การเตรียมตัวสอบ. การแก้อสมการลอการิทึมและเอ็กซ์โปเนนเชียลโดยวิธีหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

บทความนี้มีไว้สำหรับการวิเคราะห์งาน 15 ของ สอบโปรไฟล์ในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับปี 2560 ในงานนี้ นักเรียนจะได้รับการเสนอให้แก้อสมการ โดยส่วนใหญ่มักจะเป็นลอการิทึม แม้ว่าพวกเขาจะสามารถบ่งบอกถึง บทความนี้ให้ภาพรวมของตัวอย่าง อสมการลอการิทึมรวมถึงตัวแปรที่มีตัวแปรที่ฐานของลอการิทึม ตัวอย่างทั้งหมดนำมาจากธนาคารเปิดของงาน USE ในวิชาคณิตศาสตร์ (โปรไฟล์) ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจึงมีแนวโน้มที่จะพบคุณในการสอบเป็นภารกิจที่ 15 เหมาะสำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้วิธีแก้ปัญหางาน 15 จากครั้งที่สอง ส่วนหนึ่งของโปรไฟล์ ใช้ในช่วงเวลาสั้น ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้คะแนนที่สูงขึ้นในการสอบ

วิเคราะห์งาน 15 จากข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ในงาน 15 ของ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ (โปรไฟล์) มักพบอสมการลอการิทึม การแก้ปัญหาของอสมการลอการิทึมเริ่มต้นด้วยการกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีนี้ ไม่มีตัวแปรในฐานของลอการิทึมทั้งสอง มีเพียงตัวเลข 11 เท่านั้น ซึ่งทำให้งานง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น ข้อจำกัดเดียวที่เรามีในที่นี้คือนิพจน์ทั้งสองภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นค่าบวก:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

อสมการแรกในระบบคืออสมการกำลังสอง ในการแก้ปัญหานี้ เราควรแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย ฉันคิดว่าคุณคงทราบดีว่าตรีนนามกำลังสองของรูปแบบ แยกตัวประกอบได้ดังนี้

โดยที่ และ เป็นรากของสมการ ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์คือ 1 (นี่คือสัมประสิทธิ์ตัวเลขหน้า ) สัมประสิทธิ์ยังเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์เป็นเทอมอิสระ เท่ากับ -20 รากของไตรนามนั้นง่ายที่สุดในการพิจารณาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา สมการของเราได้รับ ซึ่งหมายถึงผลรวมของราก และจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่มีเครื่องหมายตรงข้าม นั่นคือ -1 และผลิตภัณฑ์ของรากเหล่านี้จะเท่ากับสัมประสิทธิ์ นั่นคือ -20 เดาได้ง่ายว่ารากจะเป็น -5 และ 4

ตอนนี้ทางด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันสามารถแยกตัวประกอบ: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} Xที่จุด -5 และ 4 ดังนั้น คำตอบที่ต้องการสำหรับความไม่เท่าเทียมกันคือช่วง สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจสิ่งที่เขียนในที่นี้ สามารถดูรายละเอียดในวิดีโอได้ตั้งแต่บัดนี้เป็นต้นไป คุณจะพบคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่สองของระบบ มันกำลังได้รับการแก้ไข นอกจากนี้ คำตอบก็เหมือนกับความไม่เท่าเทียมกันของระบบแรกทุกประการ นั่นคือชุดที่เขียนด้านบนเป็นพื้นที่ของค่าความไม่เท่าเทียมกันที่ยอมรับได้

ดังนั้น เมื่อคำนึงถึงการแยกตัวประกอบแล้ว ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจึงอยู่ในรูปแบบ:

เมื่อใช้สูตร ให้บวก 11 ยกกำลังของนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมแรก แล้วย้ายลอการิทึมที่สองไปทางด้านซ้ายของอสมการ โดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม:

หลังจากการลดลงเราได้รับ:

ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายเนื่องจากการเพิ่มขึ้นในฟังก์ชัน เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งคำตอบคือช่วงเวลา . ยังคงต้องข้ามกับพื้นที่ของค่าความไม่เท่าเทียมกันที่ยอมรับได้และนี่จะเป็นคำตอบของงานทั้งหมด

ดังนั้นคำตอบที่ต้องการสำหรับงานจึงมีรูปแบบ:

เราหางานนี้ได้แล้ว ตอนนี้เราไปต่อที่ตัวอย่างถัดไปของภารกิจที่ 15 ของ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ (โปรไฟล์)

ตัวอย่างที่ 2 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

เราเริ่มต้นการแก้ปัญหาโดยกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของความไม่เท่าเทียมกันนี้ ฐานของลอการิทึมแต่ละตัวต้องเป็นจำนวนบวกที่ไม่เท่ากับ 1 นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมต้องเป็นบวก ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ เงื่อนไขสุดท้ายจะเท่ากับ เนื่องจากไม่เช่นนั้นลอการิทึมทั้งสองในตัวส่วนจะหายไป เงื่อนไขทั้งหมดเหล่านี้กำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของความไม่เท่าเทียมกันนี้ ซึ่งกำหนดโดยระบบความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เราสามารถใช้สูตรการแปลงลอการิทึมเพื่อลดความซับซ้อนทางด้านซ้ายของอสมการ การใช้สูตร กำจัดตัวส่วน:

ตอนนี้ เรามีเฉพาะลอการิทึมฐาน สะดวกกว่าอยู่แล้ว ต่อไปเราใช้สูตรและสูตรเพื่อนำการแสดงออกที่คุ้มค่ามาสู่รูปแบบต่อไปนี้:

ในการคำนวณ เราใช้สิ่งที่อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ การใช้การแทนที่เรามาถึงนิพจน์:

ลองใช้การทดแทนอีกหนึ่งรายการ: . เป็นผลให้เรามาถึงผลลัพธ์ต่อไปนี้:

จึงค่อย ๆ กลับคืนสู่ตัวแปรเดิม ก่อนถึงตัวแปร:

ส่วน: คณิตศาสตร์

บ่อยครั้งเมื่อแก้สมการลอการิทึม มีปัญหากับฐานตัวแปรของลอการิทึม ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ

เป็นมาตรฐานความไม่เท่าเทียมกันของโรงเรียน ตามกฎแล้วในการแก้ปัญหาจะใช้การเปลี่ยนไปใช้ชุดระบบที่เทียบเท่ากัน:

ข้อเสียของวิธีนี้คือต้องแก้เจ็ดอสมการไม่นับสองระบบและชุดเดียว แม้จะให้ฟังก์ชันกำลังสอง การแก้ปัญหาประชากรอาจต้องใช้เวลามาก

ทางเลือกอื่นที่ใช้เวลาน้อยกว่าในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันมาตรฐานนี้สามารถเสนอได้ ในการทำเช่นนี้ เราคำนึงถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในชุด X จากนั้นในเซตนี้ เครื่องหมายของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะตรงกับเครื่องหมายของการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ กล่าวคือ , ที่ไหน .

หมายเหตุ: หากฟังก์ชันลดลงอย่างต่อเนื่องในชุด X ดังนั้น

กลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกัน ไปที่ลอการิทึมทศนิยม (คุณสามารถไปที่ใด ๆ ที่มีฐานคงที่มากกว่าหนึ่ง)

ตอนนี้ เราสามารถใช้ทฤษฎีบท โดยสังเกตในตัวเศษว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน และในตัวส่วน มันก็จริงนะ

ด้วยเหตุนี้ จำนวนการคำนวณที่นำไปสู่คำตอบจึงลดลงประมาณครึ่งหนึ่ง ซึ่งไม่เพียงประหยัดเวลาเท่านั้น แต่ยังช่วยให้คุณสร้างข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์และความประมาทน้อยลงได้อีกด้วย

ตัวอย่างที่ 1

เปรียบเทียบกับ (1) เราพบว่า , , .

ผ่านไปยัง (2) เราจะมี:

ตัวอย่าง 2

เปรียบเทียบกับ (1) เราพบว่า , , .

ผ่านไปยัง (2) เราจะมี:

ตัวอย่างที่ 3

เนื่องจากด้านซ้ายของอสมการเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นของ and จากนั้นคำตอบจะถูกกำหนด

ชุดตัวอย่างที่สามารถใช้ Terme 1 สามารถขยายได้อย่างง่ายดายหากคำนึงถึง Terme 2

ปล่อยให้อยู่ในชุด Xฟังก์ชัน , , , ถูกกำหนดไว้ และในเซตนี้จะมีเครื่องหมายและตรงกัน กล่าวคือ แล้วจะเป็นธรรม

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 5

ด้วยวิธีมาตรฐาน ตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขตามแบบแผน: ผลิตภัณฑ์มีค่าน้อยกว่าศูนย์เมื่อปัจจัยต่างกัน เหล่านั้น. เราพิจารณาชุดของอสมการสองระบบ ซึ่งดังที่ได้ระบุไว้ในตอนต้น ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละส่วนแบ่งออกเป็นเจ็ดระบบ

หากเราพิจารณาทฤษฎีบท 2 ปัจจัยแต่ละอย่างเมื่อพิจารณา (2) สามารถแทนที่ด้วยฟังก์ชันอื่นที่มีเครื่องหมายเหมือนกันในตัวอย่างนี้ของ O.D.Z.

วิธีการแทนที่การเพิ่มของฟังก์ชันด้วยอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นโดยคำนึงถึงทฤษฎีบท 2 จะสะดวกมากในการแก้ปัญหา C3 USE ทั่วไป

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่าง 7

. แสดงว่า. รับ

. โปรดทราบว่าการแทนที่หมายถึง: กลับมาที่สมการจะได้ .

ตัวอย่างที่ 8

ในทฤษฎีบทที่เราใช้ ไม่มีการจำกัดคลาสของฟังก์ชัน ในบทความนี้ เป็นตัวอย่าง ทฤษฎีบทถูกนำไปใช้กับการแก้ปัญหาอสมการลอการิทึม ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นถึงคำมั่นสัญญาของวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประเภทอื่น

ความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึมในการใช้งาน

เซชิน มิคาอิล อเล็กซานโดรวิช

สถาบันวิทยาศาสตร์ขนาดเล็กสำหรับนักเรียนของสาธารณรัฐคาซัคสถาน "ผู้แสวงหา"

MBOU "โรงเรียนมัธยมโซเวียตหมายเลข 1" เกรด 11 เมือง เขตโซเวียตสกี้ โซเวียต

Gunko Lyudmila Dmitrievna ครูของ MBOU "โรงเรียนมัธยมโซเวียตหมายเลข 1"

เขตโซเวียตสกี้

วัตถุประสงค์:การศึกษากลไกการแก้อสมการลอการิทึม C3 โดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานการระบุ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจลอการิทึม.

หัวข้อการศึกษา:

3) เรียนรู้ที่จะแก้อสมการลอการิทึม C3 เฉพาะโดยใช้วิธีที่ไม่ได้มาตรฐาน

ผลลัพธ์:

เนื้อหา

บทนำ…………………………………………………………………………….4

บทที่ 1 ความเป็นมา…………………………………………………………………… 5

บทที่ 2 การรวบรวมอสมการลอการิทึม ………………………… 7

2.1. การเปลี่ยนภาพที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา…………… 7

2.2. วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง ……………………………………………… 15

2.3. การแทนที่ที่ไม่ได้มาตรฐาน…………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. งานกับดัก…………………………………………………… 27

บทสรุป…………………………………………………………………… 30

วรรณกรรม……………………………………………………………………. 31

บทนำ

ฉันอยู่เกรด 11 และฉันวางแผนที่จะเข้ามหาวิทยาลัยที่วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาหลัก นั่นคือเหตุผลที่ฉันทำงานในส่วน C เป็นอย่างมาก ในงาน C3 คุณต้องแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ได้มาตรฐานหรือระบบของความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับลอการิทึม ขณะเตรียมสอบ ฉันพบปัญหาการขาดวิธีการและเทคนิคในการแก้สมการลอการิทึมของข้อสอบที่นำเสนอใน C3 วิธีการที่ศึกษาใน หลักสูตรโรงเรียนในหัวข้อนี้ไม่ได้ให้พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา C3 ครูคณิตศาสตร์แนะนำให้ฉันทำงานกับการบ้าน C3 ด้วยตัวเองภายใต้การแนะนำของเธอ นอกจากนี้ฉันสนใจคำถาม: มีลอการิทึมในชีวิตของเราหรือไม่?

ด้วยเหตุนี้ ธีมจึงถูกเลือก:

"อสมการลอการิทึมในข้อสอบ"

วัตถุประสงค์:ศึกษากลไกการแก้ปัญหา C3 โดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน เผยข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึม

หัวข้อการศึกษา:

1) ค้นหาข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้อสมการลอการิทึม

2) ค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับลอการิทึม

3) เรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาเฉพาะ C3 โดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน

ผลลัพธ์:

ความสำคัญในทางปฏิบัติอยู่ที่การขยายตัวของอุปกรณ์สำหรับการแก้ปัญหา C3 เนื้อหานี้สามารถใช้ได้ในบางบทเรียน สำหรับการทำวงกลม ชั้นเรียนเสริมในวิชาคณิตศาสตร์

ผลิตภัณฑ์ของโครงการจะเป็นคอลเล็กชัน "ลอการิทึม C3 อสมการกับโซลูชัน"

บทที่ 1 ความเป็นมา

ในช่วงศตวรรษที่ 16 จำนวนการคำนวณโดยประมาณเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านดาราศาสตร์ การปรับปรุงเครื่องมือ การศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ และงานอื่นๆ จำเป็นต้องมีการคำนวณมหาศาล บางครั้งอาจใช้เวลานานหลายปี ดาราศาสตร์ตกอยู่ในอันตรายอย่างแท้จริงจากการจมน้ำในการคำนวณที่ไม่สำเร็จ ความยากลำบากยังเกิดขึ้นในด้านอื่นๆ เช่น ในธุรกิจประกันภัย จำเป็นต้องมีตารางดอกเบี้ยทบต้นสำหรับค่าเปอร์เซ็นต์ต่างๆ ปัญหาหลักคือการคูณ การหารจำนวนหลายหลัก โดยเฉพาะปริมาณตรีโกณมิติ

การค้นพบลอการิทึมขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของความก้าวหน้าในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 อาร์คิมิดีสพูดถึงความเชื่อมโยงระหว่างสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต q, q2, q3, ... และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของตัวบ่งชี้ 1, 2, 3, ... ในบทเพลงสรรเสริญ ข้อกำหนดเบื้องต้นอีกประการหนึ่งคือการขยายแนวคิดของดีกรีเป็นเลขชี้กำลังลบและเศษส่วน ผู้เขียนหลายคนชี้ให้เห็นว่าการคูณ การหาร การยกกำลัง และการแตกรากนั้นสอดคล้องกันในทางเลขคณิต - ในลำดับเดียวกัน - การบวก การลบ การคูณ และการหาร

นี่คือแนวคิดของลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลัง

ในประวัติศาสตร์ของการพัฒนาหลักคำสอนของลอการิทึมนั้นผ่านไปหลายขั้นตอน

สเตจ 1

ลอการิทึมถูกประดิษฐ์ขึ้นไม่ช้ากว่า 1594 โดยอิสระโดยบารอนชาวสก็อต Napier (1550-1617) และสิบปีต่อมาโดยช่างชาวสวิส Burgi (1552-1632) ทั้งสองต้องการให้วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่สะดวกแบบใหม่ แม้ว่าพวกเขาจะแก้ไขปัญหานี้ด้วยวิธีต่างๆ Napier แสดงฟังก์ชันลอการิทึมแบบจลนศาสตร์และเข้าสู่สนามใหม่ของทฤษฎีฟังก์ชัน Bürgi อยู่บนพื้นฐานของการพิจารณาความก้าวหน้าที่ไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของลอการิทึมสำหรับทั้งคู่นั้นไม่เหมือนกับนิยามสมัยใหม่ คำว่า "ลอการิทึม" (ลอการิทึม) เป็นของเนเปียร์ มันเกิดขึ้นจากการรวมกันของคำภาษากรีก: โลโก้ - "ความสัมพันธ์" และ ariqmo - "จำนวน" ซึ่งหมายถึง "จำนวนความสัมพันธ์" เริ่มแรก Napier ใช้คำอื่น: ตัวเลขเทียม - "ตัวเลขเทียม" ซึ่งตรงข้ามกับตัวเลขธรรมชาติ - "ตัวเลขธรรมชาติ"

ในปี 1615 ในการสนทนากับ Henry Briggs (1561-1631) ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่ Gresh College ในลอนดอน เนเปียร์แนะนำให้นำศูนย์สำหรับลอการิทึมของหนึ่งและ 100 สำหรับลอการิทึมของสิบ หรือจำนวนเท่ากัน เพียง 1 นี่คือวิธีการพิมพ์ลอการิทึมทศนิยมและตารางลอการิทึมแรก ต่อมา ตารางของบริกส์ถูกเสริมโดย Andrian Flakk นักคณิตศาสตร์และผู้ขายหนังสือชาวดัตช์ (1600-1667) Napier และ Briggs แม้ว่าพวกเขาจะมาที่ลอการิทึมก่อนใครก็ตาม แต่ก็ตีพิมพ์ตารางของพวกเขาช้ากว่าคนอื่น - ในปี 1620 ป้ายบันทึกและบันทึกถูกนำมาใช้ในปี 1624 โดย I. Kepler คำว่า "ลอการิทึมธรรมชาติ" ถูกนำมาใช้โดย Mengoli ในปี 1659 ตามด้วย N. Mercator ในปี 1668 และ John Spadel ครูชาวลอนดอนได้ตีพิมพ์ตารางลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1,000 ภายใต้ชื่อ "ลอการิทึมใหม่"

ในรัสเซีย ตารางลอการิทึมแรกถูกตีพิมพ์ในปี 1703 แต่ในตารางลอการิทึมทั้งหมด มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในการคำนวณ ตารางที่ปราศจากข้อผิดพลาดแรกถูกตีพิมพ์ในปี 2400 ที่กรุงเบอร์ลินในการประมวลผลของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Bremiker (1804-1877)

สเตจ 2

การพัฒนาเพิ่มเติมของทฤษฎีลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์และแคลคูลัสที่มีขนาดเล็กกว่าในวงกว้าง เมื่อถึงเวลานั้น การเชื่อมต่อระหว่างการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของไฮเพอร์โบลาด้านเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติก็ถูกสร้างขึ้น ทฤษฎีลอการิทึมของช่วงเวลานี้เกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์หลายคน

นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ และวิศวกร นิโคเลาส์ เมอร์เคเตอร์ชาวเยอรมันในเรียงความของเขา

"ลอการิทึมเทคนิค" (1668) ให้ชุดที่ให้การขยายตัวของ ln(x + 1) ในแง่ของ

พลัง x:

การแสดงออกนี้สอดคล้องกับความคิดของเขาแม้ว่าแน่นอนเขาไม่ได้ใช้เครื่องหมาย d, ... แต่เป็นสัญลักษณ์ที่ยุ่งยากกว่า ด้วยการค้นพบอนุกรมลอการิทึม เทคนิคในการคำนวณลอการิทึมจึงเปลี่ยนไป: พวกมันเริ่มถูกกำหนดโดยใช้อนุกรมอนันต์ ในการบรรยายของเขา "คณิตศาสตร์เบื้องต้นจากมุมมองที่สูงขึ้น" อ่านในปี 1907-1908 F. Klein แนะนำให้ใช้สูตรนี้เป็นจุดเริ่มต้นในการสร้างทฤษฎีลอการิทึม

สเตจ 3

นิยามของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันของผกผัน

เลขชี้กำลัง, ลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลังของฐานที่กำหนด

ไม่ได้กำหนดสูตรทันที ผลงานของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707-1783)

"บทนำสู่การวิเคราะห์อนันต์" (ค.ศ. 1748) ทำหน้าที่เป็นต่อไป

การพัฒนาทฤษฎีของฟังก์ชันลอการิทึม ดังนั้น,

134 ปีผ่านไปตั้งแต่เริ่มใช้ลอการิทึม

(นับจากปี ค.ศ. 1614) ก่อนที่นักคณิตศาสตร์จะได้คำจำกัดความ

แนวคิดของลอการิทึมซึ่งปัจจุบันเป็นพื้นฐานของหลักสูตรของโรงเรียน

บทที่ 2 การรวบรวมอสมการลอการิทึม

2.1. การเปลี่ยนภาพที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา

การเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกัน

ถ้า > 1

ถ้า 0 < а < 1

วิธีช่วงเวลาทั่วไป

วิธีนี้เป็นวิธีที่เป็นสากลที่สุดในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเกือบทุกประเภท โครงร่างการแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้:

1. นำความไม่เท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบดังกล่าว โดยที่ฟังก์ชันตั้งอยู่ทางด้านซ้าย
และ 0 ทางด้านขวา

2. ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน
.

3. ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน
ก็คือแก้สมการ
(และการแก้สมการมักจะง่ายกว่าการแก้อสมการ)

4. วาดโดเมนของคำจำกัดความและศูนย์ของฟังก์ชันบนเส้นจริง

5. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน
ในช่วงเวลาที่ได้รับ

6. เลือกช่วงเวลาที่ฟังก์ชันใช้ค่าที่จำเป็น และจดคำตอบ

ตัวอย่างที่ 1

การตัดสินใจ:

ใช้วิธีช่วงเวลา

ที่ไหน

สำหรับค่าเหล่านี้ นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะเป็นค่าบวก

ตอบ:

ตัวอย่าง 2

การตัดสินใจ:

ที่ 1 ทาง . ODZ ถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน x> 3. การหาลอการิทึมสำหรับสิ่งนั้น xในฐาน 10 เราจะได้

ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายสามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎการสลายตัวเช่น เปรียบเทียบตัวประกอบกับศูนย์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เป็นการง่ายที่จะกำหนดช่วงความคงตัวของฟังก์ชัน

จึงสามารถใช้วิธีเว้นระยะได้

การทำงาน ฉ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ ต่อเนื่องกันสำหรับ x> 3 และหายไปในจุด x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4 ดังนั้นเราจึงกำหนดช่วงเวลาคงที่ของฟังก์ชัน ฉ(x):

ตอบ:

วิธีที่ 2 . ให้เรานำแนวคิดของวิธีช่วงเวลามาใช้กับความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมโดยตรง

สำหรับสิ่งนี้เราจำได้ว่านิพจน์ เอข- เอค และ ( เอ - 1)(ข- 1) มีหนึ่งสัญลักษณ์ แล้วความไม่เท่าเทียมกันของเราสำหรับ x> 3 เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน

หรือ

ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายได้รับการแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลา

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

การตัดสินใจ:

ใช้วิธีช่วงเวลา

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

การตัดสินใจ:

ตั้งแต่2 x 2 - 3x+ 3 > 0 สำหรับของจริงทั้งหมด x, แล้ว

ในการแก้อสมการที่สอง เราใช้วิธีช่วงเวลา

ในความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก เราทำการเปลี่ยนแปลง

แล้วเราก็มาถึงอสมการ 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yซึ่งตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน -0.5< y < 1.

จากไหน เพราะ

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน

ซึ่งดำเนินการด้วย xซึ่ง 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ทีนี้ เมื่อคำนึงถึงการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของระบบที่สอง ในที่สุดเราก็ได้

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 5

การตัดสินใจ:

ความไม่เท่าเทียมกันเทียบเท่ากับชุดของระบบ

หรือ

ใช้วิธีช่วงเวลาหรือ

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

การตัดสินใจ:

ความไม่เท่าเทียมกันเท่ากับระบบ

ปล่อยให้เป็น

แล้ว y > 0,

และความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก

ระบบใช้แบบฟอร์ม

หรือขยายออก

ตรีเอกานุภาพกำลังสองถึงตัวประกอบ

การใช้วิธีช่วงเวลากับอสมการสุดท้าย

เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหาของมันเป็นไปตามเงื่อนไข y> 0 จะเป็นทั้งหมด y > 4.

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับระบบ:

ดังนั้น คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันคือทั้งหมด

2.2. วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

ก่อนหน้านี้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของความไม่เท่าเทียมกันยังไม่ได้รับการแก้ไข นี่คือความทันสมัยใหม่ วิธีที่มีประสิทธิภาพคำตอบของอสมการเลขชี้กำลังและลอการิทึม" (อ้างจากหนังสือโดย Kolesnikova S.I. )
และแม้ว่าครูจะรู้จักเขา แต่ก็มีความกลัว - แต่ผู้เชี่ยวชาญ USE รู้จักเขาหรือไม่ และทำไมพวกเขาไม่ให้เขาที่โรงเรียน มีบางสถานการณ์ที่ครูพูดกับนักเรียนว่า: "ไปเอามาจากไหน นั่งลง - 2."
ตอนนี้วิธีการนี้กำลังได้รับการส่งเสริมทุกที่ และสำหรับผู้เชี่ยวชาญ มีแนวทางที่เกี่ยวข้องกับวิธีนี้ และใน "รุ่นมาตรฐานที่สมบูรณ์ที่สุด ตัวเลือกมาตรฐาน ... " ในโซลูชัน C3 ใช้วิธีนี้
วิธีการนั้นยอดเยี่ยมมาก!

“โต๊ะเวทย์มนตร์”

ในแหล่งอื่นๆ

ถ้า a >1 และ b >1 จากนั้นล็อก a b >0 และ (a -1)(b -1)>0;

ถ้า a >1 และ 0

ถ้า 0<เอ<1 и b >1 จากนั้นล็อก a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ถ้า 0<เอ<1 и 00 และ (a -1)(b -1)>0

การให้เหตุผลข้างต้นเป็นเรื่องง่าย แต่ลดความซับซ้อนของการแก้ปัญหาอสมการลอการิทึมอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 4

บันทึก x (x 2 -3)<0

การตัดสินใจ:

ตัวอย่างที่ 5

บันทึก 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

การตัดสินใจ:

ตอบ. (0; 0.5) คุณ .

ตัวอย่างที่ 6

เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันนี้ เราเขียน (x-1-1) (x-1) แทนตัวส่วน และผลคูณ (x-1) (x-3-9 + x) แทนตัวเศษ

ตอบ : (3;6)

ตัวอย่าง 7

ตัวอย่างที่ 8

2.3. การทดแทนที่ไม่ได้มาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่าง 2

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่าง 7

บันทึก 4 (3 x -1) บันทึก 0.25

มาทำการแทนที่ y=3 x -1; แล้วอสมการนี้จะอยู่ในรูป

บันทึก 4 บันทึก 0.25
.

เนื่องจาก บันทึก 0.25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y จากนั้นเราจะเขียนอสมการสุดท้ายใหม่เป็น 2log 4 y -log 4 2 y ≤

มาแทนที่ t =log 4 y และรับความไม่เท่าเทียมกัน t 2 -2t +≥0 คำตอบของมันคือช่วงเวลา - .

ดังนั้น ในการหาค่าของ y เรามีชุดของอสมการที่ง่ายที่สุดสองชุด
คำตอบของคอลเล็กชันนี้คือช่วง 0<у≤2 и 8≤у<+.

ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเท่ากับเซตของอสมการเลขชี้กำลังสองอัน,
กล่าวคือ มวลรวม

คำตอบของอสมการแรกของเซตนี้คือช่วง 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจะเก็บค่าของ x ทั้งหมดจากช่วง 0<х≤1 и 2≤х<+.

ตัวอย่างที่ 8

การตัดสินใจ:

ความไม่เท่าเทียมกันเท่ากับระบบ

คำตอบของอสมการที่สองซึ่งกำหนด ODZ จะเป็นเซตของค่าเหล่านั้น x,

ซึ่ง x > 0.

เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันอันดับแรก เราทำการเปลี่ยนแปลง

แล้วเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน

หรือ

เซตของคำตอบของอสมการสุดท้ายหาได้จากเมธอด

ช่วงเวลา: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, เราได้รับ

หรือ

มากมายเหล่านั้น xซึ่งสนองความไม่เท่าเทียมกันสุดท้าย

เป็นของ ODZ ( x> 0) จึงเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ

และด้วยเหตุนี้ความไม่เท่าเทียมกันเดิม

ตอบ:

2.4. งานกับกับดัก

ตัวอย่างที่ 1

.

การตัดสินใจ. ODZ ของอสมการทั้งหมดเป็น x ที่เป็นไปตามเงื่อนไข 0 . ดังนั้น x ทั้งหมดจากช่วง 0

ตัวอย่าง 2

บันทึก 2 (2x +1-x 2)>บันทึก 2 (2x-1 +1-x)+1. ? ประเด็นคือตัวเลขที่สองมากกว่า

บทสรุป

ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะหาวิธีพิเศษในการแก้ปัญหา C3 จากแหล่งการศึกษาที่หลากหลาย ในระหว่างการทำงาน ฉันสามารถศึกษาวิธีที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการแก้อสมการลอการิทึมที่ซับซ้อน เหล่านี้คือ: การเปลี่ยนภาพที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง , การทดแทนที่ไม่ได้มาตรฐาน , งานที่มีกับดักบน ODZ วิธีการเหล่านี้ไม่มีอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน

ด้วยวิธีการต่างๆ ฉันได้แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน 27 รายการที่นำเสนอใน USE ในส่วน C คือ C3 ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้กับการแก้ปัญหาด้วยวิธีต่างๆ เป็นพื้นฐานของการรวบรวม "ความไม่เท่าเทียมกันของลอการิทึม C3 กับโซลูชัน" ซึ่งกลายเป็นผลิตภัณฑ์โครงการของกิจกรรมของฉัน สมมติฐานที่ฉันเสนอในตอนต้นของโครงการได้รับการยืนยันแล้ว: ปัญหา C3 สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพหากทราบวิธีการเหล่านี้

นอกจากนี้ ฉันยังค้นพบข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึม มันน่าสนใจสำหรับฉันที่จะทำ ผลิตภัณฑ์โครงการของฉันจะเป็นประโยชน์สำหรับทั้งนักเรียนและครู

ผลการวิจัย:

ดังนั้นเป้าหมายของโครงการจึงสำเร็จปัญหาได้รับการแก้ไข และฉันได้รับประสบการณ์ที่สมบูรณ์และหลากหลายที่สุดในกิจกรรมโครงการในทุกขั้นตอนของการทำงาน ในระหว่างการทำงานในโครงการ ผลกระทบการพัฒนาหลักของฉันคือความสามารถทางจิต กิจกรรมที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางจิตอย่างมีเหตุผล การพัฒนาความสามารถเชิงสร้างสรรค์ ความริเริ่มส่วนบุคคล ความรับผิดชอบ ความพากเพียร และกิจกรรม

รับประกันความสำเร็จเมื่อสร้างโครงการวิจัยสำหรับ ฉันกลายเป็น: ประสบการณ์ในโรงเรียนที่สำคัญ ความสามารถในการดึงข้อมูลจากแหล่งต่าง ๆ ตรวจสอบความน่าเชื่อถือ จัดอันดับตามความสำคัญ

นอกเหนือจากความรู้ทางคณิตศาสตร์โดยตรงแล้ว เขายังได้ขยายทักษะภาคปฏิบัติในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ ได้รับความรู้และประสบการณ์ใหม่ๆ ในสาขาจิตวิทยา สร้างการติดต่อกับเพื่อนร่วมชั้น และเรียนรู้ที่จะร่วมมือกับผู้ใหญ่ ในระหว่างกิจกรรมโครงการ ทักษะและความสามารถทางการศึกษาทั่วไปขององค์กร ปัญญา และการสื่อสารได้รับการพัฒนา

วรรณกรรม

1. Koryanov A. G. , Prokofiev A. A. ระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรเดียว (งานทั่วไป C3)

2. Malkova A. G. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

3. S. S. Samarova คำตอบของอสมการลอการิทึม

4. คณิตศาสตร์ รวบรวมผลงานการฝึกอบรมแก้ไขโดย A.L. Semyonov และ I.V. ยาชเชนโก -M.: MTsNMO, 2552. - 72 น.-