ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันและกราฟ ตรีโกณมิติ

อาร์คไซน์, อาร์คโคไซน์คืออะไร? อาร์คแทนเจนต์, อาร์คแทนเจนต์คืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

สู่แนวคิด อาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ อาร์คโคแทนเจนต์ ประชากรนักศึกษามีความระแวดระวัง เขาไม่เข้าใจเงื่อนไขเหล่านี้และดังนั้นจึงไม่ไว้วางใจครอบครัวที่รุ่งโรจน์นี้) แต่เปล่าประโยชน์ นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก ซึ่งทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมากสำหรับผู้ที่มีความรู้เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ!

สับสนเกี่ยวกับความเรียบง่าย? เปล่าประโยชน์) ที่นี่และตอนนี้คุณจะเชื่อมั่นในสิ่งนี้

แน่นอน เพื่อความเข้าใจ คงจะดีถ้ารู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร ใช่ตารางของพวกเขามีค่าสำหรับบางมุม ... อย่างน้อยก็ในแง่ทั่วไปที่สุด จากนั้นจะไม่มีปัญหาที่นี่เช่นกัน

ดังนั้นเราจึงประหลาดใจ แต่จำไว้ว่า: อาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คแทนเจนต์เป็นเพียงบางมุมไม่มากไม่น้อย. มีมุม พูด 30° และมีมุม อาร์คซิน0.4 หรือ arctg(-1.3). มีมุมต่างๆ มากมาย) คุณสามารถเขียนมุมด้วยวิธีต่างๆ ได้ คุณสามารถเขียนมุมเป็นองศาหรือเรเดียนได้ หรือคุณสามารถ - ผ่านไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ...

นิพจน์หมายความว่าอย่างไร

อาร์คซิน 0.4?

นี่คือมุมที่มีไซน์เท่ากับ 0.4! ใช่ ๆ. นี่คือความหมายของอาร์คไซน์ ฉันพูดซ้ำโดยเฉพาะ: arcsin 0.4 คือมุมที่มีไซน์เป็น 0.4

และนั่นแหล่ะ

เพื่อให้ความคิดง่ายๆ นี้อยู่ในหัวของฉันเป็นเวลานาน ฉันจะแจกแจงคำศัพท์ที่น่ากลัวนี้ - อาร์คไซน์:

อาร์ค บาป 0,4
ฉีด ซึ่งไซน์ เท่ากับ 0.4

ตามที่เขียนไว้จึงได้ยิน) เกือบ คำนำหน้า อาร์ควิธี อาร์ค(คำ โค้งรู้หรือไม่) เพราะ คนโบราณใช้ส่วนโค้งแทนมุม แต่สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของเรื่อง จำการถอดรหัสคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์เบื้องต้นนี้! ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับอาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คแทนเจนต์ การถอดรหัสจะแตกต่างกันในชื่อของฟังก์ชันเท่านั้น

arccos 0.8 คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ 0.8

arctan(-1,3) คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีแทนเจนต์เป็น -1.3

arcctg 12 คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีโคแทนเจนต์เท่ากับ 12

การถอดรหัสเบื้องต้นดังกล่าวทำให้สามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดร้ายแรงได้) ตัวอย่างเช่น นิพจน์ arccos1,8 ดูค่อนข้างแข็งแกร่ง มาเริ่มถอดรหัสกัน: arccos1,8 เป็นมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ 1.8... Hop-hop!? 1.8!? โคไซน์ไม่สามารถมากกว่าหนึ่ง!

ถูกต้อง. นิพจน์ arccos1,8 ไม่สมเหตุสมผล และการเขียนนิพจน์ดังกล่าวด้วยคำตอบบางอย่างจะทำให้ผู้ตรวจสอบชอบใจมาก)

เบื้องต้นอย่างที่คุณเห็น) แต่ละมุมมีไซน์และโคไซน์ของตัวเอง และเกือบทุกคนมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตนเอง ดังนั้น เมื่อรู้ฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว คุณก็สามารถเขียนมุมลงไปได้ สำหรับสิ่งนี้ อาร์กซีน อาร์คโคซีน อาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์มีไว้สำหรับสิ่งนี้ นอกจากนี้ฉันจะเรียกทั้งครอบครัวนี้ว่าจิ๋ว - โค้งพิมพ์น้อยลง)

ความสนใจ! วาจาเบื้องต้นและ มีสติการถอดรหัสส่วนโค้งช่วยให้คุณแก้ปัญหาต่างๆ ได้อย่างใจเย็นและมั่นใจ และใน ผิดปกติงานเท่านั้นที่เธอบันทึก

เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนจากส่วนโค้งเป็นองศาธรรมดาหรือเรเดียน?- ฉันได้ยินคำถามอย่างระมัดระวัง)

ทำไมจะไม่ล่ะ!? อย่างง่ายดาย. คุณสามารถไปที่นั่นและกลับ ยิ่งไปกว่านั้น บางครั้งจำเป็นต้องทำเช่นนั้น Arches เป็นเรื่องง่าย แต่ถ้าไม่มีพวกมันก็จะสงบลงใช่ไหม)

ตัวอย่างเช่น arcsin 0.5 คืออะไร?

มาดูการถอดรหัสกัน: arcsin 0.5 คือมุมที่มีไซน์เท่ากับ 0.5หันหัวของคุณ (หรือ Google)) และจำมุมใดที่มีไซน์เท่ากับ 0.5? ไซน์คือ 0.5 y มุม 30 องศา. นั่นคือทั้งหมดที่มี: arcsin 0.5 คือมุม 30°คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

อาร์คซิน 0.5 = 30°

หรือที่ชัดเจนยิ่งขึ้นในแง่ของเรเดียน:

เพียงเท่านี้ คุณก็สามารถลืมเกี่ยวกับอาร์กไซน์และทำงานกับองศาหรือเรเดียนปกติได้

ถ้าคุณรู้ตัวว่า อาร์คไซน์คืออะไรอาร์คโคไซน์ ... อาร์คแทนเจนต์อาร์คโคแทนเจนต์คืออะไร ...จากนั้นคุณสามารถจัดการกับมันได้อย่างง่ายดายเช่นสัตว์ประหลาด)

คนโง่เขลาจะหดตัวด้วยความสยดสยองใช่ ... ) และผู้รอบรู้ จำการถอดรหัส:อาร์กไซน์คือมุมที่มีไซน์เป็น ... เป็นต้น ถ้าผู้รอบรู้รู้ตารางไซน์ด้วย ... ตารางโคไซน์ ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่มีปัญหาเลย!

ก็เพียงพอที่จะพิจารณาว่า:

ฉันจะถอดรหัสเช่น แปลสูตรเป็นคำ: มุมที่มีแทนเจนต์เท่ากับ 1 (arctg1)เป็นมุม 45 องศา หรือที่เหมือนกันคือ Pi/4 ในทำนองเดียวกัน:

และนั่นคือทั้งหมด... เราแทนที่ส่วนโค้งทั้งหมดด้วยค่าเรเดียนทุกอย่างลดลงเหลือการคำนวณว่า 1 + 1 จะเป็นเท่าใด มันจะเป็น 2.) ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

นี่คือวิธีที่คุณสามารถ (และควร) ย้ายจากอาร์กซีน อาร์คโคซีน อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คแทนเจนต์ไปเป็นองศาธรรมดาและเรเดียน สิ่งนี้ทำให้ตัวอย่างที่น่ากลัวง่ายขึ้นอย่างมาก!

บ่อยครั้งในตัวอย่างนี้ ภายในซุ้มประตูคือ เชิงลบค่านิยม เช่น arctg(-1.3) หรือเช่น arccos(-0.8)... นั่นไม่ใช่ปัญหา ต่อไปนี้เป็นสูตรง่ายๆ ในการเปลี่ยนจากเชิงลบเป็นบวก:

คุณต้องพูดเพื่อกำหนดค่าของนิพจน์:

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ แต่คุณไม่ต้องการวาดมัน โอเค. ไปจาก เชิงลบค่าภายในอาร์คโคไซน์ถึง เชิงบวกตามสูตรที่สอง:

ข้างในอาร์คโคไซน์ด้านขวาแล้ว เชิงบวกความหมาย. อะไร

คุณเพียงแค่ต้องรู้ มันยังคงแทนที่เรเดียนแทนอาร์คโคไซน์และคำนวณคำตอบ:

นั่นคือทั้งหมดที่

ข้อจำกัดของอาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ อาร์คโคแทนเจนต์

มีปัญหากับตัวอย่าง 7 - 9 หรือไม่? ใช่มีเคล็ดลับบางอย่างอยู่ที่นั่น)

ตัวอย่างทั้งหมดเหล่านี้ ตั้งแต่วันที่ 1 ถึง 9 ได้รับการจัดเรียงอย่างระมัดระวังบนชั้นวางในหมวด 555 อะไร อย่างไร และทำไม ด้วยกับดักและลูกเล่นที่เป็นความลับทั้งหมด บวกกับวิธีการลดความซับซ้อนของโซลูชันอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ส่วนนี้มีข้อมูลที่เป็นประโยชน์มากมายและ คำแนะนำการปฏิบัติตรีโกณมิติโดยทั่วไป และไม่ใช่แค่ในตรีโกณมิติเท่านั้น ช่วยได้เยอะ

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

งานที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมักมีให้ในการสอบปลายภาคของโรงเรียนและในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยบางแห่ง การศึกษารายละเอียดหัวข้อนี้สามารถทำได้เฉพาะในชั้นเรียนนอกหลักสูตรหรือที่ วิชาเลือก. หลักสูตรที่เสนอนี้ออกแบบมาเพื่อพัฒนาความสามารถของนักเรียนแต่ละคนอย่างเต็มที่ เพื่อปรับปรุงการฝึกอบรมคณิตศาสตร์ของเขา

หลักสูตรถูกออกแบบมาเป็นเวลา 10 ชั่วโมง:

1. ฟังก์ชั่นของ arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ชั่วโมง)

2. การดำเนินการกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (4 ชั่วโมง)

3. การดำเนินการตรีโกณมิติผกผันในฟังก์ชันตรีโกณมิติ (2 ชั่วโมง)

บทที่ 1 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: ฟังก์ชั่น y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x

วัตถุประสงค์: ครอบคลุมประเด็นนี้ทั้งหมด

1. ฟังก์ชัน y \u003d arcsin x

a) สำหรับฟังก์ชัน y \u003d sin x บนเซ็กเมนต์ มีฟังก์ชันผกผัน (ค่าเดียว) ซึ่งเราตกลงที่จะเรียกอาร์กไซน์และระบุดังนี้: y \u003d arcsin x กราฟของฟังก์ชันผกผันมีความสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชันหลักเทียบกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัด I - III

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = arcsin x

1)ขอบเขตของความหมาย: ส่วน [-1; หนึ่ง];

2) พื้นที่ของการเปลี่ยนแปลง: ตัด ;

3) ฟังก์ชัน y = arcsin x คี่: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) ฟังก์ชัน y = arcsin x เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ

5) กราฟตัดผ่านแกน Ox, Oy ที่จุดกำเนิด

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา a = arcsin ตัวอย่างนี้สามารถกำหนดรายละเอียดได้ดังนี้: find เช่นอาร์กิวเมนต์ a ซึ่งอยู่ในช่วง from ถึง ซึ่งไซน์มีค่าเท่ากับ

การตัดสินใจ. มีอาร์กิวเมนต์นับไม่ถ้วนที่มีไซน์ ตัวอย่างเช่น: ฯลฯ แต่เราสนใจเฉพาะอาร์กิวเมนต์ที่อยู่ในช่วง อาร์กิวเมนต์นี้จะเป็น ดังนั้น, .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา .การตัดสินใจ.การโต้เถียงในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างที่ 1 เราจะได้ .

b) การออกกำลังกายในช่องปาก ค้นหา: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 ตัวอย่างคำตอบ: , เพราะ . ทำนิพจน์ที่เหมาะสม: ; อาร์คซิน 1.5; ?

c) เรียงลำดับจากน้อยไปมาก: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

ครั้งที่สอง ฟังก์ชัน y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (ในทำนองเดียวกัน)

บทที่ 2 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน, กราฟของพวกมัน

Target: บน บทเรียนนี้จำเป็นต้องพัฒนาทักษะในการกำหนดค่านิยม ฟังก์ชันตรีโกณมิติในการพล็อตฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันโดยใช้ D (y), E (y) และการแปลงที่จำเป็น

ในบทเรียนนี้ ทำแบบฝึกหัดที่รวมถึงการหาโดเมนของคำจำกัดความ ขอบเขตของฟังก์ชันของประเภท: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชัน: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; จ) y = อาร์คซิน; f) y = อาร์คซิน; g) y = | arcsin | .

ตัวอย่าง.ลองพลอต y = arccos

คุณสามารถรวมแบบฝึกหัดต่อไปนี้ในการบ้านของคุณ: สร้างกราฟของฟังก์ชัน: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

กราฟของฟังก์ชันผกผัน

บทเรียน #3 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ:
การดำเนินการกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

วัตถุประสงค์: เพื่อขยายความรู้ทางคณิตศาสตร์ (นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับผู้สมัครที่มีความเชี่ยวชาญพิเศษที่มีความต้องการเพิ่มขึ้นสำหรับการเตรียมทางคณิตศาสตร์) โดยการแนะนำความสัมพันธ์พื้นฐานสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

เนื้อหาบทเรียน

การดำเนินการทางตรีโกณมิติอย่างง่ายบางอย่างในฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน: บาป (arcsin x) \u003d x ฉัน xi? หนึ่ง; cos (arсcos x) = x ผม xi? หนึ่ง; tg (arctg x)= x , x ฉัน R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

การออกกำลังกาย.

ก) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctgx) = .

b) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6) ให้ arcsin 0.6 \u003d a, บาป a \u003d 0.6;

cos(อาร์คซิน x) = ; บาป (arccos x) = .

หมายเหตุ: เราใช้เครื่องหมาย “+” ที่ด้านหน้าของรูทเพราะ a = arcsin x satisfies

c) บาป (1.5 + arcsin) คำตอบ:;

d) ctg ( + arctg 3). คำตอบ: ;

จ) tg (- arcctg 4). คำตอบ: .

f) cos (0.5 + arccos) . ตอบ: .

คำนวณ:

ก) บาป (2 arctan 5) .

ให้ arctg 5 = a แล้วทำบาป 2 a = หรือบาป (2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0.8) คำตอบ: 0.28

ค) arctg + arctg

ให้ a = arctg , b = arctg ,

แล้ว tan(a + b) = .

d) บาป (อาร์คซิน + อาร์คซิน)

e) พิสูจน์ว่าสำหรับ x I ทั้งหมด [-1; 1] arcsin จริง x + arccos x = .

การพิสูจน์:

arcsin x = - arccos x

บาป (arcsin x) = บาป (- arccos x)

x = cos (อาร์คคอส x)

สำหรับโซลูชันแบบสแตนด์อโลน:บาป (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), บาป (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos )

สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่บ้าน: 1) บาป (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) อาร์คซิน + อาร์คซิน; 3) ctg ( - arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) บาป (1.5 - arcsin 0.8); 6) arctg 0.5 - arctg 3

บทที่ 4 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: การดำเนินการกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

จุดประสงค์: ในบทนี้เพื่อแสดงการใช้อัตราส่วนในการแปลงนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

เนื้อหาบทเรียน

ปากเปล่า:

ก) บาป (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) บาป (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos ), ctg (arccos())

เขียนไว้:

1) cos (อาร์คซิน + อาร์คซิน + อาร์คซิน)

2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + บาป (arctg 5) บาป (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

งานอิสระจะช่วยในการกำหนดระดับการดูดซึมของวัสดุ

1) tg ( arctg 2 - arctg )

2) cos( - arctg2)

3) arcsin + arccos

1) cos (อาร์คซิน + อาร์คซิน)

2) บาป (1.5 - arctg 3)

3) arcctg3 - arctg 2

สำหรับ การบ้านสามารถนำเสนอ:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) บาป 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) บาป (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) บาป (2 arctan); 5) tg ( (อาร์คซิน ))

บทที่ 5 (2h) หัวข้อ: การดำเนินการตรีโกณมิติผกผันในฟังก์ชันตรีโกณมิติ

วัตถุประสงค์: เพื่อสร้างความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับการดำเนินการตรีโกณมิติผกผันเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ให้เน้นที่การเพิ่มความหมายของทฤษฎีที่กำลังศึกษา

เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ สันนิษฐานว่าปริมาณเนื้อหาเชิงทฤษฎีที่จะจำมีจำกัด

วัสดุสำหรับบทเรียน:

คุณสามารถเริ่มเรียนรู้เนื้อหาใหม่โดยพิจารณาถึงฟังก์ชัน y = arcsin (sin x) และพล็อตมัน

3. แต่ละ x I R สัมพันธ์กับ y I นั่นคือ<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่: บาป (-x) \u003d - บาป x; arcsin(บาป(-x)) = - arcsin(บาป x).

6. กราฟ y = arcsin (บาป x) บน:

ก) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ข)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

บาป y \u003d บาป ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

ดังนั้น,

เมื่อสร้าง y = arcsin (sin x) บน เรายังคงสมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิดบน [- ; 0] โดยคำนึงถึงความแปลกประหลาดของฟังก์ชันนี้ โดยใช้คาบ เราไปยังแกนตัวเลขทั้งหมด

จากนั้นเขียนอัตราส่วนบางส่วน: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos เอ ) = a ถ้า 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

และทำแบบฝึกหัดต่อไปนี้: a) arccos (บาป 2) คำตอบ: 2 - ; b) arcsin (cos 0.6) คำตอบ: - 0.1; c) arctg (tg 2). คำตอบ: 2 -;

ง) arcctg (tg 0.6) คำตอบ: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)). คำตอบ: 2 -; f) arcsin (บาป (- 0.6)) คำตอบ: - 0.6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )) คำตอบ: 2 - ; h) arcctg (tg 0.6) คำตอบ: - 0.6; - arctanx; จ) arccos + arccos

ฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์

พิสัยของฟังก์ชัน y=cos x (ดูรูปที่ 2) คือเซ็กเมนต์ ในช่วงเวลานั้น ฟังก์ชันจะทำงานต่อเนื่องและลดลงแบบโมโนโทน

ข้าว. 2

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันถูกกำหนดในช่วงเวลาที่ผกผันกับฟังก์ชัน y=cos x ฟังก์ชันผกผันนี้เรียกว่าอาร์คโคไซน์และแสดงแทน y=arccos x

คำนิยาม

อาร์คโคไซน์ของจำนวน a ถ้า |a|1 คือมุมที่โคไซน์เป็นส่วนหนึ่งของเซ็กเมนต์ มันถูกกำหนดให้ arccos a.

ดังนั้น arccos a เป็นมุมที่เป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: cos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.

ตัวอย่างเช่น arccos เนื่องจาก cos และ; arccos เนื่องจาก cos

ฟังก์ชัน y = arccos x (รูปที่ 3) ถูกกำหนดในเซ็กเมนต์ ช่วงของมันคือเซ็กเมนต์ ในส่วนของฟังก์ชัน y=arccos x เป็นแบบต่อเนื่องและลดลงแบบโมโนโทนจาก p เป็น 0 (เนื่องจาก y=cos x เป็นฟังก์ชันการลดแบบต่อเนื่องและแบบโมโนโทนบนเซ็กเมนต์) ที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ถึงค่าสุดขั้ว: arccos(-1)= p, arccos 1= 0 โปรดทราบว่า arccos 0 = กราฟของฟังก์ชัน y \u003d arccos x (ดูรูปที่ 3) มีความสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d cos x เทียบกับเส้นตรง y \u003d x

ข้าว. 3

ให้เราแสดงให้เห็นว่า arccos(-x) = p-arccos x ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น

ตามคำจำกัดความ 0 ? อาร์คคอส เอ็กซ์? ร. คูณด้วย (-1) ทุกส่วนของอสมการคู่สุดท้าย เราจะได้ - p? อาร์คคอส เอ็กซ์? 0. เมื่อบวก p ทุกส่วนของอสมการสุดท้ายแล้ว เราพบว่า 0? p-arccos x? ร.

ดังนั้นค่าของมุม arccos (-x) และ p - arccos x จึงอยู่ในส่วนเดียวกัน เนื่องจากโคไซน์ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจบนเซ็กเมนต์ จึงไม่มีมุมที่แตกต่างกันสองมุมบนโคไซน์ที่มีโคไซน์เท่ากัน จงหาโคไซน์ของมุม arccos(-x) และ p-arccos x ตามคำจำกัดความ cos (arccos x) = - x โดยสูตรการรีดิวซ์และตามคำจำกัดความที่เรามี: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x ดังนั้น โคไซน์ของมุมจึงเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามุมนั้นเท่ากัน

ฟังก์ชันผกผันกับไซน์

พิจารณาฟังก์ชัน y=sin x (รูปที่ 6) ซึ่งในเซ็กเมนต์ [-p/2; p/2] กำลังเพิ่มขึ้น ต่อเนื่อง และรับค่าจากเซ็กเมนต์ [-1; หนึ่ง]. ดังนั้นในส่วน [- p / 2; p/2] ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยผกผันกับฟังก์ชัน y=sin x

ข้าว. 6

ฟังก์ชันผกผันนี้เรียกว่า อาร์กไซน์ และเขียนแทนว่า y=arcsin x เราแนะนำคำจำกัดความของอาร์กไซน์ของจำนวน a

อาร์กไซน์ของจำนวน a หากพวกเขาเรียกมุม (หรือส่วนโค้ง) ไซน์ของจำนวนนั้นจะเท่ากับจำนวน a และเป็นส่วนหนึ่งของเซ็กเมนต์ [-p / 2; พี/2]; มันถูกกำหนดให้ arcsin a.

ดังนั้น arcsin a เป็นมุมที่เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: sin (arcsin a)=a, |a| ?หนึ่ง; -r/2 ? อาร์คซินเหรอ? พี/2. ตัวอย่างเช่น ตั้งแต่ บาป และ [- p/2; พี/2]; arcsin ตั้งแต่ sin = และ [-p/2; หน้า/2.

ฟังก์ชัน y=arcsin x (รูปที่ 7) ถูกกำหนดไว้ในส่วน [- 1; 1] ช่วงของมันคือส่วน [-р/2;р/2] ในส่วน [- 1; 1] ฟังก์ชัน y=arcsin x ต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนจาก -p/2 เป็น p/2 (ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชัน y=sin x บนช่วง [-p/2; p/2] ต่อเนื่องกัน และเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ) ใช้ค่าที่มากที่สุดที่ x \u003d 1: arcsin 1 \u003d p / 2 และค่าที่เล็กที่สุด - ที่ x \u003d -1: arcsin (-1) \u003d -r / 2 ที่ x \u003d 0 ฟังก์ชันคือศูนย์: arcsin 0 \u003d 0

ให้เราแสดงว่าฟังก์ชัน y = arcsin x เป็นเลขคี่ กล่าวคือ arcsin(-x)= - arcsin x สำหรับ x ใดๆ [ - 1; 1].

แน่นอน โดยนิยาม ถ้า |x| ?1 เรามี: - р/2 ? อาร์คซิน x ? ? พี/2. ดังนั้นมุมคือ arcsin(-x) และ - arcsin x อยู่ในส่วนเดียวกัน [ - พี/2; หน้า/2.

จงหาไซน์ของพวกนี้มุม: บาป (arcsin (-x)) = - x (ตามคำจำกัดความ); เนื่องจากฟังก์ชัน y \u003d sin x เป็นเลขคี่ ดังนั้น sin (-arcsin x) \u003d - sin (arcsin x) \u003d - x ดังนั้น ไซน์ของมุมที่เป็นของช่วงเดียวกัน [-p/2; p/2] เท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามุมเท่ากันนั่นคือ arcsin (-x) = - arcsin x. ดังนั้น ฟังก์ชัน y=arcsin x จึงเป็นเลขคี่ กราฟของฟังก์ชัน y=arcsin x มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด

ให้เราแสดงให้เห็นว่า arcsin (sin x) = x สำหรับ x [-p/2; หน้า/2.

แน่นอนตามคำจำกัดความ -p/2 ? arcsin (บาป x) ? р/2 และตามเงื่อนไข -р/2 ? เอ็กซ์? พี/2. ซึ่งหมายความว่ามุม x และ arcsin (sin x) อยู่ในช่วงเดียวกันของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน y=sin x หากไซน์ของมุมดังกล่าวเท่ากัน มุมนั้นก็จะเท่ากัน ลองหาไซน์ของมุมเหล่านี้กัน: สำหรับมุม x เรามีบาป x สำหรับมุมอาร์ค (บาป x) เรามีบาป (อาร์คซิน (บาป x)) = บาป x เราได้ค่าไซน์ของมุมเท่ากัน ดังนั้น มุมจึงเท่ากัน นั่นคือ อาร์คซิน (บาป x) = x .

ข้าว. 7

ข้าว. 8

กราฟของฟังก์ชัน arcsin (sin|x|) ได้มาจากการแปลงแบบโมดูโลตามปกติจากกราฟ y=arcsin (sin x) (แสดงโดยเส้นประในรูปที่ 8) กราฟที่ต้องการ y=arcsin (sin |x-/4|) ได้มาจากการเลื่อน /4 ไปทางขวาตามแนวแกน x (แสดงโดยเส้นทึบในรูปที่ 8)

ฟังก์ชันผกผันแทนเจนต์

ฟังก์ชัน y=tg x บนช่วงเวลาใช้ค่าตัวเลขทั้งหมด: E (tg x)= ในช่วงเวลานี้จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและซ้ำซากจำเจ ดังนั้น ฟังก์ชันจึงถูกกำหนดในช่วงเวลาที่ผกผันกับฟังก์ชัน y = tg x ฟังก์ชันผกผันนี้เรียกว่าอาร์คแทนเจนต์และแสดงว่า y = arctg x

อาร์คแทนเจนต์ของจำนวน a คือมุมจากช่วง ซึ่งแทนเจนต์เท่ากับ a ดังนั้น arctg a เป็นมุมที่เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: tg (arctg a) = a และ 0 ? อาร์คจีเอ ? ร.

ดังนั้น ตัวเลขใด ๆ x จะสอดคล้องกับค่าเดียวของฟังก์ชัน y \u003d arctg x เท่านั้น (รูปที่ 9)

แน่นอน D (arctg x) = , E (arctg x) =

ฟังก์ชัน y = arctg x เพิ่มขึ้นเนื่องจากฟังก์ชัน y = tg x เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่า arctg(-x) = - arctgx เช่น ว่าอาร์คแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่

ข้าว. 9

กราฟของฟังก์ชัน y = arctg x สมมาตรกับกราฟของฟังก์ชัน y = tg x เทียบกับเส้นตรง y = x กราฟ y = arctg x ผ่านจุดกำเนิด (เพราะ arctan 0 = 0) เป็น สมมาตรเทียบกับจุดเริ่มต้น (เป็นกราฟของฟังก์ชันคี่)

สามารถพิสูจน์ได้ว่า arctg (tg x) = x ถ้า x

ฟังก์ชันผกผันโคแทนเจนต์

ฟังก์ชัน y = ctg x บนช่วงเวลา ใช้ค่าตัวเลขทั้งหมดจากช่วงเวลา ช่วงของค่าสอดคล้องกับเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ในช่วงเวลานั้น ฟังก์ชัน y = ctg x จะต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้น ฟังก์ชันจึงถูกกำหนดในช่วงเวลานี้ซึ่งตรงกันข้ามกับฟังก์ชัน y = ctg x ฟังก์ชันผกผันของโคแทนเจนต์เรียกว่าอาร์คโคแทนเจนต์และแสดงแทน y = arcctg x

อาร์คแทนเจนต์ของจำนวน a คือมุมที่เป็นของช่วง ซึ่งโคแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ a

ดังนั้น arcctg a เป็นมุมที่เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ctg (arcctg a)=a และ 0 ? arcctg ? ร.

จากนิยามของฟังก์ชันผกผันและนิยามของอาร์คแทนเจนต์ที่ D (arcctg x) = , E (arcctg x) = อาร์คแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันที่ลดลงเนื่องจากฟังก์ชัน y = ctg x ลดลงในช่วงเวลา

กราฟของฟังก์ชัน y \u003d arcctg x ไม่ข้ามแกน Ox เนื่องจาก y\u003e 0 R. ที่ x \u003d 0 y \u003d arcctg 0 \u003d

กราฟของฟังก์ชัน y = arcctg x แสดงในรูปที่ 11

ข้าว. 11

โปรดทราบว่าสำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x ตัวตนจะเป็นจริง: arcctg(-x) = p-arcctg x

ฟังก์ชัน sin, cos, tg และ ctg จะมาพร้อมกับอาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คโคแทนเจนต์เสมอ หนึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากอีกฟังก์ชันหนึ่ง และคู่ของฟังก์ชันมีความสำคัญเท่าเทียมกันสำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ

พิจารณาการวาดวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบกราฟิก

หากคุณคำนวณส่วนโค้ง OA, arcos OC, arctg DE และ arcctg MK พวกมันทั้งหมดจะเท่ากับค่าของมุม α สูตรด้านล่างแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักกับส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน

เพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติของอาร์กไซน์ จำเป็นต้องพิจารณาถึงหน้าที่ของมัน กำหนดการ มีรูปโค้งอสมมาตรลากผ่านจุดศูนย์กลางพิกัด

คุณสมบัติของอาร์คไซน์:

ถ้าเราเปรียบเทียบกราฟ บาปและ บาปฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชันสามารถค้นหารูปแบบทั่วไปได้

อาร์คโคไซน์

อาร์คโคของจำนวน a คือค่าของมุม α ซึ่งโคไซน์มีค่าเท่ากับ a

เคิร์ฟ y = อาร์คอส xสะท้อนพล็อตของ arcsin x โดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือผ่านจุด π/2 บนแกน OY

พิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันอาร์คโคไซน์:

ฟังก์ชั่นถูกกำหนดในส่วน [-1; หนึ่ง].
ODZ สำหรับ arccos - .
กราฟอยู่ในไตรมาสที่ 1 และ 2 ทั้งหมด และฟังก์ชันเองก็ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่
Y = 0 สำหรับ x = 1
เส้นโค้งจะลดลงตลอดความยาวทั้งหมด คุณสมบัติบางอย่างของอาร์คโคไซน์เหมือนกับฟังก์ชันโคไซน์

คุณสมบัติบางอย่างของอาร์คโคไซน์เหมือนกับฟังก์ชันโคไซน์

เป็นไปได้ว่าการศึกษา "รายละเอียด" ของ "ซุ้มประตู" ดังกล่าวอาจดูเหมือนไม่จำเป็นสำหรับเด็กนักเรียน อย่างไรก็ตาม มิฉะนั้น งาน USE ทั่วไปเบื้องต้นบางอย่างอาจทำให้นักเรียนต้องพบกับทางตัน

แบบฝึกหัดที่ 1ระบุฟังก์ชันที่แสดงในรูป

ตอบ:ข้าว. 1 - 4, รูปที่ 2 - 1

ในตัวอย่างนี้ เน้นที่สิ่งเล็กน้อย โดยปกติ นักเรียนมักไม่ใส่ใจในการสร้างกราฟและลักษณะที่ปรากฏของฟังก์ชัน ที่จริงแล้วทำไมต้องจำรูปแบบของเส้นโค้งถ้ามันสามารถสร้างจากจุดที่คำนวณได้เสมอ อย่าลืมว่าในเงื่อนไขของการทดสอบ เวลาที่ใช้ไปกับการวาดภาพสำหรับงานง่าย ๆ จะต้องใช้เพื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น

อาร์คแทนเจนต์

Arctgจำนวน a คือค่าของมุม α ซึ่งแทนเจนต์เท่ากับ a

หากเราพิจารณาพล็อตของอาร์คแทนเจนต์ เราสามารถแยกแยะคุณสมบัติต่อไปนี้:

กราฟไม่มีที่สิ้นสุดและกำหนดไว้บนช่วงเวลา (- ∞; + ∞)
อาร์กแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น arctan (- x) = - arctan x
Y = 0 สำหรับ x = 0
เส้นโค้งเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ

ให้การวิเคราะห์เปรียบเทียบสั้น ๆ ของ tg x และ arctg x ในรูปแบบของตาราง

อาร์คแทนเจนต์

Arcctg ของจำนวน a - ใช้ค่าของ α จากช่วง (0; π) ที่โคแทนเจนต์ของมันเท่ากับ a

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคแทนเจนต์:

ช่วงนิยามฟังก์ชันคืออนันต์
ช่วงของค่าที่ยอมรับได้คือช่วง (0; π)
F(x) ไม่เป็นเลขคู่หรือคี่
กราฟของฟังก์ชันจะลดลงตลอดความยาว

การเปรียบเทียบ ctg x และ arctg x นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องวาดภาพวาดสองภาพและอธิบายพฤติกรรมของเส้นโค้ง

ภารกิจที่ 2เชื่อมโยงกราฟและรูปแบบของฟังก์ชัน

ตามหลักเหตุผล กราฟแสดงให้เห็นว่าทั้งสองฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้น ตัวเลขทั้งสองจึงแสดงฟังก์ชัน arctg บางอย่าง ทราบจากคุณสมบัติของอาร์คแทนเจนต์ที่ y=0 สำหรับ x = 0,

ตอบ:ข้าว. 1 - 1, มะเดื่อ. 2-4.

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ arcsin, arcos, arctg และ arcctg

ก่อนหน้านี้ เราได้ระบุความสัมพันธ์ระหว่างส่วนโค้งและหน้าที่หลักของตรีโกณมิติแล้ว การพึ่งพาอาศัยกันนี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตรจำนวนหนึ่งที่อนุญาตให้แสดง ตัวอย่างเช่น ไซน์ของอาร์กิวเมนต์ผ่านอาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ หรือในทางกลับกัน ความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ดังกล่าวอาจเป็นประโยชน์ในการแก้ตัวอย่างเฉพาะ

นอกจากนี้ยังมีอัตราส่วนสำหรับ arctg และ arcctg:

สูตรที่มีประโยชน์อีกคู่หนึ่งตั้งค่าสำหรับผลรวมของค่า arcsin และ arcos และ arcctg และ arcctg ของมุมเดียวกัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งานตรีโกณมิติสามารถแบ่งออกเป็นสี่กลุ่มตามเงื่อนไข: คำนวณค่าตัวเลขของนิพจน์เฉพาะ พล็อตฟังก์ชันที่กำหนด ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความหรือ ODZ และดำเนินการแปลงเชิงวิเคราะห์เพื่อแก้ปัญหาในตัวอย่าง

เมื่อแก้ไขงานประเภทแรก จำเป็นต้องปฏิบัติตามแผนปฏิบัติการต่อไปนี้:

เมื่อทำงานกับกราฟของฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติและลักษณะของเส้นโค้ง จำเป็นต้องใช้ตารางข้อมูลประจำตัวเพื่อแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการ ยิ่งนักเรียนจำสูตรได้มากเท่าไหร่ ก็ยิ่งหาคำตอบของงานได้ง่ายขึ้นเท่านั้น

สมมติว่าในการสอบจำเป็นต้องหาคำตอบสำหรับสมการประเภท:

หากคุณแปลงนิพจน์อย่างถูกต้องและนำไปสู่รูปแบบที่ต้องการ การแก้ปัญหานั้นง่ายและรวดเร็วมาก ก่อนอื่น ให้ย้าย arcsin x ไปทางด้านขวาของสมการ

ถ้าเราจำสูตรได้ อาร์คซิน (sinα) = αจากนั้นเราสามารถลดการค้นหาคำตอบเพื่อแก้ระบบสมการสองสมการได้:

ข้อจำกัดของโมเดล x เกิดขึ้นอีกครั้งจากคุณสมบัติของ arcsin: ODZ สำหรับ x [-1; หนึ่ง]. เมื่อ ≠ 0 ส่วนหนึ่งของระบบเป็นสมการกำลังสองที่มีราก x1 = 1 และ x2 = - 1/a ด้วย a = 0, x จะเท่ากับ 1

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นแบบคาบ ฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันจึงไม่มีค่าเดียว ดังนั้น สมการ y = บาป xสำหรับให้ มีรากมากมายเป็นอนันต์ อันที่จริง เนื่องจากคาบของไซน์ ถ้า x เป็นรากเช่นนั้น x + 2n(โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม) จะเป็นรากของสมการด้วย ดังนั้น, ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมีหลายค่า. เพื่อให้ทำงานกับพวกเขาได้ง่ายขึ้นจึงมีการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับค่านิยมหลัก พิจารณาตัวอย่าง ไซน์: y = บาป x. หากเราจำกัดอาร์กิวเมนต์ x เป็นช่วง จากนั้นฟังก์ชัน y = บาป xเพิ่มขึ้นอย่างจำเจ ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันค่าเดียวซึ่งเรียกว่าอาร์กไซน์: x = arcsin y.

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันหมายถึงค่าหลัก ซึ่งกำหนดโดยคำจำกัดความต่อไปนี้

อาร์คไซน์ ( y= อาร์คซิน x) เป็นฟังก์ชันผกผันของไซน์ ( x= บาป
โคไซน์อาร์ค ( y= arccos x) เป็นฟังก์ชันผกผันของโคไซน์ ( x= อบอุ่นสบาย) ที่มีขอบเขตของคำจำกัดความและชุดของค่า
อาร์คแทนเจนต์ ( y= arctg x) เป็นฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ ( x= tg y) ที่มีขอบเขตของคำจำกัดความและชุดของค่า
อาร์คแทนเจนต์ ( y= arcctg x) เป็นฟังก์ชันผกผันของโคแทนเจนต์ ( x= ctg y) ที่มีขอบเขตของคำจำกัดความและชุดของค่า

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันได้มาจากกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยการสะท้อนของกระจกเทียบกับเส้นตรง y = x ดูหัวข้อ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์

y= อาร์คซิน x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

สูตรพื้นฐาน

ที่นี่ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับช่วงเวลาที่สูตรถูกต้อง

arcsin(บาป x) = xที่
บาป(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xที่
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xที่
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xที่
ctg(arctg x) = x

สูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ดูสิ่งนี้ด้วย: ที่มาของสูตรสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

สูตรผลรวมและผลต่าง

ที่หรือ

ที่และ

ที่และ

ที่

ที่

ที่

ที่

ที่

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.