ความไม่เท่าเทียมกันทางลอการิทึมในการใช้งาน
เซชิน มิคาอิล อเล็กซานโดรวิช
Academy of Sciences ขนาดเล็กสำหรับนักเรียนของสาธารณรัฐคาซัคสถาน "ผู้แสวงหา"
MBOU "โรงเรียนมัธยมโซเวียตหมายเลข 1" เกรด 11 เมือง เขตโซเวียตสกี้ โซเวียต
Gunko Lyudmila Dmitrievna ครูของ MBOU "โรงเรียนมัธยมโซเวียตหมายเลข 1"
เขตโซเวียตสกี้
เป้าหมายของงาน:การศึกษากลไกการแก้ปัญหา อสมการลอการิทึม C3 ใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน การตรวจจับ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจลอการิทึม.
หัวข้อการศึกษา:
3) เรียนรู้การแก้อสมการลอการิทึม C3 เฉพาะโดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน
ผลลัพธ์:
เนื้อหา
บทนำ…………………………………………………………………………….4
บทที่ 1. ความเป็นมา…………………………………………………………...5
บทที่ 2. การรวบรวมอสมการลอการิทึม…………………………7
2.1. การเปลี่ยนสมมูลและวิธีทั่วไปของช่วงเวลา…………… 7
2.2. วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง……………………………………………………15
2.3. การทดแทนที่ไม่ได้มาตรฐาน…………………………………………………………………………………………………. ...... 22
2.4. งานกับกับดัก……………………………………………………… 27
สรุป…………………………………………………………………… 30
วรรณกรรม……………………………………………………………………. 31
การแนะนำ
ฉันอยู่เกรด 11 และฉันวางแผนที่จะเข้ามหาวิทยาลัยที่มีคณิตศาสตร์เป็นวิชาหลัก และนั่นคือเหตุผลที่ฉันทำงานอย่างหนักกับงานในส่วน C ในงาน C3 คุณต้องแก้อสมการที่ไม่ได้มาตรฐานหรือระบบอสมการ ซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับลอการิทึม ขณะเตรียมสอบ ฉันพบปัญหาขาดวิธีการและเทคนิคในการแก้อสมการลอการิทึมข้อสอบใน C3 วิธีการที่ศึกษาใน หลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ ไม่ได้ให้พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา C3 ครูคณิตศาสตร์แนะนำให้ฉันทำงานกับการบ้าน C3 ด้วยตัวเองภายใต้คำแนะนำของเธอ นอกจากนี้ฉันสนใจคำถาม: มีลอการิทึมในชีวิตของเราหรือไม่?
ด้วยเหตุนี้จึงเลือกธีม:
"อสมการลอการิทึมในข้อสอบ"
เป้าหมายของงาน:ศึกษากลไกการแก้ปัญหา C3 โดยใช้วิธีที่ไม่ได้มาตรฐาน เปิดเผยข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึม
หัวข้อการศึกษา:
1) ค้นหาข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการแก้อสมการลอการิทึม
2) ค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับลอการิทึม
3) เรียนรู้การแก้ปัญหา C3 เฉพาะโดยใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐาน
ผลลัพธ์:
ความสำคัญในทางปฏิบัติอยู่ในการขยายเครื่องมือสำหรับการแก้ปัญหา C3 วัสดุนี้สามารถใช้ในบางบทเรียน สำหรับการดำเนินการวงกลม ชั้นเรียนทางเลือกในวิชาคณิตศาสตร์
ผลิตภัณฑ์ของโครงการจะเป็นคอลเลกชัน "อสมการลอการิทึม C3 พร้อมโซลูชัน"
บทที่ 1. ความเป็นมา
ในช่วงศตวรรษที่ 16 จำนวนการคำนวณโดยประมาณเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะในด้านดาราศาสตร์ การปรับปรุงเครื่องมือ การศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ และงานอื่นๆ ต้องใช้การคำนวณจำนวนมหาศาล บางครั้งใช้เวลาหลายปี ดาราศาสตร์ตกอยู่ในอันตรายอย่างแท้จริงจากการจมอยู่ในการคำนวณที่ไม่ได้ผล ความยากลำบากยังเกิดขึ้นในด้านอื่นๆ ด้วย เช่น ในธุรกิจประกันภัย จำเป็นต้องมีตารางดอกเบี้ยทบต้นสำหรับค่าเปอร์เซ็นต์ต่างๆ ความยากหลักคือการคูณ การหารจำนวนหลายหลัก โดยเฉพาะปริมาณตรีโกณมิติ
การค้นพบลอการิทึมขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของความก้าวหน้าในปลายศตวรรษที่ 16 เกี่ยวกับการเชื่อมต่อระหว่างเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต q, q2, q3, ... และ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตัวบ่งชี้ของพวกเขาคือ 1, 2, 3, ... อาร์คิมิดีสพูดใน "เพลงสดุดี" ข้อกำหนดเบื้องต้นอีกประการหนึ่งคือการขยายแนวคิดของระดับเป็นเลขชี้กำลังที่เป็นลบและเศษส่วน ผู้เขียนหลายคนชี้ให้เห็นว่าการคูณ การหาร การยกกำลัง และการถอดรากเลขชี้กำลังนั้นสอดคล้องกันในทางเลขคณิต - ในลำดับเดียวกัน นั่นคือ การบวก การลบ การคูณและการหาร
นี่คือแนวคิดของลอการิทึมในฐานะเลขชี้กำลัง
ในประวัติศาสตร์ของการพัฒนาหลักคำสอนของลอการิทึมได้ผ่านไปหลายขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1
ลอการิทึมถูกประดิษฐ์ขึ้นไม่เกินปี ค.ศ. 1594 โดย Napier บารอนชาวสก็อต (1550-1617) และอีกสิบปีต่อมาโดยช่างชาวสวิส Burgi (1552-1632) ทั้งคู่ต้องการให้วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบใหม่ที่สะดวก แม้ว่าพวกเขาจะเข้าหาปัญหานี้ด้วยวิธีต่างๆ กัน เนเปียร์แสดงฟังก์ชันลอการิทึมทางจลนศาสตร์ และด้วยเหตุนี้จึงเข้าสู่เขตข้อมูลใหม่ของทฤษฎีฟังก์ชัน Bürgiยังคงอยู่บนพื้นฐานของการพิจารณาความก้าวหน้าที่ไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามคำจำกัดความของลอการิทึมสำหรับทั้งสองไม่เหมือนกับสมัยใหม่ คำว่า "ลอการิทึม" (ลอการิทึม) เป็นของ Napier เกิดจากการรวมกันของคำภาษากรีก: โลโก้ - "ความสัมพันธ์" และ ariqmo - "จำนวน" ซึ่งหมายถึง "จำนวนของความสัมพันธ์" ในขั้นต้น Napier ใช้คำอื่น: ตัวเลขประดิษฐ์ - "หมายเลขประดิษฐ์" ตรงข้ามกับ numeri naturalts - "จำนวนธรรมชาติ"
ในปี ค.ศ. 1615 ในการสนทนากับ Henry Briggs (1561-1631) ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่ Gresh College ในลอนดอน Napier เสนอให้ใช้ศูนย์สำหรับลอการิทึมของหนึ่ง และ 100 สำหรับลอการิทึมของสิบ หรือจำนวนที่เท่ากัน แค่ 1 นี่คือวิธีพิมพ์ลอการิทึมฐานสิบและตารางลอการิทึมตัวแรก ต่อมาตารางบริกส์ได้รับการเสริมโดยผู้ขายหนังสือและนักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ Andrian Flakk (1600-1667) Napier และ Briggs แม้ว่าพวกเขาจะมาถึงลอการิทึมก่อนใคร แต่ก็เผยแพร่ตารางของพวกเขาช้ากว่าคนอื่น - ในปี 1620 บันทึกสัญญาณและบันทึกได้รับการแนะนำในปี ค.ศ. 1624 โดย I. Kepler คำว่า "ลอการิทึมธรรมชาติ" ถูกนำมาใช้โดย Mengoli ในปี 1659 ตามด้วย N. Mercator ในปี 1668 และ John Spadel อาจารย์ชาวลอนดอนได้เผยแพร่ตารางของลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1,000 ภายใต้ชื่อ "ลอการิทึมใหม่"
ในภาษารัสเซีย ตารางลอการิทึมชุดแรกเผยแพร่ในปี 1703 แต่ในตารางลอการิทึมทั้งหมด ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในการคำนวณ ตารางที่ปราศจากข้อผิดพลาดชุดแรกได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2400 ในกรุงเบอร์ลินโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Bremiker (พ.ศ. 2347-2420)
ขั้นตอนที่ 2
การพัฒนาเพิ่มเติมของทฤษฎีลอการิทึมนั้นเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัสที่น้อยมาก เมื่อถึงเวลานั้น การเชื่อมต่อระหว่างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของไฮเปอร์โบลาด้านเท่าและลอการิทึมธรรมชาติได้ถูกสร้างขึ้น ทฤษฎีลอการิทึมในช่วงเวลานี้เกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง
นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ และวิศวกรชาวเยอรมัน Nikolaus Mercator ในบทความของเขา
"ลอการิทึมโมเทคนิค" (1668) ให้อนุกรมที่ให้การขยายตัวของ ln(x + 1) ในรูปของ
พลัง x:
การแสดงออกนี้สอดคล้องกับความคิดของเขาแม้ว่าแน่นอนว่าเขาไม่ได้ใช้สัญลักษณ์ d, ... แต่เป็นสัญลักษณ์ที่ยุ่งยากกว่า ด้วยการค้นพบอนุกรมลอการิทึม เทคนิคการคำนวณลอการิทึมเปลี่ยนไป: พวกมันเริ่มถูกกำหนดโดยใช้อนุกรมอนันต์ ในการบรรยายของเขาเรื่อง "คณิตศาสตร์เบื้องต้นจากมุมมองที่สูงขึ้น" ซึ่งอ่านในปี 1907-1908 F. Klein แนะนำให้ใช้สูตรเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างทฤษฎีลอการิทึม
ขั้นตอนที่ 3
คำนิยาม ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันของการผกผัน
เลขชี้กำลัง, ลอการิทึมเป็นเลขยกกำลัง พื้นนี้
ไม่ได้กำหนดขึ้นทันที ผลงานของ Leonhard Euler (1707-1783)
"ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวิเคราะห์สิ่งเล็กน้อย" (1748) ทำหน้าที่เป็นเพิ่มเติม
การพัฒนาทฤษฎีของฟังก์ชันลอการิทึม ดังนั้น,
134 ปีผ่านไปนับตั้งแต่มีการนำลอการิทึมมาใช้เป็นครั้งแรก
(นับจากปี ค.ศ. 1614) ก่อนที่นักคณิตศาสตร์จะคิดคำนิยามขึ้นมา
แนวคิดของลอการิทึมซึ่งปัจจุบันเป็นพื้นฐานของหลักสูตรของโรงเรียน
บทที่ 2 การรวบรวมอสมการลอการิทึม
2.1. การเปลี่ยนที่เท่ากันและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา
การเปลี่ยนที่เท่าเทียมกัน
ถ้า a > 1
ถ้า 0 <
а <
1
วิธีช่วงเวลาทั่วไป
วิธีนี้เป็นสากลที่สุดในการแก้ปัญหาอสมการเกือบทุกชนิด รูปแบบการแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้:
1. นำความไม่เท่าเทียมกันไปยังแบบฟอร์มดังกล่าวโดยที่ฟังก์ชันจะอยู่ทางด้านซ้าย 
และ 0 ทางด้านขวา
2. ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน .
3. ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน นั่นคือแก้สมการ 
(และการแก้สมการมักจะง่ายกว่าการแก้อสมการ)
4. วาดโดเมนของนิยามและศูนย์ของฟังก์ชันบนเส้นจริง
5. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน ในช่วงเวลาที่ได้รับ
6. เลือกช่วงเวลาที่ฟังก์ชันใช้ค่าที่จำเป็นและจดคำตอบ
ตัวอย่างที่ 1
สารละลาย:
ใช้วิธีช่วงเวลา
ที่ไหน
สำหรับค่าเหล่านี้ นิพจน์ทั้งหมดภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึมจะเป็นค่าบวก
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2
สารละลาย:
ที่ 1 ทาง . ODZ ถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน x> 3. ใช้ลอการิทึมสำหรับสิ่งนั้น xในฐาน 10 เราได้
อสมการสุดท้ายสามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎการสลายตัว นั่นคือ เปรียบเทียบตัวประกอบกับศูนย์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดช่วงเวลาความคงที่ของฟังก์ชัน
ดังนั้นจึงสามารถใช้วิธีการช่วงเวลาได้
การทำงาน ฉ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ ต่อเนื่องสำหรับ x> 3 และหายไปที่จุด x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4 ดังนั้นเราจึงกำหนดช่วงเวลาของความคงที่ของฟังก์ชัน ฉ(x):
คำตอบ:
วิธีที่ 2 . ให้เราใช้แนวคิดของวิธีการช่วงเวลาโดยตรงกับอสมการดั้งเดิม
สำหรับสำนวนนี้เราจำได้ว่า กข- กค และ ( ก - 1)(ข- 1) มีเครื่องหมายเดียว แล้วความไม่เท่าเทียมของเราสำหรับ x> 3 เท่ากับอสมการ
หรือ
อสมการสุดท้ายถูกแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลา
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 3
สารละลาย:
ใช้วิธีช่วงเวลา
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 4
สารละลาย:
ตั้งแต่ 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 สำหรับของจริงทั้งหมด x, ที่
ในการแก้อสมการที่สอง เราใช้วิธีช่วงเวลา
ในอสมการแรก เราทำการเปลี่ยนแปลง
เราก็มาถึงอสมการ 2y 2 - ย - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ยซึ่งเป็นไปตามอสมการ -0.5< ย < 1.
มาจากไหนเพราะ
เราได้ความไม่เท่าเทียมกัน
ซึ่งดำเนินการร่วมกับ xซึ่ง 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
ตอนนี้โดยคำนึงถึงคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันที่สองของระบบในที่สุดเราก็ได้รับ
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 5
สารละลาย:
อสมการเทียบเท่ากับชุดของระบบ
หรือ
ใช้วิธีช่วงเวลาหรือ
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 6
สารละลาย:
ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเทียบเท่ากับระบบ
อนุญาต
แล้ว ย > 0,
และอสมการแรก
ระบบใช้แบบฟอร์ม
หรือขยาย
กำลังสอง ตรีโกณมิติ ถึง ตัวประกอบ
การใช้วิธีช่วงเวลากับอสมการสุดท้าย
เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหาของมันเป็นไปตามเงื่อนไข ย> 0 จะเป็นทั้งหมด ย > 4.
ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับระบบ:
ดังนั้นคำตอบของอสมการจึงมีทั้งหมด
2.2. วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง
ก่อนหน้านี้ยังไม่ทราบวิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของความไม่เท่าเทียมกัน นี่คือความทันสมัยใหม่ วิธีการที่มีประสิทธิภาพคำตอบของอสมการเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม" (อ้างจากหนังสือของ Kolesnikova S.I.)
และแม้ว่าครูจะรู้จักเขาก็มีความกลัว - แต่ผู้เชี่ยวชาญด้าน USE รู้จักเขาหรือไม่ และทำไมพวกเขาไม่ให้เขาที่โรงเรียน มีบางสถานการณ์ที่ครูพูดกับนักเรียน: "คุณได้มาจากไหน นั่งลง - 2"
ขณะนี้วิธีการนี้ได้รับการส่งเสริมทุกที่ และสำหรับผู้เชี่ยวชาญก็มี แนวทางที่เกี่ยวข้องกับวิธีนี้ และใน "รุ่นมาตรฐานที่สมบูรณ์ที่สุด ..." ในโซลูชัน C3 จะใช้วิธีนี้
วิธีนี้ดีมาก!
"โต๊ะวิเศษ"
ในแหล่งอื่นๆ
ถ้า a >1 และ b >1 จากนั้นบันทึก a b >0 และ (a -1)(b -1)>0;
ถ้า ก >1 และ 0 ถ้า 0<ก<1 и b
>1 แล้วล็อก a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ถ้า 0<ก<1 и 00 และ (ก -1)(ข -1)>0. เหตุผลข้างต้นนั้นเรียบง่าย แต่ทำให้การแก้ปัญหาอสมการลอการิทึมง่ายขึ้นอย่างเห็นได้ชัด ตัวอย่างที่ 4
บันทึก x (x 2 -3)<0
สารละลาย:
ตัวอย่างที่ 5
บันทึก 2 x (2x 2 -4x +6)≤บันทึก 2 x (x 2 +x ) สารละลาย: ตัวอย่างที่ 6
ในการแก้อสมการนี้ เราเขียน (x-1-1) (x-1) แทนตัวส่วน และผลคูณ (x-1) (x-3-9 + x) แทนตัวเศษ ตัวอย่างที่ 7
ตัวอย่างที่ 8
2.3. การทดแทนที่ไม่ได้มาตรฐาน ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างที่ 2
ตัวอย่างที่ 3
ตัวอย่างที่ 4
ตัวอย่างที่ 5
ตัวอย่างที่ 6
ตัวอย่างที่ 7
บันทึก 4 (3 x -1) บันทึก 0.25 ลองเปลี่ยน y=3 x -1; ความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเป็นรูปเป็นร่างขึ้นมา ล็อก 4 ล็อก 0.25 เพราะ บันทึก 0.25 ลองแทนที่ t =log 4 y และรับอสมการ t 2 -2t +≥0 ซึ่งคำตอบคือช่วง - ดังนั้น เพื่อหาค่าของ y เรามีอสมการที่ง่ายที่สุดสองชุด ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับเซตของอสมการเอกซ์โปเนนเชียลสองตัว คำตอบของอสมการแรกของเซตนี้คือช่วง 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ ตัวอย่างที่ 8
สารละลาย:
ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเทียบเท่ากับระบบ คำตอบของอสมการที่สองซึ่งกำหนด ODZ จะเป็นเซตของสิ่งเหล่านั้น x,
ซึ่ง x > 0.
ในการแก้อสมการแรก เราทำการเปลี่ยนแปลง จากนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน หรือ ชุดของคำตอบของอสมการสุดท้ายพบได้โดยวิธีการ ช่วงเวลา: -1< ที < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, เราได้รับ หรือ หลายคน xซึ่งตอบสนองอสมการสุดท้าย เป็นของ ODZ ( x> 0) จึงเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ และด้วยเหตุนี้ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม คำตอบ: 2.4. งานที่มีกับดัก ตัวอย่างที่ 1
สารละลาย. ODZ ของอสมการคือ x ทั้งหมดตรงตามเงื่อนไข 0 ตัวอย่างที่ 2
บันทึก 2 (2x +1-x 2)>บันทึก 2 (2x-1 +1-x)+1
คำตอบ. (0; 0.5) คุณ .
คำตอบ :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y จากนั้นเราเขียนอสมการสุดท้ายใหม่เป็น 2log 4 y -log 4 2 y ≤
คำตอบของชุดนี้คือช่วง 0<у≤2 и 8≤у<+.
นั่นคือมวลรวม 
. ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจะเก็บค่า x ทั้งหมดจากช่วง 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. ดังนั้น x ทั้งหมดจากช่วง 0
บทสรุป
มันไม่ง่ายเลยที่จะหาวิธีพิเศษในการแก้ปัญหา C3 จากแหล่งการศึกษาที่แตกต่างกันมากมาย ในระหว่างการทำงาน ฉันสามารถศึกษาวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการแก้อสมการลอการิทึมเชิงซ้อน เหล่านี้คือ: การเปลี่ยนที่เทียบเท่าและวิธีการทั่วไปของช่วงเวลา, วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง , การทดแทนที่ไม่ได้มาตรฐาน , งานที่มีกับดักใน ODZ วิธีการเหล่านี้ไม่มีอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน
ใช้วิธีการต่างๆ กัน ฉันแก้ไขอสมการ 27 รายการที่ USE ในส่วน C คือ C3 ความไม่เท่าเทียมกันด้วยวิธีการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นพื้นฐานของคอลเลกชัน "อสมการลอการิทึม C3 พร้อมโซลูชัน" ซึ่งกลายเป็นผลิตภัณฑ์โครงการของกิจกรรมของฉัน สมมติฐานที่ฉันเสนอเมื่อเริ่มต้นโครงการได้รับการยืนยันแล้ว: ปัญหา C3 สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพหากรู้จักวิธีการเหล่านี้
นอกจากนี้ ฉันได้ค้นพบข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับลอการิทึม มันน่าสนใจสำหรับฉันที่จะทำมัน ผลิตภัณฑ์โครงการของฉันจะเป็นประโยชน์สำหรับทั้งนักเรียนและครู
สรุป:
ดังนั้นจึงบรรลุเป้าหมายของโครงการปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว และฉันได้รับประสบการณ์ที่สมบูรณ์และหลากหลายที่สุดในกิจกรรมโครงการในทุกขั้นตอนของการทำงาน ในระหว่างการทำงานในโครงการ ผลกระทบด้านการพัฒนาหลักของฉันคือความสามารถทางจิต กิจกรรมที่เกี่ยวข้องกับการทำงานของจิตเชิงตรรกะ การพัฒนาความสามารถในการสร้างสรรค์ ความคิดริเริ่มส่วนบุคคล ความรับผิดชอบ ความอุตสาหะ และกิจกรรม
รับประกันความสำเร็จเมื่อสร้างโครงการวิจัยสำหรับ ฉันได้กลายเป็น: ประสบการณ์ในโรงเรียนที่สำคัญ, ความสามารถในการดึงข้อมูลจากแหล่งต่างๆ, ตรวจสอบความน่าเชื่อถือ, จัดอันดับตามความสำคัญ
นอกจากความรู้วิชาคณิตศาสตร์โดยตรงแล้ว เขายังขยายทักษะการปฏิบัติในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ได้รับความรู้และประสบการณ์ใหม่ในด้านจิตวิทยา สร้างการติดต่อกับเพื่อนร่วมชั้น และเรียนรู้ที่จะร่วมมือกับผู้ใหญ่ ในหลักสูตรของกิจกรรมโครงการทักษะและความสามารถทางการศึกษาทั่วไปขององค์กรสติปัญญาและการสื่อสารได้รับการพัฒนา
วรรณกรรม
1. Koryanov A. G. , Prokofiev A. A. ระบบอสมการที่มีตัวแปรเดียว (งานทั่วไป C3)
2. Malkova A. G. การเตรียมตัวสำหรับการสอบของรัฐแบบรวมในวิชาคณิตศาสตร์
3. S. S. Samarova คำตอบของอสมการลอการิทึม
4. คณิตศาสตร์. รวบรวมผลงานการฝึกอบรม เรียบเรียงโดย อ. Semyonov และ I.V. ยาชเชนโก้. -M.: MTsNMO, 2552. - 72 น.-
ส่วน: คณิตศาสตร์
บ่อยครั้งเมื่อแก้อสมการลอการิทึม จะมีปัญหากับฐานตัวแปรของลอการิทึม ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
เป็นโรงเรียนมาตรฐานอสม. ตามกฎแล้วในการแก้ปัญหาจะใช้การเปลี่ยนไปใช้ชุดระบบที่เทียบเท่ากัน:
ข้อเสียของวิธีนี้คือต้องแก้อสมการเจ็ดตัวไม่นับสองระบบและหนึ่งชุด แม้จะมีฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนด การแก้ปัญหาประชากรอาจต้องใช้เวลามาก
สามารถเสนอทางเลือกอื่นที่ใช้เวลาน้อยกว่าในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันมาตรฐานนี้ได้ ในการทำเช่นนี้ เราคำนึงถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 1. ให้ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในเซต X จากนั้นในเซตนี้ เครื่องหมายของการเพิ่มของฟังก์ชันจะตรงกับเครื่องหมายของการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ เช่น , ที่ไหน 
.
หมายเหตุ: หากฟังก์ชันลดลงอย่างต่อเนื่องในชุด X ดังนั้น
กลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกัน ไปที่ลอการิทึมฐานสิบ (คุณสามารถไปที่ค่าคงที่ใด ๆ ที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง)
ตอนนี้เราสามารถใช้ทฤษฎีบทได้แล้ว โดยสังเกตจากการเพิ่มฟังก์ชันในตัวเศษ 
และในส่วน มันเป็นเรื่องจริง
เป็นผลให้จำนวนการคำนวณที่นำไปสู่คำตอบลดลงประมาณครึ่งหนึ่ง ซึ่งไม่เพียงช่วยประหยัดเวลา แต่ยังช่วยให้คุณสร้างข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์น้อยลงและประมาทเลินเล่ออีกด้วย
ตัวอย่างที่ 1
เปรียบเทียบกับ (1) เราพบ 
, 
, .
ผ่านไปยัง (2) เราจะได้:
ตัวอย่างที่ 2
เปรียบเทียบกับ (1) เราพบ , , .
ผ่านไปยัง (2) เราจะได้:
ตัวอย่างที่ 3
เนื่องจากด้านซ้ายของอสมการเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นสำหรับ และ 
แล้วจึงกำหนดคำตอบ
ชุดของตัวอย่างที่สามารถใช้เทอม 1 สามารถขยายได้ง่ายหากคำนึงถึงเทอม 2
ให้ในชุด เอ็กซ์มีการกำหนดฟังก์ชัน , , , และในชุดนี้มีสัญญาณและตรงกัน เช่น จึงจะยุติธรรม
ตัวอย่างที่ 4
ตัวอย่างที่ 5
ด้วยวิธีการมาตรฐาน ตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขตามโครงร่าง: ผลิตภัณฑ์มีค่าน้อยกว่าศูนย์เมื่อปัจจัยมีสัญญาณต่างกัน เหล่านั้น. เราพิจารณาชุดของความไม่เท่าเทียมกันสองระบบ ซึ่งตามที่ระบุไว้ในตอนต้น แต่ละอสมการแบ่งออกเป็นเจ็ดระบบ
หากเราคำนึงถึงทฤษฎีบท 2 ปัจจัยแต่ละอย่างโดยคำนึงถึง (2) สามารถถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันอื่นที่มีเครื่องหมายเดียวกันในตัวอย่าง O.D.Z.
วิธีการแทนที่การเพิ่มฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์โดยคำนึงถึงทฤษฎีบท 2 นั้นสะดวกมากเมื่อแก้ปัญหา C3 USE ทั่วไป
ตัวอย่างที่ 6
ตัวอย่างที่ 7
. มาแสดงว่า . รับ
. โปรดทราบว่าการแทนที่หมายถึง: . กลับไปที่สมการเราจะได้
.
ตัวอย่างที่ 8
ในทฤษฎีบทที่เราใช้ ไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับคลาสของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ในบทความนี้ ทฤษฎีบทถูกนำไปใช้กับคำตอบของอสมการลอการิทึม ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นถึงวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประเภทอื่นๆ
บทความนี้อุทิศให้กับการวิเคราะห์งาน 15 จากการสอบโปรไฟล์ในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับปี 2560 ในงานนี้ นักเรียนจะได้รับการเสนอให้แก้อสมการ ซึ่งส่วนใหญ่มักจะเป็นลอการิทึม แม้ว่าจะสามารถบ่งบอกได้ บทความนี้แสดงการวิเคราะห์ตัวอย่างของอสมการลอการิทึม รวมถึงตัวอย่างที่มีตัวแปรที่ฐานของลอการิทึม ตัวอย่างทั้งหมดนำมาจาก open bank ของงาน USE ในวิชาคณิตศาสตร์ (โปรไฟล์) ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจึงมีแนวโน้มที่จะเจอเป็นงานที่ 15 ในการสอบ เหมาะอย่างยิ่งสำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้วิธีแก้ปัญหางาน 15 จากส่วนที่สองของ โปรไฟล์ใช้ช่วงเวลาสั้น ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้คะแนนสูงขึ้นในการสอบ
การวิเคราะห์งาน 15 จากการสอบประวัติในวิชาคณิตศาสตร์
| ตัวอย่างที่ 1 แก้อสมการ: |
ในงาน 15 ของการตรวจสอบสถานะแบบครบวงจรในวิชาคณิตศาสตร์ (โปรไฟล์) มักพบอสมการลอการิทึม การแก้ปัญหาอสมการลอการิทึมเริ่มต้นด้วยการนิยามช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีนี้ไม่มีตัวแปรใดในฐานของลอการิทึมทั้งสอง มีเพียงเลข 11 ซึ่งทำให้งานง่ายขึ้นมาก ดังนั้น ข้อจำกัดเดียวที่เรามีคือนิพจน์ทั้งสองภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นค่าบวก:
Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}
อสมการแรกในระบบคืออสมการกำลังสอง ในการแก้โจทย์ เราจะแยกตัวประกอบทางซ้ายได้ดีจริงๆ ฉันคิดว่าคุณรู้ว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโกณมิติใดๆ 
แยกตัวประกอบได้ดังนี้
ที่ไหนและคือรากของสมการ ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์คือ 1 (นี่คือสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่อยู่หน้า ) ค่าสัมประสิทธิ์ยังเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์เป็นพจน์อิสระ จะเท่ากับ -20 รากของ trinomial นั้นง่ายที่สุดในการพิจารณาโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta สมการของเราลดลงซึ่งหมายถึงผลรวมของรากและจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ -1 และผลคูณของรากเหล่านี้จะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ นั่นคือ -20 เดาได้ง่ายว่ารากจะเป็น -5 และ 4
ตอนนี้ด้านซ้ายของอสมการสามารถแยกตัวประกอบได้: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} เอ็กซ์ที่จุด -5 และ 4 ดังนั้น คำตอบที่ต้องการสำหรับความไม่เท่าเทียมกันคือช่วงเวลา สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจสิ่งที่เขียนที่นี่คุณสามารถดูรายละเอียดในวิดีโอได้ตั้งแต่ตอนนี้ คุณจะพบคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่สองของระบบ มันกำลังได้รับการแก้ไข ยิ่งกว่านั้น คำตอบก็เหมือนกับอสมการข้อแรกของระบบทุกประการ นั่นคือชุดที่เขียนด้านบนเป็นพื้นที่ของค่าความไม่เท่าเทียมกันที่ยอมรับได้
ดังนั้น เมื่อคำนึงถึงการแยกตัวประกอบ ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
ใช้สูตรนี้ ลองบวก 11 เข้ากับพลังของนิพจน์ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมตัวแรก และย้ายลอการิทึมตัวที่สองไปทางซ้ายของอสมการ ขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม:
หลังจากการลดลงเราจะได้รับ:
อสมการสุดท้ายเนื่องจากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน เทียบเท่ากับอสมการ 
ซึ่งวิธีแก้ปัญหาคือช่วงเวลา 
. มันยังคงข้ามกับพื้นที่ของค่าความไม่เท่าเทียมกันที่ยอมรับได้และนี่จะเป็นคำตอบสำหรับงานทั้งหมด
ดังนั้นคำตอบที่ต้องการสำหรับงานจึงมีรูปแบบ:
เราค้นพบงานนี้แล้ว ตอนนี้เราไปยังตัวอย่างถัดไปของภารกิจที่ 15 ของการสอบรวมของรัฐในวิชาคณิตศาสตร์ (โปรไฟล์)
| ตัวอย่างที่ 2 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
|
เราเริ่มต้นการแก้ปัญหาโดยกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของความไม่เท่าเทียมกันนี้ ฐานของลอการิทึมแต่ละตัวต้องเป็นจำนวนบวกที่ไม่เท่ากับ 1 นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ เงื่อนไขสุดท้ายเทียบเท่ากับ มิฉะนั้น ลอการิทึมทั้งสองในตัวส่วนจะหายไป เงื่อนไขทั้งหมดนี้กำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของอสมการนี้ ซึ่งกำหนดโดยระบบอสมการต่อไปนี้:
Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}
ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เราสามารถใช้สูตรการแปลงลอการิทึมเพื่อทำให้ด้านซ้ายของอสมการง่ายขึ้น โดยใช้สูตร 
กำจัดตัวส่วน:
ตอนนี้เรามีลอการิทึมฐานเท่านั้น มันสะดวกกว่าอยู่แล้ว ต่อไป เราใช้สูตรและสูตรเพื่อนำนิพจน์ที่มีค่าความรุ่งโรจน์มาสู่รูปแบบต่อไปนี้:
ในการคำนวณเราใช้สิ่งที่อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เมื่อใช้การแทนที่ เรามาถึงนิพจน์:
มาใช้การแทนที่อีกอย่างหนึ่ง: . เป็นผลให้เรามาถึงผลลัพธ์ต่อไปนี้:
ดังนั้นค่อยๆกลับไปที่ตัวแปรเดิม อันดับแรกไปที่ตัวแปร: