหนดสำหรับ C แล้วตามด้วย c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. ในกรณีนี้ คุณไม่ต้องการ A

ที่ห้าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นกรณีพิเศษ ซึ่งมากกว่าทฤษฎีบทโคไซน์ทั่วไป ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมสำหรับมุมใดๆ ระหว่างสองด้าน

เคล็ดลับ 2: วิธีการกำหนดด้านตรงข้ามมุมฉากของขาและมุม

ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ตรงข้ามมุม 90 องศา

คำแนะนำ

แรกในกรณีของสายสวนที่รู้จักกันดี เช่นเดียวกับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก ขนาดด้านตรงข้ามมุมฉากสามารถเท่ากับอัตราส่วนของขาต่อโคไซน์ / ไซน์ของมุมนี้ หากมุมอยู่ตรงข้าม / e รวม: H = C1 (หรือ C2) / บาป, H = C1 (หรือ C2 ?) / cos ? ตัวอย่าง: ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมไม่ปกติที่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก AB และมุมฉาก C

ให้ B เป็น 60 องศา และ A 30 องศา ความยาวของก้าน BC คือ 8 ซม. ควรหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้วิธีใดวิธีหนึ่งข้างต้น: AB = BC / cos60 = 8 cm. AB = BC / sin30 = 8 cm.

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม. ตั้งอยู่ที่มุมฉาก วิธีการหาด้านตรงข้ามมุมฉากของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับแหล่งข้อมูล

คำแนะนำ

แรกถ้าขาของคุณตั้งฉาก สามเหลี่ยมแล้วความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมสามารถพบได้โดยอะนาล็อกพีทาโกรัส - กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา: c2 = a2 + b2 โดยที่ a และ b คือความยาวของขาขวา สามเหลี่ยม .

ที่สองหากรู้และขาข้างหนึ่งอยู่ในมุมแหลม สูตรการหาด้านตรงข้ามมุมฉากจะขึ้นอยู่กับการมีอยู่หรือขาดหายไปในมุมหนึ่งเทียบกับขาที่ทราบ - ที่อยู่ติดกัน (ขาอยู่ใกล้) หรือรอง ในทางกลับกัน (กรณีตรงข้ามตั้งอยู่ nego.V ของมุมที่กำหนดเท่ากับเศษส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากของขาในมุมโคไซน์: a = a / cos; E ในทางกลับกัน ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของมุมไซน์: ดา = a / บาป

วิดีโอที่คล้ายกัน

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเชื่อมต่อกันเป็น 3:4:5 เรียกว่าสามเหลี่ยมปากแม่น้ำอียิปต์ เนื่องจากสถาปนิกของอียิปต์โบราณใช้ตัวเลขเหล่านี้กันอย่างแพร่หลาย

นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของสามเหลี่ยม Jeron ด้วยหน้าและพื้นที่แสดงเป็นจำนวนเต็ม

สามเหลี่ยมเรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีมุมเป็น 90° ด้านตรงข้ามมุมขวาเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกด้านหนึ่งเรียกว่าขา

หากคุณต้องการค้นหาว่าสามเหลี่ยมมุมฉากเกิดขึ้นได้อย่างไรจากคุณสมบัติบางอย่างของสามเหลี่ยมมุมฉาก กล่าวคือ ผลรวมของมุมแหลมคือ 90° ซึ่งใช้ และความจริงที่ว่า ความยาวของขาตรงข้ามคือครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ 30°

การนำทางอย่างรวดเร็วสำหรับบทความ

สามเหลี่ยมครอบตัด

หนึ่งในคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่เท่ากันคือมุมทั้งสองของมันเท่ากัน

ในการคำนวณมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่าด้านขวา คุณต้องรู้ว่า:

• มันไม่เลวร้ายไปกว่า 90°
• ค่าของมุมแหลมถูกกำหนดโดยสูตร: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °เช่น

  มุม α และ β คือ 45°

หากทราบค่าที่ทราบของมุมแหลมมุมหนึ่ง อีกค่าหนึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร: β = 180º-90º-α หรือ α = 180º-90º-β

อัตราส่วนนี้มักใช้ในกรณีที่มุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ 60° หรือ 30°

แนวคิดหลัก

ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมคือ 180°

เพราะเป็นหนึ่งระดับ สองอยู่อย่างเฉียบคม

คำนวณสามเหลี่ยมออนไลน์

หากคุณต้องการค้นหา คุณจำเป็นต้องรู้ว่า:

วิธีอื่นๆ

ค่ามุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถคำนวณได้จากค่าเฉลี่ย - ด้วยเส้นจากจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม และความสูง - เส้นนั้นตั้งฉากจากด้านตรงข้ามมุมฉากในมุมฉาก

ให้ค่ามัธยฐานต่อจากมุมขวาไปตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก และ h เป็นความสูง ในกรณีนี้ปรากฎว่า:

• บาปα = b / (2 * s); บาป β = a / (2 * s)
• cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s)
• บาปα = h / b; บาป β = h / a.

สองหน้า

หากทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากและขาข้างหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือจากทั้งสองด้าน ค่าเฉพาะของตรีโกณมิติจะถูกใช้เพื่อกำหนดค่าของมุมแหลม:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c)
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c)
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a)

ความยาวของสามเหลี่ยมมุมฉาก

พื้นที่และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ปริมณฑล

เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับผลรวมของความยาวของด้านทั้งสาม สูตรทั่วไปเพื่อหาสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม:

โดยที่ P คือเส้นรอบวงของสามเหลี่ยม a, b และ c คือด้านของมัน

เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมเท่ากับหาได้โดยการรวมความยาวของด้านเข้าด้วยกัน หรือคูณความยาวด้านด้วย 2 แล้วบวกความยาวของฐานเข้ากับผลคูณ

สูตรทั่วไปในการหาสามเหลี่ยมสมดุลจะมีลักษณะดังนี้:

โดยที่ P คือปริมณฑลของสามเหลี่ยมที่เท่ากัน แต่ b หรือ b เป็นฐาน

เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถหาได้โดยการรวมความยาวของด้านเข้าด้วยกัน หรือโดยการคูณความยาวของหน้าใดๆ ด้วย 3

สูตรทั่วไปในการหาขอบของสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเป็นดังนี้:

โดยที่ P คือปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า a คือด้านใดด้านหนึ่งของมัน

ภูมิภาค

หากคุณต้องการวัดพื้นที่ของสามเหลี่ยม ให้เปรียบเทียบกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน พิจารณาสามเหลี่ยม ABC:

ถ้าเราเอาสามเหลี่ยมเดียวกันมาแก้ไขให้ได้สี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจะได้สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความสูงและฐานเท่ากันกับสามเหลี่ยมนี้:

ในกรณีนี้ ด้านทั่วไปของรูปสามเหลี่ยมจะพับเข้าหากันตามแนวทแยงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขึ้นรูป

จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันเสมอ จากนั้นพื้นผิวของสามเหลี่ยมแต่ละรูปจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของช่วงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นผลคูณของความสูงฐาน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณนั้น ดังนั้นสำหรับ ΔABC พื้นที่จะเท่ากัน

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก:

สามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกันสองรูปสามารถโค้งงอเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้หากเอนไปทางด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งก็คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

เนื่องจากพื้นผิวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเกิดขึ้นพร้อมกับพื้นผิวของด้านที่อยู่ติดกัน พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จึงเท่ากัน:

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นผิวของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ เท่ากับผลคูณของขาหารด้วย 2

จากตัวอย่างเหล่านี้ เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นผิวของสามเหลี่ยมแต่ละอันมีค่าเท่ากับผลคูณของความยาว และความสูงจะลดลงเหลือฐานหารด้วย 2

สูตรทั่วไปในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะมีลักษณะดังนี้:

โดยที่ S คือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม แต่เป็นฐาน แต่ความสูงตกลงไปที่ด้านล่างของ a.